Lorsqu'ils étudient les mathématiques, les élèves commencent à se familiariser avec divers types de formes géométriques. Aujourd'hui, nous allons parler de différents types de triangles.
Définition
Les figures géométriques composées de trois points qui ne sont pas sur la même ligne droite sont appelées triangles.
Les segments de droite reliant les points sont appelés côtés et les points sont appelés sommets. Les sommets sont marqués de gros avec des lettres latines, par exemple : A, B, C.
Les côtés sont indiqués par les noms des deux points qui les composent - AB, BC, AC. Se coupant, les côtés forment des angles. Le côté inférieur est considéré comme la base de la figure.
Riz. 1. Triangle ABC.
Types de triangles
Les triangles sont classés selon les angles et les côtés. Chaque type de triangle a ses propres propriétés.
Il existe trois types de triangles dans les coins :
- à angle aigu ;
- rectangulaire;
- obtus.
Tous les angles à angle aigu les triangles sont aigus, c'est-à-dire que la mesure du degré de chacun n'est pas supérieure à 90 0.
Rectangulaire le triangle contient un angle droit. Les deux autres angles seront toujours aigus, car sinon la somme des angles du triangle dépassera 180 degrés, ce qui est impossible. Le côté opposé à l'angle droit s'appelle l'hypoténuse, et les deux autres jambes. L'hypoténuse est toujours supérieure à la jambe.
obtus le triangle contient un angle obtus. C'est-à-dire un angle supérieur à 90 degrés. Les deux autres angles d'un tel triangle seront aigus.
Riz. 2. Types de triangles dans les coins.
Un triangle de Pythagore est un rectangle dont les côtés sont 3, 4, 5.
De plus, le plus grand côté est l'hypoténuse.
De tels triangles sont souvent utilisés pour composer des problèmes simples de géométrie. Par conséquent, rappelez-vous : si deux côtés d'un triangle sont 3, alors le troisième sera certainement 5. Cela simplifiera les calculs.
Types de triangles sur les côtés :
- équilatéral;
- isocèle;
- polyvalent.
Équilatéral un triangle est un triangle dont tous les côtés sont égaux. Tous les angles d'un tel triangle sont égaux à 60 0, c'est-à-dire qu'il est toujours à angle aigu.
Isocèle un triangle est un triangle qui n'a que deux côtés égaux. Ces côtés sont appelés latéraux et le troisième - la base. De plus, les angles à la base d'un triangle isocèle sont égaux et toujours aigus.
Polyvalent ou un triangle quelconque est un triangle dans lequel toutes les longueurs et tous les angles ne sont pas égaux entre eux.
S'il n'y a pas de clarifications sur la figure du problème, il est généralement admis que nous parlons d'un triangle arbitraire.
Riz. 3. Types de triangles sur les côtés.
La somme de tous les angles d'un triangle, quel que soit son type, est 1800.
À l'opposé de l'angle le plus grand se trouve le côté le plus grand. Et aussi la longueur de n'importe quel côté est toujours inférieure à la somme de ses deux autres côtés. Ces propriétés sont confirmées par le théorème d'inégalité triangulaire.
Il y a un concept de triangle d'or. Cette triangle isocèle, dont les deux côtés sont proportionnels à la base et égaux à un certain nombre. Dans une telle figure, les angles sont proportionnels au rapport 2:2:1.
Tâche:
Existe-t-il un triangle dont les côtés mesurent 6 cm, 3 cm, 4 cm ?
Solution:
Pour résoudre cette tâche, vous devez utiliser l'inégalité a
Qu'avons-nous appris ?
De ce matériel du cours de mathématiques de 5e année, nous avons appris que les triangles sont classés par côtés et par angles. Les triangles ont certaines propriétés qui peuvent être utilisées lors de la résolution de problèmes.
Triangle est un polygone à 3 côtés (ou 3 coins). Les côtés d'un triangle sont souvent indiqués par des lettres minuscules, qui correspondent à majuscules désignant les sommets inverses.
Triangle aigu Un triangle est dit si les trois angles sont aigus.
triangle obtus On appelle triangle dont l'un des angles est obtus.
triangle rectangle on appelle un triangle dont l'un des angles est droit, c'est-à-dire qu'il est égal à 90° ; les côtés a, b formant un angle droit sont appelés jambes; le côté c, opposé à l'angle droit, est appelé hypoténuse.
Triangle isocèle un triangle est appelé, dans lequel deux de ses côtés sont égaux (a \u003d c); ces côtés égaux sont appelés latéral, le 3ème côté s'appelle la base du triangle.
triangle équilatéral un triangle est appelé, dans lequel tous ses côtés sont égaux (a \u003d b \u003d c). Dans ce cas, aucun de ses côtés (abc) n'est égal dans un triangle, alors c'est triangle inégal.
Les principales caractéristiques des triangles
Dans n'importe quel triangle :
Signes d'égalité des triangles
Les triangles sont congruents, auquel cas ils sont respectivement égaux :
Signes d'égalité des triangles rectangles
Deux triangles rectangles sont égaux, auquel cas l'un des critères suivants est produit :
HauteurTriangle est une perpendiculaire tombée de n'importe quel sommet sur verso(ou sa suite). Ce côté s'appelle la base du triangle. Les trois hauteurs d'un triangle se coupent toujours en un point, appelé orthocentre du triangle.
L'orthocentre d'un triangle aigu est placé à l'intérieur du triangle, et l'orthocentre d'un triangle obtus est placé à l'extérieur ; L'orthocentre d'un triangle rectangle coïncide avec le sommet de l'angle droit.
Médian est un segment de droite reliant n'importe quel sommet d'un triangle au milieu du verso. Trois médianes d'un triangle se croisent en un point, qui se trouve toujours à l'intérieur du triangle et est son centre de masse. Ce point divise chaque médiane 2:1 à partir du haut.
Bissecteur- c'est un segment de la bissectrice de l'angle du sommet au point d'intersection avec le verso. Trois bissectrices d'un triangle se coupent en un point, qui se trouve toujours à l'intérieur du triangle et est le centre du cercle inscrit. La bissectrice divise le verso en parties proportionnelles aux côtés adjacents.
Perpendiculaire médiane est une perpendiculaire tirée du milieu du segment (côté). Les trois perpendiculaires médianes d'un triangle se coupent en un point, qui est le centre du cercle circonscrit.
V Triangle aigu ce point se trouve à l'intérieur du triangle, dans un triangle obtus - à l'extérieur, dans un rectangle - au milieu de l'hypoténuse. L'orthocentre, le centre de masse, le centre du cercle circonscrit et le centre du cercle inscrit coïncident exclusivement dans un triangle équilatéral.
Axiome de Pythagore
V triangle rectangle le carré de la longueur de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des jambes.
Confirmation de l'axiome de Pythagore
Construire le carré AKMB en utilisant l'hypoténuse AB comme côté. Puis on continue les côtés du triangle rectangle ABC de manière à obtenir le carré CDEF, dont le côté est a + b. Il est maintenant clair que l'aire du carré CDEF est (a + b) 2. D'autre part, cette aire est égale à la somme des aires de quatre triangles rectangles et du carré AKMB, autrement dit,
c 2 + 4 (ab / 2) = c 2 + 2 ab,
c 2 + 2 ab = (a + b) 2,
et nous avons:
c 2 = une 2 + b 2 .
Format d'image dans un triangle aléatoire
V cas général(pour un triangle aléatoire) on a :
c 2 \u003d a 2 + b 2 - 2 ab * cos C,
où C est l'angle entre les côtés a et b.
En plus du site :
Aujourd'hui, nous allons au pays de la géométrie, où nous nous familiariserons avec différents types de triangles.
Envisager figures géométriques et trouver parmi eux "extra" (Fig. 1).
Riz. 1. Illustration par exemple
On voit que les figures n° 1, 2, 3, 5 sont des quadrangles. Chacun d'eux a son propre nom (Fig. 2).
Riz. 2. Quadrilatères
Cela signifie que la figure "supplémentaire" est un triangle (Fig. 3).
Riz. 3. Illustration par exemple
Un triangle est une figure composée de trois points qui ne se trouvent pas sur une ligne droite et de trois segments qui relient ces points par paires.
Les points sont appelés sommets des triangles, segments - son des soirées. Les côtés du triangle forment Il y a trois angles aux sommets d'un triangle.
Les principales caractéristiques d'un triangle sont trois côtés et trois coins. Les triangles sont classés selon l'angle aigu, rectangulaire et obtus.
Un triangle est dit à angle aigu si ses trois angles sont aigus, c'est-à-dire inférieurs à 90° (Fig. 4).
Riz. 4. Triangle aigu
Un triangle est dit rectangle si l'un de ses angles mesure 90° (Fig. 5).
Riz. 5. Triangle rectangle
Un triangle est dit obtus si l'un de ses angles est obtus, c'est-à-dire supérieur à 90° (Fig. 6).
Riz. 6. Triangle obtus
Selon le nombre de côtés égaux, les triangles sont équilatéraux, isocèles, scalènes.
Un triangle isocèle est un triangle dont deux côtés sont égaux (Fig. 7).
Riz. 7. Triangle isocèle
Ces côtés sont appelés latéral, le troisième côté - base. Dans un triangle isocèle, les angles à la base sont égaux.
Les triangles isocèles sont aigu et obtus(Fig. 8) .
Riz. 8. Triangles isocèles aigus et obtus
Un triangle équilatéral est appelé, dans lequel les trois côtés sont égaux (Fig. 9).
Riz. 9. Triangle équilatéral
Dans un triangle équilatéral tous les angles sont égaux. Triangles équilatéraux toujours à angle aigu.
Un triangle est appelé polyvalent, dans lequel les trois côtés ont des longueurs différentes (Fig. 10).
Riz. 10. Triangle scalène
Finissez la tâche. Divisez ces triangles en trois groupes (Fig. 11).
Riz. 11. Illustration de la tâche
Commençons par répartir selon la taille des angles.
Triangles aigus : n° 1, n° 3.
Triangles rectangles : #2, #6.
Triangles obtus : #4, #5.
Ces triangles sont divisés en groupes selon le nombre de côtés égaux.
Triangles scalènes : n° 4, n° 6.
Triangles isocèles : n° 2, n° 3, n° 5.
Triangle équilatéral : n° 1.
Passez en revue les dessins.
Pensez à quel morceau de fil chaque triangle est fait (fig. 12).
Riz. 12. Illustration de la tâche
Vous pouvez raisonner ainsi.
Le premier morceau de fil est divisé en trois parties égales, vous pouvez donc en faire un triangle équilatéral. Il est représenté en troisième sur la figure.
Le deuxième morceau de fil est divisé en trois parties différentes, vous pouvez donc en faire un triangle scalène. Il est montré en premier sur l'image.
Le troisième morceau de fil est divisé en trois parties, où les deux parties ont la même longueur, vous pouvez donc en faire un triangle isocèle. Il est représenté en deuxième sur la figure.
Aujourd'hui, dans la leçon, nous nous sommes familiarisés avec différents types de triangles.
Bibliographie
- MI. Moreau, MA. Bantova et autres Mathématiques: Manuel. Grade 3: en 2 parties, partie 1. - M.: "Lumières", 2012.
- MI. Moreau, MA. Bantova et autres Mathématiques: Manuel. Grade 3: en 2 parties, partie 2. - M.: "Lumières", 2012.
- MI. Moreau. Cours de mathématiques : Des lignes directrices pour l'enseignant. 3e année - M. : Éducation, 2012.
- Acte réglementaire. Suivi et évaluation des résultats d'apprentissage. - M. : "Lumières", 2011.
- "École de Russie": Programmes pour école primaire. - M. : "Lumières", 2011.
- SI. Volkov. Mathématiques: Travaux de vérification. 3e année - M. : Éducation, 2012.
- V.N. Roudnitskaïa. Essais. - M. : « Examen », 2012.
- Nsportal.ru ().
- Prosv.ru ().
- Do.gendocs.ru ().
Devoirs
1. Terminez les phrases.
a) Un triangle est une figure composée de ..., ne se trouvant pas sur la même ligne droite, et ..., reliant ces points par paires.
b) Les points sont appelés … , segments - son … . Les côtés d'un triangle se forment aux sommets d'un triangle ….
c) Selon la taille de l'angle, les triangles sont ..., ..., ....
d) Selon le nombre de côtés égaux, les triangles sont ..., ..., ....
2. Dessiner
a) un triangle rectangle
b) un triangle aigu ;
c) un triangle obtus ;
d) un triangle équilatéral ;
e) triangle scalène ;
e) un triangle isocèle.
3. Faites une tâche sur le sujet de la leçon pour vos camarades.
La figure la plus fondamentale, la plus simple et la plus intéressante en géométrie est peut-être le triangle. je sais lycée ses principales propriétés sont étudiées, mais parfois les connaissances sur ce sujet sont incomplètes. Les types de triangles déterminent initialement leurs propriétés. Mais ce point de vue reste mitigé. Par conséquent, nous allons maintenant analyser ce sujet un peu plus en détail.
Les types de triangles dépendent de la mesure en degrés des angles. Ces figures sont aiguës, rectangulaires et obtuses. Si tous les angles ne dépassent pas 90 degrés, la figure peut être appelée en toute sécurité à angle aigu. Si au moins un angle du triangle est de 90 degrés, alors vous avez affaire à une sous-espèce rectangulaire. En conséquence, dans tous les autres cas, celui considéré est appelé obtus.
Il existe de nombreux problèmes pour les sous-espèces à angle aigu. poinçonner est l'emplacement interne des points d'intersection des bissectrices, des médianes et des hauteurs. Dans d'autres cas, cette condition peut ne pas être remplie. Il n'est pas difficile de déterminer le type de forme "triangle". Il suffit de connaître, par exemple, le cosinus de chaque angle. Si des valeurs moins que zéro, donc le triangle est obtus dans tous les cas. Si l'exposant est nul, la figure a un angle droit. Toutes les valeurs positives sont garanties pour vous dire qu'il s'agit d'une vue à angle aigu.
Il est impossible de ne pas parler de triangle rectangle. C'est la vue la plus idéale, où tous les points d'intersection des médianes, des bissectrices et des hauteurs coïncident. Le centre du cercle inscrit et circonscrit se trouve également au même endroit. Pour résoudre des problèmes, vous n'avez besoin de connaître qu'un seul côté, car les angles vous sont initialement donnés et les deux autres côtés sont connus. Autrement dit, la forme est spécifiée par un seul paramètre. Ils existent caractéristique principale- égalité de deux côtés et angles à la base.
Parfois, la question est de savoir s'il existe un triangle avec des côtés donnés. Ce que vous demandez en réalité, c'est si cette description correspond à l'espèce principale. Par exemple, si la somme des deux côtés est inférieure au tiers, alors en réalité un tel chiffre n'existe pas du tout. Si la tâche est demandée de trouver les cosinus des angles d'un triangle avec des côtés 3,5,9, alors ici l'évidence peut être expliquée sans astuces mathématiques complexes. Supposons que vous souhaitiez vous rendre d'un point A à un point B. La distance en ligne droite est de 9 kilomètres. Cependant, vous vous souvenez que vous devez vous rendre au point C du magasin. La distance de A à C est de 3 kilomètres et de C à B - 5. Ainsi, il s'avère qu'en vous déplaçant dans le magasin, vous marcherez un kilomètre de moins. Mais comme le point C n'est pas situé sur la ligne AB, vous devrez parcourir une distance supplémentaire. C'est là qu'une contradiction surgit. Il s'agit bien sûr d'une explication conditionnelle. Les mathématiques connaissent plus d'une manière de prouver que toutes les sortes de triangles obéissent à l'identité de base. Il dit que la somme des deux côtés est supérieure à la longueur du troisième.
Toute espèce a les propriétés suivantes :
1) La somme de tous les angles est de 180 degrés.
2) Il y a toujours un orthocentre - le point d'intersection des trois hauteurs.
3) Les trois médianes, tirées des sommets des coins intérieurs, se croisent en un seul endroit.
4) Autour de n'importe quel triangle, tu peux décrire un cercle. Il est également possible d'inscrire le cercle de sorte qu'il n'ait que trois points de contact et ne dépasse pas les côtés extérieurs.
Vous connaissez maintenant les principales propriétés qui différentes sortes Triangles. À l'avenir, il est important de comprendre à quoi vous avez affaire lorsque vous résolvez un problème.
Triangles
Triangle Une figure est appelée une figure composée de trois points qui ne se trouvent pas sur une ligne droite et de trois segments reliant ces points par paires. Les points sont appelés pics triangle, et les segments - ses des soirées.
Types de triangles
Le triangle s'appelle isocèle si ses deux côtés sont égaux. Ces côtés égaux sont appelés côtés, et le tiers s'appelle base Triangle.
Un triangle dont tous les côtés sont égaux est appelé équilatéral ou correct.
Le triangle s'appelle rectangulaire, s'il a un angle droit, alors il y a un angle de 90°. Le côté d'un triangle rectangle opposé à l'angle droit s'appelle hypoténuse les deux autres côtés sont appelés jambes.
Le triangle s'appelle à angle aigu si ses trois angles sont aigus, c'est-à-dire inférieurs à 90°.
Le triangle s'appelle obtus, si l'un de ses angles est obtus, c'est-à-dire supérieur à 90°.
Les grandes lignes du triangle
Médian
Médian triangle est un segment de droite qui relie le sommet d'un triangle au milieu du côté opposé de ce triangle. 
Propriétés médianes du triangle
La médiane divise le triangle en deux triangles de même aire.
Les médianes d'un triangle se croisent en un point, qui divise chacune d'elles dans un rapport de 2:1, en partant du haut. Ce point est appelé centre de gravité Triangle.
Le triangle entier est divisé par ses médianes en six triangles égaux.
Bissecteur
Bissectrice d'angle est un rayon qui vient de son sommet, passe entre ses côtés et coupe en deux l'angle donné. Bissectrice du triangle Un segment de la bissectrice d'un angle d'un triangle reliant un sommet à un point sur le côté opposé du triangle est appelé. 
Propriétés de la bissectrice du triangle
Hauteur
Hauteur triangle est appelé une perpendiculaire tirée du sommet du triangle à la ligne contenant le côté opposé de ce triangle. 
Propriétés de la hauteur du triangle
V triangle rectangle la hauteur tirée du sommet d'un angle droit le divise en deux triangles, similaire original.
V Triangle aigu ses deux hauteurs en sont coupées similaire Triangles.
Perpendiculaire médiane
Une droite passant par le milieu d'un segment qui lui est perpendiculaire est appelée bissectrice perpendiculaireà la tranche .
Propriétés des bissectrices perpendiculaires d'un triangle
Chaque point de la bissectrice perpendiculaire à un segment est équidistant des extrémités de ce segment. L'énoncé inverse est également vrai : chaque point équidistant des extrémités du segment se trouve sur la bissectrice perpendiculaire à celui-ci.
Le point d'intersection des perpendiculaires médianes tracées sur les côtés du triangle est le centre cercle circonscrit à ce triangle.
ligne médiane
La ligne médiane du triangle Un segment de droite joignant les milieux de deux de ses côtés est appelé.
Propriété de la ligne médiane d'un triangle
La ligne médiane d'un triangle est parallèle à l'un de ses côtés et égale à la moitié de ce côté.
Formules et ratios
Signes d'égalité des triangles
Deux triangles sont congrus s'ils sont respectivement congrus :
deux côtés et l'angle entre eux ;
deux coins et un côté qui leur sont adjacents ;
trois côtés.
Signes d'égalité des triangles rectangles
Deux triangle rectangle sont égaux s'ils sont respectivement égaux : 
hypoténuse et angle aigu
jambe et le coin opposé ;
jambe et angle adjacent ;
deux jambe;
hypoténuse et jambe.
similitude des triangles
Deux triangles sont similaires si l'une des conditions suivantes est remplie, appelée signes de similitude :
deux angles d'un triangle sont égaux à deux angles d'un autre triangle ;
deux côtés d'un triangle sont proportionnels à deux côtés d'un autre triangle, et les angles formés par ces côtés sont égaux ;
les trois côtés d'un triangle sont respectivement proportionnels aux trois côtés de l'autre triangle.
Dans les triangles semblables, les droites correspondantes ( hauteurs, médianes, bissectrices etc.) sont proportionnels.
Théorème des sinus
Les côtés d'un triangle sont proportionnels aux sinus des angles opposés, et le coefficient de proportionnalité est diamètre
cercle circonscrit à un triangle:
Théorème du cosinus
Le carré d'un côté d'un triangle est égal à la somme des carrés des deux autres côtés moins deux fois le produit de ces côtés par le cosinus de l'angle entre eux :
une 2 = b 2 + c 2 - 2avant JC parce que
Formules de zone triangulaire
Triangle arbitraire
un, b, c - des soirées; - angle entre les côtés une et b- semi-périmètre ; R- rayon du cercle circonscrit; r- rayon du cercle inscrit; S- carré; h une - hauteur à côté une.
Chargement...