A háromszög egy geometriai alakzat, amely három egyenes vonalból áll, amelyek olyan pontokban kapcsolódnak össze, amelyek nem ugyanazon az egyenesen fekszenek. A vonalak kapcsolódási pontjai a háromszög csúcsai, amelyeket kijelölünk latin betűkkel(pl. A, B, C). A háromszög összekötő egyeneseit szakaszoknak nevezzük, amelyeket latin betűkkel is szoktak jelölni. A következő típusú háromszögeket különböztetjük meg:

• Négyszögletes.
• Tompa.
• Akut szögletes.
• Sokoldalú.
• Egyenlő oldalú.
• Egyenlő szárú.

Általános képletek a háromszög területének kiszámításához

A háromszög területének képlete a hosszúság és a magasság alapján

S= a*h/2,
ahol a a háromszög oldalának hossza, amelynek területét meg kell keresni, h az alaphoz húzott magasság hossza.

Heron képlete

S=√р*(р-а)*(р-b)*(p-c),
ahol √ van Négyzetgyök, p a háromszög fél kerülete, a,b,c a háromszög mindkét oldalának hossza. A háromszög fél kerülete a p=(a+b+c)/2 képlettel számítható ki.

A háromszög területének képlete a szakasz szöge és hossza alapján

S = (a*b*sin(α))/2,
Ahol b,c az a háromszög oldalainak hossza, sin(α) a két oldal közötti szög szinusza.

A háromszög területének képlete a beírt kör sugara és három oldala alapján

S=p*r,
ahol p annak a háromszögnek a fél kerülete, amelynek területét meg kell keresni, r a háromszögbe írt kör sugara.

A háromszög területének képlete három oldal és a köréje körülírt kör sugara alapján

S= (a*b*c)/4*R,
ahol a,b,c a háromszög mindkét oldalának hossza, R a háromszög köré körülírt kör sugara.

A háromszög területének képlete a pontok derékszögű koordinátáival

A pontok derékszögű koordinátái az xOy rendszer koordinátái, ahol x az abszcissza, y az ordináta. Az xOy derékszögű koordinátarendszer egy síkon az egymásra merőleges Ox és Oy numerikus tengelyek, amelyeknek közös origójuk van az O pontban. Ha ezen a síkon a pontok koordinátáit A(x1, y1), B(x2, y2) formában adjuk meg. ) és C(x3, y3 ), akkor kiszámíthatja a háromszög területét a következő képlettel, amelyet két vektor vektorszorzatából kapunk.
S = |(x1 – x3) (y2 – y3) – (x2 – x3) (y1 – y3)|/2,
ahol || a modul rövidítése.

Hogyan találjuk meg a derékszögű háromszög területét

A derékszögű háromszög olyan háromszög, amelynek egyik szöge 90 fok. Egy háromszögnek csak egy ilyen szöge lehet.

Egy derékszögű háromszög két oldali területének képlete

S= a*b/2,
ahol a,b a lábak hossza. A lábak a derékszöggel szomszédos oldalak.

A derékszögű háromszög területének képlete a befogó és a hegyesszög alapján

S = a*b*sin(α)/2,
ahol a, b a háromszög szárai, sin(α) pedig annak a szögnek a szinusza, amelyben az a, b egyenesek metszik egymást.

A derékszögű háromszög területének képlete az oldal és a szemközti szög alapján

S = a*b/2*tg(β),
ahol a, b a háromszög szárai, tan(β) annak a szögnek az érintője, amelyben az a, b szárak kapcsolódnak.

Hogyan lehet kiszámítani egy egyenlő szárú háromszög területét

Egy egyenlő szárú háromszög az, amelynek két egyenlő oldala van. Ezeket az oldalakat oldalaknak nevezzük, a másik oldalt pedig az alapnak. Egy egyenlő szárú háromszög területének kiszámításához a következő képletek egyikét használhatja.

Alapképlet egy egyenlő szárú háromszög területének kiszámításához

S=h*c/2,
ahol c a háromszög alapja, h a háromszög alapjához süllyesztett magassága.

Egy egyenlő szárú háromszög képlete oldal és alap alapján

S=(c/2)* √(a*a – c*c/4),
ahol c a háromszög alapja, a az egyenlő szárú háromszög egyik oldalának mérete.

Hogyan találjuk meg az egyenlő oldalú háromszög területét

Az egyenlő oldalú háromszög olyan háromszög, amelynek minden oldala egyenlő. Terület kiszámításához egyenlő oldalú háromszög használhatja a következő képletet:
S = (√3*a*a)/4,
ahol a az egyenlő oldalú háromszög oldalának hossza.

A fenti képletek lehetővé teszik a háromszög szükséges területének kiszámítását. Fontos megjegyezni, hogy a háromszögek területének kiszámításához figyelembe kell venni a háromszög típusát és a számításhoz felhasználható adatokat.

Utasítás

A felek a szögeket pedig alapelemeknek tekintjük A. A háromszöget a következő alapelemek bármelyike ​​teljesen meghatározza: vagy három oldal, vagy egy oldal és két szög, vagy két oldal és a köztük lévő szög. A létezésért háromszög három oldal által adott a, b, c, szükséges és elégséges az egyenlőtlenségeknek nevezett egyenlőtlenségek kielégítéséhez háromszög:
a+b > c,
a+c > b,
b+c > a.

Építéshez háromszög három oldalon a, b, c, a CB = a szakasz C pontjából egy b sugarú kört kell rajzolni egy iránytű segítségével. Ezután hasonló módon rajzoljunk kört a B pontból egy sugarú körrel oldallal egyenlő c. Az A metszéspontjuk a kívánt harmadik csúcsa háromszög ABC, ahol AB=c, CB=a, CA=b - oldalak háromszög. A probléma , ha az a, b, c oldalak kielégítik az egyenlőtlenségeket háromszög lépésben meghatározott.

Az S terület így megépült háromszög Az ismert a, b, c oldalú ABC-t a Heron-képlet segítségével számítjuk ki:
S=v(p(p-a)(p-b)(p-c)),
ahol a, b, c oldalak háromszög, p – fél kerület.
p = (a+b+c)/2

Ha egy háromszög egyenlő oldalú, azaz minden oldala egyenlő (a=b=c). Terület háromszög képlettel számolva:
S=(a^2 v3)/4

Ha a háromszög derékszögű, vagyis az egyik szöge 90°, és az azt alkotó oldalak lábak, akkor a harmadik oldal a befogó. BAN BEN ebben az esetben négyzet egyenlő a lábak szorzatával osztva kettővel.
S=ab/2

Megtalálni négyzet háromszög, használhatja a sok képlet egyikét. Válasszon egy képletet attól függően, hogy mely adatok már ismertek.

Szükséged lesz

• képletek ismerete a háromszög területének meghatározásához

Utasítás

Ha ismeri az egyik oldal méretét és a vele ellentétes szögből erre az oldalra süllyesztett magasság értékét, akkor a területet a következő módszerrel találhatja meg: S = a*h/2, ahol S a terület a háromszögből a a háromszög egyik oldala, h pedig magassága az a oldalhoz.

Ismert módszer a háromszög területének meghatározására, ha ismert a három oldala. Ez Heron képlete. Rögzítésének egyszerűsítésére bevezetünk egy köztes értéket - félperimétert: p = (a+b+c)/2, ahol a, b, c - . Ekkor a Heron-képlet a következő: S = (p(p-a)(p-b)(p-c))^½, ^ hatványozás.

Tegyük fel, hogy ismeri a háromszög egyik oldalát és három szögét. Ekkor könnyű megtalálni a háromszög területét: S = a²sinα sinγ / (2sinβ), ahol β az a oldallal ellentétes szög, α és γ pedig az oldallal szomszédos szögek.

Videó a témáról

jegyzet

A legtöbb általános képlet, amely minden esetre alkalmas a Heron formula.

Források:

3. tipp: Hogyan találjuk meg a háromszög területét három oldal alapján

A háromszög területének megtalálása az egyik leggyakoribb probléma az iskolai planimetriában. A háromszög három oldalának ismerete elegendő bármely háromszög területének meghatározásához. Az egyenlő oldalú háromszögek speciális eseteiben elegendő két, illetve egy oldal hosszának ismerete.

Szükséged lesz

• háromszögek oldalainak hossza, Heron-képlet, koszinusztétel

Utasítás

Heron képlete a háromszög területére a következő: S = sqrt(p(p-a)(p-b)(p-c)). Ha felírjuk a p fél kerületet, akkor a következőt kapjuk: S = sqrt(((a+b+c)/2)((b+c-a)/2)((a+c-b)/2)((a+b-c )/2) ) = (sqrt((a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)))/4.

Megfontolások alapján levezetheti a háromszög területének képletét, például a koszinusztétel alkalmazásával.

A koszinusztétel szerint AC^2 = (AB^2)+(BC^2)-2*AB*BC*cos(ABC). A bevezetett jelölésekkel ezek a következő formában is felírhatók: b^2 = (a^2)+(c^2)-2a*c*cos(ABC). Ezért cos(ABC) = ((a^2)+(c^2)-(b^2))/(2*a*c)

A háromszög területét az S = a*c*sin(ABC)/2 képlet is meghatározza, két oldal és a köztük lévő szög felhasználásával. Az ABC szög szinusza az alap segítségével fejezhető ki vele trigonometrikus azonosság: sin(ABC) = sqrt(1-((cos(ABC))^2) Ha behelyettesíti a szinust a terület képletébe és kiírja, az ABC háromszög területének képletéhez juthat.

Videó a témáról

A javítási munkák elvégzéséhez szükség lehet mérésre négyzet falak Ez megkönnyíti a szükséges festék- vagy tapétamennyiség kiszámítását. A mérésekhez a legjobb mérőszalagot vagy mérőszalagot használni. A méréseket ezután kell elvégezni falak kiegyenlítették.

Szükséged lesz

• -rulett;
• -létra.

Utasítás

Számolni négyzet falakra, ismernie kell a mennyezet pontos magasságát, és meg kell mérnie a hosszát a padló mentén. Ezt a következőképpen kell megtenni: vegyünk egy centimétert, és fektessük az alaplapra. Általában egy centiméter nem elég a teljes hosszra, ezért rögzítse a sarokban, majd tekerje le a maximális hosszra. Ezen a ponton ceruzával jelölje meg, írja le a kapott eredményt, és végezzen további méréseket ugyanúgy, az utolsó mérési ponttól kezdve.

A standard mennyezet 2 méter 80 centiméter, 3 méter és 3 méter 20 centiméter, háztól függően. Ha a ház az 50-es évek előtt épült, akkor valószínűleg a tényleges magasság valamivel alacsonyabb a jelzettnél. Ha számolsz négyzet javítási munkákhoz, akkor egy kis készlet sem árt - a szabvány alapján fontolja meg. Ha mégis tudnia kell a valós magasságot, végezzen méréseket. Az elv hasonló a hossz méréséhez, de szükség lesz egy létrára.

Szorozzuk meg a kapott mutatókat - ez van négyzet a tiéd falak. Igaz, festéskor vagy festéshez ki kell vonni négyzet ajtó- és ablaknyílások. Ehhez fektessen egy centimétert a nyílás mentén. Ha olyan ajtóról beszélünk, amelyet később cserélni fog, akkor folytassa az ajtókeret eltávolításával, figyelembe véve négyzet közvetlenül magához a nyíláshoz. Az ablak területét a keret kerülete mentén számítják ki. Után négyzet kiszámított ablak és ajtónyílás, vonja le az eredményt a szoba teljes területéből.

Felhívjuk figyelmét, hogy két embernek kell megmérnie a szoba hosszát és szélességét, így könnyebben rögzíthet egy centimétert vagy mérőszalagot, és ennek megfelelően többet kaphat pontos eredmény. Végezze el többször ugyanazt a mérést, hogy megbizonyosodjon arról, hogy a kapott számok pontosak.

Videó a témáról

A háromszög térfogatának meghatározása valóban nem triviális feladat. A helyzet az, hogy a háromszög kétdimenziós alakzat, azaz. teljesen egy síkban fekszik, ami azt jelenti, hogy egyszerűen nincs térfogata. Természetesen nem lehet találni olyat, ami nem létezik. De ne adjuk fel! Elfogadhatjuk a következő feltevést: egy kétdimenziós alakzat térfogata a területe. Megkeressük a háromszög területét.

Szükséged lesz

• papírlap, ceruza, vonalzó, számológép

Utasítás

Rajzolj egy darab papírra vonalzóval és ceruzával. A háromszög alapos vizsgálatával megbizonyosodhat arról, hogy valóban nincs-e háromszöge, hiszen síkra van rajzolva. Jelölje meg a háromszög oldalait: legyen az egyik oldala "a", a másik oldala "b", a harmadik oldala "c". Jelölje meg a háromszög csúcsait "A", "B" és "C" betűkkel.

Mérjük meg vonalzóval a háromszög bármely oldalát, és írjuk le az eredményt. Ezek után állítsunk vissza egy merőlegest a mért oldalra a vele szemközti csúcsból, ilyen merőleges lesz a háromszög magassága. Az ábrán látható esetben az "A" csúcsból a "h" merőleges visszaáll a "c" oldalra. Mérje meg a kapott magasságot vonalzóval, és írja le a mérési eredményt.

Nehéz lehet a pontos merőleges visszaállítása. Ebben az esetben más képletet kell használnia. Mérjük meg vonalzóval a háromszög minden oldalát. Ezután számítsa ki a „p” háromszög fél kerületét úgy, hogy összeadja a kapott oldalak hosszát, és elosztja azok összegét. Ha a fél kerület értéke a rendelkezésére áll, használhatja a Heron képletét. Ehhez a következő négyzetgyökét kell venni: p(p-a)(p-b)(p-c).

Megszerezte a háromszög szükséges területét. A háromszög térfogatának megtalálásának problémája nem megoldott, de ahogy fentebb említettük, a térfogat nem. A háromdimenziós világban olyan térfogatot találhat, amely lényegében egy háromszög. Ha azt képzeljük, hogy eredeti háromszögünk háromdimenziós piramis lett, akkor egy ilyen piramis térfogata az alapja hosszának és a kapott háromszög területének szorzata lesz.

jegyzet

Minél alaposabban mér, annál pontosabb lesz a számítása.

Források:

• Számológép „Mindent mindenhez” – a referenciaértékek portálja
• háromszög térfogata 2019-ben

A háromszöget a derékszögű koordinátarendszerben egyedileg meghatározó három pont a háromszög csúcsai. Az egyes koordinátatengelyekhez viszonyított helyzetük ismeretében kiszámíthatja ennek a lapos alakzatnak a paramétereit, beleértve azokat is, amelyeket a kerülete korlátoz. négyzet. Ezt többféleképpen is meg lehet tenni.

Utasítás

Használja Heron képletét a terület kiszámításához háromszög. Ez magában foglalja az ábra három oldalának méreteit, ezért kezdje a számításokat a -val. Mindegyik oldal hosszának meg kell egyeznie a koordinátatengelyekre vetített vetületei hosszának négyzetösszegének gyökével. Ha az A(X₁,Y1,Z1), B(X2,Y2,Z2) és C(X3,Y3,Z3) koordinátákat jelöljük, akkor ezek oldalainak hossza a következőképpen fejezhető ki: AB = √((X₁- X2)² + (Y1 -Y2)² + (Z1-Z2)²), BC = √((X2-X3)² + (Y2-Y3)² + (Z2-Z3)²), AC = √(( X1-X3)² + (Y1-Y3)² + (Z1-Z3)²).

A számítások egyszerűsítése érdekében vezessen be egy segédváltozót - a félperimétert (P). Abból, hogy ez az összes oldal hosszának a fele: P = ½*(AB+BC+AC) = ½*(√((X1-X2)² + (Y1-Y2)² + (Z1- Z2)²) + √ ((X2-X3)² + (Y2-Y3)² + (Z2-Z3)²) + √((X1-X3)² + (Y1-Y3)² + (Z1-Z3) ²).

A háromszög mindenki számára ismerős alak. És ez a formák gazdag változatossága ellenére. Téglalap alakú, egyenlő oldalú, hegyes, egyenlő szárú, tompa alakú. Mindegyik különbözik valamilyen szempontból. De bárkinek meg kell találnia egy háromszög területét.

Minden olyan háromszögben közös képletek, amelyek az oldalak vagy a magasságok hosszát használják

A bennük elfogadott megnevezések: oldalak - a, b, c; magasságok a megfelelő oldalakon a, n in, n with.

1. Egy háromszög területét ½, egy oldal és az abból levont magasság szorzataként számítjuk ki. S = ½ * a * n a. A másik két oldal képleteit hasonlóan kell felírni.

2. Heron-képlet, amelyben megjelenik a félkeret (ezt általában kis p betűvel jelölik, ellentétben a teljes kerülettel). A fél kerületet a következőképpen kell kiszámítani: összeadjuk az összes oldalt, és elosztjuk 2-vel. A fél kerület képlete: p = (a+b+c) / 2. Ekkor a terület egyenlősége ​​az ábra így néz ki: S = √ (p * (p - a) * ( р - в) * (р - с)).

3. Ha nem szeretne félkörvonalat használni, akkor hasznos lehet egy olyan képlet, amely csak az oldalak hosszát tartalmazza: S = ¼ * √ ((a + b + c) * (b + c - a ) * (a + c - c) * (a + b - c)). Kicsit hosszabb, mint az előző, de segít, ha elfelejtette, hogyan kell megtalálni a fél kerületet.

Általános képletek a háromszög szögeivel

A képletek olvasásához szükséges jelölések: α, β, γ - szögek. Ellentétes oldalon helyezkednek el a, b, c, ill.

1. Eszerint két oldal és a köztük lévő szög szinuszának szorzatának fele egyenlő a háromszög területével. Vagyis: S = ½ a * b * sin γ. Hasonló módon le kell írnia a másik két eset képleteit.

2. Egy háromszög területe egy oldalról és három ismert szögből számítható. S = (a 2 * sin β * sin γ) / (2 sin α).

3. Van olyan képlet is, amelynek egy ismert oldala és két szomszédos szöge van. Így néz ki: S = c 2 / (2 (ctg α + ctg β)).

Az utolsó két képlet nem a legegyszerűbb. Elég nehéz megjegyezni őket.

Általános képletek olyan helyzetekre, amikor a beírt vagy körülírt körök sugarai ismertek

További jelölések: r, R - sugarak. Az elsőt a beírt kör sugarára használják. A második a leírtakra vonatkozik.

1. Az első képlet, amellyel a háromszög területét kiszámítják, a fél kerülethez kapcsolódik. S = r * r. Egy másik módja ennek felírásának: S = ½ r * (a + b + c).

2. A második esetben meg kell szoroznia a háromszög összes oldalát, és el kell osztania a körülírt kör sugarának négyszeresével. Szó szerinti kifejezésben így néz ki: S = (a * b * c) / (4R).

3. A harmadik helyzet lehetővé teszi, hogy az oldalak ismerete nélkül csinálja, de szüksége lesz mindhárom szög értékére. S = 2 R 2 * sin α * sin β * sin γ.

Különleges eset: derékszögű háromszög

Ez a legegyszerűbb helyzet, mivel csak mindkét láb hosszára van szükség. A latin a és b betűk jelölik őket. Négyzet derékszögű háromszög egyenlő a hozzá adott téglalap területének felével.

Matematikailag így néz ki: S = ½ a * b. Ezt a legkönnyebb megjegyezni. Mivel úgy néz ki, mint egy téglalap területének képlete, csak egy töredék jelenik meg, ami a felét jelzi.

Különleges eset: egyenlő szárú háromszög

Mivel két egyenlő oldala van, a területére vonatkozó képletek kissé leegyszerűsítettnek tűnnek. Például a Heron-képlet, amely egy egyenlő szárú háromszög területét számítja ki, a következő formában jelenik meg:

S = ½ in √((a + ½ in)*(a - ½ in)).

Ha átalakítod, rövidebb lesz. Ebben az esetben a Heron képlete egy egyenlő szárú háromszögre a következőképpen írható fel:

S = ¼ in √(4 * a 2 - b 2).

A területképlet valamivel egyszerűbbnek tűnik, mint egy tetszőleges háromszög esetében, ha ismertek az oldalak és a köztük lévő szög. S = ½ a 2 * sin β.

Különleges eset: egyenlő oldalú háromszög

A problémákban általában ismert az oldal, vagy ki lehet deríteni valamilyen módon. Ezután egy ilyen háromszög területének megtalálásának képlete a következő:

S = (a 2 √3) / 4.

Problémák a terület megtalálásával, ha a háromszög kockás papíron van ábrázolva

A legegyszerűbb helyzet az, amikor egy derékszögű háromszöget úgy rajzolunk, hogy a lábai egybeessenek a papír vonalaival. Ezután csak meg kell számolnia a lábakba illeszkedő sejtek számát. Ezután szorozd meg őket és oszd el kettővel.

Ha a háromszög hegyes vagy tompaszögű, akkor téglalapra kell rajzolni. Ekkor a kapott ábrának 3 háromszöge lesz. Az egyik a feladatban megadott. A másik kettő pedig segéd- és téglalap alakú. Az utolsó kettő területét a fent leírt módszerrel kell meghatározni. Ezután számítsa ki a téglalap területét, és vonja ki belőle a kiegészítőkre kiszámított értékeket. A háromszög területe meg van határozva.

Sokkal bonyolultabbnak bizonyul az a helyzet, amikor a háromszög egyik oldala sem esik egybe a papír vonalaival. Ezután téglalapba kell írni úgy, hogy az eredeti ábra csúcsai az oldalain feküdjenek. Ebben az esetben három kiegészítő derékszögű háromszög lesz.

Példa egy problémára a Heron-képlet használatával

Feltétel. Néhány háromszögnek ismert oldalai vannak. Ezek egyenlőek 3, 5 és 6 cm. Meg kell találni a területét.

Most a fenti képlet segítségével kiszámíthatja a háromszög területét. A négyzetgyök alatt négy szám szorzata található: 7, 4, 2 és 1. Vagyis a terület √(4 * 14) = 2 √(14).

Ha nincs szükség nagyobb pontosságra, akkor 14 négyzetgyökét veheti fel. Ez egyenlő 3,74-gyel. Ekkor a terület 7.48 lesz.

Válasz. S = 2 √14 cm 2 vagy 7,48 cm 2.

Példa feladat derékszögű háromszöggel

Feltétel. Egy derékszögű háromszög egyik lába 31 cm-rel nagyobb, mint a második. Meg kell találni a hosszukat, ha a háromszög területe 180 cm 2.
Megoldás. Két egyenletrendszert kell megoldanunk. Az első a területtel kapcsolatos. A második a lábak arányával, ami a feladatban van megadva.
180 = ½ a * b;

a = b + 31.
Először is, az „a” értékét be kell cserélni az első egyenletbe. Kiderült: 180 = ½ (in + 31) * hüvelyk. Csak egy ismeretlen mennyisége van, így könnyen megoldható. A zárójelek kinyitása után megkapjuk másodfokú egyenlet: in 2 + 31 in - 360 = 0. Két értéket ad a "ben"-nek: 9 és -40. A második szám nem alkalmas válaszként, mivel a háromszög oldalának hossza nem lehet negatív érték.

Marad a második láb kiszámítása: a kapott számhoz adjunk hozzá 31-et, és kiderül, hogy 40. Ezeket a mennyiségeket keressük a feladatban.

Válasz. A háromszög lábai 9 és 40 cm.

A háromszög területén, oldalain és szögén keresztüli oldal megtalálásának problémája

Feltétel. Egy bizonyos háromszög területe 60 cm 2. Ki kell számítani az egyik oldalát, ha a második oldal 15 cm, és a köztük lévő szög 30º.

Megoldás. Alapján elfogadott jelöléseket, a kívánt oldal „a”, az ismert oldal „b”, a megadott szög „γ”. Ezután a területképlet a következőképpen írható át:

60 = ½ a * 15 * sin 30º. Itt a 30 fok szinusza 0,5.

A transzformációk után az „a” 60 / (0,5 * 0,5 * 15) lesz. Azaz 16.

Válasz. A szükséges oldal 16 cm.

Feladat derékszögű háromszögbe írt négyzetről

Feltétel. A 24 cm-es oldalú négyzet csúcsa egybeesik a háromszög derékszögével. A másik kettő oldalt fekszik. A harmadik a hypotenusához tartozik. Az egyik láb hossza 42 cm. Mekkora a derékszögű háromszög területe?

Megoldás. Tekintsünk két derékszögű háromszöget. Az első a feladatban megadott. A második az eredeti háromszög ismert szárán alapul. Hasonlóak, mert közös szögük van, és párhuzamos vonalak alkotják.

Ekkor a lábaik aránya egyenlő. A kisebbik háromszög lábai egyenlők 24 cm-rel (a négyzet oldala) és 18 cm-rel (adott szárból 42 cm-ből vonjuk le a négyzet oldalát 24 cm-rel). Egy nagy háromszög megfelelő lábai 42 cm és x cm. Erre az „x”-re van szükség a háromszög területének kiszámításához.

18/42 = 24/x, azaz x = 24 * 42 / 18 = 56 (cm).

Ekkor a terület egyenlő 56 és 42 szorzatával, osztva kettővel, azaz 1176 cm 2-rel.

Válasz. A szükséges terület 1176 cm 2.

Egy háromszög területe - képletek és példák a problémamegoldásra

Alul láthatók képletek egy tetszőleges háromszög területének meghatározásához amelyek alkalmasak bármely háromszög területének megtalálására, függetlenül annak tulajdonságaitól, szögeitől vagy méretétől. A képleteket kép formájában mutatjuk be, az alkalmazásuk magyarázatával vagy helyességük indoklásával. A megfeleléseket külön ábra is jelzi betűjelölések képletekben és grafikus szimbólumokban a rajzon.

jegyzet . Ha a háromszög rendelkezik speciális tulajdonságok(egyenlőszárú, téglalap, egyenlő oldalú), használhatja az alábbi képleteket, valamint további speciális képleteket, amelyek csak az alábbi tulajdonságokkal rendelkező háromszögekre érvényesek:

• "Egy egyenlő oldalú háromszög területének képlete"

Háromszög terület képletek

Magyarázatok a képletekhez:
a, b, c- a háromszög oldalainak hossza, amelynek területét meg akarjuk találni
r- a háromszögbe írt kör sugara
R- a háromszög köré körülírt kör sugara
h- a háromszög magassága oldalra süllyesztve
p- a háromszög fél kerülete, oldalai összegének 1/2-e ( kerülete)
α - a háromszög a oldalával ellentétes szög
β - a háromszög b oldalával ellentétes szög
γ - a háromszög c oldalával ellentétes szög
h a, h b , h c- a háromszög magassága leengedve az a, b, c oldalra

Felhívjuk figyelmét, hogy a fenti jelölések megfelelnek a fenti ábrának, így a megoldás során valódi probléma a geometriát tekintve vizuálisan könnyebb volt behelyettesíteni a megfelelő helyeket a képletek helyes értékek.

• A háromszög területe a a háromszög magasságának és annak az oldalnak a hosszának a szorzatának fele, amellyel ez a magasság csökken(Forma-1). Ennek a képletnek a helyessége logikusan érthető. Az alapra csökkentett magasság egy tetszőleges háromszöget két téglalap alakúra oszt. Ha mindegyiket egy b és h méretű téglalapba építi, akkor nyilvánvalóan ezeknek a háromszögeknek a területe pontosan megegyezik a téglalap területének felével (Spr = bh)
• A háromszög területe a két oldala és a köztük lévő szög szinuszának szorzatának fele(2. képlet) (lásd alább a probléma megoldásának példáját ezzel a képlettel). Annak ellenére, hogy az előzőtől eltérőnek tűnik, könnyen átalakítható azzá. Ha a magasságot a B szögről a b oldalra csökkentjük, akkor kiderül, hogy az a oldal és a γ szög szinuszának szorzata a derékszögű háromszög szinuszának tulajdonságai szerint egyenlő az általunk megrajzolt háromszög magasságával. , ami az előző képletet adja
• Megtalálható egy tetszőleges háromszög területe keresztül munka a beléírt kör sugarának fele az összes oldala hosszának összegével(3. képlet), egyszerűen fogalmazva, meg kell szorozni a háromszög fél kerületét a beírt kör sugarával (ezt könnyebb megjegyezni)
• Egy tetszőleges háromszög területét úgy kaphatjuk meg, hogy minden oldalának szorzatát elosztjuk a köréje körülírt kör 4 sugarával (4. képlet)
• Az 5-ös képlet egy háromszög területét az oldalai hosszán és a fél kerületén keresztül (az összes oldala összegének fele) keresi meg.
• Heron képlete(6) ugyanannak a képletnek a reprezentációja a félkörfogalom használata nélkül, csak az oldalak hossza mentén
• Egy tetszőleges háromszög területe egyenlő a háromszög oldalának négyzetének és az ezzel az oldallal szomszédos szögek szinuszainak szorzatával, osztva az ezzel az oldallal ellentétes szög kettős szinuszával (7. képlet)
• Egy tetszőleges háromszög területét a kör két négyzetének szorzataként találhatjuk meg, amelyeket az egyes szögeinek szinuszai vesznek körül. (Forma-8)
• Ha ismert az egyik oldal hossza és két szomszédos szög értéke, akkor a háromszög területe ennek az oldalnak a négyzete osztva e szögek kotangenseinek kettős összegével (9. képlet)
• Ha a háromszög mindegyik magasságának csak a hossza ismert (10-es képlet), akkor egy ilyen háromszög területe fordítottan arányos e magasságok hosszával, ahogy a Heron-képlet szerint
• A 11-es képlet lehetővé teszi a számítást egy háromszög területe a csúcsok koordinátái alapján, amelyek (x;y) értékként vannak megadva az egyes csúcsokhoz. Vegye figyelembe, hogy a kapott értéket modulo kell venni, mivel az egyes (vagy akár az összes) csúcs koordinátái a negatív értékek tartományába eshetnek

jegyzet. Az alábbiakban példákat mutatunk be a geometriai problémák megoldására a háromszög területének meghatározásához. Ha egy itt nem hasonló geometriai feladatot kell megoldania, írjon róla a fórumba. A megoldásokban a "négyzetgyök" szimbólum helyett az sqrt() függvény használható, amelyben az sqrt a négyzetgyök szimbólum, a gyök kifejezést pedig zárójelben jelöljük.Néha egyszerű radikális kifejezésekhez a szimbólum használható √

Feladat. Keresse meg a két oldal adott területét és a köztük lévő szöget!

A háromszög oldalai 5 és 6 cm, a köztük lévő szög 60 fokos. Keresse meg a háromszög területét.

Megoldás.

A feladat megoldására a lecke elméleti részéből a kettes számú képletet használjuk.
A háromszög területe két oldal hosszán és a közöttük lévő szög szinuszán keresztül található, és egyenlő lesz
S=1/2 ab sin γ

Mivel a megoldáshoz minden szükséges adatunk megvan (a képlet szerint), ezért a képletbe csak a feladatfeltételek értékeit tudjuk behelyettesíteni:
S = 1/2 * 5 * 6 * sin 60

A trigonometrikus függvények értéktáblázatában megtaláljuk és behelyettesítjük a szinusz 60 fokos értékét a kifejezésbe. Ez egyenlő lesz háromszor kettő gyökével.
S = 15 √3/2

Válasz: 7,5 √3 (a tanár igényeitől függően valószínűleg hagyhat 15 √3/2-t)

Feladat. Keresse meg egy egyenlő oldalú háromszög területét

Keresse meg egy egyenlő oldalú háromszög területét, amelynek oldala 3 cm.

Megoldás .

A háromszög területét a Heron-képlet segítségével találhatjuk meg:

S = 1/4 négyzetméter((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))

Mivel a = b = c, az egyenlő oldalú háromszög területének képlete a következő:

S = √3 / 4 * a 2

S = √3 / 4 * 3 2

Válasz: 9 √3 / 4.

Feladat. Területváltás az oldalak hosszának megváltoztatásakor

Hányszorosára nő a háromszög területe, ha az oldalakat négyszeresére növeljük?

Megoldás.

Mivel a háromszög oldalainak méretei számunkra ismeretlenek, a feladat megoldásához feltételezzük, hogy az oldalak hossza rendre egyenlő tetszőleges a, b, c számokkal. Ezután a probléma kérdésének megválaszolásához megkeressük a területet adott háromszög, majd keresse meg egy háromszög területét, amelynek oldalai négyszer nagyobbak. E háromszögek területének aránya megadja a választ a problémára.

Az alábbiakban lépésről lépésre szöveges magyarázatot adunk a probléma megoldásáról. A legvégén azonban ugyanez a megoldás kényelmesebb grafikus formában kerül bemutatásra. Az érdeklődők azonnal lemehetnek a megoldásokra.

A megoldáshoz a Heron-képletet használjuk (lásd fent a lecke elméleti részében). Ez így néz ki:

S = 1/4 négyzetméter((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
(lásd a kép első sorát lent)

Egy tetszőleges háromszög oldalainak hosszát az a, b, c változók határozzák meg.
Ha az oldalakat 4-szeresére növeljük, akkor az új c háromszög területe:

S 2 = 1/4 négyzet ((4a + 4b + 4c) (4b + 4c - 4a) (4a + 4c - 4b) (4a + 4b -4c))
(lásd az alábbi kép második sorát)

Mint látható, a 4 egy gyakori tényező, amely mind a négy kifejezésből kivehető a zárójelből. Általános szabályok matematika.
Akkor

S 2 = 1/4 négyzet (4 * 4 * 4 * 4 (a + b + c) (b + c - a) (a + c - b) (a + b -c)) - a kép harmadik sorában
S 2 = 1/4 négyzet (256 (a + b + c) (b + c - a) (a + c - b) (a + b -c)) - negyedik sor

A 256-os szám négyzetgyöke tökéletesen ki van húzva, ezért vegyük ki a gyök alól
S 2 = 16 * 1/4 négyzetméter ((a + b + c) (b + c - a) (a + c - b) (a + b -c))
S 2 = 4 négyzetméter((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
(lásd az alábbi kép ötödik sorát)

A feladatban feltett kérdés megválaszolásához csak el kell osztanunk a kapott háromszög területét az eredeti háromszög területével.
Határozzuk meg a területarányokat úgy, hogy a kifejezéseket elosztjuk egymással és csökkentjük a kapott törtet.

A háromszög az egyik leggyakoribb geometriai formák, amivel már megismerkedünk ben Általános Iskola. Minden diák szembesül azzal a kérdéssel, hogyan találja meg a háromszög területét a geometria órákon. Tehát milyen jellemzők azonosíthatók egy adott figura területének megtalálásához? Ebben a cikkben megvizsgáljuk az ilyen feladat elvégzéséhez szükséges alapvető képleteket, és elemezzük a háromszögek típusait.

A háromszögek típusai

Egy háromszög területét teljesen meg lehet találni különböző utak, mert a geometriában több, három szöget tartalmazó alaktípus létezik. Ezek a típusok a következők:

• Tompa.
• Egyenlő oldalú (helyes).
• Derékszögű háromszög.
• Egyenlő szárú.

Nézzük meg közelebbről a létező háromszögtípusokat.

Ezt a geometriai ábrát tekintik a leggyakoribbnak a geometriai problémák megoldása során. Ha szükség van egy tetszőleges háromszög rajzolására, ez a lehetőség megmentő.

Egy hegyesszögű háromszögben, ahogy a neve is sugallja, minden szög hegyesszögű, és összeadva 180°-ot tesz ki.

Ez a fajta háromszög is nagyon gyakori, de valamivel kevésbé gyakori, mint a hegyes háromszög. Például háromszögek megoldásánál (vagyis annak több oldala és szöge ismert, és meg kell találni a fennmaradó elemeket), néha meg kell határozni, hogy a szög tompa-e vagy sem. A koszinusz negatív szám.

B, az egyik szög értéke meghaladja a 90°-ot, így a fennmaradó két szög kis értéket vehet fel (például 15° vagy akár 3°).

Egy háromszög területének megtalálása ebből a típusból, ismernie kell néhány árnyalatot, amelyekről a következőkben fogunk beszélni.

Szabályos és egyenlő szárú háromszögek

A szabályos sokszög olyan alakzat, amely n szöget tartalmaz, és amelynek oldalai és szögei egyenlőek. Ez a szabályos háromszög. Mivel egy háromszög összes szögének összege 180°, akkor a három szög mindegyike 60°.

A szabályos háromszöget tulajdonságai miatt egyenlő oldalú alakzatnak is nevezik.

Azt is érdemes megjegyezni, hogy egy szabályos háromszögbe csak egy kör írható be, körülötte pedig csak egy kör írható le, és ezek középpontja ugyanabban a pontban található.

Az egyenlő oldalú típuson kívül megkülönböztethetünk egy egyenlő szárú háromszöget is, amely kissé eltér tőle. Egy ilyen háromszögben két oldal és két szög egyenlő egymással, és a harmadik oldal (amelyhez a szomszédos egyenlő szögek) az alap.

Az ábrán egy DEF egyenlő szárú háromszög látható, amelynek D és F szögei egyenlőek, és DF az alapja.

Derékszögű háromszög

A derékszögű háromszöget azért nevezik így, mert az egyik szöge derékszögű, azaz egyenlő 90°-kal. A másik két szög 90°-ot tesz ki.

Egy ilyen háromszög legnagyobb oldala, amely a 90°-os szöggel szemben fekszik, a hipotenusz, míg a fennmaradó két oldal a lábak. Az ilyen típusú háromszögekre a Pitagorasz-tétel érvényes:

A lábak hosszának négyzetösszege megegyezik a befogó hosszának négyzetével.

Az ábrán egy BAC derékszögű háromszög látható, AC hipotenusszal és AB és BC lábakkal.

Egy derékszögű háromszög területének megtalálásához tudnia kell számértékek a lábait.

Térjünk át az adott ábra területének megkeresésére szolgáló képletekre.

Alapképletek a terület megtalálásához

A geometriában két olyan képlet létezik, amelyek alkalmasak a legtöbb háromszögtípus területének meghatározására, nevezetesen a hegyes, tompa, szabályos és egyenlő szárú háromszögekre. Nézzük meg mindegyiket.

Oldal és magasság szerint

Ez a képlet univerzális az általunk vizsgált ábra területének megtalálásához. Ehhez elég tudni az oldal hosszát és a hozzá húzott magasság hosszát. Maga a képlet (az alap és a magasság szorzatának fele) a következő:

ahol A egy adott háromszög oldala, H pedig a háromszög magassága.

Például a terület megkeresésére hegyesszögű háromszög ACB, meg kell szorozni az AB oldalát a CD magassággal, és a kapott értéket el kell osztani kettővel.

Azonban nem mindig könnyű így megtalálni a háromszög területét. Például, ha ezt a képletet egy tompa háromszögre szeretné használni, meg kell hosszabbítania az egyik oldalát, és csak ezután kell megrajzolnia hozzá a magasságot.

A gyakorlatban ezt a képletet gyakrabban használják, mint mások.

Mindkét oldalon és sarokban

Ez a képlet, az előzőhöz hasonlóan, a legtöbb háromszögre alkalmas, és jelentésében a háromszög területének és magasságának meghatározására szolgáló képlet következménye. Vagyis a kérdéses képlet könnyen levezethető az előzőből. A megfogalmazása így néz ki:

S = ½*sinO*A*B,

ahol A és B a háromszög oldalai, O pedig az A és B oldalak közötti szög.

Emlékezzünk vissza, hogy egy szög szinuszát a kiváló szovjet matematikusról, V. M. Bradisről elnevezett speciális táblázatban tekinthetjük meg.

Most térjünk át más képletekre, amelyek csak kivételes típusú háromszögekhez alkalmasak.

Egy derékszögű háromszög területe

Az univerzális képlet mellett, amely magában foglalja a magasság megtalálásának szükségességét egy háromszögben, a derékszöget tartalmazó háromszög területe megtalálható a lábaiból.

Így a derékszöget tartalmazó háromszög területe a lábak szorzatának fele, vagy:

ahol a és b egy derékszögű háromszög lábai.

Szabályos háromszög

Ez a típus a geometriai alakzatok abban különböznek egymástól, hogy területe csak az egyik oldalának feltüntetett értékével található meg (mivel minden oldal szabályos háromszög egyenlőek). Tehát, amikor azzal a feladattal szembesül, hogy „meg kell találni egy háromszög területét, amikor az oldalak egyenlőek”, a következő képletet kell használnia:

S = A 2 *√3/4,

ahol A az egyenlő oldalú háromszög oldala.

Heron képlete

Az utolsó lehetőség a háromszög területének megtalálására a Heron képlete. Használatához ismerni kell az ábra három oldalának hosszát. A Heron képlete így néz ki:

S = √p·(p–a)·(p–b)·(p–c),

ahol a, b és c egy adott háromszög oldalai.

Néha megadják a problémát: "egy szabályos háromszög területe az oldala hosszának meghatározása." Ebben az esetben egy szabályos háromszög területének meghatározásához a már ismert képletet kell használnunk, és ebből származtatjuk az oldal (vagy négyzet) értékét:

A 2 = 4S / √3.

Vizsgafeladatok

A matematikai GIA-feladatokban sok képlet található. Ezenkívül gyakran meg kell találni egy háromszög területét kockás papíron.

Ebben az esetben a legkényelmesebb az ábra egyik oldalára rajzolni a magasságot, meghatározni a hosszát a cellákból és használni univerzális képlet a terület megkereséséhez:

Tehát a cikkben bemutatott képletek tanulmányozása után nem lesz probléma a háromszög területének megtalálásával.