डिग्री और उसके गुण. व्यापक मार्गदर्शिका (2019)

डिग्री की आवश्यकता क्यों है? आपको उनकी आवश्यकता कहां होगी? आपको उनका अध्ययन करने के लिए समय क्यों निकालना चाहिए?

डिग्रियों के बारे में सब कुछ जानने के लिए, वे किस लिए हैं, अपने ज्ञान का उपयोग कैसे करें रोजमर्रा की जिंदगीइस लेख को पढ़ें.

और, निःसंदेह, डिग्रियों का ज्ञान आपको सफलता के करीब लाएगा OGE पास करनाया एकीकृत राज्य परीक्षा और अपने सपनों के विश्वविद्यालय में प्रवेश।

चलो चले चलो चले!)

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प्रथम स्तर

घातांक जोड़, घटाव, गुणा या भाग की तरह ही एक गणितीय संक्रिया है।

अब मैं सब कुछ समझाऊंगा मानव भाषाबहुत ही सरल उदाहरणों के साथ. ध्यान से। उदाहरण प्राथमिक हैं, लेकिन महत्वपूर्ण बातें समझाते हैं।

आइए जोड़ से शुरू करें।

यहां समझाने के लिए कुछ भी नहीं है. आप पहले से ही सब कुछ जानते हैं: हम आठ हैं। हर किसी के पास कोला की दो बोतलें हैं। वहां कितना कोला है? यह सही है - 16 बोतलें।

अब गुणा.

कोला के साथ एक ही उदाहरण को अलग तरीके से लिखा जा सकता है:। गणितज्ञ चालाक और आलसी लोग होते हैं। वे पहले कुछ पैटर्न नोटिस करते हैं, और फिर उन्हें तेजी से "गिनने" का तरीका ढूंढते हैं। हमारे मामले में, उन्होंने देखा कि आठ लोगों में से प्रत्येक के पास समान संख्या में कोला की बोतलें थीं और वे गुणन नामक एक तकनीक लेकर आए। सहमत हूँ, इसे इससे भी आसान और तेज़ माना जाता है।

इसलिए, तेज़, आसान और त्रुटियों के बिना गिनती करने के लिए, आपको बस याद रखने की ज़रूरत है पहाड़ा. बेशक, आप हर काम धीमी गति से, अधिक कठिन और गलतियों के साथ कर सकते हैं! लेकिन…

यहाँ गुणन सारणी है. दोहराना।

और दूसरा, अधिक सुंदर:

आलसी गणितज्ञों ने गिनती की और कौन-सी चतुर चालें ईजाद की हैं? सही - किसी संख्या को घात तक बढ़ाना.

किसी संख्या को घात तक बढ़ाना

यदि आपको किसी संख्या को उसी से पाँच गुना गुणा करने की आवश्यकता है, तो गणितज्ञों का कहना है कि आपको उस संख्या को पाँचवीं घात तक बढ़ाने की आवश्यकता है। उदाहरण के लिए, । गणितज्ञों को याद है कि दो से पाँचवीं घात है... और वे ऐसी समस्याओं को अपने दिमाग में हल करते हैं - तेज़, आसान और बिना गलतियों के।

आपको बस इतना करना है याद रखें कि संख्याओं की शक्तियों की तालिका में रंग में क्या हाइलाइट किया गया है. मेरा विश्वास करें, इससे आपका जीवन बहुत आसान हो जाएगा।

वैसे, इसे दूसरी डिग्री क्यों कहा जाता है? वर्गसंख्याएँ, और तीसरा - घनक्षेत्र? इसका मतलब क्या है? बहुत अच्छा प्रश्न. अब आपके पास वर्ग और घन दोनों होंगे।

वास्तविक जीवन का उदाहरण #1

आइए वर्ग या संख्या की दूसरी घात से प्रारंभ करें।

एक मीटर गुणा एक मीटर मापने वाले एक वर्गाकार पूल की कल्पना करें। पूल आपके दचा में है। गर्मी है और मैं सचमुच तैरना चाहता हूँ। लेकिन... पूल में कोई पेंदी नहीं है! आपको पूल के निचले हिस्से को टाइल्स से ढंकना होगा। आपको कितनी टाइल्स की आवश्यकता है? इसे निर्धारित करने के लिए, आपको पूल के निचले क्षेत्र को जानना होगा।

आप बस अपनी उंगली दिखाकर गणना कर सकते हैं कि पूल के तल में मीटर दर मीटर घन हैं। यदि आपके पास एक मीटर गुणा एक मीटर की टाइलें हैं, तो आपको टुकड़ों की आवश्यकता होगी। यह आसान है... लेकिन आपने ऐसी टाइलें कहाँ देखी हैं? टाइल संभवतः सेमी दर सेमी होगी। और फिर आपको "अपनी उंगली से गिनकर" यातना दी जाएगी। फिर आपको गुणा करना होगा. तो, पूल के तल के एक तरफ हम टाइलें (टुकड़े) फिट करेंगे और दूसरी तरफ भी, टाइलें। से गुणा करें और आपको टाइलें () मिलेंगी।

क्या आपने देखा कि पूल के तल का क्षेत्रफल निर्धारित करने के लिए हमने उसी संख्या को उसी से गुणा किया है? इसका मतलब क्या है? चूँकि हम एक ही संख्या को गुणा कर रहे हैं, हम "घातांक" तकनीक का उपयोग कर सकते हैं। (बेशक, जब आपके पास केवल दो संख्याएँ हों, तब भी आपको उन्हें गुणा करने या उन्हें एक घात तक बढ़ाने की आवश्यकता होती है। लेकिन यदि आपके पास उनमें से बहुत सारे हैं, तो उन्हें एक घात तक बढ़ाना बहुत आसान है और गणना में त्रुटियाँ भी कम होती हैं। . एकीकृत राज्य परीक्षा के लिए, यह बहुत महत्वपूर्ण है)।
तो, तीस से दूसरी घात () होगी। या हम कह सकते हैं कि तीस वर्ग होगा. दूसरे शब्दों में, किसी संख्या की दूसरी घात को हमेशा एक वर्ग के रूप में दर्शाया जा सकता है। और इसके विपरीत, यदि आप एक वर्ग देखते हैं, तो यह हमेशा किसी संख्या की दूसरी शक्ति है। वर्ग किसी संख्या की दूसरी घात का प्रतिबिम्ब है।

वास्तविक जीवन का उदाहरण #2

यहां आपके लिए एक कार्य है: संख्या के वर्ग का उपयोग करके गिनें कि शतरंज की बिसात पर कितने वर्ग हैं... कोशिकाओं के एक तरफ और दूसरी तरफ भी। उनकी संख्या की गणना करने के लिए, आपको आठ को आठ से गुणा करना होगा या... यदि आप देखते हैं कि शतरंज की बिसात एक भुजा वाला एक वर्ग है, तो आप आठ का वर्ग कर सकते हैं। आपको कोशिकाएं मिलेंगी. () इसलिए?

वास्तविक जीवन का उदाहरण #3

अब किसी संख्या का घन या तीसरी शक्ति। वही तालाब. लेकिन अब आपको यह पता लगाना होगा कि इस कुंड में कितना पानी डालना होगा। आपको वॉल्यूम की गणना करने की आवश्यकता है. (वैसे, मात्रा और तरल पदार्थ को मापा जाता है घन मीटर. अप्रत्याशित, सही?) एक पूल बनाएं: एक मीटर मापने वाला तल और एक मीटर की गहराई और गिनने का प्रयास करें कि एक मीटर गुणा मीटर मापने वाले कितने घन आपके पूल में फिट होंगे।

बस अपनी उंगली उठायें और गिनें! एक, दो, तीन, चार... बाईस, तेईस... आपको कितने मिले? खोया नहीं? क्या अपनी उंगली से गिनना मुश्किल है? ताकि! गणितज्ञों से एक उदाहरण लीजिए। वे आलसी हैं, इसलिए उन्होंने देखा कि पूल की मात्रा की गणना करने के लिए, आपको इसकी लंबाई, चौड़ाई और ऊंचाई को एक दूसरे से गुणा करना होगा। हमारे मामले में, पूल का आयतन घनों के बराबर होगा... आसान है, है ना?

अब कल्पना कीजिए कि अगर गणितज्ञों ने इसे भी सरल बना दिया तो वे कितने आलसी और चालाक गणितज्ञ होंगे। हमने हर चीज़ को एक कार्रवाई तक सीमित कर दिया। उन्होंने देखा कि लंबाई, चौड़ाई और ऊंचाई बराबर हैं और वही संख्या अपने आप गुणा हो जाती है... इसका क्या मतलब है? इसका मतलब है कि आप डिग्री का लाभ उठा सकते हैं। तो, जो आपने एक बार अपनी उंगली से गिना था, वे एक ही क्रिया में करते हैं: तीन घन बराबर हैं। इसे इस प्रकार लिखा गया है: .

बस इतना ही बाकी है डिग्रियों की तालिका याद रखें. बशर्ते, आप गणितज्ञों की तरह आलसी और चालाक न हों। यदि आपको कड़ी मेहनत करना और गलतियाँ करना पसंद है, तो आप अपनी उंगली से गिनना जारी रख सकते हैं।

खैर, अंततः आपको यह समझाने के लिए कि डिग्रियों का आविष्कार नौकरी छोड़ने वालों और चालाक लोगों ने अपने जीवन की समस्याओं को हल करने के लिए किया था, न कि आपके लिए समस्याएं पैदा करने के लिए, यहां जीवन से कुछ और उदाहरण दिए गए हैं।

वास्तविक जीवन का उदाहरण #4

आपके पास दस लाख रूबल हैं। प्रत्येक वर्ष की शुरुआत में, आपके द्वारा कमाए गए प्रत्येक मिलियन के बदले में आप एक और मिलियन कमाते हैं। अर्थात्, प्रत्येक वर्ष की शुरुआत में आपके पास प्रत्येक मिलियन दोगुना हो जाता है। वर्षों में आपके पास कितना पैसा होगा? यदि आप अभी बैठे हैं और "अपनी उंगली से गिन रहे हैं", तो आप बहुत मेहनती व्यक्ति हैं और... बेवकूफ हैं। लेकिन सबसे अधिक संभावना है कि आप कुछ सेकंड में उत्तर दे देंगे, क्योंकि आप स्मार्ट हैं! तो, पहले वर्ष में - दो को दो से गुणा किया गया... दूसरे वर्ष में - क्या हुआ, दो और से, तीसरे वर्ष में... रुकें! आपने देखा कि संख्या अपने आप से गुणा हो जाती है। तो दो से पाँचवीं घात एक मिलियन है! अब कल्पना करें कि आपके पास एक प्रतियोगिता है और जो सबसे तेज़ गिनती कर सकता है उसे ये लाखों मिलेंगे... यह संख्याओं की शक्तियों को याद रखने लायक है, क्या आपको नहीं लगता?

वास्तविक जीवन का उदाहरण #5

आपके पास दस लाख हैं. प्रत्येक वर्ष की शुरुआत में, आप प्रत्येक मिलियन की कमाई पर दो अतिरिक्त कमाते हैं। बढ़िया है ना? प्रत्येक मिलियन तीन गुना है। एक साल में आपके पास कितना पैसा होगा? आइये गिनते हैं। पहला वर्ष - गुणा करें, फिर परिणाम दूसरे से... यह पहले से ही उबाऊ है, क्योंकि आप पहले ही सब कुछ समझ चुके हैं: तीन को अपने आप से गुणा किया जाता है। तो चौथी शक्ति के लिए यह एक मिलियन के बराबर है। आपको बस यह याद रखना है कि तीन से चौथी शक्ति या है।

अब आप जानते हैं कि किसी संख्या को घात तक बढ़ाकर आप अपना जीवन बहुत आसान बना लेंगे। आइए आगे देखें कि आप डिग्रियों के साथ क्या कर सकते हैं और आपको उनके बारे में क्या जानने की आवश्यकता है।

नियम और अवधारणाएँ...ताकि भ्रमित न हों

तो, पहले, आइए अवधारणाओं को परिभाषित करें। आप क्या सोचते हैं, प्रतिपादक क्या है? यह बहुत सरल है - यह वह संख्या है जो संख्या की शक्ति के "शीर्ष पर" है। वैज्ञानिक नहीं, लेकिन स्पष्ट और याद रखने में आसान...

खैर, साथ ही, क्या ऐसा डिग्री आधार? और भी सरल - यह वह संख्या है जो नीचे, आधार पर स्थित है।

यहाँ अच्छे उपाय के लिए एक चित्र है।

तब में सामान्य रूप से देखें, सामान्यीकरण करने और बेहतर ढंग से याद रखने के लिए... आधार " " और एक घातांक " " वाली डिग्री को "डिग्री तक" के रूप में पढ़ा जाता है और इसे इस प्रकार लिखा जाता है:

प्राकृतिक घातांक के साथ किसी संख्या की शक्ति

आप शायद पहले ही अनुमान लगा चुके हैं: क्योंकि प्रतिपादक है प्राकृतिक संख्या. हाँ, लेकिन यह क्या है? प्राकृतिक संख्या? प्राथमिक! प्राकृतिक संख्याएँ वे संख्याएँ हैं जिनका उपयोग वस्तुओं को सूचीबद्ध करते समय गिनती में किया जाता है: एक, दो, तीन... जब हम वस्तुओं को गिनते हैं, तो हम यह नहीं कहते हैं: "माइनस फाइव," "माइनस छह," "माइनस सात।" हम यह भी नहीं कहते: "एक तिहाई", या "शून्य दशमलव पाँच"। ये प्राकृतिक संख्याएँ नहीं हैं. आपके अनुसार ये कौन सी संख्याएँ हैं?

"माइनस फाइव", "माइनस सिक्स", "माइनस सात" जैसी संख्याएँ संदर्भित हैं पूर्ण संख्याएं।सामान्य तौर पर, पूर्णांकों में सभी प्राकृतिक संख्याएँ, प्राकृतिक संख्याओं के विपरीत संख्याएँ (अर्थात् ऋण चिह्न के साथ ली गई) और संख्याएँ शामिल होती हैं। शून्य को समझना आसान है - यह तब होता है जब कुछ भी नहीं होता है। ऋणात्मक ("ऋण") संख्याओं का क्या अर्थ है? लेकिन उनका आविष्कार मुख्य रूप से ऋणों को इंगित करने के लिए किया गया था: यदि आपके फोन पर रूबल में शेष राशि है, तो इसका मतलब है कि आप पर ऑपरेटर रूबल का बकाया है।

सभी भिन्न परिमेय संख्याएँ हैं। वे कैसे उत्पन्न हुए, क्या आप सोचते हैं? बहुत सरल। कई हजार साल पहले, हमारे पूर्वजों को पता चला कि उनके पास लंबाई, वजन, क्षेत्रफल आदि मापने के लिए प्राकृतिक संख्याओं का अभाव है। और वे लेकर आये भिन्नात्मक संख्याएं... दिलचस्प है, है ना?

क्या कुछ और भी है तर्कहीन संख्या. ये संख्याएँ क्या हैं? संक्षेप में, अंतहीन दशमलव. उदाहरण के लिए, यदि आप किसी वृत्त की परिधि को उसके व्यास से विभाजित करते हैं, तो आपको एक अपरिमेय संख्या प्राप्त होती है।

सारांश:

आइए हम एक डिग्री की अवधारणा को परिभाषित करें जिसका घातांक एक प्राकृतिक संख्या है (यानी, पूर्णांक और सकारात्मक)।

पहली घात की कोई भी संख्या स्वयं के बराबर होती है:
किसी संख्या का वर्ग करने का अर्थ है उसे स्वयं से गुणा करना:
किसी संख्या को घन करने का अर्थ है उसे अपने आप से तीन बार गुणा करना:

परिभाषा।किसी संख्या को प्राकृतिक घात तक बढ़ाने का अर्थ है उस संख्या को उसी संख्या से गुणा करना:
.

डिग्री के गुण

ये संपत्तियां कहां से आईं? मैं तुम्हें अभी दिखाता हूँ.

आइए देखें: यह क्या है और ?

ए-प्राथमिकता:

कुल कितने गुणक हैं?

यह बहुत सरल है: हमने कारकों में गुणक जोड़े, और परिणाम गुणक है।

लेकिन परिभाषा के अनुसार, यह एक घातांक वाली संख्या की शक्ति है, जो है:, जिसे सिद्ध करने की आवश्यकता है।

उदाहरण: अभिव्यक्ति को सरल बनाएं.

समाधान:

उदाहरण:अभिव्यक्ति को सरल कीजिये.

समाधान:हमारे नियम में यह ध्यान रखना जरूरी है अनिवार्य रूप सेवही कारण होंगे!
इसलिए, हम शक्तियों को आधार के साथ जोड़ते हैं, लेकिन यह एक अलग कारक बना रहता है:

केवल शक्तियों के उत्पाद के लिए!

आप किसी भी हालत में ऐसा नहीं लिख सकते.

2. बस इतना ही किसी संख्या की वां घात

पिछली संपत्ति की तरह, आइए डिग्री की परिभाषा की ओर मुड़ें:

इससे पता चलता है कि व्यंजक को स्वयं से कई गुना गुणा किया जाता है, अर्थात परिभाषा के अनुसार, यह संख्या की वीं घात है:

संक्षेप में, इसे "संकेतक को कोष्ठक से बाहर निकालना" कहा जा सकता है। लेकिन आप इसे समग्र रूप से कभी नहीं कर सकते:

आइए संक्षिप्त गुणन सूत्र याद रखें: हम कितनी बार लिखना चाहते थे?

लेकिन आख़िरकार यह सच नहीं है।

नकारात्मक आधार वाली शक्ति

इस बिंदु तक, हमने केवल इस बात पर चर्चा की है कि प्रतिपादक क्या होना चाहिए।

लेकिन आधार क्या होना चाहिए?

की शक्तियों में प्राकृतिक सूचकआधार हो सकता है कोई संख्या. दरअसल, हम किसी भी संख्या को एक-दूसरे से गुणा कर सकते हैं, चाहे वे सकारात्मक, नकारात्मक या सम हों।

आइए विचार करें कि किन चिह्नों ("" या "") में धनात्मक और ऋणात्मक संख्याओं की घातें होंगी?

उदाहरण के लिए, संख्या धनात्मक है या ऋणात्मक? ए? ? पहले वाले से, सब कुछ स्पष्ट है: चाहे हम कितनी भी सकारात्मक संख्याओं को एक-दूसरे से गुणा करें, परिणाम सकारात्मक ही होगा।

लेकिन नकारात्मक बातें थोड़ी अधिक दिलचस्प हैं। हमें छठी कक्षा का सरल नियम याद है: "माइनस के लिए माइनस एक प्लस देता है।" वह है, या. लेकिन अगर हम इसे गुणा करें, तो यह काम करता है।

स्वयं निर्धारित करें कि निम्नलिखित भावों में कौन सा चिन्ह होगा:

1)	2)	3)
4)	5)	6)

क्या आप संभाल पाओगे?

यहाँ उत्तर हैं: पहले चार उदाहरणों में, मुझे आशा है कि सब कुछ स्पष्ट है? हम बस आधार और घातांक को देखते हैं और उचित नियम लागू करते हैं।

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

उदाहरण 5 में) सब कुछ उतना डरावना नहीं है जितना लगता है: आखिरकार, इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि आधार किसके बराबर है - डिग्री सम है, जिसका अर्थ है कि परिणाम हमेशा सकारात्मक होगा।

खैर, सिवाय इसके कि जब आधार शून्य हो। आधार तो एक समान नहीं है? जाहिर तौर पर नहीं, चूँकि (क्योंकि)।

उदाहरण 6) अब इतना सरल नहीं रहा!

अभ्यास के लिए 6 उदाहरण

समाधान का विश्लेषण 6 उदाहरण

यदि हम आठवीं शक्ति की उपेक्षा करें तो हम यहाँ क्या देखते हैं? आइए सातवीं कक्षा के कार्यक्रम को याद करें। तो, क्या आपको याद है? यह संक्षिप्त गुणन का सूत्र है, अर्थात वर्गों का अंतर! हम पाते हैं:

आइए हर को ध्यान से देखें। यह काफी हद तक अंश कारकों में से एक जैसा दिखता है, लेकिन गलत क्या है? शर्तों का क्रम ग़लत है. यदि उन्हें उलट दिया जाता, तो नियम लागू हो सकता था।

लेकिन ऐसा कैसे करें? यह पता चला है कि यह बहुत आसान है: हर की सम डिग्री यहां हमारी मदद करती है।

जादुई ढंग से शर्तें बदल गईं। यह "घटना" किसी भी अभिव्यक्ति पर एक समान डिग्री तक लागू होती है: हम कोष्ठक में संकेतों को आसानी से बदल सकते हैं।

लेकिन यह याद रखना महत्वपूर्ण है: सभी संकेत एक ही समय में बदलते हैं!

आइए उदाहरण पर वापस जाएं:

और फिर सूत्र:

साबुतहम प्राकृतिक संख्याएँ, उनके विपरीत (अर्थात " " चिह्न के साथ ली गई) और संख्या कहते हैं।

सकारात्मक पूर्णांक, और यह प्राकृतिक से अलग नहीं है, तो सब कुछ बिल्कुल पिछले अनुभाग जैसा दिखता है।

अब नजर डालते हैं नए मामलों पर. आइए इसके बराबर एक संकेतक से शुरू करें।

शून्य घात की कोई भी संख्या एक के बराबर होती है:

हमेशा की तरह, आइए हम खुद से पूछें: ऐसा क्यों है?

आइए आधार के साथ कुछ डिग्री पर विचार करें। उदाहरण के लिए, लें और इससे गुणा करें:

तो, हमने संख्या को गुणा किया, और हमें वही चीज़ मिली जो वह थी -। आपको किस संख्या से गुणा करना चाहिए ताकि कुछ भी न बदले? यह सही है, चालू. मतलब।

हम एक मनमानी संख्या के साथ भी ऐसा ही कर सकते हैं:

आइए नियम दोहराएं:

शून्य घात की कोई भी संख्या एक के बराबर होती है।

लेकिन कई नियमों के अपवाद भी हैं. और यहाँ यह भी है - यह एक संख्या है (आधार के रूप में)।

एक ओर, यह किसी भी डिग्री के बराबर होना चाहिए - चाहे आप शून्य को स्वयं से कितना भी गुणा कर लें, फिर भी आपको शून्य ही मिलेगा, यह स्पष्ट है। लेकिन दूसरी ओर, शून्य घात की किसी भी संख्या की तरह, यह बराबर होना चाहिए। तो यह कितना सच है? गणितज्ञों ने इसमें शामिल न होने का निर्णय लिया और शून्य से शून्य घात बढ़ाने से इनकार कर दिया। अर्थात्, अब हम न केवल शून्य से विभाजित कर सकते हैं, बल्कि इसे शून्य घात तक बढ़ा भी सकते हैं।

पर चलते हैं। पूर्णांकों में प्राकृतिक संख्याओं और संख्याओं के अलावा ऋणात्मक संख्याएँ भी शामिल होती हैं। यह समझने के लिए कि नकारात्मक डिग्री क्या है, आइए पिछली बार की तरह करें: कुछ को गुणा करें सामान्य संख्याउसी से नकारात्मक डिग्री तक:

यहां से यह व्यक्त करना आसान है कि आप क्या खोज रहे हैं:

आइए अब परिणामी नियम को मनमाने ढंग से विस्तारित करें:

तो, आइए एक नियम बनाएं:

ऋणात्मक घात वाली संख्या उसी संख्या की धनात्मक घात वाली संख्या का व्युत्क्रम होती है। लेकिन साथ ही आधार शून्य नहीं हो सकता:(क्योंकि आप विभाजित नहीं कर सकते)।

आइए संक्षेप में बताएं:

I. मामले में अभिव्यक्ति परिभाषित नहीं है। तो अगर।

द्वितीय. शून्य घात की कोई भी संख्या एक के बराबर होती है:।

तृतीय. एक संख्या जो किसी ऋणात्मक घात के शून्य के बराबर नहीं है, उसी संख्या की एक धनात्मक घात के व्युत्क्रम है:।

स्वतंत्र समाधान के लिए कार्य:

खैर, हमेशा की तरह, स्वतंत्र समाधानों के उदाहरण:

स्वतंत्र समाधान के लिए समस्याओं का विश्लेषण:

मुझे पता है, मुझे पता है, संख्याएँ डरावनी हैं, लेकिन एकीकृत राज्य परीक्षा में आपको किसी भी चीज़ के लिए तैयार रहना होगा! यदि आप इन्हें हल नहीं कर सके तो इन उदाहरणों को हल करें या उनके समाधानों का विश्लेषण करें और आप परीक्षा में आसानी से उनका सामना करना सीख जाएंगे!

आइए एक प्रतिपादक के रूप में "उपयुक्त" संख्याओं की सीमा का विस्तार करना जारी रखें।

अब आइये विचार करें भिन्नात्मक संख्याएं।कौन सी संख्याएँ परिमेय कहलाती हैं?

उत्तर: वह सब कुछ जिसे भिन्न के रूप में दर्शाया जा सकता है, जहां और पूर्णांक हैं, और।

यह समझने के लिए कि यह क्या है "आंशिक डिग्री", भिन्न पर विचार करें:

आइए समीकरण के दोनों पक्षों को एक घात तक बढ़ाएं:

आइए अब इसके बारे में नियम याद रखें "डिग्री से डिग्री":

प्राप्त करने के लिए किस संख्या को घात तक बढ़ाया जाना चाहिए?

यह सूत्रीकरण वें डिग्री की जड़ की परिभाषा है।

मैं आपको याद दिला दूं: किसी संख्या की वें घात का मूल () वह संख्या है, जिसे एक घात तक बढ़ाने पर, बराबर होता है।

अर्थात्, वें शक्ति का मूल एक शक्ति को ऊपर उठाने का व्युत्क्रम संक्रिया है:।

यह पता चला है कि। जाहिर है ये विशेष मामलाबढ़ाया जा सकता है: .

अब हम अंश जोड़ते हैं: यह क्या है? पावर-टू-पावर नियम का उपयोग करके उत्तर प्राप्त करना आसान है:

लेकिन क्या आधार कोई संख्या हो सकता है? आख़िरकार, सभी संख्याओं से मूल नहीं निकाला जा सकता।

कोई नहीं!

आइए नियम को याद रखें: किसी भी संख्या को सम घात तक बढ़ाने पर वह एक धनात्मक संख्या होती है। अर्थात् ऋणात्मक संख्याओं से सम मूल निकालना असंभव है!

इसका मतलब यह है कि ऐसी संख्याओं को सम हर के साथ भिन्नात्मक घात तक नहीं बढ़ाया जा सकता है, यानी अभिव्यक्ति का कोई मतलब नहीं है।

अभिव्यक्ति के बारे में क्या?

लेकिन यहां एक समस्या खड़ी हो जाती है.

संख्या को अन्य, कम करने योग्य भिन्नों के रूप में दर्शाया जा सकता है, उदाहरण के लिए, या।

और यह पता चला कि यह अस्तित्व में है, लेकिन अस्तित्व में नहीं है, लेकिन ये एक ही संख्या के दो अलग-अलग रिकॉर्ड हैं।

या दूसरा उदाहरण: एक बार, फिर आप इसे लिख सकते हैं। लेकिन अगर हम संकेतक को अलग तरीके से लिखते हैं, तो हम फिर से परेशानी में पड़ जाएंगे: (यानी, हमें पूरी तरह से अलग परिणाम मिला!)।

ऐसे विरोधाभासों से बचने के लिए हम विचार करते हैं भिन्नात्मक घातांक के साथ केवल सकारात्मक आधार घातांक.

तो यदि:

- प्राकृतिक संख्या;
- पूर्णांक;

उदाहरण:

उदाहरण के लिए, जड़ों के साथ अभिव्यक्ति को बदलने के लिए तर्कसंगत घातांक बहुत उपयोगी होते हैं:

अभ्यास के लिए 5 उदाहरण

प्रशिक्षण के लिए 5 उदाहरणों का विश्लेषण

खैर, अब सबसे कठिन हिस्सा आता है। अब हम इसका पता लगाएंगे अपरिमेय घातांक के साथ डिग्री.

अपवाद के साथ, यहां डिग्री के सभी नियम और गुण तर्कसंगत प्रतिपादक के साथ डिग्री के समान ही हैं

आख़िरकार, परिभाषा के अनुसार, अपरिमेय संख्याएँ वे संख्याएँ हैं जिन्हें भिन्न के रूप में प्रस्तुत नहीं किया जा सकता है, जहाँ और पूर्णांक हैं (अर्थात, परिमेय संख्याओं को छोड़कर सभी अपरिमेय संख्याएँ वास्तविक संख्याएँ हैं)।

प्राकृतिक, पूर्णांक और तर्कसंगत घातांक के साथ डिग्री का अध्ययन करते समय, हर बार हमने एक निश्चित "छवि", "सादृश्य" या अधिक परिचित शब्दों में विवरण बनाया।

उदाहरण के लिए, एक प्राकृतिक घातांक वाली डिग्री एक संख्या है जिसे अपने आप से कई बार गुणा किया जाता है;

...शून्यवीं घात तक की संख्या- यह, जैसा कि था, एक संख्या है जिसे एक बार अपने आप से गुणा किया जाता है, अर्थात, उन्होंने अभी तक इसे गुणा करना शुरू नहीं किया है, जिसका अर्थ है कि संख्या स्वयं अभी तक प्रकट भी नहीं हुई है - इसलिए परिणाम केवल एक निश्चित "रिक्त संख्या" है , अर्थात् एक संख्या;

...ऋणात्मक पूर्णांक डिग्री- ऐसा लगता है जैसे कोई "उल्टी प्रक्रिया" घटित हुई हो, अर्थात संख्या को स्वयं से गुणा नहीं किया गया, बल्कि विभाजित किया गया।

वैसे, विज्ञान में डिग्री के साथ जटिल सूचक, अर्थात सूचक कोई वास्तविक संख्या भी नहीं है।

लेकिन स्कूल में हम ऐसी कठिनाइयों के बारे में नहीं सोचते हैं, आपको संस्थान में इन नई अवधारणाओं को समझने का अवसर मिलेगा।

जहां हमें यकीन है कि आप जाएंगे! (यदि आप ऐसे उदाहरणों को हल करना सीख जाते हैं :))

उदाहरण के लिए:

अपने लिए तय करें:

समाधान का विश्लेषण:

1. आइए एक शक्ति को एक शक्ति तक बढ़ाने के सामान्य नियम से शुरू करें:

अब सूचक को देखें. क्या वह तुम्हें कुछ याद नहीं दिलाता? आइए हम वर्गों के अंतर के संक्षिप्त गुणन के सूत्र को याद करें:

में इस मामले में,

यह पता चला है कि:

उत्तर: .

2. हम घातांकों में भिन्नों को एक ही रूप में घटाते हैं: या तो दोनों दशमलव या दोनों साधारण। उदाहरण के लिए, हमें मिलता है:

उत्तर: 16

3. कुछ खास नहीं, हम डिग्रियों के सामान्य गुणों का उपयोग करते हैं:

अग्रवर्ती स्तर

डिग्री का निर्धारण

एक डिग्री इस रूप की अभिव्यक्ति है: , जहां:

— डिग्री का आधार;
- प्रतिपादक.

प्राकृतिक संकेतक के साथ डिग्री (एन = 1, 2, 3,...)

किसी संख्या को प्राकृतिक घात n तक बढ़ाने का अर्थ है उस संख्या को उसी संख्या से गुणा करना:

पूर्णांक घातांक के साथ डिग्री (0, ±1, ±2,...)

यदि प्रतिपादक है सकारात्मक पूर्णांकसंख्या:

निर्माण शून्य डिग्री तक:

अभिव्यक्ति अनिश्चित है, क्योंकि एक ओर, किसी भी डिग्री तक यह है, और दूसरी ओर, वें डिग्री तक कोई भी संख्या यह है।

यदि प्रतिपादक है ऋणात्मक पूर्णांकसंख्या:

(क्योंकि आप विभाजित नहीं कर सकते)।

एक बार फिर शून्य के बारे में: मामले में अभिव्यक्ति परिभाषित नहीं है। तो अगर।

उदाहरण:

तर्कसंगत प्रतिपादक के साथ शक्ति

- प्राकृतिक संख्या;
- पूर्णांक;

उदाहरण:

डिग्री के गुण

समस्याओं को हल करना आसान बनाने के लिए, आइए समझने की कोशिश करें: ये गुण कहाँ से आए? आइए उन्हें साबित करें.

आइए देखें: क्या है और?

ए-प्राथमिकता:

तो, इस अभिव्यक्ति के दाईं ओर हमें निम्नलिखित उत्पाद मिलता है:

लेकिन परिभाषा के अनुसार यह एक घातांक वाली संख्या की घात है, अर्थात:

क्यू.ई.डी.

उदाहरण : अभिव्यक्ति को सरल बनाएं.

समाधान : .

उदाहरण : अभिव्यक्ति को सरल बनाएं.

समाधान : हमारे नियम में यह ध्यान रखना जरूरी है अनिवार्य रूप सेवही कारण होंगे. इसलिए, हम शक्तियों को आधार के साथ जोड़ते हैं, लेकिन यह एक अलग कारक बना रहता है:

एक और महत्वपूर्ण नोट: यह नियम - केवल शक्तियों के उत्पाद के लिए!

आप किसी भी हालत में ऐसा नहीं लिख सकते.

पिछली संपत्ति की तरह, आइए डिग्री की परिभाषा की ओर मुड़ें:

आइए इस कार्य को इस प्रकार पुनः व्यवस्थित करें:

संक्षेप में, इसे "संकेतक को कोष्ठक से बाहर निकालना" कहा जा सकता है। लेकिन आप इसे समग्र रूप से कभी नहीं कर सकते: !

आइए संक्षिप्त गुणन सूत्र याद रखें: हम कितनी बार लिखना चाहते थे? लेकिन आख़िरकार यह सच नहीं है।

नकारात्मक आधार वाली शक्ति.

इस बिंदु तक हमने केवल इस पर चर्चा की है कि यह कैसा होना चाहिए अनुक्रमणिकाडिग्री. लेकिन आधार क्या होना चाहिए? की शक्तियों में प्राकृतिक सूचक आधार हो सकता है कोई संख्या .

दरअसल, हम किसी भी संख्या को एक-दूसरे से गुणा कर सकते हैं, चाहे वे सकारात्मक, नकारात्मक या सम हों। आइए विचार करें कि किन चिह्नों ("" या "") में धनात्मक और ऋणात्मक संख्याओं की घातें होंगी?

उदाहरण के लिए, संख्या धनात्मक है या ऋणात्मक? ए? ?

पहले वाले से, सब कुछ स्पष्ट है: चाहे हम कितनी भी सकारात्मक संख्याओं को एक-दूसरे से गुणा करें, परिणाम सकारात्मक ही होगा।

लेकिन नकारात्मक बातें थोड़ी अधिक दिलचस्प हैं। हमें छठी कक्षा का सरल नियम याद है: "माइनस के लिए माइनस एक प्लस देता है।" वह है, या. लेकिन यदि हम () से गुणा करें तो हमें - मिलता है।

और इसी तरह अनंत काल तक: प्रत्येक बाद के गुणन के साथ चिह्न बदल जाएगा। हम निम्नलिखित सूत्र बना सकते हैं सरल नियम:

यहां तक कीडिग्री, - संख्या सकारात्मक.
ऋणात्मक संख्या को बढ़ा दिया गया विषमडिग्री, - संख्या नकारात्मक.
किसी भी डिग्री तक एक धनात्मक संख्या एक धनात्मक संख्या होती है।
किसी भी शक्ति का शून्य शून्य के बराबर होता है।

स्वयं निर्धारित करें कि निम्नलिखित भावों में कौन सा चिन्ह होगा:

1.	2.	3.
4.	5.	6.

क्या आप संभाल पाओगे? यहाँ उत्तर हैं:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

पहले चार उदाहरणों में, मुझे आशा है कि सब कुछ स्पष्ट है? हम बस आधार और घातांक को देखते हैं और उचित नियम लागू करते हैं।

उदाहरण 5 में) सब कुछ उतना डरावना नहीं है जितना लगता है: आखिरकार, इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि आधार किसके बराबर है - डिग्री सम है, जिसका अर्थ है कि परिणाम हमेशा सकारात्मक होगा। खैर, सिवाय इसके कि जब आधार शून्य हो। आधार तो एक समान नहीं है? जाहिर तौर पर नहीं, चूँकि (क्योंकि)।

उदाहरण 6) अब इतना सरल नहीं है। यहां आपको यह पता लगाना होगा कि कौन सा कम है: या? यदि हम उसे याद रखें, तो यह स्पष्ट हो जाता है, और इसलिए आधार भी शून्य से भी कम. अर्थात्, हम नियम 2 लागू करते हैं: परिणाम नकारात्मक होगा।

और फिर से हम डिग्री की परिभाषा का उपयोग करते हैं:

सब कुछ हमेशा की तरह है - हम डिग्री की परिभाषा लिखते हैं और उन्हें एक दूसरे से विभाजित करते हैं, उन्हें जोड़े में विभाजित करते हैं और प्राप्त करते हैं:

इससे पहले कि हम आखिरी नियम देखें, आइए कुछ उदाहरण हल करें।

भावों की गणना करें:

समाधान :

यदि हम आठवीं शक्ति की उपेक्षा करें तो हम यहाँ क्या देखते हैं? आइए सातवीं कक्षा के कार्यक्रम को याद करें। तो, क्या आपको याद है? यह संक्षिप्त गुणन का सूत्र है, अर्थात वर्गों का अंतर!

हम पाते हैं:

आइए हर को ध्यान से देखें। यह काफी हद तक अंश कारकों में से एक जैसा दिखता है, लेकिन गलत क्या है? शर्तों का क्रम ग़लत है. यदि उन्हें उलट दिया जाए, तो नियम 3 लागू हो सकता है। लेकिन कैसे? यह पता चला है कि यह बहुत आसान है: हर की सम डिग्री यहां हमारी मदद करती है।

यदि आप इसे गुणा करें, तो कुछ भी नहीं बदलेगा, है ना? लेकिन अब यह इस तरह हो गया है:

जादुई ढंग से शर्तें बदल गईं। यह "घटना" किसी भी अभिव्यक्ति पर एक समान डिग्री तक लागू होती है: हम कोष्ठक में संकेतों को आसानी से बदल सकते हैं। लेकिन यह याद रखना महत्वपूर्ण है: सभी संकेत एक ही समय में बदलते हैं!आप केवल उस एक नुकसान को बदलकर इसे प्रतिस्थापित नहीं कर सकते जो हमें पसंद नहीं है!

आइए उदाहरण पर वापस जाएं:

और फिर सूत्र:

तो अब आखिरी नियम:

हम इसे कैसे साबित करेंगे? बेशक, हमेशा की तरह: आइए डिग्री की अवधारणा पर विस्तार करें और इसे सरल बनाएं:

खैर, अब कोष्ठक खोलें। कुल कितने अक्षर हैं? गुणक द्वारा गुणा - यह आपको क्या याद दिलाता है? यह एक ऑपरेशन की परिभाषा से अधिक कुछ नहीं है गुणा:वहां सिर्फ मल्टीप्लायर थे. अर्थात्, परिभाषा के अनुसार, यह एक घातांक वाली संख्या की घात है:

उदाहरण:

अपरिमेय घातांक के साथ डिग्री

औसत स्तर के लिए डिग्री के बारे में जानकारी के अलावा, हम एक अपरिमेय घातांक के साथ डिग्री का विश्लेषण करेंगे। यहां डिग्री के सभी नियम और गुण बिल्कुल उसी तरह हैं जैसे कि एक तर्कसंगत घातांक वाली डिग्री के लिए, अपवाद के साथ - आखिरकार, परिभाषा के अनुसार, अपरिमेय संख्याएं वे संख्याएं हैं जिन्हें एक अंश के रूप में प्रस्तुत नहीं किया जा सकता है, जहां और पूर्णांक हैं (अर्थात्) , परिमेय संख्याओं को छोड़कर सभी अपरिमेय संख्याएँ वास्तविक संख्याएँ हैं)।

प्राकृतिक, पूर्णांक और तर्कसंगत घातांक के साथ डिग्री का अध्ययन करते समय, हर बार हमने एक निश्चित "छवि", "सादृश्य" या अधिक परिचित शब्दों में विवरण बनाया। उदाहरण के लिए, एक प्राकृतिक घातांक वाली डिग्री एक संख्या है जिसे अपने आप से कई बार गुणा किया जाता है; शून्य घात की एक संख्या, मानो, एक संख्या है जिसे स्वयं से एक बार गुणा किया जाता है, अर्थात, उन्होंने अभी तक इसे गुणा करना शुरू नहीं किया है, जिसका अर्थ है कि संख्या स्वयं अभी तक प्रकट भी नहीं हुई है - इसलिए परिणाम केवल एक निश्चित है "रिक्त संख्या", अर्थात् एक संख्या; पूर्णांक ऋणात्मक घातांक वाली एक डिग्री - ऐसा लगता है जैसे कोई "विपरीत प्रक्रिया" घटित हुई हो, अर्थात, संख्या को स्वयं से गुणा नहीं किया गया था, बल्कि विभाजित किया गया था।

एक अपरिमेय घातांक वाली डिग्री की कल्पना करना अत्यंत कठिन है (जैसे कि 4-आयामी स्थान की कल्पना करना कठिन है)। बल्कि यह एक विशुद्ध गणितीय वस्तु है जिसे गणितज्ञों ने डिग्री की अवधारणा को संख्याओं के संपूर्ण स्थान तक विस्तारित करने के लिए बनाया है।

वैसे, विज्ञान में अक्सर एक जटिल घातांक वाली डिग्री का उपयोग किया जाता है, अर्थात, घातांक एक वास्तविक संख्या भी नहीं है। लेकिन स्कूल में हम ऐसी कठिनाइयों के बारे में नहीं सोचते हैं, आपको संस्थान में इन नई अवधारणाओं को समझने का अवसर मिलेगा।

यदि हम एक अपरिमेय प्रतिपादक देखते हैं तो हम क्या करते हैं? हम इससे छुटकारा पाने की पूरी कोशिश कर रहे हैं! :)

उदाहरण के लिए:

अपने लिए तय करें:

उत्तर:

आइए वर्गों के अंतर के फार्मूले को याद करें। उत्तर: ।
हम भिन्नों को एक ही रूप में घटाते हैं: या तो दोनों दशमलव या दोनों साधारण। उदाहरण के लिए, हमें मिलता है: .
कुछ खास नहीं, हम डिग्रियों के सामान्य गुणों का उपयोग करते हैं:

अनुभाग और बुनियादी सूत्रों का सारांश

डिग्रीफॉर्म की अभिव्यक्ति कहा जाता है: , जहां:

पूर्णांक घातांक के साथ डिग्री

एक डिग्री जिसका घातांक एक प्राकृतिक संख्या है (यानी, पूर्णांक और सकारात्मक)।

तर्कसंगत प्रतिपादक के साथ शक्ति

डिग्री, जिसका घातांक ऋणात्मक और भिन्नात्मक संख्याएँ हैं।

अपरिमेय घातांक के साथ डिग्री

एक डिग्री जिसका घातांक एक अनंत दशमलव अंश या मूल है।

डिग्री के गुण

डिग्री की विशेषताएं.

ऋणात्मक संख्या को बढ़ा दिया गया यहां तक कीडिग्री, - संख्या सकारात्मक.
ऋणात्मक संख्या को बढ़ा दिया गया विषमडिग्री, - संख्या नकारात्मक.
किसी भी डिग्री तक एक धनात्मक संख्या एक धनात्मक संख्या होती है।
शून्य किसी भी शक्ति के बराबर है.
शून्य घात की कोई भी संख्या बराबर होती है।

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स्कूल से हम सभी घातांक के बारे में नियम जानते हैं: घातांक N वाली कोई भी संख्या गुणन के परिणाम के बराबर होती है दिया गया नंबरअपने आप पर N कई बार। दूसरे शब्दों में, 3 की घात 7 को 7 से तीन गुना गुणा किया जाता है, अर्थात 343। एक अन्य नियम यह है कि किसी भी मात्रा को 0 की घात तक बढ़ाने पर एक मिलता है, और एक ऋणात्मक मात्रा को बढ़ाने पर सामान्य वृद्धि का परिणाम होता है यदि यह सम है तो शक्ति, और यदि यह विषम है तो ऋण चिह्न के साथ समान परिणाम।

नियम यह भी उत्तर देते हैं कि किसी संख्या को ऋणात्मक घात तक कैसे बढ़ाया जाए। ऐसा करने के लिए, आपको सामान्य तरीके से संकेतक के मापांक द्वारा आवश्यक मान बढ़ाना होगा, और फिर परिणाम से इकाई को विभाजित करना होगा।

इन नियमों से यह स्पष्ट हो जाता है कि क्रियान्वयन वास्तविक समस्याएँबड़ी मात्रा को संभालने के लिए उपलब्धता की आवश्यकता होगी तकनीकी साधन. मैन्युअल रूप से आप स्वयं से संख्याओं की अधिकतम सीमा को बीस से तीस तक गुणा कर सकते हैं, और उसके बाद तीन या चार बार से अधिक नहीं। इसका मतलब किसी को परिणाम से विभाजित करना नहीं है। इसलिए, उन लोगों के लिए जिनके पास विशेष इंजीनियरिंग कैलकुलेटर नहीं है, हम आपको बताएंगे कि एक्सेल में किसी संख्या को नकारात्मक घात तक कैसे बढ़ाया जाए।

एक्सेल में समस्याओं का समाधान

घातांक से जुड़ी समस्याओं को हल करने के लिए, एक्सेल आपको दो विकल्पों में से एक का उपयोग करने की अनुमति देता है।

पहला मानक "ढक्कन" चिह्न वाले सूत्र का उपयोग है। कार्यपत्रक कक्षों में निम्नलिखित डेटा दर्ज करें:

उसी तरह, आप वांछित मान को किसी भी घात तक बढ़ा सकते हैं - नकारात्मक, भिन्नात्मक। चलो यह करते हैं निम्नलिखित क्रियाएंऔर इस प्रश्न का उत्तर दें कि किसी संख्या को ऋणात्मक घात तक कैसे बढ़ाया जाए। उदाहरण:

आप =B2^-C2 को सीधे सूत्र में सही कर सकते हैं।

दूसरा विकल्प तैयार "डिग्री" फ़ंक्शन का उपयोग करना है, जो दो आवश्यक तर्क लेता है - एक संख्या और एक घातांक। इसका उपयोग शुरू करने के लिए, बस किसी भी मुक्त सेल में समान चिह्न (=) डालें, जो सूत्र की शुरुआत दर्शाता है, और उपरोक्त शब्द दर्ज करें। जो कुछ बचा है वह दो कोशिकाओं का चयन करना है जो ऑपरेशन में भाग लेंगे (या मैन्युअल रूप से विशिष्ट संख्याएं निर्दिष्ट करेंगे) और एंटर कुंजी दबाएं। आइए कुछ सरल उदाहरण देखें.

FORMULA

परिणाम

डिग्री(बी2;सी2)

डिग्री(बी3;सी3)

0,002915

जैसा कि आप देख सकते हैं, एक्सेल का उपयोग करके किसी संख्या को नकारात्मक घात और नियमित घात तक कैसे बढ़ाया जाए, इसमें कुछ भी जटिल नहीं है। आखिरकार, इस समस्या को हल करने के लिए, आप परिचित "ढक्कन" प्रतीक और प्रोग्राम के अंतर्निहित फ़ंक्शन दोनों का उपयोग कर सकते हैं, जिसे याद रखना आसान है। यह एक निश्चित प्लस है!

चलिए और अधिक की ओर बढ़ते हैं जटिल उदाहरण. आइए नियम को याद रखें कि किसी संख्या को ऋणात्मक भिन्नात्मक घात तक कैसे बढ़ाया जाए, और हम देखेंगे कि एक्सेल में यह समस्या बहुत आसानी से हल हो गई है।

भिन्नात्मक संकेतक

संक्षेप में, भिन्नात्मक घातांक के साथ किसी संख्या की गणना करने के लिए एल्गोरिथ्म इस प्रकार है।

भिन्न को उचित या अनुचित भिन्न में बदलें।
हमारी संख्या को परिणामी परिवर्तित भिन्न के अंश तक बढ़ाएँ।
पिछले पैराग्राफ में प्राप्त संख्या से मूल की गणना करें, इस शर्त के साथ कि मूल का घातांक पहले चरण में प्राप्त भिन्न का हर होगा।

इस बात से सहमत हैं कि छोटी संख्या के साथ काम करते समय भी और सही भिन्नऐसी गणनाओं में बहुत समय लग सकता है. यह अच्छा है कि एक्सेल स्प्रेडशीट प्रोसेसर को इसकी परवाह नहीं है कि किस संख्या को किस शक्ति तक बढ़ाया गया है। एक्सेल वर्कशीट पर निम्नलिखित उदाहरण को हल करने का प्रयास करें:

उपरोक्त नियमों का उपयोग करके, आप जांच कर सकते हैं और सुनिश्चित कर सकते हैं कि गणना सही ढंग से की गई है।

हमारे लेख के अंत में, हम सूत्रों और परिणामों के साथ एक तालिका के रूप में किसी संख्या को ऋणात्मक घात तक बढ़ाने के कई उदाहरण प्रस्तुत करेंगे, साथ ही भिन्नात्मक संख्याओं और घातों के साथ संचालन के कई उदाहरण भी प्रस्तुत करेंगे।

उदाहरण तालिका

अपने एक्सेल वर्कशीट में निम्नलिखित उदाहरण देखें। सब कुछ सही ढंग से काम करने के लिए, आपको सूत्र की प्रतिलिपि बनाते समय मिश्रित संदर्भ का उपयोग करने की आवश्यकता है। उठाए जाने वाले नंबर वाले कॉलम की संख्या और संकेतक वाली पंक्ति की संख्या तय करें। आपका सूत्र लगभग होना चाहिए अगला दृश्य: "=$B4^C$3"।

संख्या/डिग्री

कृपया ध्यान दें कि धनात्मक संख्याओं (यहां तक कि गैर-पूर्णांक) की गणना किसी भी घातांक के लिए समस्याओं के बिना की जा सकती है। किसी भी संख्या को पूर्णांक तक बढ़ाने में कोई समस्या नहीं है। लेकिन निर्माण ऋणात्मक संख्याभिन्नात्मक घात आपके लिए एक त्रुटि में बदल जाएगी, क्योंकि ऋणात्मक संख्याओं को बढ़ाने के बारे में हमारे लेख की शुरुआत में बताए गए नियम का पालन करना असंभव है, क्योंकि समता विशेष रूप से एक पूर्ण संख्या की विशेषता है।

किसी संख्या की शक्ति के बारे में बातचीत जारी रखते हुए, यह पता लगाना तर्कसंगत है कि शक्ति का मूल्य कैसे ज्ञात किया जाए। इस प्रक्रिया को कहा जाता है घातांक. इस लेख में हम अध्ययन करेंगे कि घातांकीकरण कैसे किया जाता है, और हम हर चीज़ पर बात करेंगे संभावित संकेतकडिग्री - प्राकृतिक, संपूर्ण, तर्कसंगत और तर्कहीन। और परंपरा के अनुसार, हम विभिन्न शक्तियों की संख्या बढ़ाने के उदाहरणों के समाधानों पर विस्तार से विचार करेंगे।

पेज नेविगेशन.

"घातांक" का क्या अर्थ है?

आइए यह समझाकर आरंभ करें कि घातांक किसे कहते हैं। यहाँ प्रासंगिक परिभाषा है.

परिभाषा।

घातांक- यह किसी संख्या की शक्ति का मान ज्ञात करना है।

इस प्रकार, घातांक r के साथ किसी संख्या a की घात का मान ज्ञात करना और संख्या a की घात r तक बढ़ाना एक ही बात है। उदाहरण के लिए, यदि कार्य "शक्ति (0.5) 5 के मान की गणना करना" है, तो इसे निम्नानुसार पुन: तैयार किया जा सकता है: "संख्या 0.5 को शक्ति 5 तक बढ़ाएँ।"

अब आप सीधे उन नियमों पर जा सकते हैं जिनके द्वारा घातांक निष्पादित किया जाता है।

किसी संख्या को प्राकृतिक शक्ति तक बढ़ाना

व्यवहार में, समानता पर आधारित आमतौर पर फॉर्म में लागू किया जाता है। अर्थात्, जब किसी संख्या a को भिन्नात्मक घात m/n तक बढ़ाया जाता है, तो पहले संख्या a का nवाँ मूल लिया जाता है, जिसके बाद परिणामी परिणाम को पूर्णांक घात m तक बढ़ाया जाता है।

आइए भिन्नात्मक घात तक बढ़ाने के उदाहरणों के समाधान देखें।

उदाहरण।

डिग्री के मूल्य की गणना करें.

समाधान।

हम दो समाधान दिखाएंगे.

पहला तरीका. भिन्नात्मक घातांक वाली डिग्री की परिभाषा के अनुसार। हम मूल चिह्न के अंतर्गत डिग्री के मान की गणना करते हैं, और फिर घनमूल निकालते हैं: .

दूसरा तरीका. भिन्नात्मक घातांक वाली डिग्री की परिभाषा और जड़ों के गुणों के आधार पर, निम्नलिखित समानताएँ सत्य हैं: . अब हम जड़ निकालते हैं , अंततः, हम इसे एक पूर्णांक घात तक बढ़ाते हैं .

जाहिर है, भिन्नात्मक घात तक बढ़ाने के प्राप्त परिणाम मेल खाते हैं।

उत्तर:

ध्यान दें कि भिन्नात्मक घातांक को दशमलव भिन्न या मिश्रित संख्या के रूप में लिखा जा सकता है, इन मामलों में इसे संबंधित साधारण भिन्न से प्रतिस्थापित किया जाना चाहिए, और फिर एक घात तक बढ़ाया जाना चाहिए।

उदाहरण।

(44.89) 2.5 की गणना करें।

समाधान।

आइए घातांक को रूप में लिखें सामान्य अंश(यदि आवश्यक हो तो लेख देखें): . अब हम भिन्नात्मक घात तक वृद्धि करते हैं:

उत्तर:

(44,89) 2,5 =13 501,25107 .

यह भी कहा जाना चाहिए कि संख्याओं को तर्कसंगत शक्तियों तक बढ़ाना एक श्रम-गहन प्रक्रिया है (विशेषकर जब भिन्नात्मक घातांक के अंश और हर में काफी कुछ होता है) बड़ी संख्या), जो आमतौर पर उपयोग करके किया जाता है कंप्यूटर प्रौद्योगिकी.

इस बिंदु को समाप्त करने के लिए, आइए हम संख्या शून्य को भिन्नात्मक घात तक बढ़ाने पर ध्यान दें। हमने प्रपत्र की शून्य की भिन्नात्मक घात को निम्नलिखित अर्थ दिया: जब हमारे पास है , और शून्य से m/n शक्ति परिभाषित नहीं है। तो, भिन्नात्मक सकारात्मक शक्ति के लिए शून्य शून्य है, उदाहरण के लिए, . और भिन्नात्मक नकारात्मक घात में शून्य का कोई मतलब नहीं है, उदाहरण के लिए, अभिव्यक्ति 0 -4.3 का कोई मतलब नहीं है।

एक अतार्किक शक्ति की ओर बढ़ना

कभी-कभी किसी अपरिमेय घातांक से किसी संख्या की घात का मान ज्ञात करना आवश्यक हो जाता है। इस मामले में, व्यावहारिक उद्देश्यों के लिए आमतौर पर एक निश्चित चिह्न के लिए सटीक डिग्री का मान प्राप्त करना पर्याप्त होता है। आइए तुरंत ध्यान दें कि व्यवहार में इस मान की गणना इलेक्ट्रॉनिक कंप्यूटर का उपयोग करके की जाती है, क्योंकि इसे एक अपरिमेय शक्ति तक बढ़ाने के लिए मैन्युअल रूप से आवश्यकता होती है बड़ी मात्राबोझिल गणना. लेकिन फिर भी हम इसमें वर्णन करेंगे सामान्य रूपरेखाक्रिया का सार.

एक अपरिमेय घातांक के साथ किसी संख्या की घात का अनुमानित मान प्राप्त करने के लिए, घातांक का कुछ दशमलव सन्निकटन लिया जाता है और घात के मान की गणना की जाती है। यह मान एक अपरिमेय घातांक वाली संख्या a की घात का अनुमानित मान है। प्रारंभ में किसी संख्या का दशमलव सन्निकटन जितना अधिक सटीक लिया जाता है, उतना अधिक होता है सही मूल्यआखिर में डिग्री मिलेगी.

उदाहरण के तौर पर, आइए 2 1.174367... की शक्ति के अनुमानित मूल्य की गणना करें। आइए अपरिमेय घातांक का निम्नलिखित दशमलव सन्निकटन लें:। अब हम 2 को तर्कसंगत घात 1.17 तक बढ़ाते हैं (हमने पिछले पैराग्राफ में इस प्रक्रिया का सार बताया है), हमें 2 1.17 ≈2.250116 मिलता है। इस प्रकार, 2 1,174367... ≈2 1,17 ≈2,250116 . उदाहरण के लिए, यदि हम अपरिमेय घातांक का अधिक सटीक दशमलव सन्निकटन लेते हैं, तो हमें मूल घातांक का अधिक सटीक मान प्राप्त होता है: 2 1,174367... ≈2 1,1743 ≈2,256833 .

ग्रंथ सूची.

विलेनकिन एन.वाई.ए., झोखोव वी.आई., चेसनोकोव ए.एस., श्वार्ट्सबर्ड एस.आई. 5वीं कक्षा के लिए गणित की पाठ्यपुस्तक। शिक्षण संस्थानों।
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गुसेव वी.ए., मोर्दकोविच ए.जी. गणित (तकनीकी स्कूलों में प्रवेश करने वालों के लिए एक मैनुअल)।

प्रथम स्तर

डिग्री और उसके गुण. व्यापक गाइड (2019)

डिग्रियों के बारे में सब कुछ जानने के लिए, उनकी क्या आवश्यकता है, और रोजमर्रा की जिंदगी में अपने ज्ञान का उपयोग कैसे करें, इस लेख को पढ़ें।

और, निःसंदेह, डिग्रियों का ज्ञान आपको एकीकृत राज्य परीक्षा या एकीकृत राज्य परीक्षा को सफलतापूर्वक उत्तीर्ण करने और अपने सपनों के विश्वविद्यालय में प्रवेश के करीब लाएगा।

चलो चले चलो चले!)

प्रथम स्तर

घातांक जोड़, घटाव, गुणा या भाग की तरह ही एक गणितीय संक्रिया है।

अब मैं बहुत ही सरल उदाहरणों का उपयोग करके मानवीय भाषा में सब कुछ समझाऊंगा। ध्यान से। उदाहरण प्राथमिक हैं, लेकिन महत्वपूर्ण बातें समझाते हैं।

आइए जोड़ से शुरू करें।

अब गुणा.

यहाँ गुणन सारणी है. दोहराना।

और दूसरा, अधिक सुंदर:

किसी संख्या को घात तक बढ़ाना

वास्तविक जीवन का उदाहरण #1

आइए वर्ग या संख्या की दूसरी घात से प्रारंभ करें।

वास्तविक जीवन का उदाहरण #2

वास्तविक जीवन का उदाहरण #3

अब किसी संख्या का घन या तीसरी शक्ति। वही तालाब. लेकिन अब आपको यह पता लगाना होगा कि इस कुंड में कितना पानी डालना होगा। आपको वॉल्यूम की गणना करने की आवश्यकता है. (वैसे, आयतन और तरल पदार्थ घन मीटर में मापे जाते हैं। अप्रत्याशित, सही?) एक पूल बनाएं: तल का आकार एक मीटर और गहराई एक मीटर है, और गिनने का प्रयास करें कि एक मीटर को एक मीटर से मापने पर कितने घन होंगे अपने पूल में फिट हो जाओ.

वास्तविक जीवन का उदाहरण #4

वास्तविक जीवन का उदाहरण #5

नियम और अवधारणाएँ...ताकि भ्रमित न हों

यहाँ अच्छे उपाय के लिए एक चित्र है।

खैर, सामान्य शब्दों में, सामान्यीकरण करने और बेहतर ढंग से याद रखने के लिए... आधार "" और एक घातांक "" वाली डिग्री को "डिग्री तक" के रूप में पढ़ा जाता है और इसे इस प्रकार लिखा जाता है:

प्राकृतिक घातांक के साथ किसी संख्या की शक्ति

आप शायद पहले ही अनुमान लगा चुके हैं: क्योंकि घातांक एक प्राकृतिक संख्या है। हाँ, लेकिन यह क्या है? प्राकृतिक संख्या? प्राथमिक! प्राकृतिक संख्याएँ वे संख्याएँ हैं जिनका उपयोग वस्तुओं को सूचीबद्ध करते समय गिनती में किया जाता है: एक, दो, तीन... जब हम वस्तुओं को गिनते हैं, तो हम यह नहीं कहते हैं: "माइनस फाइव," "माइनस छह," "माइनस सात।" हम यह भी नहीं कहते: "एक तिहाई", या "शून्य दशमलव पाँच"। ये प्राकृतिक संख्याएँ नहीं हैं. आपके अनुसार ये कौन सी संख्याएँ हैं?

अपरिमेय संख्याएँ भी हैं। ये संख्याएँ क्या हैं? संक्षेप में, यह एक अनंत दशमलव अंश है। उदाहरण के लिए, यदि आप किसी वृत्त की परिधि को उसके व्यास से विभाजित करते हैं, तो आपको एक अपरिमेय संख्या प्राप्त होती है।

सारांश:

पहली घात की कोई भी संख्या स्वयं के बराबर होती है:
किसी संख्या का वर्ग करने का अर्थ है उसे स्वयं से गुणा करना:
किसी संख्या को घन करने का अर्थ है उसे अपने आप से तीन बार गुणा करना:

डिग्री के गुण

ये संपत्तियां कहां से आईं? मैं तुम्हें अभी दिखाता हूँ.

आइए देखें: यह क्या है और ?

ए-प्राथमिकता:

कुल कितने गुणक हैं?

यह बहुत सरल है: हमने कारकों में गुणक जोड़े, और परिणाम गुणक है।

उदाहरण: अभिव्यक्ति को सरल बनाएं.

समाधान:

उदाहरण:अभिव्यक्ति को सरल कीजिये.

केवल शक्तियों के उत्पाद के लिए!

आप किसी भी हालत में ऐसा नहीं लिख सकते.

2. बस इतना ही किसी संख्या की वां घात

पिछली संपत्ति की तरह, आइए डिग्री की परिभाषा की ओर मुड़ें:

आइए संक्षिप्त गुणन सूत्र याद रखें: हम कितनी बार लिखना चाहते थे?

लेकिन आख़िरकार यह सच नहीं है।

नकारात्मक आधार वाली शक्ति

इस बिंदु तक, हमने केवल इस बात पर चर्चा की है कि प्रतिपादक क्या होना चाहिए।

लेकिन आधार क्या होना चाहिए?

स्वयं निर्धारित करें कि निम्नलिखित भावों में कौन सा चिन्ह होगा:

1)	2)	3)
4)	5)	6)

क्या आप संभाल पाओगे?

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

उदाहरण 6) अब इतना सरल नहीं रहा!

अभ्यास के लिए 6 उदाहरण

समाधान का विश्लेषण 6 उदाहरण

लेकिन यह याद रखना महत्वपूर्ण है: सभी संकेत एक ही समय में बदलते हैं!

आइए उदाहरण पर वापस जाएं:

और फिर सूत्र:

अब नजर डालते हैं नए मामलों पर. आइए इसके बराबर एक संकेतक से शुरू करें।

शून्य घात की कोई भी संख्या एक के बराबर होती है:

हमेशा की तरह, आइए हम खुद से पूछें: ऐसा क्यों है?

हम एक मनमानी संख्या के साथ भी ऐसा ही कर सकते हैं:

आइए नियम दोहराएं:

शून्य घात की कोई भी संख्या एक के बराबर होती है।

पर चलते हैं। पूर्णांकों में प्राकृतिक संख्याओं और संख्याओं के अलावा ऋणात्मक संख्याएँ भी शामिल होती हैं। यह समझने के लिए कि ऋणात्मक घात क्या है, आइए पिछली बार की तरह करें: किसी सामान्य संख्या को उसी संख्या से ऋणात्मक घात से गुणा करें:

यहां से यह व्यक्त करना आसान है कि आप क्या खोज रहे हैं:

आइए अब परिणामी नियम को मनमाने ढंग से विस्तारित करें:

तो, आइए एक नियम बनाएं:

आइए संक्षेप में बताएं:

I. मामले में अभिव्यक्ति परिभाषित नहीं है। तो अगर।

द्वितीय. शून्य घात की कोई भी संख्या एक के बराबर होती है:।

स्वतंत्र समाधान के लिए कार्य:

खैर, हमेशा की तरह, स्वतंत्र समाधानों के उदाहरण:

स्वतंत्र समाधान के लिए समस्याओं का विश्लेषण:

अब आइये विचार करें भिन्नात्मक संख्याएं।कौन सी संख्याएँ परिमेय कहलाती हैं?

यह समझने के लिए कि यह क्या है "आंशिक डिग्री", भिन्न पर विचार करें:

आइए समीकरण के दोनों पक्षों को एक घात तक बढ़ाएं:

आइए अब इसके बारे में नियम याद रखें "डिग्री से डिग्री":

प्राप्त करने के लिए किस संख्या को घात तक बढ़ाया जाना चाहिए?

यह सूत्रीकरण वें डिग्री की जड़ की परिभाषा है।

अर्थात्, वें शक्ति का मूल एक शक्ति को ऊपर उठाने का व्युत्क्रम संक्रिया है:।

यह पता चला है कि। जाहिर है, इस विशेष मामले का विस्तार किया जा सकता है:।

कोई नहीं!

अभिव्यक्ति के बारे में क्या?

लेकिन यहां एक समस्या खड़ी हो जाती है.

तो यदि:

- प्राकृतिक संख्या;
- पूर्णांक;

उदाहरण:

अभ्यास के लिए 5 उदाहरण

प्रशिक्षण के लिए 5 उदाहरणों का विश्लेषण

वैसे, विज्ञान में अक्सर एक जटिल घातांक वाली डिग्री का उपयोग किया जाता है, अर्थात, घातांक एक वास्तविक संख्या भी नहीं है।

जहां हमें यकीन है कि आप जाएंगे! (यदि आप ऐसे उदाहरणों को हल करना सीख जाते हैं :))

उदाहरण के लिए:

अपने लिए तय करें:

समाधान का विश्लेषण:

1. आइए एक शक्ति को एक शक्ति तक बढ़ाने के सामान्य नियम से शुरू करें:

इस मामले में,

यह पता चला है कि:

उत्तर: .

उत्तर: 16

3. कुछ खास नहीं, हम डिग्रियों के सामान्य गुणों का उपयोग करते हैं:

अग्रवर्ती स्तर

डिग्री का निर्धारण

एक डिग्री इस रूप की अभिव्यक्ति है: , जहां:

— डिग्री का आधार;
- प्रतिपादक.

प्राकृतिक संकेतक के साथ डिग्री (एन = 1, 2, 3,...)

पूर्णांक घातांक के साथ डिग्री (0, ±1, ±2,...)

यदि प्रतिपादक है सकारात्मक पूर्णांकसंख्या:

निर्माण शून्य डिग्री तक:

यदि प्रतिपादक है ऋणात्मक पूर्णांकसंख्या:

(क्योंकि आप विभाजित नहीं कर सकते)।

एक बार फिर शून्य के बारे में: मामले में अभिव्यक्ति परिभाषित नहीं है। तो अगर।

उदाहरण:

तर्कसंगत प्रतिपादक के साथ शक्ति

- प्राकृतिक संख्या;
- पूर्णांक;

उदाहरण:

डिग्री के गुण

आइए देखें: क्या है और?

ए-प्राथमिकता:

तो, इस अभिव्यक्ति के दाईं ओर हमें निम्नलिखित उत्पाद मिलता है:

लेकिन परिभाषा के अनुसार यह एक घातांक वाली संख्या की घात है, अर्थात:

क्यू.ई.डी.

उदाहरण : अभिव्यक्ति को सरल बनाएं.

समाधान : .

उदाहरण : अभिव्यक्ति को सरल बनाएं.

एक और महत्वपूर्ण नोट: यह नियम - केवल शक्तियों के उत्पाद के लिए!

आप किसी भी हालत में ऐसा नहीं लिख सकते.

पिछली संपत्ति की तरह, आइए डिग्री की परिभाषा की ओर मुड़ें:

आइए इस कार्य को इस प्रकार पुनः व्यवस्थित करें:

नकारात्मक आधार वाली शक्ति.

उदाहरण के लिए, संख्या धनात्मक है या ऋणात्मक? ए? ?

और इसी तरह अनंत काल तक: प्रत्येक बाद के गुणन के साथ चिह्न बदल जाएगा। निम्नलिखित सरल नियम बनाये जा सकते हैं:

यहां तक कीडिग्री, - संख्या सकारात्मक.
ऋणात्मक संख्या को बढ़ा दिया गया विषमडिग्री, - संख्या नकारात्मक.
किसी भी डिग्री तक एक धनात्मक संख्या एक धनात्मक संख्या होती है।
किसी भी शक्ति का शून्य शून्य के बराबर होता है।

स्वयं निर्धारित करें कि निम्नलिखित भावों में कौन सा चिन्ह होगा:

1.	2.	3.
4.	5.	6.

क्या आप संभाल पाओगे? यहाँ उत्तर हैं:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

उदाहरण 6) अब इतना सरल नहीं है। यहां आपको यह पता लगाना होगा कि कौन सा कम है: या? अगर हम उसे याद रखें तो यह स्पष्ट हो जाता है कि, यानी आधार शून्य से भी कम है। अर्थात्, हम नियम 2 लागू करते हैं: परिणाम नकारात्मक होगा।

और फिर से हम डिग्री की परिभाषा का उपयोग करते हैं:

इससे पहले कि हम आखिरी नियम देखें, आइए कुछ उदाहरण हल करें।

भावों की गणना करें:

समाधान :

हम पाते हैं:

यदि आप इसे गुणा करें, तो कुछ भी नहीं बदलेगा, है ना? लेकिन अब यह इस तरह हो गया है:

आइए उदाहरण पर वापस जाएं:

और फिर सूत्र:

तो अब आखिरी नियम:

उदाहरण:

अपरिमेय घातांक के साथ डिग्री

उदाहरण के लिए:

अपने लिए तय करें:

उत्तर:

आइए वर्गों के अंतर के फार्मूले को याद करें। उत्तर: ।
हम भिन्नों को एक ही रूप में घटाते हैं: या तो दोनों दशमलव या दोनों साधारण। उदाहरण के लिए, हमें मिलता है: .
कुछ खास नहीं, हम डिग्रियों के सामान्य गुणों का उपयोग करते हैं:

अनुभाग और बुनियादी सूत्रों का सारांश

डिग्रीफॉर्म की अभिव्यक्ति कहा जाता है: , जहां:

पूर्णांक घातांक के साथ डिग्री

एक डिग्री जिसका घातांक एक प्राकृतिक संख्या है (यानी, पूर्णांक और सकारात्मक)।

तर्कसंगत प्रतिपादक के साथ शक्ति

डिग्री, जिसका घातांक ऋणात्मक और भिन्नात्मक संख्याएँ हैं।

अपरिमेय घातांक के साथ डिग्री

एक डिग्री जिसका घातांक एक अनंत दशमलव अंश या मूल है।

डिग्री के गुण

डिग्री की विशेषताएं.

ऋणात्मक संख्या को बढ़ा दिया गया यहां तक कीडिग्री, - संख्या सकारात्मक.
ऋणात्मक संख्या को बढ़ा दिया गया विषमडिग्री, - संख्या नकारात्मक.
किसी भी डिग्री तक एक धनात्मक संख्या एक धनात्मक संख्या होती है।
शून्य किसी भी शक्ति के बराबर है.
शून्य घात की कोई भी संख्या बराबर होती है।

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और आपकी परीक्षाओं के लिए शुभकामनाएँ!

जैसा कि आप जानते हैं, गणित में न केवल सकारात्मक संख्याएँ होती हैं, बल्कि ऋणात्मक संख्याएँ भी होती हैं। यदि सकारात्मक शक्तियों से परिचित होना किसी वर्ग का क्षेत्रफल निर्धारित करने से शुरू होता है, तो नकारात्मक शक्तियों के साथ सब कुछ कुछ अधिक जटिल है।

यह आपको पता होना चाहिए:

किसी संख्या को प्राकृतिक घात तक बढ़ाना एक संख्या का गुणा है (लेख में हम संख्या और अंक समकक्ष की अवधारणाओं पर विचार करेंगे) घातांक के रूप में इतनी मात्रा में (भविष्य में हम समानांतर और बस शब्द का उपयोग करेंगे) प्रतिपादक)। 6^3 = 6*6*6 = 36*6 =216. सामान्य तौर पर, यह इस तरह दिखता है: m^n = m*m*m*…*m (n बार)।
यह ध्यान में रखा जाना चाहिए कि जब एक ऋणात्मक संख्या को प्राकृतिक घात तक बढ़ाया जाता है, तो घातांक सम होने पर यह सकारात्मक हो जाएगा।
किसी संख्या को 0 के घातांक तक बढ़ाने पर एक मिलता है, बशर्ते कि वह शून्य के बराबर न हो। शून्य से शून्य शक्ति को अपरिभाषित माना जाता है। 17^0 = 1.
किसी संख्या से एक निश्चित घात का मूल निकालने का मतलब एक संख्या ढूंढना है, जिसे उपयुक्त घातांक तक बढ़ाने पर वांछित मान मिलेगा। तो, 125 का घनमूल 5 है, क्योंकि 5^3 = 125।
यदि आप किसी संख्या को धनात्मक भिन्नात्मक घात तक बढ़ाना चाहते हैं, तो आपको संख्या को हर घातांक तक बढ़ाना होगा और उसमें से अंश घातांक का मूल निकालना होगा। 6^5/7 = गुणनफल का सातवाँ मूल 6*6*6*6*6।
यदि आप किसी संख्या को ऋणात्मक घातांक तक बढ़ाना चाहते हैं, तो आपको दी गई संख्या का व्युत्क्रम ज्ञात करना होगा। x^-3 = 1/x^3. 8^-4 = 1/8^4 = 1/8*8*8*8 = 1/4096।

किसी संख्या मॉड्यूलो को शून्य से एक करके ऋणात्मक घात तक बढ़ाना

सबसे पहले हमें याद रखना चाहिए मॉड्यूल क्या है. यह निर्देशांक रेखा पर हमारे द्वारा चुने गए मान से मूल बिंदु (निर्देशांक रेखा का शून्य) तक की दूरी है। परिभाषा के अनुसार, यह कभी भी नकारात्मक नहीं हो सकता।

मान शून्य से अधिक

जब किसी अंक का मान शून्य और एक के बीच होता है तो ऋणात्मक सूचक अंक में ही वृद्धि देता है। ऐसा इसलिए होता है क्योंकि हर सकारात्मक रहते हुए घटता जाता है।

आइए उदाहरण देखें:

1/7^-3 = 1/(1/7^3) = 1/(1/343) = 343;
0,2^-5 = 1/0,2^5 = 1/0,2*0,2*0,2*0,2*0,2 = 1/0,00032 = 3125.

इसके अलावा, संकेतक का मॉड्यूल जितना बड़ा होगा, आंकड़ा उतनी ही अधिक सक्रियता से बढ़ता है। जैसे-जैसे हर शून्य की ओर प्रवृत्त होता है, भिन्न स्वयं प्लस अनंत की ओर प्रवृत्त होता है।

मान शून्य से कम

अब आइए देखें कि यदि संख्या शून्य से कम है तो इसे ऋणात्मक घात तक कैसे बढ़ाया जाए। सिद्धांत पिछले भाग जैसा ही है, लेकिन यहां संकेतक का संकेत मायने रखता है।

आइए फिर से उदाहरण देखें:

-19 / 21^-4 = 1/(-19/21)^4 = 1/(-19)^4/21^4 = 21^4/(-19)^4 = 21*21*21*21/(-19)*(-19)*(-19)*(-19) = 194481/130321 = 1,4923228;
-29/40^-5 = 1/(-29/40)^5 = 1/(-29)^5/40^5 = 40^5/(-29)^5 = 40*40*40*40*40/(-29)*(-29)*(-29)*(-29)*(-29) = 102400000/(-20511149) = -4,9924.

इस मामले में, हम ऐसा देखते हैं मॉड्यूल लगातार बढ़ रहा है, लेकिन संकेत इस बात पर निर्भर करता है कि सूचक सम है या विषम।

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि यदि हम एक इकाई का निर्माण करते हैं, तो वह हमेशा अकेली रहेगी। यदि आपको किसी संख्या को शून्य से एक बढ़ाने की आवश्यकता है, तो सम घातांक के साथ यह एक में बदल जाएगी, और विषम घातांक के साथ यह शून्य से एक रहेगी।

यदि मापांक एक से अधिक है तो ऋणात्मक पूर्णांक घात तक बढ़ाना

उन संख्याओं के लिए जिनका मापांक एक से अधिक है,कार्यों की अपनी विशिष्टताएँ हैं। सबसे पहले, आपको भिन्न के पूरे भाग को अंश में बदलना होगा, यानी इसे अनुचित भिन्न में बदलना होगा। यदि हमारे पास दशमलव भिन्न है, तो उसे नियमित भिन्न में परिवर्तित करना होगा। यह अग्रानुसार होगा:

6 पूर्णांक 7/17 = 109/17;
2,54 = 254/100.

अब आइए देखें कि इन परिस्थितियों में किसी संख्या को ऋणात्मक घात तक कैसे बढ़ाया जाए। पहले से ही ऊपर से, हम अनुमान लगा सकते हैं कि गणना के परिणाम से हम क्या उम्मीद कर सकते हैं। चूंकि सरलीकरण के दौरान दोहरे अंश को उलट दिया जाता है, इसलिए आकृति का मापांक जितनी तेजी से घटेगा, घातांक का मापांक उतना ही बड़ा होगा।

सबसे पहले, आइए उस स्थिति पर विचार करें जब कार्य में दी गई संख्या धनात्मक है.

सबसे पहले तो यह स्पष्ट हो जाता है कि अंतिम परिणामशून्य से अधिक होगा, क्योंकि दो धनात्मक को विभाजित करने पर हमेशा एक धनात्मक प्राप्त होता है। आइए फिर से उदाहरण देखें कि यह कैसे किया जाता है:

6 पूर्णांक 1/20 से शून्य पांचवीं घात = 121/20^-5 = 1/(121/20)^5 = 1/121^5/20^5 = 20^5/121^5 = 3200000/25937424601 = 0 ,0001234;
2,25^-6 = (225/100)^-6 = 1/(225/100)^6 = 1/225^6/100^6 = 100^6/225^6 = 100*100*100*100*100*100/225*225*225*225*225*225 = 0,007413.

जैसा कि आप देख सकते हैं, कार्रवाइयों से कोई विशेष कठिनाई नहीं होती है, और हमारी सभी प्रारंभिक धारणाएँ सत्य निकलीं।

आइए अब ऋणात्मक अंक के मामले की ओर मुड़ें.

आरंभ करने के लिए, हम यह मान सकते हैं कि यदि संकेतक सम है, तो परिणाम सकारात्मक होगा, यदि संकेतक विषम है, तो परिणाम नकारात्मक होगा। इस भाग में हमारी पिछली सभी गणनाएँ अब मान्य मानी जाएँगी। आइए फिर से उदाहरण देखें:

-3 पूर्ण 1/2 से ऋण छठी घात = (-7/2)^-6 = 1/(-7/2)^6 = 1/(-7)^6/2^6 = 2*2* 2 *2*2*2/(-7)*(-7)*(-7)*(-7)*(-7)*(-7) = 64/117649 = 0.000544;
-1,25^-5 = (-125/100)^-5 = 1/(-125/100)^5 = 1/(-125)^5/100^5 = 100^5/(-125)^5 = 100*100*100*100*100/(-125)*(-125)*(-125)*(-125)*(-125) = 10000000000/(-30517578125) = -0.32768.

इस प्रकार हमारा सारा तर्क सही निकला।

ऋणात्मक भिन्नात्मक घातांक के मामले में निर्माण

यहां आपको यह याद रखने की जरूरत है कि ऐसा निर्माण मौजूद है किसी संख्या से हर की घात के मूल को अंश की घात तक निकालना. हमारे सभी पिछले तर्क इस बार भी सत्य हैं। आइए अपने कार्यों को एक उदाहरण से समझाएँ:

4^-3/2 = 1/4^3/2 = 1/रेड(4^3) = 1/रेड64 = 1/8।

ऐसे में आपको इस बात का ध्यान रखना होगा कि जड़ें निकालें उच्च स्तरयह केवल विशेष रूप से चयनित रूप में ही संभव है और, सबसे अधिक संभावना है, आप सटीक गणना के साथ मूलांक (वर्गमूल, घनमूल, आदि) के संकेत से छुटकारा नहीं पा सकेंगे।

फिर भी, पिछले अध्यायों का विस्तार से अध्ययन करने के बाद, आपको स्कूल की गणना में कठिनाइयों की उम्मीद नहीं करनी चाहिए।

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि इस अध्याय का विवरण भी शामिल है जानबूझकर अतार्किक संकेतक के साथ निर्माणउदाहरण के लिए, यदि संकेतक माइनस पीआई के बराबर है। आपको ऊपर वर्णित सिद्धांतों के अनुसार कार्य करने की आवश्यकता है। हालाँकि, ऐसे मामलों में गणनाएँ इतनी जटिल हो जाती हैं कि केवल शक्तिशाली इलेक्ट्रॉनिक कंप्यूटर ही इसे कर सकते हैं।

निष्कर्ष

जिस क्रिया का हमने अध्ययन किया गणित की सबसे कठिन समस्याओं में से एक है(विशेषकर भिन्नात्मक-तर्कसंगत या अतार्किक अर्थ के मामले में)। हालाँकि, इन निर्देशों का विस्तार से और चरण दर चरण अध्ययन करके, आप यह सीख सकते हैं कि इसे बिना किसी समस्या के पूरी तरह से स्वचालित रूप से कैसे किया जाए।