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En relation avec
la tâche de trouver l'un des trois nombres parmi les deux autres donnés peut être définie. Si a puis N sont donnés, ils sont trouvés par exponentiation. Si N puis a sont donnés en prenant la racine du degré x (ou en l'élevant à la puissance). Considérons maintenant le cas où, étant donné a et N, nous devons trouver x.
Soit le nombre N positif : le nombre a soit positif et non égal à un : .
Définition. Le logarithme du nombre N à la base a est l'exposant auquel il faut élever a pour obtenir le nombre N ; le logarithme est noté
Ainsi, dans l’égalité (26.1), l’exposant est le logarithme de N en base a. Des postes
ont la même signification. L'égalité (26.1) est parfois appelée l'identité principale de la théorie des logarithmes ; en réalité il exprime la définition de la notion de logarithme. Par cette définition La base du logarithme a est toujours positive et différente de l'unité ; le nombre logarithmique N est positif. Les nombres négatifs et zéro n'ont pas de logarithme. On peut prouver que tout nombre ayant une base donnée possède un logarithme bien défini. L’égalité implique donc. Notez que la condition est ici essentielle ; sinon, la conclusion ne serait pas justifiée, puisque l'égalité est vraie pour toutes les valeurs de x et y.
Exemple 1. Rechercher
Solution. Pour obtenir un nombre, il faut élever la base 2 à la puissance Donc.
Vous pouvez prendre des notes lors de la résolution de tels exemples sous la forme suivante :
Exemple 2. Rechercher .
Solution. Nous avons
Dans les exemples 1 et 2, nous avons facilement trouvé le logarithme souhaité en représentant le nombre du logarithme comme une puissance de base avec un exposant rationnel. DANS cas général, par exemple, pour, etc., cela ne peut pas être fait, car le logarithme a une valeur irrationnelle. Prêtons attention à un problème lié à cette déclaration. Au paragraphe 12, nous avons donné le concept de la possibilité de déterminer toute puissance réelle d'un nombre positif donné. Cela était nécessaire pour l'introduction des logarithmes, qui, d'une manière générale, peuvent être des nombres irrationnels.
Examinons quelques propriétés des logarithmes.
Propriété 1. Si le nombre et la base sont égaux, alors le logarithme est égal à un et, inversement, si le logarithme est égal à un, alors le nombre et la base sont égaux.
Preuve. Soit Par la définition d'un logarithme nous avons et d'où
A l’inverse, soit Alors par définition
Propriété 2. Le logarithme de un sur n'importe quelle base est égal à zéro.
Preuve. Par définition d'un logarithme (la puissance nulle de toute base positive est égale à un, voir (10.1)). D'ici
Q.E.D.
L’affirmation inverse est également vraie : si , alors N = 1. En effet, nous avons .
Avant de formuler la propriété suivante des logarithmes, convenons de dire que deux nombres a et b se trouvent du même côté du troisième nombre c s'ils sont tous deux supérieurs à c ou inférieurs à c. Si l'un de ces nombres est supérieur à c et l'autre est inférieur à c, alors nous dirons qu'ils se situent le long de différents côtés du village
Propriété 3. Si le nombre et la base se trouvent du même côté de un, alors le logarithme est positif ; Si le nombre et la base se trouvent sur des côtés opposés de un, alors le logarithme est négatif.
La preuve de la propriété 3 est basée sur le fait que la puissance de a est supérieure à un si la base est supérieure à un et l'exposant est positif ou si la base est inférieure à un et l'exposant est négatif. Une puissance est inférieure à un si la base est supérieure à un et l'exposant est négatif ou si la base est inférieure à un et l'exposant est positif.
Il y a quatre cas à considérer :
Nous nous limiterons à analyser le premier d’entre eux ; le lecteur considérera le reste par lui-même.
Supposons donc que, dans l'égalité, l'exposant ne puisse être ni négatif ni égal à zéro, il est donc positif, c'est-à-dire comme il faut le prouver.
Exemple 3. Découvrez lesquels des logarithmes ci-dessous sont positifs et lesquels sont négatifs :
Solution, a) puisque le chiffre 15 et la base 12 sont situés du même côté de l'un ;
b) puisque 1000 et 2 sont situés d'un côté de l'unité ; dans ce cas, il n'est pas important que la base soit supérieure au nombre logarithmique ;
c) puisque 3,1 et 0,8 se situent sur des côtés opposés de l'unité ;
G) ; Pourquoi?
d) ; Pourquoi?
Les propriétés suivantes 4 à 6 sont souvent appelées règles de logarithmation : elles permettent, connaissant les logarithmes de certains nombres, de trouver les logarithmes de leur produit, quotient et degré de chacun d'eux.
Propriété 4 (règle du logarithme du produit). Le logarithme du produit de plusieurs nombres positifs à une base donnée est égal à la somme des logarithmes de ces nombres à la même base.
Preuve. Que les nombres donnés soient positifs.
Pour le logarithme de leur produit, on écrit l'égalité (26.1) qui définit le logarithme :
De là, nous trouverons
En comparant les exposants de la première et de la dernière expressions, on obtient l'égalité recherchée :
A noter que la condition est essentielle ; logarithme du produit de deux nombres négatifs a du sens, mais dans ce cas, nous obtenons
De manière générale, si le produit de plusieurs facteurs est positif, alors son logarithme est égal à la somme des logarithmes des valeurs absolues de ces facteurs.
Propriété 5 (règle de prise des logarithmes de quotients). Le logarithme d'un quotient de nombres positifs est égal à la différence entre les logarithmes du dividende et du diviseur, pris sur la même base. Preuve. Nous trouvons systématiquement
Q.E.D.
Propriété 6 (règle du logarithme de puissance). Le logarithme de la puissance de tout nombre positif est égal au logarithme de ce nombre multiplié par l'exposant.
Preuve. Réécrivons l'identité principale (26.1) du nombre :
Q.E.D.
Conséquence. Le logarithme d'une racine d'un nombre positif est égal au logarithme du radical divisé par l'exposant de la racine :
La validité de ce corollaire peut être prouvée en imaginant comment et en utilisant la propriété 6.
Exemple 4. Prendre un logarithme pour baser a :
a) (on suppose que toutes les valeurs b, c, d, e sont positives) ;
b) (on suppose que ).
Solution, a) Il est pratique de passer aux puissances fractionnaires dans cette expression :
A partir des égalités (26.5)-(26.7), on peut maintenant écrire :
On remarque que des opérations plus simples sont effectuées sur les logarithmes des nombres que sur les nombres eux-mêmes : lors de la multiplication des nombres, leurs logarithmes sont ajoutés, lors de la division, ils sont soustraits, etc.
C'est pourquoi les logarithmes sont utilisés dans la pratique informatique (voir paragraphe 29).
L'action inverse du logarithme est appelée potentialisation, à savoir : la potentialisation est l'action par laquelle le nombre lui-même est trouvé à partir d'un logarithme donné d'un nombre. Essentiellement, la potentialisation n'est pas une action particulière : elle revient à élever une base à une puissance (égale au logarithme d'un nombre). Le terme « potentialisation » peut être considéré comme synonyme du terme « exponentiation ».
Lors de la potentialisation, il faut utiliser les règles inverses des règles de logarithmation : remplacer la somme des logarithmes par le logarithme du produit, la différence des logarithmes par le logarithme du quotient, etc. En particulier, s'il y a un facteur devant du signe du logarithme, puis lors de la potentialisation il faut le transférer aux degrés exposants sous le signe du logarithme.
Exemple 5. Trouvez N si l'on sait que
Solution. En relation avec la règle de potentialisation qui vient d'être énoncée, nous transférerons les facteurs 2/3 et 1/3 placés devant les signes des logarithmes du côté droit de cette égalité en exposants sous les signes de ces logarithmes ; on a
Remplaçons maintenant la différence des logarithmes par le logarithme du quotient :
pour obtenir la dernière fraction de cette chaîne d'égalités, nous avons libéré la fraction précédente de l'irrationalité au dénominateur (article 25).
Propriété 7. Si la base est supérieure à un, alors plus grand nombre a un logarithme plus grand (et un nombre plus petit en a un plus petit), si la base est inférieure à un, alors un nombre plus grand a un logarithme plus petit (et un nombre plus petit en a un plus grand).
Cette propriété est également formulée comme une règle pour prendre des logarithmes d'inégalités dont les deux côtés sont positifs :
Lors du logarithme des inégalités à une base supérieure à un, le signe de l'inégalité est conservé, et lors du logarithme à une base inférieure à un, le signe de l'inégalité change à l'opposé (voir également le paragraphe 80).
La preuve est basée sur les propriétés 5 et 3. Considérons le cas où Si , alors et, en prenant des logarithmes, on obtient
(a et N/M se trouvent du même côté de l'unité). D'ici
Dans le cas a suivant, le lecteur le découvrira par lui-même.
L'objectif de cet article est logarithme. Nous donnerons ici la définition du logarithme, montrerons désignation acceptée, nous donnerons des exemples de logarithmes, et parlerons des logarithmes naturels et décimaux. Après cela, regardons l'essentiel identité logarithmique.
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Définition du logarithme
Le concept de logarithme apparaît lors de la résolution d'un problème dans un certain sens inverse, lorsqu'il est nécessaire de trouver un exposant dans valeur connue diplôme et base connue.
Mais assez de préfaces, il est temps de répondre à la question « qu’est-ce qu’un logarithme » ? Donnons la définition correspondante.
Définition.
Logarithme de b en base a, où a>0, a≠1 et b>0 est l'exposant auquel vous devez augmenter le nombre a pour obtenir b en conséquence.
À ce stade, notons que le mot « logarithme » devrait immédiatement soulever deux questions complémentaires : « quel nombre » et « sur quelle base ». En d’autres termes, il n’existe tout simplement pas de logarithme, mais seulement le logarithme d’un nombre par rapport à une base.
Entrons tout de suite notation logarithmique: le logarithme d'un nombre b en base a est généralement noté log a b. Le logarithme d'un nombre b en base e et le logarithme en base 10 ont respectivement leurs propres désignations spéciales lnb et logb, c'est-à-dire qu'ils n'écrivent pas log e b, mais lnb, et non log 10 b, mais lgb.
On peut maintenant donner : .
Et les dossiers 
cela n'a aucun sens, puisque dans le premier d'entre eux il y a un nombre négatif sous le signe du logarithme, dans le second il y a un nombre négatif en base, et dans le troisième il y a un nombre négatif sous le signe du logarithme et une unité dans la base.
Parlons maintenant de règles de lecture des logarithmes. Log a b se lit comme « le logarithme de b en base a ». Par exemple, log 2 3 est le logarithme de trois en base 2 et est le logarithme de deux virgule deux tiers en base 2. Racine carrée sur cinq. Le logarithme en base e s'appelle un algorithme naturel, et la notation lnb se lit "logarithme naturel de b". Par exemple, ln7 est le logarithme népérien de sept, et nous le lirons comme le logarithme népérien de pi. Le logarithme en base 10 a également un nom spécial - logarithme décimal, et lgb se lit comme "logarithme décimal de b". Par exemple, lg1 est le logarithme décimal de un et lg2,75 est le logarithme décimal de deux virgule sept cinq centièmes.
Il convient de s'attarder séparément sur les conditions a>0, a≠1 et b>0, sous lesquelles la définition du logarithme est donnée. Expliquons d'où viennent ces restrictions. Une égalité de la forme appelée , qui découle directement de la définition du logarithme donnée ci-dessus, nous aidera à y parvenir.
Commençons par a≠1. Puisque un à n’importe quelle puissance est égal à un, l’égalité ne peut être vraie que lorsque b=1, mais log 1 1 peut être n’importe quel nombre réel. Pour éviter cette ambiguïté, a≠1 est supposé.
Justifions l’opportunité de la condition a>0. Avec a=0, par définition d'un logarithme, on aurait l'égalité, ce qui n'est possible qu'avec b=0. Mais alors log 0 0 peut être n'importe quel nombre réel non nul, puisque zéro à toute puissance non nulle est zéro. La condition a≠0 permet d’éviter cette ambiguïté. Et quand un<0 нам бы пришлось отказаться от рассмотрения рациональных и иррациональных значений логарифма, так как степень с рациональным и иррациональным показателем определена лишь для неотрицательных оснований. Поэтому и принимается условие a>0 .
Enfin, la condition b>0 découle de l'inégalité a>0, puisque , et la valeur d'une puissance de base positive a est toujours positive.
Pour conclure ce point, disons que la définition énoncée du logarithme permet d'indiquer immédiatement la valeur du logarithme lorsque le nombre sous le signe du logarithme est une certaine puissance de la base. En effet, la définition d'un logarithme permet d'affirmer que si b=a p, alors le logarithme du nombre b en base a est égal à p. Autrement dit, le journal d'égalité a a p = p est vrai. Par exemple, nous savons que 2 3 =8, alors log 2 8=3. Nous en parlerons davantage dans l'article.
Définition du logarithme
Le logarithme de b en base a est l'exposant auquel a doit être élevé pour obtenir b.
Numéro e en mathématiques, il est d'usage de désigner la limite à laquelle une expression s'efforce
Numéro e est nombre irrationnel - un nombre incommensurable avec un, il ne peut être exprimé avec précision ni sous forme d'entier ni de fraction rationnel nombre.
Lettre e- première lettre d'un mot latin exposer- se montrer, d'où le nom en mathématiques exponentiel- fonction exponentielle.
Nombre e largement utilisé en mathématiques et dans toutes les sciences qui, d'une manière ou d'une autre, utilisent les calculs mathématiques pour leurs besoins.
Logarithmes. Propriétés des logarithmes
Définition : Le logarithme d'un nombre positif b à sa base est l'exposant c auquel il faut élever le nombre a pour obtenir le nombre b.
Identité logarithmique de base :
7) Formule de déménagement vers une nouvelle base :
lna = log e a, e ≈ 2,718…
Problèmes et tests sur le thème « Logarithmes. Propriétés des logarithmes"
- Logarithmes - Sujets importants pour la révision de l'examen d'État unifié en mathématiques
Pour réussir les tâches sur ce sujet, vous devez connaître la définition d'un logarithme, les propriétés des logarithmes, l'identité logarithmique de base, les définitions des logarithmes décimaux et naturels. Les principaux types de problèmes sur ce sujet sont des problèmes impliquant le calcul et la transformation d'expressions logarithmiques. Considérons leur solution à l'aide des exemples suivants.
Solution: En utilisant les propriétés des logarithmes, on obtient
Solution: En utilisant les propriétés des degrés, on obtient
1) (2 2) log 2 5 =(2 log 2 5) 2 =5 2 =25
Propriétés des logarithmes, formulations et preuves.
Les logarithmes ont un certain nombre de propriétés caractéristiques. Dans cet article, nous examinerons les principaux propriétés des logarithmes. Ici, nous donnerons leurs formulations, noterons les propriétés des logarithmes sous forme de formules, montrerons des exemples de leur application et fournirons également la preuve des propriétés des logarithmes.
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Propriétés de base des logarithmes, formules
Pour faciliter la mémorisation et l’utilisation, imaginons propriétés de base des logarithmes sous la forme d'une liste de formules. Dans le paragraphe suivant, nous donnerons leurs formulations, leurs preuves, leurs exemples d'utilisation et les explications nécessaires.
et la propriété du logarithme du produit de n nombres positifs : log a (x 1 · x 2 ·…·x n)= log a x 1 +log a x 2 +…+log a x n , a>0 , a≠1 , x 1 >0, x2 >0, …, xn >0 .
, où a>0, a≠1, x>0, y>0.
, où a>0, a≠1, n – entier naturel, supérieur à un, b>0.
, une>0 , une≠1 , b>0 , b≠1 .
, a>0 , a≠1 , b>0 , p et q sont des nombres réels, q≠0 , en particulier pour b=a on a 
.Formulations et preuves de propriétés
Nous procédons à la formulation et à la preuve des propriétés écrites des logarithmes. Toutes les propriétés des logarithmes sont prouvées sur la base de la définition du logarithme et de l'identité logarithmique de base qui en découle, ainsi que des propriétés du degré.
Commençons avec propriétés du logarithme de un. Sa formulation est la suivante : le logarithme de l'unité est égal à zéro, c'est-à-dire enregistrer un 1=0 pour tout a>0, a≠1. La preuve n'est pas difficile : puisque a 0 =1 pour tout a satisfaisant les conditions ci-dessus a>0 et a≠1, alors l'égalité log a 1=0 à prouver découle immédiatement de la définition du logarithme.
Donnons des exemples d'application de la propriété considérée : log 3 1=0, log1=0 et .
Passons à à la propriété suivante: le logarithme d'un nombre égal à la base est égal à un, c'est, log a a = 1 pour une>0, une≠1. En effet, puisque a 1 =a pour tout a, alors par définition du logarithme log a a=1.
Des exemples d'utilisation de cette propriété des logarithmes sont les égalités log 5 5=1, log 5,6 5,6 et lne=1.
Le logarithme d'une puissance d'un nombre égal à la base du logarithme est égal à l'exposant. Cette propriété du logarithme correspond à une formule de la forme log a a p =p, où a>0, a≠1 et p – n’importe quel nombre réel. Cette propriété découle directement de la définition du logarithme. A noter qu'il permet d'indiquer immédiatement la valeur du logarithme, s'il est possible de représenter le nombre sous le signe du logarithme comme une puissance de la base ; nous en reparlerons davantage dans l'article calcul des logarithmes.
Par exemple, log 2 2 7 =7, log10 -4 =-4 et 
.
Logarithme du produit de deux nombres positifs x et y sont égaux au produit des logarithmes de ces nombres : log a (x y)=log a x+log a y, une>0 , une≠1 . Démontrons la propriété du logarithme d'un produit. En raison des propriétés du degré a log a x+log a y =a log a x ·a log a y, et puisque par l'identité logarithmique principale a log a x =x et un log a y =y, alors un log a x ·a log a y =x·y. Ainsi, un log a x+log a y =x·y, d'où, par la définition d'un logarithme, découle l'égalité prouvée.
Montrons des exemples d'utilisation de la propriété du logarithme d'un produit : log 5 (2 3)=log 5 2+log 5 3 et 
.
La propriété du logarithme d'un produit peut être généralisée au produit d'un nombre fini n de nombres positifs x 1 , x 2 , …, x n comme log a (x 1 · x 2 ·…·x n)= log a x 1 +log a x 2 +…+log a x n. Cette égalité peut être prouvée sans problème en utilisant la méthode d’induction mathématique.
Par exemple, le logarithme naturel du produit peut être remplacé par la somme de trois logarithmes naturels des nombres 4, e et.
Logarithme du quotient de deux nombres positifs x et y sont égaux à la différence entre les logarithmes de ces nombres. La propriété du logarithme d'un quotient correspond à une formule de la forme , où a>0, a≠1, x et y sont des nombres positifs. La validité de cette formule est prouvée ainsi que celle du logarithme d'un produit : puisque 
, alors par définition du logarithme .
Voici un exemple d'utilisation de cette propriété du logarithme : 
.
Passons à propriété du logarithme de la puissance. Le logarithme d'un degré est égal au produit de l'exposant et du logarithme du module de la base de ce degré. Écrivons cette propriété du logarithme d'une puissance sous forme de formule : log a b p =p·log a |b|, où a>0, a≠1, b et p sont des nombres tels que le degré b p a du sens et b p >0.
Nous prouvons d’abord cette propriété pour b positif. L'identité logarithmique de base nous permet de représenter le nombre b comme un log a b , alors b p =(a log a b) p , et l'expression résultante, en raison de la propriété de puissance, est égale à a p·log a b . On arrive donc à l'égalité b p =a p·log a b, d'où, par la définition d'un logarithme, on conclut que log a b p =p·log a b.
Il reste à prouver cette propriété pour b négatif. Notons ici que l'expression log a b p pour b négatif n'a de sens que pour les exposants pairs p (puisque la valeur du degré b p doit être supérieure à zéro, sinon le logarithme n'aura pas de sens), et dans ce cas b p =|b| p. Alors bp =|b| p =(a log a |b|) p =a p·log a |b| , d'où log a b p =p·log a |b| .
Par exemple, 
et ln(-3) 4 =4·ln|-3|=4·ln3 .
Il découle de la propriété précédente propriété du logarithme à partir de la racine: le logarithme de la nième racine est égal au produit de la fraction 1/n par le logarithme de l'expression radicale, c'est-à-dire où a>0, a≠1, n est un nombre naturel supérieur à un, b>0 .
La preuve est basée sur l'égalité (voir définition de l'exposant avec un exposant fractionnaire), qui est valable pour tout b positif, et la propriété du logarithme de l'exposant : 
.
Voici un exemple d'utilisation de cette propriété : 
.
Maintenant, prouvons formule pour passer à une nouvelle base de logarithme gentil 
. Pour ce faire, il suffit de prouver la validité de l'égalité log c b=log a b·log c a. L'identité logarithmique de base nous permet de représenter le nombre b comme un log a b , alors log c b=log c a log a b . Il reste à utiliser la propriété du logarithme du degré : log c a log a b =log a b·log c a . Cela prouve l'égalité log c b=log a b·log c a, ce qui signifie que la formule de transition vers une nouvelle base du logarithme est également prouvée .
Montrons quelques exemples d'utilisation de cette propriété des logarithmes : et 
.
La formule de passage à une nouvelle base vous permet de passer au travail avec des logarithmes ayant une base « pratique ». Par exemple, il peut être utilisé pour passer aux logarithmes naturels ou décimaux afin que vous puissiez calculer la valeur d'un logarithme à partir d'un tableau de logarithmes. La formule de passage à une nouvelle base de logarithme permet également, dans certains cas, de retrouver la valeur d'un logarithme donné lorsque les valeurs de certains logarithmes avec d'autres bases sont connues.
Utilisé fréquemment cas particulier formules de transition vers une nouvelle base du logarithme avec c=b de la forme. Cela montre que log a b et log b a sont des nombres mutuellement inverses. Par exemple, 
.
La formule est également souvent utilisée, ce qui est pratique pour trouver les valeurs des logarithmes. Pour confirmer nos propos, nous montrerons comment il peut être utilisé pour calculer la valeur d'un logarithme de la forme . Nous avons 
. Pour prouver la formule, il suffit d'utiliser la formule de passage à une nouvelle base du logarithme a : 
.
Reste à prouver les propriétés de comparaison des logarithmes.
Utilisons la méthode inverse. Supposons que pour a 1 >1, a 2 >1 et a 1 2 et pour 0 1, log a 1 b≤log a 2 b est vrai. Sur la base des propriétés des logarithmes, ces inégalités peuvent être réécrites comme 
Et 
respectivement, et il en résulte que log b a 1 ≤log b a 2 et log b a 1 ≥log b a 2, respectivement. Alors, selon les propriétés des puissances de mêmes bases, les égalités b log b a 1 ≥b log b a 2 et b log b a 1 ≥b log b a 2 doivent être vraies, c'est-à-dire a 1 ≥a 2 . Nous sommes donc arrivés à une contradiction avec la condition a 1 2. Ceci termine la preuve.
Propriétés de base des logarithmes
- Matériel pour la leçon
- Téléchargez toutes les formules
- log a x n = n · log a x ;
Les logarithmes, comme tous les nombres, peuvent être ajoutés, soustraits et transformés de toutes les manières possibles. Mais comme les logarithmes ne sont pas exactement des nombres ordinaires, il existe ici des règles appelées propriétés principales.
Vous devez absolument connaître ces règles - sans elles, aucun problème logarithmique sérieux ne peut être résolu. De plus, il y en a très peu - on peut tout apprendre en une journée. Alors, commençons.
Additionner et soustraire des logarithmes
Considérons deux logarithmes avec les mêmes bases : log a x et log a y. Ensuite, ils peuvent être ajoutés et soustraits, et :
Ainsi, la somme des logarithmes est égale au logarithme du produit et la différence est égale au logarithme du quotient. Attention : le point clé ici est motifs identiques. Si les raisons sont différentes, ces règles ne fonctionnent pas !
Ces formules vous aideront à calculer une expression logarithmique même lorsque ses parties individuelles ne sont pas prises en compte (voir la leçon « Qu'est-ce qu'un logarithme »). Jetez un œil aux exemples et voyez :
Tâche. Trouvez la valeur de l'expression : log 6 4 + log 6 9.
Puisque les logarithmes ont les mêmes bases, nous utilisons la formule de somme :
log 6 4 + log 6 9 = log 6 (4 9) = log 6 36 = 2.
Tâche. Trouvez la valeur de l'expression : log 2 48 − log 2 3.
Les bases sont les mêmes, on utilise la formule de différence :
log 2 48 − log 2 3 = log 2 (48 : 3) = log 2 16 = 4.
Tâche. Trouvez la valeur de l'expression : log 3 135 − log 3 5.
Là encore les bases sont les mêmes, on a donc :
log 3 135 − log 3 5 = log 3 (135 : 5) = log 3 27 = 3.
Comme vous pouvez le constater, les expressions originales sont constituées de « mauvais » logarithmes, qui ne sont pas calculés séparément. Mais après les transformations, ils s'avèrent plutôt nombres normaux. Beaucoup sont construits sur ce fait papiers de test. Oui, des expressions de type test sont proposées très sérieusement (parfois avec pratiquement aucun changement) lors de l'examen d'État unifié.
Extraire l'exposant du logarithme
Maintenant, compliquons un peu la tâche. Et si la base ou l’argument d’un logarithme était une puissance ? Ensuite, l'exposant de ce degré peut être soustrait du signe du logarithme selon les règles suivantes :
Il est facile de voir que la dernière règle suit les deux premières. Mais il vaut quand même mieux s'en souvenir - dans certains cas, cela réduira considérablement le nombre de calculs.
Bien sûr, toutes ces règles ont du sens si l'ODZ du logarithme est observé : a > 0, a ≠ 1, x > 0. Et encore une chose : apprenez à appliquer toutes les formules non seulement de gauche à droite, mais aussi vice versa , c'est à dire. Vous pouvez saisir les nombres avant le signe du logarithme dans le logarithme lui-même. C'est ce qui est le plus souvent demandé.
Tâche. Trouvez la valeur de l'expression : log 7 49 6 .
Débarrassons-nous du degré dans l'argument en utilisant la première formule :
log 7 49 6 = 6 log 7 49 = 6 2 = 12
Tâche. Trouvez le sens de l’expression :
[Légende de la photo]
Notez que le dénominateur contient un logarithme dont la base et l'argument sont des puissances exactes : 16 = 2 4 ; 49 = 7 2. Nous avons:
[Légende de la photo]
Je pense que le dernier exemple nécessite quelques éclaircissements. Où sont passés les logarithmes ? Jusqu'au tout dernier moment, nous travaillons uniquement avec le dénominateur. Nous avons présenté la base et l'argument du logarithme sous forme de puissances et avons retiré les exposants - nous avons obtenu une fraction « à trois étages ».
Examinons maintenant la fraction principale. Le numérateur et le dénominateur contiennent le même nombre : log 2 7. Puisque log 2 7 ≠ 0, on peut réduire la fraction - 2/4 resteront au dénominateur. Selon les règles de l'arithmétique, le quatre peut être transféré au numérateur, ce qui a été fait. Le résultat fut la réponse : 2.
Transition vers une nouvelle fondation
En parlant des règles d'addition et de soustraction de logarithmes, j'ai spécifiquement souligné qu'elles ne fonctionnent qu'avec les mêmes bases. Et si les raisons étaient différentes ? Et s’il ne s’agissait pas de puissances exactes du même nombre ?
Les formules de transition vers une nouvelle fondation viennent à la rescousse. Formulons-les sous la forme d'un théorème :
Soit le logarithme log a x. Alors pour tout nombre c tel que c > 0 et c ≠ 1, l'égalité est vraie :
[Légende de la photo]
En particulier, si on pose c = x, on obtient :
[Légende de la photo]
De la deuxième formule, il s'ensuit que la base et l'argument du logarithme peuvent être intervertis, mais dans ce cas, l'expression entière est « retournée », c'est-à-dire le logarithme apparaît au dénominateur.
Ces formules se retrouvent rarement dans les expressions numériques ordinaires. Il est possible d'évaluer leur commodité uniquement lors de la résolution d'équations logarithmiques et d'inégalités.
Cependant, il existe des problèmes qui ne peuvent être résolus qu’en passant à une nouvelle fondation. Examinons-en quelques-uns :
Tâche. Trouvez la valeur de l'expression : log 5 16 log 2 25.
Notez que les arguments des deux logarithmes contiennent des puissances exactes. Sortons les indicateurs : log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2 ; journal 2 25 = journal 2 5 2 = 2 journal 2 5 ;
Maintenant, « inversons » le deuxième logarithme :
[Légende de la photo]
Étant donné que le produit ne change pas lors de la réorganisation des facteurs, nous avons calmement multiplié quatre par deux, puis nous sommes occupés des logarithmes.
Tâche. Trouvez la valeur de l'expression : log 9 100 lg 3.
La base et l'argument du premier logarithme sont des puissances exactes. Écrivons cela et débarrassons-nous des indicateurs :
[Légende de la photo]
Débarrassons-nous maintenant du logarithme décimal en passant à une nouvelle base :
[Légende de la photo]
Identité logarithmique de base
Souvent, dans le processus de résolution, il est nécessaire de représenter un nombre sous forme de logarithme sur une base donnée. Dans ce cas, les formules suivantes nous aideront :
- n = journal a a n
-
Dans le premier cas, le nombre n devient l’exposant de l’argument. Le nombre n peut être absolument n'importe quoi, car il s'agit simplement d'une valeur logarithmique.
La deuxième formule est en fait une définition paraphrasée. C’est comme ça qu’on l’appelle : l’identité logarithmique de base.
En fait, que se passe-t-il si le nombre b est élevé à une puissance telle que le nombre b à cette puissance donne le nombre a ? C'est vrai : le résultat est le même nombre a. Relisez attentivement ce paragraphe – de nombreuses personnes restent bloquées dessus.
Comme les formules pour passer à une nouvelle base, l’identité logarithmique de base est parfois la seule solution possible.
[Légende de la photo]
Notez que log 25 64 = log 5 8 - nous avons simplement pris le carré de la base et de l'argument du logarithme. En tenant compte des règles de multiplication des puissances de même base, on obtient :
[Légende de la photo]
Si quelqu'un ne le sait pas, c'était une véritable tâche de l'examen d'État unifié :)
Unité logarithmique et zéro logarithmique
En conclusion, je donnerai deux identités qui peuvent difficilement être qualifiées de propriétés - elles sont plutôt des conséquences de la définition du logarithme. Ils apparaissent constamment dans les problèmes et, étonnamment, créent des problèmes même pour les étudiants « avancés ».
- log a a = 1 est une unité logarithmique. Rappelez-vous une fois pour toutes : le logarithme de n’importe quelle base a de cette base elle-même est égal à un.
- log a 1 = 0 est un zéro logarithmique. La base a peut être n'importe quoi, mais si l'argument en contient un, le logarithme est égal à zéro ! Parce que 0 = 1 est une conséquence directe de la définition.
C'est toutes les propriétés. Assurez-vous de vous entraîner à les mettre en pratique ! Téléchargez l'aide-mémoire au début de la leçon, imprimez-la et résolvez les problèmes.
Logarithme. Propriétés du logarithme (addition et soustraction).
Propriétés du logarithme découlent de sa définition. Et donc le logarithme du nombre b basé sur UN est défini comme l'exposant auquel un nombre doit être élevé un pour obtenir le numéro b(le logarithme n'existe que pour les nombres positifs).
De cette formulation il résulte que le calcul x = journal a b, équivaut à résoudre l’équation un x = b. Par exemple, journal 2 8 = 3 parce que 8 = 2 3 . La formulation du logarithme permet de justifier que si b = un c, puis le logarithme du nombre b basé sur unéquivaut à Avec. Il est également clair que le thème des logarithmes est étroitement lié au thème des puissances.
Avec les logarithmes, comme avec tous les nombres, vous pouvez faire opérations d'addition, de soustraction et transformer de toutes les manières possibles. Mais étant donné que les logarithmes ne sont pas des nombres entièrement ordinaires, leurs propres règles spéciales s'appliquent ici, appelées propriétés principales.
Additionner et soustraire des logarithmes.
Prenons deux logarithmes de mêmes bases : enregistrer un x Et Connectez-vous un y. Il est alors possible d'effectuer des opérations d'addition et de soustraction :
Comme nous le voyons, somme de logarithmes est égal au logarithme du produit, et différence logarithmes- logarithme du quotient. De plus, cela est vrai si les chiffres UN, X Et à positif et une ≠ 1.
Il est important de noter que l’aspect principal de ces formules réside dans les mêmes bases. Si les motifs sont différents, ces règles ne s’appliquent pas !
Les règles d'addition et de soustraction de logarithmes avec les mêmes bases se lisent non seulement de gauche à droite, mais aussi vice versa. En conséquence, nous avons les théorèmes du logarithme du produit et du logarithme du quotient.
Logarithme du produit deux nombres positifs sont égaux à la somme de leurs logarithmes ; en reformulant ce théorème, nous obtenons ce qui suit si les nombres UN, X Et à positif et une ≠ 1, Que:
Logarithme du quotient deux nombres positifs est égal à la différence entre les logarithmes du dividende et du diviseur. Pour le dire autrement, si les chiffres UN, X Et à positif et une ≠ 1, Que:
Appliquons les théorèmes ci-dessus pour résoudre exemples:
Si les chiffres X Et à sont négatifs, alors formule du logarithme du produit devient dénué de sens. Ainsi, il est interdit d'écrire :
puisque les expressions log 2 (-8) et log 2 (-4) ne sont pas du tout définies (fonction logarithmique à= journal 2 X défini uniquement pour les valeurs d'argument positives X).
Théorème du produit applicable non seulement pour deux, mais aussi pour un nombre illimité de facteurs. Cela signifie que pour chaque naturel k et tous les nombres positifs X 1 , X 2 , . . . ,xn il y a une identité :
Depuis théorème du quotient du logarithme Une autre propriété du logarithme peut être obtenue. Il est de notoriété publique que le journal un 1= 0, donc
Cela signifie qu'il y a une égalité :
Logarithmes de deux nombres réciproques pour la même raison, ils différeront les uns des autres uniquement par leur signe. Donc:
Logarithme. Propriétés des logarithmes
Logarithme. Propriétés des logarithmes
Pensons à l'égalité. Faites-nous connaître les valeurs de et et nous voulons trouver la valeur de .
Autrement dit, nous recherchons l'exposant par lequel nous devons l'armer pour obtenir .
Laisser
une variable peut prendre n'importe quelle valeur réelle, alors les restrictions suivantes sont imposées aux variables : o" title="a>o"/> , 1″ title=»a1″/>, 0″ title=»b>0″ />Si nous connaissons les valeurs de et et que nous sommes confrontés à la tâche de trouver l'inconnu, alors à cet effet nous introduisons opération mathématique qui est appelée logarithme.
Pour trouver la valeur que nous prenons logarithme d'un nombre Par base :
Le logarithme d'un nombre par rapport à sa base est l'exposant auquel il doit être élevé pour obtenir.
C'est identité logarithmique de base:
o» titre=»a>o»/> , 1″ titre=»a1″/>, 0″ titre=»b>0″/>
est essentiellement une notation mathématique définitions du logarithme.
L'opération mathématique du logarithme est l'inverse de l'opération d'exponentiation, donc propriétés des logarithmes sont étroitement liés aux propriétés du degré.
Listons les principaux propriétés des logarithmes:
(o" title="a>o"/> , 1″ titre=»a1″/>, 0″ titre=»b>0″/>, 0,
d>0″/>, 1″ title=”d1″/>
4.
5.
Le groupe de propriétés suivant permet de représenter l'exposant d'une expression sous le signe du logarithme, ou se trouvant à la base du logarithme sous la forme d'un coefficient devant le signe du logarithme :
6.
7.
8.
9.
Le groupe de formules suivant permet de passer d'un logarithme avec une base donnée à un logarithme avec une base arbitraire, et s'appelle formules de transition vers une nouvelle base:
10.
12. (corollaire de la propriété 11)
Les trois propriétés suivantes ne sont pas bien connues, mais elles sont souvent utilisées lors de la résolution d'équations logarithmiques ou lors de la simplification d'expressions contenant des logarithmes :
13.
14.
15.
Cas spéciaux:
— logarithme décimal
— un algorithme naturelLors de la simplification d'expressions contenant des logarithmes, une approche générale est utilisée :
1. Présentation décimales sous la forme d'ordinaires.
2. Nous représentons les nombres fractionnaires comme des fractions impropres.
3. On décompose les nombres à la base du logarithme et sous le signe du logarithme en facteurs simples.
4. Nous essayons de réduire tous les logarithmes à la même base.
5. Appliquez les propriétés des logarithmes.
Regardons des exemples d'expressions simplificatrices contenant des logarithmes.
Exemple 1.
Calculer:
Simplifions tous les exposants : notre tâche est de les réduire à des logarithmes dont la base est le même nombre que la base de l'exposant.
==(par propriété 7)=(par propriété 6) =
Remplaçons les indicateurs que nous avons entrés dans l'expression originale. On a:
Réponse : 5h25
Exemple 2. Calculer :
Réduisons tous les logarithmes à la base 6 (dans ce cas, les logarithmes du dénominateur de la fraction « migreront » vers le numérateur) :
Décomposons les nombres sous le signe du logarithme en facteurs simples :
Appliquons les propriétés 4 et 6 :
Présentons le remplacement
On a:
Réponse 1
Logarithme . Identité logarithmique de base.
Propriétés des logarithmes. Logarithme décimal. Un algorithme naturel.
Logarithme nombre positif N en base (b > 0, b 1) est l'exposant x auquel b doit être élevé pour obtenir N .
Cette entrée est équivalente à ce qui suit : bx = N .
Exemples : log 3 81 = 4, puisque 3 4 = 81 ;
journal 1/3 27 = – 3, puisque (1/3) - 3 = 3 3 = 27.
La définition ci-dessus du logarithme peut s'écrire sous la forme d'une identité :
Propriétés de base des logarithmes.
2) log 1 = 0, puisque b 0 = 1 .
3) Le logarithme du produit est égal à la somme des logarithmes des facteurs :
4) Le logarithme du quotient est égal à la différence entre les logarithmes du dividende et du diviseur :
5) Le logarithme d'une puissance est égal au produit de l'exposant et du logarithme de sa base :
La conséquence de cette propriété est la suivante : logarithme de la racine égal au logarithme du nombre radical divisé par la puissance de la racine :
6) Si la base du logarithme est un degré, alors la valeur l'inverse de l'exposant peut être extrait sous forme de rime logarithmique :
Les deux dernières propriétés peuvent être combinées en une seule :
7) Formule du module de transition (c'est-à-dire transition d'une base de logarithme à une autre base) :
Dans le cas particulier où N=a nous avons:
Logarithme décimal appelé logarithme de base 10. Il est noté lg, c'est-à-dire journal 10 N= journal N. Logarithmes des nombres 10, 100, 1000, . p valent respectivement 1, 2, 3,…, c'est-à-dire j'ai tellement de positif
unités, combien y a-t-il de zéros dans un nombre logarithmique après un. Logarithmes des nombres 0,1, 0,01, 0,001, . p valent respectivement –1, –2, –3,…, c'est-à-dire avoir autant de uns négatifs qu'il y a de zéros dans le nombre logarithmique précédant un (y compris les entiers nuls). Les logarithmes d'autres nombres ont une partie fractionnaire appelée mantisse. Partie entière le logarithme s'appelle caractéristique. Pour une utilisation pratique, les logarithmes décimaux sont les plus pratiques.
Un algorithme naturel appelé logarithme de base e. Il est noté ln, c'est-à-dire enregistrer e N= journal N. Nombre e est irrationnel, sa valeur approximative est 2,718281828. C'est la limite vers laquelle tend le nombre (1 + 1 / n) n avec augmentation illimitée n(cm. première limite merveilleuse sur la page « Limites de séquence de numéros »).
Aussi étrange que cela puisse paraître, les logarithmes naturels se sont révélés très pratiques pour effectuer divers types d'opérations liées à l'analyse des fonctions. Calculer des logarithmes sur la base e effectué beaucoup plus rapidement que pour toute autre raison.
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Avec cette vidéo, je commence une longue série de leçons sur les équations logarithmiques. Vous avez maintenant devant vous trois exemples, sur la base desquels nous apprendrons à résoudre les problèmes les plus simples, appelés - protozoaires.
log 0,5 (3x − 1) = −3
journal (x + 3) = 3 + 2 journal 5
Permettez-moi de vous rappeler que l'équation logarithmique la plus simple est la suivante :
log une f (x) = b
Dans ce cas, il est important que la variable x soit présente uniquement à l'intérieur de l'argument, c'est-à-dire uniquement dans la fonction f (x). Et les nombres a et b ne sont que des nombres, et en aucun cas des fonctions contenant la variable x.
Méthodes de résolution de base
Il existe de nombreuses façons de résoudre de telles structures. Par exemple, la plupart des enseignants de l'école proposent cette méthode : Exprimer immédiatement la fonction f (x) à l'aide de la formule F ( x) = un B . Autrement dit, lorsque vous rencontrez la construction la plus simple, immédiatement et sans actions supplémentaires et des constructions, vous pouvez passer à la solution.
Oui, bien sûr, la décision sera la bonne. Cependant, le problème de cette formule est que la plupart des étudiants ne comprennent pas, d'où il vient et pourquoi on élève la lettre a à la lettre b.
En conséquence, je constate souvent des erreurs très gênantes lorsque, par exemple, ces lettres sont échangées. Cette formule doit être soit comprise, soit bourrée, et la seconde méthode conduit à des erreurs aux moments les plus inopportuns et les plus cruciaux : lors des examens, des tests, etc.
C'est pourquoi je suggère à tous mes élèves d'abandonner la formule scolaire standard et d'utiliser la deuxième approche pour résoudre des équations logarithmiques, qui, comme vous l'avez probablement deviné d'après son nom, s'appelle Forme canonique.
L'idée de la forme canonique est simple. Regardons à nouveau notre problème : à gauche nous avons log a, et par la lettre a nous entendons un nombre, et en aucun cas une fonction contenant la variable x. Par conséquent, cette lettre est soumise à toutes les restrictions imposées sur la base du logarithme. à savoir:
1 ≠ une > 0
D'autre part, à partir de la même équation, nous voyons que le logarithme doit être égal au nombre b, et aucune restriction n'est imposée à cette lettre, car elle peut prendre n'importe quelle valeur - positive ou négative. Tout dépend des valeurs que prend la fonction f(x).
Et ici, nous nous souvenons de notre merveilleuse règle selon laquelle tout nombre b peut être représenté comme un logarithme à la base a de a à la puissance b :
b = journal a a b
Comment retenir cette formule ? Oui, très simple. Écrivons la construction suivante :
b = b 1 = b journal a a
Bien entendu, dans ce cas, toutes les restrictions que nous avons notées au début surviennent. Utilisons maintenant la propriété de base du logarithme et introduisons le multiplicateur b comme puissance de a. On a:
b = b 1 = b journal a a = journal a a b
En conséquence, l’équation originale sera réécrite comme suit :
log a f (x) = log a a b → f (x) = a b
C'est tout. Nouvelle fonctionnalité ne contient plus de logarithme et peut être résolu à l’aide de techniques algébriques standards.
Bien sûr, quelqu'un objectera maintenant : pourquoi était-il nécessaire de proposer une sorte de formule canonique, pourquoi effectuer deux étapes supplémentaires inutiles s'il était possible de passer immédiatement de la conception originale à la formule finale ? Oui, ne serait-ce que parce que la plupart des étudiants ne comprennent pas d’où vient cette formule et, de ce fait, commettent régulièrement des erreurs en l’appliquant.
Mais cette séquence d'actions, composée de trois étapes, permet de résoudre l'équation logarithmique originale, même si vous ne comprenez pas d'où vient la formule finale. D'ailleurs, cette entrée s'appelle la formule canonique :
log a f (x) = log a a b
La commodité de la forme canonique réside également dans le fait qu'elle peut être utilisée pour résoudre une très large classe d'équations logarithmiques, et pas seulement les plus simples que nous considérons aujourd'hui.
Exemples de solutions
Maintenant, jetons un coup d'oeil exemples réels. Alors décidons :
log 0,5 (3x − 1) = −3
Réécrivons-le comme ceci :
log 0,5 (3x − 1) = log 0,5 0,5 −3
De nombreux étudiants sont pressés et tentent d'élever immédiatement le nombre 0,5 à la puissance qui nous est venue du problème initial. En effet, lorsque vous êtes déjà bien formé à la résolution de tels problèmes, vous pouvez immédiatement effectuer cette étape.
Cependant, si vous commencez tout juste à étudier ce sujet, il est préférable de ne vous précipiter nulle part afin d'éviter de commettre des erreurs offensantes. Nous avons donc la forme canonique. Nous avons:
3x − 1 = 0,5 −3
Il ne s'agit plus d'une équation logarithmique, mais linéaire par rapport à la variable x. Pour le résoudre, regardons d’abord le nombre 0,5 à la puissance −3. Notez que 0,5 est 1/2.
(1/2) −3 = (2/1) 3 = 8
Convertissez toutes les fractions décimales en fractions communes lors de la résolution d'une équation logarithmique.
On réécrit et on obtient :
3x − 1 = 8
3x = 9
x = 3
Ça y est, nous avons la réponse. Le premier problème a été résolu.
Deuxième tâche
Passons à la deuxième tâche :
Comme on le voit, cette équation n’est plus la plus simple. Ne serait-ce que parce qu'il y a une différence à gauche, et pas un seul logarithme par base.
Par conséquent, nous devons d’une manière ou d’une autre éliminer cette différence. DANS dans ce cas tout est très simple. Regardons de plus près les bases : à gauche se trouve le nombre sous la racine :
Recommandation générale : dans toutes les équations logarithmiques, essayez de vous débarrasser des radicaux, c'est-à-dire des entrées avec racines et passez aux fonctions puissance, tout simplement parce que les exposants de ces puissances sont facilement retirés du signe du logarithme et, finalement, de telles une entrée simplifie et accélère considérablement les calculs. Écrivons-le ainsi :
Rappelons maintenant la propriété remarquable du logarithme : les puissances peuvent être dérivées de l'argument, aussi bien que de la base. En cas de motif, il se passe ce qui suit :
log a k b = 1/k loga b
En d’autres termes, le nombre qui était dans la puissance de base est à la fois avancé et inversé, c’est-à-dire qu’il devient un nombre réciproque. Dans notre cas, le diplôme de base était de 1/2. Par conséquent, nous pouvons le retirer à 2/1. On a:
5 2 log 5 x − log 5 x = 18
10 log 5 x − log 5 x = 18
Attention : vous ne devez en aucun cas vous débarrasser des logarithmes à cette étape. N'oubliez pas les mathématiques de 4e à 5e années et l'ordre des opérations : la multiplication est effectuée en premier, et ensuite seulement l'addition et la soustraction. Dans ce cas, on soustrait un des mêmes éléments de 10 éléments :
9 journal 5 x = 18
journal 5 x = 2
Notre équation se présente maintenant comme elle le devrait. C'est la construction la plus simple, et nous la résolvons en utilisant la forme canonique :
journal 5 x = journal 5 5 2
x = 5 2
x = 25
C'est tout. Le deuxième problème a été résolu.
Troisième exemple
Passons à la troisième tâche :
journal (x + 3) = 3 + 2 journal 5
Je vous rappelle la formule suivante :
journal b = journal 10 b
Si, pour une raison quelconque, vous êtes confus par la notation log b , alors lorsque vous effectuez tous les calculs, vous pouvez simplement écrire log 10 b . Vous pouvez travailler avec des logarithmes décimaux de la même manière qu'avec les autres : prendre des puissances, additionner et représenter n'importe quel nombre sous la forme lg 10.
Ce sont ces propriétés que nous allons maintenant utiliser pour résoudre le problème, puisque ce n'est pas le plus simple que nous ayons noté au tout début de notre leçon.
Tout d'abord, notons que le facteur 2 devant lg 5 peut être ajouté et devient une puissance de base 5. De plus, le terme libre 3 peut également être représenté sous forme de logarithme - ceci est très facile à observer à partir de notre notation.
Jugez par vous-même : n'importe quel nombre peut être représenté sous forme de log en base 10 :
3 = journal 10 10 3 = journal 10 3
Réécrivons le problème d'origine en tenant compte des changements obtenus :
log (x − 3) = log 1000 + log 25
log (x − 3) = log 1000 25
journal (x − 3) = journal 25 000
Nous avons à nouveau la forme canonique devant nous, et nous l'avons obtenue sans passer par l'étape de transformation, c'est-à-dire l'équation logarithmique la plus simple n'est apparue nulle part.
C'est exactement ce dont j'ai parlé au tout début de la leçon. La forme canonique vous permet de résoudre une classe de problèmes plus large que la formule scolaire standard proposée par la plupart des enseignants.
Bon, ça y est, on se débarrasse du signe du logarithme décimal, et on obtient une construction linéaire simple :
x + 3 = 25 000
x = 24 997
Tous! Le problème est résolu.
Une note sur la portée
Je voudrais ici faire une remarque importante concernant la portée de la définition. Il y aura sûrement maintenant des étudiants et des enseignants qui diront : « Lorsque nous résolvons des expressions avec des logarithmes, nous devons nous rappeler que l'argument f (x) doit être supérieur à zéro ! À cet égard, une question logique se pose : pourquoi n’avons-nous pas exigé que cette inégalité soit satisfaite dans aucun des problèmes considérés ?
Ne t'inquiète pas. Dans ces cas, aucune racine supplémentaire n’apparaîtra. Et c'est une autre astuce intéressante qui vous permet d'accélérer la solution. Sachez simplement que si dans le problème la variable x n'apparaît qu'à un seul endroit (ou plutôt dans un seul argument d'un seul logarithme), et nulle part ailleurs dans notre cas la variable x n'apparaît, alors notez le domaine de définition pas besoin, car il sera exécuté automatiquement.
Jugez par vous-même : dans la première équation, nous avons obtenu que 3x − 1, c'est-à-dire que l'argument doit être égal à 8. Cela signifie automatiquement que 3x − 1 sera supérieur à zéro.
Avec le même succès, nous pouvons écrire que dans le deuxième cas, x doit être égal à 5 2, c'est-à-dire qu'il est certainement supérieur à zéro. Et dans le troisième cas, où x + 3 = 25 000, c'est-à-dire encore une fois évidemment supérieur à zéro. En d’autres termes, la portée est automatiquement satisfaite, mais seulement si x n’apparaît que dans l’argument d’un seul logarithme.
C'est tout ce que vous devez savoir pour résoudre les problèmes les plus simples. Cette règle à elle seule, ainsi que les règles de transformation, vous permettront de résoudre une très large classe de problèmes.
Mais soyons honnêtes : pour enfin comprendre cette technique, pour apprendre à appliquer la forme canonique de l'équation logarithmique, il ne suffit pas de regarder une seule leçon vidéo. Alors téléchargez les options dès maintenant pour décision indépendante, qui sont joints à cette leçon vidéo et commencent à résoudre au moins un de ces deux travaux indépendants.
Cela vous prendra littéralement quelques minutes. Mais l'effet d'une telle formation sera bien plus important que si vous regardiez simplement cette leçon vidéo.
J'espère que cette leçon vous aidera à comprendre les équations logarithmiques. Utilisez la forme canonique, simplifiez les expressions en utilisant les règles de travail avec les logarithmes - et vous n'aurez peur d'aucun problème. C'est tout ce que j'ai pour aujourd'hui.
Prise en compte du domaine de définition
Parlons maintenant du domaine de définition de la fonction logarithmique et de la manière dont cela affecte la solution des équations logarithmiques. Considérons une construction de la forme
log une f (x) = b
Une telle expression est appelée la plus simple - elle ne contient qu'une seule fonction, et les nombres a et b ne sont que des nombres, et en aucun cas une fonction qui dépend de la variable x. Cela peut être résolu très simplement. Il vous suffit d'utiliser la formule :
b = journal a a b
Cette formule est l'une des propriétés clés du logarithme, et en la remplaçant par notre expression originale, nous obtenons ce qui suit :
log a f (x) = log a a b
f (x) = un b
Il s’agit d’une formule familière des manuels scolaires. De nombreux étudiants se poseront probablement une question : puisque dans l'expression originale la fonction f (x) est sous le signe log, les restrictions suivantes lui sont imposées :
f(x) > 0
Cette limitation s'applique car le logarithme des nombres négatifs n'existe pas. Alors, peut-être qu’en raison de cette limitation, un contrôle des réponses devrait être introduit ? Peut-être faut-il les insérer dans la source ?
Non, dans les équations logarithmiques les plus simples, une vérification supplémentaire n'est pas nécessaire. Et c'est pourquoi. Jetez un œil à notre formule finale:
f (x) = un b
Le fait est que le nombre a est de toute façon supérieur à 0 - cette exigence est également imposée par le logarithme. Le nombre a est la base. Dans ce cas, aucune restriction n'est imposée sur le nombre b. Mais cela n’a pas d’importance, car quelle que soit la puissance à laquelle nous élevons un nombre positif, nous obtiendrons toujours un nombre positif en sortie. Ainsi, l'exigence f (x) > 0 est automatiquement satisfaite.
Ce qui vaut vraiment la peine d'être vérifié, c'est le domaine de la fonction sous le signe du journal. Il peut y avoir des structures assez complexes et vous devez absolument les surveiller pendant le processus de résolution. Jetons un coup d'oeil.
Première tâche :
Première étape : convertir la fraction de droite. On a:
On se débarrasse du signe du logarithme et on obtient l'équation irrationnelle habituelle :
Parmi les racines obtenues, seule la première nous convient, puisque la seconde racine moins que zéro. La seule réponse sera le chiffre 9. Ça y est, le problème est résolu. Aucun contrôles supplémentaires le fait que l'expression sous le signe du logarithme soit supérieure à 0 n'est pas requis, car elle n'est pas seulement supérieure à 0, mais selon la condition de l'équation elle est égale à 2. Par conséquent, l'exigence « supérieur à zéro » est satisfait automatiquement.
Passons à la deuxième tâche :
Tout est pareil ici. On réécrit la construction en remplaçant le triple :
On se débarrasse des signes du logarithme et on obtient une équation irrationnelle :
Nous mettons au carré les deux côtés en tenant compte des restrictions et obtenons :
4 − 6x − x 2 = (x − 4) 2
4 − 6x − x2 = x2 + 8x + 16
x 2 + 8x + 16 −4 + 6x + x 2 = 0
2x2 + 14x + 12 = 0 |:2
x2 + 7x + 6 = 0
On résout l'équation résultante par le discriminant :
ré = 49 − 24 = 25
x 1 = −1
x2 = −6
Mais x = −6 ne nous convient pas, car si l'on substitue ce nombre dans notre inégalité, on obtient :
−6 + 4 = −2 < 0
Dans notre cas, il faut qu'il y ait plus de 0 ou en dernier recourséquivaut à. Mais x = −1 nous convient :
−1 + 4 = 3 > 0
La seule réponse dans notre cas sera x = −1. C'est la solution. Revenons au tout début de nos calculs.
Le principal point à retenir de cette leçon est que vous n'avez pas besoin de vérifier les contraintes sur une fonction dans des équations logarithmiques simples. Parce que pendant le processus de résolution, toutes les contraintes sont automatiquement satisfaites.
Cependant, cela ne signifie en aucun cas que vous pouvez oublier complètement la vérification. En travaillant sur une équation logarithmique, celle-ci pourrait très bien devenir irrationnelle, qui aura ses propres restrictions et exigences pour le côté droit, comme nous l'avons vu aujourd'hui dans deux exemples différents.
N'hésitez pas à résoudre de tels problèmes et soyez particulièrement prudent s'il y a une racine dans le différend.
Équations logarithmiques avec différentes bases
Nous continuons à étudier les équations logarithmiques et examinons deux autres techniques très intéressantes avec lesquelles il est à la mode de résoudre des constructions plus complexes. Mais rappelons d’abord comment les problèmes les plus simples sont résolus :
log une f (x) = b
Dans cette entrée, a et b sont des nombres, et dans la fonction f (x) la variable x doit être présente, et seulement là, c'est-à-dire que x ne doit être que dans l'argument. Nous transformerons ces équations logarithmiques en utilisant la forme canonique. Pour ce faire, notez que
b = journal a a b
De plus, a b est précisément un argument. Réécrivons cette expression comme suit :
log a f (x) = log a a b
C’est exactement ce que nous essayons de réaliser, afin qu’il y ait un logarithme pour baser a à la fois à gauche et à droite. Dans ce cas, on peut, au sens figuré, rayer les signes du journal, et d'un point de vue mathématique on peut dire que l'on égalise simplement les arguments :
f (x) = un b
En conséquence, nous obtiendrons une nouvelle expression qui sera beaucoup plus facile à résoudre. Appliquons cette règle à nos problèmes d'aujourd'hui.
Donc, la première conception :
Tout d’abord, je remarque qu’à droite se trouve une fraction dont le dénominateur est log. Lorsque vous voyez une expression comme celle-ci, c’est une bonne idée de vous rappeler une merveilleuse propriété des logarithmes :
Traduit en russe, cela signifie que tout logarithme peut être représenté comme le quotient de deux logarithmes de n'importe quelle base c. Bien sûr 0< с ≠ 1.
Donc : cette formule a un merveilleux cas particulier, lorsque la variable c est égale à la variable b. Dans ce cas on obtient une construction comme :
C’est exactement la construction que nous voyons grâce au signe de droite dans notre équation. Remplaçons cette construction par log a b , nous obtenons :
En d’autres termes, par rapport à la tâche initiale, nous avons interverti l’argument et la base du logarithme. Au lieu de cela, nous avons dû inverser la fraction.
Rappelons que tout diplôme peut être dérivé de la base selon la règle suivante :
Autrement dit, le coefficient k, qui est la puissance de la base, est exprimé sous forme de fraction inversée. Rendons-le sous forme de fraction inversée :
Le facteur fractionnaire ne peut pas être laissé devant, car dans ce cas nous ne pourrons pas représenter cette notation comme une forme canonique (après tout, sous la forme canonique il n'y a pas de facteur supplémentaire avant le deuxième logarithme). Par conséquent, ajoutons la fraction 1/4 à l'argument sous forme de puissance :
Maintenant, nous assimilons les arguments dont les bases sont les mêmes (et nos bases sont réellement les mêmes), et écrivons :
x + 5 = 1
x = −4
C'est tout. Nous avons obtenu la réponse à la première équation logarithmique. Attention : dans le problème d'origine, la variable x n'apparaît que dans un seul journal, et elle apparaît dans son argument. Par conséquent, il n’est pas nécessaire de vérifier le domaine, et notre nombre x = −4 est bien la réponse.
Passons maintenant à la deuxième expression :
log 56 = log 2 log 2 7 − 3log (x + 4)
Ici, en plus des logarithmes habituels, nous devrons travailler avec log f (x). Comment résoudre une telle équation ? Pour un étudiant non préparé, cela peut sembler une tâche difficile, mais en fait, tout peut être résolu de manière élémentaire.
Examinez attentivement le terme lg 2 log 2 7. Que pouvons-nous en dire ? Les bases et arguments de log et lg sont les mêmes, et cela devrait donner quelques idées. Rappelons encore une fois comment les puissances sont extraites sous le signe du logarithme :
log a b n = nlog a b
En d’autres termes, ce qui était une puissance de b dans l’argumentation devient un facteur devant log lui-même. Appliquons cette formule à l'expression lg 2 log 2 7. N'ayez pas peur de lg 2 - c'est l'expression la plus courante. Vous pouvez le réécrire comme suit :
Toutes les règles qui s'appliquent à tout autre logarithme lui sont valables. En particulier, le facteur précédent peut être ajouté au degré de l'argumentation. Écrivons-le :
Très souvent, les étudiants ne voient pas directement cette action, car il n'est pas bon d'inscrire un journal sous le signe d'un autre. En fait, cela n’a rien de criminel. De plus, nous obtenons une formule facile à calculer si l'on se souvient d'une règle importante :
Cette formule peut être considérée à la fois comme une définition et comme l'une de ses propriétés. Dans tous les cas, si vous convertissez une équation logarithmique, vous devez connaître cette formule tout comme vous connaîtriez la représentation logarithmique de n'importe quel nombre.
Revenons à notre tâche. On le réécrit en tenant compte du fait que le premier terme à droite du signe égal sera simplement égal à lg 7. On a :
lg 56 = lg 7 − 3lg (x + 4)
Déplaçons LG 7 vers la gauche, nous obtenons :
lg 56 − lg 7 = −3lg (x + 4)
On soustrait les expressions de gauche car elles ont la même base :
lg (56/7) = −3lg (x + 4)
Examinons maintenant de plus près l'équation que nous avons obtenue. C'est pratiquement la forme canonique, mais il y a un facteur −3 à droite. Ajoutons-le à l'argument lg de droite :
journal 8 = journal (x + 4) −3
Devant nous se trouve la forme canonique de l'équation logarithmique, nous biffons donc les signes lg et assimilons les arguments :
(x + 4) −3 = 8
x + 4 = 0,5
C'est tout! Nous avons résolu la deuxième équation logarithmique. Dans ce cas, aucune vérification supplémentaire n’est requise, car dans le problème initial, x n’était présent que dans un seul argument.
Permettez-moi d'énumérer à nouveau les points clés de cette leçon.
La formule principale enseignée dans toutes les leçons de cette page dédiées à la résolution d'équations logarithmiques est la forme canonique. Et ne soyez pas effrayé par le fait que la plupart des manuels scolaires vous apprennent à résoudre ces problèmes différemment. Cet outil fonctionne très efficacement et vous permet de résoudre une classe de problèmes beaucoup plus large que les plus simples que nous avons étudiés au tout début de notre leçon.
De plus, pour résoudre des équations logarithmiques, il sera utile d’en connaître les propriétés de base. À savoir:
- La formule pour passer à une base et le cas particulier où l'on inverse le log (cela nous a été très utile dans le premier problème) ;
- Formule pour ajouter et soustraire des puissances au signe du logarithme. Ici, de nombreux étudiants restent bloqués et ne voient pas que le diplôme retiré et introduit peut lui-même contenir log f (x). Aucun problème avec cela. On peut introduire un log selon le signe de l'autre et en même temps simplifier considérablement la solution du problème, ce que l'on observe dans le second cas.
En conclusion, je voudrais ajouter qu'il n'est pas nécessaire de vérifier le domaine de définition dans chacun de ces cas, car partout la variable x est présente dans un seul signe de log, et en même temps dans son argument. En conséquence, toutes les exigences du champ d’application sont automatiquement remplies.
Problèmes avec la base variable
Aujourd'hui, nous examinerons les équations logarithmiques qui, pour de nombreux étudiants, semblent non standard, voire totalement insolubles. Nous parlons d'expressions basées non pas sur des nombres, mais sur des variables et même des fonctions. Nous résoudrons de telles constructions en utilisant notre technique standard, à savoir via la forme canonique.
Tout d'abord, rappelons comment les problèmes les plus simples sont résolus, sur la base de nombres ordinaires. La construction la plus simple s’appelle donc
log une f (x) = b
Pour résoudre de tels problèmes, nous pouvons utiliser la formule suivante :
b = journal a a b
Nous réécrivons notre expression originale et obtenons :
log a f (x) = log a a b
Ensuite, nous égalisons les arguments, c'est-à-dire que nous écrivons :
f (x) = un b
Ainsi, nous nous débarrassons du panneau de journal et résolvons le problème habituel. Dans ce cas, les racines obtenues à partir de la solution seront les racines de l’équation logarithmique originale. De plus, un enregistrement où la gauche et la droite sont dans le même logarithme avec la même base est précisément appelé forme canonique. C'est à un tel record que nous tenterons de réduire les conceptions d'aujourd'hui. Alors allons-y.
Première tâche :
log x − 2 (2x 2 − 13x + 18) = 1
Remplacez 1 par log x − 2 (x − 2) 1 . Le degré que nous observons dans l’argumentation est en fait le nombre b qui se trouve à droite du signe égal. Réécrivons donc notre expression. On a:
log x − 2 (2x 2 − 13x + 18) = log x − 2 (x − 2)
Que voit-on ? Nous avons devant nous la forme canonique de l'équation logarithmique, nous pouvons donc assimiler les arguments en toute sécurité. On a:
2x 2 − 13x + 18 = x − 2
Mais la solution ne s’arrête pas là, car cette équation n’est pas équivalente à l’équation originale. Après tout, la construction résultante est constituée de fonctions définies sur toute la droite numérique, et nos logarithmes originaux ne sont pas définis partout ni toujours.
Par conséquent, nous devons écrire le domaine de définition séparément. Ne coupons pas les cheveux en quatre et notons d'abord toutes les exigences :
Premièrement, l'argument de chacun des logarithmes doit être supérieur à 0 :
2x 2 − 13x + 18 > 0
x − 2 > 0
Deuxièmement, la base doit non seulement être supérieure à 0, mais également différente de 1 :
X − 2 ≠ 1
En conséquence, nous obtenons le système :
Mais ne vous inquiétez pas : lors du traitement d’équations logarithmiques, un tel système peut être considérablement simplifié.
Jugez par vous-même : d'une part, on exige que la fonction quadratique soit supérieure à zéro, et d'autre part, cette fonction quadratique est assimilée à une certaine expression linéaire, qui doit également être supérieure à zéro.
Dans ce cas, si nous exigeons que x − 2 > 0, alors l’exigence 2x 2 − 13x + 18 > 0 sera automatiquement satisfaite. Par conséquent, nous pouvons rayer en toute sécurité l’inégalité contenant fonction quadratique. Ainsi, le nombre d'expressions contenues dans notre système sera réduit à trois.
Bien sûr, avec le même succès, nous pourrions rayer l’inégalité linéaire, c’est-à-dire rayer x − 2 > 0 et exiger que 2x 2 − 13x + 18 > 0. Mais vous conviendrez que résoudre l’inégalité linéaire la plus simple est beaucoup plus rapide et plus simple que quadratique, même à condition qu'en résolvant tout ce système, nous obtenions les mêmes racines.
En général, essayez d’optimiser les calculs autant que possible. Et dans le cas des équations logarithmiques, rayez les inégalités les plus difficiles.
Réécrivons notre système :
Voici un système de trois expressions, dont deux d'ailleurs nous avons déjà traité. Écrivons-le séparément équation quadratique et résolvons-le :
2x 2 − 14x + 20 = 0
x2 − 7x + 10 = 0
Nous avons devant nous un trinôme quadratique réduit et, par conséquent, nous pouvons utiliser les formules de Vieta. On a:
(x − 5)(x − 2) = 0
x1 = 5
x2 = 2
Revenons maintenant à notre système et constatons que x = 2 ne nous convient pas, car on nous impose que x soit strictement supérieur à 2.
Mais x = 5 nous convient parfaitement : le nombre 5 est supérieur à 2, et en même temps 5 n'est pas égal à 3. Par conséquent, la seule solution à ce système sera x = 5.
Ça y est, le problème est résolu, y compris en tenant compte de l'ODZ. Passons à la deuxième équation. Des calculs plus intéressants et informatifs nous attendent ici :
Première étape : comme la dernière fois, nous mettons toute cette affaire sous forme canonique. Pour ce faire, on peut écrire le nombre 9 ainsi :
Il n’est pas nécessaire de toucher la base avec la racine, mais il vaut mieux transformer l’argument. Passons de la racine à la puissance avec un exposant rationnel. Écrivons :
Permettez-moi de ne pas réécrire toute notre grande équation logarithmique, mais simplement d'assimiler immédiatement les arguments :
x 3 + 10x 2 + 31x + 30 = x 3 + 9x 2 + 27x + 27
x2 + 4x + 3 = 0
Nous avons devant nous un trinôme quadratique nouvellement réduit, utilisons les formules de Vieta et écrivons :
(x + 3)(x + 1) = 0
x 1 = −3
x2 = −1
Nous avons donc obtenu les racines, mais personne ne nous a garanti qu'elles correspondraient à l'équation logarithmique originale. Après tout, les panneaux de journal imposent des restrictions supplémentaires (ici, nous aurions dû écrire le système, mais en raison de la lourdeur de l'ensemble de la structure, j'ai décidé de calculer le domaine de définition séparément).
Tout d'abord, rappelez-vous que les arguments doivent être supérieurs à 0, à savoir :
Ce sont les exigences imposées par le champ d’application de la définition.
Notons immédiatement que puisque l'on assimile les deux premières expressions du système, on peut rayer n'importe laquelle d'entre elles. Rayons le premier car il semble plus menaçant que le second.
De plus, notons que la solution des deuxième et troisième inégalités sera les mêmes ensembles (le cube d'un certain nombre est supérieur à zéro, si ce nombre lui-même est supérieur à zéro ; de même, avec une racine du troisième degré - ces inégalités sont tout à fait analogues, nous pouvons donc le rayer).
Mais avec la troisième inégalité, cela ne fonctionnera pas. Débarrassons-nous du signe radical de gauche en élevant les deux parties en cube. On a:
Nous obtenons donc les exigences suivantes :
−2 ≠x > −3
Laquelle de nos racines : x 1 = −3 ou x 2 = −1 répond à ces exigences ? Évidemment, seul x = −1, car x = −3 ne satisfait pas la première inégalité (puisque notre inégalité est stricte). Donc, en revenant à notre problème, nous obtenons une racine : x = −1. Voilà, problème résolu.
Encore une fois, les points clés de cette tâche :
- N'hésitez pas à appliquer et à résoudre des équations logarithmiques en utilisant la forme canonique. Les étudiants qui font une telle notation, plutôt que de passer directement du problème initial à une construction comme log a f (x) = b, commettent beaucoup moins d'erreurs que ceux qui se précipitent quelque part, sautant les étapes intermédiaires des calculs ;
- Dès qu'une base variable apparaît dans un logarithme, le problème cesse d'être le plus simple. Par conséquent, lors de sa résolution, il est nécessaire de prendre en compte le domaine de définition : les arguments doivent être supérieurs à zéro, et les bases doivent non seulement être supérieures à 0, mais elles ne doivent pas non plus être égales à 1.
Les exigences finales peuvent être appliquées aux réponses finales de différentes manières. Par exemple, vous pouvez résoudre un système entier contenant toutes les exigences du domaine de définition. D'un autre côté, vous pouvez d'abord résoudre le problème lui-même, puis mémoriser le domaine de définition, le travailler séparément sous la forme d'un système et l'appliquer aux racines obtenues.
La méthode à choisir pour résoudre une équation logarithmique particulière dépend de vous. Dans tous les cas, la réponse sera la même.
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