द्विघात समीकरण - हल करना आसान! *इसके बाद इसे "केयू" कहा जाएगा।दोस्तों, ऐसा प्रतीत होता है कि गणित में ऐसे समीकरण को हल करने से ज्यादा आसान कुछ नहीं हो सकता। लेकिन किसी चीज़ ने मुझे बताया कि कई लोगों को उससे समस्या है। मैंने यह देखने का निर्णय लिया कि यांडेक्स प्रति माह कितने ऑन-डिमांड इंप्रेशन देता है। यहाँ क्या हुआ, देखिये:

इसका मतलब क्या है? इसका मतलब है कि प्रति माह लगभग 70,000 लोग इसे खोज रहे हैं यह जानकारी, इसका गर्मियों से क्या लेना-देना है, और स्कूल वर्ष के दौरान क्या होगा - दोगुने अनुरोध होंगे। यह आश्चर्य की बात नहीं है, क्योंकि वे लड़के और लड़कियां जो बहुत पहले स्कूल से स्नातक हो चुके हैं और एकीकृत राज्य परीक्षा की तैयारी कर रहे हैं, वे इस जानकारी की तलाश में हैं, और स्कूली बच्चे भी अपनी याददाश्त को ताज़ा करने का प्रयास करते हैं।

इस तथ्य के बावजूद कि बहुत सारी साइटें हैं जो आपको बताती हैं कि इस समीकरण को कैसे हल किया जाए, मैंने भी योगदान देने और सामग्री प्रकाशित करने का निर्णय लिया। सबसे पहले, मैं चाहता हूं कि आगंतुक इस अनुरोध के आधार पर मेरी साइट पर आएं; दूसरे, अन्य लेखों में, जब "केयू" का विषय आएगा, तो मैं इस लेख का एक लिंक प्रदान करूंगा; तीसरा, मैं आपको उसके समाधान के बारे में अन्य साइटों की तुलना में थोड़ा और बताऊंगा। आएँ शुरू करें!लेख की सामग्री:

द्विघात समीकरण इस प्रकार का एक समीकरण है:

जहां गुणांक ए,बीऔर c मनमाना संख्याएँ हैं, a≠0 के साथ।

स्कूली पाठ्यक्रम में सामग्री दी जाती है निम्नलिखित प्रपत्र- समीकरणों को तीन वर्गों में बांटा गया है:

1. इनकी दो जड़ें होती हैं।

2. *केवल एक ही जड़ हो.

3. उनकी कोई जड़ नहीं है. यहां यह विशेष रूप से ध्यान देने योग्य है कि उनकी वास्तविक जड़ें नहीं हैं

जड़ों की गणना कैसे की जाती है? अभी!

हम विवेचक की गणना करते हैं। इस "भयानक" शब्द के नीचे एक बहुत ही सरल सूत्र निहित है:

मूल सूत्र इस प्रकार हैं:

*आपको इन सूत्रों को याद रखना होगा।

आप तुरंत लिख सकते हैं और हल कर सकते हैं:

उदाहरण:

1. यदि D > 0, तो समीकरण के दो मूल हैं।

2. यदि D = 0 है, तो समीकरण का एक मूल है।

3. यदि डी< 0, то уравнение не имеет действительных корней.

आइए समीकरण देखें:

इस संबंध में, जब विवेचक शून्य के बराबर होता है, तो स्कूल पाठ्यक्रम कहता है कि एक जड़ प्राप्त होती है, यहाँ यह नौ के बराबर है। सब कुछ सही है, ऐसा है, लेकिन...

यह विचार कुछ हद तक गलत है. वस्तुतः दो जड़ें हैं। हाँ, हाँ, आश्चर्यचकित न हों, आपको दो समान मूल मिलते हैं, और गणितीय रूप से सटीक होने के लिए, उत्तर में दो मूल लिखे जाने चाहिए:

एक्स 1 = 3 एक्स 2 = 3

लेकिन ऐसा है - एक छोटा सा विषयांतर। स्कूल में आप इसे लिख सकते हैं और कह सकते हैं कि जड़ एक है।

अब अगला उदाहरण:

जैसा कि हम जानते हैं, किसी ऋणात्मक संख्या का मूल नहीं निकाला जा सकता, इसलिए समाधान इसमें होता है इस मामले मेंनहीं।

यही पूरी निर्णय प्रक्रिया है.

द्विघात फंक्शन।

इससे पता चलता है कि समाधान ज्यामितीय रूप से कैसा दिखता है। इसे समझना बेहद ज़रूरी है (भविष्य में, लेखों में से एक में हम द्विघात असमानता के समाधान का विस्तार से विश्लेषण करेंगे)।

यह प्रपत्र का एक कार्य है:

जहाँ x और y चर हैं

ए, बी, सी - दी गई संख्याएं, ≠ 0 के साथ

ग्राफ़ एक परवलय है:

अर्थात्, यह पता चलता है कि शून्य के बराबर "y" वाले द्विघात समीकरण को हल करके, हम x अक्ष के साथ परवलय के प्रतिच्छेदन बिंदु पाते हैं। इनमें से दो बिंदु हो सकते हैं (विवेचक सकारात्मक है), एक (विवेचक शून्य है) और कोई नहीं (विवेचक नकारात्मक है)। के बारे में विवरण द्विघात फंक्शन आप देख सकते हैंइन्ना फेल्डमैन का लेख।

आइए उदाहरण देखें:

उदाहरण 1: हल करें 2x 2 +8 एक्स–192=0

a=2 b=8 c= –192

डी=बी 2 -4ac = 8 2 -4∙2∙(-192) = 64+1536 = 1600

उत्तर: x 1 = 8 x 2 = -12

*समीकरण के बाएँ और दाएँ पक्षों को तुरंत 2 से विभाजित करना, यानी इसे सरल बनाना संभव था। गणनाएं आसान हो जाएंगी.

उदाहरण 2: तय करना एक्स 2–22 x+121 = 0

a=1 b=–22 c=121

डी = बी 2 -4एसी =(-22) 2 -4∙1∙121 = 484-484 = 0

हमने पाया कि x 1 = 11 और x 2 = 11

उत्तर में x=11 लिखना अनुमत है।

उत्तर: x = 11

उदाहरण 3: तय करना x 2 –8x+72 = 0

a=1 b= –8 c=72

डी = बी 2 –4ac =(–8) 2 –4∙1∙72 = 64–288 = –224

विवेचक नकारात्मक है, वास्तविक संख्याओं में कोई समाधान नहीं है।

उत्तर: कोई समाधान नहीं

विभेदक नकारात्मक है. एक समाधान है!

यहां हम उस स्थिति में समीकरण को हल करने के बारे में बात करेंगे जब एक नकारात्मक विवेचक प्राप्त होता है। क्या आप सम्मिश्र संख्याओं के बारे में कुछ जानते हैं? मैं यहां इस बारे में विस्तार से नहीं बताऊंगा कि वे क्यों और कहां उत्पन्न हुए और गणित में उनकी विशिष्ट भूमिका और आवश्यकता क्या है; यह एक बड़े अलग लेख का विषय है।

सम्मिश्र संख्या की अवधारणा.

थोड़ा सिद्धांत.

एक सम्मिश्र संख्या z रूप की एक संख्या है

z = ए + द्वि

जहाँ a और b वास्तविक संख्याएँ हैं, i तथाकथित काल्पनिक इकाई है।

ए+बी - यह एक एकल संख्या है, जोड़ नहीं।

काल्पनिक इकाई शून्य से एक के मूल के बराबर है:

अब समीकरण पर विचार करें:

हमें दो संयुग्मी जड़ें प्राप्त होती हैं।

अपूर्ण द्विघात समीकरण.

आइए विशेष मामलों पर विचार करें, यह तब होता है जब गुणांक "बी" या "सी" शून्य के बराबर होता है (या दोनों शून्य के बराबर होते हैं)। इन्हें बिना किसी भेदभाव के आसानी से हल किया जा सकता है।

केस 1. गुणांक बी = 0.

समीकरण बन जाता है:

आइए परिवर्तन करें:

उदाहरण:

4x 2 –16 = 0 => 4x 2 =16 => x 2 = 4 => x 1 = 2 x 2 = –2

केस 2. गुणांक सी = 0.

समीकरण बन जाता है:

आइए रूपांतरित करें और गुणनखंड करें:

*जब कम से कम एक कारक शून्य के बराबर हो तो उत्पाद शून्य के बराबर होता है।

उदाहरण:

9x 2 –45x = 0 => 9x (x–5) =0 => x = 0 या x–5 =0

एक्स 1 = 0 एक्स 2 = 5

केस 3. गुणांक b = 0 और c = 0.

यहाँ यह स्पष्ट है कि समीकरण का हल सदैव x = 0 होगा।

गुणांकों के उपयोगी गुण और पैटर्न।

ऐसे गुण हैं जो आपको बड़े गुणांक वाले समीकरणों को हल करने की अनुमति देते हैं।

एएक्स 2 + बीएक्स+ सी=0 समानता रखती है

ए + बी+ सी = 0,वह

- यदि समीकरण के गुणांकों के लिए एएक्स 2 + बीएक्स+ सी=0 समानता रखती है

ए+ सी =बी, वह

ये गुण निर्णय लेने में मदद करते हैं एक निश्चित प्रकारसमीकरण

उदाहरण 1: 5001 एक्स 2 –4995 एक्स – 6=0

बाधाओं का योग 5001+ है( – 4995)+(– 6) = 0, जिसका अर्थ है

उदाहरण 2: 2501 एक्स 2 +2507 एक्स+6=0

समानता रखती है ए+ सी =बी, मतलब

गुणांकों की नियमितताएँ।

1. यदि समीकरण ax 2 + bx + c = 0 में गुणांक "b" (a 2 +1) के बराबर है, और गुणांक "c" संख्यात्मक रूप से गुणांक "a" के बराबर है, तो इसकी जड़ें बराबर हैं

ax 2 + (a 2 +1)∙x+ a= 0 = > x 1 = –a x 2 = –1/a.

उदाहरण। समीकरण 6x 2 + 37x + 6 = 0 पर विचार करें।

x 1 = -6 x 2 = -1/6.

2. यदि समीकरण ax 2 - bx + c = 0 में गुणांक "b" (a 2 +1) के बराबर है, और गुणांक "c" संख्यात्मक रूप से गुणांक "a" के बराबर है, तो इसकी जड़ें बराबर हैं

ax 2 – (a 2 +1)∙x+ a= 0 = > x 1 = a x 2 = 1/a.

उदाहरण। समीकरण 15x 2 –226x +15 = 0 पर विचार करें।

x 1 = 15 x 2 = 1/15.

3. यदि समीकरण में।कुल्हाड़ी 2 + बीएक्स - सी = 0 गुणांक "बी" (ए 2) के बराबर है - 1), और गुणांक "सी" संख्यात्मक रूप से गुणांक "ए" के बराबर है, तो उसकी जड़ें बराबर होती हैं

ax 2 + (a 2 –1)∙x – a= 0 = > x 1 = – a x 2 = 1/a.

उदाहरण। समीकरण 17x 2 +288x – 17 = 0 पर विचार करें।

x 1 = – 17 x 2 = 1/17.

4. यदि समीकरण ax 2 - bx - c = 0 में गुणांक "b" (a 2 - 1) के बराबर है, और गुणांक c संख्यात्मक रूप से गुणांक "a" के बराबर है, तो इसकी जड़ें बराबर हैं

ax 2 – (a 2 –1)∙x – a= 0 = > x 1 = a x 2 = – 1/a.

उदाहरण। समीकरण 10x 2 - 99x -10 = 0 पर विचार करें।

x 1 = 10 x 2 = – 1/10

विएटा का प्रमेय.

विएटा प्रमेय का नाम प्रसिद्ध फ्रांसीसी गणितज्ञ फ्रेंकोइस विएटा के नाम पर रखा गया है। विएटा के प्रमेय का उपयोग करके, हम एक मनमाना केयू की जड़ों के योग और उत्पाद को उसके गुणांक के संदर्भ में व्यक्त कर सकते हैं।

45 = 1∙45 45 = 3∙15 45 = 5∙9.

कुल मिलाकर, संख्या 14 केवल 5 और 9 देती है। ये मूल हैं। एक निश्चित कौशल के साथ, प्रस्तुत प्रमेय का उपयोग करके, आप कई द्विघात समीकरणों को मौखिक रूप से तुरंत हल कर सकते हैं।

इसके अलावा, विएटा का प्रमेय। यह सुविधाजनक है क्योंकि द्विघात समीकरण को सामान्य तरीके से (विवेचक के माध्यम से) हल करने के बाद, परिणामी जड़ों की जाँच की जा सकती है। मैं हमेशा ऐसा करने की सलाह देता हूं.

परिवहन विधि

इस पद्धति के साथ, गुणांक "ए" को मुक्त पद से गुणा किया जाता है, जैसे कि इसे "फेंक" दिया जाता है, यही कारण है कि इसे कहा जाता है "स्थानांतरण" विधि.इस पद्धति का उपयोग तब किया जाता है जब विएटा के प्रमेय का उपयोग करके समीकरण की जड़ें आसानी से पाई जा सकती हैं और, सबसे महत्वपूर्ण बात, जब विवेचक एक सटीक वर्ग होता है।

अगर ए± बी+सी≠ 0, तो स्थानांतरण तकनीक का उपयोग किया जाता है, उदाहरण के लिए:

2एक्स 2 – 11एक्स+ 5 = 0 (1) => एक्स 2 – 11एक्स+ 10 = 0 (2)

समीकरण (2) में विएटा के प्रमेय का उपयोग करके, यह निर्धारित करना आसान है कि x 1 = 10 x 2 = 1

समीकरण की परिणामी जड़ों को 2 से विभाजित किया जाना चाहिए (चूंकि दोनों को x 2 से "फेंक दिया गया" था), हमें मिलता है

x 1 = 5 x 2 = 0.5.

तर्क क्या है? देखो क्या हो रहा है.

समीकरण (1) और (2) के विभेदक बराबर हैं:

यदि आप समीकरणों की जड़ों को देखते हैं, तो आपको केवल अलग-अलग हर मिलते हैं, और परिणाम सटीक रूप से x 2 के गुणांक पर निर्भर करता है:

दूसरे (संशोधित) की जड़ें 2 गुना बड़ी हैं।

इसलिए, हम परिणाम को 2 से विभाजित करते हैं।

*यदि हम तीनों को दोबारा रोल करते हैं, तो हम परिणाम को 3 से विभाजित कर देंगे, आदि।

उत्तर: x 1 = 5 x 2 = 0.5

वर्ग. यूआर-आईई और एकीकृत राज्य परीक्षा।

मैं आपको इसके महत्व के बारे में संक्षेप में बताऊंगा - आपको जल्दी और बिना सोचे निर्णय लेने में सक्षम होना चाहिए, आपको जड़ों और विभेदकों के सूत्रों को दिल से जानना होगा। एकीकृत राज्य परीक्षा कार्यों में शामिल कई समस्याएं द्विघात समीकरण (ज्यामितीय शामिल) को हल करने तक सीमित हैं।

ध्यान देने योग्य बात!

1. समीकरण लिखने का रूप "अंतर्निहित" हो सकता है। उदाहरण के लिए, निम्नलिखित प्रविष्टि संभव है:

15+ 9x 2 - 45x = 0 या 15x+42+9x 2 - 45x=0 या 15 -5x+10x 2 = 0.

आपको इसे एक मानक रूप में लाना होगा (ताकि हल करते समय भ्रमित न हों)।

2. याद रखें कि x एक अज्ञात मात्रा है और इसे किसी अन्य अक्षर - t, q, p, h और अन्य द्वारा दर्शाया जा सकता है।

ग्रंथ सूची विवरण:गसानोव ए.आर., कुरमशिन ए.ए., एल्कोव ए.ए., शिलनेंकोव एन.वी., उलानोव डी.डी., श्मेलेवा ओ.वी. समाधान के तरीके द्विघातीय समीकरण// युवा वैज्ञानिक। 2016. क्रमांक 6.1. पृ. 17-20..03.2019).



हमारा प्रोजेक्ट द्विघात समीकरणों को हल करने के तरीकों के बारे में है। परियोजना का लक्ष्य: स्कूली पाठ्यक्रम में शामिल नहीं किए गए तरीकों से द्विघात समीकरणों को हल करना सीखें। कार्य: सब कुछ ढूँढ़ें संभावित तरीकेद्विघात समीकरणों को हल करना और स्वयं उनका उपयोग करना सीखना और अपने सहपाठियों को इन विधियों से परिचित कराना।

"द्विघात समीकरण" क्या हैं?

द्विघात समीकरण- प्रपत्र का समीकरण कुल्हाड़ी2 + बीएक्स + सी = 0, कहाँ ए, बी, सी- कुछ संख्याएँ ( ए ≠ 0), एक्स- अज्ञात।

संख्याएँ a, b, c द्विघात समीकरण के गुणांक कहलाती हैं।

• ए को पहला गुणांक कहा जाता है;
• b को दूसरा गुणांक कहा जाता है;
• सी - मुफ़्त सदस्य.

द्विघात समीकरणों का "आविष्कार" करने वाले पहले व्यक्ति कौन थे?

रैखिक और द्विघात समीकरणों को हल करने के लिए कुछ बीजगणितीय तकनीकें 4000 साल पहले प्राचीन बेबीलोन में ज्ञात थीं। 1800 और 1600 ईसा पूर्व के बीच की प्राचीन बेबीलोनियाई मिट्टी की गोलियों की खोज, द्विघात समीकरणों के अध्ययन का सबसे पहला प्रमाण प्रदान करती है। उन्हीं गोलियों में कुछ प्रकार के द्विघात समीकरणों को हल करने की विधियाँ होती हैं।

प्राचीन काल में न केवल पहली, बल्कि दूसरी डिग्री के समीकरणों को हल करने की आवश्यकता क्षेत्रों को खोजने से संबंधित समस्याओं को हल करने की आवश्यकता के कारण हुई थी भूमि भूखंडऔर साथ ज़मीनीएक सैन्य प्रकृति के साथ-साथ खगोल विज्ञान और गणित के विकास के साथ।

बेबीलोनियाई ग्रंथों में निर्धारित इन समीकरणों को हल करने का नियम अनिवार्य रूप से आधुनिक के साथ मेल खाता है, लेकिन यह ज्ञात नहीं है कि बेबीलोनवासी इस नियम तक कैसे पहुंचे। अब तक पाए गए लगभग सभी क्यूनिफॉर्म ग्रंथ केवल व्यंजनों के रूप में दिए गए समाधानों के साथ समस्याएं प्रदान करते हैं, इस बात का कोई संकेत नहीं है कि उन्हें कैसे खोजा गया था। इसके बावजूद उच्च स्तरबेबीलोन में बीजगणित के विकास के कारण, कीलाकार ग्रंथों में ऋणात्मक संख्या की अवधारणा का अभाव है सामान्य तरीकेद्विघात समीकरणों को हल करना.

लगभग चौथी शताब्दी ईसा पूर्व के बेबीलोनियाई गणितज्ञ। सकारात्मक मूल वाले समीकरणों को हल करने के लिए वर्ग की पूरक विधि का उपयोग किया। लगभग 300 ई.पू यूक्लिड एक अधिक सामान्य ज्यामितीय समाधान विधि लेकर आए। पहला गणितज्ञ जिसने बीजगणितीय सूत्र के रूप में नकारात्मक जड़ों वाले समीकरणों का समाधान खोजा वह एक भारतीय वैज्ञानिक थे ब्रह्मगुप्त(भारत, 7वीं शताब्दी ई.पू.)।

ब्रह्मगुप्त ने द्विघात समीकरणों को एकल विहित रूप में हल करने के लिए एक सामान्य नियम बनाया:

ax2 + bx = c, a>0

इस समीकरण में गुणांक ऋणात्मक भी हो सकते हैं। ब्रह्मगुप्त का शासन मूलतः हमारे जैसा ही है।

कठिन समस्याओं को सुलझाने के लिए सार्वजनिक प्रतियोगिताएँ भारत में आम थीं। पुरानी भारतीय पुस्तकों में से एक ऐसी प्रतियोगिताओं के बारे में निम्नलिखित कहती है: "जैसे सूर्य अपनी चमक से तारों को ग्रहण कर लेता है, वैसे ही विद्वान व्यक्तिबीजगणितीय समस्याओं का प्रस्ताव और समाधान करके सार्वजनिक सभाओं में उनकी महिमा को धूमिल कर देगा। समस्याओं को प्रायः काव्यात्मक रूप में प्रस्तुत किया जाता था।

एक बीजगणितीय ग्रंथ में अल-ख्वारिज्मीरैखिक और द्विघात समीकरणों का वर्गीकरण दिया गया है। लेखक ने 6 प्रकार के समीकरण गिनाए हैं और उन्हें इस प्रकार व्यक्त किया है:

1) "वर्ग जड़ों के बराबर होते हैं," यानी ax2 = bx।

2) "वर्ग संख्याओं के बराबर होते हैं," अर्थात ax2 = c।

3) "मूल संख्या के बराबर हैं," यानी ax2 = c।

4) "वर्ग और संख्याएँ जड़ों के बराबर हैं," यानी ax2 + c = bx।

5) "वर्ग और मूल संख्या के बराबर हैं," यानी ax2 + bx = c।

6) "मूल और संख्याएँ वर्गों के बराबर हैं," अर्थात bx + c == ax2।

अल-ख़्वारिज़्मी के लिए, जो ऋणात्मक संख्याओं के उपयोग से बचते थे, इनमें से प्रत्येक समीकरण के पद जोड़ हैं, घटाने योग्य नहीं। इस मामले में, जिन समीकरणों का सकारात्मक समाधान नहीं है, उन्हें स्पष्ट रूप से ध्यान में नहीं रखा जाता है। लेखक ने अल-जबर और अल-मुकाबल की तकनीकों का उपयोग करके इन समीकरणों को हल करने के तरीके निर्धारित किए हैं। निःसंदेह, उनका निर्णय हमारे निर्णय से पूरी तरह मेल नहीं खाता। यह उल्लेख करने की आवश्यकता नहीं है कि यह पूरी तरह से अलंकारिक है, उदाहरण के लिए, यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि पहले प्रकार के अपूर्ण द्विघात समीकरण को हल करते समय, अल-खोरज़मी, 17वीं शताब्दी तक के सभी गणितज्ञों की तरह, शून्य समाधान को ध्यान में नहीं रखते हैं, शायद इसलिए कि विशिष्ट व्यावहारिक कार्यों में इससे कोई फर्क नहीं पड़ता। पूर्ण द्विघात समीकरणों को हल करते समय, अल-ख्वारिज्मी विशेष संख्यात्मक उदाहरणों और फिर उनके ज्यामितीय प्रमाणों का उपयोग करके उन्हें हल करने के लिए नियम निर्धारित करते हैं।

यूरोप में अल-ख्वारिज्मी के मॉडल का अनुसरण करते हुए द्विघात समीकरणों को हल करने के फॉर्म सबसे पहले 1202 में लिखी गई "अबेकस की पुस्तक" में दिए गए थे। इतालवी गणितज्ञ लियोनार्ड फाइबोनैचि. लेखक ने स्वतंत्र रूप से कुछ नया विकसित किया बीजगणितीय उदाहरणसमस्याओं को हल करना और ऋणात्मक संख्याओं को पेश करने वाला यूरोप का पहला था।

इस पुस्तक ने न केवल इटली, बल्कि जर्मनी, फ्रांस और अन्य यूरोपीय देशों में भी बीजगणितीय ज्ञान के प्रसार में योगदान दिया। इस पुस्तक की कई समस्याओं का उपयोग 14वीं-17वीं शताब्दी की लगभग सभी यूरोपीय पाठ्यपुस्तकों में किया गया था। सामान्य नियमचिह्नों और गुणांकों b, c के सभी संभावित संयोजनों के लिए एकल विहित रूप x2 + bх = с में परिवर्तित द्विघात समीकरणों का समाधान 1544 में यूरोप में तैयार किया गया था। एम. स्टिफ़ेल.

द्विघात समीकरण को हल करने के लिए सूत्र की व्युत्पत्ति सामान्य रूप से देखेंवियतनाम के पास यह है, लेकिन वियतनाम ने केवल सकारात्मक जड़ों को ही पहचाना। इतालवी गणितज्ञ टार्टाग्लिया, कार्डानो, बॉम्बेली 16वीं शताब्दी में सबसे पहले में से एक। सकारात्मक जड़ों के अलावा, नकारात्मक जड़ों को भी ध्यान में रखा जाता है। केवल 17वीं शताब्दी में। प्रयासों को धन्यवाद गिरार्ड, डेसकार्टेस, न्यूटनऔर अन्य वैज्ञानिकों द्वारा द्विघात समीकरणों को हल करने की विधि आधुनिक रूप लेती है।

आइए द्विघात समीकरणों को हल करने के कई तरीकों पर नजर डालें।

द्विघात समीकरणों को हल करने की मानक विधियाँ स्कूल के पाठ्यक्रम:

1. समीकरण के बाएँ पक्ष का गुणनखंडन।
2. पूर्ण वर्ग चुनने की विधि.
3. सूत्र का उपयोग करके द्विघात समीकरणों को हल करना।
4. ग्राफ़िक समाधानद्विघात समीकरण।
5. विएटा के प्रमेय का उपयोग करके समीकरणों को हल करना।

आइए विएटा के प्रमेय का उपयोग करके कम और कम न किए गए द्विघात समीकरणों के समाधान पर अधिक विस्तार से ध्यान दें।

याद रखें कि उपरोक्त द्विघात समीकरणों को हल करने के लिए, दो संख्याएँ खोजना पर्याप्त है जिनका गुणनफल मुक्त पद के बराबर है, और जिनका योग विपरीत चिह्न वाले दूसरे गुणांक के बराबर है।

उदाहरण।एक्स 2 -5x+6=0

आपको वे संख्याएँ ढूँढ़नी होंगी जिनका गुणनफल 6 है और जिनका योग 5 है। ये संख्याएँ 3 और 2 होंगी।

उत्तर: एक्स 1 =2, एक्स 2 =3.

लेकिन आप इस पद्धति का उपयोग उन समीकरणों के लिए भी कर सकते हैं जिनका पहला गुणांक एक के बराबर नहीं है।

उदाहरण।3x 2 +2x-5=0

पहला गुणांक लें और इसे मुक्त पद से गुणा करें: x 2 +2x-15=0

इस समीकरण के मूल वे संख्याएँ होंगी जिनका गुणनफल - 15 के बराबर है, और जिनका योग - 2 के बराबर है। ये संख्याएँ 5 और 3 हैं। मूल समीकरण के मूल ज्ञात करने के लिए, परिणामी मूलों को पहले गुणांक से विभाजित करें।

उत्तर: एक्स 1 =-5/3, एक्स 2 =1

6. "थ्रो" विधि का उपयोग करके समीकरणों को हल करना।

द्विघात समीकरण ax 2 + bx + c = 0 पर विचार करें, जहां a≠0।

दोनों पक्षों को a से गुणा करने पर, हमें समीकरण a 2 x 2 + abx + ac = 0 प्राप्त होता है।

माना ax = y, जहाँ से x = y/a; तब हम समीकरण y 2 + by + ac = 0 पर पहुंचते हैं, जो दिए गए समीकरण के बराबर है। हम विएटा के प्रमेय का उपयोग करके 1 और 2 के लिए इसकी जड़ें ढूंढते हैं।

अंततः हमें x 1 = y 1 /a और x 2 = y 2 /a प्राप्त होता है।

इस विधि के साथ, गुणांक ए को मुक्त पद से गुणा किया जाता है, जैसे कि इसे "फेंक दिया गया" हो, यही कारण है कि इसे "थ्रो" विधि कहा जाता है। इस पद्धति का उपयोग तब किया जाता है जब विएटा के प्रमेय का उपयोग करके समीकरण की जड़ें आसानी से पाई जा सकती हैं और, सबसे महत्वपूर्ण बात, जब विवेचक एक सटीक वर्ग होता है।

उदाहरण।2x 2 - 11x + 15 = 0.

आइए गुणांक 2 को मुक्त पद पर "फेंक" दें और एक प्रतिस्थापन करें और समीकरण y 2 - 11y + 30 = 0 प्राप्त करें।

विएटा के व्युत्क्रम प्रमेय के अनुसार

वाई 1 = 5, एक्स 1 = 5/2, एक्स 1 = 2.5; वाई 2 = 6, एक्स 2 = 6/2, एक्स 2 = 3।

उत्तर: एक्स 1 =2.5; एक्स 2 = 3.

7. द्विघात समीकरण के गुणांकों के गुण।

मान लीजिए द्विघात समीकरण ax 2 + bx + c = 0, a ≠ 0 दिया गया है।

1. यदि a+ b + c = 0 (अर्थात समीकरण के गुणांकों का योग शून्य है), तो x 1 = 1.

2. यदि a - b + c = 0, या b = a + c, तो x 1 = - 1.

उदाहरण।345x 2 - 137x - 208 = 0.

चूँकि a + b + c = 0 (345 - 137 - 208 = 0), तो x 1 = 1, x 2 = -208/345।

उत्तर: एक्स 1 =1; एक्स 2 = -208/345 .

उदाहरण।132x 2 + 247x + 115 = 0

क्योंकि a-b+c = 0 (132 - 247 +115=0), फिर x 1 = - 1, x 2 = - 115/132

उत्तर: एक्स 1 = - 1; एक्स 2 =- 115/132

द्विघात समीकरण के गुणांकों के अन्य गुण भी हैं। लेकिन उनका उपयोग अधिक जटिल है.

8. नॉमोग्राम का उपयोग करके द्विघात समीकरणों को हल करना।

चित्र 1. नॉमोग्राम

यह द्विघात समीकरणों को हल करने की एक पुरानी और वर्तमान में भूली हुई विधि है, जिसे संग्रह के पृष्ठ 83 पर रखा गया है: ब्रैडिस वी.एम. चार अंकों की गणित तालिकाएँ। - एम., शिक्षा, 1990।

तालिका XXII. समीकरण को हल करने के लिए नॉमोग्राम z 2 + pz + q = 0. यह नॉमोग्राम द्विघात समीकरण को हल किए बिना, उसके गुणांकों से समीकरण की जड़ें निर्धारित करने की अनुमति देता है।

नॉमोग्राम का वक्ररेखीय पैमाना सूत्रों के अनुसार बनाया गया है (चित्र 1):

विश्वास ओएस = पी, ईडी = क्यू, ओई = ए(सभी सेमी में), चित्र 1 से त्रिभुजों की समानताएँ सैनऔर सीडीएफहमें अनुपात मिलता है

जो, प्रतिस्थापन और सरलीकरण के बाद, समीकरण उत्पन्न करता है जेड 2 + पीजेड + क्यू = 0,और पत्र जेडइसका अर्थ है घुमावदार पैमाने पर किसी बिंदु का निशान।

चावल। 2 नॉमोग्राम का उपयोग करके द्विघात समीकरणों को हल करना

उदाहरण।

1) समीकरण के लिए जेड 2 - 9z + 8 = 0नॉमोग्राम मूल z 1 = 8.0 और z 2 = 1.0 देता है

उत्तर:8.0; 1.0.

2) नॉमोग्राम का उपयोग करके, हम समीकरण को हल करते हैं

2z 2 - 9z + 2 = 0.

इस समीकरण के गुणांकों को 2 से विभाजित करने पर हमें समीकरण z 2 - 4.5z + 1 = 0 प्राप्त होता है।

नॉमोग्राम मूल z 1 = 4 और z 2 = 0.5 देता है।

उत्तर - 4; 0.5.

9. द्विघात समीकरणों को हल करने की ज्यामितीय विधि।

उदाहरण।एक्स 2 + 10x = 39.

मूल में, यह समस्या इस प्रकार तैयार की गई है: "वर्ग और दस मूल 39 के बराबर हैं।"

भुजा x वाले एक वर्ग पर विचार करें, इसके किनारों पर आयतों का निर्माण किया जाता है ताकि उनमें से प्रत्येक की दूसरी भुजा 2.5 हो, इसलिए प्रत्येक का क्षेत्रफल 2.5x है। परिणामी आकृति को फिर एक नए वर्ग एबीसीडी में पूरक किया जाता है, कोनों में चार समान वर्ग बनाए जाते हैं, उनमें से प्रत्येक की भुजा 2.5 है, और क्षेत्रफल 6.25 है

चावल। 3 समीकरण x 2 + 10x = 39 को हल करने के लिए ग्राफ़िकल विधि

वर्ग ABCD के क्षेत्रफल S को निम्नलिखित क्षेत्रफलों के योग के रूप में दर्शाया जा सकता है: मूल वर्ग x 2, चार आयत (4∙2.5x = 10x) और चार अतिरिक्त वर्ग (6.25∙4 = 25), यानी। S = x 2 + 10x = 25. x 2 + 10x को संख्या 39 से प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है कि S = 39 + 25 = 64, जिसका अर्थ है कि वर्ग की भुजा ABCD है, अर्थात। खंड AB = 8. मूल वर्ग की आवश्यक भुजा x के लिए हमें प्राप्त होता है

10. बेज़ाउट प्रमेय का उपयोग करके समीकरणों को हल करना।

बेज़ाउट का प्रमेय. बहुपद P(x) को द्विपद x - α से विभाजित करने पर शेषफल P(α) के बराबर होता है (अर्थात, x = α पर P(x) का मान)।

यदि संख्या α बहुपद P(x) का मूल है, तो यह बहुपद बिना किसी शेषफल के x -α से विभाज्य है।

उदाहरण।x²-4x+3=0

Р(x)= x²-4x+3, α: ±1,±3, α =1, 1-4+3=0. P(x) को (x-1) से विभाजित करें: (x²-4x+3)/(x-1)=x-3

x²-4x+3=(x-1)(x-3), (x-1)(x-3)=0

x-1=0; x=1, या x-3=0, x=3; उत्तर: एक्स1 =2, एक्स2 =3.

निष्कर्ष:द्विघात समीकरणों को जल्दी और तर्कसंगत रूप से हल करने की क्षमता अधिक हल करने के लिए आवश्यक है जटिल समीकरण, उदाहरण के लिए, भिन्नात्मक तर्कसंगत समीकरण, समीकरण उच्च डिग्री, द्विघात समीकरण, और हाई स्कूल में त्रिकोणमितीय, घातीय और लघुगणक समीकरण। द्विघात समीकरणों को हल करने के लिए पाए गए सभी तरीकों का अध्ययन करने के बाद, हम अपने सहपाठियों को मानक तरीकों के अलावा, स्थानांतरण विधि (6) द्वारा हल करने और गुणांक (7) की संपत्ति का उपयोग करके समीकरणों को हल करने की सलाह दे सकते हैं, क्योंकि वे अधिक सुलभ हैं समझने के लिए.

साहित्य:

1. ब्रैडिस वी.एम. चार अंकों की गणित तालिकाएँ। - एम., शिक्षा, 1990।
2. बीजगणित 8वीं कक्षा: 8वीं कक्षा के लिए पाठ्यपुस्तक। सामान्य शिक्षा संस्थान माकार्यचेव यू.एन., मिंड्युक एन.जी., नेशकोव के.आई., सुवोरोवा एस.बी. एड। एस. ए. टेल्यकोवस्की 15वां संस्करण, संशोधित। - एम.: शिक्षा, 2015
3. https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D0%B2%D0%B0%D0%B4%D1%80%D0%B0%D1%82%D0%BD%D0%BE%D0 %B5_%D1%83%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5
4. ग्लेज़र जी.आई. स्कूल में गणित का इतिहास. शिक्षकों के लिए मैनुअल. / ईडी। वी.एन. छोटा। - एम.: शिक्षा, 1964।

अभी-अभी। सूत्रों और स्पष्ट, सरल नियमों के अनुसार. पहले चरण में

दिए गए समीकरण को मानक रूप में लाना आवश्यक है, अर्थात फॉर्म के लिए:

यदि समीकरण आपको पहले से ही इस रूप में दिया गया है, तो आपको पहले चरण को करने की आवश्यकता नहीं है। सबसे महत्वपूर्ण बात यह है कि इसे सही तरीके से किया जाए

सभी गुणांक निर्धारित करें, ए, बीऔर सी.

द्विघात समीकरण के मूल ज्ञात करने का सूत्र।

मूल चिन्ह के नीचे वाले भाव को कहते हैं विभेदक . जैसा कि आप देख सकते हैं, एक्स को खोजने के लिए, हम

हम उपयोग करते हैं केवल ए, बी और सी. वे। से गुणांक द्विघात समीकरण. बस इसे ध्यान से डालें

मान ए, बी और सीहम इस सूत्र में गणना करते हैं। हम इसके साथ स्थानापन्न करते हैं उनकासंकेत!

उदाहरण के लिए, समीकरण में:

ए =1; बी = 3; सी = -4.

हम मानों को प्रतिस्थापित करते हैं और लिखते हैं:

उदाहरण लगभग हल हो गया है:

यह उत्तर है.

सबसे आम गलतियाँ संकेत मूल्यों के साथ भ्रम हैं ए, बीऔर साथ. या बल्कि, प्रतिस्थापन के साथ

जड़ों की गणना के लिए सूत्र में नकारात्मक मान। सूत्र की एक विस्तृत रिकॉर्डिंग यहां बचाव के लिए आती है

विशिष्ट संख्याओं के साथ. यदि आपको गणना में समस्या है, तो करें!

मान लीजिए हमें निम्नलिखित उदाहरण को हल करने की आवश्यकता है:

यहाँ ए = -6; बी = -5; सी = -1

हम सभी चिह्नों और कोष्ठकों के साथ कुछ भी खोए बिना, हर चीज़ का विस्तार से वर्णन करते हैं:

द्विघात समीकरण अक्सर थोड़े अलग दिखते हैं। उदाहरण के लिए, इस तरह:

अब व्यावहारिक तकनीकों पर ध्यान दें जो त्रुटियों की संख्या को नाटकीय रूप से कम कर देती हैं।

पहली नियुक्ति. पहले आलसी मत बनो द्विघात समीकरण को हल करनाइसे मानक रूप में लाएँ।

इसका अर्थ क्या है?

मान लीजिए कि सभी परिवर्तनों के बाद आपको निम्नलिखित समीकरण मिलते हैं:

मूल सूत्र लिखने में जल्दबाजी न करें! आप लगभग निश्चित रूप से बाधाओं को मिश्रित पाएंगे ए, बी और सी.

उदाहरण सही ढंग से बनाएं. पहले, X वर्ग, फिर बिना वर्ग, फिर मुक्त पद। इस कदर:

माइनस से छुटकारा पाएं. कैसे? हमें पूरे समीकरण को -1 से गुणा करना होगा। हम पाते हैं:

लेकिन अब आप जड़ों के लिए सुरक्षित रूप से सूत्र लिख सकते हैं, विवेचक की गणना कर सकते हैं और उदाहरण को हल करना समाप्त कर सकते हैं।

अपने लिए तय करें। अब आपके पास जड़ें 2 और -1 होनी चाहिए।

रिसेप्शन दूसरा.जड़ों की जाँच करें! द्वारा विएटा का प्रमेय.

दिए गए द्विघात समीकरणों को हल करने के लिए, अर्थात यदि गुणांक

x 2 +bx+c=0,

तबएक्स 1 एक्स 2 =सी

एक्स 1 +एक्स 2 =−बी

जिसमें पूर्ण द्विघात समीकरण के लिए a≠1:

एक्स 2+बीएक्स+सी=0,

पूरे समीकरण को इससे विभाजित करें ए:

→ →

कहाँ एक्स 1और एक्स 2 - समीकरण की जड़ें.

स्वागत तीसरा. यदि आपके समीकरण में भिन्नात्मक गुणांक हैं, तो भिन्नों से छुटकारा पाएं! गुणा

एक सामान्य हर के साथ समीकरण.

निष्कर्ष। प्रायोगिक उपकरण:

1. हल करने से पहले हम द्विघात समीकरण को मानक रूप में लाते हैं और उसका निर्माण करते हैं सही.

2. यदि X वर्ग के सामने कोई ऋणात्मक गुणांक है, तो हम सभी को गुणा करके इसे समाप्त कर देते हैं

-1 द्वारा समीकरण.

3. यदि गुणांक भिन्नात्मक हैं, तो हम संपूर्ण समीकरण को संगत से गुणा करके भिन्नों को समाप्त कर देते हैं

कारक।

4. यदि x वर्ग शुद्ध है, तो इसका गुणांक एक के बराबर है, समाधान को आसानी से जांचा जा सकता है

प्रथम स्तर

द्विघातीय समीकरण। व्यापक मार्गदर्शिका (2019)

"द्विघात समीकरण" शब्द में मुख्य शब्द "द्विघात" है। इसका मतलब यह है कि समीकरण में आवश्यक रूप से एक चर (वही x) वर्ग शामिल होना चाहिए, और तीसरी (या अधिक) घात के लिए xes नहीं होना चाहिए।

कई समीकरणों का समाधान द्विघात समीकरणों को हल करने में आता है।

आइए यह निर्धारित करना सीखें कि यह एक द्विघात समीकरण है, कोई अन्य समीकरण नहीं।

उदाहरण 1।

आइए हर से छुटकारा पाएं और समीकरण के प्रत्येक पद को इससे गुणा करें

आइए सब कुछ बाईं ओर ले जाएं और पदों को X की घातों के अवरोही क्रम में व्यवस्थित करें

अब हम विश्वास के साथ कह सकते हैं कि यह समीकरण द्विघात है!

उदाहरण 2.

बाएँ और दाएँ पक्षों को इससे गुणा करें:

यह समीकरण, हालाँकि यह मूल रूप से इसमें था, द्विघात नहीं है!

उदाहरण 3.

आइए हर चीज़ को इससे गुणा करें:

डरावना? चौथी और दूसरी डिग्री... हालाँकि, यदि हम प्रतिस्थापन करते हैं, तो हम देखेंगे कि हमारे पास एक सरल द्विघात समीकरण है:

उदाहरण 4.

ऐसा लगता है कि यह वहां है, लेकिन आइए करीब से देखें। आइए सब कुछ बाईं ओर ले जाएँ:

देखिए, यह कम हो गया है - और अब यह एक सरल रैखिक समीकरण है!

अब स्वयं यह निर्धारित करने का प्रयास करें कि निम्नलिखित में से कौन से समीकरण द्विघात हैं और कौन से नहीं:

उदाहरण:

उत्तर:

1. वर्ग;
2. वर्ग;
3. चौकोर नहीं;
4. चौकोर नहीं;
5. चौकोर नहीं;
6. वर्ग;
7. चौकोर नहीं;
8. वर्ग।

गणितज्ञ परंपरागत रूप से सभी द्विघात समीकरणों को निम्नलिखित प्रकारों में विभाजित करते हैं:

• पूर्ण द्विघात समीकरण- ऐसे समीकरण जिनमें गुणांक और, साथ ही मुक्त पद c, शून्य के बराबर नहीं हैं (जैसा कि उदाहरण में है)। इसके अलावा, पूर्ण द्विघात समीकरण भी मौजूद हैं दिया गया- ये ऐसे समीकरण हैं जिनमें गुणांक (उदाहरण एक से समीकरण न केवल पूर्ण है, बल्कि कम भी है!)

• अपूर्ण द्विघात समीकरण- समीकरण जिनमें गुणांक और या मुक्त पद c शून्य के बराबर हैं:

  वे अपूर्ण हैं क्योंकि उनमें कुछ तत्वों की कमी है। लेकिन समीकरण में हमेशा x का वर्ग होना चाहिए!!! अन्यथा, यह अब द्विघात समीकरण नहीं, बल्कि कोई अन्य समीकरण होगा।

वे ऐसा विभाजन क्यों लेकर आये? ऐसा प्रतीत होता है कि कोई X वर्ग है, और ठीक है। यह विभाजन समाधान विधियों द्वारा निर्धारित होता है। आइए उनमें से प्रत्येक को अधिक विस्तार से देखें।

अपूर्ण द्विघात समीकरणों को हल करना

सबसे पहले, आइए अपूर्ण द्विघात समीकरणों को हल करने पर ध्यान केंद्रित करें - वे बहुत सरल हैं!

अपूर्ण द्विघात समीकरण के प्रकार हैं:

1. , इस समीकरण में गुणांक बराबर है।
2. , इस समीकरण में मुक्त पद बराबर है।
3. , इस समीकरण में गुणांक और मुक्त पद बराबर हैं।

1. मैं. चूँकि हम जानते हैं कि वर्गमूल कैसे निकाला जाता है, आइए इसे इस समीकरण से व्यक्त करें

अभिव्यक्ति या तो नकारात्मक या सकारात्मक हो सकती है। एक वर्ग संख्या ऋणात्मक नहीं हो सकती, क्योंकि जब दो ऋणात्मक या दो धनात्मक संख्याओं को गुणा किया जाता है, तो परिणाम हमेशा एक धनात्मक संख्या होगी, इसलिए: यदि, तो समीकरण का कोई समाधान नहीं है।

और यदि, तो हमें दो जड़ें मिलती हैं। इन सूत्रों को याद रखने की कोई आवश्यकता नहीं है। मुख्य बात यह है कि आपको जानना चाहिए और हमेशा याद रखना चाहिए कि यह कम नहीं हो सकता।

आइए कुछ उदाहरणों को हल करने का प्रयास करें।

उदाहरण 5:

प्रश्न हल करें

अब बस बायीं और दायीं तरफ से जड़ निकालना बाकी है। आख़िरकार, आपको याद है कि जड़ें कैसे निकाली जाती हैं?

उत्तर:

नकारात्मक चिन्ह वाली जड़ों के बारे में कभी न भूलें!!!

उदाहरण 6:

प्रश्न हल करें

उत्तर:

उदाहरण 7:

प्रश्न हल करें

ओह! किसी संख्या का वर्ग ऋणात्मक नहीं हो सकता, अर्थात समीकरण

कोई जड़ नहीं!

ऐसे समीकरणों के लिए जिनकी कोई जड़ नहीं है, गणितज्ञ एक विशेष चिह्न - (खाली सेट) लेकर आए हैं। और उत्तर इस प्रकार लिखा जा सकता है:

उत्तर:

इस प्रकार, इस द्विघात समीकरण के दो मूल हैं। यहां कोई प्रतिबंध नहीं है, क्योंकि हमने जड़ नहीं निकाली है।
उदाहरण 8:

प्रश्न हल करें

आइए सामान्य गुणनखंड को कोष्ठक से बाहर निकालें:

इस प्रकार,

इस समीकरण की दो जड़ें हैं.

उत्तर:

अपूर्ण द्विघात समीकरणों का सबसे सरल प्रकार (हालाँकि वे सभी सरल हैं, ठीक है?)। जाहिर है, इस समीकरण का हमेशा एक ही मूल होता है:

हम यहां उदाहरणों से दूर रहेंगे।

संपूर्ण द्विघात समीकरणों को हल करना

हम आपको याद दिलाते हैं कि एक पूर्ण द्विघात समीकरण, समीकरण के रूप का एक समीकरण है

संपूर्ण द्विघात समीकरणों को हल करना इनसे थोड़ा अधिक कठिन (थोड़ा सा) है।

याद करना, किसी भी द्विघात समीकरण को विवेचक का उपयोग करके हल किया जा सकता है! अधूरा भी.

अन्य विधियाँ आपको इसे तेजी से करने में मदद करेंगी, लेकिन यदि आपको द्विघात समीकरणों में समस्या है, तो पहले विवेचक का उपयोग करके समाधान में महारत हासिल करें।

1. विवेचक का उपयोग करके द्विघात समीकरणों को हल करना।

इस पद्धति का उपयोग करके द्विघात समीकरणों को हल करना बहुत सरल है; मुख्य बात क्रियाओं के अनुक्रम और कुछ सूत्रों को याद रखना है।

यदि, तो समीकरण का एक मूल है। विशेष ध्यानचरण लें। विवेचक () हमें समीकरण की जड़ों की संख्या बताता है।

• यदि, तो चरण में सूत्र कम हो जाएगा। इस प्रकार, समीकरण का केवल एक मूल होगा।
• यदि, तो हम कदम-कदम पर विभेदक की जड़ नहीं निकाल पाएंगे। यह इंगित करता है कि समीकरण की कोई जड़ नहीं है।

आइए अपने समीकरणों पर वापस जाएं और कुछ उदाहरण देखें।

उदाहरण 9:

प्रश्न हल करें

स्टेप 1हम छोड़ देते हैं.

चरण दो।

हम विभेदक पाते हैं:

इसका मतलब है कि समीकरण की दो जड़ें हैं।

चरण 3।

उत्तर:

उदाहरण 10:

प्रश्न हल करें

समीकरण मानक रूप में प्रस्तुत किया गया है, इसलिए स्टेप 1हम छोड़ देते हैं.

चरण दो।

हम विभेदक पाते हैं:

इसका मतलब यह है कि समीकरण का एक मूल है।

उत्तर:

उदाहरण 11:

प्रश्न हल करें

समीकरण मानक रूप में प्रस्तुत किया गया है, इसलिए स्टेप 1हम छोड़ देते हैं.

चरण दो।

हम विभेदक पाते हैं:

इसका मतलब है कि हम विवेचक की जड़ नहीं निकाल पाएंगे। समीकरण की कोई जड़ें नहीं हैं.

अब हम जानते हैं कि ऐसे उत्तरों को सही ढंग से कैसे लिखा जाए।

उत्तर:कोई जड़ नहीं

2. विएटा के प्रमेय का उपयोग करके द्विघात समीकरणों को हल करना।

यदि आपको याद हो, तो एक प्रकार का समीकरण होता है जिसे घटा हुआ कहा जाता है (जब गुणांक a बराबर हो):

विएटा के प्रमेय का उपयोग करके ऐसे समीकरणों को हल करना बहुत आसान है:

जड़ों का योग दिया गयाद्विघात समीकरण बराबर होता है और मूलों का गुणनफल बराबर होता है।

उदाहरण 12:

प्रश्न हल करें

इस समीकरण को विएटा के प्रमेय का उपयोग करके हल किया जा सकता है क्योंकि .

समीकरण के मूलों का योग बराबर है, अर्थात हमें पहला समीकरण मिलता है:

और उत्पाद इसके बराबर है:

आइए सिस्टम बनाएं और हल करें:

• और। राशि बराबर है;
• और। राशि बराबर है;
• और। रकम बराबर है.

और सिस्टम का समाधान हैं:

उत्तर: ; .

उदाहरण 13:

प्रश्न हल करें

उत्तर:

उदाहरण 14:

प्रश्न हल करें

समीकरण दिया गया है, जिसका अर्थ है:

उत्तर:

द्विघातीय समीकरण। औसत स्तर

द्विघात समीकरण क्या है?

दूसरे शब्दों में, द्विघात समीकरण उस रूप का समीकरण है, जहां - अज्ञात, - कुछ संख्याएं, और।

संख्या को उच्चतम अथवा कहा जाता है पहला गुणांकद्विघात समीकरण, - दूसरा गुणांक, ए - स्वतंत्र सदस्य.

क्यों? क्योंकि यदि समीकरण तुरंत रैखिक हो जाता है, क्योंकि गायब हो जाएगा।

इस स्थिति में, और शून्य के बराबर हो सकता है. इसमें कुर्सी का समीकरण अधूरा बताया गया है. यदि सभी पद यथास्थान हैं, तो समीकरण पूरा हो गया है।

विभिन्न प्रकार के द्विघात समीकरणों का समाधान

अपूर्ण द्विघात समीकरणों को हल करने की विधियाँ:

सबसे पहले, आइए अपूर्ण द्विघात समीकरणों को हल करने की विधियों को देखें - वे सरल हैं।

हम निम्नलिखित प्रकार के समीकरणों को अलग कर सकते हैं:

I., इस समीकरण में गुणांक और मुक्त पद बराबर हैं।

द्वितीय. , इस समीकरण में गुणांक बराबर है।

तृतीय. , इस समीकरण में मुक्त पद बराबर है।

आइए अब इनमें से प्रत्येक उपप्रकार के समाधान पर नजर डालें।

जाहिर है, इस समीकरण का हमेशा एक ही मूल होता है:

एक वर्ग संख्या ऋणात्मक नहीं हो सकती, क्योंकि जब आप दो ऋणात्मक या दो धनात्मक संख्याओं को गुणा करते हैं, तो परिणाम हमेशा एक धनात्मक संख्या होगी। इसीलिए:

यदि, तो समीकरण का कोई हल नहीं है;

यदि हमारी दो जड़ें हैं

इन सूत्रों को याद रखने की कोई आवश्यकता नहीं है। याद रखने वाली मुख्य बात यह है कि यह कम नहीं हो सकता।

उदाहरण:

समाधान:

उत्तर:

नकारात्मक चिन्ह वाली जड़ों के बारे में कभी न भूलें!

किसी संख्या का वर्ग ऋणात्मक नहीं हो सकता, अर्थात समीकरण

कोई जड़ नहीं.

संक्षेप में यह लिखने के लिए कि किसी समस्या का कोई समाधान नहीं है, हम खाली सेट आइकन का उपयोग करते हैं।

उत्तर:

तो, इस समीकरण की दो जड़ें हैं: और।

उत्तर:

आइए सामान्य गुणनखंड को कोष्ठक से बाहर निकालें:

यदि कम से कम एक कारक शून्य के बराबर है तो उत्पाद शून्य के बराबर है। इसका मतलब यह है कि समीकरण का एक समाधान है जब:

तो, इस द्विघात समीकरण की दो जड़ें हैं: और।

उदाहरण:

प्रश्न हल करें।

समाधान:

आइए समीकरण के बाईं ओर का गुणनखंड करें और मूल खोजें:

उत्तर:

संपूर्ण द्विघात समीकरणों को हल करने की विधियाँ:

1. विवेकशील

इस तरह से द्विघात समीकरणों को हल करना आसान है, मुख्य बात क्रियाओं के अनुक्रम और कुछ सूत्रों को याद रखना है। याद रखें, किसी भी द्विघात समीकरण को विवेचक का उपयोग करके हल किया जा सकता है! अधूरा भी.

क्या आपने जड़ों के सूत्र में विवेचक से मूल पर ध्यान दिया? लेकिन विवेचक नकारात्मक हो सकता है। क्या करें? हमें चरण 2 पर विशेष ध्यान देने की आवश्यकता है। विवेचक हमें समीकरण की जड़ों की संख्या बताता है।

• यदि, तो समीकरण की जड़ें हैं:
• यदि, तो समीकरण की जड़ें समान हैं, और वास्तव में, एक जड़:

  ऐसी जड़ों को दोहरी जड़ें कहा जाता है।

• यदि, तो विवेचक की जड़ नहीं निकाली जाती। यह इंगित करता है कि समीकरण की कोई जड़ नहीं है।

ऐसा क्यों संभव है अलग-अलग मात्राजड़ें? आइये आगे बढ़ते हैं ज्यामितीय बोधद्विघात समीकरण। फ़ंक्शन का ग्राफ़ एक परवलय है:

एक विशेष मामले में, जो एक द्विघात समीकरण है। इसका मतलब यह है कि द्विघात समीकरण की जड़ें भुज अक्ष (अक्ष) के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु हैं। एक परवलय अक्ष को बिल्कुल भी नहीं काट सकता है, या इसे एक (जब परवलय का शीर्ष अक्ष पर स्थित होता है) या दो बिंदुओं पर काट सकता है।

इसके अलावा, गुणांक परवलय की शाखाओं की दिशा के लिए जिम्मेदार है। यदि, तो परवलय की शाखाएँ ऊपर की ओर निर्देशित होती हैं, और यदि, तो नीचे की ओर।

उदाहरण:

समाधान:

उत्तर:

उत्तर: ।

उत्तर:

इसका मतलब यह है कि कोई समाधान नहीं है.

उत्तर: ।

2. विएटा का प्रमेय

विएटा के प्रमेय का उपयोग करना बहुत आसान है: आपको बस संख्याओं की एक जोड़ी चुनने की ज़रूरत है जिसका उत्पाद समीकरण के मुक्त पद के बराबर है, और योग विपरीत चिह्न के साथ लिए गए दूसरे गुणांक के बराबर है।

यह याद रखना महत्वपूर्ण है कि विएटा के प्रमेय को केवल इसमें ही लागू किया जा सकता है कम द्विघात समीकरण ()।

आइए कुछ उदाहरण देखें:

उदाहरण 1:

प्रश्न हल करें।

समाधान:

इस समीकरण को विएटा के प्रमेय का उपयोग करके हल किया जा सकता है क्योंकि . अन्य गुणांक: ; .

समीकरण की जड़ों का योग है:

और उत्पाद इसके बराबर है:

आइए संख्याओं के ऐसे जोड़े चुनें जिनका गुणनफल बराबर हो और जांचें कि क्या उनका योग बराबर है:

• और। राशि बराबर है;
• और। राशि बराबर है;
• और। रकम बराबर है.

और सिस्टम का समाधान हैं:

इस प्रकार, और हमारे समीकरण की जड़ें हैं।

उत्तर: ; .

उदाहरण #2:

समाधान:

आइए गुणनफल में दी गई संख्याओं के जोड़े का चयन करें, और फिर जांचें कि क्या उनका योग बराबर है:

और: वे कुल मिलाकर देते हैं।

और: वे कुल मिलाकर देते हैं। प्राप्त करने के लिए, यह केवल कथित जड़ों के संकेतों को बदलने के लिए पर्याप्त है: और, आखिरकार, उत्पाद।

उत्तर:

उदाहरण #3:

समाधान:

समीकरण का मुक्त पद ऋणात्मक है, और इसलिए मूलों का गुणनफल है एक ऋणात्मक संख्या. यह तभी संभव है जब एक जड़ नकारात्मक हो और दूसरी सकारात्मक। अतः मूलों का योग बराबर है उनके मॉड्यूल के अंतर.

आइए हम उन संख्याओं के युग्मों का चयन करें जो गुणनफल में आते हैं, और जिनका अंतर इसके बराबर है:

और: उनका अंतर बराबर है - फिट नहीं बैठता;

तथा:-उपयुक्त नहीं;

तथा:-उपयुक्त नहीं;

तथा:- उपयुक्त. बस यह याद रखना बाकी है कि जड़ों में से एक नकारात्मक है। चूँकि उनका योग बराबर होना चाहिए, छोटे मापांक वाला मूल ऋणात्मक होना चाहिए:। हम जाँच:

उत्तर:

उदाहरण #4:

प्रश्न हल करें।

समाधान:

समीकरण दिया गया है, जिसका अर्थ है:

मुक्त पद ऋणात्मक है, और इसलिए मूलों का गुणनफल ऋणात्मक है। और यह तभी संभव है जब समीकरण का एक मूल नकारात्मक और दूसरा सकारात्मक हो।

आइए संख्याओं के ऐसे जोड़े चुनें जिनका गुणनफल बराबर हो, और फिर निर्धारित करें कि किन जड़ों पर ऋणात्मक चिह्न होना चाहिए:

जाहिर है, केवल जड़ें ही पहली स्थिति के लिए उपयुक्त हैं:

उत्तर:

उदाहरण #5:

प्रश्न हल करें।

समाधान:

समीकरण दिया गया है, जिसका अर्थ है:

मूलों का योग ऋणात्मक है, जिसका अर्थ है, के अनुसार कम से कम, जड़ों में से एक नकारात्मक है। लेकिन चूंकि उनका उत्पाद सकारात्मक है, इसका मतलब है कि दोनों जड़ों पर ऋण चिह्न है।

आइए संख्याओं के ऐसे जोड़े चुनें जिनका गुणनफल इसके बराबर हो:

जाहिर है, जड़ें संख्याएं हैं और।

उत्तर:

सहमत हूं, इस घृणित भेदभाव को गिनने के बजाय, मौखिक रूप से जड़ों के बारे में सोचना बहुत सुविधाजनक है। जितनी बार संभव हो विएटा के प्रमेय का उपयोग करने का प्रयास करें।

लेकिन जड़ों को खोजने में सुविधा और तेजी लाने के लिए विएटा के प्रमेय की आवश्यकता है। इसके उपयोग से लाभ उठाने के लिए, आपको कार्यों को स्वचालितता में लाना होगा। और इसके लिए पांच और उदाहरण हल करें. लेकिन धोखा मत दो: आप विवेचक का उपयोग नहीं कर सकते! केवल विएटा का प्रमेय:

स्वतंत्र कार्य के लिए कार्यों का समाधान:

कार्य 1. ((x)^(2))-8x+12=0

विएटा के प्रमेय के अनुसार:

हमेशा की तरह, हम चयन की शुरुआत इस अंश से करते हैं:

उपयुक्त नहीं है क्योंकि राशि;

: राशि वही है जो आपको चाहिए।

उत्तर: ; .

कार्य 2.

और फिर से हमारा पसंदीदा विएटा प्रमेय: योग बराबर होना चाहिए, और उत्पाद बराबर होना चाहिए।

लेकिन चूंकि यह नहीं होना चाहिए, लेकिन, हम जड़ों के संकेत बदलते हैं: और (कुल मिलाकर)।

उत्तर: ; .

कार्य 3.

हम्म... वह कहाँ है?

आपको सभी शर्तों को एक भाग में ले जाना होगा:

मूलों का योग उत्पाद के बराबर होता है।

ठीक है, रुको! समीकरण नहीं दिया गया है. लेकिन विएटा का प्रमेय केवल दिए गए समीकरणों में ही लागू होता है। तो सबसे पहले आपको एक समीकरण देना होगा। यदि आप नेतृत्व नहीं कर सकते, तो इस विचार को छोड़ दें और इसे दूसरे तरीके से हल करें (उदाहरण के लिए, एक विवेचक के माध्यम से)। मैं आपको याद दिला दूं कि द्विघात समीकरण देने का अर्थ है अग्रणी गुणांक को बराबर बनाना:

महान। तब मूलों का योग और गुणनफल के बराबर होता है।

यहां इसे चुनना नाशपाती के छिलके जितना आसान है: आखिरकार, यह एक अभाज्य संख्या है (टॉटोलॉजी के लिए खेद है)।

उत्तर: ; .

कार्य 4.

मुक्त सदस्य नकारात्मक है. इसमें क्या खास है? और सच तो यह है कि जड़ों के अलग-अलग लक्षण होंगे। और अब, चयन के दौरान, हम जड़ों के योग की नहीं, बल्कि उनके मॉड्यूल में अंतर की जाँच करते हैं: यह अंतर बराबर है, लेकिन एक उत्पाद है।

तो, जड़ें और के बराबर हैं, लेकिन उनमें से एक शून्य है। विएटा का प्रमेय हमें बताता है कि मूलों का योग विपरीत चिह्न वाले दूसरे गुणांक के बराबर है, अर्थात। इसका मतलब यह है कि छोटी जड़ में माइनस होगा: और, चूंकि।

उत्तर: ; .

कार्य 5.

आपको पहले क्या करना चाहिए? यह सही है, समीकरण दीजिए:

पुनः: हम संख्या के गुणनखंडों का चयन करते हैं, और उनका अंतर इसके बराबर होना चाहिए:

जड़ें और के बराबर हैं, लेकिन उनमें से एक ऋणात्मक है। कौन सा? उनका योग बराबर होना चाहिए, जिसका अर्थ है कि ऋण का मूल बड़ा होगा।

उत्तर: ; .

मुझे संक्षेप में बताएं:

1. विएटा के प्रमेय का उपयोग केवल दिए गए द्विघात समीकरणों में किया जाता है।
2. विएटा के प्रमेय का उपयोग करके, आप चयन द्वारा, मौखिक रूप से जड़ें पा सकते हैं।
3. यदि समीकरण नहीं दिया गया है या मुक्त पद के कारकों की कोई उपयुक्त जोड़ी नहीं मिली है, तो कोई पूर्ण जड़ें नहीं हैं, और आपको इसे दूसरे तरीके से हल करने की आवश्यकता है (उदाहरण के लिए, एक विवेचक के माध्यम से)।

3. पूर्ण वर्ग चुनने की विधि

यदि अज्ञात वाले सभी पदों को संक्षिप्त गुणन सूत्रों से शब्दों के रूप में दर्शाया जाता है - योग या अंतर का वर्ग - तो चर को प्रतिस्थापित करने के बाद, समीकरण को प्रकार के अपूर्ण द्विघात समीकरण के रूप में प्रस्तुत किया जा सकता है।

उदाहरण के लिए:

उदाहरण 1:

प्रश्न हल करें: ।

समाधान:

उत्तर:

उदाहरण 2:

प्रश्न हल करें: ।

समाधान:

उत्तर:

सामान्य तौर पर, परिवर्तन इस तरह दिखेगा:

यह संकेत करता है: ।

क्या आपको कुछ याद नहीं आता? यह भेदभावपूर्ण बात है! ठीक इसी तरह हमें विभेदक सूत्र प्राप्त हुआ।

द्विघातीय समीकरण। संक्षेप में मुख्य बातों के बारे में

द्विघात समीकरण- यह उस रूप का समीकरण है, जहां - अज्ञात, - द्विघात समीकरण के गुणांक, - मुक्त पद।

पूर्ण द्विघात समीकरण- एक समीकरण जिसमें गुणांक शून्य के बराबर नहीं हैं।

कम किया गया द्विघात समीकरण- एक समीकरण जिसमें गुणांक, वह है: .

अपूर्ण द्विघात समीकरण- एक समीकरण जिसमें गुणांक और या मुक्त पद c शून्य के बराबर है:

• यदि गुणांक, समीकरण इस प्रकार दिखता है: ,
• यदि कोई मुक्त पद है, तो समीकरण का रूप इस प्रकार है: ,
• यदि और, तो समीकरण इस प्रकार दिखता है:।

1. अपूर्ण द्विघात समीकरणों को हल करने के लिए एल्गोरिदम

1.1. प्रपत्र का एक अपूर्ण द्विघात समीकरण, जहां, :

1) आइए अज्ञात को व्यक्त करें: ,

2) अभिव्यक्ति के चिह्न की जाँच करें:

• यदि, तो समीकरण का कोई हल नहीं है,
• यदि, तो समीकरण की दो जड़ें हैं।

1.2. प्रपत्र का एक अपूर्ण द्विघात समीकरण, जहां, :

1) आइए सामान्य गुणनखंड को कोष्ठक से बाहर निकालें: ,

2) यदि कम से कम एक कारक शून्य के बराबर है तो उत्पाद शून्य के बराबर है। इसलिए, समीकरण की दो जड़ें हैं:

1.3. प्रपत्र का अपूर्ण द्विघात समीकरण, जहां:

इस समीकरण का सदैव एक ही मूल होता है: .

2. फॉर्म के संपूर्ण द्विघात समीकरणों को हल करने के लिए एल्गोरिदम

2.1. विवेचक का उपयोग कर समाधान

1) आइए समीकरण को मानक रूप में लाएं: ,

2) आइए सूत्र का उपयोग करके विवेचक की गणना करें:, जो समीकरण की जड़ों की संख्या को इंगित करता है:

3) समीकरण की जड़ें खोजें:

• यदि, तो समीकरण की जड़ें हैं, जो सूत्र द्वारा पाई जाती हैं:
• यदि, तो समीकरण का एक मूल है, जो सूत्र द्वारा पाया जाता है:
• यदि, तो समीकरण की कोई जड़ नहीं है।

2.2. विएटा के प्रमेय का उपयोग करके समाधान

घटे हुए द्विघात समीकरण (जहां के रूप का समीकरण) की जड़ों का योग बराबर है, और जड़ों का उत्पाद बराबर है, यानी। , एक।

2.3. पूर्ण वर्ग चुनने की विधि द्वारा समाधान

यदि किसी द्विघात समीकरण के मूल हों तो उसे इस रूप में लिखा जा सकता है: .

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में आधुनिक समाजचर वर्ग वाले समीकरणों के साथ संचालन करने की क्षमता गतिविधि के कई क्षेत्रों में उपयोगी हो सकती है और वैज्ञानिक और तकनीकी विकास में इसका व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है। इसका प्रमाण समुद्री और के डिज़ाइन में पाया जा सकता है नदी की नावें, हवाई जहाज और मिसाइलें। ऐसी गणनाओं का उपयोग करते हुए, सबसे अधिक गति के प्रक्षेप पथ अलग-अलग शरीर, जिसमें अंतरिक्ष वस्तुएं भी शामिल हैं। द्विघात समीकरणों के समाधान वाले उदाहरणों का उपयोग न केवल आर्थिक पूर्वानुमान, इमारतों के डिजाइन और निर्माण में किया जाता है, बल्कि सबसे सामान्य रोजमर्रा की परिस्थितियों में भी किया जाता है। लंबी पैदल यात्रा यात्राओं पर, खेल आयोजनों में, दुकानों में खरीदारी करते समय और अन्य बहुत सामान्य स्थितियों में उनकी आवश्यकता हो सकती है।

आइए अभिव्यक्ति को उसके घटक कारकों में विभाजित करें

किसी समीकरण की डिग्री अभिव्यक्ति में शामिल चर की डिग्री के अधिकतम मान से निर्धारित होती है। यदि यह 2 के बराबर है, तो ऐसे समीकरण को द्विघात कहा जाता है।

यदि हम सूत्रों की भाषा में कहें तो संकेतित भाव, चाहे वे कैसे भी दिखें, हमेशा उसी रूप में लाये जा सकते हैं जब बाईं तरफअभिव्यक्ति में तीन पद होते हैं। उनमें से: ax 2 (अर्थात, इसके गुणांक के साथ एक चर का वर्ग), bx (इसके गुणांक के साथ एक वर्ग के बिना एक अज्ञात) और c (एक मुक्त घटक, अर्थात, एक साधारण संख्या)। दाहिनी ओर यह सब 0 के बराबर है। ऐसे मामले में जब ऐसे बहुपद में ax 2 के अपवाद के साथ इसके घटक पदों में से एक का अभाव होता है, तो इसे अपूर्ण द्विघात समीकरण कहा जाता है। ऐसी समस्याओं के समाधान वाले उदाहरणों पर पहले विचार किया जाना चाहिए, जिनमें चर के मान खोजना आसान है।

यदि अभिव्यक्ति ऐसी दिखती है जैसे इसके दाईं ओर दो पद हैं, अधिक सटीक रूप से ax 2 और bx, तो x को खोजने का सबसे आसान तरीका चर को कोष्ठक से बाहर रखना है। अब हमारा समीकरण इस तरह दिखेगा: x(ax+b). इसके बाद, यह स्पष्ट हो जाता है कि या तो x=0, या समस्या निम्नलिखित अभिव्यक्ति से एक चर खोजने पर आती है: ax+b=0। यह गुणन के गुणों में से एक द्वारा निर्धारित होता है। नियम कहता है कि दो कारकों का गुणनफल तभी 0 होता है जब उनमें से एक शून्य हो।

उदाहरण

x=0 या 8x - 3 = 0

परिणामस्वरूप, हमें समीकरण की दो जड़ें मिलती हैं: 0 और 0.375।

इस प्रकार के समीकरण गुरुत्वाकर्षण के प्रभाव के तहत पिंडों की गति का वर्णन कर सकते हैं, जो निर्देशांक की उत्पत्ति के रूप में लिए गए एक निश्चित बिंदु से चलना शुरू करते हैं। यहां गणितीय अंकन निम्नलिखित रूप लेता है: y = v 0 t + gt 2 /2। आवश्यक मानों को प्रतिस्थापित करके, दाईं ओर को 0 के बराबर करके और संभावित अज्ञात का पता लगाकर, आप उस समय का पता लगा सकते हैं जो शरीर के उठने के क्षण से उसके गिरने के क्षण तक गुजरता है, साथ ही कई अन्य मात्राएँ भी। लेकिन हम इस बारे में बाद में बात करेंगे.

एक अभिव्यक्ति का गुणनखंडन

ऊपर वर्णित नियम अधिक जटिल मामलों में इन समस्याओं को हल करना संभव बनाता है। आइए इस प्रकार के द्विघात समीकरणों को हल करने के उदाहरण देखें।

एक्स 2 - 33x + 200 = 0

यह द्विघात त्रिपद पूर्ण है। सबसे पहले, आइए अभिव्यक्ति को रूपांतरित करें और उसका गुणनखंड करें। उनमें से दो हैं: (x-8) और (x-25) = 0. परिणामस्वरूप, हमारे पास दो जड़ें 8 और 25 हैं।

ग्रेड 9 में द्विघात समीकरणों को हल करने के उदाहरण इस विधि को न केवल दूसरे, बल्कि तीसरे और चौथे क्रम के भावों में भी चर खोजने की अनुमति देते हैं।

उदाहरण के लिए: 2x 3 + 2x 2 - 18x - 18 = 0. जब दाएँ पक्ष को एक चर वाले कारकों में विभाजित किया जाता है, तो उनमें से तीन होते हैं, अर्थात्, (x+1), (x-3) और (x+) 3).

परिणामस्वरूप, यह स्पष्ट हो जाता है कि इस समीकरण के तीन मूल हैं: -3; -1; 3.

वर्गमूल

अपूर्ण दूसरे क्रम के समीकरण का एक अन्य मामला अक्षरों की भाषा में इस तरह से प्रस्तुत एक अभिव्यक्ति है कि दाईं ओर का निर्माण घटकों ax 2 और c से होता है। यहां, चर का मान प्राप्त करने के लिए, मुक्त पद को स्थानांतरित किया जाता है दाहिनी ओर, और उसके बाद समानता के दोनों ओर से वर्गमूल निकाला जाता है। यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि इस मामले में आमतौर पर समीकरण की दो जड़ें होती हैं। एकमात्र अपवाद वे समानताएँ हो सकती हैं जिनमें कोई भी पद शामिल नहीं होता है, जहाँ चर शून्य के बराबर होता है, साथ ही अभिव्यक्ति के प्रकार भी होते हैं जब दाहिना पक्ष नकारात्मक हो जाता है। बाद के मामले में, कोई समाधान नहीं है, क्योंकि उपरोक्त क्रियाएं जड़ों के साथ नहीं की जा सकतीं। इस प्रकार के द्विघात समीकरणों के समाधान के उदाहरणों पर विचार किया जाना चाहिए।

इस स्थिति में, समीकरण की जड़ें संख्याएँ -4 और 4 होंगी।

भूमि क्षेत्र की गणना

इस प्रकार की गणना की आवश्यकता प्राचीन काल में दिखाई देती थी, क्योंकि उन दूर के समय में गणित का विकास काफी हद तक भूमि भूखंडों के क्षेत्रों और परिधि को सबसे बड़ी सटीकता के साथ निर्धारित करने की आवश्यकता से निर्धारित होता था।

हमें इस प्रकार की समस्याओं के आधार पर द्विघात समीकरणों को हल करने के उदाहरणों पर भी विचार करना चाहिए।

तो, मान लीजिए कि जमीन का एक आयताकार भूखंड है, जिसकी लंबाई चौड़ाई से 16 मीटर अधिक है। यदि आप जानते हैं कि साइट का क्षेत्रफल 612 वर्ग मीटर है तो आपको साइट की लंबाई, चौड़ाई और परिधि ज्ञात करनी चाहिए।

आरंभ करने के लिए, आइए पहले आवश्यक समीकरण बनाएं। आइए हम क्षेत्र की चौड़ाई को x से निरूपित करें, तो इसकी लंबाई (x+16) होगी। जो लिखा गया है उससे यह पता चलता है कि क्षेत्रफल अभिव्यक्ति x(x+16) द्वारा निर्धारित किया जाता है, जो, हमारी समस्या की शर्तों के अनुसार, 612 है। इसका मतलब है कि x(x+16) = 612.

संपूर्ण द्विघात समीकरणों को हल करना, और यह अभिव्यक्ति बिल्कुल वैसी ही है, उसी तरह से नहीं किया जा सकता है। क्यों? हालाँकि बाईं ओर अभी भी दो कारक हैं, उनका उत्पाद बिल्कुल भी 0 के बराबर नहीं है, इसलिए यहां विभिन्न तरीकों का उपयोग किया जाता है।

विभेदक

सबसे पहले, आइए आवश्यक परिवर्तन करें उपस्थितियह अभिव्यक्ति इस तरह दिखेगी: x 2 + 16x - 612 = 0. इसका मतलब है कि हमें पहले निर्दिष्ट मानक के अनुरूप एक अभिव्यक्ति प्राप्त हुई है, जहां a=1, b=16, c=-612.

यह विवेचक का उपयोग करके द्विघात समीकरणों को हल करने का एक उदाहरण हो सकता है। यहां आवश्यक गणनाएँ योजना के अनुसार की गई हैं: D = b 2 - 4ac। यह सहायक मात्रा न केवल दूसरे क्रम के समीकरण में आवश्यक मात्राएँ खोजना संभव बनाती है, बल्कि मात्रा निर्धारित करती है संभावित विकल्प. यदि D>0, तो उनमें से दो हैं; D=0 के लिए एक मूल है। मामले में डी<0, никаких шансов для решения у уравнения вообще не имеется.

जड़ों और उनके सूत्र के बारे में

हमारे मामले में, विवेचक इसके बराबर है: 256 - 4(-612) = 2704। इससे पता चलता है कि हमारी समस्या का उत्तर है। यदि आप k जानते हैं, तो नीचे दिए गए सूत्र का उपयोग करके द्विघात समीकरणों का समाधान जारी रखना चाहिए। यह आपको जड़ों की गणना करने की अनुमति देता है।

इसका मतलब है कि प्रस्तुत मामले में: x 1 =18, x 2 =-34. इस दुविधा में दूसरा विकल्प कोई समाधान नहीं हो सकता, क्योंकि भूमि भूखंड के आयामों को ऋणात्मक मात्रा में नहीं मापा जा सकता है, जिसका अर्थ है कि x (अर्थात् भूखंड की चौड़ाई) 18 मीटर है। यहां से हम लंबाई की गणना करते हैं: 18 +16=34, और परिमाप 2(34+ 18)=104(एम2)।

उदाहरण और कार्य

हम द्विघात समीकरणों का अपना अध्ययन जारी रखते हैं। उनमें से कई के उदाहरण और विस्तृत समाधान नीचे दिए जाएंगे।

1) 15x 2 + 20x + 5 = 12x 2 + 27x + 1

आइए सब कुछ समानता के बाईं ओर ले जाएं, एक परिवर्तन करें, यानी, हम समीकरण का प्रकार प्राप्त करेंगे जिसे आमतौर पर मानक कहा जाता है, और इसे शून्य के बराबर करें।

15x 2 + 20x + 5 - 12x 2 - 27x - 1 = 0

समान जोड़ने पर, हम विवेचक निर्धारित करते हैं: डी = 49 - 48 = 1। इसका मतलब है कि हमारे समीकरण की दो जड़ें होंगी। आइए उपरोक्त सूत्र के अनुसार उनकी गणना करें, जिसका अर्थ है कि उनमें से पहला 4/3 के बराबर होगा, और दूसरा 1 के बराबर होगा।

2) अब आइए एक अलग तरह के रहस्यों को सुलझाएं।

आइए जानें कि क्या यहां x 2 - 4x + 5 = 1 का कोई मूल है? व्यापक उत्तर प्राप्त करने के लिए, आइए बहुपद को संगत सामान्य रूप में घटाएँ और विवेचक की गणना करें। उपरोक्त उदाहरण में, द्विघात समीकरण को हल करना आवश्यक नहीं है, क्योंकि यह समस्या का सार ही नहीं है। इस मामले में, D = 16 - 20 = -4, जिसका अर्थ है कि वास्तव में कोई जड़ें नहीं हैं।

विएटा का प्रमेय

उपरोक्त सूत्रों और विवेचक का उपयोग करके द्विघात समीकरणों को हल करना सुविधाजनक होता है, जब वर्गमूल को विवेचक के मान से लिया जाता है। लेकिन ऐसा हमेशा नहीं होता. हालाँकि, इस मामले में चर के मान प्राप्त करने के कई तरीके हैं। उदाहरण: विएटा के प्रमेय का उपयोग करके द्विघात समीकरणों को हल करना। उसका नाम उस व्यक्ति के नाम पर रखा गया है जो 16वीं शताब्दी में फ्रांस में रहता था और उसने अपनी गणितीय प्रतिभा और अदालत में संबंधों की बदौलत शानदार करियर बनाया। लेख में उनका चित्र देखा जा सकता है।

प्रसिद्ध फ्रांसीसी ने जिस पैटर्न पर ध्यान दिया वह इस प्रकार था। उन्होंने साबित किया कि समीकरण की जड़ें संख्यात्मक रूप से -p=b/a से जुड़ती हैं, और उनका उत्पाद q=c/a से मेल खाता है।

अब आइए विशिष्ट कार्यों पर नजर डालें।

3x 2 + 21x - 54 = 0

सरलता के लिए, आइए अभिव्यक्ति को रूपांतरित करें:

x 2 + 7x - 18 = 0

आइए विएटा के प्रमेय का उपयोग करें, इससे हमें निम्नलिखित मिलेगा: जड़ों का योग -7 है, और उनका उत्पाद -18 है। यहां से हमें पता चलता है कि समीकरण की जड़ें संख्याएं -9 और 2 हैं। जांच करने के बाद, हम यह सुनिश्चित करेंगे कि ये चर मान वास्तव में अभिव्यक्ति में फिट बैठते हैं।

परवलय ग्राफ और समीकरण

द्विघात फलन और द्विघात समीकरण की अवधारणाएँ निकटता से संबंधित हैं। इसके उदाहरण पहले ही दिये जा चुके हैं। आइए अब कुछ गणितीय पहेलियों को थोड़ा और विस्तार से देखें। वर्णित प्रकार के किसी भी समीकरण को दृश्य रूप से दर्शाया जा सकता है। ग्राफ़ के रूप में खींचे गए ऐसे संबंध को परवलय कहा जाता है। इसके विभिन्न प्रकार नीचे चित्र में प्रस्तुत किये गये हैं।

किसी भी परवलय का एक शीर्ष होता है, अर्थात एक बिंदु जहाँ से उसकी शाखाएँ निकलती हैं। यदि a>0, तो वे अनंत तक ऊपर जाते हैं, और जब a<0, они рисуются вниз. Простейшим примером подобной зависимости является функция y = x 2 . В данном случае в уравнении x 2 =0 неизвестное может принимать только одно значение, то есть х=0, а значит существует только один корень. Это неудивительно, ведь здесь D=0, потому что a=1, b=0, c=0. Выходит формула корней (точнее одного корня) квадратного уравнения запишется так: x = -b/2a.

फ़ंक्शंस का दृश्य निरूपण द्विघात समीकरणों सहित किसी भी समीकरण को हल करने में मदद करता है। इस विधि को ग्राफिकल कहा जाता है। और x वेरिएबल का मान उन बिंदुओं पर भुज निर्देशांक है जहां ग्राफ़ रेखा 0x के साथ प्रतिच्छेद करती है। शीर्ष के निर्देशांक दिए गए सूत्र x 0 = -b/2a का उपयोग करके पाए जा सकते हैं। और परिणामी मान को फ़ंक्शन के मूल समीकरण में प्रतिस्थापित करके, आप y 0 प्राप्त कर सकते हैं, अर्थात, परवलय के शीर्ष का दूसरा निर्देशांक, जो कोटि अक्ष से संबंधित है।

भुज अक्ष के साथ परवलय की शाखाओं का प्रतिच्छेदन

द्विघात समीकरणों को हल करने के बहुत सारे उदाहरण हैं, लेकिन सामान्य पैटर्न भी हैं। आइए उन पर नजर डालें. यह स्पष्ट है कि a>0 के लिए 0x अक्ष के साथ ग्राफ़ का प्रतिच्छेदन केवल तभी संभव है जब 0 नकारात्मक मान लेता है। और एक के लिए<0 координата у 0 должна быть положительна. Для указанных вариантов D>0. अन्यथा डी<0. А когда D=0, вершина параболы расположена непосредственно на оси 0х.

परवलय के ग्राफ से आप मूल भी निर्धारित कर सकते हैं। उल्टा भी सही है। अर्थात्, यदि किसी द्विघात फलन का दृश्य प्रतिनिधित्व प्राप्त करना आसान नहीं है, तो आप अभिव्यक्ति के दाहिने पक्ष को 0 के बराबर कर सकते हैं और परिणामी समीकरण को हल कर सकते हैं। और 0x अक्ष के साथ प्रतिच्छेदन बिंदुओं को जानने से ग्राफ़ बनाना आसान हो जाता है।

इतिहास से

वर्ग चर वाले समीकरणों का उपयोग करके, पुराने दिनों में वे न केवल गणितीय गणनाएँ करते थे और ज्यामितीय आकृतियों के क्षेत्रफल भी निर्धारित करते थे। पूर्वजों को भौतिकी और खगोल विज्ञान के क्षेत्र में भव्य खोजों के साथ-साथ ज्योतिषीय पूर्वानुमान लगाने के लिए ऐसी गणनाओं की आवश्यकता थी।

जैसा कि आधुनिक वैज्ञानिकों का सुझाव है, बेबीलोन के निवासी द्विघात समीकरणों को हल करने वाले पहले लोगों में से थे। यह हमारे युग से चार शताब्दी पहले हुआ था। निःसंदेह, उनकी गणनाएँ वर्तमान में स्वीकृत गणनाओं से मौलिक रूप से भिन्न थीं और बहुत अधिक आदिम निकलीं। उदाहरण के लिए, मेसोपोटामिया के गणितज्ञों को ऋणात्मक संख्याओं के अस्तित्व के बारे में कोई जानकारी नहीं थी। वे अन्य बारीकियों से भी अपरिचित थे जो कोई भी आधुनिक स्कूली बच्चा जानता है।

शायद बेबीलोन के वैज्ञानिकों से भी पहले, भारत के ऋषि बौधायमा ने द्विघात समीकरणों को हल करना शुरू कर दिया था। यह ईसा से लगभग आठ शताब्दी पूर्व हुआ था। सच है, दूसरे क्रम के समीकरण, हल करने के जो तरीके उन्होंने दिए, वे सबसे सरल थे। उनके अलावा, पुराने दिनों में चीनी गणितज्ञ भी इसी तरह के सवालों में रुचि रखते थे। यूरोप में, द्विघात समीकरणों को 13वीं शताब्दी की शुरुआत में ही हल किया जाना शुरू हुआ, लेकिन बाद में न्यूटन, डेसकार्टेस और कई अन्य जैसे महान वैज्ञानिकों ने अपने कार्यों में उनका उपयोग किया।