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के संदर्भ में
दी गई अन्य दो संख्याओं में से किसी भी तीन संख्या को खोजने का कार्य निर्धारित किया जा सकता है। यदि ए और फिर एन दिया गया है, तो वे घातांक द्वारा पाए जाते हैं। यदि N और फिर a को घात x का मूल लेकर (या इसे घात तक बढ़ाकर) दिया जाता है। अब उस मामले पर विचार करें, जब ए और एन दिए जाने पर, हमें एक्स खोजने की जरूरत है।
माना कि संख्या N धनात्मक है: संख्या a धनात्मक है और एक के बराबर नहीं है:।
परिभाषा। आधार a पर संख्या N का लघुगणक वह घातांक है जिस पर संख्या N प्राप्त करने के लिए a को उठाया जाना चाहिए; लघुगणक द्वारा निरूपित किया जाता है
इस प्रकार, समानता (26.1) में घातांक को आधार a के लघुगणक N के रूप में पाया जाता है। पदों
एक ही अर्थ है. समानता (26.1) को कभी-कभी लघुगणक के सिद्धांत की मुख्य पहचान कहा जाता है; वास्तव में यह लघुगणक की अवधारणा की परिभाषा को व्यक्त करता है। द्वारा यह परिभाषालघुगणक का आधार हमेशा सकारात्मक और एकता से भिन्न होता है; लघुगणकीय संख्या N धनात्मक है। ऋणात्मक संख्याओं और शून्य में कोई लघुगणक नहीं होता। यह सिद्ध किया जा सकता है कि किसी दिए गए आधार वाली किसी भी संख्या में एक अच्छी तरह से परिभाषित लघुगणक होता है। इसलिए समानता आवश्यक है. ध्यान दें कि शर्त यहां आवश्यक है; अन्यथा, निष्कर्ष उचित नहीं होगा, क्योंकि समानता x और y के किसी भी मान के लिए सत्य है।
उदाहरण 1. खोजें
समाधान। कोई संख्या प्राप्त करने के लिए, आपको आधार 2 को घात तक बढ़ाना होगा।
ऐसे उदाहरणों को हल करते समय आप निम्नलिखित रूप में नोट्स बना सकते हैं:
उदाहरण 2. खोजें ।
समाधान। हमारे पास है
उदाहरण 1 और 2 में, हमने तर्कसंगत घातांक के साथ आधार की शक्ति के रूप में लघुगणक संख्या का प्रतिनिधित्व करके आसानी से वांछित लघुगणक पाया। में सामान्य मामला, उदाहरण के लिए, आदि के लिए, ऐसा नहीं किया जा सकता, क्योंकि लघुगणक का एक अपरिमेय मान होता है। आइए इस बयान से जुड़े एक मुद्दे पर ध्यान दें. पैराग्राफ 12 में, हमने किसी दिए गए सकारात्मक संख्या की किसी भी वास्तविक शक्ति को निर्धारित करने की संभावना की अवधारणा दी। लघुगणक की शुरूआत के लिए यह आवश्यक था, जो सामान्यतः अपरिमेय संख्याएँ हो सकती हैं।
आइए लघुगणक के कुछ गुणों पर नजर डालें।
संपत्ति 1. यदि संख्या और आधार बराबर हैं, तो लघुगणक एक के बराबर है, और, इसके विपरीत, यदि लघुगणक एक के बराबर है, तो संख्या और आधार बराबर हैं।
सबूत। चलो एक लघुगणक की परिभाषा से हमारे पास है और कहाँ से
इसके विपरीत, परिभाषा के अनुसार फिर चलो
गुण 2. किसी भी आधार का लघुगणक शून्य के बराबर होता है।
सबूत। लघुगणक की परिभाषा के अनुसार (किसी भी धनात्मक आधार की शून्य घात एक के बराबर होती है, देखें (10.1))। यहाँ से
क्यू.ई.डी.
विपरीत कथन भी सत्य है: यदि, तो N = 1. वास्तव में, हमारे पास है।
लघुगणक की अगली संपत्ति तैयार करने से पहले, आइए हम यह कहने के लिए सहमत हों कि दो संख्याएँ a और b तीसरी संख्या c के एक ही तरफ स्थित हैं यदि वे दोनों c से बड़े हैं या c से कम हैं। यदि इनमें से एक संख्या c से बड़ी है और दूसरी c से कम है, तो हम कहेंगे कि वे साथ-साथ हैं अलग-अलग पक्षगांव से
गुण 3. यदि संख्या और आधार एक ही तरफ हों, तो लघुगणक धनात्मक होता है; यदि संख्या और आधार एक के विपरीत दिशा में स्थित हैं, तो लघुगणक ऋणात्मक होता है।
संपत्ति 3 का प्रमाण इस तथ्य पर आधारित है कि यदि आधार एक से बड़ा है और घातांक सकारात्मक है या आधार एक से कम है और घातांक नकारात्मक है तो ए की शक्ति एक से अधिक है। एक घात एक से कम है यदि आधार एक से बड़ा है और घातांक नकारात्मक है या आधार एक से कम है और घातांक सकारात्मक है।
विचार करने के लिए चार मामले हैं:
हम उनमें से पहले का विश्लेषण करने तक ही खुद को सीमित रखेंगे, बाकी पर पाठक स्वयं विचार करेंगे।
मान लीजिए कि समानता में घातांक न तो नकारात्मक हो सकता है और न ही शून्य के बराबर हो सकता है, इसलिए, यह सकारात्मक है, अर्थात, जैसा कि सिद्ध किया जाना आवश्यक है।
उदाहरण 3. पता लगाएं कि नीचे दिए गए लघुगणक में से कौन सा सकारात्मक है और कौन सा नकारात्मक है:
समाधान, ए) चूँकि संख्या 15 और आधार 12 एक ही तरफ स्थित हैं;
बी) चूंकि 1000 और 2 इकाई के एक तरफ स्थित हैं; इस मामले में, यह महत्वपूर्ण नहीं है कि आधार लघुगणकीय संख्या से बड़ा हो;
ग) चूँकि 3.1 और 0.8 एकता के विपरीत पक्षों पर स्थित हैं;
जी) ; क्यों?
डी) ; क्यों?
निम्नलिखित गुण 4-6 को अक्सर लघुगणक के नियम कहा जाता है: वे कुछ संख्याओं के लघुगणक को जानकर, उनमें से प्रत्येक के उत्पाद, भागफल और डिग्री के लघुगणक को खोजने की अनुमति देते हैं।
संपत्ति 4 (उत्पाद लघुगणक नियम)। किसी दिए गए आधार पर कई सकारात्मक संख्याओं के गुणनफल का लघुगणक उसी आधार पर इन संख्याओं के लघुगणक के योग के बराबर होता है।
सबूत। माना कि दी गई संख्याएँ धनात्मक हैं।
उनके उत्पाद के लघुगणक के लिए, हम समानता (26.1) लिखते हैं जो लघुगणक को परिभाषित करता है:
यहां से हम ढूंढ लेंगे
पहले और अंतिम भाव के घातांकों की तुलना करने पर, हमें आवश्यक समानता प्राप्त होती है:
ध्यान दें कि शर्त आवश्यक है; दो के गुणनफल का लघुगणक नकारात्मक संख्याएँसमझ में आता है, लेकिन इस मामले में हम पाते हैं
सामान्य तौर पर, यदि कई कारकों का गुणनफल सकारात्मक है, तो इसका लघुगणक इन कारकों के निरपेक्ष मानों के लघुगणक के योग के बराबर होता है।
गुण 5 (भागफल का लघुगणक लेने का नियम)। धनात्मक संख्याओं के भागफल का लघुगणक एक ही आधार पर लिए गए लाभांश और भाजक के लघुगणक के बीच के अंतर के बराबर होता है। सबूत। हम लगातार पाते हैं
क्यू.ई.डी.
संपत्ति 6 (शक्ति लघुगणक नियम)। किसी भी धनात्मक संख्या की घात का लघुगणक उस संख्या के घातांक से गुणा किये गये लघुगणक के बराबर होता है।
सबूत। आइए संख्या के लिए मुख्य पहचान (26.1) फिर से लिखें:
क्यू.ई.डी.
परिणाम। किसी धनात्मक संख्या के मूल का लघुगणक मूल के घातांक से विभाजित मूलांक के लघुगणक के बराबर होता है:
इस परिणाम की वैधता को कैसे और संपत्ति 6 का उपयोग करके कल्पना करके सिद्ध किया जा सकता है।
उदाहरण 4. आधार a पर लघुगणक लें:
ए) (यह माना जाता है कि सभी मान बी, सी, डी, ई सकारात्मक हैं);
बी) (ऐसा माना जाता है)।
समाधान, ए) इस अभिव्यक्ति में भिन्नात्मक घातों पर जाना सुविधाजनक है:
समानताओं (26.5)-(26.7) के आधार पर, अब हम लिख सकते हैं:
हम देखते हैं कि संख्याओं के लघुगणक पर संख्याओं की तुलना में सरल संक्रियाएँ की जाती हैं: संख्याओं को गुणा करते समय, उनके लघुगणक जोड़े जाते हैं, विभाजित करते समय, उन्हें घटाया जाता है, आदि।
इसीलिए कंप्यूटिंग अभ्यास में लघुगणक का उपयोग किया जाता है (पैराग्राफ 29 देखें)।
लघुगणक की व्युत्क्रम क्रिया को पोटेंशिएशन कहा जाता है, अर्थात्: पोटेंशिएशन वह क्रिया है जिसके द्वारा किसी संख्या के दिए गए लघुगणक से संख्या स्वयं पाई जाती है। मूलतः, पोटेंशिएशन कोई विशेष क्रिया नहीं है: यह आधार को एक घात (किसी संख्या के लघुगणक के बराबर) तक बढ़ाने के लिए आती है। शब्द "पोटेंशियेशन" को "एक्सपोनेंशियेशन" शब्द का पर्याय माना जा सकता है।
पोटेंशिएट करते समय, आपको लघुगणक के नियमों के विपरीत नियमों का उपयोग करना चाहिए: लघुगणक के योग को उत्पाद के लघुगणक से बदलें, लघुगणक के अंतर को भागफल के लघुगणक से बदलें, आदि। विशेष रूप से, यदि सामने कोई कारक है लघुगणक के चिह्न के, फिर पोटेंशिएशन के दौरान इसे लघुगणक के चिह्न के तहत घातांक डिग्री में स्थानांतरित किया जाना चाहिए।
उदाहरण 5. यदि यह ज्ञात हो तो N ज्ञात कीजिए
समाधान। पोटेंशिएशन के अभी बताए गए नियम के संबंध में, हम इस समानता के दाईं ओर लघुगणक के संकेतों के सामने खड़े कारक 2/3 और 1/3 को इन लघुगणक के संकेतों के तहत घातांक में स्थानांतरित करेंगे; हम पाते हैं
अब हम लघुगणक के अंतर को भागफल के लघुगणक से प्रतिस्थापित करते हैं:
समानता की इस श्रृंखला में अंतिम भिन्न प्राप्त करने के लिए, हमने पिछले भिन्न को हर में अतार्किकता से मुक्त कर दिया (खंड 25)।
गुण 7. यदि आधार एक से बड़ा हो तो बड़ी संख्याइसका लघुगणक बड़ा होता है (और छोटी संख्या का लघुगणक होता है), यदि आधार एक से कम है, तो बड़ी संख्या का लघुगणक छोटा होता है (और छोटी संख्या का बड़ा होता है)।
यह गुण असमानताओं के लघुगणक लेने के नियम के रूप में भी तैयार किया गया है, जिसके दोनों पक्ष सकारात्मक हैं:
जब असमानताओं को एक से बड़े आधार पर लघुगणक किया जाता है, तो असमानता का संकेत संरक्षित रहता है, और जब एक से कम आधार पर लघुगणक किया जाता है, तो असमानता का चिह्न विपरीत में बदल जाता है (पैराग्राफ 80 भी देखें)।
प्रमाण गुण 5 और 3 पर आधारित है। उस मामले पर विचार करें जब यदि, तब और, लघुगणक लेते हुए, हम प्राप्त करते हैं
(ए और एन/एम एकता के एक ही तरफ स्थित हैं)। यहाँ से
स्थिति इस प्रकार है, पाठक स्वयं ही इसका पता लगा लेगा।
इस लेख का फोकस है लोगारित्म. यहां हम लघुगणक की परिभाषा देंगे, दिखायें स्वीकृत पदनाम, हम लघुगणक के उदाहरण देंगे, और प्राकृतिक और दशमलव लघुगणक के बारे में बात करेंगे। उसके बाद, आइए मुख्य पर नजर डालें लघुगणकीय पहचान.
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लघुगणक की परिभाषा
लघुगणक की अवधारणा एक समस्या को एक निश्चित व्युत्क्रम अर्थ में हल करते समय उत्पन्न होती है, जब आपको एक घातांक खोजने की आवश्यकता होती है ज्ञात मूल्यडिग्री और ज्ञात आधार.
लेकिन बहुत हो चुकी प्रस्तावनाएं, अब इस प्रश्न का उत्तर देने का समय आ गया है कि "लघुगणक क्या है"? आइए हम संबंधित परिभाषा दें।
परिभाषा।
आधार ए से बी का लघुगणक, जहां a>0, a≠1 और b>0 वह घातांक है जिसके परिणामस्वरूप b प्राप्त करने के लिए आपको संख्या a बढ़ाने की आवश्यकता है।
इस स्तर पर, हम ध्यान दें कि बोले गए शब्द "लघुगणक" से तुरंत दो अनुवर्ती प्रश्न उठने चाहिए: "कौन सी संख्या" और "किस आधार पर।" दूसरे शब्दों में, कोई लघुगणक नहीं है, बल्कि केवल किसी संख्या का किसी आधार का लघुगणक है।
आइए तुरंत प्रवेश करें लघुगणक संकेतन: किसी संख्या b से आधार a का लघुगणक आमतौर पर लघुगणक a b के रूप में दर्शाया जाता है। किसी संख्या b से आधार e के लघुगणक और आधार 10 के लघुगणक के क्रमशः अपने विशेष पदनाम lnb और logb होते हैं, अर्थात, वे log e b नहीं, बल्कि lnb लिखते हैं, और log 10 b नहीं, बल्कि lgb लिखते हैं।
अब हम दे सकते हैं: .
और रिकार्ड 
कोई मतलब नहीं है, क्योंकि उनमें से पहले में लघुगणक चिह्न के नीचे एक ऋणात्मक संख्या है, दूसरे में आधार में एक ऋणात्मक संख्या है, और तीसरे में लघुगणक चिह्न के नीचे एक ऋणात्मक संख्या है और एक इकाई है आधार।
अब बात करते हैं लघुगणक पढ़ने के नियम. लॉग ए बी को "बी से आधार ए का लघुगणक" के रूप में पढ़ा जाता है। उदाहरण के लिए, लॉग 2 3 आधार 2 से तीन का लघुगणक है, और आधार 2 से दो दशमलव दो तिहाई का लघुगणक है। वर्गमूलपांच में से. आधार ई का लघुगणक कहलाता है प्राकृतिक, और अंकन एलएनबी "बी का प्राकृतिक लघुगणक" पढ़ता है। उदाहरण के लिए, ln7 सात का प्राकृतिक लघुगणक है, और हम इसे पाई के प्राकृतिक लघुगणक के रूप में पढ़ेंगे। आधार 10 लघुगणक का एक विशेष नाम भी है - दशमलव लघुगणक, और एलजीबी को "बी का दशमलव लघुगणक" के रूप में पढ़ा जाता है। उदाहरण के लिए, lg1 एक का दशमलव लघुगणक है, और lg2.75 दो दशमलव सात पाँच सौवें भाग का दशमलव लघुगणक है।
शर्तों a>0, a≠1 और b>0 पर अलग से ध्यान देना उचित है, जिसके तहत लघुगणक की परिभाषा दी गई है। आइए हम बताएं कि ये प्रतिबंध कहां से आते हैं। नामक प्रपत्र की समानता, जो ऊपर दी गई लघुगणक की परिभाषा से सीधे अनुसरण करती है, हमें ऐसा करने में मदद करेगी।
आइए a≠1 से शुरू करें। चूँकि किसी भी घात का एक, एक के बराबर होता है, समानता केवल तभी सत्य हो सकती है जब b=1, लेकिन लघुगणक 1 1 कोई भी वास्तविक संख्या हो सकता है। इस अस्पष्टता से बचने के लिए, a≠1 मान लिया गया है।
आइए हम शर्त a>0 की समीचीनता का औचित्य सिद्ध करें। a=0 के साथ, लघुगणक की परिभाषा के अनुसार, हमारे पास समानता होगी, जो केवल b=0 के साथ संभव है। लेकिन फिर लॉग 0 0 कोई भी गैर-शून्य वास्तविक संख्या हो सकती है, क्योंकि शून्य से किसी भी गैर-शून्य घात शून्य है। शर्त a≠0 हमें इस अस्पष्टता से बचने की अनुमति देती है। और जब ए<0 нам бы пришлось отказаться от рассмотрения рациональных и иррациональных значений логарифма, так как степень с рациональным и иррациональным показателем определена лишь для неотрицательных оснований. Поэтому и принимается условие a>0 .
अंत में, स्थिति b>0 असमानता a>0 से अनुसरण करती है, क्योंकि, और सकारात्मक आधार वाली शक्ति का मान हमेशा सकारात्मक होता है।
इस बिंदु को समाप्त करने के लिए, मान लें कि लघुगणक की बताई गई परिभाषा आपको लघुगणक के मान को तुरंत इंगित करने की अनुमति देती है जब लघुगणक चिह्न के नीचे की संख्या आधार की एक निश्चित शक्ति होती है। वास्तव में, लघुगणक की परिभाषा हमें यह बताने की अनुमति देती है कि यदि b=ap, तो आधार a पर संख्या b का लघुगणक p के बराबर है। अर्थात्, समानता लॉग a a p =p सत्य है। उदाहरण के लिए, हम जानते हैं कि 2 3 =8, तो लघुगणक 2 8=3। हम लेख में इसके बारे में अधिक बात करेंगे।
लघुगणक की परिभाषा
आधार a पर b का लघुगणक वह घातांक है जिस पर b प्राप्त करने के लिए a को बढ़ाया जाना चाहिए।
संख्या ईगणित में यह उस सीमा को दर्शाने की प्रथा है जिस तक कोई अभिव्यक्ति प्रयास करती है
संख्या ईहै अपरिमेय संख्या - एक संख्या जो एक के अनुरूप नहीं है, इसे पूर्णांक या भिन्न के रूप में सटीक रूप से व्यक्त नहीं किया जा सकता है तर्कसंगतसंख्या।
पत्र इ- लैटिन शब्द का पहला अक्षर प्रतिपादक- दिखावा करना, इसलिए गणित में नाम घातीय- घातांक प्रकार्य।
संख्या इगणित और सभी विज्ञानों में व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है जो किसी न किसी तरह से अपनी आवश्यकताओं के लिए गणितीय गणनाओं का उपयोग करते हैं।
लघुगणक. लघुगणक के गुण
परिभाषा: किसी धनात्मक संख्या b का उसके आधार से लघुगणक घातांक c है जिससे संख्या b प्राप्त करने के लिए संख्या a को ऊपर उठाना होगा।
मूल लघुगणकीय पहचान:
7) नये आधार पर जाने का फार्मूला:
एलएनए = लॉग ई ए, ई ≈ 2.718…
"लघुगणक" विषय पर समस्याएं और परीक्षण। लघुगणक के गुण"
- लघुगणक - गणित में एकीकृत राज्य परीक्षा की समीक्षा के लिए महत्वपूर्ण विषय
इस विषय पर कार्यों को सफलतापूर्वक पूरा करने के लिए, आपको लघुगणक की परिभाषा, लघुगणक के गुण, मूल लघुगणक पहचान, दशमलव और प्राकृतिक लघुगणक की परिभाषाएँ जाननी चाहिए। इस विषय पर मुख्य प्रकार की समस्याएं लघुगणकीय अभिव्यक्तियों की गणना और परिवर्तन से जुड़ी समस्याएं हैं। आइए निम्नलिखित उदाहरणों का उपयोग करके उनके समाधान पर विचार करें।
समाधान:लघुगणक के गुणों का उपयोग करते हुए, हम प्राप्त करते हैं
समाधान:डिग्री के गुणों का उपयोग करके, हम प्राप्त करते हैं
1) (2 2) लघुगणक 2 5 =(2 लघुगणक 2 5) 2 =5 2 =25
लघुगणक के गुण, सूत्रीकरण और प्रमाण।
लघुगणक में कई विशिष्ट गुण होते हैं। इस लेख में हम मुख्य बातों पर गौर करेंगे लघुगणक के गुण. यहां हम उनके सूत्रीकरण देंगे, लघुगणक के गुणों को सूत्रों के रूप में लिखेंगे, उनके अनुप्रयोग के उदाहरण दिखाएंगे, और लघुगणक के गुणों का प्रमाण भी प्रदान करेंगे।
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लघुगणक, सूत्रों के मूल गुण
याद रखने और उपयोग में आसानी के लिए, आइए कल्पना करें लघुगणक के मूल गुणसूत्रों की सूची के रूप में. अगले पैराग्राफ में हम उनके सूत्रीकरण, साक्ष्य, उपयोग के उदाहरण और आवश्यक स्पष्टीकरण देंगे।
और n धनात्मक संख्याओं के गुणनफल के लघुगणक का गुण: log a (x 1 · x 2 ·…·x n)= log a x 1 +log a x 2 +…+log a x n , a>0 , a≠1 , x 1 >0, x 2 >0, …, x n >0।
, जहां a>0, a≠1, x>0, y>0।
, जहां a>0, a≠1, n – प्राकृतिक संख्या, एक से अधिक, b>0.
, a>0 , a≠1 , b>0 , b≠1 .
, a>0 , a≠1 , b>0 , p और q वास्तविक संख्याएँ हैं, q≠0 , विशेष रूप से b=a के लिए हमारे पास है 
.गुणों का निरूपण एवं प्रमाण
हम लघुगणक के लिखित गुणों के निर्माण और प्रमाण के लिए आगे बढ़ते हैं। लघुगणक के सभी गुण लघुगणक की परिभाषा और उससे निकलने वाली मूल लघुगणकीय पहचान, साथ ही डिग्री के गुणों के आधार पर सिद्ध होते हैं।
चलो साथ - साथ शुरू करते हैं एक के लघुगणक के गुण. इसका सूत्रीकरण इस प्रकार है: एकता का लघुगणक शून्य के बराबर है, अर्थात, लॉग ए 1=0किसी भी a>0, a≠1 के लिए। प्रमाण कठिन नहीं है: चूँकि a 0 =1 किसी भी a के लिए उपरोक्त शर्तों a>0 और a≠1 को संतुष्ट करता है, तो साबित करने के लिए समानता लॉग a 1=0 लघुगणक की परिभाषा से तुरंत अनुसरण करता है।
आइए हम विचारित संपत्ति के अनुप्रयोग के उदाहरण दें: लॉग 3 1=0, लॉग1=0 और।
चलिए आगे बढ़ते हैं निम्नलिखित संपत्ति के लिए: आधार के बराबर संख्या का लघुगणक एक के बराबर होता है, वह है, लॉग ए ए=1 a>0, a≠1 के लिए। वास्तव में, चूँकि किसी भी a के लिए a 1 =a है, तो लघुगणक की परिभाषा के अनुसार log a a=1 है।
लघुगणक की इस संपत्ति का उपयोग करने के उदाहरण समानताएं लॉग 5 5 = 1, लॉग 5.6 5.6 और एलएनई = 1 हैं।
लघुगणक के आधार के बराबर किसी संख्या की घात का लघुगणक घातांक के बराबर होता है. लघुगणक का यह गुण प्रपत्र के एक सूत्र से मेल खाता है लॉग ए एपी =पी, जहां a>0, a≠1 और p - कोई वास्तविक संख्या। यह गुण सीधे लघुगणक की परिभाषा से अनुसरण करता है। ध्यान दें कि यह आपको लघुगणक के मान को तुरंत इंगित करने की अनुमति देता है, यदि आधार की शक्ति के रूप में लघुगणक चिह्न के तहत संख्या का प्रतिनिधित्व करना संभव है; हम लघुगणक की गणना करने वाले लेख में इसके बारे में अधिक बात करेंगे।
उदाहरण के लिए, लॉग 2 2 7 =7, लॉग10 -4 =-4 और 
.
दो धनात्मक संख्याओं के गुणनफल का लघुगणक x और y इन संख्याओं के लघुगणक के गुणनफल के बराबर है: लॉग ए (x y)=लॉग ए x+लॉग ए वाई, a>0 , a≠1 . आइए हम किसी उत्पाद के लघुगणक के गुण को सिद्ध करें। डिग्री के गुणों के कारण a log a x+log a y =a log a x ·a log a y, और चूँकि मुख्य लघुगणकीय पहचान के अनुसार a log a x =x और a log a y =y, तो a log a x ·a log a y =x·y. इस प्रकार, एक लॉग a x+log a y =x·y, जिसमें से, लघुगणक की परिभाषा के अनुसार, समानता सिद्ध की जा रही है।
आइए किसी उत्पाद के लघुगणक की संपत्ति का उपयोग करने के उदाहरण दिखाएं: लॉग 5 (2 3) = लॉग 5 2 + लॉग 5 3 और 
.
किसी उत्पाद के लघुगणक की संपत्ति को सकारात्मक संख्याओं x 1, x 2, …, x n की एक परिमित संख्या n के उत्पाद के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है लॉग ए (एक्स 1 · एक्स 2 ·…·एक्स एन)= लॉग ए एक्स 1 +लॉग ए एक्स 2 +…+लॉग ए एक्स एन. गणितीय प्रेरण की विधि का उपयोग करके इस समानता को बिना किसी समस्या के सिद्ध किया जा सकता है।
उदाहरण के लिए, उत्पाद के प्राकृतिक लघुगणक को संख्या 4, ई, और के तीन प्राकृतिक लघुगणक के योग से प्रतिस्थापित किया जा सकता है।
दो धनात्मक संख्याओं के भागफल का लघुगणक x और y इन संख्याओं के लघुगणक के बीच के अंतर के बराबर है। भागफल के लघुगणक का गुण प्रपत्र के सूत्र से मेल खाता है , जहां a>0, a≠1, x और y कुछ सकारात्मक संख्याएं हैं। इस सूत्र की वैधता किसी उत्पाद के लघुगणक के सूत्र के साथ-साथ सिद्ध होती है: चूँकि 
, फिर लघुगणक की परिभाषा के अनुसार .
यहां लघुगणक की इस संपत्ति का उपयोग करने का एक उदाहरण दिया गया है: 
.
चलिए आगे बढ़ते हैं घात के लघुगणक की संपत्ति. किसी डिग्री का लघुगणक घातांक के गुणनफल और इस डिग्री के आधार के मापांक के लघुगणक के बराबर होता है। आइए किसी घात के लघुगणक के इस गुण को सूत्र के रूप में लिखें: लॉग ए बी पी =पी·लॉग ए |बी|, जहां a>0, a≠1, b और p ऐसी संख्याएं हैं कि डिग्री b p समझ में आती है और b p >0।
पहले हम इस गुण को सकारात्मक बी के लिए सिद्ध करते हैं। मूल लघुगणकीय पहचान हमें संख्या b को log a b के रूप में प्रस्तुत करने की अनुमति देती है, फिर b p =(a log a b) p, और परिणामी अभिव्यक्ति, शक्ति के गुण के कारण, a p·log a b के बराबर होती है। तो हम समानता b p = a p·log a b पर आते हैं, जिससे, लघुगणक की परिभाषा से, हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि log a b p =p·log a b।
इस गुण को ऋणात्मक b के लिए सिद्ध करना बाकी है। यहां हम ध्यान देते हैं कि नकारात्मक बी के लिए अभिव्यक्ति लॉग ए बी पी केवल सम घातांक पी के लिए समझ में आता है (चूंकि डिग्री बी पी का मान शून्य से अधिक होना चाहिए, अन्यथा लघुगणक का कोई मतलब नहीं होगा), और इस मामले में बी पी =|बी| पी। फिर बी पी =|बी| पी =(ए लॉग ए |बी|) पी =ए पी·लॉग ए |बी| , जहां से लॉग ए बी पी =पी·लॉग ए |बी| .
उदाहरण के लिए, 
और ln(-3) 4 =4·ln|-3|=4·ln3 .
यह पिछली संपत्ति से अनुसरण करता है मूल से लघुगणक का गुण: nवें मूल का लघुगणक मूल अभिव्यक्ति के लघुगणक द्वारा भिन्न 1/n के गुणनफल के बराबर है, अर्थात, जहां a>0, a≠1, n एक से बड़ी प्राकृतिक संख्या है, b>0 .
प्रमाण समानता पर आधारित है (भिन्नात्मक घातांक के साथ घातांक की परिभाषा देखें), जो किसी भी सकारात्मक बी के लिए मान्य है, और घातांक के लघुगणक की संपत्ति: 
.
इस संपत्ति का उपयोग करने का एक उदाहरण यहां दिया गया है: 
.
अब आइए साबित करें नए लघुगणक आधार पर जाने का सूत्रदयालु 
. ऐसा करने के लिए, समानता लॉग सी बी=लॉग ए बी·लॉग सी ए की वैधता साबित करना पर्याप्त है। मूल लघुगणकीय पहचान हमें संख्या b को log a b के रूप में प्रस्तुत करने की अनुमति देती है, फिर log c b=log c a log a b। यह डिग्री के लघुगणक के गुण का उपयोग करना बाकी है: log c a log a b =log a b·log c a . इससे समानता log c b=log a b·log c a सिद्ध होती है, जिसका अर्थ है कि लघुगणक के नए आधार पर संक्रमण का सूत्र भी सिद्ध होता है .
आइए लघुगणक की इस संपत्ति का उपयोग करने के कुछ उदाहरण दिखाएं: और 
.
नए आधार पर जाने का सूत्र आपको "सुविधाजनक" आधार वाले लघुगणक के साथ काम करने की अनुमति देता है। उदाहरण के लिए, इसका उपयोग प्राकृतिक या दशमलव लघुगणक में बदलने के लिए किया जा सकता है ताकि आप लघुगणक की तालिका से लघुगणक के मान की गणना कर सकें। नए लघुगणक आधार पर जाने का सूत्र, कुछ मामलों में, किसी दिए गए लघुगणक का मान ज्ञात करने की भी अनुमति देता है, जब अन्य आधारों वाले कुछ लघुगणक के मान ज्ञात होते हैं।
बार-बार प्रयोग किया जाता है विशेष मामलाप्रपत्र के c=b के साथ लघुगणक के एक नए आधार पर संक्रमण के लिए सूत्र। इससे पता चलता है कि log a b और log b a परस्पर व्युत्क्रम संख्याएँ हैं। जैसे, 
.
सूत्र का भी अक्सर उपयोग किया जाता है, जो लघुगणक के मान ज्ञात करने के लिए सुविधाजनक है। अपने शब्दों की पुष्टि करने के लिए, हम दिखाएंगे कि इसका उपयोग फॉर्म के लघुगणक के मूल्य की गणना करने के लिए कैसे किया जा सकता है। हमारे पास है 
. सूत्र को सिद्ध करने के लिए, लघुगणक a के नए आधार पर जाने के लिए सूत्र का उपयोग करना पर्याप्त है: 
.
यह लघुगणक की तुलना के गुणों को सिद्ध करना बाकी है।
आइए विपरीत विधि का प्रयोग करें। मान लीजिए कि a 1 >1, a 2 >1 और a 1 2 और 0 1 के लिए, log a 1 b≤log a 2 b सत्य है। लघुगणक के गुणों के आधार पर, इन असमानताओं को इस प्रकार फिर से लिखा जा सकता है 
और 
क्रमशः, और उनसे यह निष्कर्ष निकलता है कि क्रमशः लॉग बी ए 1 ≤लॉग बी ए 2 और लॉग बी ए 1 ≥लॉग बी ए 2। फिर, समान आधारों वाली घातों के गुणों के अनुसार, समानताएँ b log b a 1 ≥b log b a 2 और b log b a 1 ≥b log b a 2 कायम रहनी चाहिए, अर्थात a 1 ≥a 2। तो हम स्थिति ए 1 2 के विरोधाभास पर आ गए। इससे प्रमाण पूर्ण हो जाता है।
लघुगणक के मूल गुण
- पाठ के लिए सामग्री
- सभी सूत्र डाउनलोड करें
- लॉग ए एक्स एन = एन · लॉग ए एक्स ;
लघुगणक, किसी भी संख्या की तरह, हर तरह से जोड़ा, घटाया और परिवर्तित किया जा सकता है। लेकिन चूंकि लघुगणक बिल्कुल सामान्य संख्याएं नहीं हैं, इसलिए यहां नियम हैं, जिन्हें कहा जाता है मुख्य गुण.
आपको निश्चित रूप से इन नियमों को जानने की आवश्यकता है - इनके बिना एक भी गंभीर लघुगणकीय समस्या का समाधान नहीं किया जा सकता है। इसके अलावा, उनमें से बहुत कम हैं - आप एक दिन में सब कुछ सीख सकते हैं। तो चलो शुरू हो जाओ।
लघुगणक जोड़ना और घटाना
समान आधार वाले दो लघुगणक पर विचार करें: लघुगणक x और लघुगणक y। फिर उन्हें जोड़ा और घटाया जा सकता है, और:
तो, लघुगणक का योग उत्पाद के लघुगणक के बराबर है, और अंतर भागफल के लघुगणक के बराबर है। कृपया ध्यान दें: यहां मुख्य बिंदु यह है समान आधार. यदि कारण भिन्न हों तो ये नियम काम नहीं करते!
ये सूत्र आपको एक लघुगणकीय अभिव्यक्ति की गणना करने में मदद करेंगे, भले ही इसके अलग-अलग हिस्सों पर विचार न किया गया हो (पाठ "लघुगणक क्या है" देखें)। उदाहरणों पर एक नज़र डालें और देखें:
काम। व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए: लॉग 6 4 + लॉग 6 9।
चूँकि लघुगणक का आधार समान होता है, हम योग सूत्र का उपयोग करते हैं:
लॉग 6 4 + लॉग 6 9 = लॉग 6 (4 9) = लॉग 6 36 = 2।
काम। व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए: log 2 48 − log 2 3.
आधार समान हैं, हम अंतर सूत्र का उपयोग करते हैं:
लॉग 2 48 - लॉग 2 3 = लॉग 2 (48:3) = लॉग 2 16 = 4।
काम। व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए: log 3 135 − log 3 5.
फिर से आधार वही हैं, इसलिए हमारे पास है:
लॉग 3 135 - लॉग 3 5 = लॉग 3 (135:5) = लॉग 3 27 = 3।
जैसा कि आप देख सकते हैं, मूल अभिव्यक्तियाँ "खराब" लघुगणक से बनी हैं, जिनकी गणना अलग से नहीं की जाती है। लेकिन परिवर्तनों के बाद वे काफी हद तक बदल जाते हैं सामान्य संख्या. कई लोग इस तथ्य पर आधारित हैं परीक्षण पत्र. हाँ, एकीकृत राज्य परीक्षा में परीक्षण जैसी अभिव्यक्तियाँ पूरी गंभीरता से (कभी-कभी वस्तुतः बिना किसी बदलाव के) पेश की जाती हैं।
लघुगणक से घातांक निकालना
अब कार्य को थोड़ा जटिल बनाते हैं। क्या होगा यदि लघुगणक का आधार या तर्क एक शक्ति है? फिर इस डिग्री के घातांक को निम्नलिखित नियमों के अनुसार लघुगणक के चिह्न से बाहर निकाला जा सकता है:
यह देखना आसान है कि अंतिम नियम पहले दो का पालन करता है। लेकिन फिर भी इसे याद रखना बेहतर है - कुछ मामलों में यह गणनाओं की मात्रा को काफी कम कर देगा।
बेशक, ये सभी नियम तब समझ में आते हैं जब लघुगणक का ODZ देखा जाता है: a > 0, a ≠ 1, x > 0. और एक और बात: सभी सूत्रों को न केवल बाएं से दाएं, बल्कि इसके विपरीत भी लागू करना सीखें , अर्थात। आप लघुगणक पर हस्ताक्षर करने से पहले की संख्याओं को लघुगणक में ही दर्ज कर सकते हैं। इसकी सबसे अधिक आवश्यकता होती है।
काम। व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए: लॉग 7 49 6।
आइए पहले सूत्र का उपयोग करके तर्क में डिग्री से छुटकारा पाएं:
लॉग 7 49 6 = 6 लॉग 7 49 = 6 2 = 12
काम। अभिव्यक्ति का अर्थ खोजें:
[तस्वीर के लिए कैप्शन]
ध्यान दें कि हर में एक लघुगणक होता है, जिसका आधार और तर्क सटीक घात हैं: 16 = 2 4 ; 49 = 7 2. हमारे पास है:
[तस्वीर के लिए कैप्शन]
मुझे लगता है कि अंतिम उदाहरण में कुछ स्पष्टीकरण की आवश्यकता है। लघुगणक कहाँ चले गए? अंतिम क्षण तक हम केवल हर के साथ काम करते हैं। हमने वहां खड़े लघुगणक के आधार और तर्क को घातों के रूप में प्रस्तुत किया और घातांक निकाले - हमें एक "तीन-कहानी" अंश मिला।
अब आइए मुख्य अंश पर नजर डालें। अंश और हर में समान संख्या होती है: लॉग 2 7. चूंकि लॉग 2 7 ≠ 0, हम भिन्न को कम कर सकते हैं - 2/4 हर में रहेगा। अंकगणित के नियमों के अनुसार, चार को अंश में स्थानांतरित किया जा सकता है, जो कि किया गया था। परिणाम यह उत्तर था: 2.
एक नई नींव में परिवर्तन
लघुगणक जोड़ने और घटाने के नियमों के बारे में बोलते हुए, मैंने विशेष रूप से जोर दिया कि वे केवल समान आधारों के साथ काम करते हैं। यदि कारण भिन्न हों तो क्या होगा? क्या होगा यदि वे एक ही संख्या की सटीक घातें नहीं हैं?
नई नींव में परिवर्तन के सूत्र बचाव में आते हैं। आइए हम उन्हें एक प्रमेय के रूप में तैयार करें:
मान लीजिए कि लघुगणक लॉग a x दिया गया है। फिर किसी भी संख्या c के लिए जैसे कि c > 0 और c ≠ 1, समानता सत्य है:
[तस्वीर के लिए कैप्शन]
विशेष रूप से, यदि हम c = x सेट करते हैं, तो हमें मिलता है:
[तस्वीर के लिए कैप्शन]
दूसरे सूत्र से यह पता चलता है कि लघुगणक के आधार और तर्क की अदला-बदली की जा सकती है, लेकिन इस मामले में संपूर्ण अभिव्यक्ति "उलट" है, अर्थात। लघुगणक हर में प्रकट होता है।
ये सूत्र सामान्य संख्यात्मक अभिव्यक्तियों में बहुत कम पाए जाते हैं। लघुगणकीय समीकरणों और असमानताओं को हल करते समय ही यह मूल्यांकन करना संभव है कि वे कितने सुविधाजनक हैं।
हालाँकि, ऐसी समस्याएँ हैं जिन्हें नई नींव पर जाने के अलावा बिल्कुल भी हल नहीं किया जा सकता है। आइए इनमें से कुछ पर नजर डालें:
काम। व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए: लॉग 5 16 लॉग 2 25।
ध्यान दें कि दोनों लघुगणक के तर्कों में सटीक शक्तियाँ होती हैं। आइए संकेतक निकालें: लॉग 5 16 = लॉग 5 2 4 = 4लॉग 5 2; लॉग 2 25 = लॉग 2 5 2 = 2 लॉग 2 5;
अब दूसरे लघुगणक को "उल्टा" करते हैं:
[तस्वीर के लिए कैप्शन]
चूंकि कारकों को पुनर्व्यवस्थित करने पर उत्पाद नहीं बदलता है, इसलिए हमने शांति से चार और दो को गुणा किया, और फिर लघुगणक से निपटा।
काम। व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए: लॉग 9 100 एलजी 3।
प्रथम लघुगणक का आधार और तर्क सटीक घात हैं। आइए इसे लिखें और संकेतकों से छुटकारा पाएं:
[तस्वीर के लिए कैप्शन]
आइए अब एक नए आधार पर जाकर दशमलव लघुगणक से छुटकारा पाएं:
[तस्वीर के लिए कैप्शन]
बुनियादी लघुगणकीय पहचान
अक्सर समाधान प्रक्रिया में किसी संख्या को किसी दिए गए आधार पर लघुगणक के रूप में प्रस्तुत करना आवश्यक होता है। इस मामले में, निम्नलिखित सूत्र हमारी मदद करेंगे:
- एन = लॉग ए ए एन
-
पहले मामले में, संख्या n तर्क में प्रतिपादक बन जाती है। संख्या n बिल्कुल कुछ भी हो सकती है, क्योंकि यह केवल एक लघुगणक मान है।
दूसरा सूत्र वास्तव में एक संक्षिप्त परिभाषा है। इसे ही कहा जाता है: बुनियादी लघुगणकीय पहचान।
वास्तव में, यदि संख्या b को इतनी घात तक बढ़ा दिया जाए कि इस घात की संख्या b, संख्या a दे दे तो क्या होगा? यह सही है: परिणाम वही संख्या है। इस पैराग्राफ को दोबारा ध्यान से पढ़ें - कई लोग इस पर अटक जाते हैं।
नए आधार पर जाने के सूत्रों की तरह, मूल लघुगणकीय पहचान कभी-कभी एकमात्र संभावित समाधान होती है।
[तस्वीर के लिए कैप्शन]
ध्यान दें कि लघुगणक 25 64 = लघुगणक 5 8 - हमने केवल लघुगणक के आधार और तर्क से वर्ग लिया है। समान आधार से घातों को गुणा करने के नियमों को ध्यान में रखते हुए, हम पाते हैं:
[तस्वीर के लिए कैप्शन]
यदि कोई नहीं जानता है, तो यह एकीकृत राज्य परीक्षा का एक वास्तविक कार्य था :)
लघुगणकीय इकाई और लघुगणकीय शून्य
अंत में, मैं दो पहचान दूंगा जिन्हें शायद ही गुण कहा जा सकता है - बल्कि, वे लघुगणक की परिभाषा के परिणाम हैं। वे लगातार समस्याओं में दिखाई देते हैं और आश्चर्यजनक रूप से, "उन्नत" छात्रों के लिए भी समस्याएं पैदा करते हैं।
- log a a = 1 एक लघुगणकीय इकाई है। एक बार और हमेशा के लिए याद रखें: किसी भी आधार का लघुगणक स्वयं एक के बराबर होता है।
- लॉग ए 1 = 0 लघुगणकीय शून्य है। आधार कुछ भी हो सकता है, लेकिन यदि तर्क में एक है, तो लघुगणक शून्य के बराबर है! क्योंकि 0 = 1 परिभाषा का प्रत्यक्ष परिणाम है।
बस इतनी ही संपत्ति है. उन्हें अभ्यास में लाने का अभ्यास अवश्य करें! पाठ की शुरुआत में चीट शीट डाउनलोड करें, उसका प्रिंट आउट लें और समस्याओं का समाधान करें।
लघुगणक. लघुगणक के गुण (जोड़ और घटाव)।
लघुगणक के गुणइसकी परिभाषा से अनुसरण करें. और इसलिए संख्या का लघुगणक बीपर आधारित एको उस घातांक के रूप में परिभाषित किया गया है जिससे किसी संख्या को बढ़ाया जाना चाहिए एनंबर पाने के लिए बी(लघुगणक केवल सकारात्मक संख्याओं के लिए मौजूद है)।
इस सूत्रीकरण से यह निष्कर्ष निकलता है कि गणना x=लॉग ए बी, समीकरण को हल करने के बराबर है ए एक्स =बी.उदाहरण के लिए, लॉग 2 8 = 3क्योंकि 8 = 2 3 . लघुगणक का निरूपण इसे उचित ठहराना संभव बनाता है यदि बी=ए सी, फिर संख्या का लघुगणक बीपर आधारित एके बराबर होती है साथ. यह भी स्पष्ट है कि लघुगणक का विषय घातों के विषय से निकटता से संबंधित है।
लघुगणक के साथ, किसी भी संख्या की तरह, आप ऐसा कर सकते हैं जोड़, घटाव की क्रियाएँऔर हर संभव तरीके से परिवर्तन करें। लेकिन इस तथ्य के कारण कि लघुगणक पूरी तरह से सामान्य संख्याएँ नहीं हैं, उनके अपने विशेष नियम यहाँ लागू होते हैं, जिन्हें कहा जाता है मुख्य गुण.
लघुगणक जोड़ना और घटाना.
आइए समान आधार वाले दो लघुगणक लें: एक x लॉग करेंऔर एक y लॉग इन करें. फिर जोड़ और घटाव संचालन करना संभव है:
जैसा कि हम देखते हैं, लघुगणक का योगउत्पाद के लघुगणक के बराबर है, और अंतर लघुगणक- भागफल का लघुगणक. इसके अलावा, यदि संख्याएँ सच हैं ए, एक्सऔर परसकारात्मक और ए ≠ 1.
यह ध्यान रखना महत्वपूर्ण है कि इन सूत्रों में मुख्य पहलू वही आधार हैं। यदि आधार भिन्न हैं तो ये नियम लागू नहीं होते!
समान आधार वाले लघुगणक को जोड़ने और घटाने के नियम न केवल बाएँ से दाएँ पढ़े जाते हैं, बल्कि इसके विपरीत भी पढ़े जाते हैं। परिणामस्वरूप, हमारे पास उत्पाद के लघुगणक और भागफल के लघुगणक के लिए प्रमेय हैं।
उत्पाद का लघुगणकदो धनात्मक संख्याएँ उनके लघुगणक के योग के बराबर होती हैं ; इस प्रमेय को दोबारा दोहराने पर हमें निम्नलिखित संख्याएँ प्राप्त होती हैं ए, एक्सऔर परसकारात्मक और ए ≠ 1, वह:
भागफल का लघुगणकदो धनात्मक संख्याएँ लाभांश और भाजक के लघुगणक के बीच के अंतर के बराबर होती हैं। इसे दूसरे तरीके से कहें तो, यदि संख्याएँ ए, एक्सऔर परसकारात्मक और ए ≠ 1, वह:
आइए उपरोक्त प्रमेयों को हल करने के लिए लागू करें उदाहरण:
यदि संख्याएँ एक्सऔर परतो फिर, नकारात्मक हैं उत्पाद लघुगणक सूत्रअर्थहीन हो जाता है. इस प्रकार, यह लिखना मना है:
चूँकि व्यंजक लॉग 2 (-8) और लॉग 2 (-4) बिल्कुल भी परिभाषित नहीं हैं (लघुगणकीय फ़ंक्शन पर= लॉग 2 एक्सकेवल सकारात्मक तर्क मानों के लिए परिभाषित एक्स).
उत्पाद प्रमेययह न केवल दो के लिए, बल्कि असीमित संख्या में कारकों के लिए भी लागू होता है। इसका मतलब यह है कि हर प्राकृतिक के लिए कऔर कोई भी सकारात्मक संख्या एक्स 1 , एक्स 2 , . . . ,एक्स एनएक पहचान है:
से लघुगणक भागफल प्रमेयलघुगणक का एक और गुण प्राप्त किया जा सकता है। यह सामान्य ज्ञान है कि लॉग करें एइसलिए, 1= 0
इसका मतलब है कि समानता है:
दो पारस्परिक संख्याओं के लघुगणकएक ही कारण से केवल संकेत द्वारा एक दूसरे से भिन्न होंगे। इसलिए:
लघुगणक. लघुगणक के गुण
लघुगणक. लघुगणक के गुण
आइए समानता पर विचार करें. हमें और का मान बताएं और हम इसका मान ज्ञात करना चाहते हैं।
अर्थात्, हम उस प्रतिपादक की तलाश कर रहे हैं जिसके द्वारा हमें इसे प्राप्त करने के लिए कॉक करना होगा।
होने देना
एक चर कोई भी वास्तविक मान ले सकता है, तो चर पर निम्नलिखित प्रतिबंध लगाए जाते हैं: o" title='a>o'/> , 1″ title='a1″/>, 0″ title='b>0″ />यदि हम और के मूल्यों को जानते हैं, और हमें अज्ञात को खोजने के कार्य का सामना करना पड़ता है, तो इस उद्देश्य के लिए हम परिचय देते हैं गणितीय कार्यजिसे कहा जाता है लोगारित्म.
हम जो मूल्य लेते हैं उसे खोजने के लिए किसी संख्या का लघुगणकद्वारा आधार :
किसी संख्या का उसके आधार से लघुगणक वह घातांक होता है जिसे प्राप्त करने के लिए उसे बढ़ाया जाना चाहिए।
वह है बुनियादी लघुगणकीय पहचान:
ओ» शीर्षक='ए>ओ'/> , 1″ शीर्षक='ए1″/>, 0″ शीर्षक='बी>0″/>
मूलतः एक गणितीय संकेतन है लघुगणक की परिभाषा.
लघुगणक की गणितीय संक्रिया घातांक की संक्रिया का व्युत्क्रम है, इसलिए लघुगणक के गुणडिग्री के गुणों से निकटता से संबंधित हैं।
आइए मुख्य सूचीबद्ध करें लघुगणक के गुण:
(o" title='a>o'/>, 1″ title='a1″/>, 0″ title='b>0″/>, 0,
d>0″/>, 1″ title=”d1″/>
4.
5.
गुणों का निम्नलिखित समूह आपको किसी अभिव्यक्ति के घातांक को लघुगणक के चिह्न के नीचे, या लघुगणक के आधार पर लघुगणक के चिह्न के सामने गुणांक के रूप में प्रस्तुत करने की अनुमति देता है:
6.
7.
8.
9.
सूत्रों का अगला समूह आपको दिए गए आधार वाले लघुगणक से मनमाना आधार वाले लघुगणक की ओर बढ़ने की अनुमति देता है, और इसे कहा जाता है नए आधार पर संक्रमण के लिए सूत्र:
10.
12. (संपत्ति 11 से परिणाम)
निम्नलिखित तीन गुण अच्छी तरह से ज्ञात नहीं हैं, लेकिन उनका उपयोग अक्सर लघुगणक समीकरणों को हल करते समय, या लघुगणक वाले अभिव्यक्तियों को सरल बनाते समय किया जाता है:
13.
14.
15.
विशेष स्थितियां:
— दशमलव लघुगणक
— प्राकृतिकलघुगणक वाले व्यंजकों को सरल बनाते समय, एक सामान्य दृष्टिकोण का उपयोग किया जाता है:
1. परिचय दशमलवसामान्य के रूप में.
2. हम मिश्रित संख्याओं को अनुचित भिन्नों के रूप में निरूपित करते हैं।
3. हम लघुगणक के आधार पर और लघुगणक के चिह्न के नीचे की संख्याओं को सरल गुणनखंडों में विघटित करते हैं।
4. हम सभी लघुगणक को एक ही आधार पर लाने का प्रयास करते हैं।
5. लघुगणक के गुण लागू करें.
आइए लघुगणक वाले व्यंजकों को सरल बनाने के उदाहरण देखें।
उदाहरण 1।
गणना करें:
आइए सभी घातांकों को सरल बनाएं: हमारा कार्य उन्हें लघुगणक में घटाना है, जिसका आधार घातांक के आधार के समान संख्या है।
==(संपत्ति 7 द्वारा)=(संपत्ति 6 द्वारा) =
आइए उन संकेतकों को प्रतिस्थापित करें जो हमें मूल अभिव्यक्ति में मिले थे। हम पाते हैं:
उत्तर: 5.25
उदाहरण 2. गणना करें:
आइए सभी लघुगणक को आधार 6 तक कम करें (इस मामले में, भिन्न के हर से लघुगणक अंश में "माइग्रेट" हो जाएंगे):
आइए लघुगणक चिह्न के अंतर्गत संख्याओं को सरल गुणनखंडों में विघटित करें:
आइए गुण 4 और 6 लागू करें:
आइए प्रतिस्थापन का परिचय दें
हम पाते हैं:
उत्तर 1
लोगारित्म . बुनियादी लघुगणकीय पहचान.
लघुगणक के गुण. दशमलव लघुगणक. प्राकृतिक.
लोगारित्म आधार से धनात्मक संख्या N (बी > 0, बी 1) वह घातांक x है जिससे N प्राप्त करने के लिए b को बढ़ाया जाना चाहिए .
यह प्रविष्टि निम्नलिखित के बराबर है: बी एक्स = एन .
उदाहरण: लॉग 3 81 = 4, चूँकि 3 4 = 81;
लॉग 1/3 27 = – 3, चूँकि (1/3) - 3 = 3 3 = 27.
लघुगणक की उपरोक्त परिभाषा को एक पहचान के रूप में लिखा जा सकता है:
लघुगणक के मूल गुण।
2) लॉग 1 = 0, चूँकि बी 0 = 1 .
3) उत्पाद का लघुगणक कारकों के लघुगणक के योग के बराबर है:
4) भागफल का लघुगणक लाभांश और भाजक के लघुगणक के बीच के अंतर के बराबर है:
5) किसी घात का लघुगणक घातांक के गुणनफल और उसके आधार के लघुगणक के बराबर होता है:
इस संपत्ति का परिणाम निम्नलिखित है: जड़ का लघुगणक मूल संख्या के लघुगणक को मूल की घात से विभाजित करने के बराबर:
6) यदि लघुगणक का आधार एक डिग्री है, तो मान घातांक के व्युत्क्रम को लॉग कविता के रूप में निकाला जा सकता है:
अंतिम दो संपत्तियों को एक में जोड़ा जा सकता है:
7) संक्रमण मापांक सूत्र (अर्थात एक लघुगणक आधार से दूसरे आधार पर संक्रमण):
विशेष मामले में जब एन=एहमारे पास है:
दशमलव लघुगणक बुलाया आधार लघुगणक 10. इसे lg से दर्शाया जाता है, अर्थात। लॉग 10 एन= लॉग एन. संख्याओं 10, 100, 1000, के लघुगणक। p क्रमशः 1, 2, 3, … हैं, अर्थात्। बहुत सारे सकारात्मक हैं
इकाइयाँ, एक लघुगणकीय संख्या में एक के बाद कितने शून्य होते हैं। संख्याओं के लघुगणक 0.1, 0.01, 0.001, . p क्रमशः -1, -2, -3, ..., अर्थात् हैं। उतने ही ऋणात्मक होते हैं जितने लघुगणकीय संख्या में एक से पहले शून्य होते हैं (शून्य पूर्णांक सहित)। अन्य संख्याओं के लघुगणक का एक भिन्नात्मक भाग कहलाता है अपूर्णांश. संपूर्ण भागलघुगणक कहलाता है विशेषता. व्यावहारिक उपयोग के लिए, दशमलव लघुगणक सबसे सुविधाजनक हैं।
प्राकृतिक बुलाया आधार लघुगणक इ. इसे ln द्वारा निरूपित किया जाता है, अर्थात। लकड़ी का लट्ठा इ एन= लॉग एन. संख्या इअपरिमेय है, इसका अनुमानित मान 2.718281828 है। यह वह सीमा है जिस तक संख्या प्रवृत्त होती है (1 + 1 / एन) एनअसीमित वृद्धि के साथ एन(सेमी। पहली अद्भुत सीमा"संख्या अनुक्रम सीमाएँ" पृष्ठ पर)।
यह अजीब लग सकता है, कार्यों के विश्लेषण से संबंधित विभिन्न प्रकार के संचालन करते समय प्राकृतिक लघुगणक बहुत सुविधाजनक साबित हुए। आधार पर लघुगणक की गणना इकिसी भी अन्य कारण की तुलना में बहुत तेजी से किया गया।
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इस वीडियो के साथ मैं लघुगणकीय समीकरणों के बारे में पाठों की एक लंबी श्रृंखला शुरू करता हूं। अब आपके सामने तीन उदाहरण हैं, जिनके आधार पर हम सरलतम समस्याओं को हल करना सीखेंगे, जिन्हें कहा जाता है - प्रोटोजोआ.
लघुगणक 0.5 (3x − 1) = −3
लॉग (x + 3) = 3 + 2 लॉग 5
मैं आपको याद दिला दूं कि सबसे सरल लघुगणकीय समीकरण निम्नलिखित है:
लॉग ए एफ (एक्स) = बी
इस मामले में, यह महत्वपूर्ण है कि वेरिएबल x केवल तर्क के अंदर मौजूद है, अर्थात केवल फ़ंक्शन f (x) में। और संख्याएँ a और b केवल संख्याएँ हैं, और किसी भी स्थिति में वेरिएबल x वाले फ़ंक्शन नहीं हैं।
बुनियादी समाधान के तरीके
ऐसी संरचनाओं को हल करने के कई तरीके हैं। उदाहरण के लिए, स्कूल में अधिकांश शिक्षक इस पद्धति की पेशकश करते हैं: सूत्र का उपयोग करके फ़ंक्शन f (x) को तुरंत व्यक्त करें एफ ( एक्स )= ए बी . यही है, जब आप सबसे सरल निर्माण का सामना करते हैं, तो तुरंत बिना अतिरिक्त कार्रवाइयांऔर निर्माणों से आप समाधान की ओर आगे बढ़ सकते हैं।
हाँ, निःसंदेह निर्णय सही होगा। हालाँकि, इस फॉर्मूले के साथ समस्या यह है कि अधिकांश छात्र समझ में नहीं आता, यह कहाँ से आता है और हम अक्षर a को अक्षर b तक क्यों बढ़ाते हैं।
परिणामस्वरूप, मैं अक्सर बहुत कष्टप्रद गलतियाँ देखता हूँ, जब, उदाहरण के लिए, इन अक्षरों की अदला-बदली की जाती है। इस सूत्र को या तो समझा जाना चाहिए या रटना चाहिए, और दूसरी विधि सबसे अनुपयुक्त और सबसे महत्वपूर्ण क्षणों में गलतियों की ओर ले जाती है: परीक्षा, परीक्षण आदि के दौरान।
इसीलिए मैं अपने सभी छात्रों को मानक स्कूल फॉर्मूला को त्यागने और लॉगरिदमिक समीकरणों को हल करने के लिए दूसरे दृष्टिकोण का उपयोग करने का सुझाव देता हूं, जिसे, जैसा कि आपने शायद नाम से अनुमान लगाया है, कहा जाता है। कानूनी फॉर्म.
विहित रूप का विचार सरल है। आइए अपनी समस्या को फिर से देखें: बाईं ओर हमारे पास लॉग ए है, और अक्षर ए से हमारा मतलब एक संख्या है, और किसी भी स्थिति में वेरिएबल एक्स वाला फ़ंक्शन नहीं है। नतीजतन, यह पत्र लघुगणक के आधार पर लगाए गए सभी प्रतिबंधों के अधीन है। अर्थात्:
1 ≠ ए > 0
दूसरी ओर, उसी समीकरण से हम देखते हैं कि लघुगणक संख्या बी के बराबर होना चाहिए, और इस अक्षर पर कोई प्रतिबंध नहीं लगाया गया है, क्योंकि यह कोई भी मान ले सकता है - सकारात्मक और नकारात्मक दोनों। यह सब इस बात पर निर्भर करता है कि फ़ंक्शन f(x) कौन से मान लेता है।
और यहां हमें अपना अद्भुत नियम याद आता है कि किसी भी संख्या b को b की घात के आधार a के लघुगणक के रूप में दर्शाया जा सकता है:
बी = लॉग ए ए बी
इस सूत्र को कैसे याद रखें? हाँ, बहुत सरल. आइए निम्नलिखित निर्माण लिखें:
बी = बी 1 = बी लॉग ए ए
निःसंदेह, इस मामले में वे सभी प्रतिबंध उत्पन्न होते हैं जिनके बारे में हमने शुरुआत में लिखा था। आइए अब लघुगणक के मूल गुण का उपयोग करें और गुणक b को a की घात के रूप में प्रस्तुत करें। हम पाते हैं:
बी = बी 1 = बी लॉग ए ए = लॉग ए ए बी
परिणामस्वरूप, मूल समीकरण को इस प्रकार फिर से लिखा जाएगा:
लॉग ए एफ (एक्स) = लॉग ए ए बी → एफ (एक्स) = ए बी
बस इतना ही। नयी विशेषताइसमें अब लघुगणक नहीं है और इसे मानक बीजगणितीय तकनीकों का उपयोग करके हल किया जा सकता है।
निःसंदेह, अब कोई आपत्ति करेगा: किसी प्रकार के विहित सूत्र के साथ आना क्यों आवश्यक था, यदि मूल डिज़ाइन से तुरंत अंतिम सूत्र पर जाना संभव था तो दो अतिरिक्त अनावश्यक चरण क्यों करें? हां, यदि केवल इसलिए कि अधिकांश छात्र यह नहीं समझते हैं कि यह फॉर्मूला कहां से आया है और परिणामस्वरूप, इसे लागू करते समय नियमित रूप से गलतियां करते हैं।
लेकिन क्रियाओं का यह क्रम, जिसमें तीन चरण शामिल हैं, आपको मूल लघुगणकीय समीकरण को हल करने की अनुमति देता है, भले ही आपको यह समझ में न आए कि अंतिम सूत्र कहाँ से आता है। वैसे, इस प्रविष्टि को विहित सूत्र कहा जाता है:
लॉग ए एफ (एक्स) = लॉग ए ए बी
विहित रूप की सुविधा इस तथ्य में भी निहित है कि इसका उपयोग लघुगणक समीकरणों की एक बहुत विस्तृत श्रेणी को हल करने के लिए किया जा सकता है, न कि केवल सबसे सरल समीकरणों को हल करने के लिए जिन पर हम आज विचार कर रहे हैं।
समाधान के उदाहरण
अब आइए एक नजर डालते हैं वास्तविक उदाहरण. तो, आइए तय करें:
लघुगणक 0.5 (3x − 1) = −3
आइए इसे इस तरह फिर से लिखें:
लघुगणक 0.5 (3x −1) = लघुगणक 0.5 0.5 −3
कई छात्र जल्दी में हैं और मूल समस्या से हमारे पास आई संख्या 0.5 को तुरंत बढ़ाने का प्रयास करते हैं। दरअसल, जब आप ऐसी समस्याओं को हल करने में पहले से ही अच्छी तरह से प्रशिक्षित हैं, तो आप तुरंत यह कदम उठा सकते हैं।
हालाँकि, यदि आप अभी इस विषय का अध्ययन शुरू कर रहे हैं, तो आक्रामक गलतियों से बचने के लिए कहीं भी जल्दबाजी न करना बेहतर है। तो, हमारे पास विहित रूप है। हमारे पास है:
3x − 1 = 0.5 −3
यह अब एक लघुगणकीय समीकरण नहीं है, बल्कि चर x के संबंध में रैखिक है। इसे हल करने के लिए, आइए सबसे पहले −3 की घात वाली संख्या 0.5 को देखें। ध्यान दें कि 0.5 1/2 है।
(1/2) −3 = (2/1) 3 = 8
लघुगणकीय समीकरण हल करते समय सभी दशमलव भिन्नों को सामान्य भिन्नों में बदलें।
हम फिर से लिखते हैं और प्राप्त करते हैं:
3x − 1 = 8
3x = 9
एक्स = 3
बस, हमें उत्तर मिल गया। पहली समस्या हल हो गई है.
दूसरा कार्य
चलिए दूसरे कार्य पर चलते हैं:
जैसा कि हम देखते हैं, यह समीकरण अब सबसे सरल नहीं रह गया है। यदि केवल इसलिए कि बाईं ओर एक अंतर है, और एक आधार पर एक भी लघुगणक नहीं है।
इसलिए हमें किसी भी तरह इस अंतर से छुटकारा पाना होगा। में इस मामले मेंसब कुछ बहुत सरल है. आइए आधारों पर करीब से नज़र डालें: बाईं ओर मूल के नीचे की संख्या है:
सामान्य सिफ़ारिश: सभी लघुगणकीय समीकरणों में, रेडिकल से छुटकारा पाने का प्रयास करें, अर्थात, जड़ों वाली प्रविष्टियों से और घात फलन की ओर बढ़ें, केवल इसलिए क्योंकि इन घातों के घातांक आसानी से लघुगणक के चिह्न से बाहर हो जाते हैं और, अंततः, ऐसे एक प्रविष्टि गणनाओं को महत्वपूर्ण रूप से सरल और तेज़ बनाती है। आइए इसे इस तरह लिखें:
अब आइए लघुगणक के उल्लेखनीय गुण को याद करें: घात तर्क से, साथ ही आधार से भी प्राप्त किए जा सकते हैं। आधार के मामले में, निम्नलिखित होता है:
लॉग ए के बी = 1/के लॉग बी
दूसरे शब्दों में, जो संख्या आधार घात में थी उसे आगे लाया जाता है और साथ ही उलट दिया जाता है, अर्थात वह एक व्युत्क्रम संख्या बन जाती है। हमारे मामले में, आधार डिग्री 1/2 थी। इसलिए, हम इसे 2/1 के रूप में निकाल सकते हैं। हम पाते हैं:
5 2 लॉग 5 एक्स - लॉग 5 एक्स = 18
10 लॉग 5 एक्स - लॉग 5 एक्स = 18
कृपया ध्यान दें: किसी भी परिस्थिति में आपको इस चरण पर लघुगणक से छुटकारा नहीं पाना चाहिए। चौथी-पांचवीं कक्षा का गणित और संक्रियाओं का क्रम याद रखें: पहले गुणा किया जाता है, और उसके बाद ही जोड़ और घटाव किया जाता है। इस मामले में, हम 10 तत्वों में से एक ही तत्व को घटाते हैं:
9 लॉग 5 x = 18
लॉग 5 x = 2
अब हमारा समीकरण वैसा ही दिखता है जैसा होना चाहिए। यह सबसे सरल निर्माण है, और हम इसे विहित रूप का उपयोग करके हल करते हैं:
लॉग 5 एक्स = लॉग 5 5 2
एक्स = 5 2
एक्स = 25
बस इतना ही। दूसरी समस्या का समाधान हो गया है.
तीसरा उदाहरण
आइए तीसरे कार्य पर चलते हैं:
लॉग (x + 3) = 3 + 2 लॉग 5
मैं आपको निम्नलिखित सूत्र याद दिला दूं:
लॉग बी = लॉग 10 बी
यदि किसी कारण से आप अंकन लॉग बी से भ्रमित हैं, तो सभी गणना करते समय आप बस लॉग 10 बी लिख सकते हैं। आप दशमलव लघुगणक के साथ उसी तरह काम कर सकते हैं जैसे दूसरों के साथ: घात लें, जोड़ें और किसी भी संख्या को एलजी 10 के रूप में प्रस्तुत करें।
यह वे गुण हैं जिनका उपयोग अब हम समस्या को हल करने के लिए करेंगे, क्योंकि यह सबसे सरल नहीं है जिसे हमने अपने पाठ की शुरुआत में लिखा था।
सबसे पहले, ध्यान दें कि एलजी 5 के सामने कारक 2 को जोड़ा जा सकता है और आधार 5 की शक्ति बन जाती है। इसके अलावा, मुक्त पद 3 को लघुगणक के रूप में भी दर्शाया जा सकता है - यह हमारे नोटेशन से देखना बहुत आसान है।
स्वयं निर्णय करें: किसी भी संख्या को आधार 10 के लॉग के रूप में दर्शाया जा सकता है:
3 = लॉग 10 10 3 = लॉग 10 3
आइए प्राप्त परिवर्तनों को ध्यान में रखते हुए मूल समस्या को फिर से लिखें:
लॉग (x - 3) = लॉग 1000 + लॉग 25
लॉग (x - 3) = लॉग 1000 25
लॉग (x - 3) = लॉग 25,000
हमारे सामने फिर से विहित रूप है, और हमने इसे परिवर्तन चरण से गुजरे बिना प्राप्त किया, यानी सबसे सरल लघुगणकीय समीकरण कहीं भी दिखाई नहीं दिया।
यह बिल्कुल वही है जिसके बारे में मैंने पाठ की शुरुआत में बात की थी। कैनोनिकल फॉर्म आपको अधिकांश स्कूल शिक्षकों द्वारा दिए जाने वाले मानक स्कूल फॉर्मूले की तुलना में समस्याओं की एक विस्तृत श्रेणी को हल करने की अनुमति देता है।
खैर, बस इतना ही, हमें दशमलव लघुगणक के चिह्न से छुटकारा मिल जाता है, और हमें एक सरल रैखिक निर्माण मिलता है:
x + 3 = 25,000
एक्स = 24,997
सभी! समस्या सुलझ गई है।
दायरे पर एक नोट
यहां मैं परिभाषा के दायरे के संबंध में एक महत्वपूर्ण टिप्पणी करना चाहूंगा। निश्चित रूप से अब ऐसे छात्र और शिक्षक होंगे जो कहेंगे: "जब हम लघुगणक के साथ अभिव्यक्तियों को हल करते हैं, तो हमें याद रखना चाहिए कि तर्क f (x) शून्य से बड़ा होना चाहिए!" इस संबंध में, एक तार्किक प्रश्न उठता है: हमें विचार की गई किसी भी समस्या में संतुष्ट होने के लिए इस असमानता की आवश्यकता क्यों नहीं पड़ी?
चिंता न करें। इन मामलों में, कोई अतिरिक्त जड़ें दिखाई नहीं देंगी। और यह एक और बढ़िया तरकीब है जो आपको समाधान को तेज़ करने की अनुमति देती है। बस यह जान लें कि यदि समस्या में वेरिएबल x केवल एक ही स्थान पर होता है (या बल्कि, एकल लघुगणक के एक एकल तर्क में), और हमारे मामले में कहीं और वेरिएबल x दिखाई नहीं देता है, तो परिभाषा के डोमेन को लिखें कोई ज़रुरत नहीं है, क्योंकि यह स्वचालित रूप से निष्पादित हो जाएगा।
स्वयं निर्णय करें: पहले समीकरण में हमें मिला कि 3x - 1, यानी तर्क 8 के बराबर होना चाहिए। इसका स्वचालित रूप से मतलब है कि 3x - 1 शून्य से बड़ा होगा।
उसी सफलता के साथ हम लिख सकते हैं कि दूसरे मामले में x 5 2 के बराबर होना चाहिए, यानी यह निश्चित रूप से शून्य से बड़ा है। और तीसरे मामले में, जहां x + 3 = 25,000, यानी, फिर से, स्पष्ट रूप से शून्य से अधिक है। दूसरे शब्दों में, दायरा स्वचालित रूप से संतुष्ट हो जाता है, लेकिन केवल तभी जब x केवल एक लघुगणक के तर्क में होता है।
सबसे सरल समस्याओं को हल करने के लिए आपको बस इतना ही जानना आवश्यक है। अकेले यह नियम, परिवर्तन नियमों के साथ, आपको समस्याओं की एक बहुत विस्तृत श्रेणी को हल करने की अनुमति देगा।
लेकिन आइए ईमानदार रहें: अंततः इस तकनीक को समझने के लिए, लघुगणकीय समीकरण के विहित रूप को लागू करने का तरीका जानने के लिए, केवल एक वीडियो पाठ देखना पर्याप्त नहीं है। तो अभी विकल्प डाउनलोड करें स्वतंत्र निर्णय, जो इस वीडियो पाठ से जुड़े हुए हैं और इन दो स्वतंत्र कार्यों में से कम से कम एक को हल करना शुरू करते हैं।
इसमें आपको वस्तुतः कुछ ही मिनट लगेंगे। लेकिन इस तरह के प्रशिक्षण का प्रभाव इस वीडियो पाठ को देखने से कहीं अधिक होगा।
मुझे आशा है कि यह पाठ आपको लघुगणकीय समीकरणों को समझने में मदद करेगा। विहित प्रपत्र का उपयोग करें, लघुगणक के साथ काम करने के नियमों का उपयोग करके अभिव्यक्तियों को सरल बनाएं - और आप किसी भी समस्या से नहीं डरेंगे। आज के लिए मेरे पास बस इतना ही है।
परिभाषा के क्षेत्र को ध्यान में रखते हुए
अब आइए लॉगरिदमिक फ़ंक्शन की परिभाषा के क्षेत्र के बारे में बात करें, और यह लॉगरिदमिक समीकरणों के समाधान को कैसे प्रभावित करता है। प्रपत्र के निर्माण पर विचार करें
लॉग ए एफ (एक्स) = बी
ऐसी अभिव्यक्ति को सबसे सरल कहा जाता है - इसमें केवल एक फ़ंक्शन होता है, और संख्या ए और बी केवल संख्याएं होती हैं, और किसी भी स्थिति में कोई फ़ंक्शन नहीं होता है जो चर x पर निर्भर करता है। इसे बहुत ही सरलता से हल किया जा सकता है. आपको बस सूत्र का उपयोग करने की आवश्यकता है:
बी = लॉग ए ए बी
यह सूत्र लघुगणक के प्रमुख गुणों में से एक है, और जब इसे हमारी मूल अभिव्यक्ति में प्रतिस्थापित किया जाता है तो हमें निम्नलिखित मिलता है:
लॉग ए एफ (एक्स) = लॉग ए ए बी
एफ (एक्स) = ए बी
यह स्कूली पाठ्यपुस्तकों का एक परिचित सूत्र है। कई छात्रों के मन में शायद एक प्रश्न होगा: चूँकि मूल अभिव्यक्ति में फ़ंक्शन f (x) लॉग चिह्न के अंतर्गत है, इस पर निम्नलिखित प्रतिबंध लगाए गए हैं:
एफ(एक्स) > 0
यह सीमा लागू होती है क्योंकि ऋणात्मक संख्याओं का लघुगणक मौजूद नहीं है। तो, शायद, इस सीमा के परिणामस्वरूप, उत्तरों पर जाँच शुरू की जानी चाहिए? शायद उन्हें स्रोत में डालने की आवश्यकता है?
नहीं, सरलतम लघुगणकीय समीकरणों में अतिरिक्त जाँच अनावश्यक है। और यही कारण है। हमारे अंतिम सूत्र पर एक नज़र डालें:
एफ (एक्स) = ए बी
तथ्य यह है कि संख्या a किसी भी स्थिति में 0 से अधिक है - यह आवश्यकता भी लघुगणक द्वारा लगाई जाती है। संख्या a आधार है. इस मामले में, संख्या बी पर कोई प्रतिबंध नहीं लगाया जाता है। लेकिन इससे कोई फर्क नहीं पड़ता, क्योंकि इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि हम किसी सकारात्मक संख्या को किस शक्ति तक बढ़ाते हैं, फिर भी हमें आउटपुट पर एक सकारात्मक संख्या ही मिलेगी। इस प्रकार, आवश्यकता f (x) > 0 स्वचालित रूप से संतुष्ट हो जाती है।
वास्तव में जांचने लायक बात यह है कि लॉग साइन के तहत फ़ंक्शन का डोमेन क्या है। वहाँ काफी जटिल संरचनाएँ हो सकती हैं, और आपको समाधान प्रक्रिया के दौरान निश्चित रूप से उन पर नज़र रखने की आवश्यकता है। आइये एक नजर डालते हैं.
पहला कार्य:
पहला चरण: भिन्न को दाईं ओर परिवर्तित करें। हम पाते हैं:
हम लघुगणक चिन्ह से छुटकारा पाते हैं और सामान्य अपरिमेय समीकरण प्राप्त करते हैं:
प्राप्त जड़ों में से केवल पहला ही हमें उपयुक्त लगता है, दूसरे मूल के बाद से शून्य से भी कम. इसका एकमात्र उत्तर संख्या 9 होगा। बस, समस्या हल हो गई। कोई नहीं अतिरिक्त जांचयह तथ्य कि लघुगणक चिह्न के अंतर्गत अभिव्यक्ति 0 से अधिक है, आवश्यक नहीं है, क्योंकि यह न केवल 0 से अधिक है, बल्कि समीकरण की स्थिति के अनुसार यह 2 के बराबर है। इसलिए, "शून्य से अधिक" की आवश्यकता है स्वचालित रूप से संतुष्ट.
चलिए दूसरे कार्य पर चलते हैं:
यहां हर एक चीज़ समान है। हम ट्रिपल की जगह, निर्माण को फिर से लिखते हैं:
हम लघुगणक चिन्हों से छुटकारा पाते हैं और एक अपरिमेय समीकरण प्राप्त करते हैं:
हम प्रतिबंधों को ध्यान में रखते हुए दोनों पक्षों को वर्गित करते हैं और प्राप्त करते हैं:
4 − 6x − x 2 = (x − 4) 2
4 − 6x − x 2 = x 2 + 8x + 16
x 2 + 8x + 16 −4 + 6x + x 2 = 0
2x 2 + 14x + 12 = 0 |:2
x 2 + 7x + 6 = 0
हम विवेचक के माध्यम से परिणामी समीकरण को हल करते हैं:
डी = 49 − 24 = 25
एक्स 1 = −1
एक्स 2 = −6
लेकिन x = −6 हमारे लिए उपयुक्त नहीं है, क्योंकि यदि हम इस संख्या को अपनी असमानता में प्रतिस्थापित करते हैं, तो हमें मिलता है:
−6 + 4 = −2 < 0
हमारे मामले में, यह आवश्यक है कि 0 या से अधिक हों एक अंतिम उपाय के रूप मेंबराबर. लेकिन x = −1 हमारे लिए उपयुक्त है:
−1 + 4 = 3 > 0
हमारे मामले में एकमात्र उत्तर x = −1 होगा। यही समाधान है. आइए अपनी गणना की बिल्कुल शुरुआत पर वापस जाएं।
इस पाठ से मुख्य बात यह है कि आपको सरल लघुगणकीय समीकरणों में किसी फ़ंक्शन पर बाधाओं की जांच करने की आवश्यकता नहीं है। क्योंकि समाधान प्रक्रिया के दौरान सभी बाधाएँ स्वतः ही संतुष्ट हो जाती हैं।
हालाँकि, इसका मतलब यह नहीं है कि आप जाँच करना पूरी तरह से भूल सकते हैं। लघुगणकीय समीकरण पर काम करने की प्रक्रिया में, यह एक अतार्किक समीकरण में बदल सकता है, जिसके दाईं ओर के लिए अपने स्वयं के प्रतिबंध और आवश्यकताएं होंगी, जिसे हमने आज दो अलग-अलग उदाहरणों में देखा है।
ऐसी समस्याओं को बेझिझक हल करें और यदि तर्क में कोई जड़ हो तो विशेष रूप से सावधान रहें।
विभिन्न आधारों वाले लघुगणकीय समीकरण
हम लघुगणक समीकरणों का अध्ययन करना जारी रखते हैं और दो और काफी दिलचस्प तकनीकों को देखते हैं जिनके साथ अधिक जटिल निर्माणों को हल करना फैशनेबल है। लेकिन पहले, आइए याद रखें कि सबसे सरल समस्याओं का समाधान कैसे किया जाता है:
लॉग ए एफ (एक्स) = बी
इस प्रविष्टि में, ए और बी संख्याएं हैं, और फ़ंक्शन एफ (एक्स) में वेरिएबल एक्स मौजूद होना चाहिए, और केवल वहां, यानी, एक्स केवल तर्क में होना चाहिए। हम विहित रूप का उपयोग करके ऐसे लघुगणकीय समीकरणों को रूपांतरित करेंगे। ऐसा करने के लिए, उस पर ध्यान दें
बी = लॉग ए ए बी
इसके अलावा, a b बिल्कुल एक तर्क है। आइए इस अभिव्यक्ति को इस प्रकार फिर से लिखें:
लॉग ए एफ (एक्स) = लॉग ए ए बी
यह वही है जो हम हासिल करने की कोशिश कर रहे हैं, ताकि बाएं और दाएं दोनों पर a को आधार बनाने के लिए एक लघुगणक हो। इस मामले में, हम आलंकारिक रूप से बोल सकते हैं, लॉग चिह्नों को काट सकते हैं, और गणितीय दृष्टिकोण से हम कह सकते हैं कि हम केवल तर्कों की बराबरी कर रहे हैं:
एफ (एक्स) = ए बी
परिणामस्वरूप, हमें एक नई अभिव्यक्ति मिलेगी जिसे हल करना बहुत आसान होगा। आइए इस नियम को आज अपनी समस्याओं पर लागू करें।
तो, पहला डिज़ाइन:
सबसे पहले, मैं ध्यान देता हूं कि दाईं ओर एक भिन्न है जिसका हर लॉग है। जब आप इस तरह की अभिव्यक्ति देखते हैं, तो लघुगणक की एक अद्भुत संपत्ति को याद रखना एक अच्छा विचार है:
रूसी में अनुवादित, इसका मतलब है कि किसी भी लघुगणक को किसी भी आधार सी के साथ दो लघुगणक के भागफल के रूप में दर्शाया जा सकता है। बेशक 0< с ≠ 1.
तो: इस सूत्र में एक अद्भुत विशेष मामला है, जब चर सी चर के बराबर है बी। इस मामले में हमें एक निर्माण मिलता है जैसे:
यह बिल्कुल वही निर्माण है जो हम अपने समीकरण में दाईं ओर के चिह्न से देखते हैं। आइए इस निर्माण को लॉग ए बी से बदलें, हमें मिलता है:
दूसरे शब्दों में, मूल कार्य की तुलना में, हमने तर्क और लघुगणक के आधार की अदला-बदली की। इसके बजाय, हमें भिन्न को उलटना पड़ा।
हमें याद है कि किसी भी डिग्री को निम्नलिखित नियम के अनुसार आधार से प्राप्त किया जा सकता है:
दूसरे शब्दों में, गुणांक k, जो आधार की शक्ति है, को उल्टे अंश के रूप में व्यक्त किया जाता है। आइए इसे एक उल्टे अंश के रूप में प्रस्तुत करें:
भिन्नात्मक गुणनखंड को सामने नहीं छोड़ा जा सकता, क्योंकि इस स्थिति में हम इस अंकन को विहित रूप में प्रस्तुत नहीं कर पाएंगे (आखिरकार, विहित रूप में दूसरे लघुगणक से पहले कोई अतिरिक्त गुणनखंड नहीं होता है)। इसलिए, आइए भिन्न 1/4 को तर्क में घात के रूप में जोड़ें:
अब हम उन तर्कों को बराबर करते हैं जिनके आधार समान हैं (और हमारे आधार वास्तव में समान हैं), और लिखें:
एक्स + 5 = 1
एक्स = −4
बस इतना ही। हमें पहले लघुगणकीय समीकरण का उत्तर मिल गया। कृपया ध्यान दें: मूल समस्या में, वेरिएबल x केवल एक लॉग में दिखाई देता है, और यह इसके तर्क में दिखाई देता है। इसलिए, डोमेन की जाँच करने की कोई आवश्यकता नहीं है, और हमारी संख्या x = −4 वास्तव में उत्तर है।
अब चलिए दूसरी अभिव्यक्ति पर चलते हैं:
लॉग 56 = लॉग 2 लॉग 2 7 - 3लॉग (x + 4)
यहां, सामान्य लघुगणक के अलावा, हमें लॉग एफ (एक्स) के साथ काम करना होगा। ऐसे समीकरण को कैसे हल करें? एक अप्रशिक्षित छात्र को ऐसा लग सकता है कि यह किसी प्रकार का कठिन कार्य है, लेकिन वास्तव में सब कुछ प्राथमिक तरीके से हल किया जा सकता है।
एलजी 2 लॉग 2 7 शब्द पर करीब से नज़र डालें। हम इसके बारे में क्या कह सकते हैं? लॉग और एलजी के आधार और तर्क समान हैं, और इससे कुछ विचार मिलने चाहिए। आइए एक बार फिर याद करें कि लघुगणक के चिह्न के नीचे से घातें कैसे निकाली जाती हैं:
लॉग ए बी एन = एनलॉग ए बी
दूसरे शब्दों में, तर्क में b की शक्ति क्या थी, लॉग के सामने एक कारक बन जाती है। आइए इस सूत्र को अभिव्यक्ति lg 2 log 2 7 पर लागू करें। lg 2 से डरें नहीं - यह सबसे आम अभिव्यक्ति है। आप इसे इस प्रकार पुनः लिख सकते हैं:
किसी अन्य लघुगणक पर लागू होने वाले सभी नियम इसके लिए मान्य हैं। विशेष रूप से, सामने वाले कारक को तर्क की डिग्री में जोड़ा जा सकता है। आइए इसे लिखें:
अक्सर विद्यार्थी इस क्रिया को सीधे नहीं देख पाते, क्योंकि एक लॉग में दूसरे के साइन के नीचे प्रवेश करना अच्छा नहीं होता। वास्तव में, इसमें कुछ भी आपराधिक नहीं है। इसके अलावा, हमें एक सूत्र मिलता है जिसकी गणना करना आसान है यदि आपको एक महत्वपूर्ण नियम याद है:
इस सूत्र को परिभाषा और इसके गुणों में से एक दोनों के रूप में माना जा सकता है। किसी भी स्थिति में, यदि आप एक लघुगणकीय समीकरण को परिवर्तित कर रहे हैं, तो आपको इस सूत्र को उसी तरह जानना चाहिए जैसे आप किसी संख्या के लॉग प्रतिनिधित्व को जानते हैं।
चलिए अपने काम पर वापस आते हैं। हम इसे इस तथ्य को ध्यान में रखते हुए फिर से लिखते हैं कि समान चिह्न के दाईं ओर का पहला पद केवल lg 7 के बराबर होगा। हमारे पास है:
एलजी 56 = एलजी 7 - 3 एलजी (एक्स + 4)
आइए एलजी 7 को बाईं ओर ले जाएं, हमें मिलता है:
एलजी 56 − एलजी 7 = −3 एलजी (एक्स + 4)
हम बाईं ओर के भावों को घटाते हैं क्योंकि उनका आधार समान है:
एलजी (56/7) = −3 एलजी (एक्स + 4)
आइए अब हमें प्राप्त समीकरण पर करीब से नज़र डालें। यह व्यावहारिक रूप से विहित रूप है, लेकिन दाईं ओर एक कारक −3 है। आइए इसे सही एलजी तर्क में जोड़ें:
लघुगणक 8 = लघुगणक (x + 4) −3
हमारे सामने लघुगणकीय समीकरण का विहित रूप है, इसलिए हम एलजी चिह्नों को काट देते हैं और तर्कों को बराबर करते हैं:
(एक्स + 4) −3 = 8
एक्स + 4 = 0.5
बस इतना ही! हमने दूसरा लघुगणकीय समीकरण हल किया। इस मामले में, किसी अतिरिक्त जाँच की आवश्यकता नहीं है, क्योंकि मूल समस्या में x केवल एक तर्क में मौजूद था।
आइए मैं इस पाठ के मुख्य बिंदुओं को फिर से सूचीबद्ध करूं।
लघुगणकीय समीकरणों को हल करने के लिए समर्पित इस पृष्ठ के सभी पाठों में जो मुख्य सूत्र पढ़ाया जाता है वह विहित रूप है। और इस तथ्य से डरो मत कि अधिकांश स्कूली पाठ्यपुस्तकें आपको ऐसी समस्याओं को अलग तरीके से हल करना सिखाती हैं। यह उपकरण बहुत प्रभावी ढंग से काम करता है और आपको उन सरलतम समस्याओं की तुलना में कहीं अधिक व्यापक श्रेणी की समस्याओं को हल करने की अनुमति देता है जिनका अध्ययन हमने अपने पाठ की शुरुआत में ही किया था।
इसके अलावा, लघुगणकीय समीकरणों को हल करने के लिए मूल गुणों को जानना उपयोगी होगा। अर्थात्:
- एक आधार पर जाने का सूत्र और विशेष स्थिति जब हम लॉग को रिवर्स करते हैं (यह पहली समस्या में हमारे लिए बहुत उपयोगी था);
- लघुगणक चिह्न से घात जोड़ने और घटाने का सूत्र। यहां, कई छात्र फंस जाते हैं और यह नहीं देख पाते हैं कि निकाली गई और पेश की गई डिग्री में लॉग एफ (एक्स) शामिल हो सकता है। उसमें कोी बुराई नहीं है। हम एक लॉग को दूसरे के संकेत के अनुसार पेश कर सकते हैं और साथ ही समस्या के समाधान को काफी सरल बना सकते हैं, जो कि हम दूसरे मामले में देखते हैं।
अंत में, मैं यह जोड़ना चाहूंगा कि इनमें से प्रत्येक मामले में परिभाषा के क्षेत्र की जांच करना आवश्यक नहीं है, क्योंकि हर जगह चर x लॉग के केवल एक चिह्न में मौजूद है, और साथ ही इसके तर्क में भी मौजूद है। परिणामस्वरूप, दायरे की सभी आवश्यकताएँ स्वचालित रूप से पूरी हो जाती हैं।
परिवर्तनीय आधार के साथ समस्याएँ
आज हम लघुगणक समीकरणों को देखेंगे, जो कई छात्रों के लिए गैर-मानक लगते हैं, यदि पूरी तरह से अघुलनशील नहीं हैं। हम संख्याओं पर नहीं, बल्कि चरों और सम फलनों पर आधारित व्यंजकों के बारे में बात कर रहे हैं। हम अपनी मानक तकनीक का उपयोग करके, अर्थात् विहित रूप के माध्यम से, ऐसे निर्माणों को हल करेंगे।
सबसे पहले, आइए याद रखें कि सामान्य संख्याओं के आधार पर सबसे सरल समस्याओं को कैसे हल किया जाता है। तो, सबसे सरल निर्माण कहा जाता है
लॉग ए एफ (एक्स) = बी
ऐसी समस्याओं को हल करने के लिए हम निम्नलिखित सूत्र का उपयोग कर सकते हैं:
बी = लॉग ए ए बी
हम अपनी मूल अभिव्यक्ति को फिर से लिखते हैं और प्राप्त करते हैं:
लॉग ए एफ (एक्स) = लॉग ए ए बी
फिर हम तर्कों को बराबर करते हैं, यानी हम लिखते हैं:
एफ (एक्स) = ए बी
इस प्रकार, हम लॉग साइन से छुटकारा पाते हैं और सामान्य समस्या का समाधान करते हैं। इस स्थिति में, समाधान से प्राप्त मूल मूल लघुगणकीय समीकरण के मूल होंगे। इसके अलावा, एक रिकॉर्ड जब बाएँ और दाएँ दोनों एक ही आधार के साथ एक ही लघुगणक में होते हैं, तो उसे सटीक रूप से विहित रूप कहा जाता है। यह ऐसे रिकॉर्ड के लिए है कि हम आज के डिज़ाइनों को कम करने का प्रयास करेंगे। तो चलते हैं।
पहला कार्य:
लॉग x - 2 (2x 2 - 13x + 18) = 1
1 को log x - 2 (x - 2) 1 से बदलें। तर्क में हम जो डिग्री देखते हैं वह वास्तव में संख्या बी है जो समान चिह्न के दाईं ओर खड़ी है। इस प्रकार, आइए अपनी अभिव्यक्ति को फिर से लिखें। हम पाते हैं:
लॉग x - 2 (2x 2 - 13x + 18) = लॉग x - 2 (x - 2)
हम क्या देखते हैं? हमारे सामने लघुगणक समीकरण का विहित रूप है, इसलिए हम तर्कों को सुरक्षित रूप से बराबर कर सकते हैं। हम पाते हैं:
2x 2 − 13x + 18 = x − 2
लेकिन समाधान यहीं ख़त्म नहीं होता, क्योंकि यह समीकरण मूल समीकरण के समतुल्य नहीं है। आख़िरकार, परिणामी निर्माण में ऐसे फ़ंक्शन शामिल होते हैं जो संपूर्ण संख्या रेखा पर परिभाषित होते हैं, और हमारे मूल लघुगणक हर जगह और हमेशा परिभाषित नहीं होते हैं।
इसलिए, हमें परिभाषा के क्षेत्र को अलग से लिखना चाहिए। आइए बालों को विभाजित न करें और पहले सभी आवश्यकताओं को लिखें:
सबसे पहले, प्रत्येक लघुगणक का तर्क 0 से अधिक होना चाहिए:
2x 2 − 13x + 18 > 0
एक्स - 2 > 0
दूसरे, आधार न केवल 0 से बड़ा होना चाहिए, बल्कि 1 से भिन्न भी होना चाहिए:
एक्स - 2 ≠ 1
परिणामस्वरूप, हमें सिस्टम मिलता है:
लेकिन चिंतित न हों: लॉगरिदमिक समीकरणों को संसाधित करते समय, ऐसी प्रणाली को काफी सरल बनाया जा सकता है।
स्वयं जज करें: एक ओर, हमसे अपेक्षा की जाती है कि द्विघात फलन शून्य से बड़ा हो, और दूसरी ओर, यह द्विघात फलन एक निश्चित रैखिक अभिव्यक्ति के बराबर हो, जिसके लिए यह भी आवश्यक है कि यह शून्य से अधिक हो।
इस मामले में, यदि हमें x - 2 > 0 की आवश्यकता है, तो आवश्यकता 2x 2 - 13x + 18 > 0 स्वचालित रूप से संतुष्ट हो जाएगी। इसलिए, हम असमानता वाली असमानता को सुरक्षित रूप से काट सकते हैं द्विघात फंक्शन. इस प्रकार, हमारे सिस्टम में निहित अभिव्यक्तियों की संख्या घटकर तीन हो जाएगी।
बेशक, उसी सफलता के साथ हम रैखिक असमानता को पार कर सकते हैं, यानी, x - 2 > 0 को काट सकते हैं और इसके लिए 2x 2 - 13x + 18 > 0 की आवश्यकता होती है। लेकिन आप इस बात से सहमत होंगे कि सबसे सरल रैखिक असमानता को हल करना बहुत तेज़ है और द्विघात की तुलना में सरल, इस शर्त के तहत भी कि इस संपूर्ण प्रणाली को हल करने के परिणामस्वरूप हमें समान जड़ें मिलती हैं।
सामान्य तौर पर, जब भी संभव हो गणनाओं को अनुकूलित करने का प्रयास करें। और लघुगणकीय समीकरणों के मामले में, सबसे कठिन असमानताओं को हटा दें।
आइए अपने सिस्टम को फिर से लिखें:
यहां तीन अभिव्यक्तियों की एक प्रणाली है, जिनमें से दो पर हम वास्तव में पहले ही चर्चा कर चुके हैं। आइए इसे अलग से लिखें द्विघात समीकरणऔर आइए इसे हल करें:
2x 2 − 14x + 20 = 0
x 2 − 7x + 10 = 0
हमारे सामने एक छोटा द्विघात त्रिपद है और इसलिए, हम विएटा के सूत्रों का उपयोग कर सकते हैं। हम पाते हैं:
(एक्स − 5)(एक्स − 2) = 0
एक्स 1 = 5
एक्स 2 = 2
अब हम अपने सिस्टम पर लौटते हैं और पाते हैं कि x = 2 हमारे लिए उपयुक्त नहीं है, क्योंकि हमें आवश्यकता है कि x पूर्णतः 2 से बड़ा हो।
लेकिन x = 5 हमारे लिए बिल्कुल उपयुक्त है: संख्या 5, 2 से बड़ी है, और साथ ही 5, 3 के बराबर नहीं है। इसलिए, इस प्रणाली का एकमात्र समाधान x = 5 होगा।
बस, ओडीजेड को ध्यान में रखते हुए समस्या हल हो गई है। आइए दूसरे समीकरण पर चलते हैं। अधिक रोचक और जानकारीपूर्ण गणनाएँ यहाँ हमारा इंतजार कर रही हैं:
पहला कदम: पिछली बार की तरह हम इस पूरे मामले को विहित स्वरूप में लाते हैं. ऐसा करने के लिए, हम संख्या 9 को इस प्रकार लिख सकते हैं:
आपको आधार को जड़ से छूने की ज़रूरत नहीं है, लेकिन तर्क को रूपांतरित करना बेहतर है। आइए एक तर्कसंगत प्रतिपादक के साथ जड़ से घात की ओर चलें। आइए लिखें:
मैं हमारे पूरे बड़े लघुगणकीय समीकरण को फिर से नहीं लिखूंगा, लेकिन तुरंत तर्कों को बराबर कर दूंगा:
x 3 + 10x 2 + 31x + 30 = x 3 + 9x 2 + 27x + 27
x 2 + 4x + 3 = 0
इससे पहले कि हम एक नया कम किया गया द्विघात त्रिपद है, आइए विएटा के सूत्रों का उपयोग करें और लिखें:
(एक्स + 3)(एक्स + 1) = 0
एक्स 1 = −3
एक्स 2 = −1
तो, हमें जड़ें मिल गईं, लेकिन किसी ने हमें गारंटी नहीं दी कि वे मूल लघुगणकीय समीकरण में फिट होंगे। आखिरकार, लॉग संकेत अतिरिक्त प्रतिबंध लगाते हैं (यहां हमें सिस्टम को लिखना चाहिए था, लेकिन संपूर्ण संरचना की बोझिल प्रकृति के कारण, मैंने परिभाषा के डोमेन की अलग से गणना करने का निर्णय लिया)।
सबसे पहले, याद रखें कि तर्क 0 से अधिक होने चाहिए, अर्थात्:
ये परिभाषा के दायरे द्वारा लगाई गई आवश्यकताएं हैं।
आइए तुरंत ध्यान दें कि चूंकि हम सिस्टम के पहले दो भावों को एक-दूसरे के बराबर करते हैं, हम उनमें से किसी को भी काट सकते हैं। आइए पहले वाले को हटा दें क्योंकि यह दूसरे वाले से अधिक खतरनाक लगता है।
इसके अलावा, ध्यान दें कि दूसरी और तीसरी असमानताओं का समाधान समान सेट होगा (किसी संख्या का घन शून्य से बड़ा होता है, यदि यह संख्या स्वयं शून्य से बड़ी होती है; इसी तरह, तीसरी डिग्री की जड़ के साथ - ये असमानताएं पूरी तरह से समान हैं, इसलिए हम इसे काट सकते हैं)।
लेकिन तीसरी असमानता के साथ यह काम नहीं करेगा। आइए दोनों भागों को एक घन में बढ़ाकर बाईं ओर मूल चिह्न से छुटकारा पाएं। हम पाते हैं:
तो हमें निम्नलिखित आवश्यकताएँ मिलती हैं:
− 2 ≠ x > −3
हमारा कौन सा मूल: x 1 = −3 या x 2 = −1 इन आवश्यकताओं को पूरा करता है? जाहिर है, केवल x = −1, क्योंकि x = −3 पहली असमानता को संतुष्ट नहीं करता है (क्योंकि हमारी असमानता सख्त है)। तो, अपनी समस्या पर लौटते हुए, हमें एक मूल मिलता है: x = −1। बस, समस्या हल हो गई।
एक बार फिर इस कार्य के मुख्य बिंदु:
- बेझिझक विहित रूप का उपयोग करके लघुगणकीय समीकरणों को लागू करें और हल करें। जो छात्र मूल समस्या से सीधे लॉग ए एफ (एक्स) = बी जैसे निर्माण की ओर बढ़ने के बजाय ऐसा नोटेशन बनाते हैं, वे उन लोगों की तुलना में बहुत कम त्रुटियां करते हैं जो गणना के मध्यवर्ती चरणों को छोड़कर कहीं भागते हैं;
- जैसे ही लघुगणक में एक परिवर्तनीय आधार प्रकट होता है, समस्या सबसे सरल नहीं रह जाती है। इसलिए, इसे हल करते समय, परिभाषा के क्षेत्र को ध्यान में रखना आवश्यक है: तर्क शून्य से अधिक होने चाहिए, और आधार न केवल 0 से अधिक होने चाहिए, बल्कि वे 1 के बराबर भी नहीं होने चाहिए।
अंतिम आवश्यकताओं को विभिन्न तरीकों से अंतिम उत्तरों पर लागू किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, आप परिभाषा के क्षेत्र के लिए सभी आवश्यकताओं वाली एक संपूर्ण प्रणाली को हल कर सकते हैं। दूसरी ओर, आप पहले समस्या को स्वयं हल कर सकते हैं, और फिर परिभाषा के क्षेत्र को याद कर सकते हैं, इसे एक प्रणाली के रूप में अलग से काम कर सकते हैं और इसे प्राप्त जड़ों पर लागू कर सकते हैं।
किसी विशेष लघुगणकीय समीकरण को हल करते समय कौन सी विधि चुननी है यह आप पर निर्भर है। किसी भी स्थिति में, उत्तर वही होगा.
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