Comment trouver les coordonnées du sommet d'une parabole d'une fonction quadratique. Parabole - propriétés et graphique d'une fonction quadratique

Une fonction de la forme où est appelée fonction quadratique.

Graphique d'une fonction quadratique – parabole.

Considérons les cas :

I CASE, PARABOLE CLASSIQUE

C'est , ,

Pour construire, remplissez le tableau en substituant les valeurs x dans la formule :

Marquez les points (0;0); (1;1); (-1;1), etc. sur le plan de coordonnées (plus le pas que nous prenons les valeurs x (en dans ce casétape 1), et plus on prend de valeurs x, plus la courbe sera lisse), on obtient une parabole :

Il est facile de voir que si l'on prend le cas , , , alors on obtient une parabole symétrique par rapport à l'axe (oh). Il est facile de le vérifier en remplissant un tableau similaire :

II CAS, « a » EST DIFFÉRENT DE L'UNITÉ

Que se passera-t-il si nous prenons , , ? Comment le comportement de la parabole va-t-il changer ? Avec title="(!LANG : Rendu par QuickLaTeX.com" height="20" width="55" style="vertical-align: -5px;"> парабола изменит форму, она “похудеет” по сравнению с параболой (не верите – заполните соответствующую таблицу – и убедитесь сами):!}

Sur la première image (voir ci-dessus) on voit clairement que les points du tableau de la parabole (1;1), (-1;1) ont été transformés en points (1;4), (1;-4), c'est-à-dire qu'avec les mêmes valeurs, l'ordonnée de chaque point est multipliée par 4. Cela arrivera à tous les points clés du tableau d'origine. Nous raisonnons de la même manière dans les cas des images 2 et 3.

Et quand la parabole « devient plus large » que la parabole :

Résumons :

1)Le signe du coefficient détermine la direction des branches. Avec title="(!LANG : Rendu par QuickLaTeX.com" height="14" width="47" style="vertical-align: 0px;"> ветви направлены вверх, при - вниз. !}

2) Valeur absolue Le coefficient (module) est responsable de la « dilatation » et de la « compression » de la parabole. Plus , plus la parabole est étroite ; plus |a| est petite, plus la parabole est large.

CAS III, « C » APPARAÎT

Introduisons maintenant dans le jeu (c'est-à-dire considérons le cas où), nous considérerons des paraboles de la forme . Il n'est pas difficile de deviner (vous pouvez toujours vous référer au tableau) que la parabole se déplacera vers le haut ou vers le bas le long de l'axe selon le signe :

CAS IV, « b » APPARAÎT

Quand la parabole va-t-elle « se détacher » de l'axe et finalement « marcher » le long de tout le plan de coordonnées ? Quand cessera-t-il d’être égal ?

Ici, pour construire une parabole, nous avons besoin formule de calcul du sommet : , .

Donc à ce stade (comme au point (0;0) du nouveau système de coordonnées), nous allons construire une parabole, ce que nous pouvons déjà faire. Si nous traitons du cas, alors à partir du sommet, nous plaçons un segment unitaire vers la droite, un vers le haut, - le point résultant est le nôtre (de même, un pas vers la gauche, un pas vers le haut est notre point) ; si nous avons affaire, par exemple, à partir du sommet, nous plaçons un segment unitaire vers la droite, deux vers le haut, etc.

Par exemple, le sommet d'une parabole :

Maintenant, la principale chose à comprendre est qu'à ce sommet, nous allons construire une parabole selon le modèle de parabole, car dans notre cas.

Lors de la construction d'une parabole après avoir trouvé les coordonnées du sommet trèsIl convient de considérer les points suivants :

1) parabole je passerai certainement par le point . En effet, en substituant x=0 dans la formule, nous obtenons que . C'est-à-dire que l'ordonnée du point d'intersection de la parabole avec l'axe (oy) est . Dans notre exemple (ci-dessus), la parabole coupe l'ordonnée au point , puisque .

2) axe de symétrie paraboles est une ligne droite, donc tous les points de la parabole seront symétriques par rapport à elle. Dans notre exemple, on prend immédiatement le point (0 ; -2) et on le construit symétriquement par rapport à l'axe de symétrie de la parabole, on obtient le point (4 ; -2) par lequel passera la parabole.

3) En égalant à , on retrouve les points d'intersection de la parabole avec l'axe (oh). Pour ce faire, nous résolvons l’équation. En fonction du discriminant, nous obtiendrons un (, ), deux ( title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="14" width="54" style="vertical-align: 0px;">, ) или нИсколько () точек пересечения с осью (ох) !} . Dans l'exemple précédent, notre racine du discriminant n'est pas un entier ; lors de la construction, cela n'a pas beaucoup de sens pour nous de trouver les racines, mais on voit bien que nous aurons deux points d'intersection avec l'axe (oh) (depuis title="(!LANG : Rendu par QuickLaTeX.com" height="14" width="54" style="vertical-align: 0px;">), хотя, в общем, это видно и без дискриминанта.!}

Alors trouvons une solution

Algorithme de construction d'une parabole si elle est donnée sous la forme

1) déterminer la direction des branches (a>0 – vers le haut, a<0 – вниз)

2) on trouve les coordonnées du sommet de la parabole à l'aide de la formule , .

3) on trouve le point d'intersection de la parabole avec l'axe (oy) à l'aide du terme libre, on construit un point symétrique à ce point par rapport à l'axe de symétrie de la parabole (à noter qu'il arrive qu'il ne soit pas rentable de marquer ce point par exemple, car la valeur est grande... on saute ce point...)

4) Au point trouvé - le sommet de la parabole (comme au point (0;0) du nouveau système de coordonnées), nous construisons une parabole. Si title="(!LANG : Rendu par QuickLaTeX.com" height="20" width="55" style="vertical-align: -5px;">, то парабола становится у’же по сравнению с , если , то парабола расширяется по сравнению с !}

5) On retrouve les points d'intersection de la parabole avec l'axe (oy) (s'ils n'ont pas encore « fait surface ») en résolvant l'équation

Exemple 1

Exemple 2

Note 1. Si la parabole nous est initialement donnée sous la forme , où sont des nombres (par exemple, ), alors il sera encore plus facile de la construire, car on nous a déjà donné les coordonnées du sommet . Pourquoi?

Prenons un trinôme quadratique et isolons le carré complet qu'il contient : Regardez, nous avons ça , . Vous et moi appelions auparavant le sommet d'une parabole, c'est-à-dire maintenant.

Par exemple, . On marque le sommet de la parabole sur le plan, on comprend que les branches sont dirigées vers le bas, la parabole est élargie (par rapport à ). C'est-à-dire que nous réalisons les points 1 ; 3 ; 4 ; 5 de l'algorithme de construction d'une parabole (voir ci-dessus).

Note 2. Si la parabole est donnée sous une forme similaire à celle-ci (c'est-à-dire présentée comme un produit de deux facteurs linéaires), alors nous voyons immédiatement les points d'intersection de la parabole avec l'axe (bœuf). Dans ce cas – (0;0) et (4;0). Pour le reste, nous agissons selon l'algorithme en ouvrant les parenthèses.

Tout le monde sait probablement ce qu'est une parabole. Mais nous verrons ci-dessous comment l'utiliser correctement et avec compétence pour résoudre divers problèmes pratiques.

Tout d’abord, décrivons les concepts de base que l’algèbre et la géométrie donnent à ce terme. Considérons tout types possibles ce tableau.

Découvrons toutes les principales caractéristiques de cette fonction. Comprenons les bases de la construction de courbes (géométrie). Apprenons comment trouver les valeurs maximales et autres valeurs de base d'un graphique de ce type.

Découvrons : comment construire correctement la courbe souhaitée à l'aide de l'équation, à quoi vous devez faire attention. Voyons les bases utilisation pratique cette valeur unique dans la vie humaine.

Qu'est-ce qu'une parabole et à quoi ressemble-t-elle ?

Algèbre : Ce terme fait référence au graphique d'une fonction quadratique.

Géométrie : il s'agit d'une courbe du second ordre qui présente un certain nombre de particularités :

Équation canonique de la parabole

La figure montre un système de coordonnées rectangulaires (XOY), un extremum, la direction des branches de la fonction tracée le long de l'axe des abscisses.

L'équation canonique est :

oui 2 = 2 * p * x,

où le coefficient p est le paramètre focal de la parabole (AF).

En algèbre cela s’écrira différemment :

y = a x 2 + b x + c (motif reconnaissable : y = x 2).

Propriétés et graphique d'une fonction quadratique

La fonction a un axe de symétrie et un centre (extremum). Le domaine de définition est constitué de toutes les valeurs de l'axe des abscisses.

La plage de valeurs de la fonction – (-∞, M) ou (M, +∞) dépend du sens des branches de la courbe. Le paramètre M signifie ici la valeur de la fonction en haut de la ligne.

Comment déterminer où sont dirigées les branches d'une parabole

Pour trouver la direction d'une courbe de ce type à partir d'une expression, il faut déterminer le signe devant le premier paramètre de l'expression algébrique. Si un ˃ 0, alors ils sont dirigés vers le haut. Si c'est l'inverse, vers le bas.

Comment trouver le sommet d'une parabole à l'aide de la formule

Trouver l'extremum est l'étape principale pour résoudre de nombreux problèmes pratiques. Bien sûr, vous pouvez ouvrir des offres spéciales calculatrices en ligne, mais il vaut mieux pouvoir le faire soi-même.

Comment le déterminer ? Il existe une formule spéciale. Lorsque b n’est pas égal à 0, il faut chercher les coordonnées de ce point.

Formules pour trouver le sommet :

x 0 = -b / (2 * une);
oui 0 = oui (x 0).

Exemple.

Il existe une fonction y = 4 * x 2 + 16 * x – 25. Trouvons les sommets de cette fonction.

Pour une ligne comme celle-ci :

x = -16 / (2 * 4) = -2 ;
y = 4 * 4 - 16 * 2 - 25 = 16 - 32 - 25 = -41.

On obtient les coordonnées du sommet (-2, -41).

Déplacement de la parabole

Le cas classique est celui où dans une fonction quadratique y = a x 2 + b x + c, les deuxième et troisième paramètres sont égaux à 0, et = 1 - le sommet est au point (0 ; 0).

Le mouvement le long des axes des abscisses ou des ordonnées est dû aux changements des paramètres b et c, respectivement. La ligne sur le plan sera décalée exactement du nombre d'unités égal à la valeur du paramètre.

Exemple.

On a : b = 2, c = 3.

Cela signifie que look classique la courbe se décalera de 2 segments unitaires le long de l'axe des abscisses et de 3 le long de l'axe des ordonnées.

Comment construire une parabole à l'aide d'une équation quadratique

Il est important que les écoliers apprennent à dessiner correctement une parabole en utilisant des paramètres donnés.

En analysant les expressions et les équations, vous pouvez voir ce qui suit :

Le point d'intersection de la ligne souhaitée avec le vecteur ordonnée aura une valeur égale à c.
Tous les points du graphique (le long de l'axe des x) seront symétriques par rapport à l'extremum principal de la fonction.

De plus, les points d'intersection avec OX peuvent être trouvés en connaissant le discriminant (D) d'une telle fonction :

D = (b 2 - 4 * a * c).

Pour ce faire, vous devez assimiler l'expression à zéro.

La présence de racines d'une parabole dépend du résultat :

D ˃ 0, alors x 1, 2 = (-b ± D 0,5) / (2 * a) ;
D = 0, alors x 1, 2 = -b / (2 * a) ;
D ˂ 0, alors il n’y a pas de points d’intersection avec le vecteur OX.

On obtient l'algorithme de construction d'une parabole :

déterminer la direction des branches ;
trouver les coordonnées du sommet ;
trouver l'intersection avec l'axe des ordonnées ;
trouver l'intersection avec l'axe des x.

Exemple 1.

Étant donné la fonction y = x 2 - 5 * x + 4. Il faut construire une parabole. Nous suivons l'algorithme :

a = 1, donc les branches sont dirigées vers le haut ;
coordonnées extremum : x = - (-5) / 2 = 5/2 ; y = (5/2) 2 - 5 * (5/2) + 4 = -15/4 ;
coupe l'axe des ordonnées à la valeur y = 4 ;
trouvons le discriminant : D = 25 - 16 = 9 ;
à la recherche de racines :

X1 = (5 + 3) / 2 = 4 ; (4, 0);
X2 = (5 - 3) / 2 = 1 ; (dix).

Exemple 2.

Pour la fonction y = 3 * x 2 - 2 * x - 1 vous devez construire une parabole. Nous agissons selon l'algorithme donné :

a = 3, donc les branches sont dirigées vers le haut ;
coordonnées extremum : x = - (-2) / 2 * 3 = 1/3 ; y = 3 * (1/3) 2 - 2 * (1/3) - 1 = -4/3 ;
croisera l'axe y à la valeur y = -1 ;
trouvons le discriminant : D = 4 + 12 = 16. Donc les racines sont :

X1 = (2 + 4) / 6 = 1 ; (1;0);
X2 = (2 - 4) / 6 = -1/3 ; (-1/3 ; 0).

En utilisant les points obtenus, vous pouvez construire une parabole.

Directrice, excentricité, foyer d'une parabole

D'après l'équation canonique, le foyer de F a des coordonnées (p/2, 0).

La droite AB est une directrice (une sorte de corde d'une parabole d'une certaine longueur). Son équation est x = -p/2.

Excentricité (constante) = 1.

Conclusion

Nous avons examiné un sujet dans lequel les écoliers étudient lycée. Vous savez maintenant, en regardant la fonction quadratique d'une parabole, comment trouver son sommet, dans quelle direction les branches seront dirigées, s'il y a un déplacement le long des axes et, disposant d'un algorithme de construction, vous pouvez dessiner son graphique.

Le graphique d’une fonction quadratique s’appelle une parabole. Cette ligne a une signification physique importante. Certains se déplacent le long de paraboles corps célestes. Une antenne en forme de parabole focalise les rayons parallèles à l’axe de symétrie de la parabole. Corps projetés vers le haut à un angle point culminant et tomber, décrivant également une parabole. Apparemment, il est toujours utile de connaître les coordonnées du sommet de ce mouvement.

Instructions

1. Fonction quadratique dans tout vue généraleécrit par l'équation : y = ax ? + bx + c. Le graphique de cette équation est une parabole dont les branches sont dirigées vers le haut (pour a > 0) ou vers le bas (pour a > 0).< 0). Школьникам предлагается легко запомнить формулу вычисления координат вершины параболы. Вершина параболы лежит в точке x0 = -b/2a. Подставив это значение в équation quadratique, obtenez y0 : y0 = a(-b/2a) ? – b?/2a + c = – b?/4a + c.

2. Les personnes familiarisées avec la représentation dérivée peuvent facilement repérer le sommet d'une parabole. Quel que soit l'emplacement des branches de la parabole, son sommet est le point extremum (minimum si les branches sont dirigées vers le haut, ou maximum lorsque les branches sont dirigées vers le bas). Afin de trouver les points extrêmes supposés de n’importe quelle fonction, vous devez calculer sa dérivée première et l’assimiler à zéro. En général, la dérivée d'une fonction quadratique est égale à f"(x) = (ax? + bx + c)' = 2ax + b. Équivalent à zéro, vous obtenez 0 = 2ax0 + b => x0 = -b/ 2a.

3. Une parabole est une ligne symétrique. L'axe de symétrie passe par le sommet de la parabole. Connaissant les points d'intersection de la parabole avec l'axe des coordonnées X, vous pouvez facilement retrouver l'abscisse du sommet x0. Soit x1 et x2 les racines de la parabole (les soi-disant points d'intersection de la parabole avec l'axe des abscisses, car ces valeurs transforment l'équation quadratique ax ? + bx + c à zéro). En même temps, soit |x2| > |x1|, alors le sommet de la parabole se trouve au milieu entre eux et peut être trouvé à partir de l'expression suivante : x0 = ?(|x2| – |x1|).

Une parabole est le graphique d'une fonction quadratique ; en général, l'équation d'une parabole s'écrit y=aх^2+bх+с, où a?0. Il s'agit d'une courbe universelle du second ordre qui décrit de nombreux phénomènes de la vie, par exemple le mouvement d'un corps projeté puis tombant, la forme d'un arc-en-ciel, et donc la connaissance nécessaire pour détecter parabole Cela pourrait être utile dans la vraie vie.

Tu auras besoin de

– formule d'équation quadratique ;
– une feuille de papier avec une grille de coordonnées ;
- Effaceur;
– ordinateur et programme Excel.

Instructions

1. Tout d’abord, localisez le sommet de la parabole. Pour trouver l'abscisse de ce point, prenez l'exposant avant x, divisez-le par deux fois l'exposant avant x^2 et multipliez par -1 (formule x=-b/2a). Trouvez l'ordonnée en remplaçant la valeur résultante dans l'équation ou en utilisant la formule y=(b^2-4ac)/4a. Vous avez obtenu les coordonnées du point sommet de la parabole.

2. Le sommet d'une parabole peut également être détecté par une autre méthode. Parce que le sommet est l'extremum de la fonction, pour le calculer, calculez la dérivée première et assimilez-la à zéro. Sous forme générale, vous obtiendrez la formule f(x)’ = (ax? + bx + c)’ = 2ax + b. Et en l'assimilant à zéro, vous arriverez à la même formule - x = -b/2a.

3. Découvrez si les branches de la parabole sont dirigées vers le haut ou vers le bas. Pour ce faire, regardez l'indicateur devant x^2, c'est-à-dire a. Si a>0, alors les branches sont dirigées vers le haut, si a

4. Construisez l’axe de symétrie de la parabole ; il coupe le sommet de la parabole et est parallèle à l’axe y. Tous les points de la parabole en seront équidistants, il est donc possible de n'en construire qu'une seule partie, puis de l'afficher symétriquement par rapport à l'axe de la parabole.

5. Tracez une ligne d'une parabole. Pour ce faire, trouvez plusieurs points en remplaçant différentes significations x dans les équations et résoudre l’égalité. Il est pratique de détecter l'intersection avec les axes ; pour ce faire, remplacez x=0 et y=0 dans l'égalité. Après avoir soulevé un côté, réfléchissez-le symétriquement par rapport à l'axe.

6. Autorisé à construire parabole Avec de l'aide Programmes Excel. Pour ce faire, ouvrez le nouveau document et sélectionnez-y deux colonnes, x et y=f(x). Dans la première colonne, notez les valeurs de x sur le segment sélectionné, et dans la deuxième colonne, notez la formule, par exemple =2B3*B3-4B3+1 ou =2B3^2-4B3+1. Afin de ne pas écrire cette formule à chaque fois, « étirez-la » sur chaque colonne en cliquant sur la petite croix en bas à droite et en la faisant glisser vers le bas.

7. Une fois que vous avez le tableau, cliquez sur le menu « Insérer » – « Graphique ». Sélectionnez le nuage de points, cliquez sur Suivant. Dans la fenêtre qui apparaît, ajoutez une ligne en cliquant sur le bouton « Ajouter ». Pour sélectionner les cellules souhaitées, cliquez un à un sur les boutons entourés en ovale rouge ci-dessous, puis sélectionnez vos colonnes avec des valeurs. En cliquant sur le bouton « Terminé », évaluez le résultat – le fini parabole .

Vidéo sur le sujet

Lorsque vous recherchez une fonction quadratique dont le graphique est une parabole, à l'un des points que vous devez trouver coordonnées pics paraboles. Comment faire cela analytiquement en utilisant l'équation donnée pour la parabole ?

Instructions

1. Une fonction quadratique est une fonction de la forme y=ax^2+bx+c, où a est l'exposant principal (il doit être strictement différent de zéro), b est l'exposant le plus bas, c est un terme libre. Cette fonction donne à son graphique une parabole dont les branches sont dirigées soit vers le haut (si a>0), soit vers le bas (si a<0). При a=0 квадратичная функция вырождается в линейную функцию.

2. Trouvons la coordonnée x0 pics paraboles. Il est trouvé par la formule x0=-b/a.

3. y0=y(x0).Pour détecter la coordonnée y0 pics paraboles, vous devez remplacer la valeur détectée x0 dans la fonction au lieu de x. Calculez à quoi y0 est égal.

4. Coordonnées pics des paraboles ont été découvertes. Notez-les comme les coordonnées d'un seul point (x0,y0).

5. Lors de la construction d'une parabole, rappelez-vous qu'elle est symétrique par rapport à l'axe de symétrie de la parabole, qui passe verticalement par le sommet de la parabole, car la fonction quadratique est paire. Par conséquent, il suffit de construire une seule branche de la parabole à partir de points et de compléter l'autre symétriquement.

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Pour les fonctions (ou plutôt leurs graphiques), la représentation de la plus grande valeur, y compris le maximum local, est utilisée. L’idée de « sommet » est plus probablement associée aux formes géométriques. Les points maximaux des fonctions lisses (ayant une dérivée) sont faciles à déterminer à l'aide des zéros de la dérivée première.

Instructions

1. Pour les points auxquels la fonction n'est pas différentiable mais constante, la plus grande valeur sur l'intervalle peut avoir la forme d'une pointe (par exemple, y=-|x|). À de tels points du graphique les fonctions il est possible de tracer autant de tangentes que l'on souhaite, et il n'existe pas facilement de dérivée pour cela. Sami les fonctions de ce type sont généralement spécifiés sur les segments. Points auxquels la dérivée les fonctions est égal à zéro ou n’existe pas sont dits sceptiques.

2. Il s'avère que pour trouver le maximum de points les fonctions y=f(x) il faut : - détecter les points sceptiques ; - pour préférer le point maximum, il faut détecter le signe de la dérivée au voisinage du point sceptique. Si, au passage d'un point, le signe alterne de « + » à « - », alors un maximum se produit.

3. Exemple. Trouver les plus grandes valeurs les fonctions(voir Fig. 1).y=x+3 pour x?-1 et y=((x^2)^(1/3)) –x pour x>-1.

4. Rhéaning. y=x+3 pour x?-1 et y=((x^2)^(1/3)) –x pour x>-1. La fonction est délibérément spécifiée sur des segments, car dans ce cas, le but est de tout afficher dans un seul exemple. Il est facile de vérifier qu'à x=-1 la fonction reste constante : y'=1 à x?-1 et y'=(2/3)(x^(-1/3))-1=(2- 3(x ^(1/3))/(x^(1/3)) pour x>-1. y'=0 pour x=8/27. y' n'existe pas pour x=-1 et x= 0. Dans ce cas y'>0 si x

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Une parabole fait partie des courbes du second ordre ; ses pointes sont relevées selon une équation quadratique. L'essentiel dans la construction de cette oblique est de détecter haut paraboles. Cela peut être fait de plusieurs manières.

Instructions

1. Pour trouver les coordonnées du sommet paraboles, utilisez la formule suivante : x = -b/2a, où a est l'indicateur avant x au carré et b est l'indicateur avant x. Branchez vos valeurs et calculez sa valeur. Après cela, remplacez la valeur résultante par x dans l'équation et calculez l'ordonnée du sommet. Disons que si l'on vous donne l'équation y=2x^2-4x+5, trouvez l'abscisse de la manière suivante : x=-(-4)/2*2=1. En remplaçant x=1 dans l'équation, calculez la valeur y pour le sommet paraboles: y=2*1^2-4*1+5=3. Donc le haut paraboles a les coordonnées (1;3).

2. La valeur de l'ordonnée paraboles peut être détecté sans calculer l’abscisse au préalable. Pour ce faire, utilisez la formule y=-b^2/4ac+c.

3. Si vous êtes familier avec la représentation dérivée, découvrez haut paraboles en utilisant des dérivées, en profitant de la propriété supplémentaire de chaque fonction : la dérivée première d'une fonction, égale à zéro, indique les points extremum. Parce que le sommet paraboles, que ses branches soient dirigées vers le haut ou vers le bas, est un point extrême, calculez la dérivée de votre fonction. Sous sa forme générale, cela ressemblera à f(x)=2ax+b. Égalez-le à zéro et obtenez les coordonnées du sommet paraboles, correspondant à votre fonction.

4. Essayez de découvrir haut paraboles, profitant de sa propriété telle que la symétrie. Pour ce faire, recherchez les points d'intersection paraboles avec l'axe des x, assimilant la fonction à zéro (en remplaçant y = 0). Lorsque vous résolvez une équation quadratique, vous trouverez x1 et x2. Parce que la parabole est symétrique par rapport à la directrice passant par haut, ces points seront équidistants de l'abscisse du sommet. Afin de le détecter, on divise la distance entre les points par deux : x = (Ix1-x2I)/2.

5. Si l'un des exposants est nul (à part a), calculez les coordonnées du sommet paraboles en utilisant des formules simplifiées. Disons que si b = 0, c'est-à-dire que l'équation a la forme y = ax^2 + c, alors le sommet se trouvera sur l'axe oy et ses coordonnées seront égales à (0 ; c). Si non seulement l’exposant b=0, mais aussi c=0, alors le sommet paraboles est situé à l'origine, le point (0;0).

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Partant d’un point, les droites forment un angle dont leur point commun est le sommet. Dans la section d'algèbre théorique, il y a souvent des problèmes lorsqu'il faut trouver les coordonnées de ceci pics, afin de déterminer ensuite l'équation de la droite passant par le sommet.

Instructions

1. Avant de commencer le processus de recherche de coordonnées pics, décidez des données initiales. Acceptez que le sommet souhaité appartient au triangle ABC, dans lequel les coordonnées des 2 autres sommets sont connues, ainsi que valeurs numériques coins, égal à « e » et « k » du côté AB.

2. Combiner nouveau système coordonnées sur l'un des côtés du triangle AB de telle sorte que la préface du système de coordonnées coïncide avec le point A dont vous connaissez les coordonnées. Le deuxième sommet B se situera sur l'axe OX et ses coordonnées vous sont également connues. Déterminez la longueur du côté AB le long de l’axe OX en fonction des coordonnées et prenez-la égale à « m ».

3. Abaissez la perpendiculaire de l'inconnu pics C à l'axe OX et au côté du triangle AB, respectivement. La hauteur résultante « y » détermine la valeur de l'une des coordonnées pics C le long de l'axe OY. Supposons que la hauteur « y » divise le côté AB en deux segments égaux à « x » et « m – x ».

4. Parce que tu connais la signification de tout coins triangle, ce qui signifie que les valeurs de leurs tangentes sont également connues. Prenez les valeurs tangentes pour coins, adjacent au côté du triangle AB, égal à tan(e) et tan(k).

5. Entrez les équations de 2 droites passant respectivement le long des côtés AC et BC : y = tan(e) * x et y = tan(k) * (m – x). Trouvez ensuite l'intersection de ces droites en appliquant les équations de droites transformées : tan(e) = y/x et tan(k) = y/(m – x).

6. Si vous supposez que tan(e)/tan(k) est égal à (y/x) /(y/ (m – x)) ou si vous abrégez plus tard « y » – (m – x) / x, vous vous retrouverez avec le les valeurs souhaitées sont coordonnées égales à x = m / (tan(e)/tan(k) + e) et y = x * tan(e).

7. Valeurs de remplacement coins(e) et (k), ainsi que la valeur détectée du côté AB = m dans les équations x = m / (tan(e)/tan(k) + e) et y = x * tan(e ).

8. Convertissez le nouveau système de coordonnées en système de coordonnées initial, puisqu'une correspondance biunivoque a été établie entre eux, et obtenez les coordonnées souhaitées pics triangle ABC.

Vidéo sur le sujet

Nagaeva Svetlana Nikolaevna, professeur de mathématiques au MAOU « Lycée n°1 » de la ville de Berezniki.

Projet cours d'algèbre en 9e année(profil humanitaire).

"La trace la plus profonde est laissée par ce qu'une personne a elle-même découvert." (D. Poya.)

Sujet de la leçon :"Dérivation de formules pour calculer les coordonnées du sommet d'une parabole."

Objectifs de la leçon: éducatif :

Résultat attendu:

- prise de conscience, acceptation et résolution du problème par les étudiants ;

Formation de moyens d'acquérir de nouvelles connaissances par comparaison et juxtaposition de faits, une méthode du particulier au général ;

Apprenez les formules pour trouver les coordonnées du sommet et de l'axe de symétrie d'une parabole pour des fonctions de la forme y = ax 2 +bx+c.

Type de cours : leçon de mise en scène tâche éducative. Méthodes d'enseignement– éléments visuels et illustratifs, verbaux, collaboratifs, basés sur des problèmes, de la technologie de la pensée critique.

Équipement: ordinateur, projecteur multimédia, écran de démonstration, diapositives de présentation sur le thème : « Formule pour trouver les coordonnées du sommet d'une parabole » ; Feuilles A3 ; marqueurs de couleur.

Technologie- approche système-activité.

Étapes du cours :

Humeur psychologique (motivation).

Mise à jour connaissances de base(créer une situation de réussite).

Formulation du problème.

Formuler le sujet et le but de la leçon.

Solution au problème.

Analyse des progrès de la résolution du problème.

Application des résultats de la résolution de problèmes dans les activités ultérieures.

Résumer la leçon (le résumé à travers les « yeux » de l'élève, le résumé à travers les « yeux » du professeur).

Devoirs.

Pendant les cours :

Humeur psychologique.

Tâche : Apprendre à résoudre tâche commune et travailler en équipe (travail en groupe de 5 personnes).

Les gars, au cours des quatre dernières leçons, nous avons étudié la fonction quadratique, mais nos connaissances ne sont pas encore complètement complètes, nous continuons donc à étudier la fonction quadratique afin d'apprendre quelque chose de nouveau sur cette fonction.

Motiver les étudiants à définir de manière indépendante le sujet et le but de la leçon.

Fonction
et son emploi du temps.

;
;

Sans fonctions graphiques, pouvons-nous répondre aux questions :

Qu'est-ce qu'un graphe de fonctions ?

Quelle droite est l’axe de symétrie (s’il existe) ?

3. Y a-t-il un sommet, quelles sont ses coordonnées ?

Je veux savoir

Le tableau est rempli au fur et à mesure de la leçon.

Actualisation des connaissances et compétences de base des étudiants.Réchauffer. 1. Placer entre parenthèses le coefficient le plus élevé : 5x 2 + 25x -5 ; hache 2 + bx + c. 2. Sélectionnez le produit double : ab ; hache; b/a. 3. Quadrature : b/2 ; c 2 /a; 2a/3b. 4. Présenter sous forme de somme algébrique : a – c ; x-(-b/2a).

Expliquer comment, connaissant le type de graphe de la fonctionoui =ƒ( X ) , construisez des graphiques de fonctions :

UN ) oui =ƒ(X - un) , - par translation parallèle d'une unité vers la droite le long de l'axe X;

b) oui =ƒ(X) + b, - en utilisant la translation parallèle des unités b vers le haut le long de l'axe oui;

V) oui =ƒ(X-a) +b, ↔ sur UN unités, ↕ par b unités;

d) Comment représenter graphiquement une fonction oui = (X - 2) 2 + 3 ? Quel est son emploi du temps ?

Nommez le sommet de la parabole.
Le graphique est une parabole oui = X 2 avec le sommet au point (2 ; 3 ).

Donnez les coordonnées du sommet de la parabole : y = x - 4x + 5 ( problème). Pourquoi est-il impossible de déterminer les coordonnées du sommet d'une parabole par le type de fonction ?(la fonction quadratique a une forme différente).

Activités étudiantes :

Construire des structures de parole en utilisant une terminologie fonctionnelle.

Discussion des réponses. Ils comparent, comparent avec des fonctions précédemment étudiées, sélectionnent et écrivent au tableau les connaissances et compétences dont ils peuvent avoir besoin pour résoudre le problème dans la colonne « JE SAIS » :

Dans la colonne « Je veux savoir » : sommet, axe de symétrie d'une parabole
.

Les élèves peuvent écrire des fonctions dans les colonnes « JE SAIS » et « VEUX SAVOIR » à la fois de manière générale et dans des cas particuliers. Énoncé du problème pédagogique : trouver les coordonnées du sommet de la parabole si la fonction quadratique est donnée sous forme générale oui = hache + bx + c. Les élèves formulent et notent le sujet et le but de la leçon dans un cahier.(Dérivation de formules pour calculer les coordonnées du sommet d'une parabole. Apprenez à trouver les coordonnées du sommet d'une parabole d'une nouvelle manière - en utilisant des formules).

Solution au problème.

Activités étudiantes : Lorsqu’ils comparent des connaissances « anciennes » avec de nouvelles connaissances, les élèves sont invités à mettre en évidence un carré complet. Sur exemples spécifiques
;
et recevez en conséquence
;
. Trouver les coordonnées du sommet et l'équation de l'axe de symétrie. Ils comprennent qu'ils ont fait face à la tâche, car apporté nouvelle fonctionnalitéà un regard familier.

Les élèves identifient un carré complet pour la fonction.
; , comparez le résultat obtenu, tirez une conclusion basée sur cette fonction. Trouvez les coordonnées du sommet et de l'axe de symétrie.

Pouvez-vous nommer le sommet et l'axe d'une parabole si la fonction est donnée sous forme générale
sans mettre en valeur le carré complet ? Comment allez-vous agir dans ce cas ? Et comment appliquer votre expérience antérieure dans la recherche du sommet et de l'axe d'une parabole ?

Activités étudiantes :

À partir des connaissances et de l'expérience existantes, les étudiants commencent à comprendre qu'ils doivent aller plus loin, du particulier au général, et réaliser des preuves sous une forme générale.

De nouvelles difficultés apparaissent. Une solution apparaît dans les groupes : . Analyse des progrès de la résolution du problème. Un représentant de chaque groupe est entendu.

Comparer et analyser les enregistrements
Et
, une solution générale au problème posé est notée dans un cahier - formules pour les coordonnées du sommet d'une parabole
.

Les élèves concluent : les coordonnées du sommet et l'axe de la parabole pour la fonction
peut être trouvé de manière rationnelle.

Application des résultats de la résolution du problème dans les activités ultérieures.

Activités étudiantes :

Résoudre les problèmes du manuel n° 121 ; 123. Trouvez les coordonnées du sommet de la parabole d'une nouvelle manière rationnelle. Notez l'équation de la droite, qui est l'axe de symétrie de la parabole.

Résumé (réflexion) Activités éducativesà la leçon).

Revenons au tableau et remplissons la colonne « APPRIS ».

Résumé de la leçon à travers les yeux des élèves :

JE VEUX SAVOIR

5. Je sais comment représenter graphiquement ces fonctions

6. Je sais trouver les coordonnées des sommets de ces paraboles et l'axe de la parabole

7. méthode de sélection d'un carré complet

8. comment trouver les coordonnées des sommets, l'axe d'une parabole.

2. équation de l'axe de symétrie d'une parabole

1. coordonnées du sommet de la parabole

2.comment dériver la formule

3. une manière rationnelle de trouver l'axe de la parabole et les coordonnées du sommet de la parabole

Le résultat « à travers le regard d’un professeur » :

L'objectif de la leçon a été atteint.

Les élèves ont réalisé, accepté et résolu le problème.

En résolvant un problème pédagogique, les étudiants ont non seulement acquis de nouvelles connaissances : la dépendance des coefficients d'un trinôme quadratique et les coordonnées du sommet d'une parabole, l'équation de l'axe de symétrie, mais la chose la plus importante dans le la leçon est la formation de moyens généralisés d'acquérir de nouvelles connaissances, d'analyser indépendamment le problème et de trouver l'inconnu.

Devoirs: article 7 n° 122 ;127(b) ;128.

P.S. La leçon présentée a eu lieu le 15 octobre 2014 dans le cadre d'un séminaire municipal pour les professeurs de mathématiques sur le thème « Formation de l'UDL dans les cours de mathématiques ».

Au stade « Appliquer les résultats... » lors de la résolution de problèmes du manuel, certains élèves ont commencé à comprendre la valeur de leur « découverte » : plus manière simple trouver les coordonnées du sommet et l'équation de l'axe de symétrie, tandis que d'autres ne cachaient pas leur joie, car il n'était pas nécessaire de « souffrir » en isolant un carré complet. Mais le plus important c’est que nous avons tout fait nous-mêmes !

La parabole est présente dans le monde des mathématiques, de la physique et d'autres sciences. Les satellites artificiels se déplacent le long de la trajectoire d'une parabole et ont tendance à quitter le système solaire, le ballon lorsqu'on joue au volley-ball décrit également sa trajectoire. Vous devez être capable de construire une parabole. Et pour que cela soit facile, il faut savoir trouver le sommet d’une parabole.

Le graphique de la fonction y = ax 2 + bx + c, où a est le premier coefficient, b est le deuxième coefficient, c est le terme libre, s'appelle une parabole. Mais faites attention au fait que a ≠0.

Chaque point de la parabole a symétrique à lui sauf un point, et ce point est appelé un sommet. Afin de trouver un point qui est un sommet, vous devez décider ce qu’est un point sur le graphique. Un point sur un graphique est une coordonnée spécifique le long de l’axe des abscisses et des ordonnées. Il est noté (x; y). Voyons comment trouver les numéros précieux.

Première façon

Si vous voulez savoir comment calculer correctement les coordonnées d’un sommet, il vous suffit d’apprendre la formule x0 = -b/2a. En substituant le nombre résultant dans la fonction, nous obtenons y0.

Par exemple, y =x 2 –8 x +15 ;

trouver les premier, deuxième coefficients et terme libre ;

a =1, b =-8, c =15 ;

remplacez les valeurs de a et b dans la formule ;

x0=8/2=4 ;

calculer les valeurs y ;

y0 = 16-32+15 = -1 ;

Cela signifie que le sommet est au point (4;-1).

Les branches de la parabole sont symétriques par rapport à l’axe de symétrie qui passe par le sommet de la parabole. Connaissant les racines de l'équation, vous pouvez facilement calculer l'abscisse du sommet de la parabole. Supposons que k et n soient les racines d'une équation quadratique. Alors le point x0 est à égale distance des points k et n, et il peut être calculé à l'aide de la formule : x0 = (k + n)/2.

Regardons l'exemple y =x 2 –6x+5

1) Égal à zéro :

x2 –6x+5=0.

2) Trouvez le discriminant à l'aide de la formule : D = b 2 –4 ac :

D =36-20=16.

3) Trouvez les racines de l'équation en utilisant la formule (-b±√ D)/2a :

1 - première racine ;
5 est la deuxième racine.

4) Calculez :

x0 =(5+1)/2=3

Deuxième façon

Compléter jusqu'à un carré complet est un excellent moyen de savoir où se trouve le sommet. En utilisant cette méthode, vous pouvez calculer les points x et y en même temps, sans avoir à remplacer x dans l'exemple initial. Considérons cette méthode en utilisant l'exemple de fonction : y=x 2 +8 x +10.

1. Vous devez d’abord assimiler l’expression avec la variable à 0. Ensuite, déplacez c vers côté droit Avec signe opposé, c'est-à-dire que nous obtenons l'expression x 2 + 8x = -10.

2. Maintenant, sur le côté gauche, vous devez créer un carré complet. Pour ce faire, calculez (b/2) 2 et augmentez les deux côtés du résultat de l’équation. Dans ce cas, vous devez remplacer 8 par b.

Nous obtenons 16. Ajoutez maintenant ce nombre aux deux côtés de l’équation :

x2 + 8x +16= 6.

3. On peut voir que l’expression résultante est un carré parfait. Il peut être représenté sous la forme : (x + 4) 2 = 6.

4. Utilisez cette expression pour trouver les coordonnées du sommet d'une parabole. Pour calculer x, vous devez l'assimiler à 0. Nous obtenons x = -4. La coordonnée y est égale à celle du côté droit, c'est-à-dire y = 6. Le sommet de la parabole de cette équation est (-4, 6).

Troisième voie

Si vous savez ce qu’est une dérivée, il existe une autre formule pour vous. Quel que soit l’endroit où pointent les « cornes » de la parabole, son sommet est le point extrême. Pour cette méthode, vous devez utiliser prochain algorithme:

1. Trouver la dérivée première en utilisant la formule f"(x) = (ax² + bx + c)' = 2ax + b.

2. Égaliser la dérivée à 0. En conséquence, vous obtenez 0 = 2ax + b, à partir de là vous pouvez trouver ce qui nous intéresse.

Considérons cette méthode plus en détail.

Étant donné la fonction y = 4x²+16x-17 ;

Nous notons la dérivée et l'assimilons à zéro.

f"(x) = (4x²+16x-17)’ = 8x+16 =0

Le plus difficile lors de la construction est de trouver correctement les points de la fonction. Pour une construction détaillée, vous devez calculer 5 à 7 points (c'est suffisant pour un cours scolaire). Pour ce faire, sélectionnez une valeur x et remplacez-la dans cette fonction. Le résultat des calculs sera le nombre de points le long de l'axe des ordonnées. Après cela, nous plaçons les points que nous avons obtenus sur le plan de coordonnées. En conséquence, nous obtenons une parabole.

Regardons de plus près la question de trouver les points à marquer. Par exemple, prenons la fonction y =-x 2 +11 x -24 avec le sommet au point (5,5 ; -6,25).

1) Construisez un tableau

Trouvez correctement les cotes.

Écrivez les calculs intermédiaires sur papier. Cela facilitera non seulement la recherche du sommet, mais vous aidera également à trouver vos erreurs.

Faites tout étape par étape. Suivez l'algorithme.

Veuillez noter que :

Vous devez vérifier si votre décision est correcte.
Tu as besoin de te calmer, vous avez besoin de vous calmer. Résoudre n’importe quel problème mathématique nécessite de l’expérience. J'ai juste besoin de trouver une solution ce sujet, et alors vous réussirez certainement.

Vidéo

Cette vidéo vous aidera à apprendre à trouver le sommet d'une parabole

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