Įvadas
Straipsnyje yra matematinės formulės, todėl norėdami perskaityti, eikite į svetainę, kad jos būtų rodomos teisingai. Skaičius \(\pi\) turi turtinga istorija. Ši konstanta reiškia apskritimo perimetro ir jo skersmens santykį.
Moksle skaičius \(\pi \) naudojamas atliekant bet kokius skaičiavimus, susijusius su apskritimais. Pradedant nuo sodos skardinės tūrio, iki palydovų orbitų. Ir ne tik ratus. Iš tiesų, tiriant kreivąsias linijas, skaičius \(\pi \) padeda suprasti periodines ir svyruojančias sistemas. Pavyzdžiui, elektromagnetines bangas ir net muzika.
1706 m. britų mokslininko Williamo Joneso (1675–1749) knygoje „Naujas matematikos įvadas“ raidė pirmą kartą panaudota skaičiui 3.141592 žymėti... Graikų abėcėlė\(\pi\). Šis pavadinimas kilęs iš pradinės graikų kalbos žodžių περιϕερεια – apskritimas, periferija ir περιµετρoς – perimetras. Pavadinimas tapo visuotinai priimtas po Leonhardo Eulerio darbo 1737 m.
Geometrinis laikotarpis
Bet kurio apskritimo ilgio ir jo skersmens santykio pastovumas buvo pastebėtas jau seniai. Mesopotamijos gyventojai naudojo gana grubų skaičių \(\pi\). Kaip matyti iš senovės problemų, jie naudoja reikšmę \(\pi ≈ 3\) savo skaičiavimuose.
Tikslesnę \(\pi\) reikšmę naudojo senovės egiptiečiai. Londone ir Niujorke saugomi du senovės Egipto papiruso gabalai, kurie vadinami „Rindos papirusu“. Papirusą sudarė raštininkas Armesas kažkada 2000–1700 m. Kr. Armesas savo papiruse rašė, kad apskritimo, kurio spindulys \(r\), plotas yra lygus kvadrato plotui, kurio kraštinė lygi \(\frac(8)(9) \) apskritimo skersmuo \(\frac(8 )(9) \cdot 2r \), tai yra, \(\frac(256)(81) \cdot r^2 = \pi r^2 \). Taigi \(\pi = 3,16\).
Senovės graikų matematikas Archimedas (287–212 m. pr. Kr.) pirmasis apskritimo matavimo problemą pagrįsti moksliniais pagrindais. Jis gavo balą \(3\frac(10)(71)< \pi < 3\frac{1}{7}\), рассмотрев отношение периметров вписанного и описанного 96-угольника к диаметру окружности. Архимед выразил приближение числа \(\pi \) в виде дроби \(\frac{22}{7}\), которое до сих называется архимедовым числом.
Metodas yra gana paprastas, tačiau nesant paruoštų lentelių trigonometrinės funkcijos Bus reikalingas šaknų ištraukimas. Be to, aproksimacija suartėja į \(\pi \) labai lėtai: su kiekviena iteracija klaida sumažėja tik keturis kartus.
Analitinis laikotarpis
Nepaisant to, iki XVII amžiaus vidurio visi Europos mokslininkų bandymai apskaičiuoti skaičių \(\pi\) apsiribojo daugiakampio kraštinių padidinimu. Pavyzdžiui, olandų matematikas Ludolfas van Zeijlenas (1540-1610) apskaičiavo apytikslę skaičiaus \(\pi\) reikšmę 20 skaitmenų po kablelio tikslumu.
Jam apskaičiuoti prireikė 10 metų. Archimedo metodu padvigubinęs įbrėžtų ir apibrėžtų daugiakampių kraštinių skaičių, jis gavo \(60 \cdot 2^(29) \) – trikampį, kad apskaičiuotų \(\pi \) su 20 skaitmenų po kablelio.
Po jo mirties jo rankraščiuose buvo aptikta dar 15 tikslių skaičiaus \(\pi\) skaitmenų. Liudolfas paliko, kad jo rasti ženklai būtų iškalti ant jo antkapio. Jo garbei skaičius \(\pi\) kartais buvo vadinamas „Ludolfo skaičiumi“ arba „Ludolfo konstanta“.
Vienas pirmųjų metodą, kuris skiriasi nuo Archimedo metodo, buvo François Viète (1540–1603). Jis priėjo prie rezultato, kad apskritimas, kurio skersmuo lygus vienam, turi plotą:
\[\frac(1)(2 \sqrt(\frac(1)(2)) \cdot \sqrt(\frac(1)(2) + \frac(1)(2) \sqrt(\frac(1) )(2)) \cdot \sqrt(\frac(1)(2) + \frac(1)(2) \sqrt(\frac(1)(2) + \frac(1)(2) \sqrt ( \frac(1)(2) \cdots )))) \]
Kita vertus, sritis yra \(\frac(\pi)(4)\). Pakeitę ir supaprastinę išraišką, galime gauti tokią begalinę sandaugos formulę apytikslei \(\frac(\pi)(2)\ vertei apskaičiuoti:
\[\frac(\pi)(2) = \frac(2)(\sqrt(2)) \cdot \frac(2)(\sqrt(2 + \sqrt(2))) \cdot \frac(2) )(\sqrt(2+ \sqrt(2 + \sqrt(2)))) \cdots \]
Gauta formulė yra pirmoji tiksli skaičiaus \(\pi\) analitinė išraiška. Be šios formulės, Vietas, naudodamas Archimedo metodą, naudodamas įrašytus ir apibrėžtus daugiakampius, pradedant 6 kampu ir baigiant daugiakampiu su \(2^(16) \cdot 6 \) kraštinėmis, pateikė aproksimaciją. skaičiaus \(\pi \) su 9 su tinkamais ženklais.
Anglų matematikas Williamas Brounkeris (1620-1684), naudodamas tęstinę trupmeną, gavo sekančius rezultatus skaičiavimai \(\frac(\pi)(4)\):
\[\frac(4)(\pi) = 1 + \frac(1^2)(2 + \frac(3^2)(2 + \frac(5^2)(2 + \frac(7^2) ) )(2 + \frac(9^2)(2 + \frac(11^2)(2 + \ctaškai )))))) \]
Šis metodas apskaičiuojant skaičiaus \(\frac(4)(\pi)\) aproksimaciją reikia atlikti gana daug skaičiavimų, kad gautume net nedidelį aproksimaciją.
Vertės, gautos pakeitus, yra didesnės arba didesnės mažesnis skaičius\(\pi \), ir kiekvieną kartą ji artėja prie tikrosios vertės, tačiau norint gauti reikšmę 3.141592, reikės atlikti nemažai skaičiavimų.
Kitas anglų matematikas Johnas Machinas (1686–1751) 1706 m., norėdamas apskaičiuoti skaičių \(\pi\) su 100 skaitmenų po kablelio, panaudojo Leibnizo 1673 m. išvestą formulę ir pritaikė ją taip:
\[\frac(\pi)(4) = 4 arctg\frac(1)(5) – arctg\frac(1)(239) \]
Serija greitai susilieja ir su jos pagalba galite labai tiksliai apskaičiuoti skaičių \(\pi \). Tokio tipo formulės kompiuterių eroje buvo naudojamos keliems rekordams nustatyti.
XVII amžiuje prasidėjus kintamo masto matematikos periodui naujas etapas apskaičiuojant \(\pi\). Vokiečių matematikas Gottfriedas Wilhelmas Leibnicas (1646-1716) 1673 m. nustatė skaičiaus \(\pi\) išplėtimą, m. bendras vaizdas ją galima parašyti kaip tokią begalinę eilutę:
\[ \pi = 1 – 4(\frac(1)(3) + \frac(1)(5) – \frac(1)(7) + \frac(1)(9) – \frac(1) (11) + \cdots) \]
Serija gaunama pakeičiant x = 1 į \(arctg x = x – \frac(x^3)(3) + \frac(x^5)(5) – \frac(x^7)(7) + \frac (x^9) (9) – \cdots\)
Leonhardas Euleris plėtoja Leibnizo idėją savo darbuose apie serijų naudojimą arctan x skaičiuojant skaičių \(\pi\). 1738 m. parašytame traktate „De variis modis circuli quadraturam numeris proxime exprimendi“ (Apie įvairius apskritimo kvadratūros apytiksliais skaičiais išraiškos būdus) aptariami skaičiavimų tobulinimo būdai naudojant Leibnizo formulę.
Euleris rašo, kad arktangento eilutė suartės greičiau, jei argumentas bus lygus nuliui. \(x = 1\) eilučių konvergencija yra labai lėta: norint apskaičiuoti 100 skaitmenų tikslumu, reikia pridėti \(10^(50)\) eilutės narių. Galite paspartinti skaičiavimus sumažindami argumento reikšmę. Jei imsime \(x = \frac(\sqrt(3))(3)\), tada gausime seriją
\[ \frac(\pi)(6) = artctg\frac(\sqrt(3))(3) = \frac(\sqrt(3))(3)(1 – \frac(1)(3 \cdot 3) + \frac(1)(5 \cdot 3^2) – \frac(1)(7 \cdot 3^3) + \cdots) \]
Eulerio teigimu, jei paimsime 210 šios serijos terminų, gausime 100 teisingų skaičiaus skaitmenų. Gauta eilutė yra nepatogi, nes reikia žinoti gana tikslią neracionaliojo skaičiaus \(\sqrt(3)\) reikšmę. Euleris savo skaičiavimuose taip pat panaudojo arctangentų išplėtimą į arctangentų sumą mažesni argumentai :
\[kur x = n + \frac(n^2-1)(m-n), y = m + p, z = m + \frac(m^2+1)(p) \]
Ne visos \(\pi\) skaičiavimo formulės, kurias Euleris naudojo savo užrašų knygelėse, buvo paskelbtos. Skelbtuose straipsniuose ir užrašų knygelėse jis apsvarstė 3 skirtingas serijas arktangentui apskaičiuoti, taip pat pateikė daug teiginių apie sumuojamų terminų skaičių, reikalingą norint gauti apytikslę \(\pi\) reikšmę tam tikru tikslumu.
Vėlesniais metais skaičiaus \(\pi\) vertės patobulinimai vyko vis greičiau. Pavyzdžiui, 1794 metais Georgas Vega (1754-1802) jau nustatė 140 ženklų, iš kurių tik 136 pasirodė teisingi.
Skaičiavimo laikotarpis
XX amžius pasižymėjo visiškai nauju skaičiaus \(\pi\) skaičiavimo etapu. Indijos matematikas Srinivasa Ramanujan (1887-1920) atrado daug naujų \(\pi\) formulių. 1910 m. jis gavo formulę, kaip apskaičiuoti \(\pi\) per arctangento plėtimą Taylor serijoje:
\[\pi = \frac(9801)(2\sqrt(2) \sum\limits_(k=1)^(\infty) \frac((1103+26390k) \cdot (4k){(4\cdot99)^{4k} (k!)^2}} .\]!}
Kai k = 100, pasiekiamas 600 teisingų skaičiaus \(\pi\) skaitmenų tikslumas.
Kompiuterių atsiradimas leido žymiai padidinti gautų verčių tikslumą trumpą laiką. 1949 m., tik per 70 valandų, naudojant ENIAC, mokslininkų grupė, vadovaujama Johno von Neumanno (1903–1957), gavo 2037 skaitmenis po kablelio \(\pi\). 1987 m. Davidas ir Gregory Chudnovsky gavo formulę, pagal kurią jie sugebėjo nustatyti keletą rekordų apskaičiuodami \(\pi\):
\[\frac(1)(\pi) = \frac(1)(426880\sqrt(10005)) \sum\limits_(k=1)^(\infty) \frac((6k)!(13591409+545140134k) ))((3k)!(k!)^3(-640320)^(3k)).\]
Kiekvienas serijos narys pateikia 14 skaitmenų. 1989 metais gautas 1 011 196 691 skaitmuo po kablelio. Ši formulė puikiai tinka \(\pi \) skaičiavimui asmeniniuose kompiuteriuose. Įjungta Šis momentas broliai yra profesoriai Politechnikos institutas Niujorko universitetas.
Svarbus pastarojo meto įvykis buvo Simono Plouffo 1997 m. atrasta formulė. Tai leidžia išgauti bet kurį šešioliktainį skaičiaus \(\pi\) skaitmenį, neskaičiuojant ankstesnių. Formulė vadinama "Bailey-Borwain-Plouffe formule" straipsnio, kuriame formulė pirmą kartą buvo paskelbta, autorių garbei. Tai atrodo taip:
\[\pi = \sum\limits_(k=1)^(\infty) \frac(1)(16^k) (\frac(4)(8k+1) – \frac(2)(8k+4 ) – \frac(1)(8k+5) – \frac(1)(8k+6)) .\]
2006 m. Simonas, naudodamas PSLQ, sugalvojo keletą gražių \(\pi\) skaičiavimo formulių. Pavyzdžiui,
\[ \frac(\pi)(24) = \sum\limits_(n=1)^(\infty) \frac(1)(n) (\frac(3)(q^n – 1) – \frac (4)(q^(2n) -1) + \frac(1)(q^(4n) -1)), \]
\[ \frac(\pi^3)(180) = \sum\limits_(n=1)^(\infty) \frac(1)(n^3) (\frac(4)(q^(2n) – 1) – \frac(5)(q^(2n) -1) + \frac(1)(q^(4n) -1)), \]
kur \(q = e^(\pi)\). 2009 m. Japonijos mokslininkai, naudodami superkompiuterį T2K Tsukuba System, gavo skaičių \(\pi\) su 2 576 980 377 524 skaičiais po kablelio. Skaičiavimai truko 73 valandas 36 minutes. Kompiuteris buvo aprūpintas 640 keturių branduolių AMD Opteron procesorių, kurie per sekundę atliko 95 trilijonus operacijų.
Kitas pasiekimas skaičiuojant \(\pi\) priklauso prancūzų programuotojui Fabrice'ui Bellardui, kuris 2009 m. pabaigoje savo asmeniniame kompiuteryje, kuriame veikia „Fedora 10“, pasiekė rekordą, apskaičiavęs 2 699 999 990 000 skaičiaus \(\pi\) skaičių po kablelio. ). Per pastaruosius 14 metų tai pirmasis pasaulio rekordas, pasiektas nenaudojant superkompiuterio. Siekdamas didelio našumo, Fabrice'as panaudojo brolių Chudnovsky formulę. Iš viso skaičiavimas užtruko 131 dieną (103 skaičiavimų ir 13 rezultato tikrinimo dienų). Bellar pasiekimas parodė, kad tokiems skaičiavimams nereikia superkompiuterio.
Vos po šešių mėnesių Francois rekordą sumušė inžinieriai Alexanderis Yi ir dainininkas Kondo. 5 trilijonų skaitmenų po kablelio \(\pi\) rekordui pasiekti taip pat buvo naudojamas asmeninis kompiuteris, bet su įspūdingesnėmis charakteristikomis: du „Intel Xeon X5680“ procesoriai 3,33 GHz dažniu, 96 GB RAM, 38 TB disko atmintis ir Operacinė sistema Windows Server 2008 R2 Enterprise x64. Skaičiavimams Aleksandras ir Singeras naudojo brolių Chudnovskių formulę. Skaičiavimo procesas užtruko 90 dienų ir 22 TB vietos diske. 2011 m. jie pasiekė dar vieną rekordą, apskaičiavę 10 trilijonų skaičių po kablelio \(\pi\). Skaičiavimai buvo atlikti tame pačiame kompiuteryje, kuriame buvo užfiksuotas ankstesnis jų rekordas, ir iš viso užtruko 371 dieną. 2013 m. pabaigoje Aleksandras ir Singerou pagerino rekordą iki 12,1 trilijono skaičiaus \(\pi\), o tai jiems suskaičiuoti prireikė tik 94 dienų. Šis našumo pagerinimas pasiekiamas optimizuojant našumą programinė įranga, didinant procesoriaus branduolių skaičių ir žymiai pagerinant programinės įrangos atsparumą gedimams.
Dabartinis rekordas yra Alexanderio Yee ir dainininko Kondo rekordas, kuris yra 12,1 trilijono skaitmenų po kablelio \(\pi\).
Taigi, mes pažvelgėme į senovėje naudotus skaičiaus \(\pi\) apskaičiavimo metodus, analizės metodai, taip pat svarstė šiuolaikiniai metodai ir įrašai, skirti skaičiui \(\pi \) apskaičiuoti kompiuteriuose.
Šaltinių sąrašas
- Žukovas A.V. Visur paplitęs skaičius Pi - M.: Leidykla LKI, 2007 - 216 p.
- F.Rudio. Apie apskritimo kvadratūrą, taikant F. Rudio sudarytą numerio istoriją. / Rudio F. – M.: ONTI NKTP TSRS, 1936. – 235c.
- Arndt, J. Pi Unleashed / J. Arndt, C. Haenel. – Springeris, 2001. – 270p.
- Shukhmanas, E.V. Apytikslis Pi apskaičiavimas naudojant arctan x serijas paskelbtuose ir neskelbtuose Leonhardo Eulerio / E.V. Šukhmanas. – Mokslo ir technikos istorija, 2008 – Nr.4. – P. 2-17.
- Euler, L. De variis modis circuli quadraturam numeris proxime exprimendi/ Commentarii academiae scientiarum Petropolitanae. 1744 – T.9 – 222-236p.
- Shumikhin, S. Skaičius Pi. 4000 metų istorija / S. Shumikhin, A. Shumikhina. – M.: Eksmo, 2011. – 192 p.
- Borveinas, J.M. Ramanujanas ir skaičius Pi. / Borwein, J.M., Borwein P.B. Mokslo pasaulyje. 1988 – Nr.4. – 58-66 p.
- Aleksas Yee. Skaičių pasaulis. Prieigos režimas: numberworld.org
Patiko?
Pasakyk
Skaičiaus pi istorija
Parengta:
Borcovas Ilja, Sahakyanas Tsovakas
900igr.net
2 skaitmenys po kablelio:
510 skaitmenų po kablelio:
π ≈ 3,141 592 653 589 793 238 462 643 383 279 502 884 197 169 399 375 105 820 974 944 592 974 944 592 309 388 280 4 825 342 117 067 982 148 086 513 282 306 647 093 844 609 550 582 231 725 359 408 128 481 117 450 284 102 701 938 521 105 559 644 622 948 954 930 381 964 428 810 964 428 810 964 428 810 975 3648 675 3648 6935 783 165 271 201 909 145 648 566 923 460 348 610 454 326 648 213 393 607 260 249 141 273 724 587 006 606 315 588 174 881 520 920 962 829 254 091 715 364 367 892 590 367 892 590 367 892 590 367 892 590 360 016 3820 146 951 941 511 609 433 057 270 365 759 591 953 092 186 117 381 932 611 793 105 118 548 074 462 379 962 749 567 351 885 752 724 891 227 938 183 011 949 129 833 673 362…
Pirmąjį žingsnį tiriant skaičiaus π savybes padarė Archimedas. Savo esė „Apskritimo matavimas“ jis išvedė garsiąją nelygybę:
Tai reiškia, kad π yra intervale, kurio ilgis yra 1/497. Dešimtainėje skaičių sistemoje yra trys teisingi reikšmingi skaičiai: π = 3,14… Žinodamas taisyklingo šešiakampio perimetrą ir paeiliui padvigubindamas jo kraštinių skaičių, Archimedas apskaičiavo taisyklingo 96 kampo perimetrą, iš kurio išplaukia nelygybė. 96 kampų vizualiai mažai skiriasi nuo apskritimo ir yra geras jo apytikslis vaizdas.
Tame pačiame darbe, paeiliui padvigubindamas kvadrato kraštinių skaičių, Archimedas rado apskritimo ploto formulę S = π R 2. Vėliau jį papildė sferos ploto formulėmis S= 4π R 2 ir rutulio tūris V= 4/3π R 3.
Senovės kinų darbuose sutinkama daugiausia skirtingi vertinimai, iš kurių tiksliausias yra žinomas Kinijos numeris 355/113. Zu Chongzhi (V a.) netgi manė, kad ši reikšmė yra tiksli.
Ludolfas van Zeilenas (1536–1610)
dešimt metų sugaišo skaičiuodamas skaičių π su 20 skaitmenų po kablelio (šis rezultatas paskelbtas 1596 m.). Naudodamas Archimedo metodą, jis padvigubino n-gon, kur n=60·229. Savo rezultatus apibūdinęs esė „Ant rato“, Ludolfas baigė ją žodžiais: „Kas turi noro, tegul eina toliau“. Po jo mirties jo rankraščiuose buvo aptikta dar 15 tikslių skaičiaus π skaitmenų. Liudolfas paliko, kad jo rasti ženklai būtų iškalti ant jo antkapio. Jo garbei skaičius π kartais buvo vadinamas „Ludolfo skaičiumi“.
Atkreipkite dėmesį, kad apskritimo formulė ir trys Archimedo formulės (apskritimo plotui, rutulio plotui ir rutulio tūriui) nėra konstruktyvios - jose nėra skaičiaus apskaičiavimo metodo. π įtrauktas į šias formules. Jei apskritimo, apskritimo, rutulio ir rutulio formulėms taikysime integraliniame skaičiavime žinomus kūno kreivės ilgio, paviršiaus ploto ir tūrio nustatymo metodus, tai galime įrodyti, kad kiekvienoje iš šių formulių yra π pagal integralą:
Esami integralų skaičiavimo metodai leidžia tokiu būdu rasti π.
Yra daug žinomų formulių su skaičiumi π:
Francois Vietas:
Wallis formulė:
Eulerio tapatybė:
Integrinis sinusas:
Tačiau paslaptingo skaičiaus mįslė neįminta tol šiandien, nors tai vis dar kelia nerimą mokslininkams. Matematikos bandymai visiškai apskaičiuoti visą skaičių seką dažnai sukelia kurioziškų situacijų. Pavyzdžiui, Bruklino politechnikos universiteto matematikai Chudnovsky broliai specialiai šiam tikslui sukūrė itin greitą kompiuterį. Tačiau jiems nepavyko pasiekti rekordo – iki šiol rekordas priklauso japonų matematikui Yasumasa Kanadai, kuris sugebėjo apskaičiuoti 1,2 milijardo begalinės sekos skaičių.
- Kovo 14-ąją švenčiama neoficiali šventė „Pi diena“, kuri amerikietišku datos formatu (mėnuo/diena) rašoma kaip 3/14, kas atitinka apytikslę skaičiaus π reikšmę.
- Kita data, susijusi su skaičiumi π, yra liepos 22 d., kuri vadinama „Apytikslė Pi diena“, nes Europos datos formatu ši diena rašoma kaip 22/7, o šios trupmenos reikšmė yra apytikslė skaičiaus π reikšmė.
- Skaičiaus π ženklų įsiminimo pasaulio rekordas priklauso japonei Akirai Haraguchi. Jis įsiminė skaičių π iki 100 000 skaitmenų po kablelio. Įvardinti visą numerį jam prireikė beveik 16 valandų.
- Vokiečių karalius Frydrichas II taip susižavėjo šiuo skaičiumi, kad jam skyrė... visus Castel del Monte rūmus, kurių proporcijomis galima skaičiuoti Pi. Dabar stebuklingi rūmai yra saugomi UNESCO.
Tatjana Durimanova
Aš sukūriau Facebook puslapyje b tai pavadino „Kalba kaip gyvenimo filosofija“. Tiesą sakant, norėjau tai pavadinti „Užrašai iš beprotnamio“, nes kas kitas, išskyrus beprotnamį, yra mūsų šiuolaikinis gyvenimas? Ne, nekalbėsiu apie tai, kad visi kažkur bėga, neturi laiko ką nors veikti, vis kažko trūksta: laiko, pinigų ir pan. Kad mus užplūsta nesupratimo banga, kas vyksta aplinkui, kur link juda pasaulis...
Sukamės kaip voverės ratuke. Jaučiamės lyg bėgame užburtas ratas. Prarandame draugų ratą, atsiduriame užburtame rate... Skamba pažįstamai? Ir rytas-diena-vakaras-naktis, ir vėl ratu. Pavasaris-vasara-ruduo-žiema, ir vėl ratu.
Beje, kas gali tiksliai pasakyti, kuriuo metu rytas užleis vietą nakčiai, žiemai, pavasariui? Ar išvis įmanoma nubrėžti aiškią ribą tarp vištos ir kiaušinio ir ar juos galima atskirti? Galbūt būtų geriau pripažinti, kad kiaušinis yra potencialus viščiukas, o višta yra potencialus kiaušinis ir jų negalima atskirti. Kur aš baigiu ir prasideda mano problemos, mano vaikų, draugų ir tt problemos, kurios tampa mano vien dėl to, kad gyvename tame pačiame bute, name, mieste, pasaulyje? Ar Viešpats Dievas mums pasakė, kad Grinvičas turi nustatyti nulį valandų, kad mane vadintų Tatjana, o kėdę – kėdę? Kur baigiasi realusis (esminis) pasaulis ir prasideda mūsų sugalvotas pasaulis?
Žemė sukasi aplink savo ašį ir orbitoje (apskritimas, elipsė – koks skirtumas?). Galaktikos sukasi. Mokslininkai atrado torsioninius laukus, įrodančius, kad... „pagal Alberto Einšteino reliatyvumo teoriją pasaulis nėra sukonstruotas tiksliai taip [kaip mus mokė ir mokė mokykloje]), jame yra erdvės kreivumas, todėl dvi tiesios linijos, kurios yra lygiagrečios tam tikroje erdvės srityje, tam tikru jų ilgio segmentu gali susikirsti. Neseniai Einšteino prielaida apie erdvės kreivumą buvo patvirtinta eksperimentiškai“ (Aleksandras Babitskis).
Ir mes visi judame iš taško A į tašką B, manydami, kad jie yra tiesioje linijoje.
Ir kodėl tai mane, kalbininką, atvedė į fiziką, paklausite? Taip, nes viskas aplink mus ir mumyse yra fizika. Kalba yra fizika. Ar garsas nepriklauso fizikos sričiai? Dabar pasakykite man, kas yra balsis? Siūlau jums „mielą“ XXI amžiaus garsų apibrėžimą: „Mes tariame ir girdime garsus, rašome ir matome raides. Tariant balsinį garsą, oras nesusiduria su kliūtimis: [a], [o], [u], [i], [s], [e]. Tardamas priebalsį, oras susiduria su kliūtimi: lūpomis, dantimis, liežuviu. Priebalsis tariamas su balsu ir triukšmu arba tik su triukšmu.
Iš principo viskas teisinga. Galite tiesiog niūniuoti „balsio garsu“, neatverdami lūpų. Linkime sveikatos. Bet jei atveriate lūpas, išgirsite mums visiems pažįstamus garsus „a“, „e“, kurie skiriasi tik lūpų apvalinimo, tempimo ar sutraukimo į vamzdelį laipsniu. Ar sutinki? Tai kaip arbūzas, kurį galima pjaustyti griežinėliais, kubeliais, figūrėlėmis, bet jis vis tiek lieka arbūzas!!! O kuriuo momentu garsas „a“ virsta „o“? Ar yra aiški riba? Žinoma, balsių garso kokybei įtakos gali turėti liežuvio padėtis (nugaros garsai), nuleidus žandikaulį, vėlgi atitinkama liežuvio padėtis, bet tai vis tiek tas pats arbūzas, supjaustytas formomis.
Priebalsis yra kliūtis balsių garsui. Kaip galima sukurti tokį barjerą? Skaitykite aukščiau: lūpos, dantys, liežuvis. Kitaip tariant, kalbos įrankiai gana riboti, bet kokia kalbų gausa!!! (Kaip jums patinka 7 natos ir tokia muzikos gausa?)
Dabar pagalvokime apie tai: katė turi šį įrankių rinkinį, šuo, delfinas ir apskritai žuvis ir tt...
„Na, aš užsukau“, – sakai. Taip, aš čia! Ar nebuvo laikas, kai Žemė buvo laikoma blynu? Argi elektra neegzistuoja vien todėl, kad mes jos nematome ir negirdime? Jei įrodoma, kad vakuumo nėra, tada viskas yra, bet visa tai galima atskirti, vėlgi, priklausomai nuo įrankių, kuriuos naudojame objekto tyrinėjimui ir tyrinėjimui. Jai tobulėjant, sužinome vis daugiau naujų dalykų, kurių anksčiau net negalėjome įsivaizduoti.
Kalba yra minties formalizavimas. Kur mintis formalizuota? Ką mes žinome apie savo pasaulį, apie save? Mes ieškome kitų pasaulių, nežinodami savojo! Būtent čia ir yra problema!
Ką mes žinome apie kalbą, išskyrus tai, kad ji formalizuota garsais. Prašau įforminti – kummmmarama. Kas čia? Nieko, nes balsis gali „pernešti“ tik tam tikrą skaičių priebalsių, kaip ir aš su savo 50 kg svoriu negaliu pakelti 150 kg svorio. Fizika, žinai!
Dabar pažiūrėkime į erdvės kreivumą ir ratą, nuo kurio pradėjome. Tarkime, abejojame, kad kalba vystosi ne spirale (konteksto atžvilgiu), o tiesia linija, ir sakau, kad „mūsų didelis miestas yra pagrindinė gatvė, kuri kerta visą miestą, kurioje daug medžių ir vaikšto daug žmonių...“. Kvaila, sakyk, kur skyrybos ženklai? Kur yra kableliai ir taškai?
Bet kas yra skyrybos ženklai? Jie yra atskyrimo tarp vieno sakinio subjekto ir tarinio papildinio (su susijusiais apibrėžimais) ir kito sakinio pradžios ženklai. Dalyvis yra ne kas kita, kaip daugyba: kas praeina = praeina, o „praeina“ išplėtimas į „kas praeina“ jau yra dalijimas. Ir tai yra matematika! Nieko stebėtino. Pasaulis nedalomas. Tai yra vientisumas. Kalba taip pat yra vientisumas. Tiesiog laikas mums į viską pažvelgti naujai. Pabusk ir apsidair. Vaikų mokymas, o ne taisyklių, pavyzdžiui, „Yra atskira grupėžodžiai – predikatai (arba būsenos kategorija). Tai žodžiai, žymintys nedinaminę būseną ir veikiantys kaip pagrindinis vieno komponento narys (predikatas, predikatas). neasmeninis pasiūlymas. Mokslininkai vis dar neapsisprendė dėl valstybinės kategorijos žodžių statuso. Taigi žodis REIKIA kartu su kitais žodžiais (atsiprašau, medžioklė, laiko, laiko trūkumas ir pan.) yra įtrauktas į šią žodžių grupę“.
Ar supranti, apie ką tai? Aš ne! Kam tai parašyta? Tikriausiai studentams. Vargšai studentai! Jei net mokslininkai vis dar kažko nesuprato, kaip vaikai turėtų tai suprasti? Įdomu, ar mokytojai bent jau išmoko šį apibrėžimą mintinai?
Štai kodėl sukūriau savo „YouTube“ kanalą, kad ( žmonių kalba) kalbėti apie pagrindinį dalyką – apie kalbą.
Jeigu perskaičius visa tai (parašyta, beje, paskubomis) jums atrodo nesąmonė, neskubėkite man sakyti, kad aš nenormalus. Aš tai pavadinau užrašais iš beprotnamio. Jei tai jums atrodo nenormalu, vadinasi, gyvenate priešingame name. Aš nesiruošiu to apibrėžti. Gyvename pergalingos demokratijos ir... vertybių šalyje. Kiekvienas turi teisę į savo nuomonę.
Nuo tada, kai žmonės sugebėjo skaičiuoti ir pradėjo tyrinėti abstrakčių objektų, vadinamų skaičiais, savybes, smalsių protų kartos padarė įdomių atradimų. Didėjant mūsų žinioms apie skaičius, kai kurie iš jų patraukė Ypatingas dėmesys, o kai kuriems netgi buvo suteikta mistinė reikšmė. Buvo, kuris reiškia nieką ir kurį padauginus iš bet kurio skaičiaus, atsiduoda. Buvo visko pradžia, turėjusi ir retų savybių, pirminių skaičių. Tada jie atrado, kad yra skaičių, kurie nėra sveikieji skaičiai, bet kartais gaunami padalijus du sveikuosius skaičius – racionalius skaičius. Neracionalūs skaičiai, kurio negalima gauti kaip sveikųjų skaičių santykio ir kt. Bet jei yra skaičius, kuris sužavėjo ir privertė parašyti daug rašymo, tai yra (pi). Skaičius, kuris, nepaisant ilgos istorijos, nebuvo vadinamas taip, kaip mes vadiname šiandien, iki XVIII a.
Pradėti
Skaičius pi gaunamas padalijus apskritimo perimetrą iš jo skersmens. Šiuo atveju apskritimo dydis nėra svarbus. Didelis ar mažas, ilgio ir skersmens santykis yra toks pat. Nors tikėtina, kad ši savybė buvo žinoma anksčiau, ankstyviausias šių žinių įrodymas yra 1850 m. pr. Kr. Maskvos matematinis papirusas. ir Ahmeso papirusas 1650 m. pr. Kr. (nors tai yra senesnio dokumento kopija). Jame yra didelis skaičius matematines problemas, kai kuriose iš jų ji prilygsta , kuri šiek tiek daugiau nei 0,6\% skiriasi nuo tiksli vertė. Maždaug tuo metu babiloniečiai laikė lygiais. IN Senas testamentas, parašyta praėjus daugiau nei dešimčiai šimtmečių, Jahvė neapsunkina gyvenimo ir Dievo įsakymu nustato, kas yra lygiai lygi.
Tačiau didieji šio skaičiaus tyrinėtojai buvo senovės graikai, tokie kaip Anaksagoras, Hipokratas iš Chijo ir Atėnų Antifonas. Anksčiau vertė buvo beveik neabejotinai nustatyta eksperimentiniais matavimais. Archimedas pirmasis suprato, kaip teoriškai įvertinti jo reikšmę. Apribotų ir įbrėžtų daugiakampių naudojimas (didesnis apibrėžiamas aplink apskritimą, kuriame įbrėžtas mažesnis) leido nustatyti, kas yra didesnis ir mažesnis. Naudodami Archimedo metodą, kiti matematikai gavo geresnius aproksimacijas ir jau 480 m. Zu Chongzhi nustatė, kad reikšmės buvo tarp ir . Tačiau daugiakampio metodas reikalauja daug skaičiavimų (atminkite, kad viskas buvo atlikta rankiniu būdu, o ne viduje moderni sistema skaičiavimas), todėl jis neturėjo ateities.
Atstovavimas
Reikėjo palaukti iki XVII amžiaus, kai apskaičiavimo revoliucija įvyko atradus begalinę seriją, nors pirmasis rezultatas nebuvo artimas, tai buvo produktas. Begalinės eilutės yra begalinio skaičiaus terminų, sudarančių tam tikrą seką, sumos (pavyzdžiui, visi formos skaičiai, kur reikšmės yra nuo begalybės). Daugeliu atvejų suma yra baigtinė ir ją galima rasti įvairių metodų. Pasirodo, kai kurios iš šių eilučių susilieja arba su tam tikru kiekiu, susijusiu su . Norint, kad eilutė suartėtų, būtina (bet ne pakankamai), kad sumuojami kiekiai augant būtų lygūs nuliui. Taigi, nei daugiau skaičių pridedame, tuo tiksliau gauname vertę. Dabar turime dvi galimybes gauti tikslesnę vertę. Arba pridėkite daugiau skaičių arba suraskite kitą seką, kuri greičiau susilieja, kad galėtumėte pridėti mažiau skaičių.
Dėl šio naujo požiūrio skaičiavimo tikslumas labai padidėjo, o 1873 m. William Shanks paskelbė daugelio metų darbo rezultatą, nurodydamas 707 skaitmenų po kablelio skaičių. Laimei, jis gyveno tik 1945 m., kai buvo nustatyta, kad jis suklydo ir visi skaičiai, pradedant , buvo neteisingi. Tačiau jo požiūris buvo tiksliausias prieš kompiuterių atsiradimą. Tai buvo priešpaskutinė kompiuterių revoliucija. Matematinės operacijos, kurias atlikti rankiniu būdu užtruktų kelias minutes, dabar atliekamos per sekundės dalis, praktiškai be klaidų. Johnas Wrenchas ir L. R. Smithas pirmą kartą per 70 valandų sugebėjo apskaičiuoti 2000 skaitmenų elektroninis kompiuteris. Milijonų skaitmenų barjeras buvo pasiektas 1973 m.
Naujausias (šiuo metu) skaičiavimo pažanga yra iteracinių algoritmų, kurie suartėja į greitesnes nei begalines eilutes, atradimas, todėl galima pasiekti daug daugiau. didelis tikslumas su ta pačia skaičiavimo galia. Dabartinis rekordas yra šiek tiek daugiau nei 10 trilijonų teisingų skaitmenų. Kam taip tiksliai skaičiuoti? Atsižvelgiant į tai, kad žinodami 39 šio skaičiaus skaitmenis, galite apskaičiuoti garsumą žinoma visata iki atominio tikslumo, nieko... dar.
Kai kurie Įdomūs faktai
Tačiau vertės apskaičiavimas yra tik maža dalis jo istorijos. Šis skaičius turi savybių, dėl kurių ši konstanta yra tokia įdomi.
Bene didžiausia problema, susijusi su , yra garsusis apskritimo problemos kvadratavimas, kvadrato, kurio plotas lygus tam tikro apskritimo plotui, sukūrimo, naudojant kompasą ir liniuotę, problema. Apskritimo kvadratas kankino matematikų kartas dvidešimt keturis šimtmečius, kol von Lindemannas įrodė, kad tai yra transcendentinis skaičius (tai nėra jokios daugianario lygties su racionaliais koeficientais sprendimas) ir todėl neįmanoma suvokti begalybės. Iki 1761 m. nebuvo įrodyta, kad skaičius yra neracionalus, tai yra, kad nėra dviejų natūraliuosius skaičius ir tie, kurie. Transcendencija nebuvo įrodyta iki 1882 m., tačiau dar nėra žinoma, ar skaičiai arba (dar vienas neracionalus transcendentinis skaičius) yra neracionalūs. Atsiranda daug santykių, nesusijusių su ratais. Tai yra normalizavimo faktoriaus dalis normali funkcija, matyt, plačiausiai naudojamas statistikoje. Kaip minėta anksčiau, skaičius pasirodo kaip daugelio eilučių suma ir yra lygus begaliniams sandaugoms, jis taip pat svarbus tiriant kompleksinius skaičius. Fizikoje jį galima rasti (priklausomai nuo naudojamų vienetų sistemos) kosmologinėje konstantoje (didžiausia Alberto Einšteino klaida) arba konstantoje. magnetinis laukas. Skaičių sistemoje su bet kokiu pagrindu (dešimtainiu, dvejetainiu...) skaičiai išlaiko visus atsitiktinumo testus, nėra stebimos tvarkos ar sekos. Riemann zeta funkcija glaudžiai susieja skaičių su pirminiais skaičiais. Šis skaičius turi ilgą istoriją ir tikriausiai vis dar turi daug netikėtumų.
Žinoma, vienas paslaptingiausių žmonijai žinomų skaičių yra skaičius Π (skaitykite pi). Algebroje šis skaičius atspindi apskritimo perimetro ir jo skersmens santykį. Anksčiau šis kiekis buvo vadinamas Ludolfo skaičiumi. Kaip ir iš kur atsirado skaičius Pi, tiksliai nežinoma, tačiau matematikai visą skaičiaus Π istoriją skirsto į 3 etapus: senovės, klasikinį ir skaitmeninių kompiuterių erą.
Skaičius P yra neracionalus, tai yra, jis negali būti pavaizduotas kaip paprasta trupmena, kur skaitiklis ir vardiklis yra sveikieji skaičiai. Todėl toks skaičius neturi pabaigos ir yra periodiškas. P neracionalumą pirmą kartą įrodė I. Lambertas 1761 m.
Be šios savybės, skaičius P taip pat negali būti jokio daugianario šaknis, todėl skaičiaus savybė, įrodyta 1882 m., užbaigė beveik šventą matematikų ginčą „dėl apskritimo kvadrato“, kuris tęsėsi. 2500 metų.
Yra žinoma, kad britas Džounsas pirmasis įvedė šį skaičių 1706 m. Pasirodžius Eulerio darbams, šio žymėjimo naudojimas tapo visuotinai priimtas.
Norint išsamiai suprasti, kas yra skaičius Pi, reikia pasakyti, kad jo naudojimas yra toks plačiai paplitęs, kad sunku net įvardyti mokslo sritį, kuri apsieitų be jo. Vienas iš paprasčiausių ir žinomiausių mokyklos mokymo programa reikšmės yra geometrinio laikotarpio žymėjimas. Apskritimo ilgio ir jo skersmens ilgio santykis yra pastovus ir lygus 3,14. Šią reikšmę žinojo patys seniausi Indijos, Graikijos, Babilono ir Egipto matematikai. Dauguma ankstyva versija santykio skaičiavimai datuojami 1900 m. pr. Kr. e. Arčiau šiuolaikinė prasmė P apskaičiavo kinų mokslininkas Liu Hui, be to, jis išrado ir greitas būdas toks skaičiavimas. Jo vertė išliko visuotinai priimta beveik 900 metų.
Klasikinis matematikos vystymosi laikotarpis pasižymėjo tuo, kad norėdami tiksliai nustatyti, kas yra skaičius Pi, mokslininkai pradėjo naudoti matematinės analizės metodus. 1400-aisiais Indijos matematikas Madhava naudojo eilučių teoriją, kad apskaičiuotų ir nustatytų P periodą 11 ženklų po kablelio tikslumu. Pirmasis europietis po Archimedo, kuris ištyrė skaičių P ir svariai prisidėjo prie jo pagrindimo, buvo olandas Ludolfas van Zeilenas, kuris jau nustatė 15 skaitmenų po kablelio ir testamente parašė labai linksmus žodžius: „. .. kam įdomu, tegul eina toliau“. Būtent šio mokslininko garbei skaičius P gavo pirmąjį ir vienintelį vardą istorijoje.
Kompiuterinių skaičiavimų era atnešė naujų detalių į skaičiaus P esmės supratimą. Taigi, norint išsiaiškinti, kas yra skaičius Pi, jis pirmą kartą buvo panaudotas 1949 m. Skaičiavimo mašina ENIAC, kurio vienas kūrėjų buvo būsimasis šiuolaikinių kompiuterių teorijos „tėvas“, J. Pirmasis matavimas buvo atliktas 70 valandų ir davė 2037 skaitmenis po kablelio skaičiaus P laikotarpyje. pasiekė 1973 m. Be to, per šį laikotarpį buvo nustatytos kitos formulės, atspindinčios skaičių P. Taigi broliams Chudnovskiams pavyko rasti tokią, kuri leido apskaičiuoti 1 011 196 691 laikotarpio skaitmenį.
Apskritai reikia pažymėti, kad norint atsakyti į klausimą: „Kas yra Pi?“, daugelis tyrimų pradėjo panašėti į varžybas. Šiandien superkompiuteriai jau sprendžia klausimą, kas yra tikrasis skaičius Pi. su šiais tyrimais susiję įdomūs faktai persmelkia beveik visą matematikos istoriją.
Šiandien, pavyzdžiui, vyksta pasaulio čempionatas išmokant atmintinai skaičių P ir fiksuojami pasaulio rekordai, paskutinis priklauso kinui Liu Chao, kuris per kiek daugiau nei dieną įvardijo 67 890 simbolių. Pasaulyje netgi yra skaičiaus P šventė, kuri švenčiama kaip „Pi diena“.
2011 m. jau buvo nustatyta 10 trilijonų skaičiaus laikotarpio skaitmenų.
Įkeliama...