Evgenij Širjajev, nastavnik i šef Matematičke laboratorije Politehničkog muzeja, rekao je AiF.ru o podjeli na nulu:
1. Nadležnost pitanja
Slažete se, ono što pravilo čini posebno provokativnim je zabrana. Kako to ne može da se uradi? Ko je zabranio? Šta je sa našim građanskim pravima?
Ni Ustav Ruske Federacije, ni Krivični zakonik, pa čak ni statut Vaše škole ne protive se intelektualnom djelovanju koje nas zanima. To znači da nema zabrane pravnu snagu, i ništa vas ne sprječava da pokušate podijeliti nešto sa nulom upravo ovdje, na stranicama AiF.ru. Na primjer, hiljadu.
2. Podijelimo kako se uči
Zapamtite, kada ste prvi put naučili kako dijeliti, prvi primjeri su rješavani provjeravanjem množenja: rezultat pomnožen djeliteljem morao je biti isti kao i djeljiv. Ako se ne poklapa, nisu odlučili.
Primjer 1. 1000: 0 =...
Zaboravimo na trenutak zabranjeno pravilo i pokušajmo nekoliko puta da pogodimo odgovor.
Neispravni će biti odrezani čekom. Pokušajte sljedeće opcije: 100, 1, −23, 17, 0, 10 000. Za svaku od njih provjera će dati isti rezultat:
100 0 = 1 0 = − 23 0 = 17 0 = 0 0 = 10.000 0 = 0
Množenjem nule, sve se pretvara u sebe, a nikada u hiljadu. Zaključak je lako formulisati: nijedan broj neće proći test. To jest, nijedan broj ne može biti rezultat dijeljenja broja različitog od nule sa nulom. Takva podjela nije zabranjena, već jednostavno nema rezultata.
3. Nijansa
Zamalo smo propustili jednu priliku da pobijemo zabranu. Da, priznajemo da se broj različit od nule ne može podijeliti sa 0. Ali možda i sam 0 može?
Primjer 2. 0: 0 = ...
Koji su vaši prijedlozi za privatno? 100? Molimo: količnik 100 pomnožen sa djeliteljem 0 jednak je dividendi 0.
Više opcija! 1? Odgovara takođe. I −23, i 17, i to je to. U ovom primjeru, test će biti pozitivan za bilo koji broj. I da budem iskren, rješenje u ovom primjeru ne treba zvati broj, već skup brojeva. Svi. I ne treba dugo da se složimo da Alis nije Alis, već Meri En, i da su obe zečev san.
4. Šta je sa višom matematikom?
Problem je riješen, nijanse su uzete u obzir, tačke su stavljene, sve je postalo jasno - odgovor na primjer s dijeljenjem nulom ne može biti jedan broj. Rješavanje ovakvih problema je beznadežno i nemoguće. Što znači... zanimljivo! Uzmi dva.
Primjer 3. Smislite kako podijeliti 1000 sa 0.
Ali nema šanse. Ali 1000 se lako može podijeliti drugim brojevima. Pa, učinimo barem ono što možemo, čak i ako promijenimo zadatak. A onda se, vidite, zanesemo i odgovor će se pojaviti sam od sebe. Zaboravimo na nulu na minut i podijelimo sa sto:
Sto je daleko od nule. Napravimo korak ka tome smanjenjem djelitelja:
1000: 25 = 40,
1000: 20 = 50,
1000: 10 = 100,
1000: 8 = 125,
1000: 5 = 200,
1000: 4 = 250,
1000: 2 = 500,
1000: 1 = 1000.
Dinamika je očigledna: što je djelitelj bliži nuli, to je veći količnik. Trend se može dalje promatrati prelaskom na razlomke i nastavkom smanjivanja brojilaca:
Ostaje napomenuti da se možemo približiti nuli koliko god želimo, čineći količnik velikim koliko želimo.
U ovom procesu nema nule i nema posljednjeg količnika. Naznačili smo kretanje prema njima tako što smo broj zamijenili nizom koji konvergira broju koji nas zanima:
Ovo podrazumijeva sličnu zamjenu za dividendu:
1000 ↔ { 1000, 1000, 1000,... }
Nije uzalud što su strelice dvostrane: neke sekvence mogu konvergirati u brojeve. Tada možemo povezati niz s njegovim brojčanim ograničenjem.
Pogledajmo redoslijed količnika:
Neograničeno raste, ne teži ni jednom broju i ne nadmašuje bilo koji. Matematičari brojevima dodaju simbole ∞ da biste mogli staviti dvostranu strelicu pored takvog niza:
Poređenje s brojem nizova koji imaju ograničenje omogućava nam da predložimo rješenje za treći primjer:
Kada elementarno podijelimo niz koji konvergira do 1000 nizom pozitivnih brojeva koji konvergiraju do 0, dobivamo niz koji konvergira na ∞.
5. A evo nijanse sa dvije nule
Koji je rezultat dijeljenja dva niza pozitivnih brojeva koji konvergiraju nuli? Ako su isti, onda je jedinica identična. Ako niz dividendi brže konvergira na nulu, tada u kvocijentu niz ima nultu granicu. A kada se elementi djelitelja smanjuju mnogo brže od elemenata dividende, slijed kvocijenta će jako rasti:
Neizvjesna situacija. I to se zove: nesigurnost tipa 0/0 . Kada matematičari vide nizove koji odgovaraju takvoj nesigurnosti, ne žure da dijele dva identična broja jedan s drugim, već shvate koji od nizova ide brže do nule i kako točno. I svaki primjer će imati svoj konkretan odgovor!
6. U životu
Ohmov zakon povezuje struju, napon i otpor u kolu. Često se piše u ovom obliku:
Dozvolimo sebi da zanemarimo uredno fizičko razumijevanje i formalno posmatramo desnu stranu kao količnik dva broja. Zamislimo da rješavamo školski problem na struju. Uvjet daje napon u voltima i otpor u omima. Pitanje je očigledno, rešenje je u jednoj akciji.
Pogledajmo sada definiciju supravodljivosti: ovo je svojstvo nekih metala da imaju nulti električni otpor.
Pa, hajde da riješimo problem za supravodljivo kolo? Samo ga namjesti R= 0 neće uspjeti, povraća fizika zanimljiv zadatak, koji očigledno stoji iza naučno otkriće. I ljudi koji su uspjeli podijeliti sa nulom u ovoj situaciji su dobili nobelova nagrada. Korisno je moći zaobići sve zabrane!
Čak iu školi, učitelji su pokušavali da nam ubiju u glavu najjednostavnije pravilo: "Bilo koji broj pomnožen sa nulom jednak je nuli!", – ali i dalje se oko njega stalno dižu brojne kontroverze. Neki ljudi samo pamte pravilo i ne zamaraju se pitanjem "zašto?" "Ne možete i to je to, jer su tako rekli u školi, pravilo je pravilo!" Neko može popuniti pola bilježnice formulama, dokazujući ovo pravilo ili, obrnuto, njegovu nelogičnost.
Ko je na kraju u pravu?
Tokom ovih sporova, obojica ljudi sa suprotstavljenim stavovima gledaju jedni na druge kao ovan i svom snagom dokazuju da su u pravu. Mada, ako ih pogledate sa strane, možete vidjeti ne jednog, već dva ovna, koji rogove naslanjaju jedan na drugog. Jedina razlika između njih je što je jedan nešto manje obrazovan od drugog.
Oni koji ovo pravilo smatraju netačnim najčešće pokušavaju apelirati na logiku na ovaj način:
Imam dvije jabuke na stolu, ako stavim nula jabuka na njih, odnosno ne stavim ni jednu, onda moje dvije jabuke neće nestati! Pravilo je nelogično!
Zaista, jabuke neće nigdje nestati, ali ne zato što je pravilo nelogično, već zato što se ovdje koristi malo drugačija jednadžba: 2 + 0 = 2. Pa da odmah odbacimo ovaj zaključak - nelogičan je, iako ima suprotan cilj - da pozovem na logiku.
Šta je množenje
Prvobitno pravilo množenja je definisan samo za prirodne brojeve: množenje je broj koji se sam sebi dodaje određeni broj puta, što implicira da je broj prirodan. Dakle, bilo koji broj sa množenjem može se svesti na ovu jednačinu:
- 25×3 = 75
- 25 + 25 + 25 = 75
- 25×3 = 25 + 25 + 25
Iz ove jednačine slijedi da da je množenje pojednostavljeno sabiranje.
Šta je nula
Svaka osoba od djetinjstva zna: nula je praznina.Uprkos činjenici da ova praznina ima oznaku, ona ne nosi ništa. Drevni istočnjački naučnici su mislili drugačije – pristupili su tom pitanju filozofski i povukli neke paralele između praznine i beskonačnosti i u tom broju uvidjeli duboko značenje. Uostalom, nula, koja ima značenje praznine, stoji pored bilo koje prirodni broj, množi ga desetostruko. Otuda sva kontroverza oko množenja - ovaj broj nosi toliko nedosljednosti da postaje teško ne zbuniti se. Osim toga, nula se stalno koristi za definiranje praznih znamenki u decimalnim razlomcima, to se radi i prije i nakon decimalnog zareza.
Da li je moguće množiti prazninom?
Možete množiti sa nulom, ali je beskorisno, jer, šta god da se kaže, čak i kada se množi negativni brojevi i dalje će biti nula. Dovoljno je samo zapamtiti ovo jednostavno pravilo i više nikada ne postavljati ovo pitanje. Zapravo, sve je jednostavnije nego što se čini na prvi pogled. Ne postoje skrivena značenja i tajne, kako su vjerovali drevni naučnici. U nastavku ćemo dati najlogičnije objašnjenje da je ovo množenje beskorisno, jer kada pomnožite broj s njim, i dalje ćete dobiti istu stvar - nulu.
Da se vratimo na sam početak, na argument o dvije jabuke, 2 puta 0 izgleda ovako:
- Ako pojedete dvije jabuke pet puta, onda jedete 2×5 = 2+2+2+2+2 = 10 jabuka
- Ako pojedete dva od njih tri puta, onda jedete 2×3 = 2+2+2 = 6 jabuka
- Ako pojedete dvije jabuke nula puta, onda se ništa neće jesti - 2×0 = 0×2 = 0+0 = 0
Na kraju krajeva, pojesti jabuku 0 puta znači ne pojesti ni jednu. I vama će biti jasno malom djetetu. Šta god da se kaže, rezultat će biti 0, dva ili tri se mogu zamijeniti apsolutno bilo kojim brojem i rezultat će biti apsolutno isti. I pojednostavljeno rečeno, onda nula je ništa, a kada imate nema ničega, onda koliko god množite, i dalje je isto biće nula. Ne postoji takva stvar kao što je magija, i ništa neće napraviti jabuku, čak i ako pomnožite 0 sa milion. Ovo je najjednostavnije, najrazumljivije i najlogičnije objašnjenje pravila množenja nulom. Za osobu koja je daleko od svih formula i matematike, takvo objašnjenje će biti dovoljno da se nesklad u glavi razriješi i sve dođe na svoje mjesto.
Division
Iz svega navedenog slijedi još jedna stvar važno pravilo:
Ne možete podijeliti sa nulom!
Ovo pravilo nam se također uporno ubija u glavu od djetinjstva. Znamo samo da je nemoguće učiniti sve, a da ne napunimo glavu nepotrebnim informacijama. Ako vam se neočekivano postavi pitanje zašto je zabranjeno dijeliti nulom, tada će većina biti zbunjena i neće moći jasno odgovoriti na najjednostavnije pitanje iz školski program, jer nema toliko kontroverzi i kontroverzi oko ovog pravila.
Svi su jednostavno zapamtili pravilo i nisu dijelili sa nulom, ne sluteći da je odgovor skriven na površini. Zbrajanje, množenje, dijeljenje i oduzimanje su nejednaki; od navedenog vrijede samo množenje i sabiranje, a sve ostale manipulacije brojevima se grade od njih. To jest, unos 10:2 je skraćenica jednačine 2 * x = 10. To znači da je unos 10: 0 ista skraćenica za 0 * x = 10. Ispada da je deljenje sa nulom zadatak za Nađite broj, množeći sa 0, dobijate 10. A mi smo već shvatili da takav broj ne postoji, što znači da ova jednačina nema rješenja i biće a priori netačna.
Da ti kažem,
Da ne bi dijelili sa 0!
Izrežite 1 kako želite, po dužini,
Samo nemojte dijeliti sa 0!
Evgeniy SHIRYAEV, nastavnik i šef Matematičke laboratorije Politehničkog muzeja, rekao je AiF-u o podjeli sa nulom:
1. Nadležnost pitanja
Slažete se, ono što pravilo čini posebno provokativnim je zabrana. Kako to ne može da se uradi? Ko je zabranio? Šta je sa našim građanskim pravima?
Ni Ustav, ni Krivični zakonik, pa čak ni statut vaše škole ne protive se intelektualnom djelovanju koje nas zanima. To znači da zabrana nema pravnu snagu i ništa vas ne sprečava da pokušate nešto podijeliti sa nulom upravo ovdje, na stranicama AiF-a. Na primjer, hiljadu.
2. Podijelimo kako se uči
Zapamtite, kada ste prvi put naučili kako dijeliti, prvi primjeri su se rješavali provjerom množenja: rezultat pomnožen djeliteljem morao se poklopiti s dividendom. Nije se poklopilo - nisu odlučili.
Primjer 1. 1000: 0 =...
Zaboravimo na trenutak zabranjeno pravilo i pokušajmo nekoliko puta da pogodimo odgovor.
Neispravni će biti odrezani čekom. Pokušajte sljedeće opcije: 100, 1, −23, 17, 0, 10 000. Za svaku od njih provjera će dati isti rezultat:
100 0 = 1 0 = − 23 0 = 17 0 = 0 0 = 10.000 0 = 0
Množenjem nule, sve se pretvara u sebe, a nikada u hiljadu. Zaključak je lako formulisati: nijedan broj neće proći test. To jest, nijedan broj ne može biti rezultat dijeljenja broja različitog od nule sa nulom. Takva podjela nije zabranjena, već jednostavno nema rezultata.
3. Nijansa
Zamalo smo propustili jednu priliku da pobijemo zabranu. Da, priznajemo da se broj različit od nule ne može podijeliti sa 0. Ali možda i sam 0 može?
Primjer 2. 0: 0 = ...
Koji su vaši prijedlozi za privatno? 100? Molimo: količnik 100 pomnožen sa djeliteljem 0 jednak je dividendi 0.
Više opcija! 1? Odgovara takođe. I −23, i 17, i to je to. U ovom primjeru, test će biti pozitivan za bilo koji broj. I, da budem iskren, rješenje u ovom primjeru ne bi trebalo nazvati brojem, već skupom brojeva. Svi. I ne treba dugo da se složimo da Alis nije Alis, već Meri En, i da su obe zečev san.
4. Šta je sa višom matematikom?
Problem je riješen, nijanse su uzete u obzir, tačke su stavljene, sve je postalo jasno - odgovor na primjer s dijeljenjem nulom ne može biti jedan broj. Rješavanje ovakvih problema je beznadežno i nemoguće. Što znači... zanimljivo! Uzmi dva.
Primjer 3. Smislite kako podijeliti 1000 sa 0.
Ali nema šanse. Ali 1000 se lako može podijeliti drugim brojevima. Pa, hajde da radimo barem ono što radi, čak i ako promijenimo zadatak. A onda se, vidite, zanesemo i odgovor će se pojaviti sam od sebe. Zaboravimo na nulu na minut i podijelimo sa sto:
Sto je daleko od nule. Napravimo korak ka tome smanjenjem djelitelja:
1000: 25 = 40,
1000: 20 = 50,
1000: 10 = 100,
1000: 8 = 125,
1000: 5 = 200,
1000: 4 = 250,
1000: 2 = 500,
1000: 1 = 1000.
Dinamika je očigledna: što je djelitelj bliži nuli, to je veći količnik. Trend se može dalje promatrati prelaskom na razlomke i nastavkom smanjivanja brojilaca:
Ostaje napomenuti da se možemo približiti nuli koliko god želimo, čineći količnik velikim koliko želimo.
U ovom procesu nema nule i nema posljednjeg količnika. Naznačili smo kretanje prema njima tako što smo broj zamijenili nizom koji konvergira broju koji nas zanima:
Ovo podrazumijeva sličnu zamjenu za dividendu:
1000 ↔ { 1000, 1000, 1000,... }
Nije uzalud što su strelice dvostrane: neke sekvence mogu konvergirati u brojeve. Tada možemo povezati niz s njegovim brojčanim ograničenjem.
Pogledajmo redoslijed količnika:
Neograničeno raste, ne teži ni jednom broju i ne nadmašuje bilo koji. Matematičari brojevima dodaju simbole ∞ da biste mogli staviti dvostranu strelicu pored takvog niza:
Poređenje s brojem nizova koji imaju ograničenje omogućava nam da predložimo rješenje za treći primjer:
Kada elementarno podijelimo niz koji konvergira do 1000 nizom pozitivnih brojeva koji konvergiraju do 0, dobivamo niz koji konvergira na ∞.
5. A evo nijanse sa dvije nule
Koji je rezultat dijeljenja dva niza pozitivnih brojeva koji konvergiraju nuli? Ako su isti, onda je jedinica identična. Ako niz dividendi brže konvergira na nulu, onda je to posebno niz s nultom granicom. A kada se elementi djelitelja smanjuju mnogo brže od elemenata dividende, slijed kvocijenta će jako rasti:
Neizvjesna situacija. I to se zove: nesigurnost tipa 0/0 . Kada matematičari vide nizove koji odgovaraju takvoj nesigurnosti, ne žure da dijele dva identična broja jedan s drugim, već shvate koji od nizova ide brže do nule i kako točno. I svaki primjer će imati svoj konkretan odgovor!
6. U životu
Ohmov zakon povezuje struju, napon i otpor u kolu. Često se piše u ovom obliku:
Dozvolimo sebi da zanemarimo uredno fizičko razumijevanje i formalno posmatramo desnu stranu kao količnik dva broja. Zamislimo da rješavamo školski problem na struju. Uvjet daje napon u voltima i otpor u omima. Pitanje je očigledno, rešenje je u jednoj akciji.
Pogledajmo sada definiciju supravodljivosti: ovo je svojstvo nekih metala da imaju nulti električni otpor.
Pa, hajde da riješimo problem za supravodljivo kolo? Samo ga namjesti R= 0 Ako ne uspije, fizika postavlja zanimljiv problem iza kojeg se, očito, krije naučno otkriće. A ljudi koji su uspjeli podijeliti sa nulom u ovoj situaciji dobili su Nobelovu nagradu. Korisno je moći zaobići sve zabrane!
U školi nas sve uče jednostavno pravilo, koji se ne može podijeliti sa nulom. Istovremeno, kada postavimo pitanje: „Zašto?“, oni nam odgovaraju: „Ovo je samo pravilo i morate ga znati“. U ovom članku pokušat ću vam objasniti zašto ne možete dijeliti sa nulom. Zašto griješe oni ljudi koji kažu da možete podijeliti sa nulom i onda dobijete beskonačnost?
Zašto ne možete podijeliti sa nulom?
Formalno, u matematici postoje samo dvije radnje. Zbrajanje i množenje brojeva. Pa šta je sa oduzimanjem i deljenjem? Razmotrimo ovaj primjer. 7-4=3, svi znamo da će sedam minus četiri jednako tri. Zapravo, ovaj primjer se formalno može smatrati načinom rješavanja jednadžbe x+4=7. Odnosno, biramo broj koji će, kada se doda četiri, dati 7. Tada nećemo dugo razmišljati i shvatiti da je ovaj broj jednak tri. Isto je i sa podjelom. Recimo 12/3. Ovo će biti isto kao x*3=12.
Odaberemo broj koji će nam, kada se pomnoži sa 3, dati 12. B u ovom slučaju m što čini četiri. Ovo je prilično očigledno. Što je s primjerima poput 7/0. Šta se dešava ako napišemo sedam podeljeno sa nulom? To znači da izgleda da rješavamo jednačinu oblika 0*x=7. Ali ova jednadžba nema rješenja, jer ako se nula pomnoži sa bilo kojim brojem, rezultat je uvijek nula. Odnosno, nema rješenja. Ovo se piše ili riječima nema rješenja, ili ikonicom koja označava prazan skup.
Drugim riječima
Ovo je značenje ovog pravila. Ne možete dijeliti sa nulom jer odgovarajuća jednačina, nula puta x jednako sedam ili bilo koji broj koji pokušavamo podijeliti sa nulom, nema rješenja. Oni najpažljiviji mogu reći da ako podijelimo nulu sa nulom, ispostaviće se sasvim pošteno da ako je 0*X=0. Sve je super, pomnožimo nulu nekim brojem, dobijemo nulu. Ali tada naše rješenje može biti bilo koji broj. Ako pogledamo x=1, 0*1=0, x=100500, 0*100500=0. Ovdje će odgovarati bilo koji broj.
Pa zašto bismo izabrali bilo koju od njih? Zaista nemamo nikakva razmatranja pomoću kojih bismo mogli uzeti jedan od ovih brojeva i reći da su to rješenja jednadžbi. Dakle, postoji beskonačno mnogo rješenja i ovo je također dvosmislen problem za koji se vjeruje da rješenja nema.
Beskonačnost
Gore sam vam rekao razloge zašto se ne možete podijeliti, a sada želim razgovarati s vama. Pokušajmo s oprezom pristupiti dijeljenju nultom operacijom. Prvo podijelimo broj 5 sa dva. Znamo šta će se dogoditi decimalni 2.5. Sada ćemo smanjiti djelitelj i podijeliti 5 sa 1, biće 5. Sada ćemo podijeliti 5 sa 0,5. Ovo je isto kao pet podijeljeno s jednom polovinom, ili isto kao 5 * 2, tada će biti 10. Imajte na umu da se rezultat dijeljenja, odnosno količnik, povećava: 2,5, 5, 10.
Sada podijelimo 5 sa 0,1, ovo će biti isto kao 5*10=50, količnik se ponovo povećao. Istovremeno smo smanjili djelitelj. Ako podijelimo 5 sa 0,01, to će biti isto kao 5*100=500. Pogledaj. Što manji činimo djelitelj, kvocijent postaje veći. Ako podijelimo 5 sa 0,00001, dobićemo 500000.
Sažmite
Šta je onda deljenje sa nulom, ako to posmatrate u ovom smislu? Primjetite kako smo smanjili svoj količnik? Ako nacrtate osu, možete vidjeti na njoj da smo prvo imali dva, zatim jedan, zatim 0,5, 0,1 i tako dalje. Bili smo sve bliže nuli na desnoj strani, ali nikada nismo stigli do nule. Sve manje uzimamo manji broj i podijelimo s njim naš količnik. Postaje sve veći i veći. U ovom slučaju pišu da dijelimo 5 sa X, gdje je x beskonačno mali. Odnosno, sve je bliže i bliže nuli. Upravo u ovom slučaju, kada podijelimo pet sa X, dobijamo beskonačnost. Beskrajno veliki broj. Tu nastaje nijansa.
Ako se približimo nuli s desne strane, onda će ovaj infinitezimal biti pozitivan i dobićemo plus beskonačnost. Ako priđemo X s lijeve strane, odnosno ako prvo podijelimo sa -2, zatim sa -1, sa -0.5, sa -0.1 i tako dalje. Dobićemo negativan količnik. I tada će pet podijeljeno sa x, pri čemu će x biti beskonačno malo, ali s lijeve strane, biti jednako minus beskonačno. U ovom slučaju pišu: x teži nuli s desne strane, 0+0, pokazujući da težimo nuli s desne strane. Recimo, ako smo ciljali na trojku na desnoj strani, u ovom slučaju pišemo X je ciljanje lijevo. U skladu s tim, ciljali bismo na tri na lijevoj strani, pišući ovo kako x teži 3-0.
Kako graf funkcija može pomoći
Grafikon funkcije koji smo proučavali u školi nam pomaže da to bolje razumijemo. Funkcija se naziva inverzna relacija, a njen graf je hiperbola. Hiperbola izgleda ovako: Ovo je kriva čije su asimptote x-osa i y-osa. Asimptota je linija kojoj kriva teži, ali nikada ne dostigne. Takva je matematička drama. Vidimo da što se približavamo nuli, naša vrijednost postaje veća. Manji X postaje, odnosno, kako X teži nuli na desnoj strani, igra postaje sve veća i veća, i juri ka plus beskonačnosti. Prema tome, kada x teži nuli s lijeve strane, kada x teži nuli s lijeve strane, tj. x teži 0-0, mi težimo minus beskonačnosti. Tačno je ovako napisano. Y teži minus beskonačnosti, a X teži nuli na lijevoj strani. U skladu s tim, pišemo y teži plus beskonačnosti, a x teži nuli na desnoj strani. To jest, u suštini, ne delimo sa nulom, mi delimo sa beskonačno malom vrednošću.
A oni koji kažu da možete podijeliti sa nulom, jednostavno dobijamo beskonačnost, oni jednostavno misle da ne možete dijeliti sa nulom, ali možete podijeliti brojem blizu nule, odnosno beskonačno malom vrijednošću. Tada ćemo dobiti plus beskonačnost ako podijelimo s infinitezimalnim pozitivnim, a minus beskonačnost podijelimo s infinitezimalnim negativnim.
Nadam se da vam je ovaj članak pomogao da shvatite pitanje koje muči većinu ljudi od djetinjstva, zašto ne možete dijeliti sa nulom. Zašto smo primorani da učimo neko pravilo, a ništa nije objašnjeno. Nadam se da vam je članak pomogao da shvatite da zaista ne možete dijeliti sa nulom, a oni koji kažu da možete podijeliti s nulom zapravo misle da možete podijeliti s beskonačno malom vrijednošću.
U školskom kursu aritmetike sve matematičke operacije se izvode sa realnim brojevima. Skup ovih brojeva (ili kontinuirano uređeno polje) ima niz svojstava (aksioma): komutativnost i asocijativnost množenja i sabiranja, postojanje nula, jedan, suprotnih i inverznih elemenata. Također aksiomi reda i kontinuiteta koji se primjenjuju na komparativna analiza, omogućavaju vam da odredite sva svojstva realnih brojeva.
Budući da je dijeljenje inverzna operacija množenja, pri dijeljenju realnih brojeva sa nulom neizbježno nastaju dva nerješiva problema. Prvo, provjera rezultata dijeljenja nulom pomoću množenja nema numerički izraz. Bez obzira koji je broj količnik, ako se pomnoži sa nulom, nemoguće je dobiti dividendu. Drugo, u primjeru 0:0 odgovor može biti apsolutno bilo koji broj, koji kada se pomnoži s djeliteljem uvijek se pretvara u nulu.
Podjela nulom u višoj matematici
Navedene poteškoće dijeljenja sa nulom dovele su do nametanja tabua na ovu operaciju, navodi najmanje, u sklopu školskog kursa. Međutim, u višu matematiku pronađite načine da zaobiđete ovu zabranu.
Na primjer, konstruiranjem različite algebarske strukture, različite od poznate brojevne prave. Primjer takve strukture je točak. Ovdje postoje zakoni i pravila. Konkretno, dijeljenje nije vezano za množenje i pretvara se iz binarne operacije (sa dva argumenta) u unarnu operaciju (sa jednim argumentom), označenu simbolom /x.
Do proširenja polja realnih brojeva dolazi zbog uvođenja hiperrealnih brojeva, koji pokrivaju beskonačno velike i beskonačno male veličine. Ovaj pristup nam omogućava da pojam „beskonačnost“ smatramo određenim brojem. Štaviše, kada se brojevna prava širi, ovaj broj gubi predznak, pretvarajući se u idealizovanu tačku koja spaja dva kraja ove prave. Ovaj pristup se može uporediti sa datumskom linijom, kada se pri kretanju između dvije vremenske zone UTC+12 i UTC-12 možete naći u sljedeći dan ili u prethodnom. U ovom slučaju, izjava x/0=∞ za bilo koji x≠0 postaje tačna.
Da bi se eliminisala nesigurnost 0/0, uvodi se novi element ⏊=0/0 za točak. Istovremeno, ova algebarska struktura ima svoje nijanse: 0 x≠0; x-x≠0 v opšti slučaj. Također x·/x≠1, pošto se dijeljenje i množenje više ne smatraju inverznim operacijama. Ali ove karakteristike točka su dobro objašnjene korištenjem identiteta distributivnog zakona, koji djeluje nešto drugačije u takvoj algebarskoj strukturi. Detaljnija objašnjenja mogu se naći u stručnoj literaturi.
Algebra, na koju su svi navikli, zapravo je poseban slučaj više složeni sistemi, na primjer, isti točak. Kao što vidite, dijeljenje sa nulom moguće je u višoj matematici. Ovo zahtijeva prevazilaženje granica konvencionalnih ideja o brojevima, algebarskim operacijama i zakonima kojima se oni pokoravaju. Iako je ovo sasvim prirodni proces, prateći svaku potragu za novim saznanjima.
Učitavanje...