Kako pronaći koordinate vrha parabole kvadratne funkcije. Parabola - svojstva i graf kvadratne funkcije

Poziva se funkcija oblika gdje kvadratna funkcija.

Grafikon kvadratne funkcije – parabola.


Razmotrimo slučajeve:

I CASE, KLASIČNA PARABOLA

To je , ,

Za konstruiranje, popunite tabelu zamjenom vrijednosti x u formulu:


Označite tačke (0;0); (1;1); (-1;1) itd. na koordinatnoj ravni (što manji korak uzimamo za x vrijednosti (in u ovom slučaju korak 1), a što više x vrijednosti uzmemo, to će kriva biti glatkija), dobijamo parabolu:


Lako je vidjeti da ako uzmemo slučaj , , , to jest, onda ćemo dobiti parabolu koja je simetrična oko ose (oh). To je lako provjeriti popunjavanjem slične tabele:


II SLUČAJ, “a” SE RAZLIKUJE OD JEDINICE

Šta će se dogoditi ako uzmemo , , ? Kako će se promijeniti ponašanje parabole? With title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="20" width="55" style="vertical-align: -5px;"> парабола изменит форму, она “похудеет” по сравнению с параболой (не верите – заполните соответствующую таблицу – и убедитесь сами):!}


Na prvoj slici (vidi gore) jasno je vidljivo da su tačke iz tabele za parabolu (1;1), (-1;1) transformisane u tačke (1;4), (1;-4), to jest, sa istim vrijednostima, ordinata svake tačke se množi sa 4. Ovo će se dogoditi sa svim ključnim tačkama originalne tabele. Slično razmišljamo iu slučajevima slika 2 i 3.

A kada parabola "postane šira" od parabole:


Hajde da rezimiramo:

1)Predznak koeficijenta određuje smjer grana. With title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="14" width="47" style="vertical-align: 0px;"> ветви направлены вверх, при - вниз. !}

2) Apsolutna vrijednost koeficijent (modulus) je odgovoran za “širenje” i “kompresiju” parabole. Što je veća, to je parabola uža; što je manja |a|, to je parabola šira.

III SLUČAJ, POJAVA „C“.

Sada ćemo uvesti u igru ​​(odnosno, razmotriti slučaj kada), razmotrit ćemo parabole oblika . Nije teško pogoditi (uvijek možete pogledati tabelu) da će se parabola pomaknuti gore ili dolje duž ose ovisno o predznaku:



IV POJAVA SE SLUČAJ, “b”.

Kada će se parabola „otrgnuti“ od ose i konačno „prošetati“ duž cele koordinatne ravni? Kada će prestati biti ravnopravan?

Ovdje nam je potrebna za konstruiranje parabole formula za izračunavanje vrha: , .

Dakle, u ovoj tački (kao u tački (0;0) novog koordinatnog sistema) izgradićemo parabolu, što već možemo da uradimo. Ako imamo posla sa slučajem, onda od vrha stavljamo jedan jedinični segment udesno, jedan prema gore, - rezultirajuća tačka je naša (slično, korak ulijevo, korak gore je naša tačka); ako imamo posla, na primjer, onda od vrha stavljamo jedan jedinični segment udesno, dva - prema gore itd.

Na primjer, vrh parabole:

Sada je glavna stvar koju treba razumjeti je da ćemo na ovom vrhu izgraditi parabolu prema uzorku parabole, jer u našem slučaju.

Prilikom konstruisanja parabole nakon pronalaženja koordinata vrha vrloPogodno je razmotriti sljedeće točke:

1) parabola sigurno će proći kroz tačku . Zaista, zamjenom x=0 u formulu, dobijamo da . To jest, ordinata točke presjeka parabole sa osom (oy) je . U našem primjeru (gore), parabola siječe ordinatu u točki , budući da .

2) osa simetrije parabole je prava linija, tako da će sve tačke parabole biti simetrične oko nje. U našem primjeru, odmah uzimamo tačku (0; -2) i gradimo je simetrično u odnosu na osu simetrije parabole, dobijamo tačku (4; -2) kroz koju će parabola proći.

3) Izjednačujući sa , nalazimo točke presjeka parabole s osom (oh). Da bismo to učinili, rješavamo jednačinu. U zavisnosti od diskriminanta, dobićemo jedan (, ), dva ( title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="14" width="54" style="vertical-align: 0px;">, ) или нИсколько () точек пересечения с осью (ох) !} . U prethodnom primjeru, naš korijen diskriminanta nije cijeli broj; pri konstruiranju nema puno smisla da pronađemo korijene, ali jasno vidimo da ćemo imati dvije točke presjeka s osom (oh) (pošto title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="14" width="54" style="vertical-align: 0px;">), хотя, в общем, это видно и без дискриминанта.!}

Pa hajde da to riješimo

Algoritam za konstruisanje parabole ako je data u obliku

1) odrediti smjer grana (a>0 – gore, a<0 – вниз)

2) nalazimo koordinate vrha parabole koristeći formulu , .

3) nalazimo točku presjeka parabole sa osom (oy) koristeći slobodni termin, konstruiramo tačku simetričnu ovoj tački u odnosu na os simetrije parabole (treba napomenuti da se dešava da je neisplativo označiti ovu tačku, na primjer, jer je vrijednost velika... ovu tačku preskačemo...)

4) U pronađenoj tački - vrhu parabole (kao u tački (0;0) novog koordinatnog sistema) konstruišemo parabolu. If title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="20" width="55" style="vertical-align: -5px;">, то парабола становится у’же по сравнению с , если , то парабола расширяется по сравнению с !}

5) Točke presjeka parabole sa osom (oy) (ako još nisu "isplivale") nalazimo rješavanjem jednačine

Primjer 1


Primjer 2


Napomena 1. Ako nam je parabola u početku data u obliku , gdje su neki brojevi (na primjer, ), tada će biti još lakše konstruirati je, jer smo već dobili koordinate vrha . Zašto?

Uzmimo kvadratni trinom i izoliramo cijeli kvadrat u njemu: Gledajte, imamo to , . Vi i ja smo ranije nazivali vrh parabole, odnosno sada,.

Na primjer, . Označavamo vrh parabole na ravnini, razumijemo da su grane usmjerene prema dolje, parabola je proširena (u odnosu na ). To jest, izvršavamo tačke 1; 3; 4; 5 iz algoritma za konstruisanje parabole (vidi gore).

Napomena 2. Ako je parabola data u obliku sličnom ovom (tj. predstavljena kao proizvod dva linearna faktora), tada odmah vidimo tačke presjeka parabole sa osom (ox). U ovom slučaju – (0;0) i (4;0). Za ostalo postupamo prema algoritmu, otvarajući zagrade.

Verovatno svi znaju šta je parabola. Ali u nastavku ćemo pogledati kako ga pravilno i kompetentno koristiti prilikom rješavanja raznih praktičnih problema.

Prvo, izložimo osnovne koncepte koje algebra i geometrija daju ovom terminu. Hajde da razmotrimo sve mogući tipovi ovaj grafikon.

Hajde da saznamo sve glavne karakteristike ove funkcije. Hajde da shvatimo osnove konstrukcije krive (geometrije). Naučimo kako pronaći vrh i druge osnovne vrijednosti grafa ove vrste.

Hajde da saznamo: kako pravilno konstruirati željenu krivulju koristeći jednadžbu, na šta trebate obratiti pažnju. Hajde da vidimo osnove praktična upotreba ovu jedinstvenu vrijednost u ljudskom životu.

Šta je parabola i kako izgleda?

Algebra: Ovaj termin se odnosi na graf kvadratne funkcije.

Geometrija: ovo je kriva drugog reda koja ima niz specifičnih karakteristika:

Kanonska parabola jednadžba

Na slici je prikazan pravougaoni koordinatni sistem (XOY), ekstremum, pravac grana funkcije povučen duž ose apscise.

Kanonska jednadžba je:

y 2 = 2 * p * x,

gdje je koeficijent p fokalni parametar parabole (AF).

U algebri će se drugačije pisati:

y = a x 2 + b x + c (prepoznatljivi uzorak: y = x 2).

Svojstva i graf kvadratne funkcije

Funkcija ima os simetrije i centar (ekstremum). Domen definicije su sve vrijednosti ose apscise.

Raspon vrijednosti funkcije – (-∞, M) ili (M, +∞) ovisi o smjeru grana krivulje. Parametar M ovdje znači vrijednost funkcije na vrhu reda.

Kako odrediti gdje su usmjerene grane parabole

Da biste pronašli smjer krivulje ovog tipa iz izraza, morate odrediti znak ispred prvog parametra algebarskog izraza. Ako je a ˃ 0, onda su usmjereni prema gore. Ako je obrnuto, dole.

Kako pronaći vrh parabole koristeći formulu

Pronalaženje ekstrema je glavni korak u rješavanju mnogih praktičnih problema. Naravno, možete otvoriti posebne online kalkulatori, ali bolje je da to možete sami da uradite.

Kako to odrediti? Postoji posebna formula. Kada b nije jednako 0, moramo potražiti koordinate ove tačke.

Formule za pronalaženje temena:

  • x 0 = -b / (2 * a);
  • y 0 = y (x 0).

Primjer.

Postoji funkcija y = 4 * x 2 + 16 * x – 25. Nađimo vrhove ove funkcije.

Za ovakvu liniju:

  • x = -16 / (2 * 4) = -2;
  • y = 4 * 4 - 16 * 2 - 25 = 16 - 32 - 25 = -41.

Dobijamo koordinate vrha (-2, -41).

Pomak parabole

Klasičan slučaj je kada su u kvadratnoj funkciji y = a x 2 + b x + c, drugi i treći parametar jednaki 0, a = 1 - vrh je u tački (0; 0).

Kretanje duž apscisne ili ordinatne osi je uzrokovano promjenama parametara b i c, respektivno. Linija na ravni će biti pomaknuta za tačan broj jedinica jednak vrijednosti parametra.

Primjer.

Imamo: b = 2, c = 3.

To znači da klasičan izgled kriva će se pomaknuti za 2 jedinična segmenta duž ose apscise i za 3 duž ordinatne ose.

Kako izgraditi parabolu pomoću kvadratne jednadžbe

Za školarce je važno da nauče kako pravilno nacrtati parabolu koristeći date parametre.

Analizom izraza i jednačina možete vidjeti sljedeće:

  1. Tačka preseka željene linije sa ordinatnim vektorom imaće vrednost jednaku c.
  2. Sve tačke grafa (duž x-ose) će biti simetrične u odnosu na glavni ekstrem funkcije.

Osim toga, točke presjeka sa OX mogu se pronaći poznavanjem diskriminanta (D) takve funkcije:

D = (b 2 - 4 * a * c).

Da biste to učinili, morate izraz izjednačiti sa nulom.

Prisutnost korijena parabole ovisi o rezultatu:

  • D ˃ 0, tada x 1, 2 = (-b ± D 0,5) / (2 * a);
  • D = 0, tada x 1, 2 = -b / (2 * a);
  • D ˂ 0, tada nema tačaka preseka sa vektorom OX.

Dobijamo algoritam za konstruisanje parabole:

  • odrediti smjer grana;
  • pronaći koordinate vrha;
  • naći raskrsnicu sa ordinatnom osom;
  • pronađite presek sa x-osom.

Primjer 1.

Zadata je funkcija y = x 2 - 5 * x + 4. Potrebno je konstruirati parabolu. Pratimo algoritam:

  1. a = 1, dakle, grane su usmjerene prema gore;
  2. ekstremne koordinate: x = - (-5) / 2 = 5/2; y = (5/2) 2 - 5 * (5/2) + 4 = -15/4;
  3. seče sa ordinatnom osom na vrednosti y = 4;
  4. nađimo diskriminanta: D = 25 - 16 = 9;
  5. tražim korijene:
  • X 1 = (5 + 3) / 2 = 4; (4, 0);
  • X 2 = (5 - 3) / 2 = 1; (10).

Primjer 2.

Za funkciju y = 3 * x 2 - 2 * x - 1 trebate konstruirati parabolu. Radimo po zadatom algoritmu:

  1. a = 3, dakle, grane su usmjerene prema gore;
  2. ekstremne koordinate: x = - (-2) / 2 * 3 = 1/3; y = 3 * (1/3) 2 - 2 * (1/3) - 1 = -4/3;
  3. presecaće se sa y-osom na vrednosti y = -1;
  4. hajde da nađemo diskriminanta: D = 4 + 12 = 16. Dakle, koreni su:
  • X 1 = (2 + 4) / 6 = 1; (1;0);
  • X 2 = (2 - 4) / 6 = -1/3; (-1/3; 0).

Koristeći dobijene tačke, možete konstruisati parabolu.

Directrix, ekscentricitet, fokus parabole

Na osnovu kanonske jednačine, fokus F ima koordinate (p/2, 0).

Prava AB je direktrisa (vrsta tetive parabole određene dužine). Njegova jednadžba je x = -p/2.

Ekscentricitet (konstanta) = 1.

Zaključak

Pogledali smo temu o kojoj uče školarci srednja škola. Sada znate, gledajući kvadratnu funkciju parabole, kako pronaći njen vrh, u kojem smjeru će grane biti usmjerene, da li postoji pomak duž osa, i, koristeći algoritam konstrukcije, možete nacrtati njen graf.

Graf kvadratne funkcije naziva se parabola. Ova linija ima značajan fizički značaj. Neki se kreću po parabolama nebeska tela. Antena u obliku parabole fokusira zrake koje idu paralelno sa osom simetrije parabole. Tijela bačena prema gore pod uglom dosega gornja tačka i pasti dole, takođe opisujući parabolu. Očigledno je uvijek korisno znati koordinate vrha ovog kretanja.

Instrukcije

1. Kvadratna funkcija u svemu opšti pogled napisano jednačinom: y = ax? + bx + c. Graf ove jednadžbe je parabola, čije su grane usmjerene nagore (za a > 0) ili naniže (za a< 0). Школьникам предлагается легко запомнить формулу вычисления координат вершины параболы. Вершина параболы лежит в точке x0 = -b/2a. Подставив это значение в kvadratna jednačina, dobiti y0: y0 = a(-b/2a)? – b?/2a + c = – b?/4a + c.

2. Ljudi koji su upoznati sa derivacijom mogu lako uočiti vrh parabole. Bez obzira na lokaciju grana parabole, njen vrh je tačka ekstrema (minimum ako su grane usmjerene prema gore, odnosno maksimum kada su grane usmjerene prema dolje). Da biste pronašli pretpostavljene tačke ekstrema bilo koje funkcije, morate izračunati njen prvi izvod i izjednačiti je sa nulom. Općenito, derivacija kvadratne funkcije je jednaka f"(x) = (ax? + bx + c)' = 2ax + b. Izjednačavanjem sa nulom, dobijate 0 = 2ax0 + b => x0 = -b/ 2a.

3. Parabola je simetrična linija. Osa simetrije prolazi kroz vrh parabole. Poznavajući točke presjeka parabole sa X koordinatnom osom, lako možete pronaći apscisu vrha x0. Neka su x1 i x2 korijeni parabole (tzv. presječne točke parabole sa osom apscise, jer ove vrijednosti okreću kvadratnu jednadžbu ax? + bx + c na nulu). U isto vrijeme, neka |x2| > |x1|, tada vrh parabole leži u sredini između njih i može se naći iz daljeg izraza: x0 = ?(|x2| – |x1|).

Parabola je graf kvadratne funkcije; općenito, jednačina parabole se piše y=ah^2+bh+s, gdje je a?0. Ovo je univerzalna krivulja drugog reda koja opisuje mnoge pojave u životu, recimo, kretanje bačenog, a zatim padajućeg tijela, oblik duge, a samim tim i znanje koje treba otkriti parabola Moglo bi dobro doći u stvarnom životu.

Trebaće ti

  • – formula kvadratne jednačine;
  • – list papira sa koordinatnom mrežom;
  • – olovka, gumica;
  • – računar i Excel program.

Instrukcije

1. Prvo, locirajte vrh parabole. Da biste pronašli apscisu ove tačke, uzmite eksponent prije x, podijelite ga dvostrukim eksponentom prije x^2 i pomnožite sa -1 (formula x=-b/2a). Pronađite ordinatu zamjenom rezultirajuće vrijednosti u jednadžbu ili korištenjem formule y=(b^2-4ac)/4a. Dobili ste koordinate vrha parabole.

2. Vrh parabole se također može otkriti pomoću druge metode. Budući da je vrh ekstremum funkcije, da biste ga izračunali, izračunajte prvi izvod i izjednačite ga sa nulom. U opštem obliku dobićete formulu f(x)’ = (ax? + bx + c)’ = 2ax + b. I ako ga izjednačite sa nulom, doći ćete do iste formule - x = -b/2a.

3. Saznajte da li su grane parabole usmjerene prema gore ili prema dolje. Da biste to učinili, pogledajte indikator ispred x^2, odnosno a. Ako je a>0, onda su grane usmjerene prema gore, ako je a

4. Konstruirajte os simetrije parabole; ona siječe vrh parabole i paralelna je s y osi. Sve tačke parabole će biti jednako udaljene od nje, stoga je moguće konstruisati samo jedan deo, a zatim ga simetrično prikazati u odnosu na osu parabole.

5. Nacrtaj liniju parabole. Da biste to učinili, pronađite nekoliko tačaka zamjenom različita značenja x u jednačine i rješavanje jednakosti. Pogodno je detektovati presek sa osovinama; da biste to uradili, zamenite x=0 i y=0 u jednakost. Podižući jednu stranu, odrazite je simetrično oko ose.

6. Dozvoljena gradnja parabola uz pomoć Excel programi. Da biste to učinili, otvorite novi dokument i odaberite dvije kolone u njemu, x i y=f(x). U prvu kolonu zapišite vrijednosti x na odabranom segmentu, a u drugu kolonu zapišite formulu, recimo, =2B3*B3-4B3+1 ili =2B3^2-4B3+1. Kako ne biste svaki put pisali ovu formulu, „razvucite“ je na svaku kolonu tako što ćete kliknuti na mali križić u donjem desnom kutu i povući je prema dolje.

7. Kada imate tabelu, kliknite na meni “Insert” – “Chart”. Odaberite dijagram raspršenosti, kliknite na Next. U prozoru koji se pojavi dodajte red klikom na dugme „Dodaj“. Da biste odabrali potrebne ćelije, kliknite jednu po jednu na dugmad zaokružena crvenim ovalom ispod, a zatim odaberite svoje stupce s vrijednostima. Klikom na dugme „Gotovo“ ocenite rezultat – gotovo parabola .

Video na temu

Kada tražite kvadratnu funkciju čiji je graf parabola, u jednoj od tačaka morate pronaći koordinate vrhovi parabole. Kako to uraditi analitički koristeći jednačinu datu za parabolu?

Instrukcije

1. Kvadratna funkcija je funkcija oblika y=ax^2+bx+c, gdje je a vodeći eksponent (striktno mora biti različit od nule), b je najniži eksponent, c je slobodan član. Ova funkcija daje svom grafu parabolu, čije su grane usmjerene prema gore (ako je a>0) ili prema dolje (ako je a<0). При a=0 квадратичная функция вырождается в линейную функцию.

2. Nađimo koordinate x0 vrhovi parabole. Nalazi se po formulix0=-b/a.

3. y0=y(x0). Za detekciju koordinate y0 vrhovi parabole, trebate zamijeniti otkrivenu vrijednost x0 u funkciju umjesto x. Izračunajte čemu je jednako y0.

4. Koordinate vrhovi otkrivene su parabole. Zapišite ih kao koordinate jedne tačke (x0,y0).

5. Prilikom konstruisanja parabole imajte na umu da je ona simetrična u odnosu na os simetrije parabole, koja prolazi okomito kroz vrh parabole, jer kvadratna funkcija je parna. Shodno tome, dovoljno je konstruisati samo jednu granu parabole iz tačaka, a drugu dopuniti simetrično.

Video na temu

Za funkcije (ili bolje rečeno njihove grafove) koristi se reprezentacija najveće vrijednosti, uključujući lokalni maksimum. Ideja "verteksa" je vjerojatnije povezana s geometrijskim oblicima. Maksimalne tačke glatkih funkcija (koje imaju izvod) je lako odrediti pomoću nula prvog izvoda.

Instrukcije

1. Za tačke u kojima funkcija nije diferencibilna već konstantna, najveća vrijednost na intervalu može imati oblik vrha (na primjer, y=-|x|). U takvim tačkama na graf funkcije moguće je povući onoliko tangenti koliko želite, a izvod za to ne postoji lako. Sami funkcije ovog tipa se obično specificiraju na segmentima. Tačke u kojima se izvodi izvod funkcije jednak nuli ili ne postoji nazivaju se skeptičnim.

2. Ispostavilo se da je pronalaženje maksimalnih bodova funkcije y=f(x) potrebno je: - detektovati skeptične tačke; - da bi se preferirala maksimalna tačka, potrebno je detektovati predznak derivacije u blizini skeptične tačke. Ako se, prilikom prolaska tačke, znak mijenja od "+" do "-", tada se javlja maksimum.

3. Primjer. Pronađite najveće vrijednosti funkcije(vidi sliku 1).y=x+3 za x?-1 i y=((x^2)^(1/3)) –x za x>-1.

4. Rheaning. y=x+3 za x?-1 i y=((x^2)^(1/3)) –x za x>-1. Funkcija je specificirana na segmentima namjerno, jer je u ovom slučaju cilj da se sve prikaže u jednom primjeru. Lako je provjeriti da pri x=-1 funkcija ostaje konstantna y'=1 na x?-1 i y'=(2/3)(x^(-1/3))-1=(2- 3(x ^(1/3))/(x^(1/3)) za x>-1. y'=0 za x=8/27. y' ne postoji za x=-1 i x= 0. U ovom slučaju y'>0 ako je x

Video na temu

Parabola je jedna od krivulja drugog reda, njene tačke su podignute u skladu sa kvadratnom jednačinom. Glavna stvar u konstruisanju ove kose je detekcija top parabole. To se može učiniti na nekoliko načina.

Instrukcije

1. Da biste pronašli koordinate vrha parabole, koristite sljedeću formulu: x = -b/2a, gdje je a indikator prije x na kvadrat, a b je indikator prije x. Uključite svoje vrijednosti i izračunajte njihovu vrijednost. Nakon toga zamijenite rezultirajuću vrijednost za x u jednadžbi i izračunajte ordinatu vrha. Recimo, ako vam je data jednačina y=2x^2-4x+5, onda pronađite apscisu na sljedeći način: x=-(-4)/2*2=1. Zamjenom x=1 u jednačinu, izračunajte y-vrijednost za vrh parabole: y=2*1^2-4*1+5=3. Dakle, vrh parabole ima koordinate (1;3).

2. Vrijednost ordinate parabole može se otkriti bez prethodnog izračunavanja apscise. Da biste to učinili, koristite formulu y=-b^2/4ac+c.

3. Ako ste upoznati sa izvedenim predstavljanjem, otkrijte top parabole koristeći derivate, koristeći prednost daljnjeg svojstva svake funkcije: prvi izvod funkcije, jednak nuli, označava tačke ekstrema. Jer vrh parabole, bez obzira da li su njegove grane usmjerene gore ili dolje, je tačka ekstrema, izračunajte izvod za svoju funkciju. U opštem obliku to će izgledati kao f(x)=2ax+b. Izjednačite ga sa nulom i dobijete koordinate vrha parabole, što odgovara vašoj funkciji.

4. Pokušajte otkriti top parabole, koristeći prednosti svog svojstva kao što je simetrija. Da biste to učinili, pronađite točke raskrsnice parabole sa x osom, izjednačavajući funkciju sa nulom (zamjenom y = 0). Kada riješite kvadratnu jednačinu, naći ćete x1 i x2. Zato što je parabola simetrična u odnosu na direktrisu koja prolazi top, ove tačke će biti jednako udaljene od apscise vrha. Da bismo ga otkrili, dijelimo udaljenost između tačaka na pola: x = (Ix1-x2I)/2.

5. Ako je bilo koji od eksponenta nula (osim a), izračunajte koordinate vrha parabole koristeći pojednostavljene formule. Recimo, ako je b = 0, to jest, jednačina ima oblik y = ax^2 + c, tada će vrh ležati na osi oy i njegove koordinate će biti jednake (0; c). Ako nije samo eksponent b=0, već i c=0, onda je vrh parabole nalazi se na početku, tački (0;0).

Video na temu

Polazeći od jedne tačke, prave linije formiraju ugao gde im je zajednička tačka vrh. U dijelu teorijske algebre često postoje problemi kada trebate pronaći koordinate ovoga vrhovi, da bi se tada odredila jednačina prave koja prolazi kroz vrh.

Instrukcije

1. Prije nego što započnete proces pronalaženja koordinata vrhovi, odlučiti o početnim podacima. Prihvatite da željeni vrh pripada trouglu ABC, u kojem su poznate koordinate ostala 2 vrha, kao i numeričke vrijednosti uglovi, jednako “e” i “k” na strani AB.

2. Kombinujte novi sistem koordinate na jednoj od stranica trougla AB na način da se predgovor koordinatnog sistema poklapa sa tačkom A čije su koordinate vama poznate. Drugi vrh B će ležati na osi OX, a poznate su vam i njegove koordinate. Odredite dužinu stranice AB duž ose OX prema koordinatama i uzmite je jednakom “m”.

3. Spustite okomicu od nepoznatog vrhovi C na osu OX i na stranu trougla AB, respektivno. Rezultirajuća visina “y” određuje vrijednost jedne od koordinata vrhovi C duž ose OY. Pretpostavimo da visina “y” dijeli stranu AB na dva segmenta jednaka “x” i “m – x”.

4. Jer znate značenje svega uglovi trokuta, što znači da su poznate i vrijednosti njihovih tangenta. Uzmite tangentne vrijednosti za uglovi, uz stranu trougla AB, jednako tan(e) i tan(k).

5. Unesite jednadžbe za 2 prave koje prolaze duž stranica AC i BC redom: y = tan(e) * x i y = tan(k) * (m – x). Zatim pronađite presjek ovih linija primjenom transformiranih jednadžbi linija: tan(e) = y/x i tan(k) = y/(m – x).

6. Ako pretpostavite da je tan(e)/tan(k) jednako (y/x) /(y/ (m – x)) ili kasnije skraćeno “y” – (m – x) / x, na kraju ćete dobiti željene vrijednosti koordinate jednake x = m / (tan(e)/tan(k) + e) ​​i y = x * tan(e).

7. Zamjenske vrijednosti uglovi(e) i (k), kao i detektovanu vrijednost strane AB = m u jednadžbe x = m / (tan(e)/tan(k) + e) ​​i y = x * tan(e ).

8. Pretvorite novi koordinatni sistem u početni koordinatni sistem, pošto je između njih uspostavljena korespondencija jedan-na-jedan, i dobijete željene koordinate vrhovi trougao ABC.

Video na temu

Video na temu

Nagaeva Svetlana Nikolaevna, nastavnica matematike u MAOU „Licej br. 1“ u gradu Berezniki.

Projekt čas algebre u 9. razredu(humanitarni profil).

“Najdublji trag ostavlja ono što je osoba sama otkrila.” (D. Poya.)

Tema lekcije:"Izvođenje formula za izračunavanje koordinata vrha parabole."

Ciljevi lekcije: obrazovni :

Očekivani rezultat:

- svijest, prihvatanje i rješavanje problema od strane učenika;

Formiranje načina za dobijanje novih znanja kroz poređenje i suprotstavljanje činjenica, metod od posebnog ka opštem;

Naučite formule za pronalaženje koordinata vrha i ose simetrije parabole za funkcije oblika y = ax 2 +bx+c.

Vrsta lekcije: inscenacija lekcije vaspitni zadatak. Nastavne metode– vizuelno i ilustrativno, verbalno, kolaborativno učenje, problemski, elementi tehnologije kritičkog mišljenja.

Oprema: kompjuter, multimedijalni projektor, demonstraciono platno, slajdovi prezentacije na temu: „Formula za pronalaženje koordinata temena parabole“; A3 listovi; markeri u boji.

Tehnologija- sistemsko-aktivni pristup.

Koraci lekcije:

    Psihološko raspoloženje (motivacija).

    Ažuriraj pozadinsko znanje(stvaranje situacije uspjeha).

    Formulacija problema.

    Formulisanje teme i svrhe lekcije.

    Rješenje problema.

    Analiza napretka rješavanja problema.

    Primjena rezultata rješavanja problema u narednim aktivnostima.

    Sumiranje časa (sažetak „očima“ učenika, sažetak „očima“ nastavnika).

    Zadaća.

Tokom nastave:

    Psihološko raspoloženje.

Zadatak: Naučite rješavati zajednički zadatak i rad u timu (rad u grupama od 5 osoba).

Ljudi, u posljednje četiri lekcije smo proučavali kvadratnu funkciju, ali naše znanje još nije potpuno kompletno, pa nastavljamo s proučavanjem kvadratne funkcije kako bismo naučili nešto novo o ovoj funkciji.

Motivisanje učenika da samostalno odrede temu i svrhu časa.

Funkcija
i njen raspored.

;
;

Bez grafičkih funkcija, možemo li odgovoriti na pitanja:

    Šta je graf funkcija?

    Koja je prava os simetrije (ako postoji)?

3. Postoji li vrh, koje su njegove koordinate?

Želim znati

Tabela se popunjava kako lekcija napreduje.

    Ažuriranje osnovnih znanja i vještina učenika.Zagrijavanje. 1. Stavite najveći koeficijent iz zagrada: 5x 2 + 25x -5; ax 2 + bx + c. 2. Odaberite dvostruki proizvod: ab; sjekira; b/a. 3.Kvadratura: b/2; c 2 /a; 2a/3b. 4.Prisutan kao algebarski zbir: a – c; x –(- b/2a).

Objasnite kako, znajući tip grafa funkcijey =ƒ( x ) , izgraditi grafove funkcija:

A ) y =ƒ(x - a) , - korištenjem paralelnog prevođenja jedinicama udesno duž ose X;

b) y =ƒ(x) + b, - koristeći paralelnu translaciju b jedinica gore duž ose y;

V) y =ƒ(x- a) +b, ↔ uključeno A jedinice, ↕ po b jedinice;

d) Kako grafički prikazati funkciju y = (x - 2) 2 + 3 ? Kakav je njen raspored?

Imenujte vrh parabole.
Graf je parabola y = x 2 sa vrhom u tački (2; 3 ).

Dajte koordinate vrha parabole: y=x - 4x + 5 ( problem). Zašto je nemoguće odrediti koordinate vrha parabole po tipu funkcije?(kvadratna funkcija ima drugačiji oblik).

Aktivnosti učenika:

Izgradite govorne strukture koristeći funkcionalnu terminologiju.

Diskusija o odgovorima. Oni upoređuju, upoređuju sa prethodno proučavanim funkcijama, biraju i zapisuju na tabli znanja i vještine koje će im možda trebati za rješavanje problema u koloni “ZNAM”:

2.

3.

4.

U koloni "Želim znati": vrh, os simetrije parabole
.

Učenici mogu upisati funkcije u kolone “ZNAM” i “ŽELIM DA ZNAM” i općenito iu posebnim slučajevima. Izjava obrazovnog problema: pronaći koordinate vrha parabole ako je kvadratna funkcija data u općem obliku y = sjekira + bx + c. Učenici formulišu i zapisuju temu i svrhu časa u svesku.(Izvođenje formula za izračunavanje koordinata vrha parabole. Naučite pronaći koordinate vrha parabole na nov način - koristeći formule).

Rješenje problema.

Aktivnosti učenika: Kada upoređuju „staro“ znanje sa novim znanjem, od učenika se traži da istaknu potpuni kvadrat. On konkretnim primjerima
;
i primati shodno tome
;
. Naći koordinate vrha i jednačinu ose simetrije. Razumeju da su se izborili sa zadatkom, jer doneo nova funkcija na poznati pogled.

Učenici identifikuju potpuni kvadrat za funkciju.
; , uporediti dobijeni rezultat, izvesti zaključak na osnovu ove funkcije. Pronađite koordinate vrha i osi simetrije.

Možete li imenovati vrh i os parabole ako je funkcija data u opštem obliku
bez isticanja cijelog kvadrata? Kako ćete postupiti u ovom slučaju? A kako primijeniti svoje prethodno iskustvo u pronalaženju vrha i ose parabole?

Aktivnosti učenika:

Na osnovu postojećeg znanja i iskustva, studenti počinju shvaćati da treba ići dalje, od posebnog do opšteg, i izvoditi dokaze u opštem obliku.

Pojavljuju se nove poteškoće. Rješenje se pojavljuje u grupama: . Analiza napretka rješavanja problema. Sasluša se po jedan predstavnik iz svake grupe.

Uporedite i analizirajte zapise
I
, jedno opće rješenje postavljenog problema je zapisano u bilježnici - formule za koordinate vrha parabole
.

Studenti zaključuju: koordinate vrha i osa parabole za funkciju
može se pronaći na racionalan način.

Primjena rezultata rješavanja problema u narednim aktivnostima.

Aktivnosti učenika:

Rješavanje zadataka iz udžbenika br. 121; 123. Pronađite koordinate vrha parabole na nov racionalan način. Zapišite jednačinu prave, koja je osa simetrije parabole.

Sumiranje (razmišljanje) obrazovne aktivnosti na lekciji).

Vratimo se na tabelu i popunimo kolonu “NAUČENO”.

Sažetak lekcije očima učenika:

ŽELIM ZNATI

2.

3.

4.

5. Znam grafički prikazati ove funkcije

6. Znam pronaći koordinate vrhova ovih parabola i ose parabole

7. način odabira kompletnog kvadrata

8. kako pronaći koordinate vrhova, osa parabole.


2. jednadžba ose simetrije parabole

1. koordinate vrha parabole

2.kako izvesti formulu

3. racionalan način pronalaženja ose parabole i koordinata vrha parabole

Rezultat "očima nastavnika":

    Cilj lekcije je postignut.

    Učenici su shvatili, prihvatili i riješili problem.

    U procesu rješavanja obrazovnog zadatka učenici ne samo da su stekli nova znanja: ovisnost koeficijenata kvadratnog trinoma i koordinata vrha parabole, jednadžbe ose simetrije, već ono najvažnije u lekcija je formiranje generalizovanih načina sticanja novih znanja, samostalno analiziranje problema i pronalaženje nepoznatog.

Zadaća: tačka 7 br. 122 ;127(b) ;128.

P.S. Predstavljeni čas održan je 15. oktobra 2014. godine u okviru gradskog seminara za nastavnike matematike na temu „Formiranje UDL-a na nastavi matematike“.

U fazi “Primjena rezultata...” prilikom rješavanja zadataka iz udžbenika, neki učenici su počeli shvaćati vrijednost svog “otkrića”: više jednostavan način pronalaženje koordinata vrha i jednadžbe ose simetrije, dok drugi nisu krili radost, jer nije bilo potrebe da se "muči" sa izolacijom kompletnog kvadrata. Ali najvažnije je da smo sve sami uradili!

Parabola je prisutna u svetu matematike, fizike i drugih nauka. Umjetni sateliti se kreću duž putanje parabole i teže da napuste Solarni sistem, lopta prilikom igranja odbojke također opisuje svoju putanju. Morate biti u stanju da konstruišete parabolu. A da bi ovo bilo lako, morate znati kako pronaći vrh parabole.

Grafikon funkcije y = ax 2 + bx + c, gdje je a prvi koeficijent, b drugi koeficijent, c je slobodni član, naziva se parabola. Ali obratite pažnju na činjenicu da je a ≠0.

Svaka tačka parabole ima simetrična prema njoj osim jedne tačke, a ova tačka se zove vrh. Da biste pronašli tačku koja je vrh, morate odlučiti koja je tačka na grafu. Tačka na grafu je određena koordinata duž apscise i ordinatne ose. Označava se kao (x; y). Hajde da shvatimo kako pronaći dragocene brojeve.

Prvi način

Ako želite znati kako pravilno izračunati koordinate vrha, trebate samo naučiti formulu x0 = -b/2a. Zamjenom rezultirajućeg broja u funkciju, dobivamo y0.

Na primjer, y =x 2 –8 x +15;

naći prvi, drugi koeficijent i slobodni član;

  • a =1, b =-8, c =15;

zamijenite vrijednosti a i b u formulu;

  • x0=8/2=4;

izračunati y vrijednosti;

  • y0 = 16–32+15 = -1;

To znači da je vrh u tački (4;-1).

Grane parabole su simetrične u odnosu na os simetrije, koja prolazi kroz vrh parabole. Poznavajući korijene jednadžbe, lako možete izračunati apscisu vrha parabole. Pretpostavimo da su k i n korijeni kvadratne jednadžbe. Tada je tačka x0 jednako udaljena od tačaka k i n i može se izračunati pomoću formule: x0 = (k + n)/2.

Pogledajmo primjer y =x 2 –6x+5

1) Jednako sa nulom:

  • x 2 –6x+5=0.

2) Pronađite diskriminanta koristeći formulu: D = b 2 –4 ac:

  • D =36–20=16.

3) Pronađite korijene jednadžbe koristeći formulu (-b±√ D)/2a:

  • 1 - prvi korijen;
  • 5 je drugi korijen.

4) Izračunajte:

  • x0 =(5+1)/2=3

Drugi način

Dovršavanje do punog kvadrata je odličan način da saznate gdje se nalazi vrh. Koristeći ovu metodu, možete izračunati tačke x i y u isto vrijeme, bez potrebe da zamjenjujete x u početni primjer. Razmotrimo ovu metodu koristeći primjer funkcije: y=x 2 +8 x +10.

1. Prvo trebate izjednačiti izraz sa varijablom sa 0. Zatim pomaknite c na desna strana With suprotan znak, odnosno dobijamo izraz x 2 + 8x = -10.

2. Sada na lijevoj strani trebate napraviti cijeli kvadrat. Da biste to učinili, izračunajte (b/2) 2 i povećajte obje strane rezultata jednačine. U ovom slučaju, trebate zamijeniti 8 umjesto b.

Dobijamo 16. Sada dodajte ovaj broj na obje strane jednačine:

x 2 + 8x +16= 6.

3. Može se vidjeti da je rezultirajući izraz savršen kvadrat. Može se predstaviti u obliku: (x + 4) 2 = 6.

4. Koristite ovaj izraz da pronađete koordinate vrha parabole. Da biste izračunali x, morate ga izjednačiti sa 0. Dobijamo x = -4. Koordinata y je jednaka onome što je na desnoj strani, odnosno y =6. Vrh parabole ove jednadžbe je (-4, 6).

Treći način

Ako znate šta je derivat, onda postoji još jedna formula za vas. Bez obzira na to gdje su “rogovi” parabole, njen vrh je tačka ekstrema. Za ovu metodu morate koristiti sledeći algoritam:

1. Pronalaženje prvog izvoda pomoću formule f"(x) = (ax² + bx + c)’ = 2ax + b.

2. Izjednačavanje izvoda sa 0. Kao rezultat, dobijate 0 = 2ax + b, odavde možete pronaći ono što nas zanima.

Razmotrimo ovu metodu detaljnije.

Zadata funkcija y = 4x²+16x-17;

  • Zapisujemo izvod i izjednačavamo ga sa nulom.

f"(x) = (4x²+16x-17)’ = 8x+16 =0

Najteža stvar prilikom konstruisanja je pravilno pronaći tačke funkcije. Za detaljnu konstrukciju potrebno je izračunati 5-7 bodova (ovo je dovoljno za školski kurs). Da biste to učinili, odaberite neku vrijednost x i zamijenite je u ovu funkciju. Rezultat proračuna će biti broj tačaka duž ordinatne ose. Nakon toga, postavljene tačke koje smo dobili postavljamo na koordinatnu ravan. Kao rezultat, dobijamo parabolu.

Pogledajmo detaljnije pitanje pronalaženja tačaka koje treba označiti. Na primjer, uzmimo funkciju y =-x 2 +11 x -24 sa vrhom u tački (5.5;-6.25).

1) Napravite sto

Tačno pronađite kvote.

Napišite međuproračune na papiru. Ovo ne samo da će vam olakšati pronalaženje vrha, već će vam pomoći i da pronađete svoje greške.

Radite sve korak po korak. Slijedite algoritam.

Imajte na umu da:

  • Morate provjeriti da li je vaša odluka ispravna.
  • Moraš se smiriti. Za rješavanje bilo kojeg matematičkog problema potrebno je iskustvo. Samo treba to riješiti ovu temu, i tada ćete sigurno uspjeti.

Video

Ovaj video će vam pomoći da naučite kako pronaći vrh parabole

Niste dobili odgovor na svoje pitanje? Predložite temu autorima.

Učitavanje...Učitavanje...