Aritmetisk metode. Matematikktime "algebraiske og aritmetiske metoder for å løse problemer." Metoder for å lære elevene å løse

Analysere disse problemene, observere hva problemene har til felles fra et matematisk synspunkt, hva er forskjellene, finne en ekstraordinær måte å løse problemer på, lage en sparegris med problemløsningsteknikker, lære hvordan du løser ett problem forskjellige måter.En problemsimulator gruppert under samme tema "Aritmetiske metoder for å løse problemer", oppgaver for å jobbe i en gruppe og for individuelt arbeid.

"oppgaver for simulatormanualen"

Trener: "Aritmetiske metoder for å løse problemer"

"Sammenligning av tall etter sum og forskjell."

Det er 80 boletussopp i to kurver. Den første kurven inneholder 10 mindre boletus enn den andre. Hvor mange boletussopp er det i hver kurv?

Systudioet fikk 480 m med denim og drapering. Denimstoff ble levert 140 m mer enn draperi. Hvor mange meter dongeri fikk studioet?

TV-tårnmodellen består av to blokker. Den nedre blokken er 130 cm kortere enn den øvre. Hva er høyden på øvre og nedre blokk hvis høyden på tårnet er 4 m 70 cm?

To bokser inneholder 16 kg småkaker. Finn massen av informasjonskapsler i hver boks hvis en av dem inneholder 4 kg mer informasjonskapsler.

Oppgave fra "Aritmetikk" av L. N. Tolstoy.

a) To menn har 35 sauer. Den ene har 9 flere sauer enn den andre. Hvor mange sauer har hver person?

b) To menn har 40 sauer, og den ene har 6 sauer mindre enn den andre. Hvor mange sauer har hver mann?

Det sto 23 biler og motorsykler med sidevogn i garasjen. Biler og motorsykler har 87 hjul. Hvor mange motorsykler er det i garasjen hvis hver sidevogn har et reservehjul?

"Euleriske sirkler".

Huset har 120 beboere, hvorav noen har hunder og katter. Det er en sirkel i bildet MED skildrer beboere med hunder, sirkel TIL – beboere med katter. Hvor mange leietakere har både hunder og katter? Hvor mange leietakere har bare hunder? Hvor mange leietakere har kun katter? Hvor mange leietakere har verken hunder eller katter?

Av de 52 skoleelevene spiller 23 volleyball og 35 basketball, og 16 spiller både volleyball og basketball. Resten driver ikke med noen av disse idrettene. Hvor mange skolebarn driver ikke med noen av disse idrettene?

Det er en sirkel i bildet EN skildrer alle universitetsansatte som vet engelske språk, sirkel N – som kan tysk og sirkel F - Fransk. Hvor mange universitetsansatte kan: a) 3 språk; b) engelsk og tysk; c) Fransk? Hvor mange universitetsansatte er det? Hvor mange av dem snakker ikke fransk?

Den internasjonale konferansen ble deltatt av 120 personer. Av disse snakker 60 russisk, 48 snakker engelsk, 32 snakker tysk, 21 snakker russisk og tysk, 19 snakker engelsk og tysk, 15 snakker russisk og engelsk, og 10 personer snakket alle tre språkene. Hvor mange konferansedeltakere snakker ikke noen av disse språkene?

82 elever synger i koret og øver på dans. rytmisk gymnastikk Det er 32 elever, og 78 elever synger i koret og driver med rytmisk gymnastikk. Hvor mange elever synger i kor, danser og driver rytmisk gymnastikk hver for seg, hvis man vet at hver elev bare gjør én ting?

Hver familie som bor i huset vårt abonnerer på enten en avis eller et magasin, eller begge deler. 75 familier abonnerer på en avis, og 27 familier abonnerer på et magasin, og bare 13 familier abonnerer på både et magasin og en avis. Hvor mange familier bor i huset vårt?

"Metode for datajustering".

Det er 29 blomster i 3 små og 4 store buketter, og 35 blomster i 5 små og 4 store buketter. Hvor mange blomster er det i hver bukett individuelt?

Massen av 2 sjokoladeplater - store og små - er 120 g, og 3 store og 2 små - 320 g. Hva er massen til hver bar?

5 epler og 3 pærer veier 810 g, og 3 epler og 5 pærer veier 870 g. Hvor mye veier ett eple? En pære?

Fire andunger og fem gåsunger veier 4 kg 100 g, fem andunger og fire gåsunger veier 4 kg. Hvor mye veier en andunge?

For en hest og to kuer gis det 34 kg høy daglig, og for to hester og en ku - 35 kg høy. Hvor mye høy gis til en hest og hvor mye til en ku?

3 røde kuber og 6 blå kuber koster 165 tenge rubler. Dessuten er fem røde 95 tenge dyrere enn to blå. Hvor mye koster hver kube?

2 skissebøker og 3 frimerkealbum koster sammen 160 rubler, og 3 skissebøker koster 45 rubler. dyrere enn to frimerkealbum.

"Teller".

Seryozha bestemte seg for å gi moren sin en bukett med blomster (roser, tulipaner eller nelliker) til bursdagen hennes og sette dem enten i en vase eller i en mugge. På hvor mange måter kan han gjøre dette?

Hvor mange tresifrede tall kan lages av sifrene 0, 1, 3, 5 hvis sifrene i tallet ikke gjentas?

Onsdag i 5. klasse er det fem timer: matematikk, kroppsøving, historie, russisk og naturfag. Hvor mange ulike alternativer Kan du lage en timeplan for onsdag?

"En eldgammel måte å løse problemer som involverer blanding av stoffer."

Hvordan blande oljer? En viss person hadde to typer olje til salgs: en til en pris på 10 hryvnia per bøtte, den andre til 6 hryvnia per bøtte. Han ønsket å lage olje av disse to oljene, blande dem, og koste 7 hryvnia per bøtte. Hvilke deler av disse to oljene må du ta for å få en bøtte med olje verdt 7 hryvnia?

Hvor mye karamell må du ta til en pris på 260 tenge per 1 kg og til en pris på 190 tenge per 1 kg for å lage 21 kg av blandingen til en pris på 210 tenge per kilo?

Noen har tre varianter av te - Ceylon for 5 hryvnia per pund, indisk for 8 hryvnia per pund og kinesisk for 12 hryvnia per pund. I hvilke proporsjoner bør disse tre variantene blandes for å få te verdt 6 hryvnia per pund?

Noen har sølv av forskjellige standarder: en er 12. standard, en annen er 10. standard, den tredje er 6. standard. Hvor mye sølv bør du ta for å få 1 pund 9. standard sølv?

Kjøpmannen kjøpte 138 arshins av svart og blått tøy for 540 rubler. Spørsmålet er, hvor mange arshins kjøpte han for begge, hvis den blå kostet 5 rubler? for en arshin, og svart - 3 rubler?

Ulike oppgaver.

Til nyttårsgaver kjøpte vi 87 kg frukt, og det var 17 kg mer epler enn appelsiner. Hvor mange epler og hvor mange appelsiner kjøpte du?

Ved nyttårstreet var det 3 ganger flere snøfnugg for barn i karnevalskostymer enn i persillekostymer. Hvor mange barn var det i persillekostymer hvis det var 12 færre av dem?

Masha fikk 2 ganger mindre Nyttårshilsener enn Kolya. Hvor mange gratulasjoner fikk hver person hvis det var 27 totalt? (9 og 18).

Det ble kjøpt inn 28 kg godteri til nyttårspremier. Godterier "Swallow" besto av 2 deler, "Muse" - 3 deler, "Romashka" - 2 deler. Hvor mange søtsaker av hver type kjøpte du? (8, 8, 12).

Det er 2004 kg mel på lageret. Kan den legges i poser som veier 9 kg og veier 18 kg?

Det er 5 forskjellige kopper og 3 forskjellige underfat i butikken "Alt til te" På hvor mange måter kan du kjøpe kopp og underfat?

En hest spiser en høystakk på 2 dager, en ku på 3, en sau på 6. Hvor mange dager vil det ta dem å spise høystakken hvis de spiser den sammen?

Se dokumentinnholdet
"leksjonssammendrag arif sp"

"Aritmetiske metoder for å løse ordoppgaver."

For en matematikkstudent er det ofte mer nyttig å løse samme oppgave på tre forskjellige måter enn å løse tre eller fire forskjellige oppgaver. Ved å løse ett problem på forskjellige måter kan du ved sammenligning finne ut hvilket som er kortere og mer effektivt. Slik utvikles erfaring.

W.W. Sawyer

Hensikten med leksjonen: bruke kunnskapen tilegnet i tidligere leksjoner, vise fantasi, intuisjon, fantasi og oppfinnsomhet for å løse testoppgaver på ulike måter.

Leksjonsmål: pedagogisk: ved å analysere disse problemene, observere hva problemene har til felles fra en matematikers synspunkt, hva er forskjellene, finne en ekstraordinær måte å løse problemer på, lage en sparegris med teknikker for å løse problemer, lære å løse ett problem på forskjellige måter.

Utviklingsmessig: føler behov for selvrealisering når du befinner deg i en bestemt rollesituasjon.

Pedagogisk: utvikle personlige egenskaper, danne en kommunikativ kultur.

Utdanningsmidler: en simulator av oppgaver gruppert under samme tema «Regemetoder for problemløsning», oppgaver for arbeid i gruppe og for individuelt arbeid.

UNDER KLASSENE.

JEG. Organisering av tid

Hei folkens. Sitt ned. I dag har vi en leksjon om emnet "Aritmetiske metoder for å løse ordproblemer."

II. Oppdatering av kunnskap.

Matematikk er en av de eldgamle og viktige vitenskaper. Folk brukte mye matematisk kunnskap i antikken – for tusenvis av år siden. De var nødvendige for kjøpmenn og byggherrer, krigere og landmålere, prester og reisende.

Og nå for tiden kan ikke en eneste person klare seg i livet uten gode matematikkkunnskaper. Grunnlaget god forståelse matematikk - evnen til å telle, tenke, resonnere, finne vellykkede løsninger på problemer.

I dag skal vi se på aritmetiske metoder for å løse ordoppgaver, vi skal analysere eldgamle problemer som har kommet ned til oss fra forskjellige land og tider, oppgaver om utjevning, sammenligning etter sum og differanse, og andre.

Hensikten med leksjonen er å involvere deg i fantastisk verden skjønnhet, rikdom og mangfold - verden interessante oppgaver. Og introduser deg derfor til noen aritmetiske metoder som fører til svært elegante og lærerike løsninger.

En oppgave er nesten alltid et søk, oppdagelsen av noen egenskaper og sammenhenger, og virkemidlene for å løse den er intuisjon og formodninger, lærdom og mestring av matematiske metoder.

De viktigste i matematikk er aritmetiske og algebraiske metoder for å løse problemer.

Å løse et problem ved hjelp av aritmetisk metode betyr å finne svaret på kravet til oppgaven ved å utføre aritmetiske operasjoner på tall.

Med den algebraiske metoden finner man svaret på spørsmålet om problemet som et resultat av å komponere og løse ligningen.

Det er ingen hemmelighet at en person som eier forskjellige verktøy og bruker dem avhengig av arten av arbeidet som utføres, oppnår betydelig bedre resultater enn en person som bare eier ett universelt verktøy.

Det finnes mange aritmetiske metoder og ikke-standardteknikker for å løse problemer. I dag vil jeg introdusere deg for noen av dem.

1. Metode for å løse ordproblemer "Sammenligning av tall etter sum og forskjell."

Oppgave : Bestemor hentet 51 kg gulrøtter og kål fra sommerhytta om høsten. Det var 15 kg mer kål enn gulrøtter. Hvor mange kilo gulrøtter og hvor mange kilo kål samlet bestemor?

Spørsmål som tilsvarer punktene i problemløsningsalgoritmen av denne klassen.

1. Finn ut hvilke mengder som diskuteres i oppgaven

Om antall gulrøtter og kål som bestemor samlet, sammen og hver for seg.

2. Angi verdiene for hvilke mengder som må finnes i oppgaven.

Hvor mange kilo gulrøtter og hvor mange kilo kål samlet bestemor?

3. Nevn forholdet mellom mengdene i oppgaven.

Oppgaven snakker om summen og forskjellen av mengder.

4. Nevn summen og differansen av verdiene av mengder.

Sum – 51 kg, forskjell – 15 kg.

5. Ved å utjevne mengdene, finn den doble verdien av den mindre mengden (trekk forskjellen av mengdene fra summen av mengdene).

51 – 15 = 36 (kg) – dobbel mengde gulrøtter.

6. Når du kjenner den doblede verdien, finner du den minste verdien (del den doblede verdien med to).

36: 2 = 18 (kg) – gulrøtter.

7. Bruk differansen mellom mengdene og verdien av den mindre mengden, finn verdien av den største mengden.

18 + 15 = 33 (kg) – kål. Svar: 18 kg, 33 kg. Oppgave.Det er fasaner og kaniner i buret. Det er 6 hoder og 20 ben totalt. Hvor mange kaniner og hvor mange fasaner er det i et bur ?
Metode 1. Valgmetode:
2 fasaner, 4 kaniner.
Sjekk: 2 + 4 = 6 (mål); 4 4 + 2 2 = 20 (fot).
Dette er en valgmetode (fra ordet "å velge"). Fordeler og ulemper med denne løsningsmetoden (vanskelig å velge hvis tallene er store) Dermed er det et insentiv til å søke etter mer praktiske løsningsmetoder.
Diskusjonsresultater: utvelgelsesmetoden er praktisk når du arbeider med små tall; når verdiene øker, blir den irrasjonell og arbeidskrevende.
Metode 2. Fullfør søk av alternativer.

En tabell er satt sammen:

Svar: 4 kaniner, 2 fasaner.
Navnet på denne metoden er "full". Diskusjonsresultater: den uttømmende søkemetoden er praktisk, men for store verdier er den ganske arbeidskrevende.
Metode 3. Gjettemetode.

La oss ta et gammelt kinesisk problem:

Buret inneholder et ukjent antall fasaner og kaniner. Det er kjent at hele cellen inneholder 35 hoder og 94 ben. Finn ut antall fasaner og antall kaniner.(Problem fra den kinesiske matematiske boken "Kiu-Chang", kompilert 2600 f.Kr.).

Her er en dialog funnet i de gamle mestere i matematikk. – La oss tenke oss at vi legger en gulrot på buret der fasanene og kaninene sitter. Alle kaniner vil stå på bakbena for å nå gulroten. Hvor mange fot vil være på bakken for øyeblikket?

Men i problemstillingen er det gitt 94 ben, hvor er resten?

De resterende bena telles ikke - dette er forbena til kaninene.

Hvor mange er det?

24 (94 – 70 = 24)

Hvor mange kaniner er det?

12 (24: 2 = 12)

Hva med fasaner?

23 (35- 12 = 23)

Navnet på denne metoden er "mangelgjettingmetoden." Prøv å forklare dette navnet selv (de som sitter i et bur har 2 eller 4 ben, og vi antok at alle har det minste av disse tallene - 2 ben).

En annen måte å løse det samme problemet på. - La oss prøve å løse dette problemet ved å bruke "overskuddsantagelsesmetoden": La oss forestille oss at fasaner nå har to ben til, da blir det alle ben 35 × 4 = 140.

Men i henhold til forholdene for problemet er det bare 94 ben, dvs. 140 – 94= 46 ekstra ben, hvem har de? Dette er beina til fasaner, de har et ekstra benpar. Midler, fasaner vil 46: 2 = 23, deretter kaniner 35 -23 = 12.
Diskusjonsresultater: antakelsesmetoden har to alternativer- Av mangel og overskudd; Sammenlignet med tidligere metoder er det mer praktisk fordi det er mindre arbeidskrevende.
Oppgave. En karavane med kameler går sakte gjennom ørkenen, det er totalt 40 av dem.Teller du alle puklene på disse kamelene får du 57 pukler. Hvor mange dromedarkameler er det i denne karavanen?1 vei. Løs ved hjelp av ligning.

Antall pukler per person Antall kameler Totalt pukler

2 x 2 x

1 40 - X 40 - X 57

2 x + 40 - X = 57

x + 40 = 57

X = 57 -40

X = 17

Metode 2.

– Hvor mange pukler kan kameler ha?

(det kan være to eller en)

La oss feste en blomst til hver kamels pukkel.

– Hvor mange blomster trenger du? (40 kameler – 40 blomster)

– Hvor mange pukler blir det igjen uten blomster?

(Det vil være slike 57-40=17 . Dette andre pukler Baktriske kameler).

Hvor mange Bakteriske kameler? (17)

Hvor mange dromedar kameler? (40-17=23)

Hva er svaret på problemet? ( 17 og 23 kameler).

Oppgave.I garasjen sto det biler og motorsykler med sidevogn, 18 av dem til sammen Bilene og motorsyklene hadde 65 hjul. Hvor mange motorsykler med sidevogn var i garasjen, hvis biler har 4 hjul og motorsykler har 3 hjul?

1 vei. Ved å bruke ligningen:

Antall hjul for 1 Antall hjul totalt

Mos. 4x 4 x

Mot. 3 18 -X 3(18 - X ) 65

4 x + 3(18 - X ) = 65

4 x + 5 4 -3 X =65

X = 65 - 54

X = 11, 18 – 11 = 7.

La oss omformulere problemet : Ranerne, som kom til garasjen der 18 biler og motorsykler med sidevogn sto, fjernet tre hjul fra hver bil og motorsykkel og tok dem med seg. Hvor mange hjul er det igjen i garasjen hvis det var 65 av dem? Tilhører de en bil eller en motorsykkel?

3×18=54 – det er hvor mange hjul ranerne tok fra seg,

65- 54 = 11 – så mange hjul igjen (biler i garasjen),

18 - 11 = 7 motorsykler.

Svar: 7 motorsykler.

På egen hånd:

Det sto 23 biler og motorsykler med sidevogn i garasjen. Biler og motorsykler har 87 hjul. Hvor mange motorsykler er det i garasjen hvis hver sidevogn har et reservehjul?

– Hvor mange hjul har biler og motorsykler til sammen? (4×23=92)

– Hvor mange reservehjul la du i hver barnevogn? (92 - 87= 5)

– Hvor mange biler står i garasjen? (23 - 5=18).

Oppgave.I vår klasse kan du studere engelsk eller franske språk(valgfritt). Det er kjent at 20 skoleelever studerer engelsk, og 17 studerer fransk.Totalt er det 32 ​​elever i klassen. Hvor mange studenter studerer både engelsk og fransk?

La oss tegne to sirkler. I den ene vil vi registrere antall skolebarn som studerer engelsk, i den andre - skolebarn som studerer fransk. Siden i henhold til betingelsene for problemet det er studenter som studererbegge språk: engelsk og fransk, så vil sirklene ha en felles del. Betingelsene for dette problemet er ikke så enkle å forstå. Legger du til 20 og 17 får du mer enn 32. Dette forklares med at vi telte noen skoleelever her to ganger – nemlig de som studerer begge språk: engelsk og fransk. Så, (20 + 17) – 32 = 5 Studentene lærer begge språk: engelsk og fransk.

Engelsk Fran.

20 leksjoner 17 skole

(20 + 17) – 32 = 5 (elever).

Opplegg som ligner på den vi brukte for å løse oppgaven kalles i matematikk Euler-sirkler (eller diagrammer). Leonhard Euler (1736) født i Sveits. Men lange år bodde og jobbet i Russland.

Oppgave.Hver familie som bor i huset vårt abonnerer på enten en avis eller et magasin, eller begge deler. 75 familier abonnerer på en avis, og 27 familier abonnerer på et magasin, og bare 13 familier abonnerer på både et magasin og en avis. Hvor mange familier bor i huset vårt?

Aviser magasiner

Bildet viser at det bor 89 familier i huset.

Oppgave.Den internasjonale konferansen ble deltatt av 120 personer. Av disse snakker 60 russisk, 48 snakker engelsk, 32 snakker tysk, 21 snakker russisk og tysk, 19 snakker engelsk og tysk, 15 snakker russisk og engelsk, og 10 personer snakket alle tre språkene. Hvor mange konferansedeltakere snakker ikke noen av disse språkene?

Russisk 15 engelsk

21 10 19

tysk

Løsning: 120 – (60 + 48 + 32 -21 – 19 – 15 + 10) = 25 (personer).

Oppgave. Tre kattunger og to valper veier 2 kg 600 g, og to kattunger og tre valper veier 2 kg 900 g. Hvor mye veier valpen?

3 kattunger og 2 valper – 2 kg 600 g

2 kattunger og 3 valper – 2 kg 900 g.

Det følger av vilkåret at 5 kattunger og 5 valper veier 5 kg 500 g. Dette betyr at 1 kattunge og 1 valp veier 1 kg 100 g.

2 katter og 2 valper. veie 2 kg 200 g

La oss sammenligne forholdene -

2 kattunger + 3 valper = 2 kg 900 g

2 kattunger + 2 valper = 2 kg 200 g, vi ser at valpen veier 700 g.

Oppgave.For en hest og to kuer gis det 34 kg høy daglig, og for to hester og en ku - 35 kg høy. Hvor mye høy gis til en hest og hvor mye til en ku?

La oss skrive det ned kort tilstand oppgaver:

1 hest og 2 kyr -34kg.

2 hester og 1 ku -35kg.

Er det mulig å vite hvor mye høy som trengs for 3 hester og 3 kyr?

(for 3 hester og 3 kyr – 34+35=69 kg)

Er det mulig å finne ut hvor mye høy som trengs for en hest og en ku? (69: 3 – 23 kg)

Hvor mye høy trenger en hest? (35-23=12 kg)

Hvor mye høy trenger en ku? (23 -13 =11 kg)

Svar: 12kg og 11kg.

Oppgave.Madina bestemte seg for å spise frokost på skolens kafeteria. Studer menyen og svar, på hvor mange måter kan hun velge en drink og et godteri?

	Konfekt
	Ostekake

La oss anta at Madina velger te som drikke. Hvilket konfektprodukt kan hun velge til te? (te - ostekake, te - kjeks, te - bolle)

Hvor mange måter? (3)

Hva om det er kompott? (også 3)

Hvordan kan du finne ut hvor mange måter Madina kan bruke for å velge lunsj? (3+3+3=9)

Ja du har rett. Men for å gjøre det lettere for oss å løse dette problemet, vil vi bruke grafer. Ordet "graf" i matematikk betyr et bilde med flere punkter tegnet, hvorav noen er forbundet med linjer. La oss utpeke drinkene og konfekt prikker og koble sammen parene av disse rettene som Madina velger.

te melk kompott

ostekakekjeksbolle

La oss nå telle antall linjer. Det er 9 av dem. Dette betyr at det er 9 måter å velge retter på.

Oppgave.Seryozha bestemte seg for å gi moren sin en bukett med blomster (roser, tulipaner eller nelliker) til bursdagen hennes og sette dem enten i en vase eller i en mugge. På hvor mange måter kan han gjøre dette?

Hvor mange måter tror du? (3)

Hvorfor? (3 farger)

Ja. Men det er fortsatt forskjellige retter: enten en vase eller en kanne. La oss prøve å fullføre oppgaven grafisk.

vase kanne

roser tulipaner nelliker

Tell linjene. Hvor mange er det? (6)

Så, hvor mange måter må Seryozha velge? (6)

Leksjonssammendrag.

I dag løste vi en rekke problemer. Men arbeidet er ikke fullført, det er et ønske om å fortsette det, og jeg håper at dette vil hjelpe deg med å løse ordproblemer.

Vi vet at problemløsning er en praktisk kunst, som å svømme eller spille piano. Du kan lære det bare ved å imitere gode eksempler og hele tiden øve.

Dette er bare de enkleste problemene; komplekse problemer forblir et emne for fremtidig studie. Men det er fortsatt mange flere av dem enn vi kunne løse. Og hvis du på slutten av leksjonen kan løse problemer "bak sidene" undervisningsmateriell", så kan vi anta at jeg har fullført oppgaven min.

Kunnskap om matematikk er med på å løse et visst livsproblem. I livet må du regelmessig løse visse problemer, for dette må du utvikle intellektuelle evner, takket være hvilket internt potensial utvikler seg, evnen til å forutse situasjonen, komme med spådommer og ta ikke-standardiserte beslutninger utvikles.

Jeg vil avslutte leksjonen med ordene: "Hvert godt løst matematisk problem gir mental nytelse." (G. Hessen).

Er du enig i dette?

Hjemmelekser .

Følgende oppgave vil bli gitt hjemme: bruke tekstene til løste oppgaver som et eksempel, løse oppgave nr. 8, 17, 26 ved hjelp av metodene vi har studert.

Basert på likheten i matematisk betydning og utskiftbarheten av ulike løsningsmetoder, kan alle aritmetiske metoder kombineres i følgende grupper:

• 1) metode for reduksjon til enhet, reduksjon til et generelt tiltak, invers reduksjon til enhet, metode for relasjoner;
• 2) en måte å løse problemer fra "enden";
• 3) en metode for å eliminere ukjente (erstatte en ukjent med en annen, sammenligne ukjente, sammenligne data, sammenligne to forhold ved subtraksjon, kombinere to forhold til en); måte å gjette på;
• 4) proporsjonal deling, likhet eller funn av deler;
• 5) en metode for å transformere et problem til et annet (dekomponere et komplekst problem til enkle, forberedende; bringe ukjente til slike verdier som forholdet deres blir kjent for; metoden for å bestemme et vilkårlig tall for en av de ukjente mengdene).

I tillegg til metodene ovenfor, er det tilrådelig å vurdere også den aritmetiske middelmetoden, overskuddsmetoden, metoden for å omorganisere det kjente og det ukjente, og metoden med "falske" regler.

Siden det vanligvis er umulig å avgjøre på forhånd hvilken av metodene som er rasjonelle, for å forutse hvilken av dem som vil føre til den enkleste og mest forståelige løsningen for studenten, bør studentene introduseres til forskjellige måter og gi dem muligheten til å velge hvilken de skal bruke når de skal løse et spesifikt problem.

Metode for å ekskludere ukjente

Denne metoden brukes når det er flere ukjente i problemet. Dette problemet kan løses ved å bruke en av fem teknikker: 1) erstatte en ukjent med en annen; 2) sammenligning av ukjente; 3) sammenligning av to forhold ved subtraksjon; 4) sammenligning av data; 5) kombinere flere forhold til én.

Som et resultat av å bruke en av de listede teknikkene, i stedet for flere ukjente, gjenstår det en som kan bli funnet. Etter å ha beregnet det, bruker de dataene i avhengighetstilstanden for å finne andre ukjente.

La oss se nærmere på noen av teknikkene.

1. Bytte ut en ukjent med en annen

Navnet på teknikken avslører ideen: basert på avhengighetene (flere eller forskjeller) som er gitt i henhold til betingelsene for problemet, er det nødvendig å uttrykke alle ukjente gjennom en av dem.

Oppgave. Sergei og Andrey har bare 126 frimerker. Sergei har 14 mark mer enn Andrey. Hvor mange frimerker hadde hver gutt?

Kort beskrivelse av tilstanden:

Sergey -- ? merker, 14 merker mer

Andrey -- ? frimerker

Totalt -- 126 merker

Løsning 1.

• (erstatter en større ukjent med en mindre)
• 1) La Sergei ha like mange frimerker som Andrey. Deretter Total det ville være 126 merker - 14 = 112 (merker).
• 2) Siden guttene nå har like mange merker, vil vi finne hvor mange merker Andrei hadde i begynnelsen: 112: 2 = 56 (stempler).
• 3) Med tanke på at Sergei har 14 merker mer enn Andrey, får vi: 56 + 14 = 70 (merker).

Løsning 2.

• (erstatter en mindre ukjent med en større)
• 1) La Andrei ha samme antall frimerker som Sergei. Da blir det totale antallet frimerker 126 + 14 = 140 (frimerker).
• 2) Siden guttene nå har samme antall merker, la oss finne hvor mange merker Sergei hadde til å begynne med: 140: 2 = 70 (merker).
• 3) Med tanke på at Andrey hadde 14 merker mindre enn Sergei, får vi: 70 - 14 = 56 (merker).

Svar: Sergei hadde 70 merker, og Andrey hadde 56 merker.

Til beste absorpsjon studenter av metoden for å erstatte en mindre ukjent med en større, før de vurderer det, er det nødvendig å finne ut med studentene følgende faktum: hvis tallet A er større enn tallet B med C-enheter, så for å sammenligne tallene A og B er det nødvendig:

• a) trekk nummer C fra nummer A (da er begge tallene lik nummer B);
• b) legg til nummer C til nummer B (da er begge tallene lik nummer A).

Elevenes evne til å erstatte en større ukjent med en mindre, og omvendt, bidrar ytterligere til utviklingen av evnen til å velge en ukjent og uttrykke andre størrelser gjennom den når de skal sammensette en ligning.

2. Sammenligning av ukjente

Oppgave. Det var 188 bøker i fire hyller. På den andre hyllen var det 16 færre bøker enn på den første, på den tredje - 8 flere enn på den andre, og på den fjerde - 12 færre enn på den tredje hyllen. Hvor mange bøker er det på hver hylle?

Oppgaveanalyse

Til bedre bevissthet avhengigheter mellom fire ukjente mengder (antall bøker på hver hylle) bruker vi følgende diagram:

JEG_________________________________

II__________________________

III_______________________________________

IV_______________________ _ _ _ _ _

Ved å sammenligne segmentene som skjematisk viser antall bøker på hver hylle, kommer vi til følgende konklusjoner: det er 16 flere bøker på den første hyllen enn på den andre; på den tredje er det 8 flere enn på den andre; på den fjerde - 12 - 8 = 4 (bøker) mindre enn på den andre. Derfor kan problemet løses ved å sammenligne antall bøker på hver hylle. For å gjøre dette, fjern 16 bøker fra den første hyllen, 8 bøker fra den tredje, og legg 4 bøker på den fjerde hyllen. Da blir det like mange bøker i alle hyller, nemlig som det var på den andre først.

• 1) Hvor mange bøker er det i alle hyller etter operasjonene beskrevet i problemanalysen?
• 188 -- 16 -- 8 + 4 = 168 (bøker)
• 2) Hvor mange bøker var det på andre hylle?
• 168: 4 = 42 (bøker)
• 3) Hvor mange bøker var det på første hylle?
• 42 + 16 = 58 (bøker)
• 4) Hvor mange bøker var det på tredje hylle?
• 42 + 8 = 50 (bøker)
• 5) Hvor mange bøker var det på fjerde hylle?
• 50 -- 12 = 38 (bøker)

Svar: Det var 58, 42, 50 og 38 bøker i hver av de fire hyllene.

Kommentar. Du kan invitere elevene til å løse dette problemet på andre måter ved å sammenligne det ukjente antallet bøker som var på den første, eller på den andre eller på den fjerde hyllen.

3. Sammenligning av to forhold ved subtraksjon

Plottet til problemet som løses med denne teknikken inkluderer ofte to proporsjonale mengder (mengden av varer og kostnadene, antall arbeidere og arbeidet de utførte, etc.). Tilstanden gir to verdier av en mengde og forskjellen på to proporsjonal med dem numeriske verdier av en annen størrelse.

Oppgave. For 4 kg appelsiner og 5 kg bananer betalte de 620 rubler, og neste gang for 4 kg appelsiner og 3 kg bananer kjøpt til samme pris betalte de 500 rubler. Hvor mye koster 1 kg appelsiner og 1 kg bananer?

Kort beskrivelse av tilstanden:

• 4 kg ca. og 5 kg forbud. - 620 rubler,
• 4 kg ca. og 3 kg forbud. - 500 gni.

• 1) La oss sammenligne kostnadene ved to kjøp. Både første og andre gang kjøpte de like mange appelsiner til samme pris. Første gang betalte vi mer fordi vi kjøpte flere bananer. La oss finne hvor mange flere kilo bananer som ble kjøpt første gang: 5 -- 3 = 2 (kg).
• 2) La oss finne ut hvor mye mer vi betalte første gang enn andre gang (det vil si, vi finner ut hvor mye 2 kg bananer koster): 620 - 500 = 120 (gni).
• 3) Finn prisen på 1 kg bananer: 120: 2 = 60 (gni.).
• 4) Når vi kjenner kostnadene for det første og andre kjøpet, kan vi finne prisen på 1 kg appelsiner. For å gjøre dette, finn først kostnadene for kjøpte bananer, deretter kostnadene for appelsiner, og deretter prisen på 1 kg. Vi har: (620 -- 60*5): 4 = 80 (gnidning).

Svar: prisen på 1 kg appelsiner er 80 rubler, og prisen på 1 kg bananer er 60 rubler.

4. Datasammenligning

applikasjon denne teknikken gjør det mulig å sammenligne data og bruke subtraksjonsmetoden. Du kan sammenligne dataverdier:

• 1) bruke multiplikasjon (sammenligne dem med det minste felles multiplum);
• 2) ved å bruke divisjon (sammenligne dem med de største felles deler).

La oss vise dette med et eksempel.

Oppgave. For 4 kg appelsiner og 5 kg bananer betalte de 620 rubler, og neste gang for 6 kg appelsiner og 3 kg bananer kjøpt til samme pris betalte de 660 rubler. Hvor mye koster 1 kg appelsiner og 1 kg bananer?

Kort beskrivelse av tilstanden:

• 4 kg ca. og 5 kg forbud. - 620 rubler,
• 6 kg ca. og 3 kg forbud. - 660 gni.

La oss utjevne antallet appelsiner og bananer ved å sammenligne dem med det minste felles multiplum: LCM(4;6) = 12.

Løsning 1.

• 1) La oss øke antall kjøpte frukter og kostnadene deres i det første tilfellet med 3 ganger, og i det andre - med 2 ganger. Vi får følgende korte uttalelse om tilstanden:
• 12 kg ca. og 15 kg forbud. - 1860 rubler,
• 12 kg ca. og 6 kg forbud. - 1320 gni.
• 2) Finn ut hvor mange flere bananer du kjøpte første gang: 15-6 = 9 (kg).
• 3) Hvor mye koster 9 kg bananer? 1860 -- 1320 = 540 (gni).
• 4) Finn prisen på 1 kg bananer: 540: 9 = 60 (gni).
• 5) Finn kostnaden for 3 kg bananer: 60 * 3 = 180 (gni).
• 6) Finn kostnaden for 6 kg appelsiner: 660 -- 180 = 480 (gni).
• 7) Finn prisen på 1 kg appelsiner: 480: 6 = 80 (gni).

Løsning 2.

La oss utjevne antallet appelsiner og bananer ved å sammenligne dem med den største felles divisor: GCD (4; 6) = 2.

• 1) For å utjevne antallet appelsiner kjøpt første gang og andre gang, reduserer vi mengden av det kjøpte produktet og kostnadene i det første tilfellet med 2 ganger, i det andre - med 3 ganger. La oss få et problem som har følgende korte form for tilstand:
• 2 kg ca. og 2,5 kg forbud. - 310 rubler,
• 2 kg ca. og 1 kg forbud. - 220 gni.
• 2) Hvor mange flere bananer kjøper de nå: 2,5 -- 1 = 1,5 (kg).
• 3) La oss finne hvor mye 1,5 kg bananer koster: 310 -- 220 = 90 (gni).
• 4) Finn prisen på 1 kg bananer: 90: 1,5 = 60 (gni).
• 5) Finn prisen på 1 kg appelsiner: (660 -- 60*3) : 6 = 80 (gni).

Svar: prisen på 1 kg appelsiner er 80 rubler, 1 kg bananer er 60 rubler.

Når du løser problemer ved å bruke teknikken for å sammenligne data, kan du ikke gjøre slike detaljerte analyser og opptak, men bare registrere endringene som ble gjort for sammenligning og skrive dem ned i form av en tabell.

5. Kombinere flere forhold til én

Noen ganger kan du bli kvitt unødvendige ukjente ved å kombinere flere forhold til en.

Oppgave. Turistene forlot leiren og gikk først i 4 timer, og syklet deretter i ytterligere 4 timer med en viss konstant hastighet og beveget seg 60 km unna leiren. Den andre gangen forlot de leiren og syklet først med samme hastighet i 7 timer, og snudde deretter i motsatt retning og gikk i 4 timer og befant seg i en avstand på 50 km fra leiren. Hvor fort syklet turistene?

Det er to ukjente i problemet: hastigheten turistene syklet med, og hastigheten de gikk med. For å ekskludere en av dem, kan du kombinere to forhold til én. Da er avstanden som turister vil tilbakelegge på 4 timer, når de beveger seg fremover til fots første gang, lik avstanden de tilbakelagt på 4 timer, og beveger seg tilbake andre gang. Derfor tar vi ikke hensyn til disse avstandene. Dette betyr at avstanden som turister skal tilbakelegge på 4 + 7 = 11 (timer) på sykkel vil være lik 50 + 60 = 110 (km).

Da er hastigheten til turister på sykkel: 110: 11 = 10 (km/t).

Svar: Hastigheten på sykler er 10 km/t.

6. Metode for antakelse

Å bruke antakelsesmetoden når man løser problemer, skaper ikke vanskeligheter for de fleste elever. Derfor, for å unngå at elevene mekanisk memorerer trinnene i denne metoden og misforstår essensen av handlingene som ble utført på hver av dem, bør studentene først vises prøvemetoden ("falsk regel" og "regel for de gamle babylonerne").

Ved bruk av prøvetakingsmetoden, spesielt den "falske regelen", gis en av de ukjente størrelsene ("tillatt") en viss verdi. Deretter, ved å bruke alle betingelsene, finner de verdien av en annen mengde. Den resulterende verdien kontrolleres mot den som er spesifisert i betingelsen. Hvis den resulterende verdien er forskjellig fra den som er gitt i betingelsen, er den første verdien som er spesifisert ikke korrekt, og den må økes eller reduseres med 1, og igjen må verdien til en annen verdi finnes. Dette må gjøres til vi får verdien av en annen mengde som i problemstillingen.

Oppgave. Kassereren har 50 mynter à 50 kopek og 10 kopek, totalt 21 rubler. Finn hvor mange separate 50k-mynter kassereren hadde. og 10k hver.

Løsning 1. (prøvemetode)

La oss bruke regelen til de "gamle" babylonerne. La oss anta at kassereren har like mange mynter av hver valør, det vil si 25 stykker hver. Da vil pengebeløpet være 50*25 + 10*25 = 1250+250=1500 (k.), eller 15 rubler. Men i tilstanden 21 rubler, det vil si 21 UAH mer enn mottatt - 15 rubler = 6 rubler. Dette betyr at det er nødvendig å øke antallet 50-kopek-mynter og redusere antallet 10-kopek-mynter til vi får totalt 21 rubler. Vi vil registrere endringen i antall mynter og totalbeløpet i tabellen.

Antall mynter	Antall mynter	Mengde penger	Mengde penger	totale mengden	Mindre eller mer enn i tilstanden
					Mindre med 6 rubler.
					Mindre med 5rub60k
					Som i stand

Som det fremgår av tabellen, hadde kassereren 40 mynter á 50 kopek og 10 mynter á 10 kopek.

Som det viste seg i løsning 1, hvis kassereren hadde like mange 50k mynter. og 10k hver, så hadde han totalt 15 rubler penger. Det er lett å se at hver myntbytte er 10k. per mynt 50k. øker totalbeløpet med 40k. Dette betyr at vi må finne hvor mange slike erstatninger som må gjøres. For å gjøre dette, la oss først finne hvor mye penger vi trenger for å øke det totale beløpet med:

21 rubler - 15 rubler. = 6 gni. = 600 k.

La oss finne hvor mange ganger en slik erstatning må gjøres: 600 k. : 40 k. = 15.

Da vil 50 kopek være 25 +15 = 40 (mynter), og 10 kopek vil forbli 25 -- 15 = 10.

Sjekken bekrefter at det totale beløpet i dette tilfellet er 21 rubler.

Svar: Kassereren hadde 40 mynter à 50 kopek og 10 mynter à 10 kopek.

Ved å be elevene velge selv forskjellige betydninger antall mynter på 50 kopek, er det nødvendig å bringe dem til ideen om at det beste fra et rasjonalitetssynspunkt er antakelsen om at kassereren bare hadde mynter av en valør (for eksempel alle 50 mynter på 50 kopek eller alle 50 mynter à 10 kopek hver). På grunn av dette blir en av de ukjente ekskludert og erstattet av en annen ukjent.

7. Restmetode

Denne metoden har noen likhetstrekk med tenkning når man løser problemer ved hjelp av prøve- og gjettingmetoder. Vi bruker metoden for rester når vi løser problemer som involverer bevegelse i én retning, nemlig når det er nødvendig å finne tiden da det første objektet, som beveger seg bakover med høyere hastighet, vil ta igjen det andre objektet, som har en lavere hastighet. På 1 time nærmer det første objektet seg det andre med en avstand som er lik forskjellen i hastighetene deres, det vil si lik "resten" av hastigheten den har sammenlignet med hastigheten til den andre. For å finne tiden det tar for det første objektet å dekke avstanden som var mellom det og det andre ved begynnelsen av bevegelsen, bør du bestemme hvor mange ganger "resten" plasseres i denne avstanden.

Hvis vi abstraherer fra plottet og bare vurderer den matematiske strukturen til problemet, så snakker det om to faktorer (bevegelseshastigheten til begge objekter) eller forskjellen mellom disse faktorene og to produkter (avstandene de reiser) eller deres forskjell. De ukjente faktorene (tiden) er de samme og må finnes. Fra et matematisk synspunkt viser den ukjente faktoren hvor mange ganger forskjellen mellom de kjente faktorene er inneholdt i forskjellen mellom produktene. Derfor kalles problemer som løses ved hjelp av metoden for rester problemer med å finne tall med to forskjeller.

Oppgave. Elevene bestemte seg for å lime inn bilder fra ferien i et album. Hvis de stikker 4 bilder på hver side, vil det ikke være nok plass i albumet til 20 bilder. Hvis du limer inn 6 bilder på hver side, vil 5 sider forbli gratis. Hvor mange bilder skal elevene legge inn i albumet?

Oppgaveanalyse

Antall bilder forblir det samme for det første og andre limalternativet. Ifølge forholdene for problemet er det ukjent, men det kan finnes hvis antall fotografier som er plassert på én side og antall sider i albumet er kjent.

Antall fotografier som limes inn på én side er kjent (den første multiplikatoren). Antall sider i albumet er ukjent og forblir uendret (andre multiplikator). Siden det er kjent at 5 sider av albumet er ledige for andre gang, kan du finne hvor mange flere bilder som kan limes inn i albumet: 6 * 5 = 30 (bilder).

Dette betyr at ved å øke antall bilder på én side med 6 - 4 = 2, øker antallet innlimte bilder med 20 + 30 = 50.

Siden de andre gang limte to bilder til på hver side og totalt limte de inn 50 bilder til, vil vi finne antall sider i albumet: 50: 2 = 25 (sider).

Derfor var det 4*25 + 20 = 120 (bilder) totalt.

Svar: Albumet hadde 25 sider og 120 fotografier.

Generelle notater om å løse problemer ved hjelp av aritmetisk metode.

Problemer med å finne ukjente basert på resultatene av handlinger.

Proporsjonal deling problemer.

Problemer som involverer prosenter og deler.

Problemer løst omvendt.

1. Regnemetoden er hovedmetoden for å løse ordoppgaver i grunnskole. Den finner også sin anvendelse på mellomtrinnet på ungdomsskolene. Denne metoden lar deg bedre forstå og verdsette viktigheten og betydningen av hvert trinn i arbeidet med en oppgave.

I noen tilfeller er det mye enklere å løse et problem ved å bruke den aritmetiske metoden enn å bruke andre metoder.

Regnemetoden er fengslende med sin enkelhet og tilgjengelighet, men er samtidig ganske kompleks, og å mestre teknikkene for å løse problemer ved hjelp av denne metoden krever seriøst og møysommelig arbeid. Det store utvalget av typer problemer tillater oss ikke å danne en universell tilnærming til å analysere problemer og finne måter å løse dem på: problemer, selv kombinert i én gruppe, har helt forskjellige måter å løse dem på.

2 . Til oppgavene på finne ukjente ved deres forskjell og forhold Disse inkluderer problemer der, ved å bruke den kjente forskjellen og kvotienten av to verdier av en viss mengde, er det nødvendig å finne disse verdiene.

Algebraisk modell:

Svaret finner du ved å bruke formlene: X= ak/(k – 1), y = a/(k – 1).

Eksempel. I de reserverte setevognene til hurtigtoget er det 432 flere passasjerer enn i kupévognene. Hvor mange passasjerer er det i reserverte sete og kupévogner hver for seg, hvis det er 4 ganger færre passasjerer i kupévogner enn i reserverte setevogner?

Løsning. En grafisk modell av problemet er presentert i fig. 4.

Ris. 4

Vi vil ta antall passasjerer i kupébiler som 1 del. Deretter kan du finne hvor mange deler det er per antall passasjerer i reserverte setebiler, og deretter hvor mange deler det er per 432 passasjerer. Etter dette kan du bestemme antall passasjerer som utgjør 1 del (plassert i kupébiler). Når vi vet at det er 4 ganger flere passasjerer i reserverte setevogner, kan vi finne antallet deres.

1  4 = 4 (timer) – står for passasjerer i reserverte setevogner;

4 – 1 = 3 (h.) – står for forskjellen mellom antall passasjerer i reserverte seter og kupévogner;

432: 3 = 144 (s.) – i kupébiler;

144  4 = 576 (s.) – i reserverte setevogner.

Dette problemet kan verifiseres ved å løse det på en annen måte, nemlig:

1  4 = 4(h);

4 – 1 = 3 (h);

432: 3 = 144 (s.);

144 + 432 = 576 (s.).

Svar: det er 144 passasjerer i kupévogner, og 576 i reserverte setevogner.

Til oppgavene på finne ukjente fra to rester eller to forskjeller, inkluderer problemer der to direkte eller omvendt proporsjonale mengder vurderes, slik at to verdier av en mengde og forskjellen mellom de tilsvarende verdiene til en annen mengde er kjent, og det er nødvendig å finne verdiene til denne mengde selv.

Algebraisk modell:

Svarene finner du ved å bruke formlene:

Eksempel. To tog kjørte i samme hastighet - det ene 837 km, det andre 248 km, og det første var på veien 19 timer lenger enn det andre. Hvor mange timer reiste hvert tog?

Løsning. En grafisk modell av problemet er presentert i figur 5.

Ris. 5

For å svare på spørsmålet om problemet, hvor mange timer var dette eller det toget på vei, må du vite avstanden det reiste og hastigheten. Avstanden er gitt i tilstanden. For å finne ut hastigheten, må du vite avstanden og tiden denne avstanden ble tilbakelagt. Tilstanden sier at det første toget tok 19 timer lenger, og avstanden det tilbakela i løpet av denne tiden kan finnes. Han gikk i 19 timer ekstra - åpenbart i løpet av denne tiden tilbakela han også en ekstra distanse.

837 – 248 = 589 (km) – det første toget reiste så mange kilometer mer;

589: 19 = 31 (km/t) – hastigheten til det første toget;

837: 31 = 27 (timer) – det første toget var på vei;

4) 248: 31 = 8 (timer) – det andre toget var på vei.

La oss sjekke løsningen på problemet ved å etablere en samsvar mellom dataene og tallene som ble oppnådd ved løsning av problemet.

Etter å ha funnet ut hvor lenge hvert tog var på veien, vil vi finne hvor mange timer mer det første toget var på veien enn det andre: 27 – 8 = 19 (timer). Dette tallet samsvarer med det i tilstanden. Derfor ble problemet løst riktig.

Dette problemet kan verifiseres ved å løse det på en annen måte. Alle fire spørsmålene og de tre første handlingene forblir de samme.

4) 27 –19 = 8 (timer).

Svar: det første toget tok 31 timer å reise, det andre toget tok 8 timer.

Problemer med å finne tre ukjente fra tre summer av disse ukjente, tatt i par:

Algebraisk modell:

Svaret finner du ved å bruke formlene:

x =(A -b + c)/2, y = (a +b – c)/2, z = (b + Med -en)/ 2.

Eksempel. engelsk og tyske språk 116 skoleelever studerer tysk og spanske språk 46 studenter studerer, og 90 studenter studerer engelsk og spansk. Hvor mange studenter studerer engelsk, tysk og spansk hver for seg hvis det er kjent at hver student kun studerer ett språk?

Løsning. En grafisk modell av problemet er presentert i figur 6.

Hvor mange elever studerer hvert språk?

Den grafiske modellen av problemet viser: hvis vi legger sammen antall skolebarn gitt i tilstanden (116 + 90 + 46), får vi dobbelt så mange skoleelever som studerer engelsk, tysk og spansk. Deler vi på to, finner vi det totale antallet skoleelever. For å finne antall skolebarn som studerer engelsk, er det nok å trekke fra dette tallet antallet skolebarn som studerer tysk og spansk. På samme måte finner vi de resterende nødvendige tallene.

La oss skrive ned beslutningen om handlinger med forklaringer:

116 + 90 + 46 = 252 (skolebarn) – dobbelt så mange skolebarn som studerer språk;

252: 2 = 126 (skole) – studere språk;

126 – 46 = 80 (skole) – studere engelsk;

126 – 90 = 36 (skole) – studere tysk;

126 – 116 = 10 (skole) – lær spansk.

Dette problemet kan verifiseres ved å løse det på en annen måte.

116 – 46 = 70 (skole) – så mange flere skolebarn studerer engelsk enn spansk;

90 + 70 = 160 (skolebarn) – dobbelt så mange skolebarn som studerer engelsk;

160: 2 = 80 (skole) – lær engelsk;

90 – 80 = 10 (skole) – lær spansk;

116 – 80 = 36 (skole) – studer tysk.

Svar: 80 skolebarn studerer engelsk, 36 skoleelever studerer tysk, og 10 skolebarn studerer spansk.

3. Proporsjonaldelingsproblemer inkluderer problemer der en gitt verdi av en viss mengde må deles inn i deler proporsjonale med gitte tall. I noen av dem er delene presentert eksplisitt, mens i andre må disse delene skilles ved å ta en av verdiene til denne mengden som en del og bestemme hvor mange slike deler som står for de andre verdiene.

Det er fem typer proporsjonaldelingsproblemer.

1) Problemer med å dele et tall i deler, direkteproporsjonal med en serie av hele eller brøktall

Til oppgavene av denne typen inkludere oppgaver der nummeret EN X 1, X 2 , x 3, ..., X n direkte proporsjonal med tallene EN 1 , A 2 , A 3 , ..., A n .

Algebraisk modell:

Svaret finner du ved å bruke formlene:

Eksempel. Reiseselskapet har fire rekreasjonssentre, som har bygg med samme kapasitet. På territoriet til det første rekreasjonssenteret er det 6 bygninger, 2. - 4 bygninger, 3. - 5 bygninger, 4. - 7 bygninger. Hvor mange bobiler har hver base plass hvis alle 4 basene har plass til 2112 personer?

Løsning. Et sammendrag av oppgaven er vist i figur 7.

Ris. 7

For å svare på spørsmålet om problemet, hvor mange ferierende kan innkvarteres på hver base, må du vite hvor mange ferierende som kan innkvarteres i en bygning og hvor mange bygninger som ligger på territoriet til hver base. Antall bygninger på hver base er oppgitt i tilstanden. For å finne ut hvor mange ferierende som kan innkvarteres i en bygning, må du vite hvor mange ferierende som kan innkvarteres på alle 4 baser (dette er gitt i tilstanden) og hvor mange bygninger som ligger på territoriet til alle 4 basene. Sistnevnte kan bestemmes ved å vite fra tilstanden hvor mange bygninger som er plassert på territoriet til hver base.

La oss skrive ned beslutningen om handlinger med forklaringer:

6 + 4 + 5 + 7 = 22 (k.) - ligger på territoriet til 4 baser;

2112: 22 = 96 (timer) – kan plasseres i ett bygg;

96  6 = 576 (h) – kan plasseres på første base;

96  4 = 384 (h) – kan plasseres på andre base;

96  5 = 480 (h) – kan plasseres på tredje base;

96  7 = 672 (h) – kan plasseres på fjerde base.

Undersøkelse. Vi beregner hvor mange ferierende som kan innkvarteres på 4 baser: 576 + 384 + 480 + 672 = 2.112 (timer). Det er ingen uoverensstemmelse med oppgavebetingelsene. Problemet ble løst riktig.

Svar: den første basen kan romme 576 ferierende, den andre - 384 ferierende, den tredje - 480 ferierende, den fjerde - 672 ferierende.

2) Problemer som involverer å dele et tall i deler omvendt proporsjonalt med en rekke heltall eller brøker

Disse inkluderer oppgaver der nummeret EN(verdien av en viss mengde) må deles inn i deler x 1 Jeg , x 2 , x 3 Jeg , ..., X" omvendt proporsjonal med tall EN 1b EN 2 , A 3 ,..., A n .

Algebraisk modell:

eller

x 1 : x 2 :X 3 :...:х„ = en 2 en 3 ...EN n :EN 1 EN 3 ...EN P :EN 1 EN 2 EN 4 ...EN n :...:EN 1 EN 2 ...EN n -1

Svaret finner du ved å bruke formlene:

Hvor S = EN 2 EN 3 ...a„ +en l en Jeg ... en n + a ] EN 2 EN 4 ...EN n + ... + a 1 EN 2 ...EN n -1.

Eksempel. I fire måneder utgjorde pelsfarmens inntekt fra salg av pels 1 925 000 rubler, og etter måned ble pengene som ble mottatt fordelt i omvendt forhold til tallene 2, 3, 5, 4. Hva er gårdens inntekt i hver måned separat?

Løsning. For å bestemme inntekten nevnt i betingelsen, gis den totale inntekten for fire måneder, det vil si summen av de fire nødvendige tallene, samt forholdet mellom de nødvendige tallene. Den nødvendige inntekten er omvendt proporsjonal med tallene 2, 3, 5, 4.

La oss betegne de nødvendige inntektene henholdsvis gjennom x, X 2 , X 3 , X 4 . Deretter kan problemet kort skrives som vist i figur 8.

Ris. 8

Når vi kjenner antall deler per hvert av de nødvendige tallene, vil vi finne antall deler i summen deres. Basert på den gitte totale inntekten i fire måneder, det vil si basert på summen av de nødvendige tallene og antall deler som er inneholdt i dette beløpet, finner vi ut verdien av en del, og deretter den nødvendige inntekten.

La oss skrive ned beslutningen om handlinger med forklaringer:

1. De nødvendige inntektene er omvendt proporsjonale med tallene 2, 3, 5, 4, noe som betyr at de er direkte proporsjonale med de omvendte tallene, det vil si at det er relasjoner . La oss erstatte disse forholdstallene i brøktall med forholdstall av heltall:

2. Å vite det X inneholder 30 like deler, X 2 – 20, X 3 – 12, X 4 – 15, la oss finne hvor mange deler som er i summen deres:

30 + 20 + 12+ 15 = 77 (timer).

3. Hvor mange rubler er det for en del?

1 925 000: 77 = 25 000 (r.).

4. Hva er gårdens inntekt den første måneden?

25 000 30 = 750 000 (r.).

5. Hva er gårdsinntekten den andre måneden?

25 000 20 = 500 000 (r.).

6. Hva er gårdsinntekten i den tredje måneden?

25 000–12 = 300 000 (r.).

7. Hva er gårdsinntekten i den fjerde måneden?

25 000–15 = 375 000 (r.).

Svar: i den første måneden var gårdens inntekt 750 000 rubler, i den andre - 500 000 rubler, i den tredje - 300 000 rubler, i den fjerde - 375 000 rubler.

3) Problemer som involverer å dele et tall i deler, når separate forhold er gitt for hvert par nødvendige tall

Problemer av denne typen inkluderer de oppgavene hvor nummeret EN(verdien av en viss mengde) må deles inn i deler x 1, X 2 , x 3, ..., X", når en serie relasjoner er gitt for de nødvendige tallene, tatt i par. Algebraisk modell:

x 1: X 2 = a 1 : b 1, X 2 : X 3 = a 2 : b 2, x 3 : X 4 = a 3 : b 3 , ..., X n-1 : X n = a n -1 : b n-1 .

n = 4. Algebraisk modell:

X X :X 2 = a 1 : b 1, X 2 :X 3= EN 2 : b 2, X 3 : X 4 = en 3: b 3 .

Så, X 1: X 2 : x 3: X 4 = EN 1 EN 2 EN 3 : b 1 EN 2 EN 3 : b 1 b 2 EN 3 : b 1 b 2 b 3 .

Hvor S = EN 1 EN 2 EN 3 + b 1 EN G EN 3 + b 1 b 2 EN 3 + b 1 b 2 b 3

Eksempel. De tre byene har 168.000 innbyggere. Antall innbyggere i den første og andre byen er i forholdet , og den andre og tredje byen – i forhold til . Hvor mange innbyggere er det i hver by?

Løsning. La oss angi de nødvendige befolkningstallene tilsvarende med X 1 , X 2 , X 3 . Deretter kan problemet kort skrives som vist i figur 9.

Ris. 9

For å bestemme antall innbyggere, er antall innbyggere i tre byer gitt, det vil si summen av de tre nødvendige tallene, samt individuelle forhold mellom de nødvendige tallene. Ved å erstatte disse relasjonene med en serie relasjoner uttrykker vi antall innbyggere i de tre byene i like deler. Når vi kjenner antall deler per hvert av de nødvendige tallene, vil vi finne antall deler i summen deres. Fra det gitte totale antallet innbyggere i tre byer, det vil si fra summen av de nødvendige tallene og antall deler i denne summen, finner vi ut størrelsen på en del, og deretter det nødvendige antallet innbyggere.

La oss skrive ned beslutningen om handlingene med forklaringer.

1. Erstatt forholdet mellom brøktall med forholdet mellom heltall:

Vi matcher antall innbyggere i den andre byen med tallet 15 (minste felles multiplum av tallene 3 og 5).

Vi endrer de resulterende forholdene tilsvarende:

X 1: X 2 = 4: 3 = (4-5): (3-5) = 20: 15, x 2: x 3 = 5: 7 = (5-3): (7-3) = 15: 21.

Fra individuelle relasjoner skaper vi en serie relasjoner:

X 1: X 2 : X 3 = 20: 15: 21.

2. 20 + 15 + 21 = 56 (h) – tallet 168 000 tilsvarer så mange like deler;

3. 168 000: 56 = 3 000 (f.) – per del;

4. 3 000 20 = 60 000 (f.) – i den første byen;

5. 3 000 15 = 45 000 (f.) – i den andre byen;

3 000 21 = 63 000 (f.) - i den tredje byen.

Svar: 60 000 innbyggere; 45 000 innbyggere; 63.000 innbyggere.

4) Problemer som involverer å dele et tall i deler proporsjonale med to, tre og så videre rader med tall

Problemer av denne typen inkluderer problemer hvor nummeret EN(verdien av en viss mengde) må deles inn i deler X 1, X 2 , X 3 ,..., X n proporsjonal med to, tre, ..., N rader med tall.

På grunn av besværligheten til formlene for å løse problemet i generelt syn La oss vurdere et spesielt tilfelle når n = 3 og N = 2. La X 1 X 2 , X 3 direkte proporsjonal med tall EN 1 , EN 2 , EN 3 og omvendt proporsjonal med tallene b 1 , b 2 , b 3 .

Algebraisk modell:

(se punkt 1 i dette avsnittet),

Eksempel. To arbeidere mottok 1800 rubler. Den ene jobbet 3 dager i 8 timer, den andre 6 dager i 6 timer Hvor mye tjente hver om de fikk likt for 1 time arbeid?

Løsning. Et sammendrag av oppgaven er vist i figur 10.

Ris.10

For å finne ut hvor mye hver arbeider mottok, må du vite hvor mange rubler som ble betalt for 1 times arbeid og hvor mange timer hver arbeider jobbet. For å finne ut hvor mange rubler de betalte for 1 times arbeid, må du vite hvor mye de betalte for hele arbeidet (gitt i tilstanden) og hvor mange timer begge arbeiderne jobbet sammen. For å finne ut det totale antallet arbeidstimer, må du vite hvor mange timer hver person jobbet, og for dette må du vite hvor mange dager hver person jobbet og hvor mange timer om dagen. Disse dataene er inkludert i betingelsen.

La oss skrive ned beslutningen om handlinger med forklaringer:

8  3 = 24 (timer) – den første arbeideren jobbet;

6  6 = 36 (timer) – den andre arbeideren jobbet;

24 + 36 = 60 (timer) – begge arbeiderne jobbet sammen;

1800: 60 = 30 (r.) – arbeidere mottatt for 1 times arbeid;

30  24 = 720 (r.) – opptjent av den første arbeideren;

30  36 = 1080 (r.) - tjent av den andre arbeideren. Svar: 720 rub.; 1080 gni.

5) Problemer med å finne flere talli henhold til deres relasjoner og summen eller differansen (summen eller differansen til noen av dem)

Eksempel. Skoleadministrasjonen brukte 49 000 rubler på utstyr til lekeplassen, drivhuset og treningsstudioet. Utstyr til lekeplassen koster halvparten så mye som drivhus, og drivhus koster 3 ganger mindre enn treningsstudio og lekeplass sammen. Hvor mye penger ble brukt på utstyr for hvert av disse anleggene?

Løsning. Et sammendrag av oppgaven er vist i figur 11.

Ris. elleve

For å finne ut hvor mye penger som ble brukt på utstyret til hvert objekt, må du vite hvor mange deler av alle pengene som ble brukt på utstyret til hvert objekt og hvor mange rubler som var for hver del. Antall deler av penger brukt på utstyret til hvert objekt bestemmes ut fra betingelsene for problemet. Etter å ha bestemt antall deler for utstyret til hvert objekt separat, og deretter funnet summen deres, beregner vi verdien av en del (i rubler).

La oss skrive ned beslutningen om handlingene med forklaringer.

Vi tar som 1 del beløpet brukt på utstyr til lekeplassen. I henhold til betingelsen ble det brukt 2 ganger mer på drivhusutstyr, det vil si 1  2 = 2 (h); Det ble brukt 3 ganger mer på utstyr til lekeplass og idrettshall enn til drivhus, det vil si 2  3 = 6 (timer), derfor ble det brukt 6 – 1 = 5 (timer) på utstyr til idrettshallen.

1 del ble brukt på utstyr til lekeplassen, 2 deler til drivhus, og 5 deler til treningsstudio. Hele forbruket var 1 + 2 + + 5 = 8 (t).

8 deler tilsvarer 49 000 rubler, en del er 8 ganger mindre enn dette beløpet: 49 000: 8 = 6 125 (gnidning). Følgelig ble 6 125 rubler brukt på utstyr til lekeplassen.

Det ble brukt dobbelt så mye på drivhusutstyr: 6 125  2 = 12 250 (r.).

Det ble brukt 5 deler på utstyr til treningssenteret: 6.125  5 = 30.625 (r.).

Svar: 6 125 rubler; RUB 12 250; 30 625 RUR

6) Problemer med å ekskludere en av de ukjente

Problemer i denne gruppen inkluderer problemer der summen av to produkter som har to gjentakende faktorer er gitt, og det kreves å finne verdiene til disse faktorene. Algebraisk modell

Svaret finner du ved å bruke formlene:

Disse problemene løses ved metoden for utjevning av data, metoden for utjevning av data og de nødvendige, metoden for å erstatte data, samt den såkalte "antagelsesmetoden".

Eksempel. På en klesfabrikk brukte 24 strøk og 45 dresser 204 m stoff, og 24 strøk og 30 dresser brukte 162 m. Hvor mye stoff brukes til en dress og hvor mye til ett strøk?

Løsning. La oss løse problemet ved å bruke datajusteringsmetoden. Kort beskrivelse av oppgaven.

Kowtowed Maria, Lyudmila Bryantseva

Arbeidet viser måter å løse ordoppgaver på.

Nedlasting:

Forhåndsvisning:

Kommunal utdanningsinstitusjon gjennomsnitt omfattende skole nr. 64 Volgograd

Bykonkurranse av utdannings- og forskningsverk

"Meg og jorden" oppkalt etter. I OG. Vernadsky

(distriktsstadiet)

ARITMETISK LØSNINGSMETODE

TEKSTPROBLEMER I MATEMATIKK

Seksjon "Matematikk"

Fullført av: Lyudmila Bryantseva,

Elev av klasse 9 A, Kommunal utdanningsinstitusjon ungdomsskole nr. 64,

Ydmyke Mary,

Elev av klasse 9 A, Kommunal utdanningsinstitusjon ungdomsskole nr. 64.

Leder: Noskova Irina Anatolyevna,

Matematikklærer, Kommunal utdanningsinstitusjon ungdomsskole nr. 64

Volgograd 2014

Introduksjon ………………………………………………………………………………… 3

Kapittel 1. Ikke-standard metoder problemløsning

1. Oppgaver om emnet " Heltall" ………………….. 5

1. . Problemer "i deler og prosenter" …………………………... 8
2. Bevegelsesproblemer………………………………………………… 11
3. Samarbeidsoppgaver……………………………… 14

Konklusjon ………………………………………………………. 16

Litteratur………………………………………………………. 16

Introduksjon.

Det er kjent historisk sett i lang tid matematisk kunnskap ble overført fra generasjon til generasjon i form av en liste over praktiske problemer sammen med deres løsninger. Opprinnelig ble matematikk undervist ved hjelp av modeller. Elevene, som etterlignet læreren, løste problemer basert på en viss "regel". I antikken ble en som visste hvordan man løser visse typer problemer som ble møtt i praksis (i handelsberegninger osv.) således ansett som utdannet.

En årsak til dette er at historisk sett i lang tid var målet med å lære barn aritmetikk å lære dem et spesifikt sett med regneferdigheter knyttet til praktiske beregninger. Samtidig var regnelinjen – talllinjen – ennå ikke utviklet, og det ble utført undervisningsregninger gjennom oppgaver. I «Aritmetikk» har L.F. Magnitsky, for eksempel, ble brøker betraktet som navngitte tall (ikke bare, A rubel, pood, etc.), og handlinger med brøker ble studert i prosessen med å løse problemer. Denne tradisjonen fortsatte ganske lenge. Selv mye senere ble det oppstått problemer med usannsynlige numeriske data, for eksempel: " Selges kg sukker pr rubel per kilogram...",som ble vekket til live ikke av behovene til praksis, men av behovene til å lære å regne.

Den andre grunnen økt oppmerksomhet til bruken av ordproblemer i Russland er at de i Russland ikke bare tok i bruk og utviklet den eldgamle metoden for å overføre matematisk kunnskap og resonneringsteknikker ved å bruke ordproblemer. Ved hjelp av problemer lærte vi å danne viktige allmennpedagogiske ferdigheter knyttet til tekstanalyse, identifisere forholdene for problemet og hovedspørsmålet, lage en løsningsplan, søke etter forhold man kan få svar på spørsmålet fra. hovedspørsmålet, sjekke det oppnådde resultatet. En viktig rolle ble også spilt ved å lære skolebarn å oversette tekst til språket for aritmetiske operasjoner, likninger, ulikheter og grafiske bilder.

Et annet punkt som ikke kan ignoreres når vi snakker om å løse problemer. Trening og utvikling minner på mange måter om menneskehetens utvikling, derfor lar bruken av eldgamle problemer og ulike aritmetiske metoder for å løse dem deg gå til historisk sammenheng, som utvikler kreativitet. I tillegg vekker en rekke løsninger barnas fantasi og lar dem organisere søket etter en løsning på en ny måte hver gang, noe som skaper en gunstig følelsesmessig bakgrunn for læring.

Dermed kan relevansen av dette arbeidet oppsummeres i flere punkter:

Ordproblemer er viktige virkemidler undervisning i matematikk. Med deres hjelp får studentene erfaring med å jobbe med mengder, forstår relasjonene mellom dem og får erfaring med å anvende matematikk til å løse praktiske problemer;

Bruken av aritmetiske metoder for å løse problemer utvikler oppfinnsomhet og intelligens, evnen til å stille spørsmål og svare på dem, det vil si utvikler naturlig språk;

Aritmetiske metoder for å løse ordproblemer lar deg utvikle evnen til å analysere problemsituasjoner, bygge en løsningsplan som tar hensyn til forholdet mellom kjente og ukjente mengder, tolke resultatet av hver handling, kontrollere riktigheten av løsningen ved å komponere og løse omvendt problem;

Aritmetiske metoder for å løse ordproblemer som tilvenner en til abstraksjoner, lar en dyrke en logisk kultur, kan bidra til å skape en gunstig følelsesmessig bakgrunn for læring, utvikling av en estetisk sans i forhold til problemløsning og studiet av matematikk, vekke interesse for prosessen med å finne en løsning, og deretter i selve emnet;

Bruken av historiske problemer og en rekke eldgamle (aritmetiske) metoder for å løse dem beriker ikke bare opplevelsen mental aktivitet, men lar oss også mestre et viktig kulturelt og historisk lag av menneskets historie knyttet til søken etter løsninger på problemer. Dette er et viktig internt insentiv for å finne løsninger på problemer og studere matematikk.

Fra alt det ovennevnte trekker vi følgende konklusjoner:

gjenstand for forskninger en blokk med tekstoppgaver i matematikk for klasse 5-6;

studieobjekter en aritmetisk måte å løse problemer på.

Hensikten med studiener omtanke tilstrekkelig mengde tekstproblemer av et skolematematikkkurs og bruk av en aritmetisk metode for å løse dem;

oppgaver for å nå forskningsmåleter analyse og løsning av ordproblemer i hoveddelene av kurset "Naturlige tall", "Rasjonale tall", "Proportsjoner og prosenter", "Bevegelsesproblemer";

forskningsmetodeer en praktisk søkemotor.

Kapittel 1. Ikke-standardiserte måter å løse problemer på.

1. Problemer om emnet "Naturlige tall".

På dette stadiet av arbeid med tall har aritmetiske metoder for å løse problemer en fordel fremfor algebraiske allerede fordi resultatet av hvert enkelt trinn i løsningen av handlinger har en helt klar og spesifikk tolkning som ikke går utover omfanget av livserfaring. Derfor absorberes de raskere og bedre ulike teknikker resonnement basert på imaginære handlinger med kjente størrelser, snarere enn en enkelt løsningsmetode for problemer med ulike aritmetiske situasjoner, basert på bruk av en ligning.

1. Vi tenkte på et tall, økte det med 45 og fikk 66. Finn tallet du tenkte på.

For å løse problemet kan du bruke en skjematisk tegning som hjelper deg med å visualisere forholdet mellom operasjonene addisjon og subtraksjon. Spesielt effektiv bistand tegningen vil være kl mer handlinger med ukjent omfang.Vi tenkte på tallet 21.

2. Om sommeren var vinduet mitt åpent hele dagen. I den første timen fløy 1 mygg inn, i den andre - 2 mygg, i den tredje - 3 osv. Hvor mange mygg fløy inn per dag?

Her bruker vi metoden for å dele alle ledd i par (den første med den siste; den andre med nest siste osv.), finner summen av hvert leddpar og ganger med antall par.

1 + 2 + 3 + … + 23 + 24 = (1 + 24) + (2 + 23) + …. + (12 + 13) = 25 12 = 300.

300 mygg fløy inn.

3. Gjestene spurte: hvor gamle var hver av søstrene? Vera svarte at hun og Nadya har vært sammen i 28 år; Nadya og Lyuba er 23 år gamle sammen, og alle tre er 38 år. Hvor gamle er hver søster?

1. 38 – 28 = 10 (år) – Lyuba;

2. 23 – 10 = 13 (år) – Nadya;

3,28 – 13 = 15 (år) – Vera.

Lyuba er 10 år, Nadya er 13 år, Vera er 15 år.

4. Det er 30 elever i klassen vår. 23 personer dro på utflukt til museet, 21 dro på kino, og 5 personer dro verken på ekskursjon eller kino. Hvor mange var med på både ekskursjon og kino?

La oss vurdere å løse problemet; figuren viser stadier av resonnement.

1. 30 – 5 = 25 (personer) – gikk på kino, eller til

Utflukt;

1. 25 – 23 = 2 (personer) – gikk kun på kino;
2. 21 – 2 = 19 (personer) – gikk på kino og til

Utflukt.

19 personer dro på både kino og utflukt.

5. Noen har 24 sedler av to typer - 100 og 500 rubler hver for totalt 4000 rubler. Hvor mange 500 rubler har han?

Siden det resulterende beløpet er et "rundt" tall, følger det at antallet 100 rubelsedler er et multiplum av 1000. Dermed er antallet 500 rublersedler også et multiplum av 1000. Derfor har vi - 100 rubelsedler er 20 ; 500 rubler - 4 sedler.

Noen har 4 sedler på 500 rubler.

6. Sommerboeren kom fra hytten sin til stasjonen 12 minutter etter at toget gikk. Hvis han hadde brukt 3 minutter mindre på hver kilometer, hadde han kommet akkurat i tide til toget gikk. Hvor langt bor sommerboeren fra stasjonen?

Ved å bruke 3 minutter mindre per kilometer, kan en sommerboer spare 12 minutter i en avstand på 12:3 = 4 km.

Sommerboeren bor 4 km fra stasjonen.

7. Kilden gir en tønne vann på 24 minutter. Hvor mange tønner vann produserer våren per dag?

Siden vi trenger å omgå brøker, trenger vi ikke finne hvilken del av fatet som fylles på 1 minutt. La oss finne ut hvor mange minutter det vil ta å fylle 5 fat: 24 · 5 = 120 minutter, eller 2 timer. Så på en dag 24: 2 = 12 ganger flere fat vil bli fylt enn på 2 timer, det vil si 5·12 = 60 fat.

Våren produserer 60 fat per dag.

8. I et eller annet områdebytte ut gamle skinner 8 m lange med nye 12 m lange Hvor mange nye skinner trengs i stedet for 240 gamle?

På en 24 m lang strekning vil det i stedet for 3 gamle skinner settes opp 2 nye. Skinnene skal skiftes i 240: 3 = 80 slike seksjoner, og 80 · 2 = 160 nye skinner vil bli plassert på dem.

Det kreves 160 nye skinner.

9. Bakeriet hadde 654 kg sort og loff. Etter at det ble solgt 215 kg sort og 287 kg hvitt brød, var det like mye igjen av begge brødtypene. Hvor mange kilo svart og hvitt brød var det i bakeriet hver for seg?

1) 215 + 287 = 502 (kg) – solgt brød;

2) 654 – 502 = 152 (kg) – brød igjen å selge;

3) 152: 2 = 76 (kg) hvitt (og svart) brød igjen å selge;

4) 215 + 76 = 291 (kg) – det var opprinnelig svart brød;

5) 287 + 76 = 363 (kg) – det var hvitt brød i utgangspunktet.

Det var 291 kg svart brød i utgangspunktet og 363 kg hvitt brød i utgangspunktet.

1. Problemer "i deler og prosenter".

Som et resultat av arbeid med oppgaver denne seksjonen det er nødvendig å ta en passende verdi for 1 del, bestemme hvor mange slike deler som faller på en annen verdi, deres sum (forskjell), og få svar på spørsmålet om problemet.

10. Den første brigaden kan fullføre oppgaven på 20 timer, og den andre på 30 timer. Først fullførte teamene ¾ av oppgaven mens de jobbet sammen, og resten av oppgaven ble fullført av det første teamet alene. Hvor mange timer tok oppgaven å fullføre?

Arbeidsutførelsesoppgaver er mindre oversiktlige enn bevegelsesoppgaver. Derfor er en detaljert analyse av hvert trinn nødvendig her.

1) Hvis det første laget jobber alene, vil det fullføre oppgaven på 20 timer - dette betyr at hver time det fullfører hele oppgaven.

2) Ved å argumentere på en lignende måte oppnår vi arbeidsproduktivitet for det andre laget - hele oppgaven.

3) Først arbeidet sammen, teamene fullførtehele oppgaven. Hvor mye tid brukte de?. Det vil si at i en times felles arbeid fullfører begge lag den tolvte delen av oppgaven.

4) Så de vil fullføre oppgaven på 9 timer, siden(i henhold til hovedegenskapen til en brøk).

5) Alt som gjenstår er å fullføreoppgaver, men kun til det første laget, som fullfører på 1 timehele oppgaven. Så den første brigaden må jobbe klokka 5 å få saken til en slutt, fordi.

6) Til slutt har vi 5 + 9 = 14 timer.

Oppgaven vil være ferdig på 14 timer.

elleve. Volumer årlig produksjon fra den første, andre og tredje brønnen er forholdsmessig 7: 5: 13. Det er planlagt å redusere den årlige oljeproduksjonen fra den første brønnen med 5 % og fra den andre med 6 %. Med hvor mange prosent bør den årlige oljeproduksjonen fra den tredje brønnen økes slik at det totale volumet av produsert olje per år ikke endres??

Problemer med deler og prosenter er et enda mer tidkrevende og uforståelig problemområde. Derfor var den mest konkrete måten for oss å forstå dem på gjennom numeriske eksempler. Eksempel 1. La årlig oljeproduksjon være 1000 fat. Da vet vi at denne produksjonen er delt inn i 25 deler (7+5+13=25, dvs. en del er 40 fat) har vi: det første tårnet pumper 280 fat, det andre – 200 fat, det tredje – 520 fat per år . Hvis produksjonen reduseres med 5 %, mister den første riggen 14 fat (280·0,05 = 14), det vil si at produksjonen vil være 266 fat. Hvis produksjonen reduseres med 6 %, mister den andre riggen 12 fat (200·0,06 = 12), det vil si at produksjonen vil være 188 fat.

Om bare ett år skal de sammen pumpe 454 fat olje, deretter må det tredje tårnet produsere 546 fat i stedet for 520 fat.

Eksempel 2. La årlig oljeproduksjon være 1500 fat. Da vet vi at denne produksjonen er delt inn i 25 deler (7+5+13=25, dvs. en del er 60 fat) har vi: det første tårnet pumper 420 fat, det andre - 300 fat, det tredje - 780 fat per år . Hvis produksjonen reduseres med 5 %, mister den første riggen 21 fat (420·0,05 = 21), det vil si at produksjonen vil være 399 fat. Med 6 % nedgang i produksjonen taper den andre riggen 18 fat(300·0,06 = 18), det vil si at produksjonen vil være 282 fat.

Totalt vil de i løpet av et år pumpe sammen 681 fat olje, da må det tredje tårnet produsere 819 fat i stedet for 780 fat.

Dette er 5 % mer enn tidligere produksjon siden.

Det er nødvendig å øke den årlige oljeproduksjonen fra den tredje brønnen med 5 % slik at det totale volumet av produsert olje per år ikke endres.

Vi kan vurdere en annen versjon av et lignende problem. Her introduserer vi en variabel, som bare er et "symbol" på volumenheter.

12. Volumet av årlig oljeproduksjon fra første, andre og tredje brønn er forholdsmessig 6:7:10. Det er planlagt å redusere den årlige oljeproduksjonen fra den første brønnen med 10 % og fra den andre med 10 %. Med hvor mange prosent bør den årlige oljeproduksjonen fra den tredje brønnen økes slik at det totale volumet av produsert olje ikke endres?

La volumene av årlig oljeproduksjon fra den første, andre og tredje brønnen være lik henholdsvis 6x, 7x, 10x av enkelte volumenheter.

1) 0,1 ·6x = 0,6x (enheter) – reduksjon i produksjon ved første brønn;

2)0,1 ·7x = 0,7x (enheter) – reduksjon i produksjon ved andre brønn;

3) 0,6x + 0,7x = 1,3x (enheter) – bør utgjøre en økning i volumet av oljeproduksjonen ved den tredje brønnen;

Den årlige oljeproduksjonen fra den tredje brønnen må økes med denne prosenten.

Den årlige oljeproduksjonen fra den tredje brønnen må økes med 13 %.

13. Vi kjøpte 60 notatbøker - det var 2 ganger flere firkantede notatbøker enn linjerede. Hvor mange deler er det i en fôret notatbok? på en firkantet notatbok; for alle notatbøker? Hvor mange linjerte notatbøker kjøpte du? Hvor mange per bur?

Når du løser et problem, er det bedre å stole på en skjematisk tegning, som enkelt kan reproduseres i en notatbok og suppleres med nødvendige notater etter hvert som løsningen skrider frem. La de linede notatbøkene utgjøre 1 del, så utgjør de firkantede notatbøkene 2 deler.

1) 1 + 2 = 3 (deler) – dekker alle notatbøker;

2) 60: 3 = 20 (notatbøker) – utgjør 1 del;

3) 20 · 2 = 40 (notatbøker) – kvadratiske notatbøker;

4) 60 – 40 = 20 (notatbøker) – foret.

Vi kjøpte 20 linjerte notatbøker og 40 firkantede notatbøker.

14. I 1892 tenker noen på å tilbringe like mange minutter i St. Petersburg som han vil tilbringe timer i landsbyen. Hvor lang tid vil noen tilbringe i St. Petersburg?

Siden 1 time er lik 60 minutter og antall minutter er lik antall timer, vil noen i landsbyen bruke 60 ganger mer tid enn i St. Petersburg (reisetid er ikke tatt med her). Hvis antall dager tilbrakt i St. Petersburg er 1 del, så er antall dager tilbrakt i landsbyen 60 deler. Siden vi snakker om et skuddår er det 366 per del: (60 + 1) = 6 (dager).

Noen vil tilbringe 6 dager i St. Petersburg.

15. Epler inneholder 78% vann. De ble tørket litt og inneholder nå 45 % vann. Hvor mange prosent av massen mistet eplene under tørking?

La x kg være massen av epler, da inneholder den 0,78x kg vann og x – 0,78x = 0,22x (kg) tørrstoff. Etter tørking er tørrstoffet 100 - 45 = 55 (%) av massen til tørre epler, så massen av tørre epler er 0,22x: 0,55 = 0,46x (kg).

Så under tørking mistet eplene x - 0,46x = 0,54x, det vil si 54%.

Under tørking mistet eplene 54 % av massen.

16. Gress inneholder 82 % vann. Den ble tørket litt, og nå inneholder den 55 % vann. Hvor mye masse mistet gresset under tørking?

På Innledende forhold gressets levende vekt var 100 % - 82 % = 18 %.

Etter tørking økte denne verdien til 45 %, men den totale massen til gresset sank med 40 % (45: 18 · 10 % = 40 %).

Gresset mistet 40 % av massen under tørking.

1. Bevegelsesoppgaver.

Disse oppgavene anses som tradisjonelt vanskelige. Derfor er det behov for å analysere mer detaljert den aritmetiske metoden for å løse denne typen problemer.

17. To syklister reiser fra punkt A til punkt B samtidig. Hastigheten til den ene er 2 km/t mindre enn den andre. Syklisten som først ankom B snudde umiddelbart tilbake og møtte en annen syklist 1 time og 30 minutter senere. etter å ha forlatt A. I hvilken avstand fra punkt B fant møtet sted?

Dette problemet løses også ved å bruke eksemplet med motivbilder og assosiasjoner.

Etter at en rekke eksempler har blitt vurdert, og ingen tviler på tallet - avstanden er 1,5 km, er det nødvendig å rettferdiggjøre funnet fra dataene til det presenterte problemet. Nemlig 1,5 km er forskjellen i etterslepet på 2 fra 1. syklist i halvparten: om 1,5 time vil den andre ligge 3 km bak den første, siden 1 kommer tilbake, så kommer begge syklistene nærmere hverandre med halvparten av forskjellen i avstanden tilbakelagt, det vil si med 1,5 km. Dette innebærer svaret på problemet og metoden for å løse denne typen ordproblemer.

Møtet fant sted i en avstand på 1,5 km fra punkt B.

18. To tog dro fra Moskva til Tver samtidig. Den første passerte i timen 39 verst og ankom Tver to timer tidligere enn den andre, som passerte i timen 26 verst. Hvor mange miles fra Moskva til Tver?

1) 26 · 2 = 52 (vers) – hvor mye er det andre toget bak det første;

2) 39 – 26 = 13 (verst) – dette er hvor mye det andre toget sakket etter det første på 1 time;

3) 52: 13 = 4 (h) - dette er hvor lenge det første toget var på vei;

4) 39 · 4 = 156 (vers) – avstanden fra Moskva til Tver.

Fra Moskva til Tver 156 verst.

1. Samarbeidsoppgaver.

19. Ett team kan fullføre oppgaven på 9 dager, og det andre på 12 dager. Det første laget jobbet med denne oppgaven i 3 dager, deretter fullførte det andre laget jobben. På hvor mange dager ble oppgaven fullført?

1) 1: 9 = (oppgaver) – vil bli fullført av det første laget på én dag;

2 ) 3 = (oppgaver) - fullført av den første brigaden på tre dager;

3) 1 - = (oppgaver) – fullført av den andre brigaden;

4) 1: 12 = (oppgaver) – vil bli fullført av det andre laget på én dag;

5) 8 (dager) – det andre laget jobbet;

6) 3 + 8 = 11 (dager) – brukt på å fullføre oppgaven.

Oppgaven ble fullført på 11 dager.

20. En hest spiser et lass høy på en måned, en geit på to måneder, en sau på tre måneder. Hvor lang tid vil det ta en hest, geit og sau å spise samme lass høy sammen?

La hest, geit og sau spise høy i 6 måneder. Da spiser hesten 6 vogner, geita – 3 vogner, sauen – 2 vogner. Det er bare 11 vogner, noe som betyr at de er detvogn, og en vogn vil bli spist for 1:= (måneder).

En hest, geit, sau vil spise en vognlast med høy for måned.

21. Fire snekkere vil bygge hus. Den første snekkeren kan bygge et hus på 1 år, den andre på 2 år, den tredje på 3 år, den fjerde på 4 år. Hvor lang tid vil det ta dem å bygge et hus hvis de jobber sammen?

Om 12 år kan hver enkelt snekker bygge: de første - 12 hus; andre – 6 hus; tredje – 4 hus; fjerde – 3 hus. Dermed kan de på 12 år bygge 25 hus. Derfor vil de, i fellesskap, kunne bygge ett tun inn 175,2 dager.

Snekkere vil kunne bygge et hus ved å jobbe sammen på 175,2 dager.

Konklusjon.

Avslutningsvis skal det sies at oppgavene som presenteres i studien kun er et lite eksempel på bruk av regnemetoder for å løse ordoppgaver. En ting må sies viktig poeng– valg av plot av oppgavene. Faktum er at det er umulig å forutse alle vanskelighetene når man løser problemer. Men ikke desto mindre, i øyeblikket av den første mestring av en metode for å løse alle typer problemer, bør plottet deres være så enkelt som mulig.

De gitte prøvene representerer et spesielt tilfelle, men de gjenspeiler retningen - bringer skolen nærmere livet.

Litteratur

1. Vileitner G. Leser om matematikkens historie. – Utgave I. Aritmetikk og algebra / trans. med ham. P.S. Jusjkevitsj. – M.-L.: 1932.

2.Toom A.L. Tekstproblemer: applikasjoner eller mentale manipulasjoner // Matematikk, 2004.

3.Shevkin A.V. Tekstoppgaver i et skolematematikkkurs. M, 2006.

Løse problemer ved hjelp av aritmetiske metoder

Mattetime i 5. klasse.

"Hvis du vil lære å svømme, gå frimodig inn i vannet, og hvis du vil lære å løse problemer, så løs dem.".
D. Polya

Mål og mål for leksjonen:

utvikle evnen til å løse problemer ved hjelp av en aritmetisk metode;

utvikling kreativitet, kognitiv interesse;

utvikling logisk tenkning;

pleie kjærlighet til faget;

fremme en kultur for matematisk tenkning.

Utstyr: signalkort med tallene 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10.

I løpet av timene

I. Organisatorisk øyeblikk (1 minutt.)

Leksjonen er viet til å løse problemer ved hjelp av en aritmetisk metode. I dag skal vi løse problemer forskjellige typer, men alle av dem vil bli løst uten hjelp av ligninger.

II. Historisk referanse (1 minutt.)

Historisk sett, i lang tid, ble matematisk kunnskap overført fra generasjon til generasjon i form av en liste over praktiske problemer sammen med deres løsninger. I gamle tider ble noen som visste hvordan de skulle løse visse typer problemer som ble møtt i praksis ansett som trent.

III. Varme opp (løsing av problemer muntlig - 6 min.)
a) Problemer på kort.
Hver elev får et kort med en oppgave, som han løser muntlig og gir svar. Alle oppgaver for aksjon 3 - 1 = 2.

(Elevene løser oppgavene riktig, og noen gjør det ikke. Alle muntlig. De løfter kortene og læreren ser hvem som løste oppgaven; kortene skal inneholde tallet 2.)

b) Problemer i vers og logiske problemer. (Læreren leser oppgaven høyt, elevene hever kortet med riktig svar.

Pinnsvinet ga andungene
Hvem av gutta vil svare?
Åtte skinnstøvler
Hvor mange andunger var det?
(Fire.)

To kvikke smågriser
De var så kalde at de skalv.
Tell og si:
Hvor mange støvler bør jeg kjøpe dem?
(Åtte.)

Jeg gikk inn i en furuskog
Og jeg så en fluesopp
To honningsopper,
To morkler.
Tre oljebokser,
To linjer...
Hvem har svaret klart:
Hvor mange sopp fant jeg?
(Ti.)

4. Høns og hunder gikk på gården. Gutten telte potene deres. Det viste seg å være ti. Hvor mange høner og hvor mange hunder kan det være? (To hunder og en kylling, en hund og tre kyllinger.)

5. Etter resept fra lege kjøpte vi 10 tabletter på apoteket. Legen skrev ut at jeg skulle ta 3 tabletter om dagen. Hvor mange dager varer denne medisinen? (Hele dager.)

6. Bror er 7 år, og søster er 5. Hvor gammel vil søster være når bror er 10 år?

7. Gitte tall: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. som er størst: deres produkt eller sum?

8. Ved bygging av gjerdet plasserte snekkerne 5 pilarer i rett linje. Avstanden mellom stolpene er 2 m. Hva er lengden på gjerdet?

IV. Problemløsning

(Oppgaver for barn gis på kort - 15 minutter. Barn løser oppgaver ved tavlen)
Oppgavene a) og b) er rettet mot å gjenta sammenhengen mellom relasjonene "ved... mer" og "med... mindre" med operasjonene addisjon og subtraksjon.

a) En turnerlærling ble 120 deler per skift, og turneren ble 36 deler til. Hvor mange deler dreide turneren og lærlingen hans sammen?

b) Det første laget samlet inn 52 enheter i løpet av skiftet, det andre? - 9 enheter mindre enn det første, og det tredje - 12 enheter mer enn det andre Hvor mange enheter samlet de tre lagene i løpet av skiftet?

Ved å bruke oppgave c) kan elevene bli vist løsningen på oppgaven «omvendt».

c) Det er 44 jenter i tre klasser - dette er 8 færre enn gutter. Hvor mange gutter er det i tre klasser?

I oppgave d) kan elevene foreslå flere løsninger.

d) Tre søstre ble spurt: "Hvor gammel er hver av søstrene?" Vera svarte at hun og Nadya var 28 år sammen, Nadya og Lyuba var 23 år sammen, og alle tre var 38 år. Hvor gamle er hver av søstrene?

Oppgave e) er ment å gjenta sammenhengen mellom «mer i...» og «mindre i...».

e) Vasya hadde 46 merker. I løpet av et år økte samlingen hans med 230 frimerker. Hvor mange ganger har samlingen hans økt?

V. Kroppsøvingsminutt (2 minutter.)

Stå på ett ben
Det er som om du er en standhaftig soldat.
Hev venstre ben.
Se, ikke fall.
Stå nå til venstre,
Hvis du er en modig soldat.

VI. Gamle, historiske problemer. Problemer med eventyrinnhold (10 min.)

Oppgave e) å finne to tall ved deres sum og differanse.

e)(fra "Aritmetikk" av L.N. Tolstoy)

To menn har 35 sauer. Den ene har 9 flere enn den andre. Hvor mange sauer har hver person?

Bevegelsesoppgave.

og)(Et gammelt problem.)To tog dro fra Moskva til Tver samtidig. Den første passerte i 39 verst i timen og ankom Tver to timer tidligere enn den andre, som reiste 26 verst i timen. Hvor mange miles fra Moskva til Tver?

(Det er lettere å finne svaret ved å bruke en ligning. Men elevene oppfordres til å se aritmetisk løsning oppgaver.)

1) 26 * 2 = 52 (verst) - det andre toget var så mange mil bak det første;

2) 39 - 26 = 13 (verst) - med så mange mil var det andre toget 1 time bak det første;

3) 52: 13 = 4 (h) - det er hvor lang tid det tok det første toget å reise;

4) 39 * 4 = 156 (verst) - avstanden fra Moskva til Tver.

Du kan se i oppslagsverk for å finne avstanden i kilometer.

1 verst = 1 km 69 m.

Oppgaven er delt inn i deler.

h)Kikimoras oppgave.Havmannen bestemte seg for å gifte seg med kikimore Ha-Ha. Han plantet flere igler på kikimore-sløret sitt, og dobbelt så mange på kappen hans. I løpet av ferien falt 15 igler av, og bare 435 gjensto. Hvor mange igler var det på kikimoras slør?

(Oppgaven er gitt for å løses ved hjelp av en ligning, men vi løser den på en aritmetisk måte)

VII. Live tall (avlastingspause - 4 min.)

Læreren kaller 10 elever til tavlen og gir dem tall fra 1 til 10. Elevene får ulike oppgaver;

a) læreren ringer numrene; de navngitte tar et skritt fremover (f.eks.: 5, 8, 1, 7);

b) bare naboene til det navngitte nummeret kommer ut (for eksempel: tallet 6, 5 og 7 kommer ut);

c) læreren kommer med eksempler, og bare den som har svaret på dette eksempelet eller problemet kommer ut (for eksempel: 2 ´ 4; 160: 80; etc.);

d) læreren slår flere klapper og viser også et tall (en eller to); en student må komme ut hvis nummer er summen av alle hørte og sett tall (for eksempel: 3 klapper, nummer 5 og nummer 1.);

hvilket tall er 4 større enn fire?

Jeg tenkte på et tall, trakk 3 fra det, jeg fikk 7. Hvilket tall tenkte jeg på?

hvis du legger til 2 til det tiltenkte tallet, får du 8. Hva er det tiltenkte tallet?

Vi må prøve å velge ut oppgaver slik at de samme tallene ikke går igjen i svarene, slik at alle kan delta aktivt i leken.

VIII. Oppsummering av leksjonen (2 minutter.)

- Hva gjorde vi i klassen i dag?

- Hva vil det si å løse et problem ved hjelp av aritmetikk?

- Vi må huske at løsningen som er funnet på problemet må tilfredsstille problemets betingelser.

IX. Hjemmelekse. Karaktersetting (2 minutter.)

№ 387 (løs problemer ved hjelp av aritmetisk metode), for svake elever. For gjennomsnittlige og sterke elever gis lekser på kort.

1. Bakeriet hadde 645 kg svart og hvitt brød. Etter å ha solgt 215 kg svart og 287 kg hvitt brød, var det like mye igjen av begge brødtypene. Hvor mange kilo svart og hvitt brød var det i bakeriet hver for seg?

Bror og søster fant 25 steinsopp i skogen. Broren fant 7 flere sopp enn sin søster. Hvor mange porcini-sopp fant broren din?

Til kompotten tok vi 6 deler epler, 5 deler pærer og 3 deler ord. Det viste seg at pærene og plommene sammen tok 2 kg 400 g. Bestem massen av eplene som ble tatt; masse av all frukt.

Litteratur

Vilenkin N., Zhokhov V., Chesnokov A.Matematikk. 5. klasse. - M., "Mnemosyne", 2002.

Shevkin A.V.Tekstoppgaver i et skolematematikkkurs. - M.: Pedagogisk universitet "First of September", 2006.

Volina V.Tallenes ferie. - M.: Kunnskap, 1994.