Stepen i njegova svojstva. Sveobuhvatan vodič (2019)

Zašto su potrebne diplome? Gdje će vam trebati? Zašto biste trebali odvojiti vrijeme da ih proučite?

Da naučite sve o diplomama, čemu služe, kako iskoristiti svoje znanje Svakodnevni život pročitajte ovaj članak.

I naravno, poznavanje diploma će vas približiti uspjehu prolazeći OGE ili Jedinstveni državni ispit i upis na univerzitet iz snova.

Idemo... (Idemo!)

Važna napomena! Ako vidite gobbledygook umjesto formula, obrišite keš memoriju. Da biste to učinili, pritisnite CTRL+F5 (na Windowsima) ili Cmd+R (na Macu).

PRVI NIVO

Eksponencijacija je matematička operacija baš kao i sabiranje, oduzimanje, množenje ili dijeljenje.

Sad ću sve objasniti ljudski jezik sa vrlo jednostavnim primjerima. Budi pazljiv. Primjeri su elementarni, ali objašnjavaju važne stvari.

Počnimo sa sabiranjem.

Nema tu šta da se objašnjava. Sve već znate: ima nas osam. Svako ima po dve flaše kole. Koliko kole ima? Tako je - 16 boca.

Sada množenje.

Isti primjer sa colom može se napisati drugačije: . Matematičari su lukavi i lijeni ljudi. Prvo primjećuju neke obrasce, a zatim shvate način da ih brže "prebroje". U našem slučaju, primijetili su da svaki od osam ljudi ima isti broj boca kole i smislili tehniku zvanu množenje. Slažem se, smatra se lakšim i bržim od.

Dakle, da biste brojali brže, lakše i bez grešaka, samo trebate zapamtiti tablica množenja. Naravno, sve možete raditi sporije, teže i sa greškama! Ali…

Evo tablice množenja. Ponovi.

I još jedna, ljepša:

Koje su još pametne trikove brojanja smislili lijeni matematičari? desno - podizanje broja na stepen.

Podizanje broja na stepen

Ako trebate pomnožiti broj sam po sebi pet puta, onda matematičari kažu da taj broj trebate podići na peti stepen. Na primjer, . Matematičari se sjećaju da je dva na peti stepen... I takve probleme rješavaju u glavi – brže, lakše i bez grešaka.

Sve što treba da uradite je zapamtite šta je istaknuto bojom u tabeli stepena brojeva. Vjerujte mi, ovo će vam mnogo olakšati život.

Usput, zašto se zove drugi stepen? kvadrat brojevi, a treći - kocka? Šta to znači? Veoma dobro pitanje. Sada ćete imati i kvadrate i kocke.

Primjer iz stvarnog života #1

Počnimo s kvadratom ili drugim stepenom broja.

Zamislite kvadratni bazen dimenzija metar puta jedan metar. Bazen je na vašoj dači. Vruće je i stvarno želim plivati. Ali... bazen nema dno! Dno bazena je potrebno pokriti pločicama. Koliko pločica vam treba? Da biste to utvrdili, morate znati područje dna bazena.

Možete jednostavno izračunati tako što ćete pokazati prstom da se dno bazena sastoji od kocki metar po metar. Ako imate pločice metar po jedan metar, trebat će vam komadi. Lako je... Ali gdje ste vidjeli takve pločice? Pločica će najvjerovatnije biti cm po cm, a onda ćete biti mučeni „brojanjem prstom“. Onda morate množiti. Dakle, na jednu stranu dna bazena postavljamo pločice (komade), a na drugu takođe pločice. Pomnožite sa i dobit ćete pločice ().

Jeste li primijetili da smo za određivanje površine dna bazena pomnožili isti broj sam po sebi? Šta to znači? Budući da množimo isti broj, možemo koristiti tehniku “eksponencijalnosti”. (Naravno, kada imate samo dva broja, i dalje ih trebate pomnožiti ili podići na stepen. Ali ako ih imate puno, onda je njihovo podizanje na stepen puno lakše i također ima manje grešaka u proračunima Za Jedinstveni državni ispit, ovo je veoma važno).
Dakle, trideset na drugi stepen će biti (). Ili možemo reći da će biti trideset na kvadrat. Drugim riječima, drugi stepen broja uvijek se može predstaviti kao kvadrat. I obrnuto, ako vidite kvadrat, to je UVIJEK drugi stepen nekog broja. Kvadrat je slika drugog stepena broja.

Primjer iz stvarnog života #2

Evo zadatka za vas: prebrojite koliko polja ima na šahovskoj tabli koristeći kvadrat broja... Na jednoj strani ćelija i na drugoj. Da biste izračunali njihov broj, trebate pomnožiti osam sa osam ili... ako primijetite da je šahovska tabla kvadrat sa stranicom, onda možete kvadratirati osam. Dobićete ćelije. () Pa?

Primjer iz stvarnog života #3

Sada kocka ili treći stepen broja. Isti bazen. Ali sada morate saznati koliko vode treba uliti u ovaj bazen. Morate izračunati zapreminu. (Usput, zapremine i tečnosti se mere u kubnih metara. Neočekivano, zar ne?) Nacrtajte bazen: dno veličine metar i dubinu od jednog metra i pokušajte izbrojati koliko kocki dimenzija metar puta metar će stati u vaš bazen.

Samo uperite prstom i brojite! Jedan, dva, tri, četiri...dvadeset dva, dvadeset tri...Koliko ste dobili? Niste izgubljeni? Da li je teško brojati prstom? Tako da! Uzmite primjer od matematičara. Oni su lijeni, pa su primijetili da kako biste izračunali volumen bazena, morate pomnožiti njegovu dužinu, širinu i visinu jedno s drugim. U našem slučaju, zapremina bazena će biti jednaka kockama... Lakše, zar ne?

Sada zamislite koliko su matematičari lijeni i lukavi kada bi i ovo pojednostavili. Sve smo sveli na jednu akciju. Primetili su da su dužina, širina i visina jednake i da se isti broj množi sam sa sobom... Šta to znači? To znači da možete iskoristiti diplomu. Dakle, ono što ste jednom brojali prstom, oni rade u jednoj radnji: tri kocka je jednako. Napisano je ovako: .

Ostaje samo zapamtite tabelu stepeni. Osim ako, naravno, niste lijeni i lukavi kao matematičari. Ako volite naporno raditi i griješiti, možete nastaviti da brojite prstom.

Pa da vas konačno uvjerim da su diplome izmislili oni koji odustaju i lukavi ljudi da rješavaju svoje životne probleme, a ne da vam stvaraju probleme, evo još par primjera iz života.

Primjer iz stvarnog života #4

Imate milion rubalja. Na početku svake godine, za svaki milion koji zaradite, zaradite još jedan milion. Odnosno, svaki milion koji imate udvostručuje se na početku svake godine. Koliko ćeš novca imati za godine? Ako sada sedite i „brojite prstom“, onda ste veoma vredna osoba i... glupa. Ali najvjerovatnije ćete dati odgovor za par sekundi, jer ste pametni! Dakle, prve godine - dva pomnožena sa dva... druge godine - šta je bilo, još dva, treće godine... Stani! Primijetili ste da se broj množi sam sa sobom puta. Dakle, dva na peti stepen je milion! Zamislite sad da imate takmičenje i onaj ko ume najbrže da broji dobiće ove milione... Vrijedi se sjetiti moći brojeva, zar ne?

Primjer iz stvarnog života #5

Imaš milion. Na početku svake godine, za svaki milion koji zaradite, zaradite još dva. Sjajno zar ne? Svaki milion je utrostručen. Koliko novca ćete imati za godinu dana? Hajde da brojimo. Prva godina - pomnoži sa, pa rezultat sa drugom... Već je dosadno, jer si već sve shvatio: tri se množi sam sa sobom puta. Dakle, na četvrti stepen je jednak milion. Samo morate zapamtiti da je tri na četvrti stepen ili.

Sada znate da ćete podizanjem broja na stepen učiniti svoj život mnogo lakšim. Pogledajmo dalje šta možete učiniti sa diplomama i šta trebate znati o njima.

Termini i pojmovi... da se ne zabune

Dakle, prvo, hajde da definišemo koncepte. Šta ti misliš, šta je eksponent? Vrlo je jednostavno - to je broj koji je "na vrhu" snage broja. Nije naučno, ali jasno i lako pamtljivo...

Pa, u isto vreme, šta takvu osnovu diplome? Još jednostavnije - ovo je broj koji se nalazi ispod, u bazi.

Evo crteža za dobru meru.

Pa unutra opšti pogled, radi generalizacije i boljeg pamćenja... Stepen sa osnovom “ ” i eksponentom “ ” čita se kao “do stepena” i piše se na sljedeći način:

Potencija broja s prirodnim eksponentom

Verovatno ste već pogodili: jer eksponent jeste prirodni broj. Da, ali šta je to prirodni broj? Osnovno! Prirodni brojevi su oni brojevi koji se koriste u brojanju pri popisivanju objekata: jedan, dva, tri... Kada brojimo predmete, ne kažemo: „minus pet“, „minus šest“, „minus sedam“. Takođe ne kažemo: „jedna trećina“, ili „nula zarez pet“. Ovo nisu prirodni brojevi. Šta mislite koji su to brojevi?

Brojevi poput "minus pet", "minus šest", "minus sedam" se odnose na cijeli brojevi. Općenito, cijeli brojevi uključuju sve prirodne brojeve, brojeve suprotne prirodnim brojevima (to jest, uzeti sa predznakom minus) i broj. Nulu je lako razumjeti - to je kada nema ničega. Šta znače negativni ("minus") brojevi? Ali oni su izmišljeni prvenstveno za označavanje dugova: ako imate stanje na telefonu u rubljama, to znači da dugujete operateru rublje.

Svi razlomci su racionalni brojevi. Šta mislite kako su nastali? Veoma jednostavno. Prije nekoliko hiljada godina naši preci su otkrili da im nedostaju prirodni brojevi za mjerenje dužine, težine, površine itd. I oni su smislili racionalni brojevi... Zanimljivo, zar ne?

Ima li još iracionalni brojevi. Koji su to brojevi? Ukratko, beskrajno decimalni. Na primjer, ako podijelite obim kruga njegovim prečnikom, dobit ćete iracionalan broj.

Sažetak:

Definirajmo pojam stepena čiji je eksponent prirodan broj (tj. cijeli i pozitivan).

Bilo koji broj na prvi stepen jednak je samom sebi:
Kvadratirati broj znači pomnožiti ga sam sa sobom:
Kockati broj znači pomnožiti ga sam sa sobom tri puta:

Definicija. Podići broj na prirodni stepen znači pomnožiti broj sam sa sobom puta:
.

Svojstva stepeni

Odakle su ove nekretnine? Sada ću ti pokazati.

Da vidimo: šta je to I ?

A-prioritet:

Koliko množitelja ima ukupno?

Vrlo je jednostavno: faktorima smo dodali množitelje, a rezultat su množitelji.

Ali po definiciji, ovo je stepen broja sa eksponentom, to jest: , što je trebalo dokazati.

Primjer: Pojednostavite izraz.

Rješenje:

primjer: Pojednostavite izraz.

Rješenje: Važno je napomenuti da u našem pravilu Neophodno moraju postojati isti razlozi!
Stoga kombiniramo snage s bazom, ali ona ostaje zaseban faktor:

samo za proizvod moći!

Ni u kom slučaju to ne možete napisati.

2. to je to stepen broja

Kao i kod prethodnog svojstva, okrenimo se definiciji stepena:

Ispada da se izraz množi sam sa sobom puta, odnosno, prema definiciji, ovo je th stepen broja:

U suštini, ovo se može nazvati „vađenjem indikatora iz zagrada“. Ali ovo nikada ne možete učiniti ukupno:

Prisjetimo se skraćenih formula za množenje: koliko puta smo htjeli napisati?

Ali to ipak nije istina.

Snaga sa negativnom bazom

Do sada smo samo raspravljali o tome kakav bi eksponent trebao biti.

Ali šta bi trebalo da bude osnova?

U ovlastima prirodni pokazatelj osnova može biti bilo koji broj. Zaista, možemo množiti bilo koje brojeve jedni s drugima, bilo da su pozitivni, negativni ili parni.

Razmislimo o tome koji će znakovi ("" ili "") imati stupnjeve pozitivnih i negativnih brojeva?

Na primjer, da li je broj pozitivan ili negativan? A? ? S prvim je sve jasno: bez obzira koliko pozitivnih brojeva pomnožimo jedan s drugim, rezultat će biti pozitivan.

Ali oni negativni su malo zanimljiviji. Sjećamo se jednostavnog pravila iz 6. razreda: „minus za minus daje plus“. To je, ili. Ali ako pomnožimo sa, radi.

Odredite sami koji znak će imati sljedeći izrazi:

1)	2)	3)
4)	5)	6)

Jeste li uspjeli?

Evo odgovora: U prva četiri primjera, nadam se da je sve jasno? Jednostavno gledamo bazu i eksponent i primjenjujemo odgovarajuće pravilo.

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

U primjeru 5) sve također nije tako strašno kao što se čini: na kraju krajeva, nije važno čemu je baza jednaka - stepen je paran, što znači da će rezultat uvijek biti pozitivan.

Pa, osim kada je baza nula. Baza nije jednaka, zar ne? Očigledno nije, jer (jer).

Primjer 6) više nije tako jednostavan!

6 primjera za praksu

Analiza rješenja 6 primjera

Ako zanemarimo osmu potenciju, šta vidimo ovdje? Prisjetimo se programa za 7. razred. Pa, sećaš li se? Ovo je formula za skraćeno množenje, odnosno razliku kvadrata! Dobijamo:

Pogledajmo pažljivo imenilac. Mnogo liči na jedan od faktora brojila, ali šta nije u redu? Redoslijed termina je pogrešan. Ako bi bili obrnuti, pravilo bi se moglo primijeniti.

Ali kako to učiniti? Ispostavilo se da je to vrlo lako: tu nam pomaže paran stepen nazivnika.

Magično su termini promijenili mjesta. Ovaj “fenomen” se primjenjuje na bilo koji izraz u jednakoj mjeri: lako možemo promijeniti znakove u zagradama.

Ali važno je zapamtiti: svi znakovi se mijenjaju u isto vrijeme!

Vratimo se na primjer:

I opet formula:

Cijeli nazivamo prirodne brojeve, njihove suprotnosti (tj. uzeti sa znakom " ") i broj.

pozitivan cijeli broj, i ne razlikuje se od prirodnog, onda sve izgleda baš kao u prethodnom odeljku.

Pogledajmo sada nove slučajeve. Počnimo s indikatorom jednakim.

Bilo koji broj na nulti stepen jednak je jedan:

Kao i uvijek, zapitajmo se: zašto je to tako?

Razmotrimo neki stepen sa bazom. Uzmite, na primjer, i pomnožite sa:

Dakle, pomnožili smo broj sa, i dobili smo istu stvar kakva je bila - . Kojim brojem treba pomnožiti da se ništa ne promijeni? Tako je, na. Sredstva.

Isto možemo učiniti i sa proizvoljnim brojem:

Ponovimo pravilo:

Bilo koji broj na nulti stepen jednak je jedan.

Ali postoje izuzeci od mnogih pravila. I ovdje je također tu - ovo je broj (kao osnova).

S jedne strane, ona mora biti jednaka bilo kojem stepenu - bez obzira koliko pomnožite nulu sa sobom, i dalje ćete dobiti nulu, ovo je jasno. Ali s druge strane, kao i svaki broj na nulti stepen, on mora biti jednak. Pa koliko je ovo istina? Matematičari su odlučili da se ne mešaju i odbili da podignu nulu na stepen nule. Odnosno, sada ne možemo ne samo podijeliti sa nulom, već ga ni podići na nulti stepen.

Idemo dalje. Osim prirodnih brojeva i brojeva, cijeli brojevi uključuju i negativne brojeve. Da bismo razumjeli šta je negativan stepen, učinimo kao prošli put: pomnožimo neke normalan broj na isti u negativnom stepenu:

Odavde je lako izraziti ono što tražite:

Proširimo rezultujuće pravilo na proizvoljan stepen:

Dakle, formulirajmo pravilo:

Broj sa negativnom potencijom recipročan je istom broju pozitivne moći. Ali istovremeno Baza ne može biti null:(jer ne možete podijeliti po).

Hajde da rezimiramo:

I. Izraz nije definiran u slučaju. Ako onda.

II. Bilo koji broj na nulti stepen jednak je jedan: .

III. Broj koji nije jednak nuli na negativan stepen je obrnut od istog broja pozitivnom stepenu: .

Zadaci za samostalno rješavanje:

Pa, kao i obično, primjeri za nezavisna rješenja:

Analiza problema za samostalno rješavanje:

Znam, znam, brojke su zastrašujuće, ali na Jedinstvenom državnom ispitu moraš biti spreman na sve! Riješite ove primjere ili analizirajte njihova rješenja ako ih niste mogli riješiti i naučit ćete se lako nositi s njima na ispitu!

Nastavimo širiti raspon brojeva „prikladnih“ kao eksponent.

Sada razmotrimo racionalni brojevi. Koji se brojevi nazivaju racionalnim?

Odgovor: sve što se može predstaviti kao razlomak, gdje su i cijeli brojevi i.

Da razumem šta je to "razlomni stepen", uzmi u obzir razlomak:

Podignimo obje strane jednadžbe na stepen:

Sada se prisjetimo pravila o "stepen do stepena":

Koji broj se mora podići na stepen da se dobije?

Ova formulacija je definicija korena th stepena.

Da vas podsjetim: korijen th stepena broja () je broj koji je, kada se podigne na stepen, jednak.

To jest, korijen th stepena je inverzna operacija podizanja na stepen: .

Ispostavilo se da. Očigledno ovo poseban slučaj može se proširiti: .

Sada dodajemo brojilac: šta je to? Odgovor je lako dobiti pomoću pravila snage-na-pone:

Ali može li baza biti bilo koji broj? Na kraju krajeva, korijen se ne može izdvojiti iz svih brojeva.

Nijedan!

Podsjetimo se pravila: svaki broj podignut na paran stepen je pozitivan broj. Odnosno, nemoguće je izvući čak i korijene iz negativnih brojeva!

To znači da se takvi brojevi ne mogu podići na razlomak sa parnim nazivnikom, odnosno izraz nema smisla.

Šta je sa izrazom?

Ali ovdje nastaje problem.

Broj se može predstaviti u obliku drugih, reducibilnih razlomaka, na primjer, ili.

I ispostavilo se da postoji, ali ne postoji, ali to su samo dva različita zapisa istog broja.

Ili drugi primjer: jednom, onda možete to zapisati. Ali ako drugačije zapišemo indikator, opet ćemo upasti u nevolje: (odnosno, dobili smo potpuno drugačiji rezultat!).

Da bismo izbjegli takve paradokse, smatramo samo pozitivan osnovni eksponent sa razlomanim eksponentom.

Sta ako:

- prirodni broj;
- cijeli broj;

primjeri:

Racionalni eksponenti su vrlo korisni za transformaciju izraza s korijenima, na primjer:

5 primjera za praksu

Analiza 5 primjera za obuku

Pa, sada dolazi najteži dio. Sada ćemo to shvatiti stepen sa iracionalnim eksponentom.

Sva pravila i svojstva stupnjeva ovdje su potpuno ista kao za stepen sa racionalnim eksponentom, sa izuzetkom

Uostalom, po definiciji, iracionalni brojevi su brojevi koji se ne mogu predstaviti kao razlomak, gdje su i cijeli brojevi (to jest, iracionalni brojevi su svi realni brojevi osim racionalnih).

Prilikom proučavanja stepena sa prirodnim, celobrojnim i racionalnim eksponentima, svaki put smo kreirali određenu „sliku“, „analogiju“ ili opis u poznatijim terminima.

Na primjer, stepen sa prirodnim eksponentom je broj pomnožen sam sa sobom nekoliko puta;

...broj na nultu potenciju- ovo je, takoreći, broj pomnožen sam sa sobom jednom, odnosno, još ga nisu počeli množati, što znači da se sam broj još nije ni pojavio - stoga je rezultat samo određeni "prazan broj" , odnosno broj;

...negativan cjelobrojni stepen- kao da se desio neki „obrnuti proces“, odnosno broj nije pomnožen sam sa sobom, već podeljen.

Inače, u nauci diplomirao sa kompleksni indikator, odnosno indikator nije čak ni pravi broj.

Ali u školi ne razmišljamo o takvim poteškoćama; imaćete priliku da shvatite ove nove koncepte na institutu.

GDJE SMO SIGURNI DA ĆETE ITI! (ako naučiš rješavati takve primjere :))

Na primjer:

Odlučite sami:

Analiza rješenja:

1. Počnimo s uobičajenim pravilom za podizanje stepena na stepen:

Sada pogledajte indikator. Zar te on ni na šta ne podsjeća? Prisjetimo se formule za skraćeno množenje razlike kvadrata:

IN u ovom slučaju,

Ispada da:

odgovor: .

2. Razlomke u eksponentima svodimo na isti oblik: ili obje decimale ili obje obične. Dobijamo, na primjer:

Odgovor: 16

3. Ništa posebno, koristimo uobičajena svojstva stupnjeva:

NAPREDNI NIVO

Određivanje stepena

Stepen je izraz oblika: , gdje je:

— osnova stepena;
- eksponent.

Stepen sa prirodnim indikatorom (n = 1, 2, 3,...)

Podići broj na prirodni stepen n znači množenje broja sam po sebi puta:

Stepen sa cjelobrojnim eksponentom (0, ±1, ±2,...)

Ako je eksponent pozitivan cijeli broj broj:

Izgradnja na nulti stepen:

Izraz je neodređen, jer, s jedne strane, u bilo kojem stepenu je ovo, a s druge strane, bilo koji broj do th stepena je ovo.

Ako je eksponent negativan cijeli broj broj:

(jer ne možete podijeliti po).

Još jednom o nulama: izraz nije definiran u slučaju. Ako onda.

primjeri:

Potencija s racionalnim eksponentom

- prirodni broj;
- cijeli broj;

primjeri:

Svojstva stepeni

Da bismo olakšali rješavanje problema, pokušajmo razumjeti: odakle su ova svojstva došla? Dokažimo ih.

Da vidimo: šta je i?

A-prioritet:

Dakle, sa desne strane ovog izraza dobijamo sledeći proizvod:

Ali po definiciji to je stepen broja sa eksponentom, to jest:

Q.E.D.

Primjer : Pojednostavite izraz.

Rješenje : .

Primjer : Pojednostavite izraz.

Rješenje : Važno je napomenuti da u našem pravilu Neophodno moraju postojati isti razlozi. Stoga kombiniramo snage s bazom, ali ona ostaje zaseban faktor:

Još jedna važna napomena: ovo pravilo - samo za proizvod moći!

Ni u kom slučaju to ne možete napisati.

Kao i kod prethodnog svojstva, okrenimo se definiciji stepena:

Hajde da pregrupišemo ovaj posao ovako:

Ispada da se izraz množi sam sa sobom puta, odnosno, prema definiciji, ovo je th stepen broja:

U suštini, ovo se može nazvati „vađenjem indikatora iz zagrada“. Ali ovo nikada ne možete učiniti ukupno: !

Prisjetimo se skraćenih formula za množenje: koliko puta smo htjeli napisati? Ali to ipak nije istina.

Snaga s negativnom bazom.

Do sada smo samo razgovarali o tome kako bi to trebalo da bude index stepeni. Ali šta bi trebalo da bude osnova? U ovlastima prirodno indikator osnova može biti bilo koji broj .

Zaista, možemo množiti bilo koje brojeve jedni s drugima, bilo da su pozitivni, negativni ili parni. Razmislimo o tome koji će znakovi ("" ili "") imati stupnjeve pozitivnih i negativnih brojeva?

Na primjer, da li je broj pozitivan ili negativan? A? ?

S prvim je sve jasno: bez obzira koliko pozitivnih brojeva pomnožimo jedan s drugim, rezultat će biti pozitivan.

Ali oni negativni su malo zanimljiviji. Sjećamo se jednostavnog pravila iz 6. razreda: „minus za minus daje plus“. To je, ili. Ali ako pomnožimo sa (), dobićemo - .

I tako u nedogled: svakim sljedećim množenjem predznak će se mijenjati. Možemo formulisati sljedeće jednostavna pravila:

čak stepen, - broj pozitivno.
Negativan broj podignut na odd stepen, - broj negativan.
Pozitivan broj u bilo kom stepenu je pozitivan broj.
Nula na bilo koji stepen jednaka je nuli.

Odredite sami koji znak će imati sljedeći izrazi:

1.	2.	3.
4.	5.	6.

Jeste li uspjeli? Evo odgovora:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

U prva četiri primjera, nadam se da je sve jasno? Jednostavno gledamo bazu i eksponent i primjenjujemo odgovarajuće pravilo.

U primjeru 5) sve također nije tako strašno kao što se čini: na kraju krajeva, nije važno čemu je baza jednaka - stepen je paran, što znači da će rezultat uvijek biti pozitivan. Pa, osim kada je baza nula. Baza nije jednaka, zar ne? Očigledno nije, jer (jer).

Primjer 6) više nije tako jednostavan. Ovdje trebate saznati šta je manje: ili? Ako se toga prisjetimo, postaje jasno to, a samim tim i osnova manje od nule. Odnosno, primjenjujemo pravilo 2: rezultat će biti negativan.

I opet koristimo definiciju stepena:

Sve je kao i obično - zapisujemo definiciju stupnjeva i dijelimo ih jedni s drugima, dijelimo ih u parove i dobivamo:

Prije nego što pogledamo posljednje pravilo, riješimo nekoliko primjera.

Izračunaj izraze:

Rješenja :

Ako zanemarimo osmu potenciju, šta vidimo ovdje? Prisjetimo se programa za 7. razred. Pa, sećaš li se? Ovo je formula za skraćeno množenje, odnosno razliku kvadrata!

Dobijamo:

Pogledajmo pažljivo imenilac. Mnogo liči na jedan od faktora brojila, ali šta nije u redu? Redoslijed termina je pogrešan. Ako bi se oni poništili, moglo bi se primijeniti pravilo 3. Ali kako? Ispostavilo se da je to vrlo lako: tu nam pomaže paran stepen nazivnika.

Ako to pomnožite sa, ništa se ne mijenja, zar ne? Ali sada ispada ovako:

Magično su termini promijenili mjesta. Ovaj “fenomen” se primjenjuje na bilo koji izraz u jednakoj mjeri: lako možemo promijeniti znakove u zagradama. Ali važno je zapamtiti: Svi znakovi se mijenjaju u isto vrijeme! Ne možete ga zamijeniti mijenjajući samo jedan nedostatak koji nam se ne sviđa!

Vratimo se na primjer:

I opet formula:

Dakle, sada poslednje pravilo:

Kako ćemo to dokazati? Naravno, kao i obično: proširimo pojam stepena i pojednostavimo ga:

Pa, otvorimo zagrade. Koliko ima ukupno slova? puta po množiteljima - na šta vas ovo podsjeća? Ovo nije ništa drugo do definicija operacije množenje: Tamo su bili samo množitelji. To jest, ovo je, po definiciji, stepen broja sa eksponentom:

primjer:

Stepen sa iracionalnim eksponentom

Pored informacija o stepenima za prosečan nivo, analiziraćemo stepen sa iracionalnim eksponentom. Sva pravila i svojstva stupnjeva ovdje su potpuno ista kao za stepen sa racionalnim eksponentom, s izuzetkom - na kraju krajeva, po definiciji, iracionalni brojevi su brojevi koji se ne mogu predstaviti kao razlomak, gdje su i cijeli brojevi (tj. , iracionalni brojevi su svi realni brojevi osim racionalnih brojeva).

Prilikom proučavanja stepena sa prirodnim, celobrojnim i racionalnim eksponentima, svaki put smo kreirali određenu „sliku“, „analogiju“ ili opis u poznatijim terminima. Na primjer, stepen sa prirodnim eksponentom je broj pomnožen sam sa sobom nekoliko puta; broj na nulti stepen je takoreći broj pomnožen sam sa sobom jednom, odnosno još ga nisu počeli množiti, što znači da se sam broj još nije ni pojavio - dakle rezultat je samo određeni „prazni broj“, odnosno broj; stepen sa cjelobrojnim negativnim eksponentom - kao da se dogodio neki "obrnuti proces", odnosno broj nije pomnožen sam sa sobom, već podijeljen.

Izuzetno je teško zamisliti stepen sa iracionalnim eksponentom (baš kao što je teško zamisliti 4-dimenzionalni prostor). To je prije čisto matematički objekt koji su matematičari stvorili kako bi proširili koncept stepena na cijeli prostor brojeva.

Inače, u nauci se često koristi stepen sa kompleksnim eksponentom, odnosno eksponent nije čak ni realan broj. Ali u školi ne razmišljamo o takvim poteškoćama; imaćete priliku da shvatite ove nove koncepte na institutu.

Dakle, šta da radimo ako vidimo iracionalni eksponent? Dajemo sve od sebe da ga se riješimo! :)

Na primjer:

Odlučite sami:

odgovori:

Prisjetimo se formule razlike kvadrata. Odgovor: .
Razlomke svodimo na isti oblik: ili obje decimale ili obje obične. Dobijamo, na primjer: .
Ništa posebno, koristimo uobičajena svojstva stupnjeva:

SAŽETAK ODJELJAKA I OSNOVNE FORMULE

Stepen naziva izraz oblika: , gdje je:

Stepen sa cjelobrojnim eksponentom

stepen čiji je eksponent prirodan broj (tj. cijeli broj i pozitivan).

Potencija s racionalnim eksponentom

stepen, čiji je eksponent negativan i razlomak.

Stepen sa iracionalnim eksponentom

stepen čiji je eksponent beskonačan decimalni razlomak ili korijen.

Svojstva stepeni

Karakteristike stepena.

Negativan broj podignut na čak stepen, - broj pozitivno.
Negativan broj podignut na odd stepen, - broj negativan.
Pozitivan broj u bilo kom stepenu je pozitivan broj.
Nula je jednaka bilo kojoj potenciji.
Bilo koji broj na nultu potenciju je jednak.

SADA IMATE RIJEČ...

Kako vam se sviđa članak? Napišite ispod u komentarima da li vam se sviđa ili ne.

Recite nam nešto o svom iskustvu korištenja svojstava diploma.

Možda imate pitanja. Ili sugestije.

Pišite u komentarima.

I sretno na ispitima!

Iz škole svi znamo pravilo o stepenovanju: svaki broj sa eksponentom N jednak je rezultatu množenja dati broj kod sebe N broj puta. Drugim riječima, 7 na stepen od 3 je 7 pomnoženo sam sa sobom tri puta, odnosno 343. Drugo pravilo je da podizanje bilo koje količine na stepen od 0 daje jedan, a povećanje negativne količine rezultat je običnog povećanja na stepen ako je paran, a isti rezultat sa predznakom minus ako je neparan.

Pravila daju i odgovor kako podići broj na negativan stepen. Da biste to učinili, potrebno je podići potrebnu vrijednost za modul indikatora na uobičajeni način, a zatim podijeliti jedinicu s rezultatom.

Iz ovih pravila postaje jasno da je implementacija stvarni problemi rukovanje velikim količinama će zahtijevati dostupnost tehnička sredstva. Ručno možete sami pomnožiti maksimalan raspon brojeva do dvadeset do trideset, a zatim ne više od tri ili četiri puta. Ovo da ne spominjemo dijeljenje jedan s rezultatom. Stoga, za one koji nemaju pri ruci poseban inženjerski kalkulator, reći ćemo vam kako podići broj na negativan stepen u Excelu.

Rješavanje problema u Excelu

Za rješavanje problema koji uključuju eksponencijaciju, Excel vam omogućava korištenje jedne od dvije opcije.

Prvi je upotreba formule sa standardnim znakom “poklopac”. Unesite sljedeće podatke u ćelije radnog lista:

Na isti način, možete podići željenu vrijednost na bilo koji stepen - negativan, razlomak. Hajde da to uradimo sledeće radnje i odgovori na pitanje kako podići broj na negativan stepen. primjer:

Možete ispraviti =B2^-C2 direktno u formuli.

Druga opcija je korištenje gotove funkcije “Degree”, koja uzima dva potrebna argumenta - broj i eksponent. Da biste ga počeli koristiti, samo stavite znak jednakosti (=) u bilo koju slobodnu ćeliju, što označava početak formule, i unesite gornje riječi. Ostaje samo odabrati dvije ćelije koje će sudjelovati u operaciji (ili ručno odrediti određene brojeve) i pritisnuti tipku Enter. Pogledajmo nekoliko jednostavnih primjera.

Formula

Rezultat

STEPEN(B2;C2)

STEPEN(B3;C3)

0,002915

Kao što vidite, nema ništa komplikovano u tome kako podići broj na negativan stepen i na običan stepen koristeći Excel. Uostalom, da biste riješili ovaj problem, možete koristiti i poznati simbol "poklopca" i ugrađenu funkciju programa, koju je lako zapamtiti. Ovo je definitivno plus!

Idemo dalje složeni primjeri. Prisjetimo se pravila kako podići broj na negativan razlomak, pa ćemo vidjeti da se ovaj problem vrlo lako rješava u Excelu.

Frakcioni indikatori

Ukratko, algoritam za izračunavanje broja sa frakcijskim eksponentom je sljedeći.

Pretvorite razlomak u pravilan ili nepravilan razlomak.
Podignite naš broj na brojnik rezultirajućeg pretvorenog razlomka.
Iz broja dobijenog u prethodnom pasusu izračunajte korijen, uz uvjet da eksponent korijena bude imenilac razlomka dobijenog u prvoj fazi.

Slažete se da čak i kada radite s malim brojevima i tačne razlomke Takvi proračuni mogu potrajati dosta vremena. Dobro je da Excel tabelarni procesor ne brine koji se broj podiže na koji stepen. Pokušajte riješiti sljedeći primjer na Excel radnom listu:

Koristeći gore navedena pravila, možete provjeriti i uvjeriti se da je izračun ispravno obavljen.

Na kraju našeg članka predstavit ćemo u obliku tablice s formulama i rezultatima nekoliko primjera kako podići broj na negativan stepen, kao i nekoliko primjera rada s razlomcima i potencijama.

Primjer tabele

Pogledajte sljedeće primjere u svom Excel radnom listu. Da bi sve funkcionisalo ispravno, potrebno je da koristite mešovitu referencu kada kopirate formulu. Popravite broj kolone koja sadrži broj koji se podiže i broj reda koji sadrži indikator. Vaša formula bi trebala imati otprilike sljedeći pogled: "=$B4^C$3".

Broj/stepen

Imajte na umu da se pozitivni brojevi (čak i necijeli brojevi) mogu izračunati bez problema za bilo koji eksponent. Nema problema sa podizanjem brojeva na cele brojeve. Ali konstrukcija negativan broj na razlomak će se za vas pretvoriti u grešku, jer je nemoguće poštovati pravilo navedeno na početku našeg članka o podizanju negativnih brojeva, jer je parnost karakteristika isključivo CELOG broja.

Nastavljajući razgovor o moći broja, logično je shvatiti kako pronaći vrijednost stepena. Ovaj proces se zove eksponencijacija. U ovom članku ćemo proučiti kako se izvodi eksponencijalnost i dotaknut ćemo se svega mogući pokazatelji stepeni – prirodni, celi, racionalni i iracionalni. A prema tradiciji, detaljno ćemo razmotriti rješenja primjera dizanja brojeva na različite stepene.

Navigacija po stranici.

Šta znači "eksponencijacija"?

Počnimo s objašnjenjem onoga što se zove eksponencijacija. Evo relevantne definicije.

Definicija.

Eksponencijacija- ovo je pronalaženje vrijednosti stepena broja.

Dakle, pronalaženje vrijednosti stepena broja a sa eksponentom r i podizanje broja a na stepen r su ista stvar. Na primjer, ako je zadatak "izračunaj vrijednost stepena (0,5) 5", onda se može preformulisati na sljedeći način: "Podići broj 0,5 na stepen 5."

Sada možete ići direktno na pravila po kojima se izvodi eksponencijacija.

Podizanje broja na prirodni stepen

U praksi se jednakost zasnovana na obično primjenjuje u obliku . To jest, kada se broj a podiže na razlomak m/n, prvo se uzima n-ti korijen broja a, nakon čega se rezultirajući rezultat podiže na cijeli broj m.

Pogledajmo rješenja za primjere podizanja na razlomak.

Primjer.

Izračunajte vrijednost stepena.

Rješenje.

Pokazaćemo dva rješenja.

Prvi način. Po definiciji stepena sa frakcijskim eksponentom. Izračunavamo vrijednost stepena ispod predznaka korijena, a zatim izdvajamo kubni korijen: .

Drugi način. Po definiciji stepena sa razlomačnim eksponentom i na osnovu svojstava korena, tačne su sledeće jednakosti: . Sada izvlačimo korijen , konačno, podižemo ga na cijeli broj .

Očigledno je da se dobijeni rezultati podizanja na razlomak stepena poklapaju.

odgovor:

Imajte na umu da se razlomak eksponenta može napisati kao decimalni razlomak ili mješoviti broj, u tim slučajevima ga treba zamijeniti odgovarajućim običnim razlomkom, a zatim podići na stepen.

Primjer.

Izračunaj (44,89) 2.5.

Rješenje.

Napišimo eksponent u obliku običan razlomak(ako je potrebno, pogledajte članak): . Sada izvodimo podizanje na razlomak:

odgovor:

(44,89) 2,5 =13 501,25107 .

Također treba reći da je podizanje brojeva na racionalne stepene prilično radno intenzivan proces (posebno kada brojnik i nazivnik razlomka eksponenta sadrže dosta veliki brojevi), što se obično izvodi pomoću kompjuterska tehnologija.

Da zaključimo ovu poentu, zadržimo se na podizanju broja nula na razlomak. Dali smo sljedeće značenje razlomku nule oblika: kada imamo , a na nuli do m/n snaga nije definirana. Dakle, nula do razlomka pozitivne moći je nula, na primjer, . I nula u razlomku negativnog stepena nema smisla, na primjer, izrazi 0 -4,3 nemaju smisla.

Uzdizanje na iracionalnu moć

Ponekad je potrebno saznati vrijednost stepena broja s iracionalnim eksponentom. U ovom slučaju, u praktične svrhe obično je dovoljno dobiti vrijednost stepena tačnu na određeni predznak. Odmah napominjemo da se u praksi ova vrijednost izračunava pomoću elektronskih računara, jer je za ručno podizanje na iracionalnu snagu potrebno velika količina glomazne kalkulacije. Ali ipak ćemo opisati u generalni nacrt suštinu akcije.

Da bi se dobila približna vrijednost stepena broja a sa iracionalnim eksponentom, uzima se neka decimalna aproksimacija eksponenta i izračunava se vrijednost stepena. Ova vrijednost je približna vrijednost stepena broja a sa iracionalnim eksponentom. Što je tačnija decimalna aproksimacija broja na početku, to je više tačna vrijednost diploma će se steći na kraju.

Kao primjer, izračunajmo približnu vrijednost snage 2 1,174367... . Uzmimo sljedeću decimalnu aproksimaciju iracionalnog eksponenta: . Sada dižemo 2 na racionalni stepen 1.17 (suštinu ovog procesa smo opisali u prethodnom paragrafu), dobijamo 2 1.17 ≈2.250116. dakle, 2 1,174367... ≈2 1,17 ≈2,250116 . Ako uzmemo precizniju decimalnu aproksimaciju iracionalnog eksponenta, na primjer, onda ćemo dobiti precizniju vrijednost originalnog eksponenta: 2 1,174367... ≈2 1,1743 ≈2,256833 .

Bibliografija.

Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Udžbenik matematike za 5. razred. obrazovne institucije.
Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: udžbenik za 7. razred. obrazovne institucije.
Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: udžbenik za 8. razred. obrazovne institucije.
Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: udžbenik za 9. razred. obrazovne institucije.
Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. i dr. Algebra i počeci analize: Udžbenik za 10. - 11. razred opšteobrazovnih ustanova.
Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematika (priručnik za one koji upisuju tehničke škole).

Prvi nivo

Stepen i njegova svojstva. Sveobuhvatni vodič (2019.)

Zašto su potrebne diplome? Gdje će vam trebati? Zašto biste trebali odvojiti vrijeme da ih proučite?

Kako biste saznali sve o diplomama, za šta su potrebne i kako svoje znanje iskoristiti u svakodnevnom životu, pročitajte ovaj članak.

I naravno, poznavanje diploma će vas približiti uspješnom polaganju Jedinstvenog državnog ispita ili Jedinstvenog državnog ispita i upisu na univerzitet iz snova.

Idemo... (Idemo!)

Važna napomena! Ako vidite gobbledygook umjesto formula, obrišite keš memoriju. Da biste to učinili, pritisnite CTRL+F5 (na Windowsima) ili Cmd+R (na Macu).

PRVI NIVO

Eksponencijacija je matematička operacija baš kao i sabiranje, oduzimanje, množenje ili dijeljenje.

Sada ću sve objasniti ljudskim jezikom koristeći vrlo jednostavne primjere. Budi pazljiv. Primjeri su elementarni, ali objašnjavaju važne stvari.

Počnimo sa sabiranjem.

Nema tu šta da se objašnjava. Sve već znate: ima nas osam. Svako ima po dve flaše kole. Koliko kole ima? Tako je - 16 boca.

Sada množenje.

Dakle, da biste brojali brže, lakše i bez grešaka, samo trebate zapamtiti tablica množenja. Naravno, sve možete raditi sporije, teže i sa greškama! Ali…

Evo tablice množenja. Ponovi.

I još jedna, ljepša:

Koje su još pametne trikove brojanja smislili lijeni matematičari? desno - podizanje broja na stepen.

Podizanje broja na stepen

Sve što treba da uradite je zapamtite šta je istaknuto bojom u tabeli stepena brojeva. Vjerujte mi, ovo će vam mnogo olakšati život.

Usput, zašto se zove drugi stepen? kvadrat brojevi, a treći - kocka? Šta to znači? Vrlo dobro pitanje. Sada ćete imati i kvadrate i kocke.

Primjer iz stvarnog života #1

Počnimo s kvadratom ili drugim stepenom broja.

Primjer iz stvarnog života #2

Primjer iz stvarnog života #3

Sada kocka ili treći stepen broja. Isti bazen. Ali sada morate saznati koliko vode treba uliti u ovaj bazen. Morate izračunati zapreminu. (Zapremine i tečnosti, inače, mere se u kubnim metrima. Neočekivano, zar ne?) Nacrtajte bazen: dno je metar veličine i metar duboko i pokušajte da izbrojite koliko će kockica dimenzija metar sa metar uklopiti u vaš bazen.

Ostaje samo zapamtite tabelu stepeni. Osim ako, naravno, niste lijeni i lukavi kao matematičari. Ako volite naporno raditi i griješiti, možete nastaviti da brojite prstom.

Pa da vas konačno uvjerim da su diplome izmislili oni koji odustaju i lukavi ljudi da rješavaju svoje životne probleme, a ne da vam stvaraju probleme, evo još par primjera iz života.

Primjer iz stvarnog života #4

Primjer iz stvarnog života #5

Sada znate da ćete podizanjem broja na stepen učiniti svoj život mnogo lakšim. Pogledajmo dalje šta možete učiniti sa diplomama i šta trebate znati o njima.

Termini i pojmovi... da se ne zabune

Dakle, prvo, hajde da definišemo koncepte. Šta ti misliš, šta je eksponent? Vrlo je jednostavno - to je broj koji je "na vrhu" snage broja. Nije naučno, ali jasno i lako pamtljivo...

Pa, u isto vreme, šta takvu osnovu diplome? Još jednostavnije - ovo je broj koji se nalazi ispod, u bazi.

Evo crteža za dobru meru.

Pa, generalno, radi generalizacije i boljeg pamćenja... Stepen sa osnovom “ ” i eksponentom “ ” čita se kao “do stepena” i piše se na sljedeći način:

Potencija broja s prirodnim eksponentom

Verovatno ste već pogodili: jer je eksponent prirodan broj. Da, ali šta je to prirodni broj? Osnovno! Prirodni brojevi su oni brojevi koji se koriste u brojanju pri popisivanju objekata: jedan, dva, tri... Kada brojimo predmete, ne kažemo: „minus pet“, „minus šest“, „minus sedam“. Takođe ne kažemo: „jedna trećina“, ili „nula zarez pet“. Ovo nisu prirodni brojevi. Šta mislite koji su to brojevi?

Postoje i iracionalni brojevi. Koji su to brojevi? Ukratko, to je beskonačan decimalni razlomak. Na primjer, ako podijelite obim kruga njegovim prečnikom, dobit ćete iracionalan broj.

Sažetak:

Definirajmo pojam stepena čiji je eksponent prirodan broj (tj. cijeli i pozitivan).

Bilo koji broj na prvi stepen jednak je samom sebi:
Kvadratirati broj znači pomnožiti ga sam sa sobom:
Kockati broj znači pomnožiti ga sam sa sobom tri puta:

Definicija. Podići broj na prirodni stepen znači pomnožiti broj sam sa sobom puta:
.

Svojstva stepeni

Odakle su ove nekretnine? Sada ću ti pokazati.

Da vidimo: šta je to I ?

A-prioritet:

Koliko množitelja ima ukupno?

Vrlo je jednostavno: faktorima smo dodali množitelje, a rezultat su množitelji.

Ali po definiciji, ovo je stepen broja sa eksponentom, to jest: , što je trebalo dokazati.

Primjer: Pojednostavite izraz.

Rješenje:

primjer: Pojednostavite izraz.

Rješenje: Važno je napomenuti da u našem pravilu Neophodno moraju postojati isti razlozi!
Stoga kombiniramo snage s bazom, ali ona ostaje zaseban faktor:

samo za proizvod moći!

Ni u kom slučaju to ne možete napisati.

2. to je to stepen broja

Kao i kod prethodnog svojstva, okrenimo se definiciji stepena:

Ispada da se izraz množi sam sa sobom puta, odnosno, prema definiciji, ovo je th stepen broja:

U suštini, ovo se može nazvati „vađenjem indikatora iz zagrada“. Ali ovo nikada ne možete učiniti ukupno:

Prisjetimo se skraćenih formula za množenje: koliko puta smo htjeli napisati?

Ali to ipak nije istina.

Snaga sa negativnom bazom

Do sada smo samo raspravljali o tome kakav bi eksponent trebao biti.

Ali šta bi trebalo da bude osnova?

U ovlastima prirodni pokazatelj osnova može biti bilo koji broj. Zaista, možemo množiti bilo koje brojeve jedni s drugima, bilo da su pozitivni, negativni ili parni.

Razmislimo o tome koji će znakovi ("" ili "") imati stupnjeve pozitivnih i negativnih brojeva?

Na primjer, da li je broj pozitivan ili negativan? A? ? S prvim je sve jasno: bez obzira koliko pozitivnih brojeva pomnožimo jedan s drugim, rezultat će biti pozitivan.

Ali oni negativni su malo zanimljiviji. Sjećamo se jednostavnog pravila iz 6. razreda: „minus za minus daje plus“. To je, ili. Ali ako pomnožimo sa, radi.

Odredite sami koji znak će imati sljedeći izrazi:

1)	2)	3)
4)	5)	6)

Jeste li uspjeli?

Evo odgovora: U prva četiri primjera, nadam se da je sve jasno? Jednostavno gledamo bazu i eksponent i primjenjujemo odgovarajuće pravilo.

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

U primjeru 5) sve također nije tako strašno kao što se čini: na kraju krajeva, nije važno čemu je baza jednaka - stepen je paran, što znači da će rezultat uvijek biti pozitivan.

Pa, osim kada je baza nula. Baza nije jednaka, zar ne? Očigledno nije, jer (jer).

Primjer 6) više nije tako jednostavan!

6 primjera za praksu

Analiza rješenja 6 primjera

Ako zanemarimo osmu potenciju, šta vidimo ovdje? Prisjetimo se programa za 7. razred. Pa, sećaš li se? Ovo je formula za skraćeno množenje, odnosno razliku kvadrata! Dobijamo:

Pogledajmo pažljivo imenilac. Mnogo liči na jedan od faktora brojila, ali šta nije u redu? Redoslijed termina je pogrešan. Ako bi bili obrnuti, pravilo bi se moglo primijeniti.

Ali kako to učiniti? Ispostavilo se da je to vrlo lako: tu nam pomaže paran stepen nazivnika.

Magično su termini promijenili mjesta. Ovaj “fenomen” se primjenjuje na bilo koji izraz u jednakoj mjeri: lako možemo promijeniti znakove u zagradama.

Ali važno je zapamtiti: svi znakovi se mijenjaju u isto vrijeme!

Vratimo se na primjer:

I opet formula:

Cijeli nazivamo prirodne brojeve, njihove suprotnosti (tj. uzeti sa znakom " ") i broj.

pozitivan cijeli broj, i ne razlikuje se od prirodnog, onda sve izgleda baš kao u prethodnom odeljku.

Pogledajmo sada nove slučajeve. Počnimo s indikatorom jednakim.

Bilo koji broj na nulti stepen jednak je jedan:

Kao i uvijek, zapitajmo se: zašto je to tako?

Razmotrimo neki stepen sa bazom. Uzmite, na primjer, i pomnožite sa:

Dakle, pomnožili smo broj sa, i dobili smo istu stvar kakva je bila - . Kojim brojem treba pomnožiti da se ništa ne promijeni? Tako je, na. Sredstva.

Isto možemo učiniti i sa proizvoljnim brojem:

Ponovimo pravilo:

Bilo koji broj na nulti stepen jednak je jedan.

Ali postoje izuzeci od mnogih pravila. I ovdje je također tu - ovo je broj (kao osnova).

Idemo dalje. Osim prirodnih brojeva i brojeva, cijeli brojevi uključuju i negativne brojeve. Da bismo razumjeli šta je negativan stepen, učinimo kao prošli put: pomnožimo neki normalan broj s istim brojem na negativan stepen:

Odavde je lako izraziti ono što tražite:

Proširimo rezultujuće pravilo na proizvoljan stepen:

Dakle, formulirajmo pravilo:

Broj sa negativnom potencijom recipročan je istom broju pozitivne moći. Ali istovremeno Baza ne može biti null:(jer ne možete podijeliti po).

Hajde da rezimiramo:

I. Izraz nije definiran u slučaju. Ako onda.

II. Bilo koji broj na nulti stepen jednak je jedan: .

III. Broj koji nije jednak nuli na negativan stepen je obrnut od istog broja pozitivnom stepenu: .

Zadaci za samostalno rješavanje:

Pa, kao i obično, primjeri za nezavisna rješenja:

Analiza problema za samostalno rješavanje:

Nastavimo širiti raspon brojeva „prikladnih“ kao eksponent.

Sada razmotrimo racionalni brojevi. Koji se brojevi nazivaju racionalnim?

Odgovor: sve što se može predstaviti kao razlomak, gdje su i cijeli brojevi i.

Da razumem šta je to "razlomni stepen", uzmi u obzir razlomak:

Podignimo obje strane jednadžbe na stepen:

Sada se prisjetimo pravila o "stepen do stepena":

Koji broj se mora podići na stepen da se dobije?

Ova formulacija je definicija korena th stepena.

Da vas podsjetim: korijen th stepena broja () je broj koji je, kada se podigne na stepen, jednak.

To jest, korijen th stepena je inverzna operacija podizanja na stepen: .

Ispostavilo se da. Očigledno, ovaj poseban slučaj se može proširiti: .

Sada dodajemo brojilac: šta je to? Odgovor je lako dobiti pomoću pravila snage-na-pone:

Ali može li baza biti bilo koji broj? Na kraju krajeva, korijen se ne može izdvojiti iz svih brojeva.

Nijedan!

Podsjetimo se pravila: svaki broj podignut na paran stepen je pozitivan broj. Odnosno, nemoguće je izvući čak i korijene iz negativnih brojeva!

To znači da se takvi brojevi ne mogu podići na razlomak sa parnim nazivnikom, odnosno izraz nema smisla.

Šta je sa izrazom?

Ali ovdje nastaje problem.

Broj se može predstaviti u obliku drugih, reducibilnih razlomaka, na primjer, ili.

I ispostavilo se da postoji, ali ne postoji, ali to su samo dva različita zapisa istog broja.

Ili drugi primjer: jednom, onda možete to zapisati. Ali ako drugačije zapišemo indikator, opet ćemo upasti u nevolje: (odnosno, dobili smo potpuno drugačiji rezultat!).

Da bismo izbjegli takve paradokse, smatramo samo pozitivan osnovni eksponent sa razlomanim eksponentom.

Sta ako:

- prirodni broj;
- cijeli broj;

primjeri:

Racionalni eksponenti su vrlo korisni za transformaciju izraza s korijenima, na primjer:

5 primjera za praksu

Analiza 5 primjera za obuku

Pa, sada dolazi najteži dio. Sada ćemo to shvatiti stepen sa iracionalnim eksponentom.

Sva pravila i svojstva stupnjeva ovdje su potpuno ista kao za stepen sa racionalnim eksponentom, sa izuzetkom

Uostalom, po definiciji, iracionalni brojevi su brojevi koji se ne mogu predstaviti kao razlomak, gdje su i cijeli brojevi (to jest, iracionalni brojevi su svi realni brojevi osim racionalnih).

Prilikom proučavanja stepena sa prirodnim, celobrojnim i racionalnim eksponentima, svaki put smo kreirali određenu „sliku“, „analogiju“ ili opis u poznatijim terminima.

Na primjer, stepen sa prirodnim eksponentom je broj pomnožen sam sa sobom nekoliko puta;

...negativan cjelobrojni stepen- kao da se desio neki „obrnuti proces“, odnosno broj nije pomnožen sam sa sobom, već podeljen.

Inače, u nauci se često koristi stepen sa kompleksnim eksponentom, odnosno eksponent nije čak ni realan broj.

Ali u školi ne razmišljamo o takvim poteškoćama; imaćete priliku da shvatite ove nove koncepte na institutu.

GDJE SMO SIGURNI DA ĆETE ITI! (ako naučiš rješavati takve primjere :))

Na primjer:

Odlučite sami:

Analiza rješenja:

1. Počnimo s uobičajenim pravilom za podizanje stepena na stepen:

Sada pogledajte indikator. Zar te on ni na šta ne podsjeća? Prisjetimo se formule za skraćeno množenje razlike kvadrata:

U ovom slučaju,

Ispada da:

odgovor: .

2. Razlomke u eksponentima svodimo na isti oblik: ili obje decimale ili obje obične. Dobijamo, na primjer:

Odgovor: 16

3. Ništa posebno, koristimo uobičajena svojstva stupnjeva:

NAPREDNI NIVO

Određivanje stepena

Stepen je izraz oblika: , gdje je:

— osnova stepena;
- eksponent.

Stepen sa prirodnim indikatorom (n = 1, 2, 3,...)

Podići broj na prirodni stepen n znači množenje broja sam po sebi puta:

Stepen sa cjelobrojnim eksponentom (0, ±1, ±2,...)

Ako je eksponent pozitivan cijeli broj broj:

Izgradnja na nulti stepen:

Izraz je neodređen, jer, s jedne strane, u bilo kojem stepenu je ovo, a s druge strane, bilo koji broj do th stepena je ovo.

Ako je eksponent negativan cijeli broj broj:

(jer ne možete podijeliti po).

Još jednom o nulama: izraz nije definiran u slučaju. Ako onda.

primjeri:

Potencija s racionalnim eksponentom

- prirodni broj;
- cijeli broj;

primjeri:

Svojstva stepeni

Da bismo olakšali rješavanje problema, pokušajmo razumjeti: odakle su ova svojstva došla? Dokažimo ih.

Da vidimo: šta je i?

A-prioritet:

Dakle, sa desne strane ovog izraza dobijamo sledeći proizvod:

Ali po definiciji to je stepen broja sa eksponentom, to jest:

Q.E.D.

Primjer : Pojednostavite izraz.

Rješenje : .

Primjer : Pojednostavite izraz.

Rješenje : Važno je napomenuti da u našem pravilu Neophodno moraju postojati isti razlozi. Stoga kombiniramo snage s bazom, ali ona ostaje zaseban faktor:

Još jedna važna napomena: ovo pravilo - samo za proizvod moći!

Ni u kom slučaju to ne možete napisati.

Kao i kod prethodnog svojstva, okrenimo se definiciji stepena:

Hajde da pregrupišemo ovaj posao ovako:

Ispada da se izraz množi sam sa sobom puta, odnosno, prema definiciji, ovo je th stepen broja:

U suštini, ovo se može nazvati „vađenjem indikatora iz zagrada“. Ali ovo nikada ne možete učiniti ukupno: !

Prisjetimo se skraćenih formula za množenje: koliko puta smo htjeli napisati? Ali to ipak nije istina.

Snaga s negativnom bazom.

Do sada smo samo razgovarali o tome kako bi to trebalo da bude index stepeni. Ali šta bi trebalo da bude osnova? U ovlastima prirodno indikator osnova može biti bilo koji broj .

Zaista, možemo množiti bilo koje brojeve jedni s drugima, bilo da su pozitivni, negativni ili parni. Razmislimo o tome koji će znakovi ("" ili "") imati stupnjeve pozitivnih i negativnih brojeva?

Na primjer, da li je broj pozitivan ili negativan? A? ?

S prvim je sve jasno: bez obzira koliko pozitivnih brojeva pomnožimo jedan s drugim, rezultat će biti pozitivan.

Ali oni negativni su malo zanimljiviji. Sjećamo se jednostavnog pravila iz 6. razreda: „minus za minus daje plus“. To je, ili. Ali ako pomnožimo sa (), dobićemo - .

I tako u nedogled: svakim sljedećim množenjem predznak će se mijenjati. Mogu se formulirati sljedeća jednostavna pravila:

čak stepen, - broj pozitivno.
Negativan broj podignut na odd stepen, - broj negativan.
Pozitivan broj u bilo kom stepenu je pozitivan broj.
Nula na bilo koji stepen jednaka je nuli.

Odredite sami koji znak će imati sljedeći izrazi:

1.	2.	3.
4.	5.	6.

Jeste li uspjeli? Evo odgovora:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

U prva četiri primjera, nadam se da je sve jasno? Jednostavno gledamo bazu i eksponent i primjenjujemo odgovarajuće pravilo.

Primjer 6) više nije tako jednostavan. Ovdje trebate saznati šta je manje: ili? Ako se toga sjetimo, postaje jasno da je baza manja od nule. Odnosno, primjenjujemo pravilo 2: rezultat će biti negativan.

I opet koristimo definiciju stepena:

Sve je kao i obično - zapisujemo definiciju stupnjeva i dijelimo ih jedni s drugima, dijelimo ih u parove i dobivamo:

Prije nego što pogledamo posljednje pravilo, riješimo nekoliko primjera.

Izračunaj izraze:

Rješenja :

Ako zanemarimo osmu potenciju, šta vidimo ovdje? Prisjetimo se programa za 7. razred. Pa, sećaš li se? Ovo je formula za skraćeno množenje, odnosno razliku kvadrata!

Dobijamo:

Ako to pomnožite sa, ništa se ne mijenja, zar ne? Ali sada ispada ovako:

Vratimo se na primjer:

I opet formula:

Dakle, sada poslednje pravilo:

Kako ćemo to dokazati? Naravno, kao i obično: proširimo pojam stepena i pojednostavimo ga:

primjer:

Stepen sa iracionalnim eksponentom

Dakle, šta da radimo ako vidimo iracionalni eksponent? Dajemo sve od sebe da ga se riješimo! :)

Na primjer:

Odlučite sami:

odgovori:

Prisjetimo se formule razlike kvadrata. Odgovor: .
Razlomke svodimo na isti oblik: ili obje decimale ili obje obične. Dobijamo, na primjer: .
Ništa posebno, koristimo uobičajena svojstva stupnjeva:

SAŽETAK ODJELJAKA I OSNOVNE FORMULE

Stepen naziva izraz oblika: , gdje je:

Stepen sa cjelobrojnim eksponentom

stepen čiji je eksponent prirodan broj (tj. cijeli broj i pozitivan).

Potencija s racionalnim eksponentom

stepen, čiji je eksponent negativan i razlomak.

Stepen sa iracionalnim eksponentom

stepen čiji je eksponent beskonačan decimalni razlomak ili korijen.

Svojstva stepeni

Karakteristike stepena.

Negativan broj podignut na čak stepen, - broj pozitivno.
Negativan broj podignut na odd stepen, - broj negativan.
Pozitivan broj u bilo kom stepenu je pozitivan broj.
Nula je jednaka bilo kojoj potenciji.
Bilo koji broj na nultu potenciju je jednak.

SADA IMATE RIJEČ...

Kako vam se sviđa članak? Napišite ispod u komentarima da li vam se sviđa ili ne.

Recite nam nešto o svom iskustvu korištenja svojstava diploma.

Možda imate pitanja. Ili sugestije.

Pišite u komentarima.

I sretno na ispitima!

Kao što znate, u matematici ne postoje samo pozitivni brojevi, već i negativni. Ako upoznavanje s pozitivnim moćima počinje određivanjem površine kvadrata, onda je s negativnim moćima sve nešto složenije.

Ovo bi trebalo da znate:

Podizanje broja na prirodni stepen je množenje broja (u članku ćemo razmotriti koncepte broja i cifre ekvivalentne) samo po sebi u količini kao što je eksponent (u budućnosti ćemo paralelno koristiti i jednostavno riječ eksponent). 6^3 = 6*6*6 = 36*6 =216. Generalno, to izgleda ovako: m^n = m*m*m*…*m (n puta).
Mora se uzeti u obzir da kada se negativan broj podigne na prirodni stepen, on će postati pozitivan ako je eksponent paran.
Podizanjem broja na eksponent 0 daje se jedinica, pod uslovom da nije jednak nuli. Potenc od nule do nule smatra se nedefinisanim. 17^0 = 1.
Izdvajanje korijena određene snage iz broja je pronalaženje broja koji će, kada se podigne na odgovarajući eksponent, dati željenu vrijednost. Dakle, kubni korijen od 125 je 5, budući da je 5^3 = 125.
Ako želite podići broj na pozitivan razlomak, onda morate podići broj na eksponent nazivnika i iz njega izvući korijen brojnog eksponenta. 6^5/7 = sedmi korijen proizvoda 6*6*6*6*6.
Ako želite podići broj na negativan eksponent, onda morate pronaći inverznu vrijednost datog broja. x^-3 = 1/x^3. 8^-4 = 1/8^4 = 1/8*8*8*8 = 1/4096.

Podizanje broja po modulu nula na jedan na negativan stepen

Prvo treba da zapamtimo šta je modul. Ovo je udaljenost na koordinatnoj liniji od vrijednosti koju smo odabrali do ishodišta (nula koordinatne linije). Po definiciji, nikada ne može biti negativan.

Vrijednost veća od nule

Kada je vrijednost cifre između nule i jedan, negativan indikator daje povećanje same cifre. To se događa jer se nazivnik smanjuje dok ostaje pozitivan.

Pogledajmo primjere:

1/7^-3 = 1/(1/7^3) = 1/(1/343) = 343;
0,2^-5 = 1/0,2^5 = 1/0,2*0,2*0,2*0,2*0,2 = 1/0,00032 = 3125.

Štoviše, što je veći modul indikatora, broj aktivnije raste. Kako imenilac teži nuli, sam razlomak teži plus beskonačnosti.

Vrijednost manja od nule

Pogledajmo sada kako podići na negativan stepen ako je broj manji od nule. Princip je isti kao u prethodnom dijelu, ali ovdje je važan znak indikatora.

Pogledajmo još jednom primjere:

-19 / 21^-4 = 1/(-19/21)^4 = 1/(-19)^4/21^4 = 21^4/(-19)^4 = 21*21*21*21/(-19)*(-19)*(-19)*(-19) = 194481/130321 = 1,4923228;
-29/40^-5 = 1/(-29/40)^5 = 1/(-29)^5/40^5 = 40^5/(-29)^5 = 40*40*40*40*40/(-29)*(-29)*(-29)*(-29)*(-29) = 102400000/(-20511149) = -4,9924.

U ovom slučaju to vidimo modul nastavlja da raste, ali predznak zavisi od toga da li je indikator paran ili neparan.

Treba napomenuti da ako izgradimo jedinicu, ona će uvijek ostati sama. Ako trebate podići broj minus jedan, onda će se s parnim eksponentom pretvoriti u jedan, a s neparnim će ostati minus jedan.

Povećanje na negativan cijeli broj ako je modul veći od jedan

Za brojeve čiji je modul veći od jedan, ima svoje specifičnosti delovanja. Prije svega, trebate pretvoriti cijeli dio razlomka u brojilac, odnosno pretvoriti ga u nepravilan razlomak. Ako imamo decimalni razlomak, onda ga moramo pretvoriti u običan razlomak. To se radi na sljedeći način:

6 cijelih brojeva 7/17 = 109/17;
2,54 = 254/100.

Pogledajmo sada kako podići broj na negativan stepen pod ovim uslovima. Već iz navedenog možemo pretpostaviti šta možemo očekivati od rezultata proračuna. Pošto se dvostruki razlomak invertuje tokom pojednostavljivanja, modul figure će se smanjivati brže, što je veći modul eksponenta.

Prvo, razmotrimo situaciju kada broj dat u zadatku je pozitivan.

Prije svega, postaje jasno da konačni rezultatće biti veći od nule, jer dijeljenje dva pozitivna uvijek daje pozitivnu. Pogledajmo još jednom primjere kako se to radi:

6 cijelih brojeva 1/20 na minus peti stepen = 121/20^-5 = 1/(121/20)^5 = 1/121^5/20^5 = 20^5/121^5 = 3200000/25937424601 = 0 ,0001234;
2,25^-6 = (225/100)^-6 = 1/(225/100)^6 = 1/225^6/100^6 = 100^6/225^6 = 100*100*100*100*100*100/225*225*225*225*225*225 = 0,007413.

Kao što vidite, radnje ne predstavljaju nikakve posebne poteškoće, a sve naše početne pretpostavke su se pokazale tačnima.

Sada se okrenimo slučaju negativne znamenke.

Za početak, možemo pretpostaviti da ako je indikator paran, onda će rezultat biti pozitivan, ako je indikator neparan, onda će rezultat biti negativan. Svi naši prethodni proračuni u ovom dijelu sada će se smatrati važećim. Pogledajmo još jednom primjere:

-3 cijeli 1/2 na minus šesti stepen = (-7/2)^-6 = 1/(-7/2)^6 = 1/(-7)^6/2^6 = 2*2* 2 *2*2*2/(-7)*(-7)*(-7)*(-7)*(-7)*(-7) = 64/117649 = 0,000544;
-1,25^-5 = (-125/100)^-5 = 1/(-125/100)^5 = 1/(-125)^5/100^5 = 100^5/(-125)^5 = 100*100*100*100*100/(-125)*(-125)*(-125)*(-125)*(-125) = 10000000000/(-30517578125) = -0.32768.

Tako se pokazalo da su sva naša razmišljanja tačna.

Konstrukcija u slučaju negativnog razlomka eksponenta

Ovdje morate imati na umu da takva konstrukcija postoji izdvajanje korena stepena nazivnika iz broja u stepen brojnika. Sva naša prethodna razmišljanja ovog puta ostaju tačna. Objasnimo naše postupke na primjeru:

4^-3/2 = 1/4^3/2 = 1/rad(4^3) = 1/rad64 = 1/8.

U ovom slučaju, morate imati na umu da vađenje korijena visoki nivo moguće je samo u posebno odabranom obliku i, najvjerovatnije, nećete se moći riješiti znaka radikala (kvadratni korijen, kubni korijen, itd.) Točnim proračunima.

Ipak, nakon što smo detaljno proučili prethodna poglavlja, ne biste trebali očekivati poteškoće u školskim proračunima.

Treba napomenuti da opis ovog poglavlja takođe uključuje konstrukcija sa namjerno iracionalnim pokazateljem, na primjer, ako je indikator jednak minus PI. Morate se ponašati prema gore opisanim principima. Međutim, proračuni u takvim slučajevima postaju toliko složeni da to mogu učiniti samo moćni elektronski računari.

Zaključak

Akcija koju smo proučavali je jedan od najtežih problema u matematici(posebno u slučaju frakciono-racionalnog ili iracionalnog značenja). Međutim, detaljnim proučavanjem ovih uputstava korak po korak, možete naučiti kako to učiniti potpuno automatski bez ikakvih problema.