Dans l’un des articles précédents, nous avons déjà évoqué le pouvoir des nombres. Aujourd'hui, nous allons essayer de naviguer dans le processus visant à trouver son sens. Scientifiquement parlant, nous verrons comment élever correctement une puissance. Nous découvrirons comment ce processus se déroule, et en même temps nous aborderons tous les exposants possibles : naturel, irrationnel, rationnel, entier.
Examinons donc de plus près les solutions des exemples et découvrons ce que cela signifie :
- Définition du concept.
- S'élever à l'art négatif.
- Tout un indicateur.
- Élever un nombre à une puissance irrationnelle.
Voici une définition qui reflète fidèlement le sens : « L’exponentiation est la définition de la valeur d’une puissance d’un nombre. »
En conséquence, l'augmentation du chiffre a à l'art. r et le processus de recherche de la valeur du degré a avec l'exposant r sont des concepts identiques. Par exemple, si la tâche consiste à calculer la valeur de la puissance (0,6)6″, elle peut alors être simplifiée par l’expression « Élever le nombre 0,6 à la puissance 6 ».
Après cela, vous pouvez passer directement aux règles de construction.
Élever à une puissance négative
Pour plus de clarté, vous devez faire attention à la chaîne d'expressions suivante :
110=0,1=1* 10 moins 1 cuillère à soupe,
1100=0,01=1*10 en moins 2 degrés,
11000=0,0001=1*10 en moins 3 st.,
110000=0,00001=1*10 à moins 4 degrés.
Grâce à ces exemples, vous pouvez clairement voir la possibilité de calculer instantanément 10 à n'importe quelle puissance moins. Pour cela, il suffit de décaler simplement la composante décimale :
- 10 au degré -1 - avant un il y a 1 zéro ;
- en -3 - trois zéros avant un ;
- en -9 il y a 9 zéros et ainsi de suite.
Il est également facile de comprendre à partir de ce diagramme combien représenteront 10 moins 5 cuillères à soupe. -
1100000=0,000001=(1*10)-5.
Comment élever un nombre à une puissance naturelle
En nous souvenant de la définition, nous prenons en compte que entier naturel a à l'art. n est égal au produit de n facteurs, dont chacun est égal à a. Illustrons : (a*a*…a)n, où n est le nombre de nombres multipliés. Ainsi, pour élever a à n, il est nécessaire de calculer le produit de la forme suivante : a*a*…a divisé par n fois.
De là, il devient évident que s'élevant au st naturel. repose sur la capacité d'effectuer des multiplications(ce matériel est traité dans la section sur la multiplication des nombres réels). Regardons le problème :
Relever -2 jusqu'à la 4ème m.
Nous avons affaire à un indicateur naturel. En conséquence, le déroulement de la décision sera le suivant : (-2) à l'art. 4 = (-2)*(-2)*(-2)*(-2). Il ne reste plus qu'à multiplier les entiers : (-2)*(-2)*(-2)*(-2). Nous en obtenons 16.
Réponse au problème :
(-2) à l’art. 4=16.
Exemple:
Calculez la valeur : trois virgule deux septièmes au carré.
Cet exemple est égal au produit suivant : trois virgule deux septièmes multiplié par trois virgule deux septièmes. En rappelant comment les nombres fractionnaires sont multipliés, nous terminons la construction :
- 3 virgule 2 septièmes multipliés par eux-mêmes ;
- est égal à 23 septièmes multiplié par 23 septièmes ;
- est égal à 529 quarante-neuvièmes ;
- on réduit et on obtient 10 trente-neuf quarante-neuvième.
Répondre: 10 39/49
Concernant la question de l'élévation à un exposant irrationnel, il convient de noter que les calculs commencent à être effectués après l'arrondi préliminaire de la base du degré à n'importe quel chiffre permettant d'obtenir la valeur avec une précision donnée. Par exemple, nous devons mettre au carré le nombre P (pi).
On commence par arrondir P au centième et on obtient :
P au carré = (3,14)2=9,8596. Cependant, si l’on réduit P à dix millièmes, on obtient P = 3,14159. La mise au carré donne alors un nombre complètement différent : 9,8695877281.
Il convient de noter ici que dans de nombreux problèmes, il n’est pas nécessaire d’élever des chiffres irrationnels au rang de puissances. En règle générale, la réponse est saisie soit sous la forme du degré réel, par exemple racine de 6 puissance 3, soit, si l'expression le permet, sa transformation est effectuée : racine de 5 à 7 degrés = 125 racine de 5.
Comment élever un nombre à une puissance entière
Cette manipulation algébrique est appropriée prendre en compte pour les cas suivants :
- pour les entiers ;
- pour un indicateur zéro ;
- pour un exposant entier positif.
Puisque presque tous les entiers positifs coïncident avec la masse des nombres naturels, la mise à une puissance entière positive est le même processus que la mise à l'Art. naturel. Nous avons décrit ce processus dans le paragraphe précédent.
Parlons maintenant du calcul de st. nul. Nous avons déjà découvert plus haut que la puissance nulle du nombre a peut être déterminée pour tout a non nul (réel), alors que a dans l'Art. 0 sera égal à 1.
En conséquence, élever n'importe quel nombre réel à zéro st. en donnera un.
Par exemple, 10 dans la maille 0=1, (-3,65)0=1 et 0 dans la maille. 0 ne peut pas être déterminé.
Afin de compléter l'élévation à une puissance entière, il reste à décider des options pour les valeurs entières négatives. Nous rappelons que l'Art. à partir de a avec un exposant entier -z sera défini comme une fraction. Le dénominateur de la fraction est st. avec une valeur entière positive, dont nous avons déjà appris à trouver la valeur. Il ne reste plus qu'à considérer un exemple de construction.
Exemple:
Calculez la valeur du nombre 2 au cube avec un exposant entier négatif.
Processus de résolution :
D'après la définition d'un degré avec un exposant négatif, on note : deux moins 3 degrés. est égal à un à deux à la puissance trois.
Le dénominateur se calcule simplement : deux au cube ;
3 = 2*2*2=8.
Répondre: deux puissance moins 3ème art. = un huitième.
L’élévation à une puissance négative est l’un des éléments de base des mathématiques, souvent rencontré dans la résolution de problèmes algébriques. Vous trouverez ci-dessous des instructions détaillées.
Comment élever à une puissance négative - théorie
Lorsqu’on élève un nombre à une puissance ordinaire, on multiplie sa valeur plusieurs fois. Par exemple, 3 3 = 3×3×3 = 27. Avec une fraction négative, l’inverse est vrai. La forme générale de la formule sera vue suivante: une -n = 1/une n . Ainsi, pour élever un nombre à une puissance négative, il faut diviser un par le nombre donné, mais à une puissance positive.
Comment élever à une puissance négative - exemples sur des nombres ordinaires
En gardant à l'esprit la règle ci-dessus, résolvons quelques exemples.
4 -2 = 1/4 2 = 1/16
Réponse : 4 -2 = 1/16
4 -2 = 1/-4 2 = 1/16.
Réponse -4 -2 = 1/16.
Mais pourquoi les réponses dans le premier et le deuxième exemples sont-elles les mêmes ? Le fait est que lors de la construction nombre négatifà une puissance paire (2, 4, 6, etc.), le signe devient positif. Si le diplôme était pair, alors le moins resterait :
4 -3 = 1/(-4) 3 = 1/(-64)
Comment élever à une puissance négative - nombres de 0 à 1
Rappelons que lorsqu'un nombre compris entre 0 et 1 est élevé à une puissance positive, la valeur diminue à mesure que la puissance augmente. Ainsi par exemple, 0,5 2 = 0,25. 0,25
Exemple 3 : Calculer 0,5 -2
Solution : 0,5 -2 = 1/1/2 -2 = 1/1/4 = 1×4/1 = 4.
Réponse : 0,5 -2 = 4
Analyse (séquence d'actions) :
- Convertissez la fraction décimale 0,5 en fraction fractionnaire 1/2. C'est plus facile ainsi.
Élevez 1/2 à une puissance négative. 1/(2)-2 . Divisez 1 par 1/(2) 2, nous obtenons 1/(1/2) 2 => 1/1/4 = 4
Exemple 4 : Calculer 0,5 -3
Solution : 0,5 -3 = (1/2) -3 = 1/(1/2) 3 = 1/(1/8) = 8
Exemple 5 : Calculer -0,5 -3
Solution : -0,5 -3 = (-1/2) -3 = 1/(-1/2) 3 = 1/(-1/8) = -8
Réponse : -0,5 -3 = -8
Sur la base des 4ème et 5ème exemples, nous pouvons tirer plusieurs conclusions :
- Pour un nombre positif compris entre 0 et 1 (exemple 4), élevé à une puissance négative, que la puissance soit paire ou impaire n'a pas d'importance, la valeur de l'expression sera positive. De plus, plus le degré est élevé, plus la valeur est élevée.
- Pour un nombre négatif compris entre 0 et 1 (exemple 5), élevé à une puissance négative, que la puissance soit paire ou impaire n'a pas d'importance, la valeur de l'expression sera négative. Dans ce cas, plus le degré est élevé, plus la valeur est faible.
Comment élever à une puissance négative - une puissance sous la forme d'un nombre fractionnaire
Expressions de ce genre avoir la forme suivante : a -m/n, où a est un nombre régulier, m est le numérateur du degré, n est le dénominateur du degré.
Regardons un exemple :
Calculer : 8 -1/3
Solution (séquence d'actions) :
- Rappelons la règle pour élever un nombre à une puissance négative. On obtient : 8 -1/3 = 1/(8) 1/3.
- Notez que le dénominateur a le nombre 8 dans une puissance fractionnaire. La forme générale de calcul d’une puissance fractionnaire est la suivante : a m/n = n √8 m.
- Ainsi, 1/(8) 1/3 = 1/(3 √8 1). Nous obtenons la racine cubique de huit, qui est égale à 2. D’ici, 1/(8) 1/3 = 1/(1/2) = 2.
- Réponse : 8 -1/3 = 2
Depuis l'école, nous connaissons tous la règle de l'exponentiation : tout nombre avec un exposant N est égal au résultat de la multiplication. numéro donnéà vous-même N nombre de fois. En d'autres termes, 7 à la puissance 3 est 7 multiplié par lui-même trois fois, soit 343. Une autre règle est qu'élever n'importe quelle quantité à la puissance 0 en donne un, et élever une quantité négative est le résultat d'une augmentation ordinaire à la puissance si elle est paire, et le même résultat avec un signe moins si elle est impaire.
Les règles donnent également la réponse sur la façon d’élever un nombre à une puissance négative. Pour ce faire, vous devez augmenter la valeur requise du module de l'indicateur de la manière habituelle, puis diviser l'unité par le résultat.
Il ressort clairement de ces règles que la mise en œuvre de vrais problèmes la manipulation de grandes quantités nécessitera de la disponibilité moyens techniques. Manuellement, vous pouvez multiplier vous-même une plage maximale de nombres allant de vingt à trente, puis pas plus de trois ou quatre fois. Cela ne veut pas dire qu’il faut ensuite diviser un par le résultat. Par conséquent, pour ceux qui n'ont pas de calculatrice d'ingénierie spéciale à portée de main, nous vous expliquerons comment élever un nombre à une puissance négative dans Excel.
Résoudre des problèmes dans Excel
Pour résoudre des problèmes impliquant une exponentiation, Excel vous permet d'utiliser l'une des deux options suivantes.
La première est l’utilisation d’une formule avec un signe « couvercle » standard. Entrez les données suivantes dans les cellules de la feuille de calcul :
De la même manière, vous pouvez augmenter la valeur souhaitée à n'importe quelle puissance - négative, fractionnaire. Faisons-le les actions suivantes et répondez à la question de savoir comment élever un nombre à une puissance négative. Exemple:
Vous pouvez corriger =B2^-C2 directement dans la formule.
La deuxième option consiste à utiliser la fonction « Degré » prête à l'emploi, qui prend deux arguments obligatoires : un nombre et un exposant. Pour commencer à l'utiliser, placez simplement le signe égal (=) dans n'importe quelle cellule libre, indiquant le début de la formule, et entrez les mots ci-dessus. Il ne reste plus qu'à sélectionner deux cellules qui participeront à l'opération (ou à spécifier manuellement des numéros spécifiques) et à appuyer sur la touche Entrée. Regardons quelques exemples simples.
Formule | Résultat |
||||
DIPLÔME(B2;C2) | |||||
DIPLÔME(B3;C3) |
|
Comme vous pouvez le constater, il n’y a rien de compliqué sur la façon d’élever un nombre à une puissance négative et à une puissance régulière à l’aide d’Excel. Après tout, pour résoudre ce problème, vous pouvez utiliser à la fois le symbole familier du « couvercle » et la fonction intégrée du programme, facile à retenir. C'est un plus indéniable !
Passons à plus exemples complexes. Rappelons-nous la règle sur la façon d'élever un nombre à une puissance fractionnaire négative, et nous verrons que ce problème est très facilement résolu dans Excel.
Indicateurs fractionnaires
En bref, l'algorithme de calcul d'un nombre avec un exposant fractionnaire est le suivant.
- Convertir une fraction en une fraction correcte ou fraction impropre.
- Élevons notre nombre au numérateur de la fraction convertie résultante.
- A partir du nombre obtenu dans le paragraphe précédent, calculez la racine, à condition que l'exposant de la racine soit le dénominateur de la fraction obtenue à la première étape.
Convenez que même en opérant avec de petits nombres et des fractions appropriées, de tels calculs peuvent prendre beaucoup de temps. C’est bien que le tableur Excel ne se soucie pas de savoir quel nombre est élevé à quelle puissance. Essayez de résoudre l'exemple suivant sur une feuille de calcul Excel :
En utilisant les règles ci-dessus, vous pouvez vérifier et vous assurer que le calcul a été effectué correctement.
A la fin de notre article, nous présenterons sous forme de tableau avec formules et résultats plusieurs exemples de comment élever un nombre à une puissance négative, ainsi que plusieurs exemples d'opérations avec des nombres fractionnaires et des puissances.
Exemple de tableau
Consultez les exemples suivants dans votre feuille de calcul Excel. Pour que tout fonctionne correctement, vous devez utiliser une référence mixte lors de la copie de la formule. Fixez le numéro de la colonne contenant le numéro à augmenter et le numéro de la ligne contenant l'indicateur. Votre formule devrait ressembler à ceci : "=$B4^C$3".
Numéro/Degré | |||||
Veuillez noter que les nombres positifs (même non entiers) peuvent être calculés sans problème pour n'importe quel exposant. Il n'y a aucun problème à élever des nombres à des nombres entiers. Mais élever un nombre négatif à une puissance fractionnaire s'avérera être une erreur pour vous, puisqu'il est impossible de suivre la règle indiquée au début de notre article sur l'augmentation des nombres négatifs, car la parité est une caractéristique exclusivement d'un nombre ENTIER.
Un nombre élevé à une puissance Ils appellent un numéro multiplié par lui-même plusieurs fois.
Puissance d'un nombre avec une valeur négative (un) peut être déterminé de la même manière que la façon dont la puissance du même nombre avec un exposant positif est déterminée (un) . Cependant, cela nécessite également une définition supplémentaire. La formule est définie comme suit :
un = (1/un n)
Les propriétés des puissances négatives des nombres sont similaires à celles des puissances à exposant positif. Équation présentée un m/a n= un m-n peut être juste comme
« Nulle part, comme en mathématiques, la clarté et l'exactitude de la conclusion ne permettent à une personne d'échapper à une réponse en contournant la question.».
A.D. Alexandrov
à n plus m , et avec m plus n . Regardons un exemple : 7 2 -7 5 =7 2-5 =7 -3 .
Vous devez d’abord déterminer le nombre qui sert de définition du diplôme. b=une(-n) . Dans cet exemple -n est un exposant b - la valeur numérique souhaitée, un - la base du diplôme sous forme de titre naturel valeur numérique. Déterminez ensuite le module, c'est-à-dire la valeur absolue d'un nombre négatif, qui fait office d'exposant. Calculer le degré d'un nombre donné par rapport à un nombre absolu, comme indicateur. La valeur du degré se trouve en divisant un par le nombre obtenu.
Riz. 1
Considérons la puissance d'un nombre avec un exposant fractionnaire négatif. Imaginons que le nombre a soit n'importe quel nombre positif, nombres n Et m - des entiers. Selon la définition un , qui est élevé au pouvoir - est égal à un divisé par le même nombre avec une puissance positive (Figure 1). Lorsque la puissance d’un nombre est une fraction, dans de tels cas, seuls les nombres avec des exposants positifs sont utilisés.
Cela vaut le coup de s'en souvenir que zéro ne peut jamais être l'exposant d'un nombre (la règle de la division par zéro).
La diffusion d'un concept tel que le nombre est devenue une manipulation telle que les calculs de mesure, ainsi que le développement des mathématiques en tant que science. L'introduction de valeurs négatives était due au développement de l'algèbre, qui donnait des solutions générales problèmes arithmétiques, quelles que soient leur signification spécifique et leurs données numériques initiales. En Inde, aux VIe-XIe siècles, les nombres négatifs étaient systématiquement utilisés pour résoudre des problèmes et étaient interprétés de la même manière qu'aujourd'hui. Dans la science européenne, les nombres négatifs ont commencé à être largement utilisés grâce à R. Descartes, qui a donné une interprétation géométrique des nombres négatifs comme directions des segments. C'est Descartes qui proposa de désigner un nombre élevé à la puissance pour l'afficher sous la forme d'une formule à deux étages. un .
La calculatrice vous aide à élever rapidement un nombre à une puissance en ligne. La base du degré peut être n’importe quel nombre (entiers et réels). L'exposant peut également être un nombre entier ou réel, et peut également être positif ou négatif. Gardez à l’esprit que pour les nombres négatifs, l’élévation à une puissance non entière n’est pas définie, donc la calculatrice signalera une erreur si vous essayez.
Calculateur de diplôme
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Exponentiations : 20880
Qu'est-ce que la puissance naturelle d'un nombre ?
Le nombre p est appelé la puissance n d'un nombre si p est égal au nombre a multiplié par lui-même n fois : p = a n = a·...·a
n - appelé exposant, et le nombre a est base de diplôme.
Comment élever un nombre à une puissance naturelle ?
Pour comprendre comment élever divers nombres aux puissances naturelles, considérons quelques exemples :
Exemple 1. Élevez le nombre trois à la puissance quatrième. Autrement dit, il faut calculer 3 4
Solution: comme mentionné ci-dessus, 3 4 = 3·3·3·3 = 81.
Répondre: 3 4 = 81 .
Exemple 2. Élevez le nombre cinq à la puissance cinquième. C'est-à-dire qu'il faut calculer 5 5
Solution: de même, 5 5 = 5·5·5·5·5 = 3125.
Répondre: 5 5 = 3125 .
Ainsi, pour élever un nombre à une puissance naturelle, il suffit de le multiplier par lui-même n fois.
Qu'est-ce qu'une puissance négative d'un nombre ?
La puissance négative -n de a est un divisé par a à la puissance n : a -n = .Dans ce cas, une puissance négative n’existe que pour les nombres non nuls, sinon une division par zéro se produirait.
Comment élever un nombre à une puissance entière négative ?
Pour élever un nombre non nul à une puissance négative, vous devez calculer la valeur de ce nombre à la même puissance positive et diviser un par le résultat.
Exemple 1. Élevez le nombre deux à la puissance moins quatrième. Autrement dit, vous devez calculer 2 -4
Solution: comme indiqué ci-dessus, 2 -4 = = = 0,0625.Répondre: 2 -4 = 0.0625 .
Comme vous le savez, en mathématiques, il n'y a pas que des nombres positifs, mais aussi des nombres négatifs. Si la connaissance des puissances positives commence par déterminer l'aire d'un carré, alors avec les puissances négatives, tout est un peu plus compliqué.
Ce que vous devez savoir :
- Élever un nombre à une puissance naturelle est la multiplication d'un nombre (dans l'article nous considérerons les notions de nombre et d'équivalent numérique) par lui-même dans une quantité telle que l'exposant (à l'avenir nous utiliserons en parallèle et simplement le mot exposant). 6^3 = 6*6*6 = 36*6 =216. DANS vue générale cela ressemble à ceci : m^n = m*m*m*…*m (n fois).
- Il faut tenir compte du fait que lorsqu’un nombre négatif est élevé à une puissance naturelle, il deviendra positif si l’exposant est pair.
- Élever un nombre à un exposant de 0 donne un, à condition qu'il ne soit pas égal à zéro. La puissance zéro à zéro est considérée comme indéfinie. 17 ^ 0 = 1.
- Extraire la racine d'une certaine puissance d'un nombre, c'est trouver un nombre qui, lorsqu'il est élevé à l'exposant approprié, donnera la valeur souhaitée. Ainsi, la racine cubique de 125 est 5, puisque 5^3 = 125.
- Si vous souhaitez élever un nombre à une puissance fractionnaire positive, vous devez alors élever le nombre à l'exposant du dénominateur et en extraire la racine de l'exposant du numérateur. 6^5/7 = la septième racine du produit 6*6*6*6*6.
- Si vous souhaitez élever un nombre à un exposant négatif, vous devez alors trouver l’inverse du nombre donné. x^-3 = 1/x^3. 8^-4 = 1/8^4 = 1/8*8*8*8 = 1/4096.
Élever un nombre modulo zéro à un à une puissance négative
Nous devrions d'abord nous rappeler qu'est-ce qu'un module. Il s'agit de la distance sur la ligne de coordonnées entre la valeur que nous avons choisie et l'origine (zéro de la ligne de coordonnées). Par définition, cela ne peut jamais être négatif.
Valeur supérieure à zéro
Lorsque la valeur d'un chiffre est comprise entre zéro et un, un indicateur négatif donne une augmentation du chiffre lui-même. Cela se produit parce que le dénominateur diminue tout en restant positif.
Regardons des exemples :
- 1/7^-3 = 1/(1/7^3) = 1/(1/343) = 343;
- 0,2^-5 = 1/0,2^5 = 1/0,2*0,2*0,2*0,2*0,2 = 1/0,00032 = 3125.
De plus, plus le module de l'indicateur est grand, plus le chiffre augmente activement. Lorsque le dénominateur tend vers zéro, la fraction elle-même tend vers plus l’infini.
Valeur inférieure à zéro
Voyons maintenant comment l'élever à une puissance négative si le nombre moins que zéro. Le principe est le même que dans la partie précédente, mais ici le signe de l'indicateur compte.
Regardons à nouveau les exemples :
- -19 / 21^-4 = 1/(-19/21)^4 = 1/(-19)^4/21^4 = 21^4/(-19)^4 = 21*21*21*21/(-19)*(-19)*(-19)*(-19) = 194481/130321 = 1,4923228;
- -29/40^-5 = 1/(-29/40)^5 = 1/(-29)^5/40^5 = 40^5/(-29)^5 = 40*40*40*40*40/(-29)*(-29)*(-29)*(-29)*(-29) = 102400000/(-20511149) = -4,9924.
DANS dans ce cas, on voit ça le module continue de croître, mais le signe dépend du fait que l'indicateur soit pair ou impair.
Il est à noter que si l'on construit une unité, elle restera toujours seule. Si vous devez augmenter un nombre moins un, alors avec un exposant pair, il deviendra un, et avec un exposant impair, il restera moins un.
Montée à une puissance entière négative si le module est supérieur à un
Pour les nombres dont le module est supérieur à un, a ses propres particularités d'actions. Tout d'abord, vous devez convertir toute la partie de la fraction au numérateur, c'est-à-dire la convertir en une fraction impropre. Si nous avons une fraction décimale, alors elle doit être convertie en fraction régulière. Cela se fait comme suit:
- 6 entiers 7/17 = 109/17 ;
- 2,54 = 254/100.
Voyons maintenant comment élever un nombre à une puissance négative dans ces conditions. Déjà de ce qui précède, nous pouvons déduire ce que nous pouvons attendre du résultat des calculs. Puisqu'une fraction double est inversée lors des simplifications, le module de la figure diminuera d'autant plus vite que le module de l'exposant est grand.
Considérons d’abord la situation dans laquelle le nombre donné dans la tâche est positif.
Tout d'abord, il apparaît clairement que résultat final sera supérieur à zéro, car diviser deux positifs donne toujours un positif. Regardons à nouveau des exemples de la façon dont cela est réalisé :
- 6 entiers 1/20 à la puissance moins cinquième = 121/20^-5 = 1/(121/20)^5 = 1/121^5/20^5 = 20^5/121^5 = 3200000/25937424601 = 0,0001234 ;
- 2,25^-6 = (225/100)^-6 = 1/(225/100)^6 = 1/225^6/100^6 = 100^6/225^6 = 100*100*100*100*100*100/225*225*225*225*225*225 = 0,007413.
Comme vous pouvez le constater, les actions ne posent pas de difficultés particulières, et toutes nos hypothèses initiales se sont avérées vraies.
Passons maintenant au cas d'un chiffre négatif.
Pour commencer, on peut supposer que si l'indicateur est pair, alors le résultat sera positif, si l'indicateur est impair, alors le résultat sera négatif. Tous nos calculs précédents dans cette partie seront considérés comme valides maintenant. Regardons à nouveau des exemples :
- -3 entier 1/2 à la puissance moins sixième = (-7/2)^-6 = 1/(-7/2)^6 = 1/(-7)^6/2^6 = 2*2* 2 *2*2*2/(-7)*(-7)*(-7)*(-7)*(-7)*(-7) = 64/117649 = 0,000544 ;
- -1,25^-5 = (-125/100)^-5 = 1/(-125/100)^5 = 1/(-125)^5/100^5 = 100^5/(-125)^5 = 100*100*100*100*100/(-125)*(-125)*(-125)*(-125)*(-125) = 10000000000/(-30517578125) = -0.32768.
Ainsi, tous nos raisonnements se sont avérés corrects.
Construction dans le cas d'un exposant fractionnaire négatif
Ici, vous devez vous rappeler qu'une telle construction existe extraire la racine de la puissance du dénominateur d'un nombre à la puissance du numérateur. Tous nos raisonnements précédents restent vrais cette fois. Expliquons nos actions avec un exemple :
- 4^-3/2 = 1/4^3/2 = 1/rad(4^3) = 1/rad64 = 1/8.
Dans ce cas, vous devez garder à l’esprit que l’extraction des racines haut niveau n'est possible que sous une forme spécialement sélectionnée et, très probablement, vous ne pourrez pas vous débarrasser du signe du radical (racine carrée, racine cubique, etc.) avec des calculs précis.
Néanmoins, après avoir étudié en détail les chapitres précédents, il ne faut pas s'attendre à des difficultés dans les calculs scolaires.
Il convient de noter que la description de ce chapitre comprend également construction avec un indicateur volontairement irrationnel, par exemple, si l'indicateur est égal à moins PI. Vous devez agir selon les principes décrits ci-dessus. Cependant, les calculs dans de tels cas deviennent si complexes que seuls de puissants ordinateurs électroniques peuvent les réaliser.
Conclusion
L'action que nous avons étudiée est l'un des problèmes les plus difficiles en mathématiques(surtout dans le cas d'un sens fractionnaire-rationnel ou irrationnel). Cependant, en étudiant ces instructions en détail et étape par étape, vous pouvez apprendre à le faire de manière entièrement automatique et sans aucun problème.
Dans ce document, nous verrons ce qu’est la puissance d’un nombre. En plus des définitions de base, nous formulerons ce que sont les puissances à exposants naturels, entiers, rationnels et irrationnels. Comme toujours, tous les concepts seront illustrés par des exemples de problèmes.
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Tout d’abord, formulons la définition de base d’un degré avec un exposant naturel. Pour ce faire, nous devons rappeler les règles de base de la multiplication. Précisons d'avance que pour l'instant nous prendrons comme base un nombre réel (noté par la lettre a), et un nombre naturel comme indicateur (noté par la lettre n).
Définition 1
La puissance d'un nombre a d'exposant naturel n est le produit du nième nombre de facteurs, dont chacun est égal au nombre a. Le diplôme s'écrit ainsi : un, et sous forme de formule sa composition peut être représentée comme suit :
Par exemple, si l’exposant est 1 et la base est a, alors la première puissance de a s’écrit un 1. Sachant que a est la valeur du facteur et 1 est le nombre de facteurs, on peut conclure que un 1 = un.
En général, on peut dire qu'un diplôme est formulaire pratique enregistrements grande quantité facteurs égaux. Donc, un enregistrement de la forme 8 8 8 8 peut être raccourci à 8 4 . De la même manière, une œuvre nous aide à éviter d'enregistrer grand nombre termes (8 + 8 + 8 + 8 = 8 4) ; Nous en avons déjà parlé dans l’article consacré à la multiplication des nombres naturels.
Comment lire correctement l’entrée du diplôme ? L'option généralement acceptée est « a à la puissance n ». Ou vous pouvez dire « nième puissance d’un » ou « anth puissance ». Si, disons, dans l'exemple, nous avons rencontré l'entrée 8 12 , on peut lire « 8 puissance 12 », « 8 puissance 12 » ou « 12 puissance 8 ».
Les deuxième et troisième puissances des nombres ont leurs propres noms établis : carré et cube. Si nous voyons la deuxième puissance, par exemple le nombre 7 (7 2), alors nous pouvons dire « 7 au carré » ou « carré du nombre 7 ». De même, le troisième degré se lit ainsi : 5 3 - c'est le « cube du chiffre 5 » ou « 5 cube ». Cependant, vous pouvez aussi utiliser la formulation standard « à la puissance deux/troisième » ; ce ne sera pas une erreur.
Exemple 1
Regardons un exemple de degré avec un exposant naturel : pour 5 7 cinq sera la base et sept sera l’exposant.
Il n'est pas nécessaire que la base soit un nombre entier : pour le diplôme (4 , 32) 9 la base sera la fraction 4, 32 et l'exposant sera neuf. Faites attention aux parenthèses : cette notation est faite pour toutes les puissances dont les bases diffèrent des nombres naturels.
Par exemple : 1 2 3, (- 3) 12, - 2 3 5 2, 2, 4 35 5, 7 3.
A quoi servent les parenthèses ? Ils permettent d'éviter les erreurs de calcul. Disons que nous avons deux entrées : (− 2) 3 Et − 2 3 . Le premier d’entre eux signifie un nombre négatif moins deux élevé à une puissance avec un exposant naturel de trois ; le second est le nombre correspondant à la valeur opposée du degré 2 3 .
Parfois, dans les livres, vous pouvez trouver une orthographe légèrement différente de la puissance d'un nombre - un^n(où a est la base et n est l'exposant). Autrement dit, 4 ^ 9 est identique à 4 9 . Dans le cas où n est numéro à plusieurs chiffres, il est pris entre parenthèses. Par exemple, 15 ^ (21) , (− 3 , 1) ^ (156) . Mais nous utiliserons la notation un comme plus courant.
Il est facile de deviner comment calculer la valeur d’un exposant avec un exposant naturel à partir de sa définition : il suffit de multiplier un nième nombre de fois. Nous en avons parlé davantage dans un autre article.
Le concept de degré est l’inverse d’un autre concept mathématique : la racine d’un nombre. Si nous connaissons la valeur de la puissance et l’exposant, nous pouvons calculer sa base. Le diplôme possède certaines propriétés spécifiques utiles pour résoudre des problèmes, dont nous avons discuté dans un document séparé.
Les exposants peuvent inclure non seulement des nombres naturels, mais également toutes les valeurs entières en général, y compris les négatifs et les zéros, car ils appartiennent également à l'ensemble des nombres entiers.
Définition 2
La puissance d'un nombre avec un exposant entier positif peut être représentée sous la forme d'une formule : 
.
Dans ce cas, n est n’importe quel entier positif.
Comprenons le concept de zéro degré. Pour ce faire, nous utilisons une approche qui prend en compte la propriété du quotient pour des puissances de bases égales. Il est formulé ainsi :
Définition 3
Égalité une m : une n = une m − n sera vrai dans les conditions suivantes : m et n sont des nombres naturels, m< n , a ≠ 0 .
Dernière condition important car il évite la division par zéro. Si les valeurs de m et n sont égales, alors on obtient prochain résultat: une n : une n = une n − n = une 0
Mais en même temps a n : a n = 1 est le quotient de nombres égaux un et un. Il s’avère que la puissance nulle de tout nombre non nul est égale à un.
Cependant, une telle preuve ne s’applique pas à zéro à la puissance zéro. Pour ce faire, nous avons besoin d'une autre propriété des puissances : la propriété des produits de puissances de bases égales. Cela ressemble à ceci : une m · une n = une m + n .
Si n est égal à 0, alors une m · une 0 = une m(cette égalité nous prouve aussi que un 0 = 1). Mais si et est également égal à zéro, notre égalité prend la forme 0 m · 0 0 = 0 m, Ce sera vrai pour toute valeur naturelle de n, et peu importe à quoi exactement la valeur du degré est égale 0 0 , c'est-à-dire qu'il peut être égal à n'importe quel nombre, et cela n'affectera pas l'exactitude de l'égalité. Donc une notation de la forme 0 0 n'a pas de signification particulière et nous ne la lui attribuerons pas.
Si on le souhaite, il est facile de vérifier que un 0 = 1 converge avec la propriété degré (une m) n = une m nà condition que la base du diplôme ne soit pas nulle. Ainsi, la puissance de tout nombre non nul d’exposant zéro est un.
Exemple 2
Regardons un exemple avec des nombres spécifiques : Donc, 5 0 - unité, (33 , 3) 0 = 1 , - 4 5 9 0 = 1 , et la valeur 0 0 indéfini.
Après le degré zéro, il suffit de comprendre ce qu’est un degré négatif. Pour ce faire, nous avons besoin de la même propriété du produit de puissances de bases égales que nous avons déjà utilisée ci-dessus : a m · a n = a m + n.
Introduisons la condition : m = − n, alors a ne doit pas être égal à zéro. Il s'ensuit que une − n · une n = une − n + n = une 0 = 1. Il s'avère qu'un n et a−n nous avons des nombres mutuellement réciproques.
En conséquence, a à la puissance entière négative n’est rien de plus que la fraction 1 a n.
Cette formulation confirme que pour un degré avec un exposant entier négatif, toutes les mêmes propriétés sont valables qu'un degré avec un exposant naturel (à condition que la base ne soit pas égale à zéro).
Exemple 3
Une puissance a avec un exposant entier négatif n peut être représentée par une fraction 1 a n . Ainsi, a - n = 1 a n sous réserve de une ≠ 0 et n est n'importe quel nombre naturel.
Illustrons notre idée avec des exemples précis :
Exemple 4
3 - 2 = 1 3 2 , (- 4 . 2) - 5 = 1 (- 4 . 2) 5 , 11 37 - 1 = 1 11 37 1
Dans la dernière partie du paragraphe, nous essaierons de décrire clairement tout ce qui a été dit en une seule formule :
Définition 4
La puissance d'un nombre d'exposant naturel z est : a z = a z, e avec l et z - entier positif 1, z = 0 et a ≠ 0, (pour z = 0 et a = 0 le résultat est 0 0, le les valeurs de l'expression 0 0 ne sont pas définies) 1 a z, si et z est un entier négatif et a ≠ 0 (si z est un entier négatif et a = 0 vous obtenez 0 z, egoz la valeur est indéterminée)
Que sont les puissances avec un exposant rationnel ?
Nous avons examiné les cas où l'exposant contient un nombre entier. Cependant, vous pouvez élever un nombre à la puissance même lorsque son exposant contient un nombre fractionnaire. C’est ce qu’on appelle une puissance à exposant rationnel. Dans cette section, nous prouverons qu’elle possède les mêmes propriétés que les autres puissances.
Que sont les nombres rationnels ? Leur ensemble comprend à la fois des nombres entiers et fractionnaires, et les nombres fractionnaires peuvent être représentés comme des fractions ordinaires (à la fois positives et négatives). Formulons la définition de la puissance d'un nombre a avec un exposant fractionnaire m/n, où n est un nombre naturel et m est un nombre entier.
Nous avons un certain degré avec un exposant fractionnaire a m n . Pour que la propriété de pouvoir soit valable, l'égalité a m n n = a m n · n = a m doit être vraie.
Étant donné la définition de la nième racine et que a m n n = a m, nous pouvons accepter la condition a m n = a m n si a m n a un sens pour les valeurs données de m, n et a.
Les propriétés ci-dessus d'un degré avec un exposant entier seront vraies sous la condition a m n = a m n .
La principale conclusion de notre raisonnement est la suivante : la puissance d'un certain nombre a avec un exposant fractionnaire m/n est la nième racine du nombre a à la puissance m. Ceci est vrai si, pour des valeurs données de m, n et a, l'expression a m n reste significative.
1. On peut limiter la valeur de la base du degré : prenons a, qui pour les valeurs positives de m sera supérieur ou égal à 0, et pour les valeurs négatives - strictement inférieur (puisque pour m ≤ 0 on a 0 m, mais un tel degré n'est pas défini). Dans ce cas, la définition d'un degré avec un exposant fractionnaire ressemblera à ceci :
Une puissance avec un exposant fractionnaire m/n pour un nombre positif a est la nième racine de a élevée à la puissance m. Cela peut être exprimé sous la forme d'une formule :
Pour une puissance de base nulle, cette disposition convient également, mais seulement si son exposant est un nombre positif.
Une puissance avec une base zéro et un exposant fractionnaire positif m/n peut être exprimée comme
0 m n = 0 m n = 0 à condition que m soit un entier positif et n soit un nombre naturel.
Pour un rapport négatif m n< 0 степень не определяется, т.е. такая запись смысла не имеет.
Notons un point. Depuis que nous avons introduit la condition selon laquelle a est supérieur ou égal à zéro, nous avons fini par écarter certains cas.
L'expression a m n a parfois encore un sens pour certaines valeurs négatives de a et certains m. Ainsi, les entrées correctes sont (- 5) 2 3, (- 1, 2) 5 7, - 1 2 - 8 4, dans lesquelles la base est négative.
2. La deuxième approche consiste à considérer séparément la racine a m n avec des exposants pairs et impairs. Ensuite, nous devrons introduire une condition supplémentaire : le degré a, dans l'exposant duquel se trouve une fraction ordinaire réductible, est considéré comme le degré a, dans l'exposant duquel se trouve la fraction irréductible correspondante. Nous expliquerons plus tard pourquoi nous avons besoin de cette condition et pourquoi elle est si importante. Ainsi, si nous avons la notation a m · k n · k , alors nous pouvons la réduire à a m n et simplifier les calculs.
Si n est un nombre impair et que la valeur de m est positive et que a est un nombre non négatif, alors a m n a du sens. La condition pour que a soit non négatif est nécessaire car une racine de degré pair ne peut pas être extraite d’un nombre négatif. Si la valeur de m est positive, alors a peut être à la fois négatif et nul, car La racine impaire peut être extraite de n’importe quel nombre réel.
Combinons toutes les définitions ci-dessus en une seule entrée :
Ici, m/n signifie une fraction irréductible, m est n'importe quel nombre entier et n est n'importe quel nombre naturel.
Définition 5
Pour toute fraction réductible ordinaire m · k n · k le degré peut être remplacé par a m n .
La puissance d'un nombre a avec un exposant fractionnaire irréductible m/n - peut être exprimée sous la forme a m n dans cas suivants: - pour tout réel a, valeurs entières positives m et valeurs naturelles impaires n. Exemple : 2 5 3 = 2 5 3, (- 5, 1) 2 7 = (- 5, 1) - 2 7, 0 5 19 = 0 5 19.
Pour tout a réel non nul, valeurs entières négatives de m et valeurs impaires de n, par exemple, 2 - 5 3 = 2 - 5 3, (- 5, 1) - 2 7 = (- 5, 1) - 2 7
Pour tout a non négatif, entier positif m et même n, par exemple, 2 1 4 = 2 1 4, (5, 1) 3 2 = (5, 1) 3, 0 7 18 = 0 7 18.
Pour tout a positif, entier négatif m et même n, par exemple, 2 - 1 4 = 2 - 1 4, (5, 1) - 3 2 = (5, 1) - 3, .
Pour d’autres valeurs, le degré avec un exposant fractionnaire n’est pas déterminé. Exemples de tels diplômes : - 2 11 6, - 2 1 2 3 2, 0 - 2 5.
Expliquons maintenant l'importance de la condition évoquée ci-dessus : pourquoi remplacer une fraction à exposant réductible par une fraction à exposant irréductible. Si nous ne l'avions pas fait, nous aurions eu les situations suivantes, disons 6/10 = 3/5. Alors cela devrait être vrai (- 1) 6 10 = - 1 3 5 , mais - 1 6 10 = (- 1) 6 10 = 1 10 = 1 10 10 = 1 , et (- 1) 3 5 = (- 1 ) 3 5 = - 1 5 = - 1 5 5 = - 1 .
La définition d'un degré avec un exposant fractionnaire, que nous avons présentée en premier, est plus pratique à utiliser en pratique que la seconde, nous continuerons donc à l'utiliser.
Définition 6
Ainsi, la puissance d'un nombre positif a avec un exposant fractionnaire m/n est définie comme 0 m n = 0 m n = 0. En cas de négatif un la notation a m n n'a pas de sens. Puissance de zéro pour les exposants fractionnaires positifs m/n est défini comme 0 m n = 0 m n = 0 , pour les exposants fractionnaires négatifs, nous ne définissons pas le degré de zéro.
En conclusion, on note que tout indicateur fractionnaire peut s'écrire aussi bien sous la forme d'un nombre fractionnaire que sous la forme décimal: 5 1 , 7 , 3 2 5 - 2 3 7 .
Lors du calcul, il est préférable de remplacer l'exposant fraction ordinaire et continuez à utiliser la définition du degré avec un exposant fractionnaire. Pour les exemples ci-dessus, nous obtenons :
5 1 , 7 = 5 17 10 = 5 7 10 3 2 5 - 2 3 7 = 3 2 5 - 17 7 = 3 2 5 - 17 7
Que sont les puissances à exposants irrationnels et réels ?
Que sont les nombres réels ? Leur ensemble comprend à la fois des nombres rationnels et irrationnels. Par conséquent, afin de comprendre ce qu'est un degré avec un exposant réel, nous devons définir des degrés avec des exposants rationnels et irrationnels. Nous avons déjà mentionné les rationnels ci-dessus. Traitons étape par étape les indicateurs irrationnels.
Exemple 5
Supposons que nous ayons un nombre irrationnel a et une séquence de ses approximations décimales a 0 , a 1 , a 2 , . . . . Par exemple, prenons la valeur a = 1,67175331. . . , Alors
une 0 = 1, 6, une 1 = 1, 67, une 2 = 1, 671, . . . , un 0 = 1,67, un 1 = 1,6717, un 2 = 1,671753, . . .
On peut associer des séquences d'approximations à une séquence de degrés a a 0 , a a 1 , a a 2 , . . . . Si nous nous souvenons de ce que nous avons dit plus tôt sur l'élévation des nombres à des puissances rationnelles, nous pouvons alors calculer nous-mêmes les valeurs de ces puissances.
Prenons par exemple une = 3, alors a a 0 = 3 1, 67, a a 1 = 3 1, 6717, a a 2 = 3 1, 671753, . . . etc.
La séquence de puissances peut être réduite à un nombre, qui sera la valeur de la puissance de base a et d'exposant irrationnel a. Résultat : un diplôme avec un exposant irrationnel de la forme 3 1, 67175331. . peut être réduit au nombre 6, 27.
Définition 7
La puissance d'un nombre positif a avec un exposant irrationnel a s'écrit a a . Sa valeur est la limite de la séquence a a 0 , a a 1 , a a 2 , . . . , où une 0 , une 1 , une 2 , . . . sont des approximations décimales successives nombre irrationnel un. Un degré avec une base nulle peut également être défini pour les exposants irrationnels positifs, avec 0 a = 0 Donc, 0 6 = 0, 0 21 3 3 = 0. Mais cela ne peut pas être fait pour les valeurs négatives, puisque, par exemple, la valeur 0 - 5, 0 - 2 π n'est pas définie. Une unité élevée à n'importe quelle puissance irrationnelle reste une unité, par exemple, et 1 2, 1 5 en 2 et 1 - 5 seront égaux à 1.
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