Reguli pentru adăugarea rădăcinilor pătrate. Ce sunt rădăcinile pătrate și cum se adună?

Conţinut:

În matematică, rădăcinile pot fi pătrate, cubice sau pot avea orice alt exponent (putere), care este scris în stânga deasupra semnului rădăcinii. O expresie sub semnul rădăcinii se numește expresie radicală. Adăugarea rădăcinilor este similară cu adăugarea termenilor unei expresii algebrice, adică necesită determinarea rădăcinilor similare.

Pași

Partea 1 Determinarea rădăcinilor

  1. 1 Denumirea rădăcinilor. O expresie sub semnul rădăcinii (√) înseamnă că este necesar să se extragă rădăcina de un anumit grad din această expresie.
    • Rădăcina se notează cu semnul √.
    • Exponentul (gradul) rădăcinii este scris în stânga deasupra semnului rădăcinii. De exemplu, rădăcina cubă a lui 27 se scrie ca: 3 √(27)
    • Dacă indicele (gradul) rădăcinii lipsește, atunci exponentul este considerat egal cu 2, adică este o rădăcină pătrată (sau rădăcină de gradul doi).
    • Numărul scris înainte de semnul rădăcinii se numește multiplicator (adică acest număr este înmulțit cu rădăcina), de exemplu 5√(2)
    • Dacă nu există niciun factor în fața rădăcinii, atunci acesta este egal cu 1 (rețineți că orice număr înmulțit cu 1 este egal cu el însuși).
    • Dacă este prima dată când lucrați cu rădăcini, faceți notele adecvate despre multiplicator și exponent rădăcină pentru a evita confuzia și pentru a înțelege mai bine scopul acestora.
  2. 2 Amintiți-vă ce rădăcini pot fi pliate și care nu. Așa cum nu puteți adăuga termeni diferiți ai unei expresii, de exemplu, 2a + 2b ≠ 4ab, nu puteți adăuga rădăcini diferite.
    • Nu puteți adăuga rădăcini cu expresii radicale diferite, de exemplu, √(2) + √(3) ≠ √(5). Dar puteți adăuga numerele sub aceeași rădăcină, de exemplu, √(2 + 3) = √(5) (rădăcina pătrată a lui 2 este aproximativ 1,414, rădăcina pătrată a lui 3 este aproximativ 1,732 și rădăcina pătrată a lui 5 este de aproximativ 2,236) .
    • Nu puteți adăuga rădăcini cu aceleași expresii radicale, ci exponenți diferiți, de exemplu, √(64) + 3 √(64) (această sumă nu este egală cu 5 √(64), deoarece rădăcina pătrată a lui 64 este 8, rădăcina cubă a lui 64 este 4 , 8 + 4 = 12, care este mult mai mare decât a cincea rădăcină a lui 64, care este aproximativ 2,297).

Partea 2 Simplificarea și adăugarea rădăcinilor

  1. 1 Identificați și grupați rădăcini similare. Rădăcinile similare sunt rădăcini care au aceiași indicatori și aceleași expresii radicale. De exemplu, luați în considerare expresia:
    2√(3) + 3 √(81) + 2√(50) + √(32) + 6√(3)
    • Mai întâi, rescrieți expresia astfel încât rădăcinile cu același indice să fie localizate secvenţial.
      2√(3) + 2√(50) + √(32) + 6√(3) + 3 √(81)
    • Apoi rescrieți expresia astfel încât rădăcinile cu același exponent și cu aceeași expresie radicală să fie localizate secvenţial.
      2√(50) + √(32) + 2√(3) + 6√(3) + 3 √(81)
  2. 2 Simplificați rădăcinile. Pentru a face acest lucru, descompuneți (acolo unde este posibil) expresiile radicale în doi factori, dintre care unul este scos de sub rădăcină. În acest caz, numărul eliminat și factorul rădăcină sunt înmulțite.
    • În exemplul de mai sus, factorizează numărul 50 în 2*25, iar numărul 32 în 2*16. Din 25 și 16 putem extrage rădăcini pătrate(5 și respectiv 4) și eliminați 5 și 4 de sub rădăcină, respectiv înmulțindu-le cu factorii 2 și 1. Astfel, obțineți o expresie simplificată: 10√(2) + 4√(2) + 2√(3) ) + 6√(3) + 3√(81)
    • Numărul 81 poate fi factorizat 3*27, iar din numărul 27 poți lua rădăcina cubă a lui 3. Acest număr 3 poate fi scos de sub rădăcină. Astfel, obțineți o expresie și mai simplificată: 10√(2) + 4√(2) + 2√(3)+ 6√(3) + 3 3 √(3)
  3. 3 Adăugați factorii rădăcinilor similare.În exemplul nostru, există rădăcini pătrate similare de 2 (pot fi adăugate) și rădăcini pătrate similare de 3 (pot fi, de asemenea, adăugate). Rădăcina cubă a lui 3 nu are astfel de rădăcini.
    • 10√(2) + 4√(2) = 14√(2).
    • 2√(3)+ 6√(3) = 8√(3).
    • Expresie simplificată finală: 14√(2) + 8√(3) + 3 3 √(3)
  • Nu există reguli general acceptate pentru ordinea în care rădăcinile sunt scrise într-o expresie. Prin urmare, puteți scrie rădăcinile în ordinea crescătoare a indicatorilor lor și în ordinea crescătoare a expresiilor radicale.

Adunarea și scăderea rădăcinilor- una dintre cele mai comune „pietre de poticnire” pentru cei care urmează cursuri de matematică (algebră) în liceu. Cu toate acestea, învățarea corectă a adunarii și scăderii acestora este foarte importantă, deoarece exemplele despre suma sau diferența de rădăcini sunt incluse în programul Examenului de stat unificat de bază la disciplina „matematică”.

Pentru a stăpâni rezolvarea unor astfel de exemple, aveți nevoie de două lucruri - să înțelegeți regulile și, de asemenea, să obțineți practică. După ce a rezolvat una sau două duzini de exemple tipice, studentul va aduce această abilitate la automatism, iar apoi nu va mai avea de ce să se teamă la examenul de stat unificat. Este recomandat să începeți să stăpâniți operațiile aritmetice cu adunare, deoarece adăugarea lor este puțin mai ușoară decât scăderea lor.

Cel mai simplu mod de a explica acest lucru este folosirea rădăcinii pătrate ca exemplu. În matematică există un termen bine stabilit „pătrat”. „Pătrat” înseamnă înmulțirea unui anumit număr cu el însuși o dată.. De exemplu, dacă pătrați 2, obțineți 4. Dacă pătrați 7, obțineți 49. Pătratul lui 9 este 81. Deci rădăcina pătrată a lui 4 este 2, a lui 49 este 7 și a lui 81 este 9.

De regulă, predarea acestei teme la matematică începe cu rădăcini pătrate. Pentru a o determina imediat, studentul liceu trebuie să cunoască tabla înmulțirii pe de rost. Cei care nu cunosc cu fermitate acest tabel trebuie să folosească indicii. De obicei, procesul de extragere a pătratului rădăcină dintr-un număr este prezentat în formă tabelară pe coperțile multor caiete de școală matematică.

Rădăcinile sunt de următoarele tipuri:

  • pătrat;
  • cubic (sau așa-numitul grad al treilea);
  • gradul al patrulea;
  • gradul al cincilea.

Reguli de adăugare

Pentru a rezolva cu succes un exemplu tipic, este necesar să rețineți că nu toate numerele de rădăcină pot fi stivuite unele cu altele. Pentru ca acestea să fie adunate, trebuie aduse la un singur model. Dacă acest lucru este imposibil, atunci problema nu are soluție. Astfel de probleme se găsesc adesea și în manualele de matematică ca un fel de capcană pentru elevi.

Adăugarea nu este permisă în sarcini când expresiile radicale diferă unele de altele. Acest lucru poate fi ilustrat prin exemplu clar:

  • Elevul se confruntă cu sarcina: adăugați rădăcina pătrată a lui 4 și 9;
  • student neexperimentat cunoscător al regulilor, de obicei scrie: „rădăcina lui 4 + rădăcina lui 9 = rădăcina lui 13”.
  • Este foarte ușor de demonstrat că această soluție este incorectă. Pentru a face acest lucru, trebuie să găsiți rădăcina pătrată a lui 13 și să verificați dacă exemplul este rezolvat corect;
  • folosind un microcalculator puteți determina că este de aproximativ 3,6. Acum nu mai rămâne decât să verificăm soluția;
  • rădăcina lui 4=2 și rădăcina lui 9=3;
  • Suma numerelor „doi” și „trei” este egală cu cinci. Astfel, acest algoritm de soluție poate fi considerat incorect.

Dacă rădăcinile au același grad, dar expresii numerice diferite, se scoate din paranteze și se pune între paranteze suma a două expresii radicale. Astfel, este deja extras din această sumă.

Algoritm de adunare

Pentru a rezolva corect cea mai simplă problemă, trebuie să:

  1. Determinați exact ce necesită adăugare.
  2. Aflați dacă este posibil să adăugați valori unul altuia, ghidați de regulile existente în matematică.
  3. Dacă nu sunt pliabile, trebuie să le transformați astfel încât să poată fi pliate.
  4. După ce ați efectuat toate transformările necesare, trebuie să efectuați adăugarea și să notați răspunsul final. Puteți efectua adăugarea în cap sau folosind un microcalculator, în funcție de complexitatea exemplului.

Care sunt rădăcini asemănătoare

Pentru a rezolva corect un exemplu de adăugare, trebuie mai întâi să vă gândiți cum îl puteți simplifica. Pentru a face acest lucru, trebuie să aveți cunoștințe de bază despre asemănarea.

Capacitatea de a le identifica pe cele similare ajută la rezolvarea rapidă a exemplelor de adăugare similare, aducându-le într-o formă simplificată. Pentru a simplifica un exemplu tipic de adăugare, trebuie să:

  1. Găsiți unele similare și separați-le într-un singur grup (sau mai multe grupuri).
  2. Rescrieți exemplul existent în așa fel încât rădăcinile care au același indicator să se succedă clar (aceasta se numește „grupare”).
  3. În continuare, ar trebui să scrieți din nou expresia, de data aceasta în așa fel încât altele asemănătoare (care au același indicator și aceeași cifră radicală) să se sucească și ele.

După aceasta, exemplul simplificat este de obicei ușor de rezolvat.

Pentru a rezolva corect orice exemplu de adăugare, trebuie să înțelegeți clar regulile de bază ale adăugării, precum și să știți ce este o rădăcină și ce poate fi.

Uneori, astfel de probleme par foarte dificile la prima vedere, dar de obicei sunt rezolvate cu ușurință prin gruparea unora similare. Cel mai important lucru este exersarea, iar apoi elevul va începe să „sparge probleme precum nucile”. Adăugarea de rădăcini este una dintre cele mai importante părți ale matematicii, așa că profesorii ar trebui să petreacă suficient timp studiind-o.

Video

Acest videoclip vă va ajuta să înțelegeți ecuațiile cu rădăcini pătrate.

Rădăcina pătrată a unui număr X număr numit A, care în procesul de înmulțire de la sine ( A*A) poate da un număr X.
Acestea. A * A = A 2 = X, Și √X = A.

Deasupra rădăcinilor pătrate ( √x), ca și alte numere, puteți efectua operații aritmetice precum scăderea și adunarea. Pentru a scădea și a adăuga rădăcini, acestea trebuie conectate folosind semne corespunzătoare acestor acțiuni (de exemplu √x — √y ).
Și apoi aduceți-le rădăcinile cea mai simpla forma- daca intre ele sunt asemanatoare, este necesar sa se faca o reducere. Constă în luarea coeficienților termenilor similari cu semnele termenilor corespunzători, apoi punerea lor între paranteze și deducerea rădăcinii comune în afara parantezelor factorului. Coeficientul pe care l-am obținut este simplificat conform regulilor uzuale.

Pasul 1: Extragerea rădăcinilor pătrate

În primul rând, pentru a adăuga rădăcini pătrate, mai întâi trebuie să extrageți aceste rădăcini. Acest lucru se poate face dacă numerele de sub semnul rădăcinii sunt pătrate perfecte. De exemplu, luați expresia dată √4 + √9 . Primul număr 4 este pătratul numărului 2 . Al doilea număr 9 este pătratul numărului 3 . Astfel, putem obține următoarea egalitate: √4 + √9 = 2 + 3 = 5 .
Gata, exemplul este rezolvat. Dar nu se întâmplă întotdeauna atât de ușor.

Pasul 2. Scoaterea multiplicatorului numărului de sub rădăcină

Dacă nu există pătrate perfecte sub semnul rădăcinii, puteți încerca să eliminați multiplicatorul numărului de sub semnul rădăcinii. De exemplu, să luăm expresia √24 + √54 .

Factorizați numerele:
24 = 2 * 2 * 2 * 3 ,
54 = 2 * 3 * 3 * 3 .

Printre 24 avem un multiplicator 4 , poate fi scos de sub semnul rădăcinii pătrate. Printre 54 avem un multiplicator 9 .

Obținem egalitate:
√24 + √54 = √(4 * 6) + √(9 * 6) = 2 * √6 + 3 * √6 = 5 * √6 .

Luând în considerare acest exemplu, obținem eliminarea multiplicatorului de sub semnul rădăcinii, simplificând astfel expresia dată.

Pasul 3: Reducerea Numitorului

Luați în considerare următoarea situație: suma a două rădăcini pătrate este numitorul fracției, de exemplu, A/(√a + √b).
Acum ne confruntăm cu sarcina de a „scăpa de iraționalitatea din numitor”.
Să folosim următoarea metodă: înmulțiți numărătorul și numitorul fracției cu expresia √a - √b.

Acum obținem formula de înmulțire prescurtată la numitor:
(√a + √b) * (√a – √b) = a – b.

În mod similar, dacă numitorul are o diferență de rădăcină: √a - √b, numărătorul și numitorul fracției se înmulțesc cu expresia √a + √b.

Să luăm fracția ca exemplu:
4 / (√3 + √5) = 4 * (√3 — √5) / ((√3 + √5) * (√3 — √5)) = 4 * (√3 — √5) / (-2) = 2 * (√5 — √3) .

Exemplu de reducere a numitorului complex

Acum să luăm în considerare suficient exemplu complex scăpând de iraționalitatea în numitor.

De exemplu, să luăm o fracție: 12 / (√2 + √3 + √5) .
Trebuie să luați numărătorul și numitorul și să înmulțiți cu expresia √2 + √3 — √5 .

12 / (√2 + √3 + √5) = 12 * (√2 + √3 — √5) / (2 * √6) = 2 * √3 + 3 * √2 — √30.

Pasul 4. Calculați valoarea aproximativă pe calculator

Dacă aveți nevoie doar de o valoare aproximativă, aceasta se poate face pe un calculator calculând valoarea rădăcinilor pătrate. Valoarea se calculează separat pentru fiecare număr și se notează cu precizia necesară, care este determinată de numărul de zecimale. În continuare, sunt efectuate toate operațiunile necesare, ca în cazul numerelor obișnuite.

Exemplu de calcul al unei valori aproximative

Este necesar să se calculeze valoarea aproximativă a acestei expresii √7 + √5 .

Ca rezultat obținem:

√7 + √5 ≈ 2,65 + 2,24 = 4,89 .

Vă rugăm să rețineți: în niciun caz nu trebuie să adăugați rădăcini pătrate ca numere prime; acest lucru este complet inacceptabil. Adică, dacă adunăm rădăcina pătrată a lui cinci și rădăcina pătrată a lui trei, nu putem obține rădăcina pătrată a lui opt.

Sfat util: dacă decideți să factorizați un număr, pentru a deriva pătratul de sub semnul rădăcinii, trebuie să faceți o verificare inversă, adică să înmulțiți toți factorii care au rezultat din calcule și rezultat final Acest calcul matematic ar trebui să aibă ca rezultat numărul care ne-a fost dat inițial.

Reguli pentru scăderea rădăcinilor

1. Rădăcina unui grad dintr-un produs de numere nenegative este egală cu produsul rădăcinilor de același grad din factori: unde (regula pentru extragerea unei rădăcini dintr-un produs).

2. Dacă , atunci y (regula pentru extragerea rădăcinii unei fracții).

3. Dacă atunci (regula pentru extragerea unei rădăcini dintr-o rădăcină).

4. Dacă atunci regula pentru ridicarea rădăcinii la o putere).

5. Dacă atunci unde, adică exponentul rădăcinii și exponentul expresiei radicalului pot fi înmulțite cu același număr.

6. Dacă atunci 0, adică o expresie radicală pozitivă mai mare corespunde unei valori mai mari a rădăcinii.

7. Toate formulele de mai sus sunt adesea folosite în ordine inversă(adică de la dreapta la stânga). De exemplu,

(regula înmulțirii rădăcinilor);

(regula împărțirii rădăcinilor);

8. Regula pentru eliminarea multiplicatorului de sub semnul rădăcinii. La

9. Problema inversă este introducerea unui multiplicator sub semnul rădăcinii. De exemplu,

10. Eliminarea iraționalității în numitorul unei fracții.

Să ne uităm la câteva cazuri tipice.

  • Semnificația cuvântului Explicați sensul cuvintelor: lege, cămătar, sclav-debitor. Explicați semnificația cuvintelor: lege, cămătar, sclav-debitor. DELICIOSĂ CAPSUNI (Invitat) Școli Întrebări pe tema 1. Ce 3 tipuri pot fi împărțite […]
  • Ai nevoie de permisiunea de a folosi un radio într-o mașină? unde pot citi? În orice caz, trebuie să vă înregistrați postul de radio. Walkie-talki-urile care funcționează la o frecvență de 462MHz, dacă nu sunteți reprezentant al Ministerului Afacerilor Interne, nu sunt […]
  • Cota unică de impozitare - 2018 Cota unică de impozitare - 2018 pentru întreprinzătorii-persoane fizice din prima și a doua grupă se calculează ca procent din costul vieții și salariul minim stabilit de la 1 ianuarie […]
  • Asigurare Avto GARANTIE DE LEGALITATE. V-ați hotărât să vă creați o adresă de e-mail OSAGO, dar nimic nu vă iese? Nu vă panicați! !!Voi introduce toate datele necesare în aplicația electronică de asigurare pentru tine […]
  • Procedura de calcul și plata accizei Accizele sunt unul dintre impozitele indirecte pe bunuri și servicii, care este inclusă în costul acestora. Accizele diferă de TVA prin faptul că sunt impuse […]
  • Aplicație. Reguli de utilizare a terenurilor și de dezvoltare a orașului Rostov-pe-Don Anexă la Hotărârea Dumei Orașului din 17 iunie 2008 N 405 Reguli de utilizare a terenurilor și de dezvoltare a orașului Rostov-pe-Don După cum a fost modificată și [... ]

De exemplu,

11. Aplicarea identităților de înmulțire abreviate la operații cu rădăcini aritmetice:

12. Factorul din fața rădăcinii se numește coeficientul acesteia. De exemplu, aici 3 este coeficientul.

13. Rădăcinile (radicalii) se numesc asemănătoare dacă au aceiași indici de rădăcină și aceleași expresii radicale și diferă doar prin coeficient. Pentru a judeca dacă aceste rădăcini (radicali) sunt similare sau nu, trebuie să le reduceți la forma lor cea mai simplă.

De exemplu, și sunt similare, deoarece

EXERCIȚII CU SOLUȚII

1. Simplificați expresiile:

Soluţie. 1) Nu are rost să înmulțim expresia radicală, deoarece fiecare dintre factori reprezintă pătratul unui număr întreg. Să folosim regula pentru extragerea rădăcinii unui produs:

În viitor, vom efectua astfel de acțiuni oral.

2) Să încercăm, dacă este posibil, să reprezentăm expresia radicală ca un produs al factorilor, fiecare dintre care este cubul unui număr întreg și să aplicăm regula despre rădăcina produsului:

2. Găsiți valoarea expresiei:

Soluţie. 1) Conform regulii de extragere a rădăcinii unei fracții, avem:

3) Transformați expresiile radicale și extrageți rădăcina:

3. Simplificați când

Soluţie. La extragerea unei rădăcini dintr-o rădăcină, indicatorii rădăcinilor sunt înmulțiți, dar expresia radicală rămâne neschimbată

Dacă în fața rădăcinii se află un coeficient situat sub rădăcină, atunci înainte de a efectua operația de extragere a rădăcinii, introduceți acest coeficient sub semnul radicalului în fața căruia apare.

Pe baza regulilor de mai sus, să extragem ultimele două rădăcini:

4. Ridicați la putere:

Soluţie. La ridicarea unei rădăcini la o putere, exponentul rădăcinii rămâne neschimbat, iar exponenții expresiei radicalului sunt înmulțiți cu exponent.

(de vreme ce este definit, atunci);

Dacă o rădăcină dată are un coeficient, atunci acest coeficient este ridicat la o putere separat și rezultatul este scris ca coeficient al rădăcinii.

Aici am folosit regula că indicatorul rădăcinii și indicatorul expresiei radicalului pot fi înmulțiți cu același număr (am înmulțit cu, adică împărțit la 2).

De exemplu, sau

4) Expresia din paranteze, reprezentând suma a doi radicali diferiți, se cubează și se simplifică:

Din moment ce avem:

5. Eliminați iraționalitatea la numitor:

Soluţie. Pentru a elimina (distruge) iraționalitatea în numitorul unei fracții, trebuie să găsiți cea mai simplă dintre expresii, care într-un produs cu un numitor dă o expresie rațională și să înmulțiți numărătorul și numitorul acestei fracții cu factorul găsit.

De exemplu, dacă numitorul unei fracții conține un binom, atunci numărătorul și numitorul fracției trebuie înmulțite cu expresia conjugată la numitor, adică suma trebuie înmulțită cu diferența corespunzătoare și invers.

În cazuri mai complexe, iraționalitatea nu este distrusă imediat, ci în mai multe etape.

1) Expresia trebuie să conţină

Înmulțind numărătorul și numitorul fracției cu obținem:

2) Înmulțind numărătorul și numitorul fracției cu pătratul parțial al sumei, obținem:

3) Să aducem fracțiile la un numitor comun:

Când rezolvăm acest exemplu, trebuie să avem în vedere că fiecare fracție are o semnificație, adică numitorul fiecărei fracții este diferit de zero. In afara de asta,

Atunci când convertiți expresii care conțin radicali, se fac adesea greșeli. Ele sunt cauzate de incapacitatea de a aplica corect conceptul (definiția) rădăcinii aritmetice și a valorii absolute.

Reguli pentru scăderea rădăcinilor

Calculați valoarea unei expresii

Soluţie.

Explicaţie.
Pentru a prăbuși expresia radicală, imaginați-vă numărul 31 din al doilea factor din expresia sa radicală ca sumă de 15+16. (randul 2)

După transformare, este clar că suma din expresia a doua radicală poate fi reprezentată ca pătratul sumei folosind formulele de înmulțire prescurtate. (linia 3)

Acum imaginați-vă fiecare rădăcină a a acestei lucrări ca o diplomă. (linia 4)

Să simplificăm expresia (linia 5)

Deoarece gradul produsului este egal cu produsul gradelor fiecăruia dintre factori, îl reprezentăm în mod corespunzător (linia 6)

După cum puteți vedea, folosind formulele de înmulțire abreviate avem diferența dintre pătratele a două numere. De acolo calculăm valoarea expresiei (linia 7)

Calculați valoarea expresiei.

Soluţie.

Explicaţie.

Folosim proprietățile rădăcinii că rădăcina unei puteri arbitrare a unui coeficient de numere este egală cu câtul rădăcinilor acestor numere (linia 2)

Rădăcina unei puteri arbitrare a unui număr de aceeași putere este egală cu acest număr (linia 3)

Să scoatem minusul din parantezele primului factor. În acest caz, toate semnele din paranteze se vor schimba la opus (linia 4)

Să efectuăm reducerea fracțiilor (linia 5)

Să ne imaginăm numărul 729 ca pătratul numărului 27, iar numărul 27 ca cubul numărului 3. De acolo obținem valoarea expresiei radicalului.

Rădăcină pătrată. Primul nivel.

Doriți să vă testați puterea și să aflați rezultatul cât de pregătit sunteți pentru examenul de stat unificat sau examenul de stat unificat?

1. Introducere în conceptul de rădăcină pătrată aritmetică

Rădăcina pătrată (rădăcină pătrată aritmetică) a unui număr nenegativ este un astfel de nenegativ un număr negativ, al cărui pătrat este egal cu.
.

Numărul sau expresia de sub semnul rădăcinii trebuie să fie nenegativ

2. Tabel de pătrate

3. Proprietăţile rădăcinii pătrate aritmetice

Introducere în conceptul de rădăcină pătrată aritmetică

Să încercăm să ne dăm seama ce este acest concept de „rădăcină” și „cu ce se mănâncă”. Pentru a face acest lucru, să ne uităm la exemple pe care le-ați întâlnit deja în clasă (ei bine, sau tocmai sunteți pe cale să întâlniți asta).

De exemplu, avem o ecuație. Care este soluția acestei ecuații? Ce numere pot fi pătrate și obținute? Amintindu-ți de tabla înmulțirii, poți da cu ușurință răspunsul: și (la urma urmei, când se înmulțesc două numere negative, se obține un număr pozitiv)! Pentru a simplifica, matematicienii au introdus conceptul special de rădăcină pătrată și i-au atribuit un simbol special.

Să definim rădăcina pătrată aritmetică.

De ce numărul trebuie să fie nenegativ? De exemplu, cu ce este egal? Ei bine, hai să încercăm să alegem unul. Poate trei? Să verificăm: , nu. Pot fi, ? Din nou, verificăm: . Ei bine, nu se potrivește? Acest lucru este de așteptat - pentru că nu există numere care, la pătrat, să dea un număr negativ!

Cu toate acestea, probabil ați observat deja că definiția spune că soluția rădăcinii pătrate a „un număr este un astfel de număr nenegativ al cărui pătrat este egal cu ”. Și la început am analizat exemplul, numere selectate care pot fi pătrate și obținute, răspunsul a fost și, dar aici vorbim despre un fel de „număr nenegativ”! Această remarcă este destul de potrivită. Aici trebuie doar să distingeți între conceptele de ecuații pătratice și rădăcina pătrată aritmetică a unui număr. De exemplu, nu este echivalent cu expresia.

Și rezultă că.

Desigur, acest lucru este foarte confuz, dar este necesar să ne amintim că semnele sunt rezultatul rezolvării ecuației, deoarece atunci când rezolvăm ecuația trebuie să scriem toate X-urile, care, atunci când sunt înlocuite în ecuația originală, vor da rezultat corect. Ambele și se potrivesc în ecuația noastră pătratică.

In orice caz, dacă pur și simplu luați rădăcina pătrată a ceva, obțineți întotdeauna un rezultat nenegativ.

Acum încercați să rezolvați această ecuație. Totul nu mai este atât de simplu și de lin, nu-i așa? Încercați să parcurgeți cifrele, poate va funcționa ceva?

Să începem de la bun început - de la zero: - nu se potrivește, mergi mai departe; – mai puțin de trei, o respingem și noi, dar dacă? Să verificăm: – nici nu se potrivește, pentru că adica mai mult de trei. Este aceeași poveste cu numerele negative. Deci ce ar trebui să facem acum? Căutarea chiar nu ne-a dat nimic? Deloc, acum știm sigur că răspunsul va fi un număr între și, precum și între și. De asemenea, evident că soluțiile nu vor fi numere întregi. În plus, nu sunt raționali. Deci, ce urmează? Să reprezentăm grafic funcția și să marchem soluțiile pe ea.

Să încercăm să păcălim sistemul și să obținem răspunsul folosind un calculator! Să scoatem rădăcina din ea! Oh-oh-oh, se dovedește că acest număr nu se termină niciodată. Cum să-ți amintești asta, deoarece nu va fi un calculator la examen!? Totul este foarte simplu, nu trebuie să vă amintiți, trebuie doar să vă amintiți (sau să puteți estima rapid) valoarea aproximativă. și răspunsurile în sine. Astfel de numere sunt numite iraționale; pentru a simplifica scrierea unor astfel de numere a fost introdus conceptul de rădăcină pătrată.
Să ne uităm la un alt exemplu pentru a consolida acest lucru. Să ne uităm la următoarea problemă: trebuie să traversezi un câmp pătrat cu o latură de km în diagonală, câți km trebuie să faci?

Cel mai evident lucru aici este să luați în considerare triunghiul separat și să folosiți teorema lui Pitagora: . Prin urmare, . Deci, care este distanța necesară aici? Evident, distanța nu poate fi negativă, obținem asta. Rădăcina lui doi este aproximativ egală, dar, așa cum am observat mai devreme, - este deja un răspuns complet.

Extracția rădăcinilor

Pentru a rezolva exemple cu rădăcini fără a cauza probleme, trebuie să le vedeți și să le recunoașteți. Pentru a face acest lucru, trebuie să cunoașteți cel puțin pătratele numerelor de la până la și, de asemenea, să le puteți recunoaște.

Adică, trebuie să știți ce este egal cu un pătrat și, dimpotrivă, ce este egal cu un pătrat. La început, acest tabel vă va ajuta să extrageți rădăcina.

De îndată ce te hotărăști cantitate suficientă exemple, atunci nevoia acestuia va dispărea automat.
Încercați să găsiți singur rădăcina pătrată a următoarelor expresii:

Ei bine, cum a ieșit? Acum să ne uităm la aceste exemple:

Proprietățile rădăcinii pătrate aritmetice

Acum știi cum să extragi rădăcini, este timpul să înveți despre proprietățile rădăcinii pătrate aritmetice. Sunt doar 3 dintre ele:

  • multiplicare;
  • Divizia;
  • exponentiare.

Sunt foarte ușor de reținut cu ajutorul acestui tabel și, desigur, cu antrenament:

Cum să decizi
ecuații pătratice

În lecțiile anterioare ne-am uitat la „Cum se rezolvă ecuații liniare”, adică ecuații de gradul întâi. În această lecție ne vom uita ceea ce se numește ecuație pătratică si cum se rezolva.

Ce este o ecuație pătratică?

Gradul unei ecuații este determinat de gradul cel mai înalt în care se află necunoscutul.

Dacă puterea maximă în care necunoscuta este „2”, atunci aveți o ecuație pătratică.

Exemple de ecuații pătratice

  • 5x 2 − 14x + 17 = 0
  • −x 2 + x +

Pentru a găsi „a”, „b” și „c” trebuie să comparați ecuația cu forma generală a ecuației pătratice „ax 2 + bx + c = 0”.

Să exersăm identificarea coeficienților „a”, „b” și „c” în ecuații patratice.

  • a = 5
  • b = −14
  • c = 17
  • a = −7
  • b = −13
  • c = 8
  • a = −1
  • b = 1
  • a = 1
  • b = 0,25
  • c = 0
  • a = 1
  • b = 0
  • c = −8

Cum se rezolvă ecuații cuadratice

Spre deosebire de ecuațiile liniare, se folosește o metodă specială pentru a rezolva ecuațiile pătratice. formula pentru găsirea rădăcinilor.

Pentru a rezolva o ecuație pătratică aveți nevoie de:

  • reduce ecuația pătratică la aspectul general„ax 2 + bx + c = 0”. Adică, doar „0” ar trebui să rămână în partea dreaptă;
  • utilizați formula pentru rădăcini:

Să ne uităm la un exemplu de utilizare a formulei pentru a găsi rădăcinile unei ecuații pătratice. Să rezolvăm o ecuație pătratică.

Ecuația „x 2 − 3x − 4 = 0” a fost deja redusă la forma generală „ax 2 + bx + c = 0” și nu necesită simplificări suplimentare. Pentru a o rezolva, trebuie doar să aplicăm formula pentru găsirea rădăcinilor unei ecuații pătratice.

Să determinăm coeficienții „a”, „b” și „c” pentru această ecuație.

  • a = 1
  • b = −3
  • c = −4

Să le substituim în formulă și să găsim rădăcinile.

Asigurați-vă că memorați formula pentru găsirea rădăcinilor.

Poate fi folosit pentru a rezolva orice ecuație pătratică.

Să ne uităm la un alt exemplu de ecuație pătratică.

În această formă, este destul de dificil să se determine coeficienții „a”, „b” și „c”. Să reducem mai întâi ecuația la forma generală „ax 2 + bx + c = 0”.

Acum puteți folosi formula pentru rădăcini.

Există momente când ecuațiile pătratice nu au rădăcini. Această situație apare atunci când formula conține un număr negativ sub rădăcină.

Ne amintim din definiția unei rădăcini pătrate că este imposibil să luăm rădăcina pătrată a unui număr negativ.

Luați în considerare un exemplu de ecuație pătratică care nu are rădăcini.

Deci, avem o situație în care rădăcina are un număr negativ. Aceasta înseamnă că ecuația nu are rădăcini. Prin urmare, ca răspuns, am scris „Nu există rădăcini reale”.

Ce înseamnă cuvintele „fără rădăcini reale”? De ce nu poți scrie „fără rădăcini”?

De fapt, există rădăcini în astfel de cazuri, dar în cadrul curiculumul scolar nu pot fi trecute, așa că ca răspuns notăm că nu există rădăcini printre numerele reale. Cu alte cuvinte, „Nu există rădăcini reale”.

Ecuații patratice incomplete

Uneori există ecuații pătratice în care coeficienții „b” și/sau „c” sunt absenți în mod explicit. De exemplu, în această ecuație:

Astfel de ecuații se numesc ecuații pătratice incomplete. Modul de rezolvare a acestora este discutat în lecția „Ecuații patratice incomplete”.

Faptul 1.
\(\bullet\) Să luăm un număr nenegativ \(a\) (adică \(a\geqslant 0\) ). Apoi (aritmetică) rădăcină pătrată din numărul \(a\) se numește un astfel de număr nenegativ \(b\) , la pătrat obținem numărul \(a\) : \[\sqrt a=b\quad \text(la fel ca )\quad a=b^2\] Din definiţie rezultă că \(a\geqslant 0, b\geqslant 0\). Aceste restricții sunt o condiție importantă existența unei rădăcini pătrate și ar trebui reținute!
Amintiți-vă că orice număr la pătrat dă un rezultat nenegativ. Adică \(100^2=10000\geqslant 0\) și \((-100)^2=10000\geqslant 0\) .
\(\bullet\) Cu ce ​​este egal cu \(\sqrt(25)\)? Știm că \(5^2=25\) și \((-5)^2=25\) . Deoarece prin definiție trebuie să găsim un număr nenegativ, atunci \(-5\) nu este potrivit, prin urmare, \(\sqrt(25)=5\) (deoarece \(25=5^2\) ).
Găsirea valorii lui \(\sqrt a\) se numește luarea rădăcinii pătrate a numărului \(a\) , iar numărul \(a\) se numește expresie radicală.
\(\bullet\) Pe baza definiției, expresiei \(\sqrt(-25)\), \(\sqrt(-4)\), etc. nu au sens.

Faptul 2.
Pentru calcul rapid Va fi util să înveți tabelul de pătrate ale numerelor naturale de la \(1\) la \(20\) : \[\begin(array)(|ll|) \hline 1^2=1 & \quad11^2=121 \\ 2^2=4 & \quad12^2=144\\ 3^2=9 & \quad13 ^2=169\\ 4^2=16 & \quad14^2=196\\ 5^2=25 & \quad15^2=225\\ 6^2=36 & \quad16^2=256\\ 7^ 2=49 & \quad17^2=289\\ 8^2=64 & \quad18^2=324\\ 9^2=81 & \quad19^2=361\\ 10^2=100& \quad20^2= 400\\ \hline \end(matrice)\]

Faptul 3.
Ce operații poți face cu rădăcini pătrate?
\(\glonţ\) Suma sau diferența rădăcinilor pătrate NU ESTE EGALĂ cu rădăcina pătrată a sumei sau diferenței, adică \[\sqrt a\pm\sqrt b\ne \sqrt(a\pm b)\] Astfel, dacă trebuie să calculați, de exemplu, \(\sqrt(25)+\sqrt(49)\) , atunci inițial trebuie să găsiți valorile \(\sqrt(25)\) și \(\ sqrt(49)\ ) și apoi pliați-le. Prin urmare, \[\sqrt(25)+\sqrt(49)=5+7=12\] Dacă valorile \(\sqrt a\) sau \(\sqrt b\) nu pot fi găsite la adăugarea \(\sqrt a+\sqrt b\), atunci o astfel de expresie nu se transformă în continuare și rămâne așa cum este. De exemplu, în suma \(\sqrt 2+ \sqrt (49)\) putem găsi \(\sqrt(49)\) este \(7\) , dar \(\sqrt 2\) nu poate fi transformat în oricum, de aceea \(\sqrt 2+\sqrt(49)=\sqrt 2+7\). Din păcate, această expresie nu poate fi simplificată în continuare\(\bullet\) Produsul/coeficientul rădăcinilor pătrate este egal cu rădăcina pătrată a produsului/coeficientului, adică \[\sqrt a\cdot \sqrt b=\sqrt(ab)\quad \text(s)\quad \sqrt a:\sqrt b=\sqrt(a:b)\] (cu condiția ca ambele părți ale egalităților să aibă sens)
Exemplu: \(\sqrt(32)\cdot \sqrt 2=\sqrt(32\cdot 2)=\sqrt(64)=8\); \(\sqrt(768):\sqrt3=\sqrt(768:3)=\sqrt(256)=16\); \(\sqrt((-25)\cdot (-64))=\sqrt(25\cdot 64)=\sqrt(25)\cdot \sqrt(64)= 5\cdot 8=40\). \(\bullet\) Folosind aceste proprietăți, este convenabil să găsiți rădăcinile pătrate ale numere mari prin factorizarea acestora.
Să ne uităm la un exemplu. Să găsim \(\sqrt(44100)\) . Deoarece \(44100:100=441\) , atunci \(44100=100\cdot 441\) . Conform criteriului divizibilității, numărul \(441\) este divizibil cu \(9\) (deoarece suma cifrelor sale este 9 și este divizibil cu 9), prin urmare, \(441:9=49\), adică \(441=9\ cdot 49\) .
Astfel am obtinut: \[\sqrt(44100)=\sqrt(9\cdot 49\cdot 100)= \sqrt9\cdot \sqrt(49)\cdot \sqrt(100)=3\cdot 7\cdot 10=210\] Să ne uităm la un alt exemplu: \[\sqrt(\dfrac(32\cdot 294)(27))= \sqrt(\dfrac(16\cdot 2\cdot 3\cdot 49\cdot 2)(9\cdot 3))= \sqrt( \ dfrac(16\cdot4\cdot49)(9))=\dfrac(\sqrt(16)\cdot \sqrt4 \cdot \sqrt(49))(\sqrt9)=\dfrac(4\cdot 2\cdot 7)3 =\dfrac(56)3\]
\(\bullet\) Să arătăm cum să introduceți numere sub semnul rădăcinii pătrate folosind exemplul expresiei \(5\sqrt2\) (notație scurtă pentru expresia \(5\cdot \sqrt2\)). Deoarece \(5=\sqrt(25)\) , atunci \ De asemenea, rețineți că, de exemplu,
1) \(\sqrt2+3\sqrt2=4\sqrt2\),
2) \(5\sqrt3-\sqrt3=4\sqrt3\)
3) \(\sqrt a+\sqrt a=2\sqrt a\) .

De ce este asta? Să explicăm folosind exemplul 1). După cum înțelegeți deja, nu putem transforma cumva numărul \(\sqrt2\). Să ne imaginăm că \(\sqrt2\) este un număr \(a\) . În consecință, expresia \(\sqrt2+3\sqrt2\) nu este altceva decât \(a+3a\) (un număr \(a\) plus încă trei numere identice \(a\)). Și știm că aceasta este egală cu patru astfel de numere \(a\) , adică \(4\sqrt2\) .

Faptul 4.
\(\bullet\) Ei spun adesea „nu poți extrage rădăcina” atunci când nu poți scăpa de semnul \(\sqrt () \ \) al rădăcinii (radicalului) când găsești valoarea unui număr . De exemplu, puteți lua rădăcina numărului \(16\) deoarece \(16=4^2\) , prin urmare \(\sqrt(16)=4\) . Dar este imposibil să extragi rădăcina numărului \(3\), adică să găsești \(\sqrt3\), deoarece nu există un număr care la pătrat să dea \(3\) .
Astfel de numere (sau expresii cu astfel de numere) sunt iraționale. De exemplu, numerele \(\sqrt3, \ 1+\sqrt2, \ \sqrt(15)\)și așa mai departe. sunt iraționale.
De asemenea, sunt iraționale numerele \(\pi\) (numărul „pi”, aproximativ egal cu \(3,14\)), \(e\) (acest număr se numește număr Euler, este aproximativ egal cu \(2,7). \)) etc.
\(\bullet\) Vă rugăm să rețineți că orice număr va fi rațional sau irațional. Și împreună toată lumea este rațională și totul numere irationale formează o mulțime numită un set de numere reale. Această mulțime este notă cu litera \(\mathbb(R)\) .
Aceasta înseamnă că toate numerele care sunt activate acest momentștim că se numesc numere reale.

Faptul 5.
Modulul \(\bullet\). numar real\(a\) este un număr nenegativ \(|a|\) egal cu distanța de la punctul \(a\) la \(0\) pe dreapta reală. De exemplu, \(|3|\) și \(|-3|\) sunt egale cu 3, deoarece distanțele de la punctele \(3\) și \(-3\) la \(0\) sunt același și egal cu \(3 \) .
\(\bullet\) Dacă \(a\) este un număr nenegativ, atunci \(|a|=a\) .
Exemplu: \(|5|=5\) ; \(\qquad |\sqrt2|=\sqrt2\) . \(\bullet\) Dacă \(a\) este un număr negativ, atunci \(|a|=-a\) .
Exemplu: \(|-5|=-(-5)=5\) ; \(\qquad |-\sqrt3|=-(-\sqrt3)=\sqrt3\).
Ei spun că pentru numerele negative modulul „mâncă” minusul, în timp ce numerele pozitive, precum și numărul \(0\), sunt lăsate neschimbate de modul.
DAR Această regulă se aplică numai numerelor. Dacă sub semnul modulului există o necunoscută \(x\) (sau o altă necunoscută), de exemplu, \(|x|\) , despre care nu știm dacă este pozitiv, zero sau negativ, atunci scăpați a modulului nu putem. În acest caz, această expresie rămâne aceeași: \(|x|\) . \(\bullet\) Următoarele formule sunt valabile: \[(\large(\sqrt(a^2)=|a|))\] \[(\large((\sqrt(a))^2=a)), \text( furnizat ) a\geqslant 0\] Foarte des se face următoarea greșeală: ei spun că \(\sqrt(a^2)\) și \((\sqrt a)^2\) sunt unul și același. Acest lucru este adevărat numai dacă \(a\) este un număr pozitiv sau zero. Dar dacă \(a\) este un număr negativ, atunci acesta este fals. Este suficient să luăm în considerare acest exemplu. Să luăm în loc de \(a\) numărul \(-1\) . Atunci \(\sqrt((-1)^2)=\sqrt(1)=1\) , dar expresia \((\sqrt (-1))^2\) nu există deloc (la urma urmei, este imposibil de folosit semnul rădăcină pune numere negative!).
Prin urmare, vă atragem atenția asupra faptului că \(\sqrt(a^2)\) nu este egal cu \((\sqrt a)^2\) ! Exemplu: 1) \(\sqrt(\left(-\sqrt2\right)^2)=|-\sqrt2|=\sqrt2\), deoarece \(-\sqrt2<0\) ;

\(\phantom(00000)\) 2) \((\sqrt(2))^2=2\) . \(\bullet\) Deoarece \(\sqrt(a^2)=|a|\) , atunci \[\sqrt(a^(2n))=|a^n|\] (expresia \(2n\) denotă un număr par)
Adică, atunci când luăm rădăcina unui număr care este într-o anumită măsură, acest grad este înjumătățit.
Exemplu:
1) \(\sqrt(4^6)=|4^3|=4^3=64\)
2) \(\sqrt((-25)^2)=|-25|=25\) (rețineți că dacă modulul nu este furnizat, se dovedește că rădăcina numărului este egală cu \(-25\ ); dar ne amintim că, prin definiția unei rădăcini, acest lucru nu se poate întâmpla: atunci când extragem o rădăcină, ar trebui să obținem întotdeauna un număr pozitiv sau zero)
3) \(\sqrt(x^(16))=|x^8|=x^8\) (deoarece orice număr la o putere pară este nenegativ)

Faptul 6.
Cum se compară două rădăcini pătrate?
\(\bullet\) Pentru rădăcinile pătrate este adevărat: dacă \(\sqrt a<\sqrt b\) , то \(aExemplu:
1) comparați \(\sqrt(50)\) și \(6\sqrt2\) . Mai întâi, să transformăm a doua expresie în \(\sqrt(36)\cdot \sqrt2=\sqrt(36\cdot 2)=\sqrt(72)\). Astfel, deoarece \(50<72\) , то и \(\sqrt{50}<\sqrt{72}\) . Следовательно, \(\sqrt{50}<6\sqrt2\) .
2) Între ce numere întregi se află \(\sqrt(50)\)?
Deoarece \(\sqrt(49)=7\) , \(\sqrt(64)=8\) și \(49<50<64\) , то \(7<\sqrt{50}<8\) , то есть число \(\sqrt{50}\) находится между числами \(7\) и \(8\) .
3) Să comparăm \(\sqrt 2-1\) și \(0,5\) . Să presupunem că \(\sqrt2-1>0,5\) : \[\begin(aligned) &\sqrt 2-1>0,5 \ \big| +1\quad \text((adăugați unul pe ambele părți))\\ &\sqrt2>0.5+1 \ \big| \ ^2 \quad\text((la pătratul ambelor părți))\\ &2>1,5^2\\ &2>2,25 \end(aligned)\] Vedem că am obținut o inegalitate incorectă. Prin urmare, presupunerea noastră a fost incorectă și \(\sqrt 2-1<0,5\) .
Rețineți că adăugarea unui anumit număr de ambele părți ale inegalității nu afectează semnul acestuia. Înmulțirea/împărțirea ambelor părți ale unei inegalități cu un număr pozitiv, de asemenea, nu afectează semnul acesteia, dar înmulțirea/împărțirea cu un număr negativ inversează semnul inegalității!
Puteți pătra ambele părți ale unei ecuații/inegalități NUMAI DACĂ ambele părți sunt nenegative. De exemplu, în inegalitatea din exemplul anterior puteți pătra ambele părți, în inegalitatea \(-3<\sqrt2\) нельзя (убедитесь в этом сами)! \(\bullet\) Trebuie amintit că \[\begin(aliniat) &\sqrt 2\aproximativ 1,4\\ &\sqrt 3\aproximativ 1,7 \end(aliniat)\] Cunoașterea semnificației aproximative a acestor numere vă va ajuta atunci când comparați numerele! \(\bullet\) Pentru a extrage rădăcina (dacă poate fi extrasă) dintr-un număr mare care nu se află în tabelul de pătrate, trebuie mai întâi să determinați între ce „sute” se află, apoi – între care „ zeci”, apoi determinați ultima cifră a acestui număr. Să arătăm cum funcționează acest lucru cu un exemplu.
Să luăm \(\sqrt(28224)\) . Știm că \(100^2=10\,000\), \(200^2=40\,000\), etc. Rețineți că \(28224\) este între \(10\,000\) și \(40\,000\) . Prin urmare, \(\sqrt(28224)\) este între \(100\) și \(200\) .
Acum să stabilim între ce „zeci” se află numărul nostru (adică, de exemplu, între \(120\) și \(130\)). Tot din tabelul pătratelor știm că \(11^2=121\) , \(12^2=144\) etc., apoi \(110^2=12100\) , \(120^2=14400 \ ) , \(130^2=16900\) , \(140^2=19600\) , \(150^2=22500\) , \(160^2=25600\) , \(170^2=28900 \ ). Deci vedem că \(28224\) este între \(160^2\) și \(170^2\) . Prin urmare, numărul \(\sqrt(28224)\) este între \(160\) și \(170\) .
Să încercăm să determinăm ultima cifră. Să ne amintim ce numere cu o singură cifră, la pătrat, dau \(4\) la sfârșit? Acestea sunt \(2^2\) și \(8^2\) . Prin urmare, \(\sqrt(28224)\) se va termina fie cu 2, fie cu 8. Să verificăm acest lucru. Să găsim \(162^2\) și \(168^2\):
\(162^2=162\cdot 162=26224\)
\(168^2=168\cdot 168=28224\) .
Prin urmare, \(\sqrt(28224)=168\) . Voila!

Pentru a rezolva în mod adecvat Examenul de stat unificat la matematică, trebuie mai întâi să studiezi material teoretic, care să te introducă în numeroase teoreme, formule, algoritmi etc. La prima vedere, poate părea că acest lucru este destul de simplu. Totuși, găsirea unei surse în care teoria pentru examenul de stat unificat la matematică să fie prezentată într-un mod ușor și ușor de înțeles pentru studenții cu orice nivel de pregătire este de fapt o sarcină destul de dificilă. Manualele școlare nu pot fi ținute întotdeauna la îndemână. Și găsirea formulelor de bază pentru examenul de stat unificat la matematică poate fi dificilă chiar și pe Internet.

De ce este atât de important să studiezi teoria în matematică nu numai pentru cei care susțin examenul de stat unificat?

  1. Pentru că îți lărgește orizonturile. Studierea materialelor teoretice în matematică este utilă pentru oricine dorește să obțină răspunsuri la o gamă largă de întrebări legate de cunoașterea lumii din jurul lor. Totul în natură este ordonat și are o logică clară. Acesta este exact ceea ce se reflectă în știință, prin care este posibil să înțelegem lumea.
  2. Pentru că dezvoltă inteligența. Prin studierea materialelor de referință pentru examenul de stat unificat la matematică, precum și prin rezolvarea diferitelor probleme, o persoană învață să gândească și să raționeze logic, să formuleze gândurile în mod competent și clar. El dezvoltă capacitatea de a analiza, generaliza și trage concluzii.

Vă invităm să evaluați personal toate avantajele abordării noastre de sistematizare și prezentare a materialelor educaționale.

Proprietățile rădăcinilor pătrate

Până acum am efectuat cinci operații aritmetice pe numere: adunarea, scăderea, multiplicare, împărțirea și exponentiația, iar în calcule au fost utilizate în mod activ diverse proprietăți ale acestor operații, de exemplu a + b = b + a, an-bn = (ab)n etc.

Acest capitol introduce o nouă operație - luarea rădăcinii pătrate a unui număr nenegativ. Pentru a-l folosi cu succes, trebuie să vă familiarizați cu proprietățile acestei operațiuni, pe care o vom face în această secțiune.

Dovada. Să introducem următoarea notație: https://pandia.ru/text/78/290/images/image005_28.jpg" alt="Equality" width="120" height="25 id=">!}.

Exact așa vom formula următoarea teoremă.

(O formulare scurtă care este mai convenabilă de utilizat în practică: rădăcina unei fracții este egală cu fracția rădăcinilor sau rădăcina coeficientului este egală cu coeficientul rădăcinilor.)

De data aceasta vom oferi doar un scurt rezumat al demonstrației, iar tu încercați să faceți comentarii adecvate, similare cu cele care au format esența demonstrației teoremei 1.

Nota 3. Desigur, acest exemplu poate fi rezolvat diferit, mai ales dacă aveți la îndemână un microcalculator: înmulțiți numerele 36, 64, 9 și apoi luați rădăcina pătrată a produsului rezultat. Cu toate acestea, veți fi de acord că soluția propusă mai sus arată mai culturală.

Nota 4. În prima metodă, am efectuat calcule „direct”. A doua modalitate este mai elegantă:
am aplicat formulă a2 - b2 = (a - b) (a + b) și a folosit proprietatea rădăcinilor pătrate.

Nota 5. Unele „capete fierbinți” oferă uneori această „soluție” pentru exemplul 3:

Acest lucru, desigur, nu este adevărat: vedeți - rezultatul nu este același ca în exemplul 3. Faptul este că nu există nicio proprietate https://pandia.ru/text/78/290/images/image014_6.jpg" alt="Sarcina" width="148" height="26 id=">!} Există doar proprietăți legate de înmulțirea și împărțirea rădăcinilor pătrate. Fii atent și atent, nu accepta iluzii.

Pentru a încheia această secțiune, să remarcăm încă o proprietate destul de simplă și în același timp importantă:
dacă a > 0 și n - numar natural , Acea

Conversia expresiilor care conțin o operație cu rădăcină pătrată

Până acum am făcut doar transformări expresii rationale, folosind pentru aceasta regulile de acțiuni pe polinoame și fracții algebrice, formule de înmulțire prescurtate etc. În acest capitol am prezentat noua operatiune- operatie de extragere a radacinii patrate; am stabilit că

unde, reamintim, a, b sunt numere nenegative.

Folosind acestea formule, puteți efectua diverse transformări asupra expresiilor care conțin o operație de rădăcină pătrată. Să ne uităm la câteva exemple și în toate exemplele vom presupune că variabilele iau doar valori nenegative.

Exemplul 3. Introduceți multiplicatorul sub semnul rădăcinii pătrate:

Exemplul 6. Simplificați expresia Soluție. Să efectuăm transformări secvențiale:

Se încarcă...Se încarcă...