Примери за събиране и изваждане на дроби. Събиране и изваждане на алгебрични дроби: правила, примери. Събиране и изваждане на алгебрични дроби с различни знаменатели

клас: 5

Презентация към урока

Назад напред

внимание! Визуализациите на слайдове са само за информационни цели и може да не представят всички характеристики на презентацията. Ако си заинтересован тази работа, моля, изтеглете пълната версия.

Цели на урока:

Образователни:

систематизира знанията за обикновените дроби;
повторете правилата за събиране и изваждане на дроби с еднакви знаменатели;
повторете правилата за събиране и изваждане на дроби с различни знаменатели.

Образователни:

развиват внимание, реч, памет, логическо мислене, независимост.

Образователни:

култивирайте желанието за постигане на целта; самочувствие, умение за работа в екип.

Зная:правила за събиране и изваждане на дроби с еднакви и различни знаменатели.

Тип урок:урок за обобщаване и систематизиране на знанията.

Оборудване:екран, мултимедия, презентация „Събиране и изваждане на обикновени дроби” (Приложение 1), модел на обикновена дроб (Фигура 1); формуляр с тест, таблица с отговори (Фигура 2), емотикони за размисъл (Фигура 3), нарисувано коледно дърво (Фигура 4).

Не.	Етап на урока	време	Сценични задачи
1.	Организиране на времето.	3 мин.	Подгответе учениците за урока.
2.	Актуализиране на знанията. Повторение на преминат материал.	10 мин.	Преглед на правилни и неправилни дроби, съкращаване на дроби, привеждане на дроби към нов знаменател, подчертаване на цялата част.
3.	Прилагане на правилата за събиране и изваждане обикновени дробис еднакви знаменатели.	10 мин.	Прегледайте събирането и изваждането на обикновени дроби с еднакви знаменатели.
4.	Физкултурна минута.	3 мин.	Облекчете умората на детето, осигурете активна почивка и повишете умствената работоспособност на учениците.
5.	Прилагане на правилата за събиране и изваждане на обикновени дроби с различни знаменатели.	13 мин.	Прегледайте събирането и изваждането на обикновени дроби с различни знаменатели.
6.	Домашна работа.	2 минути.	Инструкция за домашна работа.
7.	Обобщение на урока.	4 мин.	Обобщаване. Класиране. Отражение.

По време на часовете

1). Организиране на времето.

- "Събиране и изваждане на обикновени дроби."

Предлага се да се формулират целите и задачите на урока; по време на дискусията те се формулират (учителят може да ги запише на дъската).

2). Актуализиране на знанията. Повторение на преминат материал. (Слайд № 1).

а) Днес ще започнем урока с търг. Има само една налична партида: "обикновена дроб" (снимка 1). Нека си припомним какво знаем за обикновените дроби:

Числител;

Знаменател;

Дробна черта - деление;

На bразделяме части, вземаме Атакива части;

Правилно;

Неправилно;

Изберете цяла част;

Намалете;

Редуцирайте до нов знаменател;

Примери.

Който последен говори за обикновена дроб, получава модел на обикновена дроб.

б) Нека затвърдим знанията си, като направим теста(формуляр за отговор, задача № 1, слайд № 2).

ТЕСТ

1. Намерете правилната дроб:

А); Б) ; IN) .

2. Намерете неправилната дроб:

А); Б) ; IN) .

3. Намалете фракцията:

А); Б) ; IN) .

4. Намалете дробта до знаменателя 28:

А); Б) ; IN) .

5. Изберете цялата част:

А); Б) ; IN) .

Отговорите се въвеждат в таблицата.

1 2 3 4 5

Обобщете:

5 "+" знак 5,
4 "+" знак 4,
3 знак "+" 3.

3).Прилагане на правилата за събиране и изваждане на обикновени дроби с еднакви знаменатели.

Какви обикновени дроби можем да събираме?

Дроби с еднакви и различни знаменатели (слайд номер 3).

Нека повторим събирането на дроби с еднакви знаменатели.

За да съберете две дроби с еднакви знаменатели, трябва да съберете техните числители и да оставите знаменателя непроменен.

За да извадите дроби с еднакви знаменатели, трябва да извадите числителя на умаляваното от числителя на умаляваното и да оставите знаменателя непроменен.

Нека консолидираме знанията на практика.

Учениците трябва да пресметнат устно примерите и да запишат отговорите в листа за отговори на задача No2.

Разменете тетрадки и извършете взаимни проверки.

Обобщете:

9-8 "+" знак 5,
7-6 "+" знак 4,
5 "+" знак 3.

4). Физкултурна минута.

5). Прилагане на правилата за събиране и изваждане на обикновени дроби с различни знаменатели.

Събрахме дроби с еднакви знаменатели. Какво трябва да се направи, за да се съберат обикновени дроби с различни знаменатели?(слайд номер 4).

За да събирате и изваждате дроби с различни знаменатели, трябва да намалите дробите до общ знаменател, като намерите допълнителни множители. Извършвайте събиране и изваждане на обикновени дроби с еднакви знаменатели.

Действия с дроби.

внимание!
Има допълнителни
материали в специален раздел 555.
За тези, които са много "не много..."
И за тези, които „много...“)

И така, какво представляват дробите, видовете дроби, трансформациите - запомнихме. Да преминем към основния въпрос.

Какво можете да правите с дроби?Да, всичко е както при обикновените номера. Събиране, изваждане, умножение, деление.

Всички тези действия с десетичен знакработата с дроби не се различава от работата с цели числа. Всъщност това им е хубавото, десетичните. Единственото нещо е, че трябва да поставите запетаята правилно.

Смесени числа, както вече казах, са малко полезни за повечето действия. Те все още трябва да бъдат превърнати в обикновени дроби.

Но действията с обикновени дробище са по-хитри. И много по-важно! Нека ви напомня: всички действия с дробни изрази с букви, синуси, неизвестни и така нататък и така нататък не се различават от действията с обикновени дроби! Операциите с обикновени дроби са в основата на цялата алгебра. Именно поради тази причина тук ще анализираме цялата тази аритметика много подробно.

Събиране и изваждане на дроби.

Всеки може да събира (изважда) дроби с еднакви знаменатели (силно се надявам!). Е, нека напомня на тези, които са напълно забравили: при добавяне (изваждане) знаменателят не се променя. Числителите се събират (изваждат), за да се получи числителят на резултата. Тип:

Накратко, в общ изглед:

Ами ако знаменателите са различни? След това, използвайки основното свойство на дроб (тук отново ни е полезно!), правим знаменателите еднакви! Например:

Тук трябваше да направим дробта 4/10 от дробта 2/5. С единствената цел знаменателите да бъдат еднакви. Нека отбележа, за всеки случай, че 2/5 и 4/10 са същата фракция! Само 2/5 са неудобни за нас, а 4/10 са наистина добре.

Между другото, това е същността на решаването на всякакви математически задачи. Когато ние от неудобноправим изрази същото, но по-удобно за решаване.

Друг пример:

Ситуацията е подобна. Тук правим 48 от 16. Чрез просто умножение по 3. Всичко е ясно. Но попаднахме на нещо като:

Как да бъде?! Трудно е да направиш девет от седем! Но ние сме умни, знаем правилата! Да се трансформираме всекидроб, така че знаменателите да са еднакви. Това се нарича „привеждане до общ знаменател“:

Еха! Как разбрах за 63? Много просто! 63 е число, което се дели на 7 и 9 едновременно. Такова число винаги може да се получи чрез умножаване на знаменателите. Ако умножим едно число по 7 например, то резултатът със сигурност ще се дели на 7!

Ако трябва да съберете (извадите) няколко дроби, няма нужда да го правите по двойки, стъпка по стъпка. Просто трябва да намерите общия знаменател за всички дроби и да намалите всяка дроб до същия знаменател. Например:

И какъв ще е общият знаменател? Можете, разбира се, да умножите 2, 4, 8 и 16. Получаваме 1024. Кошмар. По-лесно е да се прецени, че числото 16 се дели напълно на 2, 4 и 8. Следователно от тези числа е лесно да се получи 16. Това число ще бъде общият знаменател. Нека превърнем 1/2 в 8/16, 3/4 в 12/16 и т.н.

Между другото, ако вземете 1024 за общ знаменател, всичко ще се получи, накрая всичко ще се намали. Но не всеки ще стигне до този край, заради изчисленията...

Довършете примера сами. Не някакъв вид логаритъм... Трябва да е 29/16.

И така, събирането (изваждането) на дроби е ясно, надявам се? Разбира се, по-лесно е да работите в съкратен вариант, с допълнителни множители. Но това удоволствие е достъпно за тези, които са работили честно в по-ниските класове ... И не са забравили нищо.

И сега ще направим същите действия, но не с дроби, а с дробни изрази. Нов рейк ще бъде открит тук, да...

И така, трябва да добавим два дробни израза:

Трябва да направим знаменателите еднакви. И то само с помощта умножение! Това диктува основното свойство на фракцията. Следователно не мога да добавя единица към X в първата дроб в знаменателя. (това би било хубаво!). Но ако умножите знаменателите, виждате, всичко расте заедно! Така че записваме реда на дробта, оставяме празно място отгоре, след това го добавяме и записваме произведението на знаменателите отдолу, за да не забравим:

И, разбира се, не умножаваме нищо от дясната страна, не отваряме скобите! И сега, гледайки общия знаменател от дясната страна, разбираме: за да получите знаменателя x(x+1) в първата дроб, трябва да умножите числителя и знаменателя на тази дроб по (x+1) . А във втората дроб - до х. Ето какво получавате:

Забележка! Ето ги скобите! Това е гребло, върху което стъпват много хора. Не скоби, разбира се, а липсата им. Скобите се появяват, защото умножаваме всичкочислител и всичкознаменател! А не отделните им парчета...

В числителя на дясната страна записваме сбора на числителите, всичко е като в числови дроби, след това отваряме скобите в числителя на дясната страна, т.е. Всичко умножаваме и даваме подобни. Няма нужда да отваряте скобите в знаменателите или да умножавате нещо! Като цяло, в знаменатели (всякакви) продуктът винаги е по-приятен! Получаваме:

Така че получихме отговора. Процесът изглежда дълъг и труден, но зависи от практиката. След като решите примерите, свикнете, всичко ще стане просто. Тези, които са усвоили своевременно дробите, правят всички тези операции с една лява ръка, автоматично!

И още една забележка. Много умно се справят с дроби, но се забиват в примери с цялочисла. Например: 2 + 1/2 + 3/4= ? Къде да закрепя двукомпонентния? Не е нужно да го закрепвате никъде, трябва да направите дроб от две. Не е лесно, но много просто! 2=2/1. Като този. Всяко цяло число може да бъде записано като дроб. Числителят е самото число, знаменателят е единица. 7 е 7/1, 3 е 3/1 и така нататък. Същото е и с буквите. (a+b) = (a+b)/1, x=x/1 и т.н. И тогава работим с тези дроби според всички правила.

Е, опресниха знанията за събиране и изваждане на дроби. Преобразуването на дроби от един вид в друг беше повторено. Можете също така да се прегледате. Да уредим ли малко?)

Изчисли:

Отговори (в безпорядък):

71/20; 3/5; 17/12; -5/4; 11/6

Умножение/деление на дроби – в следващия урок. Има и задачи за всички действия с дроби.

Ако харесвате този сайт...

Между другото, имам още няколко интересни сайта за вас.)

Можете да практикувате решаване на примери и да разберете вашето ниво. Тестване с незабавна проверка. Да учим - с интерес!)

Можете да се запознаете с функции и производни.

Тази статия започва изучаването на операции с алгебрични дроби: ще разгледаме подробно такива операции като добавяне и изваждане на алгебрични дроби. Нека анализираме схемата за събиране и изваждане на алгебрични дроби както с еднакви, така и с различни знаменатели. Нека научим как да събираме алгебрична дроб с многочлен и как да ги изваждаме. На конкретни примериЩе обясним всяка стъпка в намирането на решения на проблемите.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Действия събиране и изваждане с равни знаменатели

Схемата за събиране на обикновени дроби е приложима и за алгебричните. Знаем, че когато събирате или изваждате обикновени дроби с еднакви знаменатели, трябва да добавяте или изваждате техните числители, но знаменателят остава същият.

Например: 3 7 + 2 7 = 3 + 2 7 = 5 7 и 5 11 - 4 11 = 5 - 4 11 = 1 11.

Съответно правилото за събиране и изваждане на алгебрични дроби с еднакви знаменатели се записва по подобен начин:

Определение 1

За да добавите или извадите алгебрични дроби с подобни знаменатели, трябва съответно да добавите или извадите числителите на оригиналните дроби и да запишете знаменателя непроменен.

Това правило дава възможност да се заключи, че резултатът от добавянето или изваждането на алгебрични дроби е нова алгебрична дроб (в конкретен случай: полином, моном или число).

Нека посочим пример за прилагане на формулираното правило.

Пример 1

Дадените алгебрични дроби са: x 2 + 2 · x · y - 5 x 2 · y - 2 и 3 - x · y x 2 · y - 2 . Необходимо е да ги добавите.

Решение

Оригиналните дроби съдържат едни и същи знаменатели. Съгласно правилото ще извършим събиране на числителите на дадените дроби, а знаменателят ще остане непроменен.

Добавяйки полиномите, които са числителите на оригиналните дроби, получаваме: x 2 + 2 x y − 5 + 3 − x y = x 2 + (2 x y − x y) − 5 + 3 = x 2 + x y − 2.

Тогава необходимото количество ще бъде записано като: x 2 + x · y - 2 x 2 · y - 2.

На практика, както в много случаи, решението се дава от верига от равенства, ясно показваща всички етапи на решението:

x 2 + 2 x y - 5 x 2 y - 2 + 3 - x y x 2 y - 2 = x 2 + 2 x y - 5 + 3 - x y x 2 y - 2 = x 2 + x y - 2 x 2 y - 2

Отговор: x 2 + 2 · x · y - 5 x 2 · y - 2 + 3 - x · y x 2 · y - 2 = x 2 + x · y - 2 x 2 · y - 2 .

Резултатът от събирането или изваждането може да бъде редуцируема дроб, в който случай е оптимално да се намали.

Пример 2

Необходимо е да се извади дробта 2 · y x 2 - 4 · y 2 от алгебричната дроб x x 2 - 4 · y 2 .

Решение

Знаменателите на оригиналните дроби са равни. Нека извършим операции с числители, а именно: извадете числителя на втората от числителя на първата дроб и след това напишете резултата, като оставите знаменателя непроменен:

x x 2 - 4 y 2 - 2 y x 2 - 4 y 2 = x - 2 y x 2 - 4 y 2

Виждаме, че получената дроб е съкратима. Нека го намалим, като трансформираме знаменателя с помощта на формулата за квадратна разлика:

x - 2 y x 2 - 4 y 2 = x - 2 y (x - 2 y) (x + 2 y) = 1 x + 2 y

Отговор: x x 2 - 4 · y 2 - 2 · y x 2 - 4 · y 2 = 1 x + 2 · y.

Използвайки същия принцип, се събират или изваждат три или повече алгебрични дроби с еднакви знаменатели. например:

1 x 5 + 2 x 3 - 1 + 3 x - x 4 x 5 + 2 x 3 - 1 - x 2 x 5 + 2 x 3 - 1 - 2 x 3 x 5 + 2 x 3 - 1 = 1 + 3 x - x 4 - x 2 - 2 x 3 x 5 + 2 x 3 - 1

Действия събиране и изваждане с различни знаменатели

Нека отново да разгледаме схемата на операции с обикновени дроби: за да добавите или извадите обикновени дроби с различни знаменатели, трябва да ги приведете до общ знаменател и след това да добавите получените дроби със същите знаменатели.

Например 2 5 + 1 3 = 6 15 + 5 15 = 11 15 или 1 2 - 3 7 = 7 14 - 6 14 = 1 14.

Също така по аналогия формулираме правилото за събиране и изваждане на алгебрични дроби с различни знаменатели:

Определение 2

За да събирате или изваждате алгебрични дроби с различни знаменатели, трябва:

приведете оригиналните дроби към общ знаменател;
извършва събиране или изваждане на получени дроби с еднакви знаменатели.

Очевидно ключът тук ще бъде умението да се редуцират алгебричните дроби до общ знаменател. Нека да разгледаме по-отблизо.

Привеждане на алгебричните дроби до общ знаменател

За да се приведат алгебрични дроби към общ знаменател, е необходимо да се извърши еднаква трансформация на дадените дроби, в резултат на което знаменателите на оригиналните дроби стават еднакви. Тук е оптимално да се действа към следния алгоритъмНамаляване на алгебричните дроби до общ знаменател:

първо определяме общия знаменател на алгебричните дроби;
след това намираме допълнителни множители за всяка от дробите, като разделяме общия знаменател на знаменателите на първоначалните дроби;
Последното действие е да умножите числителите и знаменателите на дадените алгебрични дроби по съответните допълнителни множители.

Пример 3

Дадени са алгебричните дроби: a + 2 2 · a 3 - 4 · a 2 , a + 3 3 · a 2 - 6 · a и a + 1 4 · a 5 - 16 · a 3 . Необходимо е да ги приведем под общ знаменател.

Решение

Действаме по горния алгоритъм. Нека определим общия знаменател на първоначалните дроби. За целта разлагаме на множители знаменателите на дадените дроби: 2 a 3 − 4 a 2 = 2 a 2 (a − 2), 3 a 2 − 6 a = 3 a (a − 2) и 4 a 5 − 16 a 3 = 4 a 3 (a − 2) (a + 2). От тук можем да запишем общия знаменател: 12 a 3 (a − 2) (a + 2).

Сега трябва да намерим допълнителни фактори. Нека разделим, според алгоритъма, намерения общ знаменател на знаменателите на оригиналните дроби:

за първата дроб: 12 · a 3 · (a − 2) · (a + 2) : (2 · a 2 · (a − 2)) = 6 · a · (a + 2) ;
за втората дроб: 12 · a 3 · (a − 2) · (a + 2) : (3 · a · (a − 2)) = 4 · a 2 · (a + 2);
за третата фракция: 12 a 3 (a − 2) (a + 2) : (4 a 3 (a − 2) (a + 2)) = 3 .

Следващата стъпка е да умножите числителите и знаменателите на дадените дроби по намерените допълнителни множители:

a + 2 2 a 3 - 4 a 2 = (a + 2) 6 a (a + 2) (2 a 3 - 4 a 2) 6 a (a + 2) = 6 a (a + 2) 2 12 a 3 (a - 2) (a + 2) a + 3 3 a 2 - 6 a = (a + 3) 4 a 2 ( a + 2) 3 a 2 - 6 a 4 a 2 (a + 2) = 4 a 2 (a + 3) (a + 2) 12 a 3 (a - 2) · (a + 2) a + 1 4 · a 5 - 16 · a 3 = (a + 1) · 3 (4 · a 5 - 16 · a 3) · 3 = 3 · (a + 1) 12 · a 3 (a - 2) (a + 2)

Отговор: a + 2 2 · a 3 - 4 · a 2 = 6 · a · (a + 2) 2 12 · a 3 · (a - 2) · (a + 2) ; a + 3 3 · a 2 - 6 · a = 4 · a 2 · (a + 3) · (a + 2) 12 · a 3 · (a - 2) · (a + 2) ; a + 1 4 · a 5 - 16 · a 3 = 3 · (a + 1) 12 · a 3 · (a - 2) · (a + 2) .

И така, редуцирахме оригиналните дроби до общ знаменател. Ако е необходимо, след това можете да преобразувате получения резултат във формата на алгебрични дроби чрез умножаване на полиноми и мономи в числителите и знаменателите.

Нека изясним и този момент: оптимално е да оставим намерения общ знаменател под формата на продукт, в случай че е необходимо да се намали крайната дроб.

Разгледахме подробно схемата за редуциране на първоначални алгебрични дроби до общ знаменател; сега можем да започнем да анализираме примери за добавяне и изваждане на дроби с различни знаменатели.

Пример 4

Дадените алгебрични дроби са: 1 - 2 x x 2 + x и 2 x + 5 x 2 + 3 x + 2. Необходимо е да се извърши действието на тяхното добавяне.

Решение

Оригиналните дроби имат различни знаменатели, така че първата стъпка е да ги доведете до общ знаменател. Разлагаме знаменателите на множители: x 2 + x = x · (x + 1) и x 2 + 3 x + 2 = (x + 1) (x + 2) ,защото корени на квадратен тричлен x 2 + 3 x + 2тези числа са: - 1 и - 2. Определяме общия знаменател: x (x + 1) (x + 2), тогава допълнителните фактори ще бъдат: х+2И -хсъответно за първата и втората фракция.

Така: 1 - 2 x x 2 + x = 1 - 2 x x (x + 1) = (1 - 2 x) (x + 2) x (x + 1) (x + 2) = x + 2 - 2 x 2 - 4 x x (x + 1) x + 2 = 2 - 2 x 2 - 3 x x (x + 1) (x + 2) и 2 x + 5 x 2 + 3 x + 2 = 2 x + 5 (x + 1) (x + 2) = 2 x + 5 x (x + 1) (x + 2) x = 2 · x 2 + 5 · x x · (x + 1) · (x + 2)

Сега нека съберем дробите, които сме привели към общ знаменател:

2 - 2 x 2 - 3 x x (x + 1) (x + 2) + 2 x 2 + 5 x x (x + 1) (x + 2) = = 2 - 2 x 2 - 3 x + 2 x 2 + 5 x x (x + 1) (x + 2) = 2 2 x x (x + 1) (x + 2)

Получената дроб може да се намали с общ множител х+1:

2 + 2 x x (x + 1) (x + 2) = 2 (x + 1) x (x + 1) (x + 2) = 2 x (x + 2)

И накрая, записваме получения резултат под формата на алгебрична дроб, замествайки продукта в знаменателя с полином:

2 x (x + 2) = 2 x 2 + 2 x

Нека запишем накратко процеса на решаване под формата на верига от равенства:

1 - 2 x x 2 + x + 2 x + 5 x 2 + 3 x + 2 = 1 - 2 x x (x + 1) + 2 x + 5 (x + 1) (x + 2 ) = = 1 - 2 x (x + 2) x x + 1 x + 2 + 2 x + 5 x (x + 1) (x + 2) x = 2 - 2 x 2 - 3 x x (x + 1) (x + 2) + 2 x 2 + 5 x x (x + 1) (x + 2) = = 2 - 2 x 2 - 3 x + 2 x 2 + 5 x x (x + 1) (x + 2) = 2 x + 1 x (x + 1) (x + 2) = 2 x (x + 2) = 2 x 2 + 2 x

Отговор: 1 - 2 x x 2 + x + 2 x + 5 x 2 + 3 x + 2 = 2 x 2 + 2 x

Обърнете внимание на тази подробност: преди да добавите или извадите алгебрични дроби, ако е възможно, препоръчително е да ги трансформирате, за да опростите.

Пример 5

Необходимо е да се извадят дроби: 2 1 1 3 · x - 2 21 и 3 · x - 1 1 7 - 2 · x.

Решение

Нека трансформираме оригиналните алгебрични дроби, за да опростим по-нататъшното решение. Нека извадим числовите коефициенти на променливите в знаменателя извън скоби:

2 1 1 3 x - 2 21 = 2 4 3 x - 2 21 = 2 4 3 x - 1 14 и 3 x - 1 1 7 - 2 x = 3 x - 1 - 2 x - 1 14

Тази трансформация ясно ни даде полза: ясно виждаме наличието на общ фактор.

Нека се отървем напълно от числовите коефициенти в знаменателите. За да направим това, използваме основното свойство на алгебричните дроби: умножаваме числителя и знаменателя на първата дроб по 3 4, а втората по - 1 2, след което получаваме:

2 4 3 x - 1 14 = 3 4 2 3 4 4 3 x - 1 14 = 3 2 x - 1 14 и 3 x - 1 - 2 x - 1 14 = - 1 2 3 x - 1 - 1 2 · - 2 · x - 1 14 = - 3 2 · x + 1 2 x - 1 14 .

Нека извършим действие, което ще ни позволи да се отървем от дробните коефициенти: умножете получените дроби по 14:

3 2 x - 1 14 = 14 3 2 14 x - 1 14 = 21 14 x - 1 и - 3 2 x + 1 2 x - 1 14 = 14 - 3 2 x + 1 2 x - 1 14 = - 21 · x + 7 14 · x - 1 .

И накрая, нека изпълним действието, което се изисква в изложението на проблема – изваждане:

2 1 1 3 x - 2 21 - 3 x - 1 1 7 - 2 x = 21 14 x - 1 - - 21 x + 7 14 x - 1 = 21 - - 21 x + 7 14 · x - 1 = 21 · x + 14 14 · x - 1

Отговор: 2 1 1 3 · x - 2 21 - 3 · x - 1 1 7 - 2 · x = 21 · x + 14 14 · x - 1 .

Събиране и изваждане на алгебрични дроби и полиноми

Това действие също се свежда до добавяне или изваждане на алгебрични дроби: необходимо е да представите оригиналния полином като дроб със знаменател 1.

Пример 6

Необходимо е да се добави полином x 2 − 3с алгебричната дроб 3 x x + 2.

Решение

Нека запишем полинома като алгебрична дроб със знаменател 1: x 2 - 3 1

Сега можем да извършим събиране по правилото за събиране на дроби с различни знаменатели:

x 2 - 3 + 3 x x + 2 = x 2 - 3 1 + 3 x x + 2 = x 2 - 3 (x + 2) 1 x + 2 + 3 x x + 2 = = x 3 + 2 · x 2 - 3 · x - 6 x + 2 + 3 · x x + 2 = x 3 + 2 · x 2 - 3 · x - 6 + 3 · x x + 2 = = x 3 + 2 · x 2 - 6 x + 2

Отговор: x 2 - 3 + 3 x x + 2 = x 3 + 2 x 2 - 6 x + 2.

Ако забележите грешка в текста, моля, маркирайте я и натиснете Ctrl+Enter

Дробите са обикновени числа и могат да се събират и изваждат. Но тъй като имат знаменател, те изискват по-сложни правила, отколкото за цели числа.

Нека разгледаме най-простия случай, когато има две дроби с еднакви знаменатели. Тогава:

За да добавите дроби с еднакви знаменатели, трябва да добавите техните числители и да оставите знаменателя непроменен.

За да извадите дроби с еднакви знаменатели, трябва да извадите числителя на втората от числителя на първата дроб и отново да оставите знаменателя непроменен.

Във всеки израз знаменателите на дробите са равни. По дефиниция за събиране и изваждане на дроби получаваме:

Както можете да видите, няма нищо сложно: просто събираме или изваждаме числителите и това е.

Но дори и в такива прости действия хората успяват да направят грешки. Най-често се забравя, че знаменателят не се променя. Например, когато ги добавяте, те също започват да се добавят и това е фундаментално погрешно.

Отървавам се от лош навикДобавянето на знаменателите е доста просто. Опитайте същото, когато изваждате. В резултат на това знаменателят ще бъде нула и дробта (внезапно!) ще загуби значението си.

Затова запомнете веднъж завинаги: при събиране и изваждане знаменателят не се променя!

Много хора също правят грешки, когато събират няколко отрицателни дроби. Има объркване със знаците: къде да поставите минус и къде да поставите плюс.

Този проблем също е много лесен за решаване. Достатъчно е да запомните, че минусът пред знака на дроб винаги може да бъде прехвърлен в числителя - и обратно. И разбира се, не забравяйте две прости правила:

Плюс с минус дава минус;
Две отрицания правят утвърдително.

Нека разгледаме всичко това с конкретни примери:

Задача. Намерете значението на израза:

В първия случай всичко е просто, но във втория нека добавим минуси към числителите на дробите:

Какво да направите, ако знаменателите са различни

Не можете директно да събирате дроби с различни знаменатели. от поне, не познавам този метод. Оригиналните дроби обаче винаги могат да бъдат пренаписани, така че знаменателите да станат еднакви.

Има много начини за преобразуване на дроби. Три от тях се разглеждат в урока „Привеждане на дроби към общ знаменател“, така че тук няма да се спираме на тях. Нека да разгледаме някои примери:

Задача. Намерете значението на израза:

В първия случай редуцираме дробите до общ знаменател по метода „кръстосан“. Във втория ще търсим НОК. Забележете, че 6 = 2 · 3; 9 = 3 · 3. Последните множители в тези разлагания са равни, а първите са относително прости. Следователно, LCM(6, 9) = 2 3 3 = 18.

Какво да направите, ако една дроб има цяла част

Мога да ви зарадвам: различните знаменатели в дробите не са най-голямото зло. Много повече грешки възникват, когато цялата част е осветена в събираемите фракции.

Разбира се, за такива дроби има патентовани алгоритмисъбиране и изваждане, но те са доста сложни и изискват много учене. По-добра употреба проста диаграма, дадено по-долу:

Преобразувайте всички дроби, съдържащи цяло число, в неправилни. Получаваме нормални термини (дори с различни знаменатели), които се изчисляват по правилата, обсъдени по-горе;
Всъщност изчислете сумата или разликата на получените дроби. В резултат на това практически ще намерим отговора;
Ако това е всичко, което се изисква в задачата, извършваме обратната трансформация, т.е. Отърваваме се от неправилна дроб, като подчертаваме цялата част.

Правилата за преминаване към неправилни дроби и подчертаване на цялата част са описани подробно в урока „Какво е числова дроб“. Ако не си спомняте, не забравяйте да го повторите. Примери:

Задача. Намерете значението на израза:

Тук всичко е просто. Знаменателите във всеки израз са равни, така че всичко, което остава, е да преобразувате всички дроби в неправилни и да преброите. Ние имаме:

За да опростя изчисленията, пропуснах някои очевидни стъпки в последните примери.

Малка забележка към последните два примера, където се изваждат дроби с маркираните цяла част. Минусът преди втората дроб означава, че се изважда цялата дроб, а не само цялата й част.

Прочетете отново това изречение отново, погледнете примерите - и помислете върху него. Това е мястото, където начинаещите признават голяма сумагрешки. Те обичат да дават такива задачи тестове. Ще ги срещнете няколко пъти и в тестовете за този урок, които ще бъдат публикувани скоро.

Резюме: обща изчислителна схема

В заключение ще дам общ алгоритъм, което ще ви помогне да намерите сбора или разликата на две или повече дроби:

Ако една или повече дроби имат цяла част, преобразувайте тези дроби в неправилни;
Приведете всички дроби към общ знаменател по всеки удобен за вас начин (освен ако, разбира се, авторите на проблемите не са направили това);
Събиране или изваждане на получените числа по правилата за събиране и изваждане на дроби с еднакви знаменатели;
Ако е възможно, съкратете резултата. Ако фракцията е неправилна, изберете цялата част.

Не забравяйте, че е по-добре да подчертаете цялата част в самия край на задачата, непосредствено преди да запишете отговора.

Съдържание на урока

Събиране на дроби с еднакви знаменатели

Има два вида събиране на дроби:

Събиране на дроби с еднакви знаменатели
Събиране на дроби с различни знаменатели

Първо, нека научим събирането на дроби с еднакви знаменатели. Тук всичко е просто. За да добавите дроби с еднакви знаменатели, трябва да добавите техните числители и да оставите знаменателя непроменен. Например, нека съберем дробите и . Добавете числителите и оставете знаменателя непроменен:

Този пример лесно може да бъде разбран, ако си спомним пицата, която е разделена на четири части. Ако добавите пица към пица, получавате пица:

Пример 2.Добавете дроби и .

Отговорът не беше правилна дроб. Когато дойде краят на задачата, обичайно е да се отървете от неправилните дроби. За да се отървете от неправилна дроб, трябва да изберете цялата част от нея. В нашия случай цялата част се изолира лесно - две делено на две е равно на едно:

Този пример може лесно да бъде разбран, ако си спомним за пица, която е разделена на две части. Ако добавите още пица към пицата, получавате една цяла пица:

Пример 3. Добавете дроби и .

Отново събираме числителите и оставяме знаменателя непроменен:

Този пример лесно може да бъде разбран, ако си спомним пицата, която е разделена на три части. Ако добавите още пица към пицата, получавате пица:

Пример 4.Намерете стойността на израз

Този пример се решава точно по същия начин като предишните. Числителите трябва да се добавят, а знаменателят да се остави непроменен:

Нека се опитаме да изобразим нашето решение с помощта на чертеж. Ако добавите пици към една пица и добавите още пици, получавате 1 цяла пица и повече пици.

Както можете да видите, няма нищо сложно в събирането на дроби с еднакви знаменатели. Достатъчно е да разберете следните правила:

За да добавите дроби с еднакъв знаменател, трябва да добавите техните числители и да оставите знаменателя непроменен;

Събиране на дроби с различни знаменатели

Сега нека научим как да събираме дроби с различни знаменатели. При събиране на дроби знаменателите на дробите трябва да са еднакви. Но те не винаги са еднакви.

Например, дроби могат да се добавят, защото имат еднакви знаменатели.

Но дробите не могат да се добавят веднага, тъй като тези дроби имат различни знаменатели. В такива случаи дробите трябва да се сведат до един и същи (общ) знаменател.

Има няколко начина за намаляване на дроби до един и същи знаменател. Днес ще разгледаме само един от тях, тъй като другите методи може да изглеждат сложни за начинаещ.

Същността на този метод е, че първо се търси LCM на знаменателите на двете дроби. След това LCM се разделя на знаменателя на първата дроб, за да се получи първият допълнителен фактор. Те правят същото и с втората дроб - LCM се разделя на знаменателя на втората дроб и се получава втори допълнителен множител.

След това числителите и знаменателите на дробите се умножават по техните допълнителни множители. В резултат на тези действия дроби с различни знаменатели се превръщат в дроби с еднакви знаменатели. И вече знаем как да събираме такива дроби.

Пример 1. Нека съберем дробите и

Първо, намираме най-малкото общо кратно на знаменателите на двете дроби. Знаменателят на първата дроб е числото 3, а знаменателят на втората дроб е числото 2. Най-малкото общо кратно на тези числа е 6

LCM (2 и 3) = 6

Сега да се върнем към дробите и . Първо, разделете LCM на знаменателя на първата дроб и вземете първия допълнителен фактор. LCM е числото 6, а знаменателят на първата дроб е числото 3. Разделяме 6 на 3, получаваме 2.

Полученото число 2 е първият допълнителен множител. Записваме го до първата дроб. За да направите това, направете малка наклонена линия над фракцията и запишете допълнителния фактор, намерен над нея:

Правим същото с втората фракция. Разделяме LCM на знаменателя на втората дроб и получаваме втория допълнителен множител. LCM е числото 6, а знаменателят на втората дроб е числото 2. Разделяме 6 на 2, получаваме 3.

Полученото число 3 е вторият допълнителен множител. Записваме го до втората дроб. Отново правим малка наклонена линия над втората дроб и записваме допълнителния фактор, намерен над нея:

Сега имаме всичко готово за добавяне. Остава да умножим числителите и знаменателите на дробите с техните допълнителни множители:

Погледнете внимателно до какво сме стигнали. Стигнахме до извода, че дроби с различни знаменатели се превръщат в дроби с еднакви знаменатели. И вече знаем как да събираме такива дроби. Нека вземем този пример до края:

Това завършва примера. Оказва се да добавите .

Нека се опитаме да изобразим нашето решение с помощта на чертеж. Ако добавите пица към пица, получавате една цяла пица и още една шеста от пица:

Намаляването на дроби до един и същ (общ) знаменател може също да бъде изобразено с помощта на картина. Намалявайки дробите и до общ знаменател, получаваме дробите и . Тези две фракции ще бъдат представени от едни и същи парчета пица. Единствената разлика ще бъде, че този път те ще бъдат разделени на равни части (приведени към един знаменател).

Първият чертеж представлява дроб (четири части от шест), а вторият чертеж представлява дроб (три части от шест). Като добавим тези парчета, получаваме (седем парчета от шест). Тази дроб е неправилна, затова подчертахме цялата й част. В резултат на това получихме (една цяла пица и още една шеста пица).

Моля, обърнете внимание, че сме описали този пример твърде подробно. IN образователни институцииНе е прието да се пише толкова подробно. Трябва да можете бързо да намерите LCM на двата знаменателя и допълнителните множители към тях, както и бързо да умножите намерените допълнителни множители по вашите числители и знаменатели. Ако бяхме в училище, трябваше да напишем този пример по следния начин:

Но също така има задна странамедали. Ако не си водите подробни бележки в първите етапи на изучаване на математика, тогава започват да се появяват въпроси от този сорт. „Откъде идва това число?“, „Защо дробите изведнъж се превръщат в напълно различни дроби? «.

За да улесните събирането на дроби с различни знаменатели, можете да използвате следните инструкции стъпка по стъпка:

Намерете LCM на знаменателите на дробите;
Разделете LCM на знаменателя на всяка дроб и получете допълнителен фактор за всяка дроб;
Умножете числителите и знаменателите на дробите с техните допълнителни множители;
Съберете дроби с еднакви знаменатели;
Ако отговорът се окаже неправилна дроб, изберете цялата й част;

Пример 2.Намерете стойността на израз .

Нека използваме инструкциите, дадени по-горе.

Стъпка 1. Намерете LCM на знаменателите на дробите

Намерете LCM на знаменателите на двете дроби. Знаменателите на дробите са числата 2, 3 и 4

Стъпка 2. Разделете LCM на знаменателя на всяка дроб и получете допълнителен фактор за всяка дроб

Разделете LCM на знаменателя на първата дроб. LCM е числото 12, а знаменателят на първата дроб е числото 2. Разделяме 12 на 2, получаваме 6. Получихме първия допълнителен множител 6. Записваме го над първата дроб:

Сега разделяме LCM на знаменателя на втората дроб. LCM е числото 12, а знаменателят на втората дроб е числото 3. Разделяме 12 на 3, получаваме 4. Получаваме втория допълнителен множител 4. Записваме го над втората дроб:

Сега разделяме LCM на знаменателя на третата дроб. LCM е числото 12, а знаменателят на третата дроб е числото 4. Разделяме 12 на 4, получаваме 3. Получаваме третия допълнителен множител 3. Записваме го над третата дроб:

Стъпка 3. Умножете числителите и знаменателите на дробите по техните допълнителни множители

Умножаваме числителите и знаменателите по техните допълнителни множители:

Стъпка 4. Добавете дроби с еднакви знаменатели

Стигнахме до извода, че дроби с различни знаменатели се превръщат в дроби с еднакви (общи) знаменатели. Всичко, което остава, е да съберем тези дроби. Добавете го:

Добавката не се побираше на един ред, така че преместихме оставащия израз на следващия ред. Това е позволено в математиката. Когато израз не се побира на един ред, той се премества на следващия ред, като е необходимо да се постави знак за равенство (=) в края на първия ред и в началото на новия ред. Знакът за равенство на втория ред показва, че това е продължение на израза, който беше на първия ред.

Стъпка 5. Ако отговорът се окаже неправилна дроб, тогава изберете цялата част от нея

Нашият отговор се оказа неправилна дроб. Трябва да подчертаем цяла част от него. Подчертаваме:

Получихме отговор

Изваждане на дроби с еднакви знаменатели

Има два вида изваждане на дроби:

Изваждане на дроби с еднакви знаменатели
Изваждане на дроби с различни знаменатели

Първо, нека научим как да изваждаме дроби с еднакви знаменатели. Тук всичко е просто. За да извадите друга от една дроб, трябва да извадите числителя на втората дроб от числителя на първата дроб, но да оставите знаменателя същия.

Например, нека намерим стойността на израза. За да решите този пример, трябва да извадите числителя на втората дроб от числителя на първата дроб и да оставите знаменателя непроменен. Да го направим:

Този пример лесно може да бъде разбран, ако си спомним пицата, която е разделена на четири части. Ако режете пици от пица, получавате пици:

Пример 2.Намерете стойността на израза.

Отново от числителя на първата дроб извадете числителя на втората дроб и оставете знаменателя непроменен:

Този пример лесно може да бъде разбран, ако си спомним пицата, която е разделена на три части. Ако режете пици от пица, получавате пици:

Пример 3.Намерете стойността на израз

Този пример се решава точно по същия начин като предишните. От числителя на първата дроб трябва да извадите числителите на останалите дроби:

Както можете да видите, няма нищо сложно в изваждането на дроби с еднакви знаменатели. Достатъчно е да разберете следните правила:

За да извадите друга от една дроб, трябва да извадите числителя на втората дроб от числителя на първата дроб и да оставите знаменателя непроменен;
Ако отговорът се окаже неправилна дроб, тогава трябва да подчертаете цялата част от нея.

Изваждане на дроби с различни знаменатели

Например, можете да извадите дроб от дроб, защото дробите имат еднакви знаменатели. Но не можете да извадите дроб от дроб, тъй като тези дроби имат различни знаменатели. В такива случаи дробите трябва да се сведат до един и същи (общ) знаменател.

Общият знаменател се намира по същия принцип, който използвахме при събиране на дроби с различни знаменатели. Първо, намерете LCM на знаменателите на двете дроби. Тогава LCM се разделя на знаменателя на първата дроб и се получава първият допълнителен множител, който се записва над първата дроб. По същия начин LCM се разделя на знаменателя на втората дроб и се получава втори допълнителен множител, който се записва над втората дроб.

След това дробите се умножават по техните допълнителни множители. В резултат на тези операции дроби с различни знаменатели се преобразуват в дроби с еднакви знаменатели. И вече знаем как да изваждаме такива дроби.

Пример 1.Намерете значението на израза:

Тези дроби имат различни знаменатели, така че трябва да ги намалите до един и същи (общ) знаменател.

Първо намираме LCM на знаменателите на двете дроби. Знаменателят на първата дроб е числото 3, а знаменателят на втората дроб е числото 4. Най-малкото общо кратно на тези числа е 12

LCM (3 и 4) = 12

Сега да се върнем към дробите и

Нека намерим допълнителен фактор за първата дроб. За да направите това, разделете LCM на знаменателя на първата дроб. LCM е числото 12, а знаменателят на първата дроб е числото 3. Разделяме 12 на 3, получаваме 4. Напишете четири над първата дроб:

Правим същото с втората фракция. Разделете LCM на знаменателя на втората дроб. LCM е числото 12, а знаменателят на втората дроб е числото 4. Разделяме 12 на 4, получаваме 3. Напишете тройка върху втората дроб:

Сега сме готови за изваждане. Остава да умножим дробите по техните допълнителни множители:

Стигнахме до извода, че дроби с различни знаменатели се превръщат в дроби с еднакви знаменатели. И вече знаем как да изваждаме такива дроби. Нека вземем този пример до края:

Получихме отговор

Нека се опитаме да изобразим нашето решение с помощта на чертеж. Ако изрежете пица от пица, ще получите пица

Това е подробната версия на решението. Ако бяхме в училище, щяхме да решаваме този пример по-кратко. Такова решение би изглеждало така:

Намаляването на дробите до общ знаменател също може да бъде изобразено с помощта на картина. Намалявайки тези дроби до общ знаменател, получаваме дробите и . Тези фракции ще бъдат представени от едни и същи парчета пица, но този път ще бъдат разделени на равни части (намалени до същия знаменател):

Първата снимка показва дроб (осем части от дванадесет), а втората картина показва дроб (три части от дванадесет). Като изрежем три парчета от осем парчета, получаваме пет парчета от дванадесет. Дробта описва тези пет части.

Пример 2.Намерете стойността на израз

Тези дроби имат различни знаменатели, така че първо трябва да ги намалите до един и същи (общ) знаменател.

Нека намерим LCM на знаменателите на тези дроби.

Знаменателите на дробите са числата 10, 3 и 5. Най-малкото общо кратно на тези числа е 30

LCM(10, 3, 5) = 30

Сега намираме допълнителни множители за всяка дроб. За да направите това, разделете LCM на знаменателя на всяка дроб.

Нека намерим допълнителен фактор за първата дроб. LCM е числото 30, а знаменателят на първата дроб е числото 10. Разделяме 30 на 10, получаваме първия допълнителен множител 3. Записваме го над първата дроб:

Сега намираме допълнителен фактор за втората дроб. Разделете LCM на знаменателя на втората дроб. LCM е числото 30, а знаменателят на втората дроб е числото 3. Разделяме 30 на 3, получаваме втория допълнителен множител 10. Записваме го над втората дроб:

Сега намираме допълнителен фактор за третата дроб. Разделете LCM на знаменателя на третата дроб. LCM е числото 30, а знаменателят на третата дроб е числото 5. Разделяме 30 на 5, получаваме третия допълнителен множител 6. Записваме го над третата дроб:

Сега всичко е готово за изваждане. Остава да умножим дробите по техните допълнителни множители:

Стигнахме до извода, че дроби с различни знаменатели се превръщат в дроби с еднакви (общи) знаменатели. И вече знаем как да изваждаме такива дроби. Нека завършим този пример.

Продължението на примера няма да се побере на един ред, затова преместваме продължението на следващия ред. Не забравяйте за знака за равенство (=) на новия ред:

Отговорът се оказа обикновена дроб и изглежда, че всичко ни подхожда, но е твърде тромаво и грозно. Трябва да го направим по-просто. Какво може да се направи? Можете да съкратите тази фракция.

За да намалите дроб, трябва да разделите числителя и знаменателя на (НОД) на числата 20 и 30.

И така, намираме gcd на числата 20 и 30:

Сега се връщаме към нашия пример и разделяме числителя и знаменателя на дробта на намерения gcd, тоест на 10

Получихме отговор

Умножение на дроб по число

За да умножите дроб по число, трябва да умножите числителя на дробта по това число и да оставите знаменателя непроменен.

Пример 1. Умножете дроб по числото 1.

Умножете числителя на дробта по числото 1

Записът може да се разбира като отнемащ половин 1 път. Например, ако вземете пица веднъж, ще получите пица

От законите на умножението знаем, че ако умножаемото и множителят се разменят, произведението няма да се промени. Ако изразът е записан като , тогава произведението пак ще бъде равно на . Отново правилото за умножение на цяло число и дроб работи:

Тази нотация може да се разбира като вземане на половината от едно. Например, ако има 1 цяла пица и вземем половината от нея, тогава ще имаме пица:

Пример 2. Намерете стойността на израз

Умножете числителя на дробта по 4

Отговорът беше неправилна дроб. Нека подчертаем цялата част от него:

Изразът може да се разбира като вземане на две четвърти 4 пъти. Например, ако вземете 4 пици, ще получите две цели пици

И ако разменим множителя и множителя, получаваме израза . То също ще бъде равно на 2. Този израз може да се разбира като вземане на две пици от четири цели пици:

Числото, което се умножава по дробта, и знаменателят на дробта се разрешават, ако имат общ делител, по-голямо от едно.

Например, един израз може да бъде изчислен по два начина.

Първи начин. Умножете числото 4 по числителя на дробта и оставете знаменателя на дробта непроменен:

Втори начин. Четирите, които се умножават, и четирите в знаменателя на дробта могат да бъдат намалени. Тези четворки могат да бъдат намалени с 4, тъй като най-големият общ делител за две четворки е самата четворка:

Получихме същия резултат 3. След намаляване на четворките на тяхно място се образуват нови числа: две единици. Но умножаването на едно по три и след това деленето на едно не променя нищо. Следователно решението може да се напише накратко:

Редукцията може да се извърши дори когато решихме да използваме първия метод, но на етапа на умножаване на числото 4 и числителя 3 решихме да използваме редукцията:

Но например изразът може да се изчисли само по първия начин - умножете 7 по знаменателя на дробта и оставете знаменателя непроменен:

Това се дължи на факта, че числото 7 и знаменателят на дробта нямат общ делител, по-голям от едно, и съответно не се съкращават.

Някои ученици погрешно съкращават числото, което се умножава, и числителя на дробта. не можеш да направиш това Например следният запис не е правилен:

Намаляването на дроб означава това както числител, така и знаменателще бъдат разделени на същото число. В ситуацията с израза делението се извършва само в числителя, тъй като писането е същото като писането . Виждаме, че делението се извършва само в числителя, а в знаменателя не се дели.

Умножение на дроби

За да умножите дроби, трябва да умножите техните числители и знаменатели. Ако отговорът се окаже неправилна дроб, трябва да подчертаете цялата част от нея.

Пример 1.Намерете стойността на израза.

Получихме отговор. Препоръчително е тази фракция да се намали. Дробта може да се намали с 2. Тогава окончателното решение ще приеме следната форма:

Изразът може да се разбира като вземане на пица от половин пица. Да кажем, че имаме половин пица:

Как да вземем две трети от тази половина? Първо трябва да разделите тази половина на три равни части:

И вземете две от тези три части:

Ще направим пица. Припомнете си как изглежда пицата, разделена на три части:

Едно парче от тази пица и двете парчета, които взехме, ще имат еднакви размери:

С други думи, говорим за пица с еднакъв размер. Следователно стойността на израза е

Пример 2. Намерете стойността на израз

Умножете числителя на първата дроб по числителя на втората дроб и знаменателя на първата дроб по знаменателя на втората дроб:

Отговорът беше неправилна дроб. Нека подчертаем цялата част от него:

Пример 3.Намерете стойността на израз

Отговорът се оказа обикновена дроб, но би било добре да бъде съкратен. За да намалите тази дроб, трябва да разделите числителя и знаменателя на тази дроб на най-големия общ делител (НОД) на числата 105 и 450.

И така, нека намерим gcd на числата 105 и 450:

Сега разделяме числителя и знаменателя на нашия отговор на gcd, който намерихме сега, тоест на 15

Представяне на цяло число като дроб

Всяко цяло число може да бъде представено като дроб. Например числото 5 може да бъде представено като . Това няма да промени значението на пет, тъй като изразът означава "числото пет, разделено на едно", а това, както знаем, е равно на пет:

Реципрочни числа

Сега ще се запознаем с много интересна темапо математика. Нарича се "обратни числа".

Определение. Обратно на номера е число, което, когато се умножи поа дава едно.

Нека заместим в това определение вместо променливата аномер 5 и се опитайте да прочетете определението:

Обратно на номер 5 е число, което, когато се умножи по 5 дава едно.

Възможно ли е да се намери число, което, умножено по 5, дава единица? Оказва се, че е възможно. Нека си представим пет като дроб:

След това умножете тази дроб сама по себе си, просто разменете числителя и знаменателя. С други думи, нека умножим дробта сама по себе си, само с главата надолу:

Какво ще се случи в резултат на това? Ако продължим да решаваме този пример, получаваме един:

Това означава, че обратното на числото 5 е числото , тъй като когато умножите 5 по, получавате едно.

Реципрочната стойност на число може да се намери и за всяко друго цяло число.

Можете също така да намерите реципрочната стойност на всяка друга дроб. За да направите това, просто го обърнете.

Деление на дроб на число

Да кажем, че имаме половин пица:

Нека го разделим поравно между две. Колко пица ще получи всеки човек?

Вижда се, че след разделянето на половината пица се получават две еднакви парчета, всяко от които представлява пица. Така че всеки получава пица.