Trokut je geometrijska figura koja se sastoji od tri prave linije koje se spajaju u tačkama koje ne leže na istoj pravoj liniji. Tačke veze linija su vrhovi trokuta, koji su označeni sa latiničnim slovima(npr. A, B, C). Spojne ravne linije trougla nazivaju se segmenti, koji se također obično označavaju latiničnim slovima. Razlikuju se sljedeće vrste trokuta:

• Pravougaona.
• Tupo.
• Acute angular.
• Svestran.
• Equilateral.
• Jednakokraki.

Opće formule za izračunavanje površine trokuta

Formula za površinu trokuta na osnovu dužine i visine

S= a*h/2,
gdje je a dužina stranice trougla čiju površinu treba pronaći, h je dužina visine povučene do osnove.

Heronova formula

S=√r*(r-a)*(r-b)*(p-c),
gdje je √ Kvadratni korijen, p je poluperimetar trougla, a,b,c je dužina svake strane trougla. Poluperimetar trougla može se izračunati pomoću formule p=(a+b+c)/2.

Formula za površinu trokuta na osnovu ugla i dužine segmenta

S = (a*b*sin(α))/2,
Gdje b,c je dužina stranica trougla, sin(α) je sinus ugla između dvije stranice.

Formula za površinu trokuta s obzirom na polumjer upisane kružnice i tri strane

S=p*r,
gdje je p poluperimetar trougla čiju površinu treba pronaći, r je poluprečnik kružnice upisane u ovaj trokut.

Formula za površinu trokuta zasnovanu na tri strane i poluprečniku kružnice opisane oko njega

S= (a*b*c)/4*R,
gdje je a,b,c dužina svake strane trougla, R je polumjer kružnice opisane oko trougla.

Formula za površinu trokuta koristeći kartezijanske koordinate tačaka

Kartezijanske koordinate tačaka su koordinate u sistemu xOy, gdje je x apscisa, y ordinata. Dekartov koordinatni sistem xOy na ravni su međusobno okomite numeričke ose Ox i Oy sa zajedničkim ishodištem u tački O. Ako su koordinate tačaka na ovoj ravni date u obliku A(x1, y1), B(x2, y2 ) i C(x3, y3), tada možete izračunati površinu trokuta koristeći sljedeću formulu, koja se dobija iz vektorskog proizvoda dva vektora.
S = |(x1 – x3) (y2 – y3) – (x2 – x3) (y1 – y3)|/2,
gdje || označava modul.

Kako pronaći površinu pravokutnog trokuta

Pravougli trougao je trougao sa jednim uglom od 90 stepeni. Trougao može imati samo jedan takav ugao.

Formula za površinu pravokutnog trokuta na dvije strane

S= a*b/2,
gdje je a,b dužina nogu. Noge su stranice koje se nalaze uz pravi ugao.

Formula za površinu pravokutnog trokuta zasnovana na hipotenuzi i oštrom kutu

S = a*b*sin(α)/ 2,
gdje su a, b kraci trougla, a sin(α) je sinus ugla pod kojim se prave a, b seku.

Formula za površinu pravokutnog trokuta zasnovana na strani i suprotnom kutu

S = a*b/2*tg(β),
gdje su a, b katete trougla, tan(β) je tangenta ugla pod kojim su katete a, b spojene.

Kako izračunati površinu jednakokračnog trougla

Jednakokraki trougao je onaj koji ima dvije jednake stranice. Ove strane se zovu stranice, a druga strana je baza. Da biste izračunali površinu jednakokračnog trokuta, možete koristiti jednu od sljedećih formula.

Osnovna formula za izračunavanje površine jednakokračnog trokuta

S=h*c/2,
gdje je c osnova trougla, h visina trougla spuštenog na osnovu.

Formula jednakokračnog trougla zasnovana na stranici i osnovici

S=(c/2)* √(a*a – c*c/4),
gdje je c osnova trokuta, a je veličina jedne od stranica jednakokračnog trougla.

Kako pronaći površinu jednakostraničnog trougla

Jednakostranični trokut je trokut u kojem su sve strane jednake. Za izračunavanje površine jednakostranični trougao možete koristiti sljedeću formulu:
S = (√3*a*a)/4,
gdje je a dužina stranice jednakostraničnog trougla.

Gore navedene formule će vam omogućiti da izračunate potrebnu površinu trokuta. Važno je zapamtiti da za izračunavanje površine trokuta morate uzeti u obzir vrstu trokuta i dostupne podatke koji se mogu koristiti za izračun.

Instrukcije

Zabave a uglovi se smatraju osnovnim elementima A. Trokut je u potpunosti definiran bilo kojim od njegovih sljedećih osnovnih elemenata: ili tri strane, ili jedna stranica i dva ugla, ili dvije stranice i ugao između njih. Za postojanje trougao dato sa tri strane a, b, c, neophodno je i dovoljno da se zadovolje nejednakosti koje se nazivaju nejednakosti trougao:
a+b > c,
a+c > b,
b+c > a.

Za gradnju trougao na tri strane a, b, c, potrebno je iz tačke C segmenta CB = a šestarom nacrtati krug poluprečnika b. Zatim, na sličan način, nacrtajte krug iz tačke B poluprečnika jednaka strani c. Njihova tačka preseka A je treći vrh željenog trougao ABC, gdje je AB=c, CB=a, CA=b - strane trougao. Problem ima , Ako strane a, b, c, zadovoljavaju nejednakosti trougao navedeno u koraku 1.

Ovako izgrađena površina S trougao ABC sa poznatim stranicama a, b, c izračunava se pomoću Heronove formule:
S=v(p(p-a)(p-b)(p-c)),
gdje su a, b, c stranice trougao, p – poluperimetar.
p = (a+b+c)/2

Ako je trokut jednakostraničan, to jest, sve su mu stranice jednake (a=b=c). trougao izračunato po formuli:
S=(a^2 v3)/4

Ako je trokut pravougao, odnosno jedan od njegovih uglova jednak je 90°, a stranice koje ga tvore su kraci, treća stranica je hipotenuza. IN u ovom slučaju kvadrat jednak je proizvodu nogu podijeljen sa dva.
S=ab/2

Naći kvadrat trougao, možete koristiti jednu od mnogih formula. Odaberite formulu ovisno o tome koji su podaci već poznati.

Trebaće ti

• poznavanje formula za pronalaženje površine trokuta

Instrukcije

Ako znate veličinu jedne od stranica i vrijednost visine spuštene na ovu stranu iz ugla suprotnog njoj, tada možete pronaći površinu koristeći sljedeće: S = a*h/2, gdje je S površina trokuta, a je jedna od stranica trokuta, a h - visina, na stranu a.

Poznata je metoda za određivanje površine trokuta ako su poznate njegove tri strane. To je Heronova formula. Da bi se pojednostavilo njegovo snimanje, uvodi se srednja vrijednost - poluperimetar: p = (a+b+c)/2, gdje je a, b, c - . Tada je Heronova formula sljedeća: S = (p(p-a)(p-b)(p-c))^½, ^ eksponencijacija.

Pretpostavimo da poznajete jednu od stranica trougla i tri ugla. Tada je lako pronaći površinu trokuta: S = a²sinα sinγ / (2sinβ), gdje je β ugao nasuprot stranice a, a α i γ su uglovi susjedni strani.

Video na temu

Bilješka

Najviše opšta formula, koja je pogodna za sve slučajeve je Heronova formula.

Izvori:

Savjet 3: Kako pronaći površinu trokuta na osnovu tri strane

Pronalaženje površine trokuta jedan je od najčešćih problema u školskoj planimetriji. Poznavanje tri strane trokuta je dovoljno za određivanje površine bilo kojeg trokuta. U posebnim slučajevima jednakostraničnih trouglova, dovoljno je znati dužine dvije, odnosno jedne stranice.

Trebaće ti

• dužine stranica trouglova, Heronova formula, kosinusni teorem

Instrukcije

Heronova formula za površinu trokuta je sljedeća: S = sqrt(p(p-a)(p-b)(p-c)). Ako zapišemo poluperimetar p, dobijamo: S = sqrt(((a+b+c)/2)((b+c-a)/2)((a+c-b)/2)((a+b-c) )/2) ) = (sqrt((a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)))/4.

Možete izvesti formulu za površinu trokuta iz razmatranja, na primjer, primjenom teoreme kosinusa.

Prema kosinusnom teoremu, AC^2 = (AB^2)+(BC^2)-2*AB*BC*cos(ABC). Koristeći uvedene notacije, one se takođe mogu napisati u obliku: b^2 = (a^2)+(c^2)-2a*c*cos(ABC). Dakle, cos(ABC) = ((a^2)+(c^2)-(b^2))/(2*a*c)

Površina trokuta se također nalazi po formuli S = a*c*sin(ABC)/2 koristeći dvije stranice i ugao između njih. Sinus ugla ABC može se izraziti preko njega koristeći osnovni trigonometrijski identitet: sin(ABC) = sqrt(1-((cos(ABC))^2) Zamjenom sinusa u formulu za površinu i ispisivanjem, možete doći do formule za površinu trokuta ABC.

Video na temu

Da biste izvršili popravke, možda će biti potrebno izmjeriti kvadrat zidovi To olakšava izračunavanje potrebne količine boje ili tapeta. Za mjerenja je najbolje koristiti mjernu traku ili mjernu traku. Merenja treba izvršiti nakon toga zidovi bili su izravnani.

Trebaće ti

• -rulet;
• -merdevine.

Instrukcije

Brojati kvadrat zidova, morate znati tačnu visinu plafona, a također izmjeriti dužinu duž poda. To se radi na sljedeći način: uzmite centimetar i položite ga preko postolja. Obično centimetar nije dovoljan za cijelu dužinu, pa ga pričvrstite u kut, a zatim ga odmotajte do maksimalne dužine. U ovom trenutku olovkom stavite oznaku, zapišite dobijeni rezultat i izvršite daljnja mjerenja na isti način, počevši od posljednje točke mjerenja.

Standardni stropovi su 2 metra 80 centimetara, 3 metra i 3 metra 20 centimetara, ovisno o kući. Ako je kuća izgrađena prije 50-ih godina, tada je najvjerovatnije stvarna visina nešto niža od naznačene. Ako kalkulišete kvadrat za popravke, onda mala zaliha neće škoditi - razmotrite na osnovu standarda. Ako još uvijek trebate znati pravu visinu, izvršite mjerenja. Princip je sličan mjerenju dužine, ali će vam trebati ljestve.

Pomnožite rezultirajuće pokazatelje - to je kvadrat tvoj zidovi. Istina, prilikom slikanja ili za slikanje potrebno je oduzeti kvadrat otvori za vrata i prozore. Da biste to učinili, položite centimetar duž otvora. Ako govorimo o vratima koja ćete naknadno promijeniti, nastavite s uklanjanjem okvira vrata, uzimajući u obzir samo kvadrat direktno na sam otvor. Površina prozora izračunava se duž perimetra njegovog okvira. Poslije kvadrat Izračunati prozor i vrata, oduzmite rezultat od ukupne rezultirajuće površine prostorije.

Imajte na umu da dvije osobe treba da izmjere dužinu i širinu prostorije, što olakšava popravljanje centimetar ili traku i, shodno tome, dobiti više tačan rezultat. Izvedite isto mjerenje nekoliko puta kako biste bili sigurni da su brojevi koje dobijete tačni.

Video na temu

Pronalaženje zapremine trougla je zaista netrivijalan zadatak. Činjenica je da je trokut dvodimenzionalna figura, tj. leži u potpunosti u jednoj ravni, što znači da jednostavno nema zapreminu. Naravno, ne možete pronaći nešto što ne postoji. Ali nemojmo odustati! Možemo prihvatiti sljedeću pretpostavku: volumen dvodimenzionalne figure je njena površina. Tražićemo površinu trougla.

Trebaće ti

• list papira, olovka, ravnalo, kalkulator

Instrukcije

Nacrtajte na komad papira pomoću ravnala i olovke. Pažljivim ispitivanjem trougla možete se uvjeriti da on zaista nema trokut, jer je nacrtan na ravni. Označite stranice trougla: neka jedna strana bude strana "a", druga strana "b", a treća strana "c". Označite vrhove trougla slovima "A", "B" i "C".

Izmjerite bilo koju stranu trokuta ravnalom i zapišite rezultat. Nakon toga, vratite okomicu na izmjerenu stranu od vrha nasuprot njoj, takva okomica će biti visina trokuta. U slučaju prikazanom na slici, okomita "h" se vraća na stranu "c" iz vrha "A". Izmjerite rezultujuću visinu ravnalom i zapišite rezultat mjerenja.

Možda će vam biti teško vratiti tačnu okomicu. U ovom slučaju, trebali biste koristiti drugu formulu. Izmjerite sve strane trougla pomoću ravnala. Nakon toga izračunajte poluperimetar trokuta "p" dodavanjem rezultirajućih dužina stranica i dijeljenjem njihovog zbroja na pola. Imajući na raspolaganju vrijednost poluperimetra, možete koristiti Heronovu formulu. Da biste to učinili, morate uzeti kvadratni korijen sljedećeg: p(p-a)(p-b)(p-c).

Dobili ste potrebnu površinu trokuta. Problem nalaženja zapremine trougla nije rešen, ali kao što je već pomenuto, zapremina nije. Možete pronaći volumen koji je u suštini trokut u trodimenzionalnom svijetu. Ako zamislimo da je naš originalni trokut postao trodimenzionalna piramida, tada će volumen takve piramide biti proizvod dužine njene osnove na površinu trokuta koji smo dobili.

Bilješka

Što pažljivije mjerite, to će vaši proračuni biti precizniji.

Izvori:

• Kalkulator “Sve za sve” - portal za referentne vrijednosti
• volumen trougla u 2019

Tri tačke koje jedinstveno definišu trougao u Dekartovom koordinatnom sistemu su njegovi vrhovi. Znajući njihov položaj u odnosu na svaku od koordinatnih osa, možete izračunati sve parametre ove ravne figure, uključujući one ograničene njenim perimetrom kvadrat. To se može učiniti na nekoliko načina.

Instrukcije

Koristite Heronovu formulu za izračunavanje površine trougao. Uključuje dimenzije tri strane figure, pa počnite svoje proračune sa . Dužina svake strane mora biti jednaka korijenu zbira kvadrata dužina njenih projekcija na koordinatne ose. Ako označimo koordinate A(X₁,Y₁,Z₁), B(X₂,Y₂,Z₂) i C(X₃,Y₃,Z₃), dužine njihovih stranica mogu se izraziti na sljedeći način: AB = √((X₁- X₂)² + (Y₁ -Y₂)² + (Z₁-Z₂)²), BC = √((X₂-X₃)² + (Y₂-Y₃)² + (Z₂-Z₃)²), AC = √(( X₁-X₃)² + (Y₁-Y₃)² + (Z₁-Z₃)²).

Da biste pojednostavili proračune, uvedite pomoćnu varijablu - poluperimetar (P). Iz činjenice da je ovo polovina zbira dužina svih strana: P = ½*(AB+BC+AC) = ½*(√((X₁-X₂)² + (Y₁-Y₂)² + (Z₁-) Z₂)²) + √ ((X₂-X₃)² + (Y₂-Y₃)² + (Z₂-Z₃)²) + √((X₁-X₃)² + (Y₁-Y₃)² + (Z₁-Z₃) ²).

Trougao je figura poznata svima. I to uprkos bogatoj raznolikosti njegovih oblika. Pravokutni, jednakostranični, akutni, jednakokraki, tupi. Svaki od njih je na neki način drugačiji. Ali za svakoga trebate saznati površinu trokuta.

Formule zajedničke za sve trouglove koji koriste dužine stranica ili visina

U njima usvojene oznake: strane - a, b, c; visine na odgovarajućim stranama na a, n in, n sa.

1. Površina trokuta se izračunava kao proizvod ½, stranice i visine oduzete od nje. S = ½ * a * n a. Formule za druge dvije strane treba napisati na sličan način.

2. Heronova formula, u kojoj se pojavljuje poluperimetar (obično se označava malim slovom p, za razliku od punog perimetra). Poluperimetar se mora izračunati na sljedeći način: zbrojite sve stranice i podijelite ih sa 2. Formula za poluperimetar je: p = (a+b+c) / 2. Tada je jednakost za površinu od ​​figura izgleda ovako: S = √ (p * (p - a) * ( r - v) * (r - s)).

3. Ako ne želite da koristite poluperimetar, tada će biti korisna formula koja sadrži samo dužine stranica: S = ¼ * √ ((a + b + c) * (b + c - a ) * (a + c - c) * (a + b - c)). Nešto je duži od prethodnog, ali će vam pomoći ako ste zaboravili kako pronaći poluperimetar.

Opće formule koje uključuju uglove trokuta

Oznake potrebne za čitanje formula: α, β, γ - uglovi. Leže na suprotnim stranama a, b, c, redom.

1. Prema njemu, polovina proizvoda dviju stranica i sinusa ugla između njih jednaka je površini trokuta. To jest: S = ½ a * b * sin γ. Na sličan način trebali biste zapisati formule za druga dva slučaja.

2. Površina trougla može se izračunati iz jedne strane i tri poznata ugla. S = (a 2 * sin β * sin γ) / (2 sin α).

3. Postoji i formula sa jednom poznatom stranom i dva susjedna ugla. To izgleda ovako: S = c 2 / (2 (ctg α + ctg β)).

Posljednje dvije formule nisu najjednostavnije. Prilično ih je teško zapamtiti.

Opće formule za situacije u kojima su poznati polumjeri upisanih ili opisanih kružnica

Dodatne oznake: r, R - radijusi. Prvi se koristi za radijus upisane kružnice. Drugi je za opisani.

1. Prva formula po kojoj se izračunava površina trokuta odnosi se na poluperimetar. S = r * r. Drugi način da se to zapiše je: S = ½ r * (a + b + c).

2. U drugom slučaju, morat ćete pomnožiti sve strane trougla i podijeliti ih četverostrukim polumjerom opisane kružnice. U doslovnom izrazu to izgleda ovako: S = (a * b * c) / (4R).

3. Treća situacija vam omogućava da ne znate stranice, ali će vam trebati vrijednosti sva tri ugla. S = 2 R 2 * sin α * sin β * sin γ.

Poseban slučaj: pravokutni trokut

Ovo je najjednostavnija situacija, jer je potrebna samo dužina obje noge. Označeni su latiničnim slovima a i b. Square pravougaonog trougla jednako polovini površine pravokutnika koji mu se dodaje.

Matematički to izgleda ovako: S = ½ a * b. Najlakše ga je zapamtiti. Budući da izgleda kao formula za površinu pravokutnika, pojavljuje se samo razlomak, koji označava polovicu.

Poseban slučaj: jednakokraki trokut

Budući da ima dvije jednake strane, neke formule za njegovu površinu izgledaju donekle pojednostavljeno. Na primjer, Heronova formula, koja izračunava površinu jednakokračnog trokuta, ima sljedeći oblik:

S = ½ in √((a + ½ in)*(a - ½ in)).

Ako ga transformišete, postat će kraći. U ovom slučaju, Heronova formula za jednakokraki trokut je napisana na sljedeći način:

S = ¼ u √(4 * a 2 - b 2).

Formula površine izgleda nešto jednostavnije nego za proizvoljan trokut ako su poznate stranice i ugao između njih. S = ½ a 2 * sin β.

Poseban slučaj: jednakostranični trokut

Obično se u problemima strana o tome zna ili se može na neki način saznati. Tada je formula za pronalaženje površine takvog trokuta sljedeća:

S = (a 2 √3) / 4.

Problemi u pronalaženju područja ako je trokut prikazan na kariranom papiru

Najjednostavnija situacija je kada se nacrta pravokutni trokut tako da mu se kraci poklapaju s linijama papira. Zatim samo trebate izbrojati broj ćelija koje staju u noge. Zatim ih pomnožite i podijelite sa dva.

Kada je trokut oštar ili tupougao, potrebno ga je nacrtati u pravougaonik. Tada će rezultirajuća figura imati 3 trokuta. Jedan je onaj koji je dat u problemu. A druga dva su pomoćna i pravougaona. Područja posljednja dva treba odrediti pomoću gore opisane metode. Zatim izračunajte površinu pravokutnika i oduzmite od njega one izračunate za pomoćne. Određuje se površina trokuta.

Situacija u kojoj se nijedna stranica trokuta ne poklapa s linijama papira pokazuje se mnogo složenijom. Zatim ga treba upisati u pravougaonik tako da vrhovi originalne figure leže na njegovim stranama. U ovom slučaju biće tri pomoćna pravougla trougla.

Primjer problema koji koristi Heronovu formulu

Stanje. Neki trougao ima poznate stranice. One su jednake 3, 5 i 6 cm. Morate saznati njegovu površinu.

Sada možete izračunati površinu trokuta koristeći gornju formulu. Pod kvadratnim korijenom nalazi se proizvod četiri broja: 7, 4, 2 i 1. To jest, površina je √(4 * 14) = 2 √(14).

Ako veća tačnost nije potrebna, onda možete uzeti kvadratni korijen od 14. To je jednako 3,74. Tada će površina biti 7,48.

Odgovori. S = 2 √14 cm 2 ili 7,48 cm 2.

Primjer problema s pravokutnim trouglom

Stanje. Jedan krak pravokutnog trokuta je 31 cm veći od drugog. Trebate saznati njihove dužine ako je površina trokuta 180 cm 2.
Rješenje. Moraćemo da rešimo sistem od dve jednačine. Prvi se odnosi na područje. Drugi je omjer nogu koji je dat u zadatku.
180 = ½ a * b;

a = b + 31.
Prvo, vrijednost “a” mora biti zamijenjena u prvu jednačinu. Ispada: 180 = ½ (in + 31) * in. Ima samo jednu nepoznatu količinu, pa je lako riješiti. Nakon otvaranja zagrada dobijamo kvadratna jednačina: u 2 + 31 in - 360 = 0. Daje dvije vrijednosti za "in": 9 i - 40. Drugi broj nije prikladan kao odgovor, jer dužina stranice trokuta ne može biti negativna vrijednost.

Ostaje izračunati drugi krak: rezultirajućem broju dodajte 31. Ispada 40. To su količine koje se traže u zadatku.

Odgovori. Kraci trougla su 9 i 40 cm.

Problem nalaženja stranice kroz površinu, stranicu i ugao trougla

Stanje. Površina određenog trougla je 60 cm 2. Potrebno je izračunati jednu od njegovih stranica ako je druga strana 15 cm, a ugao između njih 30º.

Rješenje. Na osnovu prihvaćene notacije, željena strana “a”, poznata stranica “b”, dati ugao “γ”. Tada se formula površine može prepisati na sljedeći način:

60 = ½ a * 15 * sin 30º. Ovdje je sinus od 30 stepeni 0,5.

Nakon transformacije, "a" se ispostavi da je jednako 60 / (0,5 * 0,5 * 15). To je 16.

Odgovori. Potrebna strana je 16 cm.

Zadatak o kvadratu upisanom u pravokutni trokut

Stanje. Vrh kvadrata sa stranicom od 24 cm poklapa se sa pravim uglom trokuta. Druga dva leže sa strane. Treći pripada hipotenuzi. Dužina jedne od kateta je 42 cm. Kolika je površina pravouglog trougla?

Rješenje. Razmotrimo dva pravougla trougla. Prvi je onaj koji je naveden u zadatku. Drugi je baziran na poznatoj kraci originalnog trougla. Oni su slični jer imaju zajednički ugao i formiraju ih paralelne linije.

Tada su omjeri njihovih nogu jednaki. Kateti manjeg trougla su jednaki 24 cm (strana kvadrata) i 18 cm (dati katet 42 cm oduzmite stranicu kvadrata 24 cm). Odgovarajuće noge velikog trokuta su 42 cm i x cm. To je "x" koji je potreban da bi se izračunala površina trokuta.

18/42 = 24/x, odnosno x = 24 * 42 / 18 = 56 (cm).

Tada je površina jednaka proizvodu 56 i 42 podijeljenom sa dva, odnosno 1176 cm 2.

Odgovori. Potrebna površina je 1176 cm 2.

Područje trokuta - formule i primjeri rješavanja problema

Ispod su formule za pronalaženje površine proizvoljnog trokuta koji su pogodni za pronalaženje površine bilo kojeg trokuta, bez obzira na njegova svojstva, kutove ili veličine. Formule su predstavljene u obliku slike, sa objašnjenjima za njihovu primjenu ili opravdanjem njihove ispravnosti. Korespondencija je takođe naznačena na posebnoj slici slovne oznake u formulama i grafičkim simbolima na crtežu.

Bilješka . Ako trougao ima posebna svojstva(jednakokraki, pravougaoni, jednakostranični), možete koristiti formule date u nastavku, kao i dodatne specijalne formule koje važe samo za trokute sa ovim svojstvima:

• "Formula za površinu jednakostraničnog trougla"

Formule površine trougla

Objašnjenja za formule:
a, b, c- dužine stranica trougla čiju površinu želimo pronaći
r- poluprečnik kružnice upisane u trokut
R- poluprečnik kružnice opisane oko trougla
h- visina trougla spuštena na stranu
str- poluoblast trokuta, 1/2 zbroja njegovih strana (perimetar)
α - ugao nasuprot stranice a trougla
β - ugao nasuprot stranice b trougla
γ - ugao nasuprot stranice c trougla
h a, h b , h c- visina trougla spuštena na stranice a, b, c

Imajte na umu da gornje oznake odgovaraju gornjoj slici, tako da prilikom rješavanja pravi problemšto se tiče geometrije, bilo vam je vizualno lakše zamijeniti na pravim mestima formule su tačne vrijednosti.

• Površina trougla je polovina proizvoda visine trokuta i dužine stranice za koju se ta visina spušta(Formula 1). Ispravnost ove formule može se razumjeti logički. Visina spuštena na bazu podijelit će proizvoljni trokut na dva pravokutna. Ako svaki od njih sagradite u pravougaonik dimenzija b i h, tada će očito površina ovih trokuta biti jednaka točno polovini površine pravokutnika (Spr = bh)
• Površina trougla je polovina proizvoda njegovih dviju stranica i sinusa ugla između njih(Formula 2) (pogledajte primjer rješavanja problema pomoću ove formule u nastavku). Iako se čini drugačijim od prethodnog, lako se može transformirati u njega. Ako s ugla B spustimo visinu na stranicu b, ispada da je proizvod stranice a i sinusa ugla γ, prema svojstvima sinusa u pravokutnom trokutu, jednak visini trokuta koji smo nacrtali , što nam daje prethodnu formulu
• Može se pronaći površina proizvoljnog trougla kroz rad polovina poluprečnika kružnice koja je u nju upisana zbirom dužina svih njegovih stranica(Formula 3), jednostavno rečeno, morate pomnožiti poluperimetar trokuta polumjerom upisane kružnice (ovo je lakše zapamtiti)
• Površina proizvoljnog trokuta može se naći dijeljenjem proizvoda svih njegovih strana sa 4 poluprečnika kružnice opisane oko njega (Formula 4)
• Formula 5 je pronalaženje površine trokuta kroz dužine njegovih stranica i njegovog poluperimetra (pola zbroja svih njegovih stranica)
• Heronova formula(6) je prikaz iste formule bez korištenja koncepta poluperimetra, samo kroz dužine stranica
• Površina proizvoljnog trokuta jednaka je umnošku kvadrata stranice trokuta i sinusa uglova koji su susjedni ovoj strani podijeljenog dvostrukim sinusom ugla suprotnog od ove stranice (Formula 7)
• Površina proizvoljnog trokuta može se naći kao proizvod dva kvadrata kruga opisanog oko njega sinusima svakog od njegovih uglova. (Formula 8)
• Ako su poznate dužine jedne stranice i vrijednosti dva susjedna ugla, tada se površina trokuta može naći kao kvadrat ove stranice podijeljen dvostrukim zbrojem kotangensa ovih uglova (formula 9)
• Ako je poznata samo dužina svake od visina trokuta (Formula 10), tada je površina takvog trokuta obrnuto proporcionalna dužinama ovih visina, kao prema Heronovoj formuli
• Formula 11 vam omogućava da izračunate površina trokuta na osnovu koordinata njegovih vrhova, koji su specificirani kao (x;y) vrijednosti za svaki od vrhova. Imajte na umu da se rezultirajuća vrijednost mora uzeti po modulu, budući da koordinate pojedinačnih (ili čak svih) vrhova mogu biti u području negativnih vrijednosti

Bilješka. Slijede primjeri rješavanja geometrijskih zadataka za pronalaženje površine trokuta. Ako trebate riješiti problem geometrije koji ovdje nije sličan, pišite o tome na forumu. U rješenjima, umjesto simbola "kvadratnog korijena", može se koristiti funkcija sqrt(), u kojoj je sqrt simbol kvadratnog korijena, a radikalni izraz je naznačen u zagradama.Ponekad se za jednostavne radikalne izraze može koristiti simbol √

Zadatak. Pronađite površinu za koju su date dvije stranice i ugao između njih

Stranice trougla su 5 i 6 cm, a ugao između njih je 60 stepeni. Pronađite površinu trokuta.

Rješenje.

Za rješavanje ovog problema koristimo formulu broj dva iz teorijskog dijela lekcije.
Površina trokuta može se naći kroz dužine dvije stranice i sinus ugla između njih i bit će jednaka
S=1/2 ab sin γ

Pošto imamo sve potrebne podatke za rješenje (prema formuli), možemo samo zamijeniti vrijednosti iz uslova problema u formulu:
S = 1/2 * 5 * 6 * sin 60

U tablici vrijednosti trigonometrijskih funkcija naći ćemo i zamijeniti vrijednost sinusa 60 stupnjeva u izraz. Bit će jednak korijenu tri puta dva.
S = 15 √3 / 2

Odgovori: 7,5 √3 (u zavisnosti od zahtjeva nastavnika, vjerovatno možete ostaviti 15 √3/2)

Zadatak. Nađite površinu jednakostraničnog trougla

Nađite površinu jednakostraničnog trokuta sa stranicom 3 cm.

Rješenje .

Površina trokuta se može pronaći pomoću Heronove formule:

S = 1/4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))

Budući da je a = b = c, formula za površinu jednakostraničnog trokuta ima oblik:

S = √3 / 4 * a 2

S = √3 / 4 * 3 2

Odgovori: 9 √3 / 4.

Zadatak. Promjena površine prilikom promjene dužine stranica

Koliko puta će se povećati površina trokuta ako se stranice povećaju za 4 puta?

Rješenje.

Pošto su nam dimenzije stranica trougla nepoznate, da bismo riješili problem pretpostavit ćemo da su dužine stranica respektivno jednake proizvoljnim brojevima a, b, c. Zatim, da bismo odgovorili na pitanje problema, nalazimo područje dati trougao, a zatim pronađite površinu trokuta čije su stranice četiri puta veće. Omjer površina ovih trouglova će nam dati odgovor na problem.

U nastavku dajemo tekstualno objašnjenje rješenja problema korak po korak. Međutim, na samom kraju, ovo isto rješenje je predstavljeno u prikladnijoj grafičkoj formi. Zainteresovani mogu odmah preći na rješenja.

Za rješavanje koristimo Heronovu formulu (vidi gore u teorijskom dijelu lekcije). izgleda ovako:

S = 1/4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
(pogledajte prvi red slike ispod)

Dužine stranica proizvoljnog trougla određene su varijablama a, b, c.
Ako se stranice povećaju za 4 puta, tada će površina novog trokuta c biti:

S 2 = 1/4 sqrt((4a + 4b + 4c)(4b + 4c - 4a)(4a + 4c - 4b)(4a + 4b -4c))
(pogledajte drugi red na slici ispod)

Kao što vidite, 4 je zajednički faktor koji se može izvaditi iz zagrada iz sva četiri izraza prema opšta pravila matematike.
Onda

S 2 = 1/4 sqrt(4 * 4 * 4 * 4 (a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c)) - na trećem redu slike
S 2 = 1/4 sqrt(256 (a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c)) - četvrti red

Kvadratni korijen broja 256 je savršeno izvučen, pa hajde da ga izvadimo ispod korijena
S 2 = 16 * 1/4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
S 2 = 4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
(vidi peti red slike ispod)

Da bismo odgovorili na pitanje postavljeno u zadatku, samo trebamo podijeliti površinu rezultirajućeg trokuta s površinom originalnog.
Odredimo omjere površina tako što ćemo izraze podijeliti jedni s drugima i smanjiti rezultujući razlomak.

Trougao je jedan od najčešćih geometrijski oblici, sa kojim se već upoznajemo u osnovna škola. Svaki učenik se suočava sa pitanjem kako pronaći površinu trokuta u nastavi geometrije. Dakle, koje se karakteristike pronalaženja površine date figure mogu identificirati? U ovom članku ćemo pogledati osnovne formule potrebne za obavljanje takvog zadatka, a također ćemo analizirati vrste trokuta.

Vrste trouglova

Apsolutno možete pronaći površinu trokuta Različiti putevi, jer u geometriji postoji više od jedne vrste figura koje sadrže tri ugla. Ove vrste uključuju:

• Tupo.
• Jednakostrani (tačno).
• Pravokutni trokut.
• Jednakokraki.

Pogledajmo bliže svaku od postojećih vrsta trouglova.

Ova geometrijska figura se smatra najčešćom prilikom rješavanja geometrijskih problema. Kada se pojavi potreba za crtanjem proizvoljnog trokuta, ova opcija dolazi u pomoć.

U oštrom trouglu, kao što ime govori, svi uglovi su oštri i sabiraju do 180°.

Ova vrsta trougla je također vrlo česta, ali je nešto rjeđa od oštrougla. Na primjer, prilikom rješavanja trokuta (odnosno, poznato je nekoliko njegovih stranica i uglova i morate pronaći preostale elemente), ponekad morate odrediti je li ugao tup ili ne. Kosinus je negativan broj.

B, vrijednost jednog od uglova prelazi 90°, tako da preostala dva ugla mogu imati male vrijednosti (na primjer, 15° ili čak 3°).

Da biste pronašli površinu trokuta ovog tipa, morate znati neke nijanse, o kojima ćemo dalje govoriti.

Pravilni i jednakokraki trouglovi

Pravilan poligon je figura koja uključuje n uglova i čije su stranice i uglovi jednaki. Ovo je pravilan trougao. Pošto je zbir svih uglova trougla 180°, onda je svaki od tri ugla 60°.

Pravilan trougao, zbog svog svojstva, naziva se i jednakostranični lik.

Također je vrijedno napomenuti da se u pravilan trokut može upisati samo jedan krug, a oko njega se može opisati samo jedan krug, a njihovi centri se nalaze u istoj tački.

Osim jednakostraničnog tipa, može se razlikovati i jednakokraki trokut, koji se malo razlikuje od njega. U takvom trokutu dvije stranice i dva ugla su međusobno jednaki, a treća stranica (kojoj je susjedna jednakih uglova) je baza.

Na slici je prikazan jednakokraki trougao DEF čiji su uglovi D i F jednaki, a DF je osnova.

Pravokutni trokut

Pravougli trokut je tako nazvan jer mu je jedan od uglova pravi, odnosno jednak 90°. Ostala dva ugla su zbir do 90°.

Najveća stranica takvog trougla, koja leži nasuprot kuta od 90°, je hipotenuza, dok su preostale dvije stranice katete. Za ovu vrstu trougla primjenjuje se Pitagorina teorema:

Zbir kvadrata dužina kateta jednak je kvadratu dužine hipotenuze.

Na slici je prikazan pravougli trokut BAC sa hipotenuzom AC i kracima AB i BC.

Da biste pronašli površinu trokuta sa pravim uglom, morate znati numeričke vrijednosti njegove noge.

Prijeđimo na formule za pronalaženje površine date figure.

Osnovne formule za pronalaženje područja

U geometriji postoje dvije formule koje su pogodne za pronalaženje površine većine tipova trokuta, a to su akutni, tupi, pravilni i jednakokračni trouglovi. Pogledajmo svaki od njih.

Po strani i visini

Ova formula je univerzalna za pronalaženje površine figure koju razmatramo. Da biste to učinili, dovoljno je znati dužinu stranice i dužinu povučene visine. Sama formula (pola proizvoda baze i visine) je sljedeća:

gdje je A stranica datog trougla, a H visina trougla.

Na primjer, pronaći područje oštar trougao ACB, trebate pomnožiti njegovu stranu AB sa visinom CD i rezultujuću vrijednost podijeliti sa dva.

Međutim, nije uvijek lako pronaći površinu trokuta na ovaj način. Na primjer, da biste koristili ovu formulu za tupokutni trokut, trebate proširiti jednu od njegovih stranica i tek onda nacrtati visinu na njoj.

U praksi se ova formula koristi češće od ostalih.

Sa obe strane i ugao

Ova formula je, kao i prethodna, pogodna za većinu trokuta i po svom značenju je posledica formule za pronalaženje površine pored i visine trokuta. Odnosno, formula o kojoj je riječ može se lako izvesti iz prethodne. Njegova formulacija izgleda ovako:

S = ½*sinO*A*B,

gdje su A i B stranice trokuta, a O je ugao između stranica A i B.

Podsjetimo da se sinus ugla može vidjeti u posebnoj tabeli nazvanoj po istaknutom sovjetskom matematičaru V. M. Bradisu.

Pređimo sada na druge formule koje su prikladne samo za izuzetne vrste trokuta.

Površina pravouglog trougla

Pored univerzalne formule, koja uključuje potrebu za pronalaženjem nadmorske visine u trokutu, površina trokuta koji sadrži pravi ugao može se naći iz njegovih krakova.

Dakle, površina trokuta koji sadrži pravi ugao je polovina proizvoda njegovih nogu, ili:

gdje su a i b katete pravouglog trougla.

Pravilan trougao

Ovaj tip geometrijske figure se razlikuju po tome što se njegova površina može naći sa naznačenom vrijednošću samo jedne od njegovih strana (pošto sve strane pravilan trougao su jednaki). Dakle, kada se suočite sa zadatkom "pronalaženja površine trokuta kada su stranice jednake", morate koristiti sljedeću formulu:

S = A 2 *√3 / 4,

gdje je A stranica jednakostraničnog trougla.

Heronova formula

Posljednja opcija za pronalaženje površine trokuta je Heronova formula. Da biste ga koristili, morate znati dužine tri strane figure. Heronova formula izgleda ovako:

S = √p·(p - a)·(p - b)·(p - c),

gdje su a, b i c stranice datog trougla.

Ponekad se postavlja problem: "površina pravilnog trougla je pronaći dužinu njegove stranice." U ovom slučaju, trebamo koristiti formulu koju već znamo za pronalaženje površine pravilnog trokuta i iz nje izvesti vrijednost stranice (ili njenog kvadrata):

A 2 = 4S / √3.

Ispitni zadaci

Postoje mnoge formule u GIA problemima u matematici. Osim toga, često je potrebno pronaći površinu trokuta na kariranom papiru.

U ovom slučaju, najpogodnije je povući visinu na jednu od strana figure, odrediti njenu dužinu iz ćelija i koristiti univerzalna formula da pronađete područje:

Dakle, nakon proučavanja formula predstavljenih u članku, nećete imati problema s pronalaženjem površine trokuta bilo koje vrste.