Menținerea confidențialității dvs. este importantă pentru noi. Din acest motiv, am dezvoltat o Politică de confidențialitate care descrie modul în care folosim și stocăm informațiile dumneavoastră. Vă rugăm să examinați practicile noastre de confidențialitate și să ne comunicați dacă aveți întrebări.
Colectarea și utilizarea informațiilor personale
Informațiile personale se referă la date care pot fi folosite pentru a identifica sau contacta o anumită persoană.
Vi se poate cere să furnizați informațiile dumneavoastră personale în orice moment când ne contactați.
Mai jos sunt câteva exemple de tipuri de informații personale pe care le putem colecta și cum putem folosi aceste informații.
Ce informații personale colectăm:
- Când trimiteți o solicitare pe site, este posibil să colectăm diverse informații, inclusiv numele, numărul de telefon, adresa dvs E-mail etc.
Cum folosim informațiile dumneavoastră personale:
- Colectat de noi Informații personale ne permite să vă contactăm și să vă informăm despre oferte unice, promoții și alte evenimente și evenimente viitoare.
- Din când în când, putem folosi informațiile dumneavoastră personale pentru a trimite notificări și comunicări importante.
- De asemenea, putem folosi informații personale în scopuri interne, cum ar fi efectuarea de audituri, analize de date și diverse cercetări pentru a îmbunătăți serviciile pe care le oferim și pentru a vă oferi recomandări cu privire la serviciile noastre.
- Dacă participați la o tragere la sorți, la un concurs sau la o promoție similară, este posibil să folosim informațiile pe care le furnizați pentru a administra astfel de programe.
Dezvăluirea informațiilor către terți
Nu dezvăluim informațiile primite de la dumneavoastră către terți.
Excepții:
- Daca este necesar - in conditiile legii, procedura judiciara, in proces, și/sau pe baza cererilor publice sau a solicitărilor de la agentii guvernamentale pe teritoriul Federației Ruse - dezvăluie informațiile tale personale. De asemenea, putem dezvălui informații despre dumneavoastră dacă stabilim că o astfel de dezvăluire este necesară sau adecvată pentru securitate, aplicarea legii sau alte scopuri de importanță publică.
- În cazul unei reorganizări, fuziuni sau vânzări, este posibil să transferăm informațiile personale pe care le colectăm terței părți succesoare aplicabile.
Protecția informațiilor personale
Luăm măsuri de precauție - inclusiv administrative, tehnice și fizice - pentru a vă proteja informațiile personale împotriva pierderii, furtului și utilizării greșite, precum și împotriva accesului, dezvăluirii, modificării și distrugerii neautorizate.
Respectarea vieții private la nivelul companiei
Pentru a ne asigura că informațiile dumneavoastră personale sunt în siguranță, comunicăm angajaților noștri standarde de confidențialitate și securitate și aplicăm strict practicile de confidențialitate.
În raport cu
se poate stabili sarcina de a găsi oricare dintre cele trei numere din celelalte două date. Dacă sunt date a și apoi N, se găsesc prin exponențiere. Dacă N și apoi a sunt date luând rădăcina gradului x (sau ridicând-o la putere). Acum luați în considerare cazul în care, având în vedere a și N, trebuie să găsim x.
Fie numărul N pozitiv: numărul a să fie pozitiv și nu egal cu unu: .
Definiție. Logaritmul numărului N față de baza a este exponentul la care trebuie ridicat a pentru a obține numărul N; logaritmul este notat cu
Astfel, în egalitatea (26.1) exponentul se găsește ca logaritmul lui N la baza a. Postări
au acelasi sens. Egalitatea (26.1) este uneori numită identitatea principală a teoriei logaritmilor; în realitate exprimă definiţia conceptului de logaritm. De această definiție Baza logaritmului a este întotdeauna pozitivă și diferită de unitate; numărul logaritmic N este pozitiv. Numerele negative și zero nu au logaritmi. Se poate dovedi că orice număr cu o bază dată are un logaritm bine definit. Prin urmare egalitatea presupune . Rețineți că condiția este esențială aici; în caz contrar, concluzia nu ar fi justificată, deoarece egalitatea este adevărată pentru orice valori ale lui x și y.
Exemplul 1. Găsiți
Soluţie. Pentru a obține un număr, trebuie să ridicați baza 2 la puterea Prin urmare.
Puteți face notițe atunci când rezolvați astfel de exemple în următoarea formă:
Exemplul 2. Găsiți .
Soluţie. Avem
În exemplele 1 și 2, am găsit cu ușurință logaritmul dorit reprezentând numărul logaritmului ca o putere a bazei cu un exponent rațional. ÎN caz general, de exemplu, pentru, etc., acest lucru nu se poate face, deoarece logaritmul are o valoare irațională. Să acordăm atenție unei probleme legate de această afirmație. În paragraful 12, am dat conceptul de posibilitatea de a determina orice putere reală a unui număr pozitiv dat. Acest lucru a fost necesar pentru introducerea logaritmilor, care, în general, pot fi numere iraționale.
Să ne uităm la câteva proprietăți ale logaritmilor.
Proprietatea 1. Dacă numărul și baza sunt egale, atunci logaritmul este egal cu unu și, invers, dacă logaritmul este egal cu unu, atunci numărul și baza sunt egale.
Dovada. Fie Prin definiția unui logaritm avem și de unde
Dimpotrivă, să fie Atunci prin definiție
Proprietatea 2. Logaritmul unu la orice bază este egal cu zero.
Dovada. Prin definiția unui logaritm (puterea zero a oricărei baze pozitive este egală cu unu, vezi (10.1)). De aici
Q.E.D.
Afirmația inversă este de asemenea adevărată: dacă , atunci N = 1. Într-adevăr, avem .
Înainte de a formula următoarea proprietate a logaritmilor, să fim de acord să spunem că două numere a și b se află de aceeași parte a celui de-al treilea număr c dacă ambele sunt mai mari decât c sau mai mici decât c. Dacă unul dintre aceste numere este mai mare decât c, iar celălalt este mai mic decât c, atunci vom spune că se află de-a lungul laturi diferite din sat
Proprietatea 3. Dacă numărul și baza se află pe aceeași parte a unuia, atunci logaritmul este pozitiv; Dacă numărul și baza se află pe laturile opuse ale unuia, atunci logaritmul este negativ.
Dovada proprietății 3 se bazează pe faptul că puterea lui a este mai mare decât unu dacă baza este mai mare decât unu și exponentul este pozitiv sau baza este mai mică decât unu și exponentul este negativ. O putere este mai mică decât unu dacă baza este mai mare decât unu și exponentul este negativ sau baza este mai mică decât unu și exponentul este pozitiv.
Există patru cazuri de luat în considerare:
Ne vom limita la analiza pe primul dintre ele, cititorul le va lua în considerare pe restul singur.
Fie atunci, în egalitate, exponentul nu poate fi nici negativ, nici egal cu zero, prin urmare, este pozitiv, adică așa cum trebuie demonstrat.
Exemplul 3. Aflați care dintre logaritmii de mai jos sunt pozitivi și care sunt negativi:
Rezolvare, a) deoarece numărul 15 și baza 12 sunt situate pe aceeași parte a unuia;
b) întrucât 1000 și 2 sunt situate pe o parte a unității; în acest caz, nu este important ca baza să fie mai mare decât numărul logaritmic;
c) deoarece 3.1 și 0.8 se află pe părți opuse ale unității;
G) ; De ce?
d) ; De ce?
Următoarele proprietăți 4-6 sunt adesea numite reguli de logaritmare: ele permit, cunoscând logaritmii unor numere, să se găsească logaritmii produsului lor, câtul și gradul fiecăruia dintre ele.
Proprietatea 4 (regula logaritmului produsului). Logaritmul produsului mai multor numere pozitive la o bază dată este egal cu suma logaritmilor acestor numere la aceeași bază.
Dovada. Fie numerele date pozitive.
Pentru logaritmul produsului lor, scriem egalitatea (26.1) care definește logaritmul:
De aici vom găsi
Comparând exponenții primei și ultimei expresii, obținem egalitatea necesară:
Rețineți că condiția este esențială; logaritmul produsului a doi numere negative are sens, dar în acest caz obținem
În general, dacă produsul mai multor factori este pozitiv, atunci logaritmul său este egal cu suma logaritmilor valorilor absolute ale acestor factori.
Proprietatea 5 (regula pentru luarea logaritmilor de coeficienti). Logaritmul unui coeficient de numere pozitive este egal cu diferența dintre logaritmii dividendului și divizorului, luați la aceeași bază. Dovada. Găsim în mod constant
Q.E.D.
Proprietatea 6 (regula logaritmului puterii). Logaritmul puterii oricărui număr pozitiv este egal cu logaritmul acelui număr înmulțit cu exponent.
Dovada. Să scriem din nou identitatea principală (26.1) pentru numărul:
Q.E.D.
Consecinţă. Logaritmul unei rădăcini a unui număr pozitiv este egal cu logaritmul radicalului împărțit la exponentul rădăcinii:
Valabilitatea acestui corolar poate fi dovedită imaginând cum și folosind proprietatea 6.
Exemplul 4. Luați logaritmul la baza a:
a) (se presupune că toate valorile b, c, d, e sunt pozitive);
b) (se presupune că ).
Soluție, a) Este convenabil să trecem la puteri fracționale în această expresie:
Pe baza egalităților (26.5)-(26.7), putem scrie acum:
Observăm că asupra logaritmilor numerelor se efectuează operații mai simple decât asupra numerelor în sine: la înmulțirea numerelor se adună logaritmii acestora, la împărțire se scad etc.
De aceea, logaritmii sunt utilizați în practica de calcul (a se vedea paragraful 29).
Acțiunea inversă a logaritmului se numește potențare și anume: potențarea este acțiunea prin care numărul însuși este găsit dintr-un logaritm dat al unui număr. În esență, potențarea nu este o acțiune specială: se rezumă la ridicarea unei baze la o putere (egală cu logaritmul unui număr). Termenul de „potenciare” poate fi considerat sinonim cu termenul de „exponentiare”.
La potențare, trebuie să folosiți regulile inverse regulilor de logaritmare: înlocuiți suma logaritmilor cu logaritmul produsului, diferența de logaritmi cu logaritmul coeficientului etc. În special, dacă există un factor în față a semnului logaritmului, apoi în timpul potențarii acesta trebuie transferat la gradele exponente sub semnul logaritmului.
Exemplul 5. Aflați N dacă se știe că
Soluţie. În legătură cu regula de potențare tocmai enunțată, vom transfera factorii 2/3 și 1/3 care stau în fața semnelor logaritmilor din partea dreaptă a acestei egalități în exponenți sub semnele acestor logaritmi; primim
Acum înlocuim diferența de logaritmi cu logaritmul coeficientului:
pentru a obține ultima fracție din acest lanț de egalități, am eliberat fracția anterioară de iraționalitatea la numitor (clauza 25).
Proprietatea 7. Dacă baza este mai mare decât unu, atunci număr mai mare are un logaritm mai mare (și un număr mai mic are unul mai mic), dacă baza este mai mică de unu, atunci un număr mai mare are un logaritm mai mic (și un număr mai mic are unul mai mare).
Această proprietate este, de asemenea, formulată ca o regulă pentru luarea logaritmilor inegalităților, ale căror ambele părți sunt pozitive:
La logaritmizarea inegalităților la o bază mai mare decât unu, semnul inegalității este păstrat, iar la logaritmizarea la o bază mai mică de unu, semnul inegalității se schimbă la opus (a se vedea și paragraful 80).
Demonstrarea se bazează pe proprietățile 5 și 3. Luați în considerare cazul în care Dacă , atunci și, luând logaritmi, obținem
(a și N/M se află pe aceeași parte a unității). De aici
Urmează cazul a, cititorul își va da seama singur.
Accentul acestui articol este logaritm. Aici vom da definiția logaritmului, arată desemnare acceptată, vom da exemple de logaritmi și vom vorbi despre logaritmi naturali și zecimali. După aceea, să ne uităm la principal identitate logaritmică.
Navigare în pagină.
Definiţia logarithm
Conceptul de logaritm apare atunci când rezolvați o problemă într-un anumit sens invers, când trebuie să găsiți un exponent în valoare cunoscută grad și bază cunoscută.
Dar destule prefațe, este timpul să răspundem la întrebarea „ce este un logaritm”? Să dăm definiția corespunzătoare.
Definiție.
Logaritmul lui b la baza a, unde a>0, a≠1 și b>0 este exponentul la care trebuie să creșteți numărul a pentru a obține b ca rezultat.
În această etapă, observăm că cuvântul rostit „logaritm” ar trebui să ridice imediat două întrebări ulterioare: „ce număr” și „pe ce bază”. Cu alte cuvinte, pur și simplu nu există logaritm, ci doar logaritmul unui număr la o anumită bază.
Să intrăm imediat notație logaritmică: logaritmul unui număr b la baza a este de obicei notat ca log a b. Logaritmul unui număr b în baza e și logaritmul în baza 10 au propriile denumiri speciale lnb și, respectiv, logb, adică nu scriu log e b, ci lnb și nu log 10 b, ci lgb.
Acum putem da: .
Și înregistrările 
nu au sens, deoarece în primul dintre ele există un număr negativ sub semnul logaritmului, în al doilea există un număr negativ în bază, iar în al treilea există un număr negativ sub semnul logaritmului și o unitate în baza.
Acum să vorbim despre reguli de citire a logaritmilor. Log a b este citit ca „logaritmul lui b la baza a”. De exemplu, log 2 3 este logaritmul de trei la baza 2 și este logaritmul de două virgulă două treimi la baza 2 Rădăcină pătrată din cinci. Se numește logaritmul la baza e logaritmul natural, iar notația lnb citește „logaritmul natural al lui b”. De exemplu, ln7 este logaritmul natural al lui șapte și îl vom citi ca logaritmul natural al lui pi. Logaritmul de bază 10 are, de asemenea, un nume special - logaritm zecimal, iar lgb este citit ca „logaritm zecimal al lui b”. De exemplu, lg1 este logaritmul zecimal de unu, iar lg2.75 este logaritmul zecimal de două virgulă șapte cinci sutimi.
Merită să ne oprim separat asupra condițiilor a>0, a≠1 și b>0, în care este dată definiția logaritmului. Să explicăm de unde provin aceste restricții. O egalitate de formă numită , care decurge direct din definiția logaritmului dată mai sus, ne va ajuta să facem acest lucru.
Să începem cu a≠1. Deoarece unu la orice putere este egal cu unu, egalitatea poate fi adevărată numai când b=1, dar log 1 1 poate fi orice număr real. Pentru a evita această ambiguitate, se presupune a≠1.
Să justificăm oportunitatea condiției a>0. Cu a=0, prin definiția unui logaritm, am avea egalitate, care este posibilă doar cu b=0. Dar atunci log 0 0 poate fi orice număr real diferit de zero, deoarece de la zero la orice putere diferită de zero este zero. Condiția a≠0 ne permite să evităm această ambiguitate. Și când a<0 нам бы пришлось отказаться от рассмотрения рациональных и иррациональных значений логарифма, так как степень с рациональным и иррациональным показателем определена лишь для неотрицательных оснований. Поэтому и принимается условие a>0 .
În sfârșit, din inegalitatea a>0 rezultă condiția b>0, deoarece , iar valoarea unei puteri cu o bază pozitivă a este întotdeauna pozitivă.
Pentru a încheia acest punct, să presupunem că definiția declarată a logaritmului vă permite să indicați imediat valoarea logaritmului atunci când numărul de sub semnul logaritmului este o anumită putere a bazei. Într-adevăr, definiția unui logaritm ne permite să afirmăm că dacă b=a p, atunci logaritmul numărului b la baza a este egal cu p. Adică, logul de egalitate a a p =p este adevărat. De exemplu, știm că 2 3 =8, atunci log 2 8=3. Vom vorbi mai multe despre asta în articol.
Definiţia logarithm
Logaritmul lui b la baza a este exponentul la care trebuie ridicat a pentru a obține b.
Numărul eîn matematică se obişnuieşte să se desemneze limita la care se străduieşte o expresie
Numărul e este număr irațional - un număr incomensurabil cu unul, nu poate fi exprimat cu acuratețe nici ca număr întreg, nici ca fracție raţional număr.
Scrisoare e- prima literă a unui cuvânt latin exponere- a se arăta, de unde și numele în matematică exponenţială- functie exponentiala.
Număr e utilizat pe scară largă în matematică și în toate științele care într-un fel sau altul folosesc calcule matematice pentru nevoile lor.
Logaritmi. Proprietățile logaritmilor
Definiție: Logaritmul unui număr pozitiv b față de baza sa este exponentul c la care trebuie ridicat numărul a pentru a obține numărul b.
Identitatea logaritmică de bază:
7) Formula pentru mutarea la o nouă bază:
lna = log e a, e ≈ 2,718…
Probleme și teste pe tema „Logaritmi. Proprietățile logaritmilor"
- Logaritmi - Subiecte importante pentru revizuirea Examenului de stat unificat la matematică
Pentru a finaliza cu succes sarcinile pe această temă, trebuie să cunoașteți definiția unui logaritm, proprietățile logaritmilor, identitatea logaritmică de bază, definițiile logaritmilor zecimal și naturali. Principalele tipuri de probleme pe această temă sunt problemele care implică calculul și transformarea expresiilor logaritmice. Să luăm în considerare soluția lor folosind următoarele exemple.
Soluţie: Folosind proprietățile logaritmilor, obținem
Soluţie: Folosind proprietățile gradelor, obținem
1) (2 2) log 2 5 =(2 log 2 5) 2 =5 2 =25
Proprietăți ale logaritmilor, formulărilor și demonstrațiilor.
Logaritmii au o serie de proprietăți caracteristice. În acest articol ne vom uita la principalele proprietățile logaritmilor. Aici vom oferi formulările lor, vom nota proprietățile logaritmilor sub formă de formule, vom arăta exemple de aplicare a acestora și, de asemenea, vom oferi dovezi ale proprietăților logaritmilor.
Navigare în pagină.
Proprietățile de bază ale logaritmilor, formulelor
Pentru ușurință de memorare și utilizare, să ne imaginăm proprietățile de bază ale logaritmilor sub forma unei liste de formule. În paragraful următor vom oferi formulările acestora, dovezile, exemplele de utilizare și explicațiile necesare.
și proprietatea logaritmului produsului a n numere pozitive: log a (x 1 · x 2 ·…·x n)= log a x 1 +log a x 2 +…+log a x n , a>0 , a≠1 , x 1 >0, x 2 >0, …, x n >0 .
, unde a>0, a≠1, x>0, y>0.
, unde a>0, a≠1, n – numar natural, mai mare de unu, b>0.
, a>0, a≠1, b>0, b≠1.
, a>0 , a≠1 , b>0 , p și q sunt numere reale, q≠0 , în special pentru b=a avem 
.Formulări și dovezi de proprietăți
Se trece la formularea și demonstrarea proprietăților scrise ale logaritmilor. Toate proprietățile logaritmilor sunt dovedite pe baza definiției logaritmului și a identității logaritmice de bază care decurge din acesta, precum și pe proprietățile gradului.
Sa incepem cu proprietățile logaritmului unu. Formularea sa este următoarea: logaritmul unității este egal cu zero, adică log a 1=0 pentru orice a>0, a≠1. Demonstrarea nu este dificilă: întrucât a 0 = 1 pentru orice a care îndeplinește condițiile de mai sus a>0 și a≠1, atunci egalitatea log a 1=0 de demonstrat rezultă imediat din definiția logaritmului.
Să dăm exemple de aplicare a proprietății considerate: log 3 1=0, log1=0 și .
Să trecem la la următoarea proprietate: logaritmul unui număr egal cu baza este egal cu unu, acesta este, log a a=1 pentru a>0, a≠1. Într-adevăr, deoarece a 1 =a pentru orice a, atunci prin definiția logaritmului log a a=1.
Exemple de utilizare a acestei proprietăți a logaritmilor sunt egalitățile log 5 5=1, log 5.6 5.6 și lne=1.
Logaritmul unei puteri a unui număr egal cu baza logaritmului este egal cu exponentul. Această proprietate a logaritmului corespunde unei formule de formă log a a p =p, unde a>0, a≠1 și p – orice număr real. Această proprietate decurge direct din definiția logaritmului. Rețineți că vă permite să indicați imediat valoarea logaritmului, dacă este posibil să reprezentați numărul de sub semnul logaritmului ca putere a bazei; vom vorbi mai multe despre acest lucru în articolul Calcularea logaritmilor.
De exemplu, log 2 2 7 =7, log10 -4 =-4 și 
.
Logaritmul produsului a două numere pozitive x și y este egal cu produsul logaritmilor acestor numere: log a (x y)=log a x+log a y, a>0, a≠1. Să demonstrăm proprietatea logaritmului unui produs. Datorită proprietăților gradului a log a x+log a y =a log a x ·a log a y, și deoarece prin identitatea logaritmică principală un log a x =x și un log a y =y, atunci un log a x ·a log a y =x· y. Astfel, un log a x+log a y =x·y, din care, prin definirea unui logaritm, rezultă egalitatea care se dovedește.
Să arătăm exemple de utilizare a proprietății logaritmului unui produs: log 5 (2 3)=log 5 2+log 5 3 și 
.
Proprietatea logaritmului unui produs poate fi generalizată la produsul unui număr finit n de numere pozitive x 1 , x 2 , …, x n ca log a (x 1 · x 2 ·…·x n)= log a x 1 +log a x 2 +…+log a x n. Această egalitate poate fi dovedită fără probleme folosind metoda inducției matematice.
De exemplu, logaritmul natural al produsului poate fi înlocuit cu suma a trei logaritmi naturali ai numerelor 4, e și.
Logaritmul câtului a două numere pozitive x și y este egal cu diferența dintre logaritmii acestor numere. Proprietatea logaritmului unui coeficient corespunde unei formule de forma , unde a>0, a≠1, x și y sunt niște numere pozitive. Valabilitatea acestei formule este dovedită la fel ca și formula pentru logaritmul unui produs: întrucât 
, apoi prin definiția logaritmului .
Iată un exemplu de utilizare a acestei proprietăți a logaritmului: 
.
Să trecem la proprietatea logaritmului puterii. Logaritmul unui grad este egal cu produsul exponentului și logaritmul modulului bazei acestui grad. Să scriem această proprietate a logaritmului unei puteri ca formulă: log a b p =p·log a |b|, unde a>0, a≠1, b și p sunt numere astfel încât gradul b p are sens și b p >0.
Mai întâi demonstrăm această proprietate pentru pozitivul b. Identitatea logaritmică de bază ne permite să reprezentăm numărul b ca un log a b , apoi b p =(a log a b) p , iar expresia rezultată, datorită proprietății puterii, este egală cu a p·log a b . Ajungem deci la egalitatea b p =a p·log a b, din care, prin definiția unui logaritm, concluzionăm că log a b p =p·log a b.
Rămâne de demonstrat această proprietate pentru negativul b. Aici observăm că expresia log a b p pentru negativ b are sens doar pentru exponenții pari p (deoarece valoarea gradului b p trebuie să fie mai mare decât zero, altfel logaritmul nu va avea sens), iar în acest caz b p =|b| p. Atunci b p =|b| p =(a log a |b|) p =a p·log a |b| , de unde log a b p =p·log a |b| .
De exemplu, 
și ln(-3) 4 =4·ln|-3|=4·ln3 .
Rezultă din proprietatea anterioară proprietatea logaritmului de la rădăcină: logaritmul rădăcinii a n-a este egal cu produsul fracției 1/n cu logaritmul expresiei radicalului, adică unde a>0, a≠1, n este un număr natural mai mare decât unu, b>0 .
Dovada se bazează pe egalitatea (vezi definiția exponentului cu un exponent fracționar), care este valabilă pentru orice b pozitiv și proprietatea logaritmului exponentului: 
.
Iată un exemplu de utilizare a acestei proprietăți: 
.
Acum să demonstrăm formula pentru trecerea la o nouă bază logaritmică drăguț 
. Pentru a face acest lucru, este suficient să demonstrăm validitatea egalității log c b=log a b·log c a. Identitatea logaritmică de bază ne permite să reprezentăm numărul b ca log a b , apoi log c b=log c a log a b . Rămâne să folosim proprietatea logaritmului gradului: log c a log a b =log a b·log c a . Aceasta dovedește egalitatea log c b=log a b·log c a, ceea ce înseamnă că este dovedită și formula pentru tranziția la o nouă bază a logaritmului .
Să arătăm câteva exemple de utilizare a acestei proprietăți a logaritmilor: și 
.
Formula pentru trecerea la o nouă bază vă permite să treceți la lucrul cu logaritmi care au o bază „convenabilă”. De exemplu, poate fi folosit pentru a trece la logaritmi naturali sau zecimali, astfel încât să puteți calcula valoarea unui logaritm dintr-un tabel de logaritmi. Formula de trecere la o nouă bază logaritmică permite, în unele cazuri, să se găsească valoarea unui logaritm dat atunci când sunt cunoscute valorile unor logaritmi cu alte baze.
Folosit frecvent caz special formule de trecere la o nouă bază a logaritmului cu c=b de formă. Aceasta arată că log a b și log b a sunt numere reciproc inverse. De exemplu, 
.
Formula este de asemenea folosită adesea, ceea ce este convenabil pentru găsirea valorilor logaritmilor. Pentru a confirma cuvintele noastre, vom arăta cum poate fi folosit pentru a calcula valoarea unui logaritm de forma . Avem 
. Pentru a demonstra formula, este suficient să folosiți formula pentru a trece la o nouă bază a logaritmului a: 
.
Rămâne de demonstrat proprietățile comparației logaritmilor.
Să folosim metoda opusă. Să presupunem că pentru a 1 >1, a 2 >1 și a 1 2 și pentru 0 1, log a 1 b≤log a 2 b este adevărat. Pe baza proprietăților logaritmilor, aceste inegalități pot fi rescrise ca 
Și 
respectiv, iar din ele rezultă că log b a 1 ≤log b a 2 și, respectiv, log b a 1 ≥log b a 2. Atunci, după proprietățile puterilor cu aceleași baze, trebuie să fie valabile egalitățile b log b a 1 ≥b log b a 2 și b log b a 1 ≥b log b a 2, adică a 1 ≥a 2 . Deci am ajuns la o contradicție cu condiția a 1 2. Aceasta completează dovada.
Proprietățile de bază ale logaritmilor
- Materiale pentru lecție
- Descărcați toate formulele
- log a x n = n · log a x ;
Logaritmii, ca orice numere, pot fi adunați, scăzuți și transformați în orice fel. Dar, deoarece logaritmii nu sunt chiar numere obișnuite, există reguli aici, care sunt numite proprietăți principale.
Cu siguranță trebuie să cunoașteți aceste reguli - fără ele nu poate fi rezolvată nicio problemă logaritmică serioasă. În plus, sunt foarte puține dintre ele - puteți învăța totul într-o singură zi. Asadar, haideti sa începem.
Adunarea și scăderea logaritmilor
Luați în considerare doi logaritmi cu aceleași baze: log a x și log a y. Apoi pot fi adăugate și scăzute și:
Deci, suma logaritmilor este egală cu logaritmul produsului, iar diferența este egală cu logaritmul coeficientului. Vă rugăm să rețineți: punctul cheie aici este temeiuri identice. Dacă motivele sunt diferite, aceste reguli nu funcționează!
Aceste formule vă vor ajuta să calculați o expresie logaritmică chiar și atunci când părțile sale individuale nu sunt luate în considerare (vezi lecția „Ce este un logaritm”). Aruncă o privire la exemple și vezi:
Sarcină. Găsiți valoarea expresiei: log 6 4 + log 6 9.
Deoarece logaritmii au aceleași baze, folosim formula sumei:
log 6 4 + log 6 9 = log 6 (4 9) = log 6 36 = 2.
Sarcină. Aflați valoarea expresiei: log 2 48 − log 2 3.
Bazele sunt aceleași, folosim formula diferenței:
log 2 48 − log 2 3 = log 2 (48: 3) = log 2 16 = 4.
Sarcină. Aflați valoarea expresiei: log 3 135 − log 3 5.
Din nou bazele sunt aceleași, deci avem:
log 3 135 − log 3 5 = log 3 (135: 5) = log 3 27 = 3.
După cum puteți vedea, expresiile originale sunt formate din logaritmi „răi”, care nu sunt calculate separat. Dar după transformări se dovedesc destul de bine numere normale. Multe sunt construite pe acest fapt hârtii de test. Da, expresii asemănătoare testelor sunt oferite cu toată seriozitatea (uneori practic fără modificări) la examenul de stat unificat.
Extragerea exponentului din logaritm
Acum să complicăm puțin sarcina. Ce se întâmplă dacă baza sau argumentul unui logaritm este o putere? Apoi, exponentul acestui grad poate fi scos din semnul logaritmului conform următoarelor reguli:
Este ușor de observat că ultima regulă le urmează pe primele două. Dar este mai bine să-l amintiți oricum - în unele cazuri va reduce semnificativ cantitatea de calcule.
Desigur, toate aceste reguli au sens dacă se respectă ODZ al logaritmului: a > 0, a ≠ 1, x > 0. Și încă ceva: învață să aplici toate formulele nu numai de la stânga la dreapta, ci și invers. , adică Puteți introduce numerele înainte de semnul logaritmului în logaritmul însuși. Acesta este ceea ce se cere cel mai adesea.
Sarcină. Aflați valoarea expresiei: log 7 49 6 .
Să scăpăm de gradul din argument folosind prima formulă:
log 7 49 6 = 6 log 7 49 = 6 2 = 12
Sarcină. Găsiți sensul expresiei:
[Letină pentru imagine]
Rețineți că numitorul conține un logaritm, a cărui bază și argument sunt puteri exacte: 16 = 2 4 ; 49 = 7 2. Avem:
[Letină pentru imagine]
Cred că ultimul exemplu necesită unele clarificări. Unde s-au dus logaritmii? Până în ultimul moment lucrăm doar cu numitorul. Am prezentat baza și argumentul logaritmului aflat acolo sub formă de puteri și am scos exponenții - am obținut o fracțiune „cu trei etaje”.
Acum să ne uităm la fracția principală. Numătorul și numitorul conțin același număr: log 2 7. Deoarece log 2 7 ≠ 0, putem reduce fracția - 2/4 va rămâne în numitor. Conform regulilor aritmeticii, cele patru pot fi transferate la numărător, ceea ce s-a făcut. Rezultatul a fost răspunsul: 2.
Trecerea la o nouă fundație
Vorbind despre regulile de adunare și scădere a logaritmilor, am subliniat în mod special că funcționează doar cu aceleași baze. Ce se întâmplă dacă motivele sunt diferite? Ce se întâmplă dacă nu sunt puteri exacte de același număr?
Formulele pentru tranziția către o nouă fundație vin în ajutor. Să le formulăm sub forma unei teoreme:
Fie dat logaritmul log a x. Atunci pentru orice număr c astfel încât c > 0 și c ≠ 1, egalitatea este adevărată:
[Letină pentru imagine]
În special, dacă setăm c = x, obținem:
[Letină pentru imagine]
Din a doua formulă rezultă că baza și argumentul logaritmului pot fi schimbate, dar în acest caz întreaga expresie este „întoarsă”, adică. logaritmul apare la numitor.
Aceste formule se găsesc rar în expresiile numerice obișnuite. Este posibil să se evalueze cât de convenabile sunt acestea numai atunci când se rezolvă ecuații și inegalități logaritmice.
Cu toate acestea, există probleme care nu pot fi rezolvate deloc decât prin trecerea la o nouă fundație. Să ne uităm la câteva dintre acestea:
Sarcină. Aflați valoarea expresiei: log 5 16 log 2 25.
Rețineți că argumentele ambilor logaritmi conțin puteri exacte. Să scoatem indicatorii: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; log 2 25 = log 2 5 2 = 2log 2 5;
Acum să „inversăm” al doilea logaritm:
[Letină pentru imagine]
Deoarece produsul nu se schimbă la rearanjarea factorilor, am înmulțit cu calm patru și doi, apoi ne-am ocupat de logaritmi.
Sarcină. Aflați valoarea expresiei: log 9 100 lg 3.
Baza și argumentul primului logaritm sunt puteri exacte. Să notăm asta și să scăpăm de indicatorii:
[Letină pentru imagine]
Acum să scăpăm de logaritmul zecimal trecând la o nouă bază:
[Letină pentru imagine]
Identitatea logaritmică de bază
Adesea, în procesul de rezolvare, este necesar să se reprezinte un număr ca logaritm la o bază dată. În acest caz, următoarele formule ne vor ajuta:
- n = log a a n
-
În primul caz, numărul n devine exponent în argument. Numărul n poate fi absolut orice, deoarece este doar o valoare logaritmică.
A doua formulă este de fapt o definiție parafrazată. Așa se numește: identitatea logaritmică de bază.
De fapt, ce se întâmplă dacă numărul b este ridicat la o astfel de putere încât numărul b la această putere dă numărul a? Așa este: rezultatul este același număr a. Citiți din nou acest paragraf cu atenție - mulți oameni rămân blocați în el.
Asemenea formulelor pentru trecerea la o nouă bază, identitatea logaritmică de bază este uneori singura soluție posibilă.
[Letină pentru imagine]
Rețineți că log 25 64 = log 5 8 - pur și simplu am luat pătratul de la baza și argumentul logaritmului. Luând în considerare regulile de înmulțire a puterilor cu aceeași bază, obținem:
[Letină pentru imagine]
Dacă cineva nu știe, aceasta a fost o sarcină reală de la examenul de stat unificat :)
Unitate logaritmică și zero logaritmic
În concluzie, voi da două identități care cu greu pot fi numite proprietăți - mai degrabă, sunt consecințe ale definiției logaritmului. Apar constant în probleme și, în mod surprinzător, creează probleme chiar și pentru elevii „avansați”.
- log a a = 1 este o unitate logaritmică. Amintiți-vă odată pentru totdeauna: logaritmul oricărei baze a a acelei baze în sine este egal cu unu.
- log a 1 = 0 este zero logaritmic. Baza a poate fi orice, dar dacă argumentul conține unul, logaritmul este egal cu zero! Deoarece a 0 = 1 este o consecință directă a definiției.
Sunt toate proprietățile. Asigurați-vă că exersați punerea lor în practică! Descărcați fișa cheat la începutul lecției, imprimați-o și rezolvați problemele.
Logaritm. Proprietățile logaritmului (adunare și scădere).
Proprietățile logaritmului rezultă din definiția sa. Și astfel logaritmul numărului b bazat pe A este definit ca exponentul la care trebuie ridicat un numar A pentru a obține numărul b(logaritmul există doar pentru numerele pozitive).
Din această formulare rezultă că calculul x=log a b, este echivalent cu rezolvarea ecuației a x =b. De exemplu, log 2 8 = 3 deoarece 8 = 2 3 . Formularea logaritmului face posibilă justificarea că dacă b=a c, apoi logaritmul numărului b bazat pe A egală Cu. De asemenea, este clar că tema logaritmilor este strâns legată de subiectul puterilor.
Cu logaritmi, ca și cu orice numere, poți face operații de adunare, scădereși se transformă în toate modurile posibile. Dar datorită faptului că logaritmii nu sunt numere în întregime obișnuite, aici se aplică propriile reguli speciale, care sunt numite proprietăți principale.
Adunarea și scăderea logaritmilor.
Să luăm doi logaritmi cu aceleași baze: log un xȘi log a y. Apoi se pot efectua operații de adunare și scădere:
După cum vedem, suma logaritmilor este egal cu logaritmul produsului și diferență logaritmi- logaritmul coeficientului. Mai mult, acest lucru este adevărat dacă numerele A, XȘi la pozitivă și a ≠ 1.
Este important de menționat că aspectul principal în aceste formule sunt aceleași baze. Dacă motivele sunt diferite, aceste reguli nu se aplică!
Regulile de adunare și scădere a logaritmilor cu aceleași baze sunt citite nu numai de la stânga la dreapta, ci și invers. Ca rezultat, avem teoremele pentru logaritmul produsului și logaritmul coeficientului.
Logaritmul produsului două numere pozitive este egală cu suma logaritmilor lor ; reformulând această teoremă obținem următoarele dacă numerele A, XȘi la pozitivă și a ≠ 1, Acea:
Logaritmul coeficientului două numere pozitive este egală cu diferența dintre logaritmii dividendului și divizorului. Altfel spus, dacă numerele A, XȘi la pozitivă și a ≠ 1, Acea:
Să aplicăm teoremele de mai sus pentru a le rezolva exemple:
Dacă numerele XȘi la sunt negative, atunci formula logaritmului produsului devine lipsit de sens. Astfel, este interzis să scrieți:
deoarece expresiile log 2 (-8) și log 2 (-4) nu sunt deloc definite (funcția logaritmică la= jurnalul 2 X definit numai pentru valorile argumentului pozitiv X).
Teorema produsului aplicabil nu numai pentru doi, ci și pentru un număr nelimitat de factori. Aceasta înseamnă că pentru fiecare natural kși orice numere pozitive X 1 , X 2 , . . . ,x n exista o identitate:
Din teorema coeficientului de logaritm Mai poate fi obținută o proprietate a logaritmului. Este cunoscut faptul că log A 1= 0, prin urmare
Aceasta înseamnă că există o egalitate:
Logaritmi a două numere reciproce din același motiv vor diferi unul de celălalt numai prin semn. Asa de:
Logaritm. Proprietățile logaritmilor
Logaritm. Proprietățile logaritmilor
Să luăm în considerare egalitatea. Anunțați-ne valorile și și vrem să aflăm valoarea lui.
Adică căutăm exponentul prin care trebuie să-l coborăm pentru a obține .
Lăsa
o variabilă poate lua orice valoare reală, atunci variabilelor li se impun următoarele restricții: o" title="a>o"/> , 1″ title=»a1″/>, 0″ title=»b>0″ />Dacă cunoaștem valorile lui și și ne confruntăm cu sarcina de a găsi necunoscutul, atunci în acest scop introducem operatie matematica Care e numit logaritm.
Pentru a găsi valoarea pe care o luăm logaritmul unui număr De bază :
Logaritmul unui număr la baza sa este exponentul la care trebuie ridicat pentru a obține .
Acesta este identitate logaritmică de bază:
o» title=»a>o»/> , 1″ title=»a1″/>, 0″ title=»b>0″/>
este în esență o notație matematică definiții ale logaritmului.
Operația matematică a logaritmului este inversa operației de exponențiere, deci proprietățile logaritmilor sunt strâns legate de proprietățile gradului.
Să enumeram principalele proprietățile logaritmilor:
(o" title="a>o"/> , 1″ title=»a1″/>, 0″ title=»b>0″/>, 0,
d>0″/>, 1″ title="d1″/>
4.
5.
Următorul grup de proprietăți vă permite să reprezentați exponentul unei expresii sub semnul logaritmului sau stând la baza logaritmului sub forma unui coeficient în fața semnului logaritmului:
6.
7.
8.
9.
Următorul grup de formule vă permite să treceți de la un logaritm cu o bază dată la un logaritm cu o bază arbitrară și se numește formule de tranziție la o nouă bază:
10.
12. (corolarul din proprietatea 11)
Următoarele trei proprietăți nu sunt bine cunoscute, dar sunt adesea folosite la rezolvarea ecuațiilor logaritmice sau la simplificarea expresiilor care conțin logaritmi:
13.
14.
15.
Cazuri speciale:
— logaritm zecimal
— logaritmul naturalLa simplificarea expresiilor care conțin logaritmi, se folosește o abordare generală:
1. Prezentarea zecimale sub forma celor obisnuite.
2. Reprezentăm numere mixte ca fracții improprii.
3. Descompunem numerele de la baza logaritmului și sub semnul logaritmului în factori simpli.
4. Încercăm să reducem toți logaritmii la aceeași bază.
5. Aplicați proprietățile logaritmilor.
Să ne uităm la exemple de simplificare a expresiilor care conțin logaritmi.
Exemplul 1.
Calculati:
Să simplificăm toți exponenții: sarcina noastră este să îi reducem la logaritmi, a căror bază este același număr cu baza exponentului.
==(prin proprietatea 7)=(prin proprietatea 6) =
Să înlocuim indicatorii pe care i-am introdus în expresia originală. Primim:
Răspuns: 5.25
Exemplul 2. Calculați:
Să reducem toți logaritmii la baza 6 (în acest caz, logaritmii de la numitorul fracției vor „migra” la numărător):
Să descompunăm numerele de sub semnul logaritmului în factori simpli:
Să aplicăm proprietățile 4 și 6:
Să introducem înlocuitorul
Primim:
Raspunsul 1
Logaritm . Identitatea logaritmică de bază.
Proprietățile logaritmilor. Logaritm zecimal. Logaritmul natural.
Logaritm numărul pozitiv N la bază (b > 0, b 1) este exponentul x la care trebuie ridicat b pentru a obține N .
Această intrare este echivalentă cu următoarele: b x = N .
Exemple: log 3 81 = 4, deoarece 3 4 = 81;
log 1/3 27 = – 3, deoarece (1/3) - 3 = 3 3 = 27.
Definiția de mai sus a logaritmului poate fi scrisă ca o identitate:
Proprietățile de bază ale logaritmilor.
2) log 1 = 0, deoarece b 0 = 1 .
3) Logaritmul produsului este egal cu suma logaritmilor factorilor:
4) Logaritmul coeficientului este egal cu diferența dintre logaritmii dividendului și divizorului:
5) Logaritmul unei puteri este egal cu produsul dintre exponent și logaritmul bazei sale:
Consecința acestei proprietăți este următoarea: logaritmul rădăcinii egal cu logaritmul numărului radical împărțit la puterea rădăcinii:
6) Dacă baza logaritmului este un grad, atunci valoarea inversul exponentului poate fi scos ca o rimă log:
Ultimele două proprietăți pot fi combinate într-una singură:
7) Formula modulului de tranziție (adică tranziția de la o bază logaritmică la o altă bază):
În cazul special când N=a avem:
Logaritm zecimal numit logaritm de bază 10. Se notează lg, adică. jurnalul 10 N= jurnal N. Logaritmii numerelor 10, 100, 1000, . p sunt 1, 2, 3, respectiv …, adică au atât de multe pozitive
unități, câte zerouri sunt într-un număr logaritmic după unu. Logaritmii numerelor 0,1, 0,01, 0,001, . p sunt respectiv –1, –2, –3, …, adică. au atâtea negative câte zerouri sunt în numărul logaritmic înainte de unu (inclusiv numere întregi zero). Logaritmii altor numere au o parte fracționară numită mantisa. Toată parte se numeste logaritmul caracteristică. Pentru utilizare practică, logaritmii zecimali sunt cei mai convenabil.
Logaritmul natural numit logaritm de bază e. Este notat cu ln, i.e. Buturuga e N= jurnal N. Număr e este irațional, valoarea sa aproximativă este 2,718281828. Este limita la care tinde numărul (1 + 1 / n) n cu spor nelimitat n(cm. prima limită minunată pe pagina „Limite de succesiune numerică”).
Oricât de ciudat ar părea, logaritmii naturali s-au dovedit a fi foarte convenabil atunci când se efectuează diferite tipuri de operații legate de analiza funcțiilor. Calcularea logaritmilor la bază e realizat mult mai repede decât din orice alt motiv.
- De ce este nevoie astăzi pentru a adopta un copil în Rusia? Adopția în Rusia, pe lângă o decizie personală responsabilă, implică o serie de proceduri de verificare de stat a candidaților. Selecție grea pentru etapa pregătitoare contribuie la mai mult […]
- Informații gratuite despre TIN sau OGRN din registrul fiscal din toată Rusia - online Informații despre înregistrarea de stat pot fi obținute pe Portalul Serviciilor Fiscale Unificate entitati legale, antreprenori individuali, […]
- Pedeapsa pentru conducere fara acte ( permis de conducere, asigurare, STS) Uneori, din cauza uitării, șoferii se urcă la volan fără permis de conducere și primesc amendă pentru conducere fără acte. Să vă reamintim că pasionatul de mașini conduce cu el obligatoriu […]
- Flori pentru barbati. Ce flori poti da unui barbat? Ce flori poti da unui barbat? Nu sunt multe flori „masculin”, dar sunt unele care sunt date bărbaților. O mică listă de flori în fața ta: Crizanteme. Trandafiri. Garoafe. […]
- O notă este o formă specială de document care este utilizată în mediu intern intreprinderi si serveste pt solutie rapida probleme actuale de producție. De obicei, acest document este întocmit cu scopul de a introduce unele […]
- Când și cum să primiți partea finanțată a pensiei dvs. de la Sberbank? Sberbank este o bancă parteneră a fondului de pensii de stat. Pe baza acestui fapt, cetățenii care s-au înscris pentru o pensie finanțată ar putea transfera partea finanțată […]
- Alocații pentru copii în Ulyanovsk și regiunea Ulyanovsk în 2018 În plus, programele aprobate de legislația federală funcționează în toate regiunile. Să ne uităm la cine poate conta pe ce beneficii. Cum autoritățile regionale […]
- Ghid detaliat, modul de întocmire a unei împuterniciri de reprezentare a intereselor unei persoane în instanță Într-o cerere civilă sau arbitrală, într-o cauză administrativă sau penală, interesele atât ale reclamantului, cât și ale pârâtului pot fi reprezentate de un avocat: [… ]
Cu acest videoclip încep o serie lungă de lecții despre ecuații logaritmice. Acum aveți trei exemple în fața dvs., pe baza cărora vom învăța să rezolvăm cele mai simple probleme, care se numesc - protozoare.
log 0,5 (3x − 1) = −3
log (x + 3) = 3 + 2 log 5
Permiteți-mi să vă reamintesc că cea mai simplă ecuație logaritmică este următoarea:
log a f (x) = b
În acest caz, este important ca variabila x să fie prezentă doar în interiorul argumentului, adică doar în funcția f (x). Și numerele a și b sunt doar numere și în niciun caz nu sunt funcții care conțin variabila x.
Metode de bază de rezolvare
Există multe modalități de a rezolva astfel de structuri. De exemplu, majoritatea profesorilor de la școală oferă această metodă: Exprimați imediat funcția f (x) folosind formula f ( x) = a b . Adică atunci când întâlnești cea mai simplă construcție, imediat fără acțiuni suplimentareși construcții puteți trece la soluție.
Da, desigur, decizia va fi corectă. Cu toate acestea, problema cu această formulă este că majoritatea studenților Nu înțeleg, de unde vine și de ce ridicăm litera a la litera b.
Drept urmare, văd adesea greșeli foarte enervante când, de exemplu, aceste litere sunt schimbate. Această formulă trebuie fie înțeleasă, fie înghesuită, iar a doua metodă duce la greșeli în cele mai inoportune și cruciale momente: în timpul examenelor, testelor etc.
De aceea le sugerez tuturor elevilor mei să renunțe la formula școlară standard și să folosească a doua abordare pentru a rezolva ecuații logaritmice, care, după cum probabil ați ghicit din nume, se numește formă canonică.
Ideea formei canonice este simplă. Să ne uităm din nou la problema noastră: în stânga avem log a, iar prin litera a înțelegem un număr și în niciun caz o funcție care conține variabila x. În consecință, această scrisoare este supusă tuturor restricțiilor care sunt impuse pe baza logaritmului. și anume:
1 ≠ a > 0
Pe de altă parte, din aceeași ecuație vedem că logaritmul trebuie să fie egal cu numărul b și nu sunt impuse restricții asupra acestei litere, deoarece poate lua orice valoare - atât pozitivă, cât și negativă. Totul depinde de ce valori ia funcția f(x).
Și aici ne amintim minunata noastră regulă că orice număr b poate fi reprezentat ca un logaritm la baza a lui a la puterea lui b:
b = log a a b
Cum să-ți amintești această formulă? Da, foarte simplu. Să scriem următoarea construcție:
b = b 1 = b log a a
Desigur, în acest caz apar toate restricțiile pe care le-am notat la început. Acum să folosim proprietatea de bază a logaritmului și să introducem multiplicatorul b ca putere a lui a. Primim:
b = b 1 = b log a a = log a a b
Ca rezultat, ecuația inițială va fi rescrisă după cum urmează:
log a f (x) = log a a b → f (x) = a b
Asta e tot. Optiune noua nu mai conține un logaritm și poate fi rezolvat folosind tehnici algebrice standard.
Desigur, cineva va obiecta acum: de ce a fost necesar să se vină cu un fel de formulă canonică, de ce să se efectueze doi pași suplimentari inutile dacă a fost posibil să se treacă imediat de la designul original la formula finală? Da, fie doar pentru că majoritatea studenților nu înțeleg de unde vine această formulă și, ca urmare, greșesc în mod regulat atunci când o aplică.
Dar această secvență de acțiuni, constând din trei pași, vă permite să rezolvați ecuația logaritmică inițială, chiar dacă nu înțelegeți de unde vine formula finală. Apropo, această intrare se numește formula canonică:
log a f (x) = log a a b
Comoditatea formei canonice constă și în faptul că poate fi folosită pentru a rezolva o clasă foarte largă de ecuații logaritmice, și nu doar pe cele mai simple pe care le luăm în considerare astăzi.
Exemple de soluții
Acum să aruncăm o privire exemple reale. Deci, hai să decidem:
log 0,5 (3x − 1) = −3
Să-l rescriem astfel:
log 0,5 (3x − 1) = log 0,5 0,5 −3
Mulți studenți se grăbesc și încearcă să ridice imediat numărul 0,5 la puterea care ne-a venit din problema inițială. Într-adevăr, atunci când ești deja bine pregătit în rezolvarea unor astfel de probleme, poți face imediat acest pas.
Cu toate acestea, dacă acum abia începeți să studiați acest subiect, este mai bine să nu vă grăbiți nicăieri pentru a evita greșelile jignitoare. Deci, avem forma canonică. Avem:
3x − 1 = 0,5 −3
Aceasta nu mai este o ecuație logaritmică, ci liniară în raport cu variabila x. Pentru a o rezolva, să ne uităm mai întâi la numărul 0,5 la puterea lui -3. Rețineți că 0,5 este 1/2.
(1/2) −3 = (2/1) 3 = 8
Convertiți toate fracțiile zecimale în fracții comune atunci când rezolvați o ecuație logaritmică.
Rescriem și obținem:
3x − 1 = 8
3x = 9
x = 3
Asta e, am primit răspunsul. Prima problemă a fost rezolvată.
A doua sarcină
Să trecem la a doua sarcină:
După cum vedem, această ecuație nu mai este cea mai simplă. Numai pentru că există o diferență în stânga și nu un singur logaritm la o bază.
Prin urmare, trebuie să scăpăm cumva de această diferență. ÎN în acest caz, totul este foarte simplu. Să aruncăm o privire mai atentă la baze: în stânga este numărul de sub rădăcină:
Recomandare generală: în toate ecuațiile logaritmice, încercați să scăpați de radicali, adică de la intrările cu rădăcini și treceți la funcții de putere, pur și simplu pentru că exponenții acestor puteri sunt ușor scoși din semnul logaritmului și, în cele din urmă, astfel de o intrare simplifică și accelerează semnificativ calculele. Să o scriem astfel:
Acum să ne amintim de proprietatea remarcabilă a logaritmului: puterile pot fi derivate din argument, precum și din bază. În cazul motivelor, se întâmplă următoarele:
log a k b = 1/k loga b
Cu alte cuvinte, numărul care a fost în puterea de bază este adus înainte și în același timp inversat, adică devine un număr reciproc. În cazul nostru, gradul de bază a fost 1/2. Prin urmare, îl putem scoate ca 2/1. Primim:
5 2 log 5 x − log 5 x = 18
10 log 5 x − log 5 x = 18
Vă rugăm să rețineți: în niciun caz nu trebuie să scăpați de logaritmi la acest pas. Amintiți-vă matematica de clasa a 4-a-5 și ordinea operațiilor: se face mai întâi înmulțirea, și abia apoi adunarea și scăderea. În acest caz, scădem unul dintre aceleași elemente din 10 elemente:
9 log 5 x = 18
log 5 x = 2
Acum, ecuația noastră arată așa cum ar trebui. Aceasta este cea mai simplă construcție și o rezolvăm folosind forma canonică:
log 5 x = log 5 5 2
x = 5 2
x = 25
Asta e tot. A doua problemă a fost rezolvată.
Al treilea exemplu
Să trecem la a treia sarcină:
log (x + 3) = 3 + 2 log 5
Permiteți-mi să vă reamintesc următoarea formulă:
log b = log 10 b
Dacă dintr-un motiv oarecare sunteți confuz de notația log b , atunci când efectuați toate calculele puteți scrie pur și simplu log 10 b . Puteți lucra cu logaritmi zecimali în același mod ca și cu alții: luați puteri, adăugați și reprezentați orice numere sub forma lg 10.
Aceste proprietăți le vom folosi acum pentru a rezolva problema, deoarece nu este cea mai simplă pe care am notat-o chiar la începutul lecției noastre.
În primul rând, rețineți că factorul 2 în fața lg 5 poate fi adăugat și devine o putere a bazei 5. În plus, termenul liber 3 poate fi reprezentat și ca logaritm - acest lucru este foarte ușor de observat din notația noastră.
Judecă singur: orice număr poate fi reprezentat ca log la baza 10:
3 = log 10 10 3 = log 10 3
Să rescriem problema inițială ținând cont de modificările obținute:
log (x − 3) = log 1000 + log 25
log (x − 3) = log 1000 25
log (x − 3) = log 25.000
Avem din nou în fața noastră forma canonică și am obținut-o fără a trece prin etapa de transformare, adică cea mai simplă ecuație logaritmică nu a apărut nicăieri.
Exact despre asta am vorbit chiar la începutul lecției. Forma canonică vă permite să rezolvați o clasă mai largă de probleme decât formula școlară standard pe care o dau majoritatea profesorilor de școală.
Ei bine, asta este, scăpăm de semnul logaritmului zecimal și obținem o construcție liniară simplă:
x + 3 = 25.000
x = 24.997
Toate! Problema este rezolvată.
O notă despre domeniul de aplicare
Aici aș dori să fac o remarcă importantă cu privire la sfera definiției. Cu siguranță acum vor exista elevi și profesori care vor spune: „Când rezolvăm expresii cu logaritmi, trebuie să ne amintim că argumentul f (x) trebuie să fie mai mare decât zero!” În acest sens, se ridică o întrebare logică: de ce nu am cerut ca această inegalitate să fie satisfăcută în vreuna dintre problemele luate în considerare?
Nu vă faceți griji. În aceste cazuri, nu vor apărea rădăcini suplimentare. Și acesta este un alt truc grozav care vă permite să accelerați soluția. Doar să știți că dacă în problemă variabila x apare doar într-un singur loc (sau mai degrabă, într-un singur argument al unui singur logaritm), și nicăieri în cazul nostru nu apare variabila x, atunci scrieți domeniul de definiție nu este nevoie, deoarece va fi executat automat.
Judecă singur: în prima ecuație am obținut că 3x - 1, adică argumentul ar trebui să fie egal cu 8. Aceasta înseamnă automat că 3x - 1 va fi mai mare decât zero.
Cu același succes putem scrie că în al doilea caz x ar trebui să fie egal cu 5 2, adică este cu siguranță mai mare decât zero. Și în al treilea caz, unde x + 3 = 25.000, adică din nou, evident mai mare decât zero. Cu alte cuvinte, domeniul de aplicare este satisfăcut automat, dar numai dacă x apare doar în argumentul unui singur logaritm.
Este tot ce trebuie să știi pentru a rezolva cele mai simple probleme. Această regulă singură, împreună cu regulile de transformare, vă vor permite să rezolvați o clasă foarte largă de probleme.
Dar să fim sinceri: pentru a înțelege în sfârșit această tehnică, pentru a învăța cum să aplicați forma canonică a ecuației logaritmice, nu este suficient să vizionați doar o lecție video. Deci, descărcați opțiunile chiar acum pentru decizie independentă, care sunt atașate la această lecție video și încep să rezolve cel puțin una dintre aceste două lucrări independente.
Îți va lua literalmente câteva minute. Dar efectul unui astfel de antrenament va fi mult mai mare decât dacă ați viziona pur și simplu această lecție video.
Sper că această lecție vă va ajuta să înțelegeți ecuațiile logaritmice. Utilizați forma canonică, simplificați expresiile folosind regulile de lucru cu logaritmi - și nu vă va teme de probleme. Asta e tot ce am pentru azi.
Ținând cont de domeniul definiției
Acum să vorbim despre domeniul de definire al funcției logaritmice și despre modul în care aceasta afectează soluția ecuațiilor logaritmice. Luați în considerare o construcție a formei
log a f (x) = b
O astfel de expresie se numește cea mai simplă - conține o singură funcție, iar numerele a și b sunt doar numere și în niciun caz o funcție care depinde de variabila x. Se poate rezolva foarte simplu. Trebuie doar să utilizați formula:
b = log a a b
Această formulă este una dintre proprietățile cheie ale logaritmului, iar atunci când o înlocuim în expresia noastră originală, obținem următoarele:
log a f (x) = log a a b
f (x) = a b
Aceasta este o formulă familiară din manualele școlare. Mulți elevi vor avea probabil o întrebare: deoarece în expresia originală funcția f (x) se află sub semnul log, i se impun următoarele restricții:
f(x) > 0
Această limitare se aplică deoarece logaritmul numerelor negative nu există. Deci, poate, ca urmare a acestei limitări, ar trebui introdusă o verificare a răspunsurilor? Poate că trebuie introduse în sursă?
Nu, în cele mai simple ecuații logaritmice nu este necesară verificarea suplimentară. Si de aceea. Aruncă o privire la formula noastră finală:
f (x) = a b
Faptul este că numărul a este în orice caz mai mare decât 0 - această cerință este impusă și de logaritm. Numărul a este baza. În acest caz, nu se impun restricții asupra numărului b. Dar acest lucru nu contează, deoarece indiferent de puterea la care ridicăm un număr pozitiv, vom obține totuși un număr pozitiv la ieșire. Astfel, cerința f (x) > 0 este satisfăcută automat.
Ceea ce merită verificat este domeniul funcției de sub semnul jurnalului. Pot exista structuri destul de complexe și cu siguranță trebuie să fii cu ochii pe ele în timpul procesului de soluționare. Să aruncăm o privire.
Prima sarcină:
Primul pas: convertiți fracția din dreapta. Primim:
Scăpăm de semnul logaritmului și obținem ecuația irațională obișnuită:
Dintre rădăcinile obținute, doar prima ni se potrivește, de la a doua rădăcină mai putin de zero. Singurul răspuns va fi numărul 9. Gata, problema este rezolvată. Nici unul verificări suplimentare faptul că expresia de sub semnul logaritmului este mai mare decât 0 nu este necesar, deoarece nu este doar mai mare decât 0, ci, conform condiției ecuației, este egală cu 2. Prin urmare, cerința „mai mare decât zero” este satisfăcut automat.
Să trecem la a doua sarcină:
Totul este la fel aici. Rescriem construcția, înlocuind triplul:
Scăpăm de semnele logaritmului și obținem o ecuație irațională:
Patram ambele laturi tinand cont de restrictii si obtinem:
4 − 6x − x 2 = (x − 4) 2
4 − 6x − x 2 = x 2 + 8x + 16
x 2 + 8x + 16 −4 + 6x + x 2 = 0
2x 2 + 14x + 12 = 0 |:2
x 2 + 7x + 6 = 0
Rezolvăm ecuația rezultată prin discriminantul:
D = 49 − 24 = 25
x 1 = −1
x 2 = −6
Dar x = −6 nu ne convine, deoarece dacă substituim acest număr în inegalitatea noastră, obținem:
−6 + 4 = −2 < 0
În cazul nostru, este necesar să existe mai mult de 0 sau ca ultimă soluție egală. Dar x = −1 ni se potrivește:
−1 + 4 = 3 > 0
Singurul răspuns în cazul nostru va fi x = −1. Asta e soluția. Să ne întoarcem la începutul calculelor noastre.
Principala concluzie din această lecție este că nu trebuie să verificați constrângerile unei funcții în ecuații logaritmice simple. Deoarece în timpul procesului de rezolvare toate constrângerile sunt satisfăcute automat.
Cu toate acestea, acest lucru nu înseamnă în niciun caz că puteți uita cu totul de verificare. În procesul de lucru la o ecuație logaritmică, se poate transforma într-una irațională, care va avea propriile restricții și cerințe pentru partea dreaptă, pe care le-am văzut astăzi în două exemple diferite.
Simțiți-vă liber să rezolvați astfel de probleme și fiți deosebit de atenți dacă există o rădăcină în argument.
Ecuații logaritmice cu baze diferite
Continuăm să studiem ecuațiile logaritmice și să ne uităm la încă două tehnici destul de interesante cu care este la modă să rezolvăm construcții mai complexe. Dar mai întâi, să ne amintim cum sunt rezolvate cele mai simple probleme:
log a f (x) = b
În această intrare, a și b sunt numere, iar în funcția f (x) variabila x trebuie să fie prezentă și numai acolo, adică x trebuie să fie doar în argument. Vom transforma astfel de ecuații logaritmice folosind forma canonică. Pentru a face acest lucru, rețineți că
b = log a a b
Mai mult, a b este tocmai un argument. Să rescriem această expresie după cum urmează:
log a f (x) = log a a b
Este exact ceea ce încercăm să realizăm, astfel încât să existe un logaritm care să bazeze a atât pe stânga, cât și pe dreapta. În acest caz, putem, la figurat vorbind, să bifurcăm semnele log, iar din punct de vedere matematic putem spune că pur și simplu echivalăm argumentele:
f (x) = a b
Ca urmare, vom obține o nouă expresie care va fi mult mai ușor de rezolvat. Să aplicăm această regulă problemelor noastre de astăzi.
Deci, primul design:
În primul rând, observ că în dreapta este o fracție al cărei numitor este log. Când vedeți o expresie ca aceasta, este o idee bună să vă amintiți o proprietate minunată a logaritmilor:
Tradus în rusă, aceasta înseamnă că orice logaritm poate fi reprezentat ca câtul a doi logaritmi cu orice bază c. Desigur 0< с ≠ 1.
Deci: această formulă are un caz special minunat, când variabila c este egală cu variabila b. În acest caz, obținem o construcție ca:
Aceasta este exact construcția pe care o vedem din semnul din dreapta în ecuația noastră. Să înlocuim această construcție cu log a b , obținem:
Cu alte cuvinte, în comparație cu sarcina originală, am schimbat argumentul și baza logaritmului. În schimb, a trebuit să inversăm fracția.
Reamintim că orice grad poate fi derivat din bază conform următoarei reguli:
Cu alte cuvinte, coeficientul k, care este puterea bazei, este exprimat ca o fracție inversată. Să o redăm ca o fracție inversată:
Factorul fracționar nu poate fi lăsat în față, deoarece în acest caz nu vom putea reprezenta această notație ca formă canonică (la urma urmei, în forma canonică nu există un factor suplimentar înaintea celui de-al doilea logaritm). Prin urmare, să adăugăm fracția 1/4 la argument ca putere:
Acum echivalăm argumente ale căror baze sunt aceleași (și bazele noastre sunt într-adevăr aceleași) și scriem:
x + 5 = 1
x = −4
Asta e tot. Am primit răspunsul la prima ecuație logaritmică. Vă rugăm să rețineți: în problema inițială, variabila x apare într-un singur log și apare în argumentul său. Prin urmare, nu este nevoie să verificăm domeniul, iar numărul nostru x = −4 este într-adevăr răspunsul.
Acum să trecem la a doua expresie:
log 56 = log 2 log 2 7 − 3log (x + 4)
Aici, pe lângă logaritmii obișnuiți, va trebui să lucrăm cu log f (x). Cum se rezolvă o astfel de ecuație? Pentru un student nepregătit, poate părea că aceasta este un fel de sarcină grea, dar de fapt totul poate fi rezolvat într-un mod elementar.
Aruncă o privire atentă la termenul lg 2 log 2 7. Ce putem spune despre el? Bazele și argumentele log și lg sunt aceleași, iar acest lucru ar trebui să dea câteva idei. Să ne amintim încă o dată cum sunt scoase puterile de sub semnul logaritmului:
log a b n = nlog a b
Cu alte cuvinte, ceea ce a fost o putere a lui b în argument devine un factor în fața logului însuși. Să aplicăm această formulă expresiei lg 2 log 2 7. Nu vă speriați de lg 2 - aceasta este cea mai comună expresie. Îl poți rescrie după cum urmează:
Toate regulile care se aplică oricărui alt logaritm sunt valabile pentru acesta. În special, factorul din față poate fi adăugat la gradul argumentului. Hai sa o scriem:
De foarte multe ori, elevii nu văd direct această acțiune, pentru că nu este bine să introduceți un jurnal sub semnul altuia. De fapt, nu este nimic criminal în asta. Mai mult, obținem o formulă care este ușor de calculat dacă vă amintiți o regulă importantă:
Această formulă poate fi considerată atât ca o definiție, cât și ca una dintre proprietățile sale. În orice caz, dacă convertiți o ecuație logaritmică, ar trebui să cunoașteți această formulă la fel cum ați cunoaște reprezentarea în log a oricărui număr.
Să revenim la sarcina noastră. O rescriem ținând cont de faptul că primul termen din dreapta semnului egal va fi pur și simplu egal cu lg 7. Avem:
lg 56 = lg 7 − 3lg (x + 4)
Să mutăm lg 7 la stânga, obținem:
lg 56 − lg 7 = −3lg (x + 4)
Scădem expresiile din stânga pentru că au aceeași bază:
lg (56/7) = −3lg (x + 4)
Acum să aruncăm o privire mai atentă la ecuația pe care o avem. Este practic forma canonică, dar există un factor -3 în dreapta. Să-l adăugăm la argumentul lg corect:
log 8 = log (x + 4) −3
În fața noastră este forma canonică a ecuației logaritmice, așa că tăiem semnele lg și echivalăm argumentele:
(x + 4) −3 = 8
x + 4 = 0,5
Asta e tot! Am rezolvat a doua ecuație logaritmică. În acest caz, nu sunt necesare verificări suplimentare, deoarece în problema inițială x era prezent doar într-un singur argument.
Permiteți-mi să enumer din nou punctele cheie ale acestei lecții.
Formula principală care este predată în toate lecțiile de pe această pagină dedicată rezolvării ecuațiilor logaritmice este forma canonică. Și nu vă speriați de faptul că majoritatea manualelor școlare vă învață să rezolvați astfel de probleme altfel. Acest instrument funcționează foarte eficient și vă permite să rezolvați o clasă mult mai largă de probleme decât cele mai simple pe care le-am studiat chiar la începutul lecției noastre.
În plus, pentru a rezolva ecuații logaritmice va fi util să cunoaștem proprietățile de bază. Și anume:
- Formula de mutare la o singură bază și cazul special în care înregistrăm invers (aceasta ne-a fost foarte util în prima problemă);
- Formula pentru adunarea și scăderea puterilor din semnul logaritmului. Aici, mulți studenți se blochează și nu văd că gradul scos și introdus poate conține el însuși log f (x). Nimic în neregulă cu asta. Putem introduce un buștean după semnul celuilalt și, în același timp, simplificăm semnificativ soluția problemei, ceea ce observăm în al doilea caz.
În concluzie, aș dori să adaug că nu este necesară verificarea domeniului de definiție în fiecare dintre aceste cazuri, deoarece peste tot variabila x este prezentă într-un singur semn de log, și în același timp se află în argumentul său. În consecință, toate cerințele domeniului de aplicare sunt îndeplinite automat.
Probleme cu baza variabilă
Astăzi ne vom uita la ecuațiile logaritmice, care pentru mulți studenți par nestandard, dacă nu complet de nerezolvat. Vorbim despre expresii bazate nu pe numere, ci pe variabile și chiar pe funcții. Vom rezolva astfel de construcții folosind tehnica noastră standard și anume prin forma canonică.
În primul rând, să ne amintim cum sunt rezolvate cele mai simple probleme, pe baza numerelor obișnuite. Deci, cea mai simplă construcție se numește
log a f (x) = b
Pentru a rezolva astfel de probleme putem folosi următoarea formulă:
b = log a a b
Ne rescriem expresia originală și obținem:
log a f (x) = log a a b
Apoi echivalăm argumentele, adică scriem:
f (x) = a b
Astfel, scăpăm de semnul jurnalului și rezolvăm problema obișnuită. În acest caz, rădăcinile obținute din soluție vor fi rădăcinile ecuației logaritmice originale. În plus, o înregistrare când atât stânga, cât și dreapta sunt în același logaritm cu aceeași bază se numește exact forma canonică. La un astfel de record vom încerca să reducem modelele de astăzi. Deci să mergem.
Prima sarcină:
log x − 2 (2x 2 − 13x + 18) = 1
Înlocuiți 1 cu log x − 2 (x − 2) 1 . Gradul pe care îl observăm în argument este de fapt numărul b care stătea în dreapta semnului egal. Astfel, să ne rescriem expresia. Primim:
log x − 2 (2x 2 − 13x + 18) = log x − 2 (x − 2)
Ce vedem? În fața noastră este forma canonică a ecuației logaritmice, astfel încât să putem echivala argumentele în siguranță. Primim:
2x 2 − 13x + 18 = x − 2
Dar soluția nu se termină aici, deoarece această ecuație nu este echivalentă cu cea inițială. La urma urmei, construcția rezultată constă din funcții care sunt definite pe întreaga linie numerică, iar logaritmii noștri originali nu sunt definiți peste tot și nu întotdeauna.
Prin urmare, trebuie să scriem domeniul definiției separat. Să nu despărțim firele de păr și să notăm mai întâi toate cerințele:
În primul rând, argumentul fiecărui logaritm trebuie să fie mai mare decât 0:
2x 2 − 13x + 18 > 0
x − 2 > 0
În al doilea rând, baza trebuie să fie nu numai mai mare decât 0, ci și diferită de 1:
x − 2 ≠ 1
Ca rezultat, obținem sistemul:
Dar nu vă alarmați: atunci când procesați ecuații logaritmice, un astfel de sistem poate fi simplificat semnificativ.
Judecăți singuri: pe de o parte, ni se cere ca funcția pătratică să fie mai mare decât zero, iar pe de altă parte, această funcție pătratică este echivalată cu o anumită expresie liniară, care se cere și ca aceasta să fie mai mare decât zero.
În acest caz, dacă solicităm ca x − 2 > 0, atunci cerința 2x 2 − 13x + 18 > 0 va fi îndeplinită automat. Prin urmare, putem tăia în siguranță inegalitatea care conține funcţie pătratică. Astfel, numărul de expresii conținute în sistemul nostru se va reduce la trei.
Desigur, cu același succes am putea tăia inegalitatea liniară, adică să tăiem x − 2 > 0 și să cerem ca 2x 2 − 13x + 18 > 0. Dar veți fi de acord că rezolvarea celei mai simple inegalități liniare este mult mai rapidă. și mai simplu, decât pătratic, chiar și cu condiția ca în urma rezolvării întregului sistem să obținem aceleași rădăcini.
În general, încercați să optimizați calculele ori de câte ori este posibil. Și în cazul ecuațiilor logaritmice, tăiați cele mai dificile inegalități.
Să rescriem sistemul nostru:
Iată un sistem de trei expresii, dintre care două, de fapt, ne-am ocupat deja. Să-l notăm separat ecuație pătratică si hai sa o rezolvam:
2x 2 − 14x + 20 = 0
x 2 − 7x + 10 = 0
În fața noastră este un trinom pătratic redus și, prin urmare, putem folosi formulele lui Vieta. Primim:
(x − 5)(x − 2) = 0
x 1 = 5
x 2 = 2
Acum ne întoarcem la sistemul nostru și aflăm că x = 2 nu ni se potrivește, deoarece ni se cere ca x să fie strict mai mare decât 2.
Dar x = 5 ni se potrivește perfect: numărul 5 este mai mare decât 2 și, în același timp, 5 nu este egal cu 3. Prin urmare, singura soluție a acestui sistem va fi x = 5.
Gata, problema este rezolvată, inclusiv ținând cont de ODZ. Să trecem la a doua ecuație. Mai multe calcule interesante și informative ne așteaptă aici:
Primul pas: ca data trecută, aducem toată această chestiune în formă canonică. Pentru a face acest lucru, putem scrie numărul 9 după cum urmează:
Nu trebuie să atingeți baza cu rădăcina, dar este mai bine să transformați argumentul. Să trecem de la rădăcină la putere cu un exponent rațional. Hai sa scriem:
Permiteți-mi să nu rescriu întreaga noastră ecuație logaritmică mare, ci doar echivalez imediat argumentele:
x 3 + 10x 2 + 31x + 30 = x 3 + 9x 2 + 27x + 27
x 2 + 4x + 3 = 0
În fața noastră este un trinom pătratic nou redus, să folosim formulele lui Vieta și să scriem:
(x + 3)(x + 1) = 0
x 1 = −3
x 2 = −1
Deci, am primit rădăcinile, dar nimeni nu ne-a garantat că se vor potrivi cu ecuația logaritmică inițială. La urma urmei, semnele de jurnal impun restricții suplimentare (aici ar fi trebuit să notăm sistemul, dar din cauza naturii greoaie a întregii structuri, am decis să calculez domeniul de definiție separat).
În primul rând, rețineți că argumentele trebuie să fie mai mari decât 0 și anume:
Acestea sunt cerințele impuse de domeniul de aplicare al definiției.
Să observăm imediat că, deoarece echivalăm primele două expresii ale sistemului una cu cealaltă, putem tăia oricare dintre ele. Să-l tăiem pe primul pentru că pare mai amenințător decât al doilea.
În plus, rețineți că soluția pentru a doua și a treia inegalități vor fi aceleași mulțimi (cubul unui număr este mai mare decât zero, dacă acest număr în sine este mai mare decât zero; în mod similar, cu o rădăcină de gradul trei - aceste inegalități sunt complet analoge, așa că le putem tăia).
Dar cu a treia inegalitate acest lucru nu va funcționa. Să scăpăm de semnul radical din stânga ridicând ambele părți într-un cub. Primim:
Deci obținem următoarele cerințe:
− 2 ≠ x > −3
Care dintre rădăcinile noastre: x 1 = −3 sau x 2 = −1 îndeplinește aceste cerințe? Evident, doar x = −1, deoarece x = −3 nu satisface prima inegalitate (deoarece inegalitatea noastră este strictă). Deci, revenind la problema noastră, obținem o rădăcină: x = −1. Gata, problema rezolvata.
Încă o dată, punctele cheie ale acestei sarcini:
- Simțiți-vă liber să aplicați și să rezolvați ecuații logaritmice folosind forma canonică. Elevii care fac o astfel de notație, în loc să treacă direct de la problema inițială la o construcție precum log a f (x) = b, fac mult mai puține erori decât cei care se grăbesc undeva, sărind peste pașii intermediari de calcul;
- De îndată ce o bază variabilă apare într-un logaritm, problema încetează să fie cea mai simplă. Prin urmare, la rezolvarea acesteia, este necesar să se țină cont de domeniul definiției: argumentele trebuie să fie mai mari decât zero, iar bazele nu trebuie să fie doar mai mari decât 0, dar nici nu trebuie să fie egale cu 1.
Cerințele finale pot fi aplicate răspunsurilor finale în moduri diferite. De exemplu, puteți rezolva un întreg sistem care conține toate cerințele pentru domeniul de definire. Pe de altă parte, puteți mai întâi să rezolvați problema în sine și apoi să vă amintiți domeniul de definiție, să îl rezolvați separat sub forma unui sistem și să îl aplicați la rădăcinile obținute.
Ce metodă să alegeți atunci când rezolvați o anumită ecuație logaritmică depinde de dvs. În orice caz, răspunsul va fi același.
Se încarcă...