A nullát el lehet osztani egy számmal, de lehet, hogy nem. Szorzás és osztás szabályai. Matematikai műveletek nullával

Evgeny Shiryaev, oktató és a Politechnikai Múzeum Matematikai Laboratóriumának vezetője, elmondta az AiF.ru-nak a nullával való osztásról:

1. A kérdés illetékessége

Egyetértek, a tilalom különleges provokációt ad a szabálynak. Hogy lehetetlen? Ki tiltotta be? Mi a helyzet az állampolgári jogainkkal?

Sem az Orosz Föderáció alkotmánya, sem a Büntetőtörvénykönyv, de még az Ön iskolájának alapszabálya sem tiltakozik a számunkra érdekes szellemi tevékenység ellen. Ez azt jelenti, hogy a tilalom nem rendelkezik jogi ereje, és semmi sem akadályozza meg itt, az AiF.ru oldalain, hogy megpróbáljunk valamit nullával elosztani. Például ezer.

2. Oszd meg a tanítás szerint

Ne feledje, amikor megtanulta az osztást, az első példákat szorzásos ellenőrzéssel oldották meg: az osztóval szorozva kapott eredménynek ugyanilyen megvalósíthatónak kellett lennie. Nem egyezik – nem döntött.

1. példa 1000: 0 =...

Felejtsük el egy percre a tiltott szabályt, és tegyünk néhány kísérletet a válasz kitalálására.

A csekk levágja a rosszakat. Menjen végig a lehetőségek között: 100, 1, -23, 17, 0, 10 000. Mindegyiknél ugyanazt az eredményt adja az ellenőrzés:

100 0 = 1 0 = - 23 0 = 17 0 = 0 0 = 10 000 0 = 0

A nulla szorzással mindent önmagává változtat, és sohasem ezerré. A következtetést nem nehéz megfogalmazni: egyetlen szám sem megy át a teszten. Azaz egyetlen szám sem lehet nullától eltérő szám nullával való osztásának eredménye. Az ilyen felosztás nem tilos, de egyszerűen nincs eredménye.

3. Árnyékolás

Majdnem elszalasztottunk egy lehetőséget, hogy megcáfoljuk a tiltást. Igen, elismerjük, hogy egy nem nulla szám nem osztható 0-val. De lehet, hogy maga a 0 is megteheti?

2. példa 0: 0 = ...

Javaslatok a priváthoz? száz? Kérem: a 0 osztó százszoros hányadosa egyenlő osztható 0-val.

Több lehetőség! egy? Illik is. És -23, és 17, és minden-minden. Ebben a példában a teszt bármely számra pozitív lesz. És hogy őszinte legyek, ebben a példában a megoldást nem számnak, hanem számkészletnek kell nevezni. Mindenki. És nem tart sokáig, hogy megegyezzünk abban a pontban, hogy Alice nem Alice, hanem Mary Ann, és mindketten egy nyúl álma.

4. Mi a helyzet a felsőbb matematikával?

A probléma megoldódott, az árnyalatokat figyelembe vették, a pontokat elhelyezték, minden világossá vált - a nullával való osztás példájára a válasz nem lehet egyetlen szám. Az ilyen problémák megoldása reménytelen és lehetetlen feladat. Ami azt jelenti... érdekes! Vegyél kettőt.

3. példa Gondolja át, hogyan kell 1000-et osztani 0-val.

De semmiképpen. De az 1000 könnyen osztható más számokkal. Nos, legalább tegyük meg, amit kapunk, még akkor is, ha változtatunk a feladaton. És ott, látod, elragadunk, és a válasz magától megjelenik. Felejtsd el a nullát egy percre, és oszd el százzal:

A száz messze van a nullától. Tegyünk egy lépést felé az osztó csökkentésével:

1000: 25 = 40,
1000: 20 = 50,
1000: 10 = 100,
1000: 8 = 125,
1000: 5 = 200,
1000: 4 = 250,
1000: 2 = 500,
1000: 1 = 1000.

Nyilvánvaló dinamika: minél közelebb van az osztó a nullához, annál nagyobb a hányados. A tendencia tovább figyelhető, törtekre lépve és a számlálót tovább csökkentve:

Továbbra is meg kell jegyeznünk, hogy tetszés szerint közelíthetjük a nullát, így a hányados olyan nagy lesz, amennyire csak akarjuk.

Ebben a folyamatban nincs nulla és nincs utolsó hányados. A feléjük irányuló mozgást jelöltük ki, a szám helyére a minket érdeklő számhoz konvergáló sorozatra cserélve:

Ez az osztalék hasonló helyettesítését jelenti:

1000 ↔ { 1000, 1000, 1000,... }

A nyilak nem hiába vannak kétoldalasak: egyes sorozatok számokhoz konvergálhatnak. Ekkor a sorozatot hozzárendelhetjük a numerikus határához.

Nézzük a hányadosok sorrendjét:

A végtelenségig növekszik, nem törekszik semmilyen számra és felülmúlja bármelyiket. A matematikusok hozzáadják a szimbólumot a számokhoz ∞ hogy egy kétfejű nyilat tudjunk tenni egy ilyen sorozat mellé:

A limittel rendelkező sorozatok számának összehasonlítása lehetővé teszi, hogy megoldást kínáljunk a harmadik példára:

Ha egy 1000-hez konvergáló sorozatot elosztunk egy 0-hoz konvergáló pozitív számsorozattal, akkor egy ∞-hez konvergáló sorozatot kapunk.

5. És itt van egy árnyalat két nullával

Mi lesz az eredménye, ha elosztunk két olyan pozitív számsorozatot, amelyek nullához konvergálnak? Ha azonosak, akkor az azonos egység. Ha az osztaléksorozat gyorsabban konvergál a nullához, akkor az adott sorozatnak nulla határa van. És amikor az osztó elemei sokkal gyorsabban csökkennek, mint az osztaléké, akkor a hányadosok sorozata erősen nő:

Bizonytalan helyzet. És így hívják: a fajok bizonytalansága 0/0 ... Amikor a matematikusok olyan sorozatokat látnak, amelyek ilyen bizonytalanságra illeszkednek, nem rohannak két azonos számot elosztani egymással, hanem kitalálják, hogy a sorozatok közül melyik fut gyorsabban nullára, és hogyan pontosan. És minden példának megvan a saját konkrét válasza!

6. Az életben

Ohm törvénye az áramerősséget, a feszültséget és az ellenállást kapcsolja össze egy áramkörben. Gyakran így írják:

Hanyagoljuk el a pontos fizikai megértést, és formálisan tekintsük a jobb oldalt két szám hányadosának. Képzeljen el egy iskolai elektromosság problémájának megoldását. A feltétel a feszültséget voltban és az ellenállást ohmban adja meg. A kérdés nyilvánvaló, egy lépéses megoldás.

Most nézzük a szupravezetés definícióját: ez egyes fémek tulajdonsága, hogy nulla elektromos ellenállással rendelkeznek.

Nos, oldjuk meg a szupravezető áramkör problémáját? Csak helyettesítsd R = 0 nem fog működni, dobja a fizika érdekes feladat, ami mögött nyilván ott áll tudományos felfedezés... És azok kaptak, akiknek sikerült nullával osztani ebben a helyzetben Nóbel díj... Hasznos, ha minden tilalmat ki tud lépni!

A tanárok már az iskolában is megpróbálták a legegyszerűbb szabályt a fejünkbe verni: "Bármely szám nullával szorozva nullával egyenlő!"- de ettől függetlenül folyamatosan sok vita támad körülötte. Valaki csak emlékezett a szabályra, és nem foglalkozik a „miért?” kérdéssel. "Nem lehet és ennyi, mert az iskolában azt mondták, szabály az szabály!" Valaki írhat egy fél füzetet képletekkel, bizonyítva ezt a szabályt, vagy éppen ellenkezőleg, annak logikátlanságát.

Kinek van igaza a végén

E viták során mindkét ellentétes nézőpontú ember kosként néz egymásra, és minden erejükkel bizonygatja ártatlanságát. Bár, ha oldalról nézzük őket, nem egy, hanem két kost láthatunk, amint szarvát egymásnak támasztja. Az egyetlen különbség köztük az, hogy az egyik valamivel kevésbé képzett, mint a másik.

Leggyakrabban azok, akik ezt a szabályt helytelennek tartják, a következő módon próbálnak logikára hivatkozni:

Két almám van az asztalomon, ha teszek rá nulla almát, vagyis nem teszek egyet sem, akkor ebből nem fog eltűnni a két almám! A szabály logikátlan!

Valóban, az alma nem tűnik el sehova, de nem azért, mert logikátlan a szabály, hanem azért, mert itt egy kicsit más egyenletet használunk: 2 + 0 = 2. Tehát egy ilyen következtetést azonnal elvetjük - logikátlan, bár ennek az ellenkezője van. célja - logikára hívni.

Mi a szorzás

A szorzás eredeti szabálya csak természetes számokra volt definiálva: a szorzás egy bizonyos számú önmagához adott szám, ami a szám természetességére utal. Így bármely szorzásos szám visszavezethető erre az egyenletre:

25 × 3 = 75
25 + 25 + 25 = 75
25 × 3 = 25 + 25 + 25

Ebből az egyenletből a következtetés következik, hogy a szorzás egyszerűsített összeadás.

Mi a nulla

Bárki gyerekkora óta tudja: a nulla az üresség, Annak ellenére, hogy ennek az ürességnek van megjelölése, egyáltalán nem hordoz semmit. Az ókori keleti tudósok másként gondolkodtak - filozófiailag közelítették meg a kérdést, és párhuzamot vontak az üresség és a végtelen között, és mély értelmet láttak ennek a számnak. Végül is a nulla, ami ürességet jelent, bármelyik mellett állva természetes szám, megtízszerezi. Innen ered a szorzás körüli vita – ez a szám annyi következetlenséget hordoz magában, hogy nehéz nem összezavarodni. Ezenkívül a nullát folyamatosan használják a tizedes tört üres helyeinek meghatározására, ez megtörténik a tizedesvessző előtt és után is.

Lehetséges-e az ürességgel szorozni

Lehet nullával szorozni, de hiába, mert bármit mondjon, de akár szorzással is negatív számok akkor is nulla lesz. Elég, ha emlékezünk erre a legegyszerűbb szabályra, és soha többé nem tesszük fel ezt a kérdést. Valójában minden egyszerűbb, mint amilyennek első pillantásra tűnik. Nincsenek rejtett jelentések és titkok, ahogy az ókori tudósok hitték. Az alábbiakban a leglogikusabb magyarázatot adjuk, hogy ez a szorzás haszontalan, mert ha egy számot megszorozunk vele, akkor is ugyanazt kapjuk - nullát.

Visszatérve a legelejére, a két almáról szóló vitához, a 2-szer 0 így néz ki:

Ha ötször eszel meg két almát, akkor megeszel 2 × 5 = 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 10 almát
Ha háromszor megeszi kettőt, akkor 2 × 3 = 2 + 2 + 2 = 6 almát eszik meg
Ha nulla alkalommal eszik meg két almát, akkor nem eszik meg semmit - 2 × 0 = 0 × 2 = 0 + 0 = 0

Végül is 0-szor megenni egy almát azt jelenti, hogy nem eszünk meg egyet sem. Ez még neked is világos lesz kisgyerek... Bármit mondjon is - 0 fog kijönni, a kettőt vagy a hármat teljesen tetszőleges számmal helyettesíthetjük, és teljesen ugyanaz jön ki. Leegyszerűsítve akkor a nulla semmiés amikor megvan nincs semmi, akkor hiába szorozod, nem számít nulla lesz... Nincs varázslat, és az almából semmi sem sül ki, még akkor sem, ha a 0-t megszorozod egy millióval. Ez a legegyszerűbb, legérthetőbb és leglogikusabb magyarázata a nullával való szorzás szabályának. Egy olyan ember számára, aki távol áll minden képlettől és matematikától, egy ilyen magyarázat elegendő lesz ahhoz, hogy a fejben lévő disszonancia eloszlassa, és minden a helyére kerül.

Osztály

A fentiekből még valami következik. fontos szabály:

Nem lehet nullával osztani!

Ezt a szabályt is makacsul a fejünkbe verték gyerekkorunk óta. Csak tudjuk, hogy ez lehetetlen, és ennyi, anélkül, hogy felesleges információkkal tömjük a fejünket. Ha váratlanul felteszik a kérdést, hogy miért tilos nullával osztani, akkor a többség összezavarodik, és nem tud egyértelműen válaszolni a legegyszerűbb kérdésre. iskolai tananyag mert e szabály körül nincs annyi vita és ellentmondás.

Mindenki csak megjegyezte a szabályt, és nem osztott nullával, nem sejtve, hogy a válasz a felszínen rejlik. Az összeadás, szorzás, osztás és kivonás nem egyenlő, csak a szorzás és az összeadás teljes a fentiekből, és ezekből épül fel minden egyéb számokkal végzett manipuláció. Vagyis a 10: 2 felírása a 2 * x = 10 egyenlet rövidítése. Tehát a 10: 0 írása ugyanaz a rövidítés 0 * x = 10-ből. Kiderült, hogy a nullával való osztás egy szám megtalálásának feladata. , megszorozva 0-val, 10-et kapunk És már rájöttünk, hogy ilyen szám nem létezik, ami azt jelenti, hogy ennek az egyenletnek nincs megoldása, és eleve hibás lesz.

Hadd mondjam el

Hogy ne osszunk 0-val!

Vágj 1-et tetszés szerint, hosszában,

Csak ne ossz 0-val!

Evgeny SHIRYAEV, oktató és a Politechnikai Múzeum Matematikai Laboratóriumának vezetője, elmondta az "AiF"-nek a nullával való osztásról:

1. A kérdés illetékessége

Egyetértek, a tilalom különleges provokációt ad a szabálynak. Hogy lehetetlen? Ki tiltotta be? Mi a helyzet az állampolgári jogainkkal?

Sem az alkotmány, sem a Btk., de még az Ön iskolájának alapszabálya sem tiltja a minket érdeklő szellemi tevékenységet. Ez azt jelenti, hogy a tilalomnak nincs jogi ereje, és semmi sem akadályozza meg itt, az "AiF" oldalain, hogy megpróbáljanak valamit nullával osztani. Például ezer.

2. Oszd meg a tanítás szerint

Ne feledje, amikor először megtanulta az osztást, az első példákat a szorzás tesztjével oldották meg: az osztóval szorzott eredménynek egybe kellett esnie az osztóval. Nem egyezik – nem döntött.

1. példa 1000: 0 =...

Felejtsük el egy percre a tiltott szabályt, és tegyünk néhány kísérletet a válasz kitalálására.

A csekk levágja a rosszakat. Menjen végig a lehetőségek között: 100, 1, -23, 17, 0, 10 000. Mindegyiknél ugyanazt az eredményt adja az ellenőrzés:

100 0 = 1 0 = - 23 0 = 17 0 = 0 0 = 10 000 0 = 0

3. Árnyékolás

Majdnem elszalasztottunk egy lehetőséget, hogy megcáfoljuk a tiltást. Igen, elismerjük, hogy egy nem nulla szám nem osztható 0-val. De lehet, hogy maga a 0 is megteheti?

2. példa 0: 0 = ...

Javaslatok a priváthoz? száz? Kérem: a 0 osztó százszoros hányadosa egyenlő osztható 0-val.

Több lehetőség! egy? Illik is. És −23, és 17, és minden-minden. Ebben a példában a teszt bármely számra pozitív lesz. És hogy őszinte legyek, ebben a példában a megoldást nem számnak, hanem számkészletnek kell nevezni. Mindenki. És nem tart sokáig, hogy megegyezzünk abban a pontban, hogy Alice nem Alice, hanem Mary Ann, és mindketten egy nyúl álma.

4. Mi a helyzet a felsőbb matematikával?

3. példa Gondolja át, hogyan kell 1000-et osztani 0-val.

A száz messze van a nullától. Tegyünk egy lépést felé az osztó csökkentésével:

1000: 25 = 40,
1000: 20 = 50,
1000: 10 = 100,
1000: 8 = 125,
1000: 5 = 200,
1000: 4 = 250,
1000: 2 = 500,
1000: 1 = 1000.

Nyilvánvaló dinamika: minél közelebb van az osztó a nullához, annál nagyobb a hányados. A tendencia tovább figyelhető, törtekre lépve és a számlálót tovább csökkentve:

Továbbra is meg kell jegyeznünk, hogy tetszés szerint közelíthetjük a nullát, így a hányados olyan nagy lesz, amennyire csak akarjuk.

Ebben a folyamatban nincs nulla és nincs utolsó hányados. A feléjük irányuló mozgást jelöltük ki, a szám helyére a minket érdeklő számhoz konvergáló sorozatra cserélve:

Ez az osztalék hasonló helyettesítését jelenti:

1000 ↔ { 1000, 1000, 1000,... }

A nyilak nem hiába vannak kétoldalasak: egyes sorozatok számokhoz konvergálhatnak. Ekkor a sorozatot hozzárendelhetjük a numerikus határához.

Nézzük a hányadosok sorrendjét:

A limittel rendelkező sorozatok számának összehasonlítása lehetővé teszi, hogy megoldást kínáljunk a harmadik példára:

Ha egy 1000-hez konvergáló sorozatot elosztunk egy 0-hoz konvergáló pozitív számsorozattal, akkor egy ∞-hez konvergáló sorozatot kapunk.

5. És itt van egy árnyalat két nullával

Mi lesz az eredménye, ha elosztunk két olyan pozitív számsorozatot, amelyek nullához konvergálnak? Ha azonosak, akkor az azonos egység. Ha az osztaléksorozat gyorsabban konvergál a nullához, akkor a hányadosban nulla határértékkel rendelkező sorozatról van szó. És amikor az osztó elemei sokkal gyorsabban csökkennek, mint az osztaléké, akkor a hányadosok sorozata erősen nő:

6. Az életben

Ohm törvénye az áramerősséget, a feszültséget és az ellenállást kapcsolja össze egy áramkörben. Gyakran így írják:

Most nézzük a szupravezetés definícióját: ez egyes fémek tulajdonsága, hogy nulla elektromos ellenállással rendelkeznek.

Nos, oldjuk meg a szupravezető áramkör problémáját? Csak helyettesítsd R = 0 nem fog működni, a fizika egy érdekes problémát vet fel, ami mögött nyilvánvalóan tudományos felfedezés húzódik meg. És azok, akik ebben a helyzetben sikerült nullával osztani, megkapták a Nobel-díjat. Hasznos, ha minden tilalmat ki tud lépni!

Az iskola mindannyiunkat megtanít egyszerű szabály, amely nem osztható nullával. Ugyanakkor, amikor feltesszük a kérdést: "Miért?", azt a választ kapjuk: "Ez csak egy szabály, és tudnia kell." Ebben a cikkben megpróbálom elmagyarázni, miért nem lehet nullával osztani. Miért tévednek azok az emberek, akik azt mondják, hogy oszthatsz nullával, és akkor a végtelent kapod?

Miért nem lehet nullával osztani?

Formálisan a matematikában csak két cselekvés létezik. Számok összeadása és szorzása. Akkor mi a helyzet a kivonással és az osztással? Nézzünk egy példát. 7-4 = 3, mindannyian tudjuk, hogy hét mínusz négy egyenlő három. Valójában ez a példa formálisan az x + 4 = 7 egyenletek megoldásának módjaként fogható fel. Vagyis kiválasztunk egy olyan számot, amely négyel együtt 7-et ad. Akkor nem gondolkodunk sokáig, és megértjük, hogy ez a szám egyenlő hárommal. Ugyanez a helyzet a felosztással. Mondjuk 12/3. Ez ugyanaz lesz, mint x * 3 = 12.

Kiválasztunk egy számot, amelyet 3-mal megszorozva 12-t kapunk ebben az esetben m négy lesz belőle. Ez elég nyilvánvaló. Mi a helyzet az olyan példákkal, mint a 7/0. Mi történik, ha hét osztva nullával írunk? Ez azt jelenti, hogy mintha egy 0 * x = 7 alakú egyenletet oldanánk meg. De ennek az egyenletnek nincs megoldása, mert ha nullát megszorozunk bármilyen számmal, akkor mindig nullát kapunk. Vagyis nincs megoldás. Ezt vagy szavakkal írják, hogy nincs megoldás, vagy egy ikonnal, ami üres halmazt jelent.

Más szavakkal

Ez a szabály értelme. Lehetetlen nullával osztani, mert a megfelelő egyenletnek, ahol a nulla szorozva x-szel egyenlő héttel vagy bármely számmal, amelyet nullával próbálunk osztani, nincs megoldása. A legfigyelmesebbek azt mondhatják, hogy ha nullát elosztunk nullával, akkor meglehetősen igazságosan kiderül, hogy ha 0 * X = 0. Minden rendben van, a nullát megszorozzuk valamilyen számmal, nullát kapunk. De akkor tetszőleges számú megoldásunk lehet. Ha azt nézzük, hogy x = 1,0 * 1 = 0, x = 100500, 0 * 100500 = 0. Bármilyen szám működik itt.

Akkor miért válasszunk közülük egyet? Valójában nincs okunk arra, hogy ezek közül a számok közül egyet vegyünk, és azt mondjuk, hogy ezek egyenletek megoldásai. Ezért végtelenül sok megoldás létezik, és ez is egy kétértelmű probléma, amelyben úgy gondolják, hogy nincsenek megoldások.

végtelenség

Fentebb elmondtam az okokat, hogy miért nem tudsz szétválni, most erről szeretnék beszélni. Próbáljunk meg vigyázni a nullával való osztásnál. Először oszd el az 5-öt kettővel. Tudjuk, mi történik decimális 2.5. Most csökkentsük az osztót, és osszuk el 5-öt 1-gyel, így 5 lesz. Most 5-öt osztunk 0,5-tel. Ez ugyanaz, mint ha ötöt osztunk egy másodperccel, vagy ugyanaz, mint 5 * 2, akkor 10 lesz. Figyelem, az osztás eredménye, vagyis a hányados nő: 2,5, 5, 10.

Most osszuk el 5-öt 0,1-gyel, ez ugyanaz lesz, mint 5 * 10 = 50, a hányados ismét nőtt. Ebben az esetben csökkentettük az osztót. Ha 5-öt elosztunk 0,01-gyel, akkor ez ugyanaz, mint 5 * 100 = 500. Néz. Minél kevesebb az osztó, annál nagyobb lesz a hányados. Ha 5-öt elosztunk 0,00001-gyel, akkor 500 000-et kapunk.

Összesít

Mit jelent tehát a nullával való osztás, ha ebben az értelemben nézzük? Figyeld meg, hogyan csökkentettük a hányadosunkat? Ha rajzolsz egy tengelyt, akkor láthatod rajta, hogy először kettős, majd egy, majd 0,5, 0,1 és így tovább. Egyre közelebb kerültünk a nullához jobbra, de soha nem értük el a nullát. Egyre kevesebbet veszünk kevesebb számés beosztjuk a privátunkat. Egyre nagyobb és nagyobb. Ebben az esetben azt írják, hogy 5-öt osztunk X-szel, ahol x végtelenül kicsi. Vagyis egyre közelebb kerül a nullához. Ebben az esetben, amikor ötöt elosztunk X-szel, végtelent kapunk. Végtelenül nagy szám... Itt felmerül egy árnyalat.

Ha a nullához közelítünk a jobb oldalon, akkor ez a végtelenül kis mennyiség pozitív lesz számunkra, és plusz végtelent kapunk. Ha balról közelítünk x-hez, vagyis ha először -2-vel osztunk, akkor -1, -0,5, -0,1 stb. Kapunk egy negatív hányadost. És akkor öt osztva x-szel, ahol x végtelenül kicsi lesz, de már balra, egyenlő mínusz végtelennel. Ilyenkor azt írják: x jobb oldalon nullára hajlik, 0 + 0, ami azt mutatja, hogy a jobb oldalon nullára törekszünk. Mondjuk, ha jobbról hármasra céloznánk, akkor ebben az esetben balra törekvő x-et írnak. Ennek megfelelően a bal oldali hármasra törekednénk, úgy írva le, hogy az X 3-0-ra hajlik.

Hogyan segíthet egy függvénygrafikon

Ennek jobb megértését segíti a függvény grafikonja, amelyet az iskolában végig végigjártunk. A függvényt inverz kapcsolatnak nevezzük, grafikonja pedig hiperbola. A hiperbola így néz ki. Ez egy olyan görbe, amelynek aszimptotái az x tengely és az y tengely. Az aszimptoták egyenes vonalak, amelyeket a görbe hajlamos, de soha nem ér el. Ilyen a matematikai dráma. Azt látjuk, hogy minél közelebb kerülünk a nullához, annál nagyobb lesz az értékünk. Minél kisebb lesz az x, vagyis amikor az x a jobb oldalon nullára hajlik, az y egyre nagyobb lesz, és a plusz végtelenbe rohan. Ennek megfelelően, amikor a bal oldalon nullára hajlik, amikor x a bal oldalon nullára, azaz x 0-0-ra hajlik, akkor a játék mínusz végtelenbe hajlik. Helyesen így van megírva. A játékos mínusz végtelenre hajlamos, az X pedig nullára balról. Ennek megfelelően azt írjuk, hogy a játék tendenciája plusz a végtelen, az x a jobb oldalon nulla. Vagyis valójában nem nullával osztunk, hanem végtelenül kicsivel.

Akik pedig azt mondják, hogy lehet nullával osztani, csak a végtelent kapjuk, azok csak arra gondolnak, hogy nem nullával lehet osztani, hanem nullához közeli számmal, vagyis végtelenül kicsivel lehet osztani. Ekkor plusz végtelent kapunk, ha osztunk a végtelenül kicsi pozitívval, és mínusz végtelent osztunk a végtelenül kicsi negatívtal.

Remélem, ez a cikk segített megérteni azt a kérdést, amely gyermekkora óta a leginkább gyötör, miért nem lehet nullával osztani. Miért vagyunk kénytelenek megtanulni valamilyen szabályt, de nincs megmagyarázva. Remélem, ez a cikk segített rájönni, hogy valóban lehetetlen nullával osztani, és azok, akik azt mondják, hogy lehet nullával osztani, valójában arra gondolnak, hogy végtelenül kicsi értékkel oszthatók.

Az iskolai aritmetika során minden matematikai műveletet valós számokkal hajtunk végre. E számok halmaza (vagy egy folytonos rendezett mező) számos tulajdonsággal (axiómával) rendelkezik: a szorzás és összeadás kommutativitása és asszociativitása, nulla, egy, ellentétes és inverz elemek létezése. A rend és a folytonosság axiómái is vonatkoztak rá összehasonlító elemzés, lehetővé teszi a valós számok összes tulajdonságának meghatározását.

Mivel az osztás a szorzás inverze, a valós számok nullával való osztása elkerülhetetlenül két megoldhatatlan problémához vezet. Először is, a nullával való osztás eredményének szorzással történő tesztelése nem rendelkezik numerikus kifejezéssel. Bármilyen szám is legyen a hányados, ha megszorozzuk nullával, nem kaphatunk osztalékot. Másodszor, a 0:0 példában a válasz abszolút tetszőleges szám lehet, amely osztóval szorozva mindig nullává válik.

Osztás nullával a felsőbb matematikában

A nullával való osztás felsorolt nehézségei szerint a művelet tabutémálásához vezetett legalább, az iskolai tanfolyam részeként. Azonban in felsőbb matematika találjon módot ennek a tilalomnak a megkerülésére.

Például egy másik algebrai struktúra felépítésével, amely különbözik az ismerős számegyenestől. Ilyen szerkezet például a kerék. Itt törvények és szabályok vannak. Az osztás különösen nincs szorzáshoz kötve, és bináris műveletből (két argumentummal) unárissá válik (egy argumentummal), amelyet a / x szimbólum jelöl.

A valós számok mezejének bővülése a hiperreális számok bevezetése miatt következik be, amely végtelenül nagy és végtelenül kicsi mennyiségeket takar. Ez a megközelítés lehetővé teszi számunkra, hogy a „végtelen” kifejezést egy bizonyos számnak tekintsük. Sőt, amikor a számegyenes kitágul, elveszti előjelét, és idealizált ponttá alakul, amely összeköti ennek a vonalnak a két végét. Ez a megközelítés egy dátumvonalhoz hasonlítható, amikor két UTC + 12 és UTC-12 időzóna közötti váltáskor a következő nap vagy az előzőben. Ebben az esetben az x / 0 = ∞ állítás igaz lesz bármely x ≠ 0 esetén.

A 0/0 kétértelműség kiküszöbölésére a kerékhez új ⏊ = 0/0 elem kerül bevezetésre. Ráadásul ennek az algebrai struktúrának megvannak a maga árnyalatai: 0 · x ≠ 0; x-x ≠ 0 c általános eset... Szintén x · / x ≠ 1, mivel az osztás és szorzás már nem tekinthető inverz műveletnek. De a kerék ezen tulajdonságai jól megmagyarázhatók a disztributív törvény azonosságai segítségével, amely némileg eltérően működik egy ilyen algebrai struktúrában. Részletesebb magyarázatok a szakirodalomban találhatók.

Az algebra, amelyhez mindenki hozzászokott, valójában többnek egy speciális esete összetett rendszerek például ugyanaz a kerék. Amint látja, a felsőbb matematikában lehetséges nullával osztani. Ehhez túl kell lépni a számokról, az algebrai műveletekről és az ezek által betartott törvényekről szóló szokásos elképzelések határain. Bár eléggé természetes folyamat minden új tudás utáni keresést kísérve.