Primitif. Intégrale indéfinie et ses propriétés aperçu d'une leçon d'algèbre (11e année) sur le sujet. Résumé de la leçon "primitive et intégrale" Leçon primitive et intégrale indéfinie

11e année Orlova E.V.

"La primitive et l'intégrale indéfinie"

DIAPOSITIVE 1

Objectifs de la leçon:

    Éducatif : former et consolider le concept de primitive, trouver des fonctions primitives de différents niveaux.

    Développement: développer l'activité mentale des élèves, basée sur les opérations d'analyse, de comparaison, de généralisation, de systématisation.

    Éducatif: former la vision du monde des étudiants, éduquer de la responsabilité du résultat, un sentiment de réussite.

Type de leçon : apprendre du nouveau matériel.

Équipement: ordinateur, carte multimédia.

Résultats d'apprentissage attendus : l'étudiant doit

    définition de dérivé

    primitive est définie de manière ambiguë.

    trouver des fonctions primitives dans les cas les plus simples

    vérifier si la primitive d'une fonction sur un intervalle de temps donné.

Pendant les cours

    Organisation du temps DIAPOSITIVE 2

    Vérification des devoirs

    Le message du sujet, le but de la leçon, les tâches et la motivation des activités éducatives.

Sur le tableau d'écriture :

Dérivé -produit "une nouvelle fonction".

primitive - Image principale.

4. Actualisation des connaissances, systématisation des connaissances en comparaison.

Différenciation-trouver la dérivée.

L'intégration est la restauration d'une fonction par une dérivée donnée.

Présentation de nouveaux personnages :

5. Exercices oraux :DIAPOSITIVE 3

au lieu de points, mettez une fonction qui satisfait l'égalité.

    autotest de l'élève.

    mise à jour des connaissances des élèves.

5. Apprendre du nouveau matériel.

A) Opérations réciproques en mathématiques.

Enseignant : en mathématiques, il existe 2 opérations mutuellement inverses en mathématiques. Jetons un coup d'œil à la comparaison. DIAPOSITIVE 4

B) Opérations réciproques en physique.

Deux problèmes mutuellement inverses sont considérés dans la section mécanique.

Trouver la vitesse selon l'équation donnée du mouvement d'un point matériel (trouver la dérivée de la fonction) et trouver l'équation de la trajectoire du mouvement en utilisant la formule connue de la vitesse.

C) La définition d'une intégrale primitive indéfinie est introduite

DIAPOSITIVE 5, 6

Enseignant : pour que la tâche devienne plus spécifique, nous devons corriger la situation initiale.

D) Tableau des primitives DIAPOSITIVE 7

Tâches pour la formation de la capacité à trouver le primitif - travail en groupe GLISSER 8

Tâches pour la formation de la capacité de prouver que la primitive est pour une fonction sur un intervalle donné - travail en binôme.

6.FizminutkaDIAPOSITIVE 9

7. Compréhension primaire et application de ce qui a été appris.DIAPOSITIVE 10

8. Définir les devoirsDIAPOSITIVE 11

9. Résumer la leçon.DIAPOSITIVE 12

Au cours de l'enquête frontale, avec les étudiants, les résultats de la leçon sont résumés, une compréhension consciente du concept de nouveau matériel peut prendre la forme d'émoticônes.

Tout compris, tout géré.

    n'a pas compris partiellement (a), n'a pas réussi à tout faire.

Classe: 11

Présentation pour le cours

















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Carte technologique de la leçon d'algèbre 11e année.

"Une personne ne peut reconnaître ses capacités qu'en essayant de les appliquer."
Sénèque le Jeune.

Nombre d'heures par section : 10 heures.

Thème de bloc : Primitive et intégrale indéfinie.

Sujet principal de la leçon : formation de connaissances et de compétences pédagogiques générales à travers un système de tâches typiques, approximatives et à plusieurs niveaux.

Objectifs de la leçon:

  • Éducatif: former et consolider le concept de primitive, trouver des fonctions primitives de différents niveaux.
  • Développement: développer l'activité mentale des élèves, basée sur les opérations d'analyse, de comparaison, de généralisation, de systématisation.
  • Éducatif: former la vision du monde des étudiants, éduquer de la responsabilité du résultat, un sentiment de réussite.

Type de leçon : apprendre du nouveau matériel.

Méthodes d'enseignement: verbal, verbal-visuel, problématique, heuristique.

Formes d'études: individuel, duo, groupe, classe générale.

Moyens d'éducation: information, ordinateur, épigraphe, document.

Résultats d'apprentissage attendus : l'étudiant doit

  • définition de dérivé
  • primitive est définie de manière ambiguë.
  • trouver des fonctions primitives dans les cas les plus simples
  • vérifier si la primitive d'une fonction sur un intervalle de temps donné.

STRUCTURE DE LA LEÇON :

  1. Définir l'objectif de la leçon (2 min)
  2. Préparation à l'apprentissage de nouveaux matériaux (3 min)
  3. Découverte du nouveau matériel (25 min)
  4. Réflexion initiale et application de ce qui a été appris (10 min)
  5. Faire ses devoirs (2 min)
  6. Résumé de la leçon (3 min)
  7. Réserver des affectations.

Pendant les cours

1. Message du sujet, objectif de la leçon, tâches et motivation des activités éducatives.

Sur le tableau d'écriture :

*** Dérivée - "produit" une nouvelle fonction. Primitif - l'image principale.

2. Actualisation des connaissances, systématisation des connaissances en comparaison.

Différenciation-trouver la dérivée.

L'intégration est la restauration d'une fonction par une dérivée donnée.

Présentation de nouveaux personnages :

* exercices oraux : au lieu de points, mettre une fonction qui satisfait l'égalité.(voir présentation) - travail individuel.

(À ce moment, 1 élève écrit des formules de différenciation au tableau, 2 élèves - les règles de différenciation).

  • l'auto-examen est réalisé par les élèves (travail individuel)
  • mise à jour des connaissances des élèves.

3. Apprendre du nouveau matériel.

A) Opérations réciproques en mathématiques.

Enseignant : en mathématiques, il existe 2 opérations mutuellement inverses en mathématiques. Jetons un coup d'œil à la comparaison.

B) Opérations réciproques en physique.

Deux problèmes mutuellement inverses sont considérés dans la section mécanique. Trouver la vitesse selon l'équation donnée du mouvement d'un point matériel (trouver la dérivée de la fonction) et trouver l'équation de la trajectoire du mouvement en utilisant la formule connue de la vitesse.

Exemple 1 page 140 - travail avec un manuel (travail individuel).

Le processus de recherche d'une dérivée par rapport à une fonction donnée est appelé différenciation, et l'opération inverse, c'est-à-dire le processus de recherche d'une fonction par rapport à une dérivée donnée, est appelée intégration.

C) Une définition de la primitive est introduite.

Enseignant : pour que la tâche devienne plus spécifique, nous devons corriger la situation initiale.

Tâches pour la formation de la capacité de trouver le primitif - travail en groupe. (voir présentation)

Tâches pour la formation de la capacité de prouver que la primitive est pour une fonction sur un intervalle donné - travail en binôme. (voir présentation)

4. Compréhension primaire et application de ce qui a été appris.

Exemples avec solutions "Trouver une erreur" - travail individuel.(Voir la présentation)

*** effectuer une contre-vérification.

Conclusion : lors de l'exécution de ces tâches, il est facile de remarquer que la primitive est déterminée de manière ambiguë.

5. Définir les devoirs

Lisez le texte explicatif chapitre 4 paragraphe 20, mémorisez la définition de 1. primitif, résolvez n ° 20.1 -20.5 (c, d) - une tâche obligatoire pour tout le monde n ° 20.6 (b), 20.7 (c, d), 20.8 ( b), 20.9 (b) - 4 exemples au choix.

6. Résumer la leçon.

Au cours de l'enquête frontale, avec les étudiants, les résultats de la leçon sont résumés, une compréhension consciente du concept de nouveau matériel peut prendre la forme d'émoticônes.

Tout compris, tout géré.

Partiellement n'a pas compris (a), n'a pas réussi à tout faire.

7. Réserver des tâches.

En cas d'achèvement précoce par toute la classe des tâches proposées ci-dessus, pour assurer l'emploi et le développement des élèves les plus préparés, il est également prévu d'utiliser les tâches n° 20.6 (a), 20.7 (a), 20.9 (a)

Littérature:

  1. A. G. Mordkovitch, P.V. Semenov, Algèbre d'analyse, niveau de profil, partie 1, livre de problèmes de la partie 2, Manvelov S. G. "Fondamentaux du développement de leçons créatives."

Sujet de la leçon : Primitif. Intégrale indéfinie et ses propriétés

Objectifs de la leçon:

Éducatif:

familiariser les élèves avec les concepts de primitive et d'intégrale indéfinie, la propriété principale de la primitive et les règles de recherche de la primitive et de l'intégrale indéfinie.

Développement:

développer des compétences pour le travail indépendant,

pour activer l'activité mentale, le discours mathématique.

Éducatif:

cultiver le sens des responsabilités quant à la qualité et au résultat du travail effectué ;

forme la responsabilité du résultat final.

Taper cours : messages de nouvelles connaissances

Méthode de conduite : travail verbal, visuel, indépendant.

Sécurité cours :

équipements et logiciels multimédias pour l'affichage de présentations et de vidéos ;

Polycopié : un tableau d'intégrales simples (au stade de la consolidation).

Structuration de la leçon.

1. Moment organisationnel (2 min.)

    Motivation de l'activité éducative. (5 min.)

    Présentation du nouveau matériel. (50 min.)

    Consolidation du matériel étudié. (25 min.)

    Résumé de la leçon. Réflexion. (6 min.)

    Message de devoirs. (2 min.)

Progression du cours.

    Organisation du temps. (2 minutes.)

méthodes d'enseignement

Techniques d'enseignement

L'enseignant accueille les élèves, contrôle les personnes présentes dans le public.

Les élèves se préparent pour le travail. Le chef remplit un rapport. Les agents distribuent des documents.

    Motivation de l'activité éducative. ( 5 minutes.)

méthodes d'enseignement

Techniques d'enseignement

Sujet de la leçon d'aujourd'hui"Ancien.Intégrale indéfinie et ses propriétés".(Diapositive 1)

Les connaissances sur ce sujet seront utilisées par nous dans les leçons suivantes lors de la recherche de certaines intégrales, zones de figures plates. Une grande attention est accordée au calcul intégral dans les sections de mathématiques supérieures des établissements d'enseignement supérieur lors de la résolution de problèmes appliqués.

Notre leçon d'aujourd'hui est la leçon d'étudier de nouveaux matériaux, elle sera donc de nature théorique. Le but de la leçon est de former des idées sur le calcul intégral, de comprendre son essence, de développer des compétences pour trouver des primitives et des intégrales indéfinies.(Diapositive 2)

Les élèves notent la date et le sujet de la leçon.

3. Présentation du nouveau matériel (50 mn)

méthodes d'enseignement

Techniques d'enseignement

1. Nous avons récemment parcouru le sujet "Dérivées de certaines fonctions élémentaires". Par example:

Fonction dérivéeF (x)= X 9 , Nous savons queF ′(x)= 9x 8 . Considérons maintenant un exemple de recherche d'une fonction dont la dérivée est connue.

Supposons qu'on nous donne une dérivéeF ′(x)= 6x 5 . En utilisant la connaissance de la dérivée, nous pouvons déterminer quelle est la dérivée de la fonctionF (x)= X 6 . Une fonction qui peut être déterminée par sa dérivée est appelée primitive. (Donnez une définition de la primitive. (diapositive 3))

Définition 1 : Une fonction F ( X ) est appelée primitive pour la fonction F ( X ) sur le segment [ un; b], si l'égalité est vraie en tout point de ce segment = F ( X )

Exemple 1 (diapositive 4) : Prouvons que pour toutxϵ(-∞;+∞) une fonctionF ( X )=x 5 -5x F (x)=5 X 4 -5.

Preuve : En utilisant la définition de primitive, on trouve la dérivée de la fonction

=(X 5 -5x)′=(x 5 )′-(5х)′=5 X 4 -5.

Exemple 2 (diapositive 5) : Prouvons que pour toutxϵ(-∞;+∞) une fonctionF ( X )= ne pasest la primitive de la fonctionF (x)= .

Prouver avec les élèves au tableau.

Nous savons que trouver la dérivée s'appelledifférenciation . Trouver une fonction par sa dérivée s'appelleral'intégration. (Diapositive 6). Le but de l'intégration est de trouver toutes les primitives d'une fonction donnée.

Par exemple : (diapositive 7)

La propriété principale de la primitive :

Théorème : SiF ( X ) - une des primitives de la fonction F (X) sur l'intervalle X, alors l'ensemble de toutes les primitives de cette fonction est déterminé par la formule g ( X )= F ( X )+ C où C est un nombre réel.

(Diapositive 8) tableau des primitives

Trois règles pour trouver des primitives

Règle 1: Si un Fil existe une primitive pour la fonctionF, un g- d'origine pourg, alors F+ g- il existe un prototype pourF+ g.

(F(x) + G(x))' = F'(x) + G'(x) = f + g

Règle #2 : Si un F- d'origine pourF, un kest constante, alors la fonctionkF- d'origine pourkf.

(kF)’ = kF’ = kf

Règle #3 : Si un F- d'origine pourF, un k et b sont des constantes (), alors la fonction

primitive pourF(kx+ b).

L'histoire du concept d'intégrale est étroitement liée aux problèmes de recherche de quadratures. Les mathématiciens de la Grèce antique et de Rome ont qualifié les problèmes de mise au carré de l'une ou l'autre figure plate de problèmes que nous appelons maintenant des problèmes de calcul d'aires. De nombreuses réalisations importantes des mathématiciens de la Grèce antique dans la résolution de ces problèmes sont associées à l'utilisation de l'épuisement méthode proposée par Eudoxe de Cnide. Avec cette méthode, Eudoxe a prouvé :

1. Les aires de deux cercles sont liées comme les carrés de leurs diamètres.

2. Le volume d'un cône est égal à 1/3 du volume d'un cylindre ayant la même hauteur et la même base.

La méthode d'Eudoxe a été perfectionnée par Archimède et les choses suivantes ont été prouvées :

1. Dérivation de la formule de l'aire d'un cercle.

2. Le volume de la sphère est égal aux 2/3 du volume du cylindre.

Toutes les réalisations ont été prouvées par de grands mathématiciens en utilisant des intégrales.

Revenons au théorème 1 et dérivons une nouvelle définition.

Définition 2 : Expression F ( X ) + C , où C - une constante arbitraire, appelée intégrale indéfinie et notée par le symbole

De la définition nous avons :

(1)

Intégrale indéfinie d'une fonctionF(X), est donc l'ensemble de toutes les fonctions primitives pourF(X) .

Dans l'égalité (1), la fonctionF(X) est appelé intégrande , et l'expression F(X) dx– intégrande , variable X – variable d'intégration , terme C - constante d'intégration .

L'intégration est l'inverse de la différenciation. Pour vérifier si l'intégration est correcte, il suffit de dériver le résultat et d'obtenir l'intégrande.

Propriétés de l'intégrale indéfinie.

Sur la base de la définition d'une primitive, il est facile de prouver ce qui suitpropriétés de l'intégrale indéfinie

    L'intégrale indéfinie de la différentielle d'une fonction est égale à cette fonction plus une constante arbitraire

    L'intégrale indéfinie de la somme algébrique de deux fonctions ou plus est égale à la somme algébrique de leurs intégrales

    Le facteur constant peut être extrait du signe intégral, c'est-à-dire siun= constante, alors

Les élèves enregistrent le cours à l'aide du polycopié et des explications de l'enseignant. Lorsqu'ils prouvent les propriétés des primitives et des intégrales, ils utilisent des connaissances sur le thème de la différenciation.

4. Tableau des intégrales simples

1. ,( n -1) 2.

3. 4.

5. 6.

Les intégrales contenues dans ce tableau sont appeléestabulaire . Notons un cas particulier de formule 1 :

Voici une autre formule évidente :

Cours d'algèbre en 12e année.

Thème de la leçon : « Antiprimitif. Intégral"

Objectifs:

    éducatif

Généraliser et consolider le matériel sur ce sujet: la définition et la propriété de la primitive, le tableau des primitives, les règles de recherche des primitives, le concept d'intégrale, la formule de Newton-Leibniz, le calcul des aires des figures. Diagnostiquer l'assimilation du système de connaissances et de compétences et son application pour effectuer des tâches pratiques d'un niveau standard avec le passage à un niveau supérieur, favoriser le développement de la capacité d'analyser, de comparer, de tirer des conclusions.

    Éducatif

effectuer des tâches d'une complexité accrue, développer des compétences d'apprentissage générales et apprendre à penser et à exercer le contrôle et la maîtrise de soi

    éducateurs

Pour éduquer, une attitude positive à l'apprentissage, aux mathématiques

Type de leçon : Généralisation et systématisation des connaissances

Formes de travail : collectif, individuel, différencié

Matériel : fiches pour le travail autonome, pour le travail différencié, fiche d'autocontrôle, projecteur.

Pendant les cours

    Organisation du temps

Buts et objectifs de la leçon: Résumer et consolider le matériel sur le thème «Antiprimitif. Intégrale - définition et propriété de la primitive, table des primitives, règles de recherche des primitives, concept d'intégrale, formule de Newton-Leibniz, calcul de l'aire des figures. Diagnostiquer l'assimilation du système de connaissances et de compétences et son application pour effectuer des tâches pratiques d'un niveau standard avec le passage à un niveau supérieur, favoriser le développement de la capacité d'analyser, de comparer, de tirer des conclusions.

La leçon sera sous forme de jeu.

Règles:

La leçon se compose de 6 étapes. Chaque étape vaut un certain nombre de points. Dans la fiche d'évaluation, vous fixez des points pour votre travail à toutes les étapes.

Étape 1. Théorique. Dictée mathématique "Tic-tac-toe".

Étape 2. Pratique. Travail indépendant. Trouver l'ensemble de toutes les primitives.

Étape 3. "Euh c'est bien, mais 2 c'est mieux." Travail sur cahiers et 2 élèves sur les revers du tableau. Trouver la primitive de la fonction dont le graphe passe par le point A).

4. étape. "Rectifiez des fautes".

5. étape. "Faire un mot" Calcul d'intégrales.

6. étape. "Dépêchez-vous de voir." Calcul des aires des figures délimitées par des lignes.

2. Feuille d'évaluation.

Mathématique

Dictation

Travail indépendant

Réponse orale

Rectifiez des fautes

Invente un mot

hâte de voir

9 points

5+1 points

1 points

5 points

5 points

20 points

3 min.

5 minutes.

5 minutes.

6 minutes

2. Mise à jour des connaissances :

    organiser. Théorique. Dictée mathématique "Tic-tac-toe"

Si l'énoncé est vrai - X, si faux - 0

    Une fonction F(X) est dite primitive sur un intervalle donné si pour tout х de cet intervalle l'égalité

    La primitive d'une fonction puissance est toujours une fonction puissance

    Primitive d'une fonction complexe

    C'est la formule de Newton-Leibniz

    Aire d'un trapèze curviligne

    Primitive de la somme des fonctions = somme des primitives considérées sur un intervalle donné

    Les graphes des fonctions primitives sont obtenus par translation parallèle le long de l'axe X par une constante C.

    Le produit d'un nombre par une fonction est égal au produit de ce nombre par la primitive de la fonction donnée.

    L'ensemble de toutes les primitives a la forme

Réponse orale - 1 point

Total 9 points

3. Consolidation et généralisation

2 organiser . Travail indépendant.

"Les exemples enseignent mieux que la théorie."

Isaac Newton

Trouvez l'ensemble de toutes les primitives :

1 option

L'ensemble de toutes les primitives L'ensemble de toutes les primitives

    option

L'ensemble de toutes les primitives L'ensemble de toutes les primitives

Auto-test.

Pour des tâches correctement réalisées

Variante 1 - 5 points,

pour l'option 2 +1 point

1 point pour l'ajout.

    organiser . "L'esprit c'est bien, un - 2 c'est mieux."

Travail sur les revers du tableau de deux élèves et tout le reste dans des cahiers.

Exercer

1 option. Trouver la primitive de la fonction dont le graphe passe par le point A (3; 2)

Option 2. Trouver la primitive d'une fonction dont le graphe passe par l'origine.

Vérification mutuelle.

Pour la bonne solution -5 points.

    organiser . Si vous voulez, croyez - si vous voulez, vérifiez.

Tâche : corriger les erreurs, le cas échéant.

Rechercher des exercices avec une erreur :

    Organiser . Composer un mot.

Calculer les intégrales

1 option.

    option.

Réponse : BRAVO

Auto-test. Pour une tâche correctement accomplie - 5 points.

    organiser. "Dépêchez-vous de voir."

calcul zones de figures délimitées par des lignes.

Tâche : dessiner une figure et calculer son aire.

    2 points

    2 points

    4 pointes

    6 points

    6 points

Vérifié individuellement avec le professeur.

Pour toutes les tâches correctement accomplies - 20 points

    En résumé :

La leçon a couvert les principales questions

LEÇON OUVERTE SUR LE SUJET

« INTÉGRALE GÉNÉRALE ET INDÉTERMINÉE.

PROPRIÉTÉS DE L'INTÉGRALE INDÉTERMINÉE ».

2 heures.

Classe 11a avec approfondissement des mathématiques

Présentation du problème.

Technologies d'apprentissage par recherche de problèmes.

INTÉGRALE PRIMAIRE ET INDÉTERMINÉE.

PROPRIÉTÉS DE L'INTÉGRALE INDÉTERMINÉE.


LE BUT DE LA LEÇON :

Activer l'activité mentale;

Contribuer à l'assimilation des méthodes de recherche


- d'assurer une assimilation plus solide des connaissances.

OBJECTIFS DE LA LEÇON:


  • introduire le concept de primitive;

  • prouver le théorème sur l'ensemble des primitives pour une fonction donnée (en utilisant la définition d'une primitive);

  • introduire la définition d'une intégrale indéfinie ;

  • prouver les propriétés de l'intégrale indéfinie;

  • développer les compétences d'utilisation des propriétés de l'intégrale indéfinie.

TRAVAUX PRÉLIMINAIRES :


  • répéter les règles et les formules de différenciation

  • notion de différentiel.
PENDANT LES COURS
Il est proposé de résoudre des problèmes. Les problèmes sont écrits au tableau.

Les élèves donnent des réponses pour résoudre les problèmes 1, 2.

(Mise à jour de l'expérience de résolution de problèmes sur l'utilisation de différentiel

citant).


1. La loi du mouvement du corps S(t) , trouver son instantanné

vitesse à un moment donné.


- V(t) = S(t).
2. Sachant que la quantité d'électricité circulant

à travers le conducteur s'exprime par la formule q (t) = 3t - 2 t,

dériver une formule pour calculer la force actuelle dans n'importe quel

instant t.


- je (t) = 6t - 2.

3 . Connaître la vitesse d'un corps en mouvement à chaque instant

moi, pour trouver la loi de son mouvement.


  1. Sachant que l'intensité du courant traversant le conducteur dans tout
point de bataille dans le temps I (t) = 6t - 2 , dérivez une formule pour

déterminer la quantité d'électricité passant

par le conducteur.
Enseignant : Est-il possible de résoudre les problèmes 3 et 4 en utilisant

les fonds dont nous disposons ?

(Création d'une situation problématique).
L'élève devine :
- Pour résoudre ce problème, il faut introduire une opération,

le contraire de différenciation.

L'opération de différenciation compare à un

fonction F (x) sa dérivée.


F(x) = f(x).

Enseignant : Quelle est la tâche de la différenciation ?


Bilan des élèves :

Sur la base de la fonction donnée f (x), trouver une telle fonction

F (x) dont la dérivée est f (x) , c'est-à-dire
f(x) = F(x) .


Cette opération est appelée intégration, plus précisément

intégration indéfinie.


La section des mathématiques qui étudie les propriétés de l'opération des fonctions d'intégration et ses applications à la résolution de problèmes de physique et de géométrie est appelée calcul intégral.
Le calcul intégral est une section de l'analyse mathématique, avec le calcul différentiel, il forme la base de l'appareil d'analyse mathématique.

Le calcul intégral est né de l'examen d'un grand nombre de problèmes en sciences naturelles et en mathématiques. Le plus important d'entre eux est le problème physique de la détermination de la distance parcourue en un temps donné le long d'une vitesse de déplacement connue, mais peut-être variable, et un problème beaucoup plus ancien - le calcul des aires et des volumes de figures géométriques.


Quelle est l'incertitude de cette opération inverse reste à voir.
Introduisons une définition. (brièvement écrit symboliquement

Sur le bureau).


Définition 1. La fonction F (x) définie sur un intervalle

ke X, est appelée la primitive de la fonction donnée

sur le même intervalle si pour tout x X

égalité

F(x) = f (x) ou ré F(x) = f (x) dx .
Par example. (x) = 2x, cette égalité implique que la fonction

x est primitive sur la droite des nombres entiers

pour la fonction 2x.

En utilisant la définition d'une primitive, faites l'exercice


N° 2 (1,3,6) . Vérifier que la fonction F est une primitive

noah pour la fonction f, si


1) F(x) =
2 cos 2x , f (x) = x - 4 péché 2x .

2) F(x) = tg x - cos 5x, f (x) =
+ 5 péché 5x.

3) F(x) = x péché x +
, f(x) = 4x sinx + x cosx +
.

Les solutions aux exemples sont écrites au tableau par les élèves, les commentaires

conduire vos actions.

La fonction x est-elle la seule primitive

pour la fonction 2x ?

Les élèves donnent des exemples

x + 3 ; x-92, etc... ,


Les élèves tirent leurs propres conclusions :
Chaque fonction a une infinité de primitives.
Toute fonction de la forme x + C, où C est un nombre,

est la primitive de x.


Le théorème de la primitive est écrit dans un cahier sous la dictée

enseignants.


Théorème. Si la fonction f admet une primitive sur l'intervalle

F, alors pour tout nombre C la fonction F + C aussi

est la primitive de f . Autres primitives

la fonction f sur X ne le fait pas.


La preuve est effectuée par des étudiants sous la direction d'un enseignant.
a) Parce que F est la primitive de f sur l'intervalle X, alors

F(x) = f(x) pour tout x X.

Alors pour x X pour tout C on a :

(F(x) + C) = f(x) . Cela signifie que F (x) + C est aussi

primitive f sur X.

b) Montrons que pour les autres primitives sur X la fonction f

n'a pas.

Supposons que Ф soit aussi une primitive de f sur X.

Alors Ф(x) = f (x) et donc pour tout x X on a :

Ф (x) - F (x) = f (x) - f (x) = 0, donc

Ф - F est constant sur X. Soit Ф (x) - F (x) = C, alors

Ф (x) = F (x) + C, donc toute primitive

la fonction f sur X a la forme F + C.

Enseignant: quelle est la tâche de trouver tous les prototypes

pour cette fonction ?

Les élèves arrivent à la conclusion suivante :

Le problème de trouver toutes les primitives est résolu

trouver quelqu'un : si un tel

différent est trouvé, alors tout autre en est obtenu

ajouter une constante.


L'enseignant formule la définition d'une intégrale indéfinie.
Définition 2. L'ensemble de toutes les primitives de la fonction f

est appelée l'intégrale indéfinie de ce

les fonctions.
La désignation.
; - l'intégrale est lue.
= F (x) + C, où F est l'une des primitives

pour f , C parcourt l'ensemble

nombres réels.

f - intégrande ;

f (x)dx - intégrande ;

x - variable d'intégration ;

C est la constante d'intégration.
Les élèves étudient seuls les propriétés de l'intégrale indéfinie du manuel et les écrivent dans un cahier.

.

Les étudiants écrivent des solutions dans des cahiers, travaillant au tableau noir

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