Mums svarbu išlaikyti jūsų privatumą. Dėl šios priežasties sukūrėme Privatumo politiką, kurioje aprašoma, kaip naudojame ir saugome jūsų informaciją. Peržiūrėkite mūsų privatumo praktiką ir praneškite mums, jei turite klausimų.
Asmeninės informacijos rinkimas ir naudojimas
Asmeninė informacija reiškia duomenis, kurie gali būti naudojami konkretaus asmens tapatybei nustatyti arba susisiekti su juo.
Jūsų gali būti paprašyta pateikti savo asmeninę informaciją bet kuriuo metu, kai susisiekiate su mumis.
Toliau pateikiami keli pavyzdžiai, kokios rūšies asmeninės informacijos galime rinkti ir kaip galime tokią informaciją naudoti.
Kokią asmeninę informaciją renkame:
- Kai pateikiate paraišką svetainėje, galime rinkti įvairią informaciją, įskaitant jūsų vardą, telefono numerį, adresą El. paštas ir tt
Kaip naudojame jūsų asmeninę informaciją:
- Mūsų surinkta Asmeninė informacija leidžia susisiekti su jumis ir informuoti apie unikalius pasiūlymus, akcijas ir kitus renginius bei artėjančius renginius.
- Retkarčiais galime naudoti jūsų asmeninę informaciją svarbiems pranešimams ir pranešimams siųsti.
- Mes taip pat galime naudoti asmeninę informaciją vidiniais tikslais, pavyzdžiui, atlikti auditą, duomenų analizę ir įvairius tyrimus, siekdami tobulinti teikiamas paslaugas ir teikti rekomendacijas dėl mūsų paslaugų.
- Jei dalyvaujate prizų traukime, konkurse ar panašioje akcijoje, mes galime naudoti jūsų pateiktą informaciją tokioms programoms administruoti.
Informacijos atskleidimas trečiosioms šalims
Mes neatskleidžiame iš jūsų gautos informacijos trečiosioms šalims.
Išimtys:
- Esant poreikiui – įstatymų nustatyta tvarka, teismine tvarka, in teismo procesas, ir (arba) remiantis viešais prašymais arba prašymais iš vyriausybines agentūras Rusijos Federacijos teritorijoje – atskleiskite savo asmeninę informaciją. Taip pat galime atskleisti informaciją apie jus, jei nuspręsime, kad toks atskleidimas yra būtinas arba tinkamas saugumo, teisėsaugos ar kitais visuomenei svarbiais tikslais.
- Reorganizavimo, susijungimo ar pardavimo atveju surinktą asmeninę informaciją galime perduoti atitinkamai trečiajai šaliai.
Asmeninės informacijos apsauga
Mes imamės atsargumo priemonių, įskaitant administracines, technines ir fizines, siekdami apsaugoti jūsų asmeninę informaciją nuo praradimo, vagystės ir netinkamo naudojimo, taip pat nuo neteisėtos prieigos, atskleidimo, pakeitimo ir sunaikinimo.
Jūsų privatumo gerbimas įmonės lygiu
Siekdami užtikrinti, kad jūsų asmeninė informacija būtų saugi, savo darbuotojams pranešame apie privatumo ir saugumo standartus ir griežtai vykdome privatumo praktiką.
Palyginti su
galima nustatyti užduotį surasti bet kurį iš trijų skaičių iš kitų dviejų pateiktų. Jei duoti a ir tada N, jie randami eksponencijos būdu. Jei N ir tada a yra duoti paėmus x laipsnio šaknį (arba pakėlus jį į laipsnį). Dabar apsvarstykite atvejį, kai, esant a ir N, turime rasti x.
Tegul skaičius N yra teigiamas: skaičius a yra teigiamas ir nėra lygus vienetui: .
Apibrėžimas. Skaičiaus N logaritmas iki pagrindo a yra eksponentas, iki kurio reikia pakelti a, kad gautume skaičių N; logaritmas žymimas
Taigi lygybėje (26.1) eksponentas randamas kaip N logaritmas bazei a. Įrašai
turi tą pačią reikšmę. Lygybė (26.1) kartais vadinama pagrindine logaritmų teorijos tapatybe; tikrovėje išreiškia logaritmo sąvokos apibrėžimą. Autorius šis apibrėžimas Logaritmo a pagrindas visada yra teigiamas ir skiriasi nuo vienybės; logaritminis skaičius N yra teigiamas. Neigiami skaičiai ir nulis neturi logaritmų. Galima įrodyti, kad bet kuris skaičius, turintis tam tikrą bazę, turi tiksliai apibrėžtą logaritmą. Todėl lygybė reiškia. Atkreipkite dėmesį, kad sąlyga čia yra esminė; priešingu atveju išvada nebūtų pagrįsta, nes lygybė galioja bet kurioms x ir y reikšmėms.
1 pavyzdys. Rasti
Sprendimas. Norėdami gauti skaičių, turite pakelti bazę 2 iki galios Todėl.
Spręsdami tokius pavyzdžius galite užsirašyti tokia forma:
2 pavyzdys. Rasti .
Sprendimas. Mes turime
1 ir 2 pavyzdžiuose nesunkiai radome norimą logaritmą, pateikdami logaritmo skaičių kaip pagrindo laipsnį su racionaliuoju eksponentu. IN bendras atvejis, pavyzdžiui, už ir pan., to padaryti negalima, nes logaritmas turi neracionalią reikšmę. Atkreipkime dėmesį į vieną su šiuo teiginiu susijusį klausimą. 12 pastraipoje mes pateikėme galimybę nustatyti bet kurią tikrosios tam tikro teigiamo skaičiaus galią. Tai buvo būtina norint įvesti logaritmus, kurie paprastai gali būti neracionalūs skaičiai.
Pažvelkime į kai kurias logaritmų savybes.
Savybė 1. Jeigu skaičius ir bazė lygūs, tai logaritmas lygus vienetui, ir atvirkščiai, jei logaritmas lygus vienetui, tai skaičius ir bazė yra lygūs.
Įrodymas. Tegul Pagal logaritmo apibrėžimą turime ir iš kur
Ir atvirkščiai, tegul Tada pagal apibrėžimą
Savybė 2. Vieneto logaritmas bet kokiam pagrindui lygus nuliui.
Įrodymas. Pagal logaritmo apibrėžimą (bet kurio teigiamo pagrindo nulinė galia lygi vienetui, žr. (10.1)). Iš čia
Q.E.D.
Taip pat teisingas ir atvirkštinis teiginys: jei , tada N = 1. Iš tiesų, mes turime .
Prieš formuluodami kitą logaritmų savybę, susitarkime, kad du skaičiai a ir b yra toje pačioje trečiojo skaičiaus c pusėje, jei jie abu yra didesni už c arba mažesni už c. Jei vienas iš šių skaičių yra didesnis nei c, o kitas mažesnis už c, tada sakysime, kad jie yra kartu skirtingos pusės iš kaimo
Savybė 3. Jei skaičius ir bazė yra toje pačioje pusėje, tada logaritmas yra teigiamas; Jei skaičius ir bazė yra priešingose vieneto pusėse, tada logaritmas yra neigiamas.
3 savybės įrodymas grindžiamas tuo, kad a galia yra didesnė už vienetą, jei bazė yra didesnė už vieną, o rodiklis yra teigiamas arba bazė yra mažesnė už vieną, o rodiklis yra neigiamas. Laipsnis yra mažesnis už vieną, jei bazė yra didesnė už vieną, o rodiklis yra neigiamas arba bazė yra mažesnė už vieną, o rodiklis yra teigiamas.
Yra keturi atvejai, į kuriuos reikia atsižvelgti:
Apsiribosime pirmojo iš jų analize, o kitus skaitytojas svarstys pats.
Tegu tada lygybėje rodiklis negali būti nei neigiamas, nei lygus nuliui, todėl jis yra teigiamas, t. y. kaip reikia įrodyti.
3 pavyzdys. Sužinokite, kurie iš toliau pateiktų logaritmų yra teigiami, o kurie neigiami:
Sprendimas, a) kadangi skaičius 15 ir bazė 12 yra toje pačioje pusėje;
b) kadangi 1000 ir 2 yra vienoje įrenginio pusėje; šiuo atveju nėra svarbu, kad bazė būtų didesnė už logaritminį skaičių;
c) kadangi 3,1 ir 0,8 yra priešingose vienybės pusėse;
G); Kodėl?
d) ; Kodėl?
Tokios savybės 4-6 dažnai vadinamos logaritmavimo taisyklėmis: jos leidžia, žinant kai kurių skaičių logaritmus, rasti kiekvieno jų sandaugos, koeficiento ir laipsnio logaritmus.
4 savybė (produkto logaritmo taisyklė). Kelių teigiamų skaičių sandaugos logaritmas tam tikroje bazėje yra lygus šių skaičių logaritmų sumai toje pačioje bazėje.
Įrodymas. Tegul pateikti skaičiai yra teigiami.
Jų sandaugos logaritmui rašome lygybę (26.1), kuri apibrėžia logaritmą:
Iš čia rasime
Palyginę pirmosios ir paskutinės išraiškos eksponentus, gauname reikiamą lygybę:
Atkreipkite dėmesį, kad sąlyga yra būtina; sandaugos iš dviejų logaritmas neigiami skaičiai prasminga, bet šiuo atveju gauname
Apskritai, jei kelių veiksnių sandauga yra teigiama, tada jo logaritmas yra lygus šių veiksnių absoliučių verčių logaritmų sumai.
5 savybė (datinių logaritmų ėmimo taisyklė). Teigiamų skaičių dalinio logaritmas yra lygus skirtumui tarp dividendo ir daliklio logaritmų, paimtų į tą pačią bazę. Įrodymas. Mes nuolat randame
Q.E.D.
Savybė 6 (laipsnio logaritmo taisyklė). Bet kurio teigiamo skaičiaus laipsnio logaritmas yra lygus to skaičiaus logaritmui, padaugintam iš eksponento.
Įrodymas. Dar kartą parašykime pagrindinę numerio tapatybę (26.1):
Q.E.D.
Pasekmė. Teigiamo skaičiaus šaknies logaritmas yra lygus radikalo logaritmui, padalytam iš šaknies eksponento:
Šios išvados pagrįstumą galima įrodyti įsivaizduojant, kaip ir naudojant 6 savybę.
4 pavyzdys. Paimkite logaritmą į a bazę:
a) (manoma, kad visos b, c, d, e reikšmės yra teigiamos);
b) (manoma, kad ).
Sprendimas, a) Šioje išraiškoje patogu pereiti prie trupmeninių laipsnių:
Remdamiesi lygybėmis (26.5)-(26.7), dabar galime rašyti:
Pastebime, kad su skaičių logaritmais atliekami paprastesni veiksmai, nei su pačiais skaičiais: dauginant skaičius jų logaritmai pridedami, dalinant – atimami ir t.t.
Štai kodėl skaičiavimo praktikoje naudojami logaritmai (žr. 29 pastraipą).
Atvirkštinis logaritmo veiksmas vadinamas potenciavimu, būtent: potencija yra veiksmas, kuriuo iš tam tikro skaičiaus logaritmo randamas pats skaičius. Iš esmės stiprinimas nėra joks ypatingas veiksmas: jis susijęs su bazės pakėlimu iki laipsnio (lygaus skaičiaus logaritmui). Terminas „potencijavimas“ gali būti laikomas termino „eksponentavimas“ sinonimu.
Potencuodami turite naudoti taisykles, atvirkštines logaritmavimo taisyklėms: logaritmų sumą pakeiskite sandaugos logaritmu, logaritmų skirtumą - koeficiento logaritmu ir tt Ypač jei priešais yra koeficientas logaritmo ženklo, tada potencijavimo metu jis turi būti perkeltas į eksponento laipsnius po logaritmo ženklu.
5 pavyzdys. Raskite N, jei žinoma, kad
Sprendimas. Atsižvelgiant į ką tik nurodytą potenciavimo taisyklę, koeficientus 2/3 ir 1/3, stovinčius prieš logaritmų ženklus dešinėje šios lygybės pusėje, perkelsime į eksponentus po šių logaritmų ženklais; mes gauname
Dabar logaritmų skirtumą pakeičiame koeficiento logaritmu:
kad gautume paskutinę trupmeną šioje lygybių grandinėje, išlaisvinome ankstesnę trupmeną nuo iracionalumo vardiklyje (25 punktas).
Savybė 7. Jei bazė yra didesnė už vieną, tada didesnis skaičius turi didesnį logaritmą (o mažesnis skaičius turi mažesnį), jei bazė yra mažesnė už vieną, tai didesnis skaičius turi mažesnį logaritmą (o mažesnis skaičius turi didesnį).
Ši savybė taip pat suformuluota kaip taisyklė imant nelygybių logaritmus, kurių abi pusės yra teigiamos:
Logarituojant nelygybes į bazę, didesnę už vienetą, nelygybės ženklas išsaugomas, o logarituojant iki bazės, mažesnės už vieną, nelygybės ženklas pasikeičia į priešingą (taip pat žr. 80 pastraipą).
Įrodymas paremtas 5 ir 3 savybėmis. Apsvarstykite atvejį, kai If , tada ir, imant logaritmus, gauname
(a ir N/M yra toje pačioje vienybės pusėje). Iš čia
Toliau pateikiamas a atvejis, skaitytojas tai išsiaiškins pats.
Šio straipsnio akcentas yra logaritmas. Čia pateiksime logaritmo apibrėžimą, parodysime priimtas paskyrimas, pateiksime logaritmų pavyzdžių, kalbėsime apie natūraliuosius ir dešimtainius logaritmus. Po to pažvelkime į pagrindinį logaritminė tapatybė.
Puslapio naršymas.
Logaritmo apibrėžimas
Logaritmo sąvoka atsiranda sprendžiant problemą tam tikra atvirkštine prasme, kai reikia rasti eksponentą žinoma vertė laipsnis ir žinomas pagrindas.
Bet užtenka įvadų, laikas atsakyti į klausimą „kas yra logaritmas“? Pateiksime atitinkamą apibrėžimą.
Apibrėžimas.
B logaritmas iki a bazės, kur a>0, a≠1 ir b>0 yra eksponentas, iki kurio reikia pakelti skaičių a, kad gautumėte b.
Šiame etape pastebime, kad ištartas žodis „logaritmas“ turėtų iš karto iškelti du tolesnius klausimus: „koks skaičius“ ir „kokiu pagrindu“. Kitaip tariant, logaritmo tiesiog nėra, o tik skaičiaus logaritmas tam tikram pagrindui.
Įeikime tuoj pat logaritmo žymėjimas: skaičiaus b logaritmas iki pagrindo a paprastai žymimas kaip log a b. Skaičiaus b logaritmas iki bazės e ir logaritmas iki 10 bazės turi savo specialius žymėjimus atitinkamai lnb ir logb, tai yra, jie rašo ne log e b, o lnb, o ne log 10 b, o lgb.
Dabar galime duoti:.
Ir įrašai 
nėra prasmės, nes pirmame iš jų yra neigiamas skaičius po logaritmo ženklu, antrame yra neigiamas skaičius bazėje, o trečiajame yra neigiamas skaičius po logaritmo ženklu ir vienetas pagrindas.
Dabar pakalbėkime apie logaritmų skaitymo taisyklės. Log a b skaitomas kaip „logaritmas iš b bazės a“. Pavyzdžiui, log 2 3 yra logaritmas nuo trijų iki 2 bazės ir yra dviejų taškų dviejų trečdalių logaritmas iki 2 bazės Kvadratinė šaknis iš penkių. Vadinamas logaritmas iki pagrindo e natūralusis logaritmas, o žymėjimas lnb yra „natūralus b logaritmas“. Pavyzdžiui, ln7 yra natūralusis septynių logaritmas, ir mes jį skaitysime kaip natūralųjį pi logaritmą. 10 bazinis logaritmas taip pat turi specialų pavadinimą - dešimtainis logaritmas, o lgb skaitomas kaip „b dešimtainis logaritmas“. Pavyzdžiui, lg1 yra dešimtainis vieneto logaritmas, o lg2.75 yra dviejų taškų septynių penkių šimtųjų dalių dešimtainis logaritmas.
Atskirai verta pasilikti ties sąlygomis a>0, a≠1 ir b>0, kurioms esant pateikiamas logaritmo apibrėžimas. Paaiškinkime, iš kur atsiranda šie apribojimai. Tai padaryti padės formos lygybė, kuri tiesiogiai išplaukia iš aukščiau pateikto logaritmo apibrėžimo.
Pradėkime nuo a≠1. Kadangi vienas bet kuriai laipsniai yra lygus vienetui, lygybė gali būti teisinga tik tada, kai b=1, bet log 1 1 gali būti bet koks realusis skaičius. Siekiant išvengti šios dviprasmybės, daroma prielaida, kad a≠1.
Pagrįskime sąlygos a>0 tikslingumą. Esant a=0, pagal logaritmo apibrėžimą, turėtume lygybę, kuri įmanoma tik esant b=0. Bet tada log 0 0 gali būti bet koks realusis skaičius, kuris skiriasi nuo nulio, nes nuo nulio iki bet kurios nulinės galios yra nulis. Sąlyga a≠0 leidžia išvengti šios dviprasmybės. Ir kai a<0 нам бы пришлось отказаться от рассмотрения рациональных и иррациональных значений логарифма, так как степень с рациональным и иррациональным показателем определена лишь для неотрицательных оснований. Поэтому и принимается условие a>0 .
Galiausiai sąlyga b>0 išplaukia iš nelygybės a>0, nes , o laipsnio su teigiama baze a reikšmė visada yra teigiama.
Baigdami šį klausimą, tarkime, kad nurodytas logaritmo apibrėžimas leidžia iš karto nurodyti logaritmo reikšmę, kai skaičius po logaritmo ženklu yra tam tikra bazės galia. Iš tiesų, logaritmo apibrėžimas leidžia teigti, kad jei b=a p, tai skaičiaus b logaritmas iki pagrindo a yra lygus p. Tai yra, lygybės log a a p =p yra teisinga. Pavyzdžiui, žinome, kad 2 3 = 8, tada log 2 8 = 3. Daugiau apie tai kalbėsime straipsnyje.
Logaritmo apibrėžimas
B logaritmas iki pagrindo a yra eksponentas, į kurį reikia pakelti a, kad gautume b.
Skaičius e matematikoje įprasta žymėti ribą, iki kurios išsireiškimas siekia
Skaičius e yra neracionalus skaičius - skaičius, nesuderinamas su vienu, jo negalima tiksliai išreikšti nei sveikuoju skaičiumi, nei trupmena racionalus numerį.
Laiškas e- pirmoji lotyniško žodžio raidė exponere- pasipuikuoti, iš čia ir toks pavadinimas matematikoje eksponentinis- eksponentinė funkcija.
Skaičius e plačiai naudojami matematikoje ir visuose moksluose, kurie vienaip ar kitaip savo reikmėms naudoja matematinius skaičiavimus.
Logaritmai. Logaritmų savybės
Apibrėžimas: teigiamo skaičiaus b logaritmas iki jo bazės yra eksponentas c, iki kurio reikia pakelti skaičių a, kad gautume skaičių b.
Pagrindinė logaritminė tapatybė:
7) Persikėlimo į naują bazę formulė:
lna = log e a, e ≈ 2,718…
Uždaviniai ir testai tema „Logaritmai. Logaritmų savybės"
- Logaritmai – svarbios temos peržiūrint vieningą valstybinį matematikos egzaminą
Norėdami sėkmingai atlikti užduotis šia tema, turite žinoti logaritmo apibrėžimą, logaritmų savybes, pagrindinę logaritminę tapatybę, dešimtainių ir natūraliųjų logaritmų apibrėžimus. Pagrindinės šios temos problemų rūšys yra logaritminių išraiškų skaičiavimo ir transformavimo problemos. Panagrinėkime jų sprendimą naudodamiesi šiais pavyzdžiais.
Sprendimas: Pasinaudoję logaritmų savybėmis gauname
Sprendimas: Naudodamiesi laipsnių savybėmis gauname
1) (2 2) log 2 5 = (2 log 2 5) 2 = 5 2 =25
Logaritmų, formuluočių ir įrodymų savybės.
Logaritmai turi keletą būdingų savybių. Šiame straipsnyje apžvelgsime pagrindinius logaritmų savybės. Čia pateiksime jų formuluotes, surašysime logaritmų savybes formulių pavidalu, parodysime jų taikymo pavyzdžius, taip pat pateiksime logaritmų savybių įrodymą.
Puslapio naršymas.
Pagrindinės logaritmų savybės, formulės
Kad būtų lengviau atsiminti ir naudoti, įsivaizduokime Pagrindinės logaritmų savybės formulių sąrašo pavidalu. Kitoje pastraipoje pateiksime jų formuluotes, įrodymus, naudojimo pavyzdžius ir būtinus paaiškinimus.
ir n teigiamų skaičių sandaugos logaritmo savybė: log a (x 1 · x 2 ·…·x n)= log a x 1 +log a x 2 +…+log a x n , a>0 , a≠1 , x 1 >0, x 2 >0, …, x n >0 .
, kur a>0, a≠1, x>0, y>0.
, kur a>0, a≠1, n – natūralusis skaičius, didesnis nei vienas, b>0.
, a>0, a≠1, b>0, b≠1.
, a>0, a≠1, b>0, p ir q yra realieji skaičiai, q≠0, ypač jei b=a 
.Savybių formuluotės ir įrodymai
Mes pereiname prie logaritmų rašytinių savybių formulavimo ir įrodymo. Visos logaritmų savybės yra įrodytos remiantis logaritmo apibrėžimu ir iš jo išplaukiančiu pagrindiniu logaritminiu tapatumu, taip pat laipsnio savybėmis.
Pradėkime nuo vieneto logaritmo savybės. Jo formuluotė yra tokia: vienybės logaritmas lygus nuliui, tai yra, log a 1=0 bet kuriam a>0, a≠1. Įrodymas nėra sudėtingas: kadangi a 0 =1 bet kuriai a, tenkinančiai aukščiau nurodytas sąlygas a>0 ir a≠1, tai įrodinėtina lygybė log a 1=0 iš karto išplaukia iš logaritmo apibrėžimo.
Pateiksime nagrinėjamos savybės taikymo pavyzdžius: log 3 1=0, log1=0 ir .
Pereikime prie į toliau nurodytą nuosavybę: skaičiaus, lygaus bazei, logaritmas lygus vienetui, tai yra, log a a=1 jei a>0, a≠1. Iš tiesų, kadangi a 1 =a bet kuriam a, tai pagal logaritmo apibrėžimą log a a = 1.
Šios logaritmų savybės panaudojimo pavyzdžiai yra lygybės log 5 5=1, log 5.6 5.6 ir lne=1.
Skaičiaus, lygaus logaritmo pagrindui, laipsnio logaritmas yra lygus eksponentui. Ši logaritmo savybė atitinka formos formulę log a a p =p, kur a>0, a≠1 ir p – bet koks realusis skaičius. Ši savybė tiesiogiai išplaukia iš logaritmo apibrėžimo. Atkreipkite dėmesį, kad tai leidžia iš karto nurodyti logaritmo reikšmę, jei skaičių po logaritmo ženklu galima pavaizduoti kaip bazės laipsnį; plačiau apie tai kalbėsime straipsnyje apie logaritmų skaičiavimą.
Pavyzdžiui, log 2 2 7 =7, log10 -4 =-4 ir 
.
Dviejų teigiamų skaičių sandaugos logaritmas x ir y yra lygūs šių skaičių logaritmų sandaugai: log a (x y)=log a x+log a y, a>0 , a≠1 . Įrodykime sandaugos logaritmo savybę. Dėl laipsnio savybių a log a x+log a y =a log a x ·a log a y, o kadangi pagal pagrindinę logaritminę tapatybę log a x =x ir log a y =y, tada log a x ·a log a y =x· y. Taigi log a x+log a y =x·y, iš kurio pagal logaritmo apibrėžimą išplaukia įrodoma lygybė.
Parodykime gaminio logaritmo savybės panaudojimo pavyzdžius: log 5 (2 3)=log 5 2+log 5 3 ir 
.
Produkto logaritmo savybę galima apibendrinti baigtinio skaičiaus n teigiamų skaičių x 1 , x 2 , …, x n sandaugai kaip log a (x 1 · x 2 ·…·x n)= log a x 1 +log a x 2 +…+log a x n. Šią lygybę galima be problemų įrodyti naudojant matematinės indukcijos metodą.
Pavyzdžiui, sandaugos natūralusis logaritmas gali būti pakeistas trijų skaičių 4, e ir natūraliųjų logaritmų suma.
Dviejų teigiamų skaičių dalinio logaritmas x ir y yra lygus šių skaičių logaritmų skirtumui. Dalinio logaritmo savybė atitinka formos formulę , kur a>0, a≠1, x ir y yra kai kurie teigiami skaičiai. Šios formulės pagrįstumas įrodytas kaip ir sandaugos logaritmo formulė: kadangi 
, tada pagal logaritmo apibrėžimą .
Štai šios logaritmo savybės naudojimo pavyzdys: 
.
Pereikime prie galios logaritmo savybė. Laipsnio logaritmas lygus eksponento sandaugai ir šio laipsnio pagrindo modulio logaritmui. Parašykime šią laipsnio logaritmo savybę kaip formulę: log a b p =p·log a |b|, kur a>0, a≠1, b ir p yra tokie skaičiai, kad b p laipsnis turi prasmę, o b p >0.
Pirmiausia įrodome šią savybę teigiamam b. Pagrindinė logaritminė tapatybė leidžia pavaizduoti skaičių b kaip log a b , tada b p =(a log a b) p , o gauta išraiška dėl galios savybės yra lygi a p·log a b . Taigi gauname lygybę b p =a p·log a b, iš kurios pagal logaritmo apibrėžimą darome išvadą, kad log a b p =p·log a b.
Belieka įrodyti šią savybę neigiamam b. Čia pažymime, kad reiškinys log a b p neigiamam b turi prasmę tik lyginiams eksponentams p (kadangi laipsnio b p reikšmė turi būti didesnė už nulį, antraip logaritmas neturės prasmės), o šiuo atveju b p =|b| p. Tada b p =|b| p =(a log a |b|) p =a p·log a |b| , iš kur log a b p =p·log a |b| .
Pavyzdžiui, 
ir ln(-3) 4 =4·ln|-3|=4·ln3 .
Tai išplaukia iš ankstesnio turto logaritmo savybė nuo šaknies: n-osios šaknies logaritmas yra lygus trupmenos 1/n sandaugai iš radikalios išraiškos logaritmo, tai yra, kur a>0, a≠1, n yra natūralusis skaičius, didesnis už vienetą, b>0 .
Įrodymas pagrįstas lygybe (žr. eksponento su trupmeniniu rodikliu apibrėžimą), kuri galioja bet kuriam teigiamam b, ir eksponento logaritmo savybe: 
.
Štai šios nuosavybės naudojimo pavyzdys: 
.
Dabar įrodykime perėjimo prie naujos logaritmo bazės formulė malonus 
. Tam pakanka įrodyti lygybės log c b=log a b·log c a pagrįstumą. Pagrindinė logaritminė tapatybė leidžia mums pavaizduoti skaičių b kaip log a b , tada log c b=log c a log a b . Belieka naudoti laipsnio logaritmo savybę: log c a log a b =log a b·log c a . Tai įrodo lygybę log c b=log a b·log c a, o tai reiškia, kad taip pat įrodyta perėjimo prie naujos logaritmo bazės formulė .
Parodykime keletą šios logaritmų savybės naudojimo pavyzdžių: ir 
.
Perėjimo prie naujos bazės formulė leidžia pereiti prie darbo su logaritmais, kurie turi „patogų“ pagrindą. Pavyzdžiui, jį galima naudoti norint pakeisti natūraliuosius arba dešimtainius logaritmus, kad galėtumėte apskaičiuoti logaritmo reikšmę iš logaritmų lentelės. Perėjimo prie naujos logaritmo bazės formulė taip pat leidžia kai kuriais atvejais rasti tam tikro logaritmo reikšmę, kai žinomos kai kurių logaritmų su kitomis bazėmis reikšmės.
Naudotas dažnai ypatinga byla formulės perėjimui į naują logaritmo bazę su formos c=b. Tai rodo, kad log a b ir log b a yra tarpusavyje atvirkštiniai skaičiai. Pvz., 
.
Taip pat dažnai naudojama formulė, kuri yra patogu ieškant logaritmų reikšmių. Norėdami patvirtinti savo žodžius, parodysime, kaip jį galima naudoti apskaičiuojant formos logaritmo reikšmę. Mes turime 
. Norėdami įrodyti formulę, pakanka naudoti formulę, skirtą pereiti prie naujos logaritmo bazės a: 
.
Belieka įrodyti logaritmų palyginimo savybes.
Naudokime priešingą metodą. Tarkime, kad a 1 >1, a 2 >1 ir a 1 2 ir 0 1 log a 1 b≤log a 2 b yra teisinga. Remiantis logaritmų savybėmis, šias nelygybes galima perrašyti kaip 
Ir 
atitinkamai, o iš jų išplaukia, kad atitinkamai log b a 1 ≤log b a 2 ir log b a 1 ≥log b a 2. Tada pagal tų pačių bazių laipsnių savybes turi galioti lygybės b log b a 1 ≥b log b a 2 ir b log b a 1 ≥b log b a 2, tai yra a 1 ≥a 2 . Taigi mes priėjome prietarą sąlygai a 1 2. Tai užbaigia įrodymą.
Pagrindinės logaritmų savybės
- Medžiaga pamokai
- Parsisiųsti visas formules
- log a x n = n · log a x ;
Logaritmus, kaip ir bet kokius skaičius, galima visais būdais sudėti, atimti ir transformuoti. Bet kadangi logaritmai nėra visiškai įprasti skaičiai, čia yra taisyklės, kurios vadinamos pagrindinės savybės.
Jūs tikrai turite žinoti šias taisykles – be jų nepavyks išspręsti nė vienos rimtos logaritminės problemos. Be to, jų labai mažai – viską gali išmokti per vieną dieną. Taigi pradėkime.
Logaritmų pridėjimas ir atėmimas
Apsvarstykite du logaritmus su tais pačiais pagrindais: log a x ir log a y. Tada juos galima pridėti ir atimti, ir:
Taigi logaritmų suma lygi sandaugos logaritmui, o skirtumas lygus koeficiento logaritmui. Atkreipkite dėmesį: pagrindinis dalykas čia yra identiškais pagrindais. Jei priežastys skiriasi, šios taisyklės neveikia!
Šios formulės padės apskaičiuoti logaritminę išraišką net tada, kai neatsižvelgiama į atskiras jos dalis (žr. pamoką „Kas yra logaritmas“). Pažvelkite į pavyzdžius ir pamatykite:
Užduotis. Raskite išraiškos reikšmę: log 6 4 + log 6 9.
Kadangi logaritmai turi tas pačias bazes, naudojame sumos formulę:
log 6 4 + log 6 9 = log 6 (4 9) = log 6 36 = 2.
Užduotis. Raskite išraiškos reikšmę: log 2 48 − log 2 3.
Pagrindai yra vienodi, mes naudojame skirtumo formulę:
log 2 48 − log 2 3 = log 2 (48: 3) = log 2 16 = 4.
Užduotis. Raskite išraiškos reikšmę: log 3 135 − log 3 5.
Vėlgi bazės yra tos pačios, todėl turime:
log 3 135 − log 3 5 = log 3 (135: 5) = log 3 27 = 3.
Kaip matote, pradinės išraiškos yra sudarytos iš „blogų“ logaritmų, kurie nėra skaičiuojami atskirai. Tačiau po transformacijų jie pasirodo gana normalūs skaičiai. Daugelis remiasi šiuo faktu bandomieji darbai. Taip, vieningo valstybinio egzamino metu į testus panašūs posakiai siūlomi labai rimtai (kartais praktiškai be pakeitimų).
Rodiklio išskyrimas iš logaritmo
Dabar šiek tiek apsunkinkime užduotį. Ką daryti, jei logaritmo pagrindas arba argumentas yra laipsnis? Tada šio laipsnio rodiklis gali būti paimtas iš logaritmo ženklo pagal šias taisykles:
Nesunku pastebėti, kad paskutinė taisyklė seka pirmąsias dvi. Bet vis tiek geriau tai atsiminti - kai kuriais atvejais tai žymiai sumažins skaičiavimų skaičių.
Žinoma, visos šios taisyklės turi prasmę, jei laikomasi logaritmo ODZ: a > 0, a ≠ 1, x > 0. Ir dar vienas dalykas: išmokite taikyti visas formules ne tik iš kairės į dešinę, bet ir atvirkščiai , t.y. Skaičius prieš logaritmo ženklą galite įvesti į patį logaritmą. Tai yra tai, ko dažniausiai reikia.
Užduotis. Raskite išraiškos reikšmę: log 7 49 6 .
Atsikratykime argumento laipsnio naudodami pirmąją formulę:
log 7 49 6 = 6 log 7 49 = 6 2 = 12
Užduotis. Raskite posakio prasmę:
[Paveikslo antraštė]
Atkreipkite dėmesį, kad vardiklyje yra logaritmas, kurio pagrindas ir argumentas yra tikslieji laipsniai: 16 = 2 4 ; 49 = 7 2. Mes turime:
[Paveikslo antraštė]
Manau, kad paskutinis pavyzdys reikalauja šiek tiek paaiškinimo. Kur dingo logaritmai? Iki pat paskutinės akimirkos dirbame tik su vardikliu. Pateikėme ten stovinčio logaritmo bazę ir argumentą galių pavidalu ir išėmėme eksponentus - gavome „trijų aukštų“ trupmeną.
Dabar pažvelkime į pagrindinę dalį. Skaitiklyje ir vardiklyje yra tas pats skaičius: log 2 7. Kadangi log 2 7 ≠ 0, tai trupmeną galime sumažinti – vardiklyje liks 2/4. Pagal aritmetikos taisykles keturis galima perkelti į skaitiklį, kas buvo padaryta. Rezultatas buvo atsakymas: 2.
Perėjimas prie naujo pagrindo
Kalbėdamas apie logaritmų sudėjimo ir atėmimo taisykles, konkrečiai pabrėžiau, kad jos veikia tik su tais pačiais pagrindais. O jei priežastys kitokios? O jei jie nėra tikslūs to paties skaičiaus laipsniai?
Į pagalbą ateina perėjimo prie naujo pagrindo formulės. Suformuluokime juos teoremos forma:
Tegu pateiktas logaritmas log a x. Tada bet kurio skaičiaus c, kurio c > 0 ir c ≠ 1, lygybė yra teisinga:
[Paveikslo antraštė]
Konkrečiai, jei nustatome c = x, gauname:
[Paveikslo antraštė]
Iš antrosios formulės išplaukia, kad logaritmo bazę ir argumentą galima sukeisti vietomis, tačiau tokiu atveju „apverčiama“ visa išraiška, t.y. vardiklyje atsiranda logaritmas.
Šios formulės retai randamos įprastose skaitinėse išraiškose. Įvertinti, kiek jos patogios, galima tik sprendžiant logaritmines lygtis ir nelygybes.
Tačiau yra problemų, kurių niekaip nepavyks išspręsti, išskyrus persikėlimą į naują fondą. Pažvelkime į porą iš šių:
Užduotis. Raskite išraiškos reikšmę: log 5 16 log 2 25.
Atkreipkite dėmesį, kad abiejų logaritmų argumentuose yra tikslios galios. Išimkime rodiklius: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; log 2 25 = log 2 5 2 = 2 log 2 5;
Dabar „apverskime“ antrąjį logaritmą:
[Paveikslo antraštė]
Kadangi sandauga nesikeičia pertvarkant veiksnius, ramiai padauginome keturis ir du, o tada nagrinėjome logaritmus.
Užduotis. Raskite išraiškos reikšmę: log 9 100 lg 3.
Pirmojo logaritmo pagrindas ir argumentas yra tikslios galios. Užsirašykime tai ir atsikratykime rodiklių:
[Paveikslo antraštė]
Dabar atsikratykime dešimtainio logaritmo, pereidami prie naujos bazės:
[Paveikslo antraštė]
Pagrindinė logaritminė tapatybė
Dažnai sprendimo procese skaičių reikia pateikti kaip logaritmą tam tikram pagrindui. Šiuo atveju mums padės šios formulės:
- n = log a a n
-
Pirmuoju atveju skaičius n tampa veiksniu argumente. Skaičius n gali būti visiškai bet koks, nes tai tik logaritmo reikšmė.
Antroji formulė iš tikrųjų yra perfrazuotas apibrėžimas. Taip ji vadinama: pagrindinė logaritminė tapatybė.
Tiesą sakant, kas atsitiks, jei skaičius b padidintas iki tokios laipsnio, kad skaičius b iki šios laipsnio duotų skaičių a? Teisingai: rezultatas yra tas pats skaičius a. Dar kartą atidžiai perskaitykite šią pastraipą – daugeliui žmonių ji įstrigo.
Kaip ir formulės, skirtos pereiti prie naujos bazės, pagrindinė logaritminė tapatybė kartais yra vienintelis galimas sprendimas.
[Paveikslo antraštė]
Atkreipkite dėmesį, kad log 25 64 = log 5 8 - mes tiesiog paėmėme kvadratą iš logaritmo pagrindo ir argumento. Atsižvelgdami į galių dauginimo su ta pačia baze taisykles, gauname:
[Paveikslo antraštė]
Jei kas nežino, tai buvo tikra užduotis iš unifikuoto valstybinio egzamino :)
Logaritminis vienetas ir logaritminis nulis
Baigdamas pateiksiu dvi tapatybes, kurias vargu ar galima pavadinti savybėmis – veikiau tai yra logaritmo apibrėžimo pasekmės. Jie nuolat atsiranda problemų ir, stebėtinai, sukelia problemų net „pažengusiems“ studentams.
- log a a = 1 yra logaritminis vienetas. Vieną kartą ir visiems laikams atsiminkite: logaritmas bet kuriam tos bazės pagrindui a yra lygus vienetui.
- log a 1 = 0 yra logaritminis nulis. Bazė a gali būti bet kokia, bet jei argumente yra vienas, logaritmas lygus nuliui! Kadangi a 0 = 1 yra tiesioginė apibrėžimo pasekmė.
Tai visos savybės. Būtinai praktikuokite juos pritaikydami praktiškai! Pamokos pradžioje atsisiųskite cheat lapą, atsispausdinkite ir išspręskite problemas.
Logaritmas. Logaritmo savybės (sudėti ir atimti).
Logaritmo savybės išplaukia iš jo apibrėžimo. Ir taip skaičiaus logaritmas b remiantis A apibrėžiamas kaip eksponentas, iki kurio skaičius turi būti padidintas a norėdami gauti numerį b(logaritmas egzistuoja tik teigiamiems skaičiams).
Iš šios formuluotės matyti, kad skaičiavimas x=log a b, yra lygiavertis lygties sprendimui a x =b. Pavyzdžiui, log 2 8 = 3 nes 8 = 2 3 . Logaritmo formuluotė leidžia pagrįsti, kad jeigu b=a c, tada skaičiaus logaritmas b remiantis a lygus Su. Taip pat aišku, kad logaritmų tema yra glaudžiai susijusi su galių tema.
Su logaritmais, kaip ir su bet kuriais skaičiais, galite tai padaryti sudėjimo, atimties operacijos ir transformuotis visais įmanomais būdais. Tačiau dėl to, kad logaritmai nėra visiškai įprasti skaičiai, čia galioja savos specialios taisyklės, kurios vadinamos pagrindinės savybės.
Logaritmų pridėjimas ir atėmimas.
Paimkime du logaritmus su tomis pačiomis bazėmis: užsirašyk x Ir prisijungti a y. Tada galima atlikti sudėjimo ir atimties operacijas:
Kaip matome, logaritmų suma lygus sandaugos logaritmui ir skirtumas logaritmus- koeficiento logaritmas. Be to, tai tiesa, jei skaičiai A, X Ir adresu teigiamas ir a ≠ 1.
Svarbu pažymėti, kad pagrindinis šių formulių aspektas yra tos pačios bazės. Jei priežastys skiriasi, šios taisyklės netaikomos!
Logaritmų su tais pačiais pagrindais sudėties ir atėmimo taisyklės skaitomos ne tik iš kairės į dešinę, bet ir atvirkščiai. Dėl to turime sandaugos logaritmo ir koeficiento logaritmo teoremas.
Produkto logaritmas du teigiami skaičiai yra lygūs jų logaritmų sumai ; perfrazuodami šią teoremą gauname taip, jei skaičiai A, x Ir adresu teigiamas ir a ≠ 1, Tai:
Dalinio logaritmas du teigiami skaičiai yra lygūs skirtumui tarp dividendo ir daliklio logaritmų. Kitaip tariant, jei skaičiai A, X Ir adresu teigiamas ir a ≠ 1, Tai:
Sprendimui pritaikykime aukščiau pateiktas teoremas pavyzdžių:
Jei skaičiai x Ir adresu tada yra neigiami produkto logaritmo formulė tampa beprasmis. Todėl draudžiama rašyti:
nes išraiškos log 2 (-8) ir log 2 (-4) iš viso neapibrėžtos (logaritminė funkcija adresu= 2 žurnalas X apibrėžiamas tik teigiamoms argumentų reikšmėms X).
Produkto teorema taikomas ne tik dviem, bet ir neribotam skaičiui veiksnių. Tai reiškia, kad kiekvienam natūraliam k ir bet kokie teigiami skaičiai x 1 , x 2 , . . . ,x n yra tapatybė:
Iš logaritmo koeficiento teorema Galima gauti dar vieną logaritmo savybę. Visiems žinoma, kad žurnalas a 1 = 0, todėl
Tai reiškia, kad yra lygybė:
Dviejų grįžtamųjų skaičių logaritmai dėl tos pačios priežasties vienas nuo kito skirsis tik ženklu. Taigi:
Logaritmas. Logaritmų savybės
Logaritmas. Logaritmų savybės
Pasvarstykime apie lygybę. Leiskite mums žinoti ir vertes ir mes norime rasti vertę.
Tai yra, mes ieškome eksponento, pagal kurį turime jį pakelti, kad gautume .
Leisti
kintamasis gali įgyti bet kokią realią reikšmę, tada kintamiesiems taikomi šie apribojimai: o" title="a>o"/> , 1″ title="a1″/>, 0″ title="b>0″ />Jei žinome ir reikšmes ir susiduriame su užduotimi rasti nežinomybę, tai šiuo tikslu pristatome matematinis veiksmas kuris vadinamas logaritmas.
Norėdami rasti vertę, kurią gauname skaičiaus logaritmas Autorius pagrindu :
Skaičiaus logaritmas iki jo bazės yra eksponentas, iki kurio jis turi būti padidintas, kad gautų .
Tai yra pagrindinė logaritminė tapatybė:
o» title=»a>o»/> , 1″ title=»a1″/>, 0″ title=»b>0″/>
iš esmės yra matematinis žymėjimas logaritmo apibrėžimai.
Matematinis logaritmo veiksmas yra atvirkštinis eksponencijos veiksmas, taigi logaritmų savybės yra glaudžiai susiję su laipsnio savybėmis.
Išvardinkime pagrindinius logaritmų savybės:
(o" title="a>o"/> , 1″ title=»a1″/>, 0″ title=»b>0″/>, 0,
d>0″/>, 1″ title=”d1″/>
4.
5.
Ši savybių grupė leidžia pavaizduoti išraiškos eksponentą po logaritmo ženklu arba stovint logaritmo pagrindu koeficiento pavidalu prieš logaritmo ženklą:
6.
7.
8.
9.
Kita formulių grupė leidžia pereiti nuo logaritmo su duota baze prie logaritmo su savavališka baze ir yra vadinama perėjimo prie naujos bazės formulės:
10.
12. (11 nuosavybės pasekmė)
Šios trys savybės nėra gerai žinomos, tačiau jos dažnai naudojamos sprendžiant logaritmines lygtis arba supaprastinant logaritmų turinčias išraiškas:
13.
14.
15.
Ypatingi atvejai:
— dešimtainis logaritmas
— natūralusis logaritmasSupaprastinant išraiškas, kuriose yra logaritmų, naudojamas bendras metodas:
1. Pristatome po kablelio paprastų pavidalu.
2. Mišrius skaičius pavaizduojame kaip netinkamąsias trupmenas.
3. Skaičius logaritmo pagrindu ir po logaritmo ženklu išskaidome į paprastus veiksnius.
4. Visus logaritmus stengiamės sumažinti iki tos pačios bazės.
5. Taikyti logaritmų savybes.
Pažvelkime į logaritmų turinčių išraiškų supaprastinimo pavyzdžius.
1 pavyzdys.
Apskaičiuoti:
Supaprastinkime visus laipsnius: mūsų užduotis yra sumažinti juos iki logaritmų, kurių bazė yra tokia pati kaip ir eksponento bazė.
==(pagal 7 savybę)=(pagal 6 savybę) =
Pakeiskime rodiklius, kuriuos gavome į pradinę išraišką. Mes gauname:
Atsakymas: 5.25
2 pavyzdys. Apskaičiuokite:
Sumažinkime visus logaritmus iki 6 bazės (šiuo atveju logaritmai iš trupmenos vardiklio „perkels“ į skaitiklį):
Išskaidykime skaičius po logaritmo ženklu į paprastus veiksnius:
Taikykime 4 ir 6 savybes:
Pristatome pakaitalą
Mes gauname:
Atsakymas: 1
Logaritmas . Pagrindinė logaritminė tapatybė.
Logaritmų savybės. Dešimtainis logaritmas. Natūralus logaritmas.
Logaritmas teigiamas skaičius N į bazę (b > 0, b 1) yra eksponentas x, iki kurio b reikia pakelti, kad gautume N .
Šis įrašas atitinka šį: b x = N .
Pavyzdžiai: log 3 81 = 4, nes 3 4 = 81;
log 1/3 27 = – 3, nes (1/3) – 3 = 3 3 = 27.
Aukščiau pateiktas logaritmo apibrėžimas gali būti parašytas kaip tapatybė:
Pagrindinės logaritmų savybės.
2) log 1 = 0, nes b 0 = 1 .
3) Produkto logaritmas yra lygus faktorių logaritmų sumai:
4) Dalinio logaritmas yra lygus skirtumui tarp dividendo ir daliklio logaritmų:
5) Laipsnio logaritmas lygus eksponento sandaugai ir jo bazės logaritmui:
Šios nuosavybės pasekmės yra šios: šaknies logaritmas lygus radikalinio skaičiaus logaritmui, padalytam iš šaknies galios:
6) Jei logaritmo pagrindas yra laipsnis, tada reikšmė atvirkštinį rodiklį galima paimti kaip loginį rimą:
Paskutinės dvi savybės gali būti sujungtos į vieną:
7) Perėjimo modulio formulė (t. y. perėjimas iš vienos logaritmo bazės į kitą):
Ypatingu atveju, kai N=a mes turime:
Dešimtainis logaritmas paskambino bazinis logaritmas 10. Žymima lg, t.y. žurnalas 10 N= žurnalas N. Skaičių 10, 100, 1000, logaritmai. p yra atitinkamai 1, 2, 3, …, t.y. turi tiek daug teigiamo
vienetų, kiek nulių yra logaritminiame skaičiuje po vieneto. Skaičių logaritmai 0,1, 0,01, 0,001, . p yra atitinkamai –1, –2, –3, …, t.y. turėti tiek neigiamų, kiek logaritminiame skaičiuje prieš vieną yra nulių (įskaitant nulius sveikųjų skaičių). Kitų skaičių logaritmai turi trupmeninę dalį, vadinamą mantisa. Visa dalis vadinamas logaritmas charakteristika. Praktiniam naudojimui patogiausias yra dešimtainis logaritmas.
Natūralus logaritmas paskambino bazinis logaritmas e. Ji žymima ln, t.y. žurnalas e N= žurnalas N. Skaičius e yra neracionalus, jo apytikslė reikšmė yra 2,718281828. Tai riba, iki kurios linkęs skaičius (1 + 1 / n) n su neribotu padidėjimu n(cm. pirmoji nuostabi riba puslapyje „Skaičių sekos ribos“).
Kad ir kaip būtų keista, natūralūs logaritmai pasirodė labai patogūs atliekant įvairaus pobūdžio operacijas, susijusias su funkcijų analize. Logaritmų skaičiavimas į bazę e atlikti daug greičiau nei dėl bet kokios kitos priežasties.
- Ko šiandien reikia norint įvaikinti vaiką Rusijoje? Įvaikinimas Rusijoje, be atsakingo asmeninio sprendimo, apima daugybę kandidatų valstybinio patikrinimo procedūrų. Sunkus pasirinkimas paruošiamasis etapas prisideda prie daugiau […]
- Nemokama informacija apie TIN arba OGRN iš mokesčių registro visoje Rusijoje - internete Informaciją apie valstybinę registraciją galite gauti Vieningame mokesčių paslaugų portale juridiniai asmenys, individualūs verslininkai, […]
- Bauda už vairavimą be dokumentų ( vairuotojo pažymėjimas, draudimas, STS) Kartais dėl užmaršumo vairuotojai sėda prie vairo neturėdami vairuotojo pažymėjimo ir gauna baudą už vairavimą be dokumentų. Priminsime, kad automobilių entuziastas važiuoja su savo privalomas […]
- Gėlės vyrams. Kokias gėles galite padovanoti vyrui? Kokias gėles galite padovanoti vyrui? „Vyriškų“ gėlių nėra daug, tačiau yra tokių, kurios dovanojamos vyrams. Prieš jus mažas gėlių sąrašas: Chrizantemos. Rožės. Gvazdikai. […]
- Atmintinė yra speciali dokumento forma, kuri naudojama vidinė aplinkaįmonėms ir tarnauja greitas sprendimas dabartinės gamybos problemos. Paprastai šis dokumentas yra parengtas siekiant supažindinti su kai kuriais […]
- Kada ir kaip gauti finansuojamą pensijos dalį iš „Sberbank“? „Sberbank“ yra valstybinio pensijų fondo bankas partneris. Remiantis tuo, piliečiai, užsiregistravę gauti pensijų kaupimą, galėjo pervesti kaupiamąją dalį […]
- Išmokos vaikams Uljanovske ir Uljanovsko srityje 2018 Be to, federaliniais teisės aktais patvirtintos programos veikia visuose regionuose. Pažiūrėkime, kas gali tikėtis kokios naudos. Kaip regioninės valdžios institucijos […]
- Išsamus vadovas, kaip surašyti įgaliojimą atstovauti asmens interesams teisme Civiliniame ar arbitražo ieškinyje, administracinėje ar baudžiamojoje byloje tiek ieškovo, tiek atsakovo interesams gali atstovauti advokatas: [… ]
Šiuo vaizdo įrašu pradedu ilgą pamokų apie logaritmines lygtis seriją. Dabar jūs turite tris pavyzdžius, kurių pagrindu mes išmoksime išspręsti paprasčiausias problemas, kurios vadinamos - pirmuonys.
log 0,5 (3x − 1) = −3
log (x + 3) = 3 + 2 log 5
Leiskite jums priminti, kad paprasčiausia logaritminė lygtis yra tokia:
log a f (x) = b
Šiuo atveju svarbu, kad kintamasis x būtų tik argumento viduje, tai yra tik funkcijoje f (x). O skaičiai a ir b yra tik skaičiai ir jokiu būdu nėra funkcijos, turinčios kintamąjį x.
Pagrindiniai sprendimo būdai
Yra daug būdų, kaip išspręsti tokias struktūras. Pavyzdžiui, dauguma mokytojų mokykloje siūlo tokį metodą: Nedelsdami išreikškite funkciją f (x) naudodami formulę f ( x ) = a b . Tai yra, kai susiduri su paprasčiausia konstrukcija, iškart be papildomų veiksmų ir konstrukcijas galite pereiti prie sprendimo.
Taip, žinoma, sprendimas bus teisingas. Tačiau šios formulės problema yra ta, kad dauguma studentų nesuprasti, iš kur ji kilusi ir kodėl a raidę keliame į raidę b.
Dėl to dažnai matau labai erzinančių klaidų, kai, pavyzdžiui, sukeičiamos šios raidės. Šią formulę reikia arba suprasti, arba prikimšti, o antrasis metodas priveda prie klaidų pačiais netinkamiausiais ir svarbiausiais momentais: per egzaminus, testus ir pan.
Todėl siūlau visiems savo mokiniams atsisakyti standartinės mokyklos formulės ir sprendžiant logaritmines lygtis antrąjį metodą, kuris, kaip tikriausiai atspėjote iš pavadinimo, vadinasi kanoninė forma.
Kanoninės formos idėja yra paprasta. Dar kartą pažvelkime į savo problemą: kairėje turime log a, o raide a reiškia skaičių, o jokiu būdu ne funkciją, kurioje yra kintamasis x. Todėl šiai raidei taikomi visi apribojimai, taikomi logaritmo pagrindui. būtent:
1 ≠ a > 0
Kita vertus, iš tos pačios lygties matome, kad logaritmas turi būti lygus skaičiui b, ir šiai raidei nėra taikomi jokie apribojimai, nes ji gali įgauti bet kokią reikšmę – ir teigiamą, ir neigiamą. Viskas priklauso nuo to, kokias reikšmes įgyja funkcija f(x).
Ir čia mes prisimename mūsų nuostabią taisyklę, kad bet kuris skaičius b gali būti pavaizduotas kaip logaritmas su baziniu a iš a iki b laipsnio:
b = log a a b
Kaip atsiminti šią formulę? Taip, labai paprasta. Parašykime tokią konstrukciją:
b = b 1 = b log a a
Žinoma, tokiu atveju atsiranda visi apribojimai, kuriuos užsirašėme pradžioje. Dabar panaudokime pagrindinę logaritmo savybę ir įveskime daugiklį b kaip a laipsnį. Mes gauname:
b = b 1 = b log a a = log a a b
Dėl to pradinė lygtis bus perrašyta taip:
log a f (x) = log a a b → f (x) = a b
Tai viskas. Nauja funkcija nebėra logaritmo ir gali būti išspręstas naudojant standartinius algebrinius metodus.
Žinoma, dabar kas nors paprieštaraus: kodėl išvis reikėjo sugalvoti kokią nors kanoninę formulę, kam atlikti du papildomus nereikalingus veiksmus, jei buvo galima iš karto pereiti nuo pirminio dizaino prie galutinės formulės? Taip, jei tik todėl, kad dauguma studentų nesupranta, iš kur atsiranda ši formulė, ir dėl to reguliariai klysta ją taikydami.
Tačiau ši veiksmų seka, susidedanti iš trijų žingsnių, leidžia išspręsti pradinę logaritminę lygtį, net jei nesuprantate, iš kur kyla galutinė formulė. Beje, šis įrašas vadinamas kanonine formule:
log a f (x) = log a a b
Kanoninės formos patogumas slypi ir tame, kad ja galima išspręsti labai plačią logaritminių lygčių klasę, o ne tik pačias paprasčiausias, kurias šiandien svarstome.
Sprendimų pavyzdžiai
Dabar pažiūrėkime tikrų pavyzdžių. Taigi, nuspręskime:
log 0,5 (3x − 1) = −3
Perrašykime taip:
log 0,5 (3x − 1) = log 0,5 0,5 −3
Daugelis studentų skuba ir stengiasi iš karto pakelti skaičių 0,5 iki galios, kuri mums kilo iš pradinės problemos. Iš tiesų, kai jau esate gerai apmokytas spręsti tokias problemas, galite nedelsdami atlikti šį veiksmą.
Tačiau jei dabar tik pradedate nagrinėti šią temą, geriau niekur neskubėkite, kad išvengtumėte įžeidžiančių klaidų. Taigi, turime kanoninę formą. Mes turime:
3x − 1 = 0,5 −3
Tai nebėra logaritminė lygtis, o tiesinė kintamojo x atžvilgiu. Norėdami tai išspręsti, pirmiausia pažvelkime į skaičių 0,5 iki −3 laipsnio. Atminkite, kad 0,5 yra 1/2.
(1/2) −3 = (2/1) 3 = 8
Spręsdami logaritminę lygtį, paverskite visas dešimtaines trupmenas į bendrąsias trupmenas.
Perrašome ir gauname:
3x − 1 = 8
3x = 9
x = 3
Štai ir gavome atsakymą. Pirmoji problema išspręsta.
Antra užduotis
Pereikime prie antrosios užduoties:
Kaip matome, ši lygtis nebėra pati paprasčiausia. Jei tik todėl, kad kairėje yra skirtumas, o ne vieno pagrindo logaritmas.
Todėl turime kažkaip atsikratyti šio skirtumo. IN tokiu atveju viskas labai paprasta. Pažvelkime atidžiau į pagrindus: kairėje yra skaičius po šaknimi:
Bendra rekomendacija: visose logaritminėse lygtyse stenkitės atsikratyti radikalų, t. y. nuo įrašų su šaknimis ir pereikite prie laipsnių funkcijų vien todėl, kad šių galių rodikliai lengvai pašalinami iš logaritmo ženklo ir galiausiai tokie. įrašas žymiai supaprastina ir pagreitina skaičiavimus. Užrašykime taip:
Dabar prisiminkime nuostabią logaritmo savybę: galias galima išvesti iš argumento, taip pat iš bazės. Esant pagrindams, atsitinka taip:
log a k b = 1/k loga b
Kitaip tariant, skaičius, kuris buvo bazinėje laipsnėje, pakeliamas į priekį ir tuo pačiu apverčiamas, tai yra, jis tampa abipusiu skaičiumi. Mūsų atveju bazinis laipsnis buvo 1/2. Todėl galime jį išimti kaip 2/1. Mes gauname:
5 2 log 5 x − log 5 x = 18
10 log 5 x − log 5 x = 18
Atkreipkite dėmesį: šiame žingsnyje jokiu būdu neturėtumėte atsikratyti logaritmų. Prisiminkite 4-5 klasių matematiką ir operacijų eiliškumą: pirmiausia atliekama daugyba, o tik tada sudėjimas ir atėmimas. Šiuo atveju iš 10 elementų atimame vieną iš tų pačių elementų:
9 log 5 x = 18
log 5 x = 2
Dabar mūsų lygtis atrodo taip, kaip turėtų. Tai paprasčiausia konstrukcija, kurią išsprendžiame naudodami kanoninę formą:
log 5 x = log 5 5 2
x = 5 2
x = 25
Tai viskas. Antroji problema išspręsta.
Trečias pavyzdys
Pereikime prie trečios užduoties:
log (x + 3) = 3 + 2 log 5
Leiskite jums priminti šią formulę:
log b = log 10 b
Jei dėl kokių nors priežasčių jus glumina žymėjimo žurnalas b , tada atlikdami visus skaičiavimus galite tiesiog įrašyti log 10 b . Su dešimtainiais logaritmais galite dirbti taip pat, kaip ir su kitais: imkite laipsnius, sudėkite ir pavaizduokite bet kokius skaičius lg 10 forma.
Būtent šias savybes dabar naudosime spręsdami problemą, nes tai nėra pati paprasčiausia, kurią užsirašėme pačioje pamokos pradžioje.
Pirma, atkreipkite dėmesį, kad koeficientas 2 priešais lg 5 gali būti pridėtas ir tampa 5 bazės laipsniu. Be to, laisvasis terminas 3 taip pat gali būti pavaizduotas kaip logaritmas – tai labai lengva pastebėti iš mūsų užrašymo.
Spręskite patys: bet koks skaičius gali būti pavaizduotas kaip žurnalas iki 10 bazės:
3 = log 10 10 3 = log 10 3
Perrašykime pradinę problemą, atsižvelgdami į gautus pakeitimus:
log (x – 3) = log 1000 + log 25
log (x – 3) = log 1000 25
log (x − 3) = log 25 000
Prieš mus vėl kanoninė forma, kurią gavome neperėję transformacijos etapo, t.y., niekur neatsirado paprasčiausia logaritminė lygtis.
Būtent apie tai kalbėjau pačioje pamokos pradžioje. Kanoninė forma leidžia išspręsti platesnę problemų grupę nei standartinė mokyklos formulė, kurią pateikia dauguma mokyklų mokytojų.
Na, štai, atsikratome dešimtainio logaritmo ženklo ir gauname paprastą tiesinę konstrukciją:
x + 3 = 25 000
x = 24 997
Viskas! Problema išspręsta.
Pastaba apie taikymo sritį
Čia norėčiau pateikti svarbią pastabą dėl apibrėžimo apimties. Tikrai dabar atsiras mokinių ir mokytojų, kurie sakys: „Spręsdami reiškinius logaritmais, turime atsiminti, kad argumentas f (x) turi būti didesnis už nulį! Šiuo atžvilgiu kyla logiškas klausimas: kodėl mes nereikalavome, kad ši nelygybė būtų patenkinta nė vienoje iš nagrinėjamų problemų?
Nesijaudink. Tokiais atvejais neatsiras papildomų šaknų. Ir tai dar vienas puikus triukas, leidžiantis paspartinti sprendimą. Tiesiog žinokite, kad jei uždavinyje kintamasis x yra tik vienoje vietoje (tiksliau, viename vieno logaritmo argumente), o niekur kitur mūsų atveju kintamasis x nepasirodo, tada užrašykite apibrėžimo sritį. nereikia, nes jis bus vykdomas automatiškai.
Spręskite patys: pirmoje lygtyje gavome, kad 3x − 1, t.y. argumentas turi būti lygus 8. Tai automatiškai reiškia, kad 3x − 1 bus didesnis už nulį.
Su ta pačia sėkme galime rašyti, kad antruoju atveju x turėtų būti lygus 5 2, t.y. jis tikrai didesnis už nulį. Ir trečiuoju atveju, kur x + 3 = 25 000, t.y., vėlgi, akivaizdžiai didesnis už nulį. Kitaip tariant, apimtis patenkinama automatiškai, bet tik tuo atveju, jei x yra tik vieno logaritmo argumente.
Tai viskas, ką reikia žinoti norint išspręsti paprasčiausias problemas. Vien ši taisyklė kartu su transformacijos taisyklėmis leis išspręsti labai plačią problemų klasę.
Bet būkime sąžiningi: norint pagaliau suprasti šią techniką ir išmokti taikyti kanoninę logaritminės lygties formą, neužtenka tik žiūrėti vieną vaizdo pamoką. Taigi atsisiųskite parinktis dabar savarankiškas sprendimas, kurie pridedami prie šios video pamokos ir pradėkite spręsti bent vieną iš šių dviejų savarankiškų darbų.
Tai užtruks tiesiog kelias minutes. Tačiau tokių mokymų poveikis bus daug didesnis nei tuo atveju, jei tiesiog žiūrėtumėte šią vaizdo pamoką.
Tikiuosi, kad ši pamoka padės suprasti logaritmines lygtis. Naudokite kanoninę formą, supaprastinkite išraiškas naudodamiesi darbo su logaritmais taisyklėmis - ir jūs nebijosite jokių problemų. Tai viskas, ką šiandien turiu.
Atsižvelgiant į apibrėžimo sritį
Dabar pakalbėkime apie logaritminės funkcijos apibrėžimo sritį ir kaip tai veikia logaritminių lygčių sprendimą. Apsvarstykite formos konstrukciją
log a f (x) = b
Tokia išraiška vadinama paprasčiausia – joje yra tik viena funkcija, o skaičiai a ir b yra tik skaičiai, ir jokiu būdu ne funkcija, kuri priklauso nuo kintamojo x. Tai galima išspręsti labai paprastai. Jums tereikia naudoti formulę:
b = log a a b
Ši formulė yra viena iš pagrindinių logaritmo savybių, o pakeitę pradinę išraišką gauname:
log a f (x) = log a a b
f (x) = a b
Tai pažįstama formulė iš mokyklinių vadovėlių. Daugeliui studentų tikriausiai kils klausimas: kadangi pradinėje išraiškoje funkcija f (x) yra po žurnalo ženklu, jai taikomi šie apribojimai:
f(x) > 0
Šis apribojimas taikomas, nes neigiamų skaičių logaritmas neegzistuoja. Taigi, galbūt dėl šio apribojimo reikėtų pradėti tikrinti atsakymus? Galbūt juos reikia įterpti į šaltinį?
Ne, paprasčiausiose logaritminėse lygtyse papildomas tikrinimas nereikalingas. Ir todėl. Pažvelkite į mūsų galutinę formulę:
f (x) = a b
Faktas yra tas, kad skaičius a bet kuriuo atveju yra didesnis nei 0 - šį reikalavimą taip pat nustato logaritmas. Skaičius a yra pagrindas. Šiuo atveju skaičiui b netaikomi jokie apribojimai. Bet tai nesvarbu, nes kad ir kokia galia padidintume teigiamą skaičių, vis tiek gausime teigiamą skaičių išvestyje. Taigi reikalavimas f (x) > 0 tenkinamas automatiškai.
Tikrai verta patikrinti funkcijos domeną po žurnalo ženklu. Gali būti gana sudėtingų struktūrų, todėl sprendimo proceso metu tikrai turite jas stebėti. Pažiūrėkime.
Pirma užduotis:
Pirmas žingsnis: konvertuokite dešinėje esančią trupmeną. Mes gauname:
Atsikratome logaritmo ženklo ir gauname įprastą neracionalią lygtį:
Iš gautų šaknų mums tinka tik pirmoji, nuo antrosios mažiau nei nulis. Vienintelis atsakymas bus skaičius 9. Štai ir viskas, problema išspręsta. Nė vienas papildomų patikrinimų tai, kad raiška po logaritmo ženklu yra didesnė už 0, nebūtina, nes ji ne tik didesnė už 0, bet pagal lygties sąlygą lygi 2. Todėl reikalavimas „didesnis už nulį“ yra patenkinti automatiškai.
Pereikime prie antrosios užduoties:
Čia viskas taip pat. Perrašome konstrukciją, pakeisdami trigubą:
Atsikratome logaritmo ženklų ir gauname neracionalią lygtį:
Atsižvelgdami į apribojimus išlyginame abi puses ir gauname:
4 − 6x − x 2 = (x − 4) 2
4 − 6x − x 2 = x 2 + 8x + 16
x 2 + 8x + 16 −4 + 6x + x 2 = 0
2x 2 + 14x + 12 = 0 |:2
x 2 + 7x + 6 = 0
Gautą lygtį išsprendžiame per diskriminantą:
D = 49 - 24 = 25
x 1 = −1
x 2 = −6
Bet x = −6 mums netinka, nes jei šį skaičių pakeisime į savo nelygybę, gausime:
−6 + 4 = −2 < 0
Mūsų atveju reikalaujama, kad būtų daugiau nei 0 arba kaip paskutinė priemonė lygus. Bet x = −1 mums tinka:
−1 + 4 = 3 > 0
Vienintelis atsakymas mūsų atveju bus x = −1. Štai ir sprendimas. Grįžkime į pačią mūsų skaičiavimo pradžią.
Pagrindinė šios pamokos pamoka yra ta, kad jums nereikia tikrinti funkcijos apribojimų paprastose logaritminėse lygtyse. Nes sprendimo proceso metu visi apribojimai tenkinami automatiškai.
Tačiau tai jokiu būdu nereiškia, kad galite visiškai pamiršti apie patikrinimą. Darbo su logaritmine lygtimi procese ji gali virsti neracionalia, kuri turės savo apribojimus ir reikalavimus dešinei pusei, kurią šiandien matėme dviejuose skirtinguose pavyzdžiuose.
Nedvejodami spręskite tokias problemas ir būkite ypač atsargūs, jei ginče yra šaknis.
Logaritminės lygtys su skirtingais pagrindais
Toliau tiriame logaritmines lygtis ir apžvelgiame dar du gana įdomius metodus, kuriais madinga spręsti sudėtingesnes konstrukcijas. Tačiau pirmiausia prisiminkime, kaip išsprendžiamos paprasčiausios problemos:
log a f (x) = b
Šiame įraše a ir b yra skaičiai, o funkcijoje f (x) turi būti kintamasis x ir tik ten, tai yra, x turi būti tik argumente. Tokias logaritmines lygtis transformuosime naudodami kanoninę formą. Norėdami tai padaryti, atkreipkite dėmesį į tai
b = log a a b
Be to, a b yra būtent argumentas. Perrašykime šią išraišką taip:
log a f (x) = log a a b
Būtent to mes ir siekiame, kad būtų logaritmas, pagrįsti a kairėje ir dešinėje. Šiuo atveju galime, vaizdžiai tariant, perbraukti rąsto ženklus, o matematiniu požiūriu galime teigti, kad argumentus tiesiog tapatiname:
f (x) = a b
Dėl to gausime naują išraišką, kurią bus daug lengviau išspręsti. Taikykime šią taisyklę savo problemoms šiandien.
Taigi, pirmasis dizainas:
Pirmiausia atkreipiu dėmesį, kad dešinėje yra trupmena, kurios vardiklis yra log. Kai matote tokią išraišką, verta prisiminti nuostabią logaritmų savybę:
Išvertus į rusų kalbą, tai reiškia, kad bet kurį logaritmą galima pavaizduoti kaip dviejų logaritmų su bet kuria baze c koeficientą. Žinoma 0< с ≠ 1.
Taigi: ši formulė turi vieną nuostabų ypatingą atvejį, kai kintamasis c yra lygus kintamajam b. Šiuo atveju gauname tokią konstrukciją:
Būtent tokią konstrukciją matome iš ženklo dešinėje mūsų lygtyje. Pakeiskime šią konstrukciją log a b , gausime:
Kitaip tariant, palyginus su pradine užduotimi, mes sukeitėme argumentą ir logaritmo bazę. Vietoj to, mes turėjome pakeisti trupmeną.
Primename, kad bet koks laipsnis gali būti išvestas iš bazės pagal šią taisyklę:
Kitaip tariant, koeficientas k, kuris yra bazės laipsnis, išreiškiamas kaip atvirkštinė trupmena. Pateiksime ją kaip apverstą trupmeną:
Trupmeninio koeficiento negalima palikti priekyje, nes tokiu atveju šio žymėjimo negalėsime pavaizduoti kaip kanoninės formos (juk kanoninėje formoje prieš antrąjį logaritmą papildomo koeficiento nėra). Todėl kaip laipsnį prie argumento pridėkime trupmeną 1/4:
Dabar sulyginame argumentus, kurių pagrindai yra vienodi (o mūsų pagrindai iš tikrųjų yra tokie patys), ir rašome:
x + 5 = 1
x = −4
Tai viskas. Gavome atsakymą į pirmąją logaritminę lygtį. Atkreipkite dėmesį: pradinėje užduotyje kintamasis x rodomas tik viename žurnale ir jo argumente. Todėl nereikia tikrinti domeno, o mūsų skaičius x = −4 iš tikrųjų yra atsakymas.
Dabar pereikime prie antrosios išraiškos:
log 56 = log 2 log 2 7 – 3 log (x + 4)
Čia, be įprastų logaritmų, teks dirbti su log f (x). Kaip išspręsti tokią lygtį? Nepasiruošusiam mokiniui gali atrodyti, kad tai sunki užduotis, bet iš tikrųjų viską galima išspręsti elementariai.
Atidžiai pažvelkite į terminą lg 2 log 2 7. Ką apie tai galime pasakyti? Log ir lg pagrindai ir argumentai yra vienodi, ir tai turėtų suteikti tam tikrų idėjų. Dar kartą prisiminkime, kaip galios išimamos iš po logaritmo ženklo:
log a b n = nlog a b
Kitaip tariant, tai, kas argumente buvo b galia, tampa veiksniu prieš patį logą. Taikykime šią formulę išraiškai lg 2 log 2 7. Neišsigąskite lg 2 – tai dažniausiai pasitaikanti išraiška. Galite perrašyti taip:
Jam galioja visos taisyklės, taikomos bet kuriam kitam logaritmui. Visų pirma prie argumento laipsnio gali būti pridėtas veiksnys priešais. Užsirašykime:
Labai dažnai mokiniai šio veiksmo tiesiogiai nemato, nes nėra gerai įvesti vieną rąstą po kito ženklu. Tiesą sakant, tame nėra nieko nusikalstamo. Be to, gauname formulę, kurią lengva apskaičiuoti, jei atsimenate svarbią taisyklę:
Šią formulę galima laikyti ir apibrėžimu, ir viena iš jos savybių. Bet kokiu atveju, jei konvertuojate logaritminę lygtį, turėtumėte žinoti šią formulę taip, kaip žinotumėte bet kurio skaičiaus logaritmą.
Grįžkime prie savo užduoties. Perrašome atsižvelgdami į tai, kad pirmasis lygybės ženklo dešinėje esantis narys bus tiesiog lygus lg 7. Turime:
lg 56 = lg 7–3 lg (x + 4)
Perkelkime lg 7 į kairę, gausime:
lg 56 – lg 7 = –3 lg (x + 4)
Atimame kairėje esančias išraiškas, nes jų pagrindas yra tas pats:
lg (56/7) = –3 lg (x + 4)
Dabar atidžiau pažvelkime į gautą lygtį. Tai praktiškai kanoninė forma, tačiau dešinėje yra koeficientas −3. Pridėkime jį prie tinkamo lg argumento:
log 8 = log (x + 4) −3
Prieš mus yra kanoninė logaritminės lygties forma, todėl išbraukiame lg ženklus ir sulyginame argumentus:
(x + 4) –3 = 8
x + 4 = 0,5
Tai viskas! Išsprendėme antrąją logaritminę lygtį. Šiuo atveju papildomų patikrinimų nereikia, nes pradinėje užduotyje x buvo tik viename argumente.
Leiskite dar kartą išvardinti pagrindinius šios pamokos dalykus.
Pagrindinė formulė, kuri mokoma visose šio puslapio pamokose, skirtose logaritminėms lygtims spręsti, yra kanoninė forma. Ir neišsigąskite dėl to, kad daugumoje mokyklinių vadovėlių tokias problemas mokoma spręsti kitaip. Šis įrankis veikia labai efektyviai ir leidžia išspręsti daug platesnę užduočių grupę nei paprasčiausios, kurias mokėmės pačioje pamokos pradžioje.
Be to, norint išspręsti logaritmines lygtis, bus naudinga žinoti pagrindines savybes. Būtent:
- Perėjimo į vieną bazę formulė ir specialus atvejis, kai registruojame atvirkščiai (tai mums buvo labai naudinga atliekant pirmąją problemą);
- Logaritmo ženklo galių pridėjimo ir atėmimo formulė. Čia daugelis studentų įstringa ir nemato, kad paimtame ir įvestame laipsnyje gali būti log f (x). Nieko blogo tame. Vieną rąstą galime įvesti pagal kito ženklą ir tuo pačiu gerokai supaprastinti problemos sprendimą, ką ir pastebime antruoju atveju.
Baigdamas noriu pridurti, kad nebūtina tikrinti apibrėžimo srities kiekvienu iš šių atvejų, nes visur kintamasis x yra tik viename log ženkle, o tuo pačiu yra ir jo argumente. Dėl to visi taikymo srities reikalavimai įvykdomi automatiškai.
Problemos su kintamu pagrindu
Šiandien pažvelgsime į logaritmines lygtis, kurios daugeliui studentų atrodo nestandartinės, jei ne visiškai neišsprendžiamos. Kalbame apie išraiškas, pagrįstas ne skaičiais, o kintamaisiais ir net funkcijomis. Tokias konstrukcijas spręsime naudodami standartinę techniką, būtent per kanoninę formą.
Pirmiausia prisiminkime, kaip sprendžiamos paprasčiausios problemos, remiantis įprastais skaičiais. Taigi, vadinama paprasčiausia konstrukcija
log a f (x) = b
Norėdami išspręsti tokias problemas, galime naudoti šią formulę:
b = log a a b
Perrašome savo pradinę išraišką ir gauname:
log a f (x) = log a a b
Tada sulyginame argumentus, t.y. rašome:
f (x) = a b
Taip atsikratome rąsto ženklo ir išsprendžiame įprastą problemą. Šiuo atveju iš sprendinio gautos šaknys bus pradinės logaritminės lygties šaknys. Be to, įrašas, kai ir kairė, ir dešinė yra tame pačiame logaritme su ta pačia baze, tiksliai vadinamas kanonine forma. Būtent iki tokio rekordo mes stengsimės sumažinti šiandienos dizainą. Taigi, eime.
Pirma užduotis:
log x - 2 (2x 2 - 13x + 18) = 1
Pakeiskite 1 log x − 2 (x − 2) 1 . Laipsnis, kurį stebime argumente, iš tikrųjų yra skaičius b, esantis lygybės ženklo dešinėje. Taigi, perrašykime savo išraišką. Mes gauname:
log x - 2 (2x 2 - 13x + 18) = log x - 2 (x - 2)
Ką mes matome? Prieš mus yra kanoninė logaritminės lygties forma, todėl galime saugiai sulyginti argumentus. Mes gauname:
2x 2 - 13x + 18 = x - 2
Tačiau sprendimas tuo nesibaigia, nes ši lygtis nėra lygiavertė pradinei. Galų gale, gauta konstrukcija susideda iš funkcijų, kurios yra apibrėžtos visoje skaičių eilutėje, o mūsų pradiniai logaritmai yra apibrėžti ne visur ir ne visada.
Todėl apibrėžimo sritį turime užrašyti atskirai. Neskaidykime plaukų ir pirmiausia surašykime visus reikalavimus:
Pirma, kiekvieno logaritmo argumentas turi būti didesnis nei 0:
2x 2 − 13x + 18 > 0
x − 2 > 0
Antra, bazė turi būti ne tik didesnė nei 0, bet ir skirtis nuo 1:
x – 2 ≠ 1
Kaip rezultatas, mes gauname sistemą:
Tačiau neišsigąskite: apdorojant logaritmines lygtis tokia sistema gali būti gerokai supaprastinta.
Spręskite patys: viena vertus, iš mūsų reikalaujama, kad kvadratinė funkcija būtų didesnė už nulį, kita vertus, ši kvadratinė funkcija prilyginama tam tikrai tiesinei išraiškai, kuri taip pat reikalaujama, kad ji būtų didesnė už nulį.
Tokiu atveju, jei reikalaujame, kad x − 2 > 0, tai reikalavimas 2x 2 − 13x + 18 > 0 bus automatiškai įvykdytas, todėl nelygybę, kurioje yra kvadratinė funkcija. Taigi mūsų sistemoje esančių išraiškų skaičius bus sumažintas iki trijų.
Žinoma, su tokia pačia sėkme galėtume nubraukti tiesinę nelygybę, tai yra, nubraukti x − 2 > 0 ir reikalauti, kad 2x 2 − 13x + 18 > 0. Tačiau sutiksite, kad paprasčiausią tiesinę nelygybę išspręsti yra daug greičiau. ir paprastesnis, nei kvadratinis, net su sąlyga, kad išsprendę visą šią sistemą gausime tas pačias šaknis.
Apskritai, kai tik įmanoma, stenkitės optimizuoti skaičiavimus. O logaritminių lygčių atveju išbraukite sunkiausias nelygybes.
Perrašykime savo sistemą:
Čia yra trijų posakių sistema, iš kurių dvi iš tikrųjų jau nagrinėjome. Užrašykime atskirai kvadratinė lygtis ir išspręskime:
2x 2 − 14x + 20 = 0
x 2 − 7x + 10 = 0
Prieš mus yra sumažintas kvadratinis trinaris, todėl galime naudoti Vietos formules. Mes gauname:
(x - 5) (x - 2) = 0
x 1 = 5
x 2 = 2
Dabar grįžtame į savo sistemą ir nustatome, kad x = 2 mums netinka, nes reikalaujama, kad x būtų griežtai didesnis už 2.
Bet x = 5 mums puikiai tinka: skaičius 5 didesnis už 2, o tuo pačiu 5 nelygus 3. Todėl vienintelis šios sistemos sprendimas bus x = 5.
Štai viskas, problema išspręsta, įskaitant atsižvelgiant į ODZ. Pereikime prie antrosios lygties. Daugiau įdomių ir informatyvių skaičiavimų mūsų laukia čia:
Pirmas žingsnis: kaip ir praėjusį kartą, visą šį reikalą perkeliame į kanoninę formą. Norėdami tai padaryti, skaičių 9 galime parašyti taip:
Jūs neturite liesti pagrindo su šaknimi, bet geriau pakeisti argumentą. Pereikime nuo šaknies prie laipsnio su racionaliuoju rodikliu. Užsirašykime:
Leiskite neperrašyti visos mūsų didelės logaritminės lygties, o tiesiog iš karto sulyginti argumentus:
x 3 + 10x 2 + 31x + 30 = x 3 + 9x 2 + 27x + 27
x 2 + 4x + 3 = 0
Prieš mus yra naujai sumažintas kvadratinis trinaris, panaudokime Vietos formules ir parašykime:
(x + 3) (x + 1) = 0
x 1 = −3
x 2 = −1
Taigi, gavome šaknis, bet niekas negarantavo, kad jos atitiks pradinę logaritminę lygtį. Juk rąstų ženklai nustato papildomus apribojimus (čia turėjome užsirašyti sistemą, bet dėl visos struktūros gremėzdiškumo nusprendžiau apibrėžimo sritį skaičiuoti atskirai).
Visų pirma, atminkite, kad argumentai turi būti didesni nei 0, būtent:
Tai yra apibrėžimo apimties keliami reikalavimai.
Iš karto atkreipkime dėmesį, kad kadangi pirmąsias dvi sistemos išraiškas prilyginsime viena kitai, bet kurią iš jų galime išbraukti. Pirmąjį išbraukime, nes jis atrodo grėsmingesnis nei antrasis.
Be to, atkreipkite dėmesį, kad antrosios ir trečiosios nelygybės sprendiniai bus tos pačios aibės (kai kurių skaičių kubas yra didesnis už nulį, jei pats skaičius yra didesnis už nulį; panašiai ir su trečiojo laipsnio šaknimi - šios nelygybės yra visiškai analogiški, todėl galime jį išbraukti).
Tačiau su trečiąja nelygybe tai neveiks. Atsikratykime radikalaus ženklo kairėje, pakeldami abi dalis į kubą. Mes gauname:
Taigi gauname šiuos reikalavimus:
− 2 ≠ x > −3
Kuri iš mūsų šaknų: x 1 = −3 arba x 2 = −1 atitinka šiuos reikalavimus? Akivaizdu, kad tik x = −1, nes x = −3 netenkina pirmosios nelygybės (nes mūsų nelygybė yra griežta). Taigi, grįžtant prie uždavinio, gauname vieną šaknį: x = −1. Štai ir viskas, problema išspręsta.
Vėlgi, pagrindiniai šios užduoties punktai:
- Nedvejodami pritaikykite ir spręskite logaritmines lygtis naudodami kanoninę formą. Studentai, kurie daro tokį žymėjimą, užuot pereidami tiesiai nuo pradinės problemos prie tokios konstrukcijos kaip log a f (x) = b, daro daug mažiau klaidų nei tie, kurie kažkur skuba, praleidžiant tarpinius skaičiavimo veiksmus;
- Kai tik logaritme atsiranda kintamoji bazė, problema nustoja būti pati paprasčiausia. Todėl sprendžiant ją būtina atsižvelgti į apibrėžimo sritį: argumentai turi būti didesni už nulį, o pagrindai turi būti ne tik didesni už 0, bet ir nelygūs 1.
Galutiniai reikalavimai gali būti taikomi galutiniams atsakymams įvairiais būdais. Pavyzdžiui, galite išspręsti visą sistemą, kurioje yra visi apibrėžimo srities reikalavimai. Kita vertus, pirmiausia galite išspręsti pačią problemą, o tada prisiminti apibrėžimo sritį, atskirai ją parengti sistemos pavidalu ir pritaikyti gautoms šaknims.
Kurį metodą pasirinkti sprendžiant konkrečią logaritminę lygtį, priklauso nuo jūsų. Bet kokiu atveju atsakymas bus tas pats.
Įkeliama...