Egy aritmetikai sorozat összege.
Összeg aritmetikai progresszió- ez egy egyszerű dolog. Értelemben és képletben egyaránt. De ebben a témában mindenféle feladat van. Az alaptól egészen a szilárdig.
Először is értsük meg az összeg jelentését és képletét. És akkor döntünk. Saját örömére.) Az összeg jelentése egyszerű, mint a mú. Egy aritmetikai progresszió összegének meghatározásához csak óvatosan kell összeadnia az összes tagot. Ha ez a kifejezés kevés, akkor képletek nélkül is hozzáadhatja. De ha sok van, vagy sok... bosszantó az összeadás.) Ilyenkor a képlet segít.
Az összeg képlete egyszerű:
Nézzük meg, milyen betűket tartalmaz a képlet. Ez sok mindent tisztáz majd.
S n - egy számtani sorozat összege. Összeadás eredménye mindenki tagokkal, együtt elsőÁltal utolsó. Fontos. Pontosan összeadódnak Minden a tagokat sorban, kihagyás vagy kihagyás nélkül. És egészen pontosan attól kezdve első. Olyan problémák esetén, mint a harmadik és nyolcadik tag összegének megtalálása, vagy az ötödiktől a huszadikig terjedő tagok összegének megállapítása - közvetlen alkalmazás a képletek csalódást okoznak.)
egy 1 - első a progresszió tagja. Itt minden világos, egyszerű első sorszám.
a n- utolsó a progresszió tagja. A sorozat utolsó száma. Nem túl ismerős név, de az összegre alkalmazva nagyon megfelelő. Aztán majd meglátod magad.
n - az utolsó tag száma. Fontos megérteni, hogy a képletben ez a szám egybeesik a hozzáadott kifejezések számával.
Határozzuk meg a fogalmat utolsó tag a n. Trükkös kérdés: melyik lesz a tag az utolsó ha adott végtelen aritmetikai progresszió?)
A magabiztos válaszhoz meg kell értened a számtani progresszió elemi jelentését, és... figyelmesen olvasd el a feladatot!)
Az aritmetikai progresszió összegének megállapításánál mindig az utolsó tag jelenik meg (közvetlenül vagy közvetve), amelyet korlátozni kellene. Ellenkező esetben végleges, konkrét összeg egyszerűen nem létezik. A megoldás szempontjából nem mindegy, hogy a progresszió adott: véges vagy végtelen. Nem mindegy, hogy hogyan adjuk meg: egy számsor, vagy egy képlet az n-edik taghoz.
A legfontosabb dolog annak megértése, hogy a képlet a progresszió első tagjától a számot tartalmazó tagig működik n. Valójában a képlet teljes neve így néz ki: egy aritmetikai sorozat első n tagjának összege. Ezen legelső tagok száma, i.e. n, kizárólag a feladat határozza meg. Egy feladatban ez az összes értékes információ gyakran titkosítva van, igen... De sebaj, az alábbi példákban ezeket a titkokat fedjük fel.)
Példák a feladatokra egy aritmetikai sorozat összegén.
Először is, hasznos információkat:
Az aritmetikai progresszió összegét tartalmazó feladatok fő nehézsége az helyes meghatározás a képlet elemei.
A feladatírók határtalan fantáziával éppen ezeket az elemeket titkosítják.) Itt a lényeg, hogy ne féljünk. Az elemek lényegének megértéséhez elég egyszerűen megfejteni őket. Nézzünk meg néhány példát részletesen. Kezdjük egy valódi GIA-n alapuló feladattal.
1. A számtani progressziót a következő feltétel adja meg: a n = 2n-3.5. Keresse meg az első 10 tagjának összegét.
Szép munka. Könnyű.) Mit kell tudnunk a mennyiség meghatározásához a képlet segítségével? Első tag egy 1, utolsó félév a n, igen az utolsó tag száma n.
Hol kaphatom meg az utolsó tag számát? n? Igen, ott, feltétellel! Azt írja: találd meg az összeget az első 10 tag. Nos, milyen számmal lesz? utolsó, tizedik tag?) Nem hiszi el, a száma tizedik!) Ezért ahelyett a n Behelyettesítjük a képletbe egy 10, és helyette n- tíz. Ismétlem, az utolsó tag száma egybeesik a tagok számával.
Meg kell határozni egy 1És egy 10. Ez könnyen kiszámítható az n-edik tag képletével, amely a problémafelvetésben található. Nem tudja, hogyan kell ezt csinálni? Vegyen részt az előző leckében, e nélkül nincs mód.
egy 1= 2 1 - 3,5 = -1,5
egy 10=2·10 - 3,5 =16,5
S n = S 10.
Kiderítettük az aritmetikai sorozat összegének képletének összes elemének jelentését. Nincs más hátra, mint helyettesíteni őket, és megszámolni:
Ez az. Válasz: 75.
Egy másik feladat a GIA alapján. Kicsit bonyolultabb:
2. Adott egy aritmetikai sorozat (a n), amelynek különbsége 3,7; a 1 = 2,3. Keresse meg az első 15 tagjának összegét.
Azonnal írjuk az összegképletet:
Ez a képlet lehetővé teszi, hogy bármely tag értékét megtaláljuk a szám alapján. Egyszerű helyettesítést keresünk:
a 15 = 2,3 + (15-1) 3,7 = 54,1
Marad az összes elemet behelyettesíteni a képletbe egy aritmetikai progresszió összegére, és kiszámítani a választ:
Válasz: 423.
Egyébként ha az összegképletben ahelyett a n Egyszerűen behelyettesítjük a képletet az n-edik tagra, és megkapjuk:
Mutassunk be hasonlókat, és kapjunk egy új képletet egy aritmetikai sorozat tagjainak összegére:
 |
Amint látja, ez itt nem kötelező n-edik tag a n. Bizonyos problémákban ez a képlet sokat segít, igen... Emlékezhet erre a képletre. Vagy egyszerűen megjelenítheti a megfelelő időben, például itt. Végül is mindig emlékeznie kell az összeg képletére és az n-edik tag képletére.)
Most a feladat egy rövid titkosítás formájában):
3. Határozza meg az összes olyan pozitív kétjegyű szám összegét, amelyek három többszörösei!
Azta! Sem az első tagod, sem az utolsó, sem a továbbjutásod... Hogyan élj!?
A fejeddel kell gondolkodnod, és ki kell húznod a feltételből az aritmetikai progresszió összegének összes elemét. Tudjuk, mik a kétjegyű számok. Két számból állnak.) Milyen kétjegyű szám lesz első? 10, feltehetően.) A utolsó dolog kétjegyű szám? 99, persze! A három számjegyűek követik őt...
Három többszörösei... Hm... Ezek hárommal osztható számok, itt! A tíz nem osztható hárommal, a 11 nem osztható... a 12... osztható! Szóval valami készülődik. Már le is írhat egy sorozatot a probléma feltételei szerint:
12, 15, 18, 21, ... 96, 99.
Ez a sorozat aritmetikai sorozat lesz? Biztosan! Mindegyik kifejezés szigorúan háromban különbözik az előzőtől. Ha 2-t vagy 4-et adsz egy kifejezéshez, mondjuk az eredményt, pl. az új szám már nem osztható 3-mal. Azonnal meghatározhatja a számtani sorozat különbségét: d = 3. Jól fog jönni!)
Tehát nyugodtan felírhatunk néhány progressziós paramétert:
Mi lesz a szám? n utolsó tag? Aki azt hiszi, hogy a 99, az végzetesen téved... A számok mindig sorban mennek, de tagjaink három fölé ugranak. Nem egyeznek.
Itt két megoldás létezik. Az egyik út a szuper szorgalmasak. Felírhatod a haladást, a teljes számsort, és az ujjaddal megszámolhatod a tagok számát.) A második út a megfontoltak számára. Emlékezned kell az n-edik tag képletére. Ha a képletet a feladatunkra alkalmazzuk, azt találjuk, hogy 99 a progresszió harmincadik tagja. Azok. n = 30.
Nézzük meg az aritmetikai progresszió összegének képletét:
Nézzük és örülünk.) A problémafelvetésből kihúztunk mindent, ami az összeg kiszámításához szükséges:
egy 1= 12.
egy 30= 99.
S n = S 30.
Már csak az elemi aritmetika van hátra. Behelyettesítjük a számokat a képletbe, és kiszámítjuk:
Válasz: 1665
Egy másik népszerű rejtvénytípus:
4. Adott egy aritmetikai progresszió:
-21,5; -20; -18,5; -17; ...
Határozza meg a huszadiktól harmincnégyig terjedő tagok összegét!
Megnézzük az összeg képletét és... kiborulunk.) A képlet, hadd emlékeztessem önöket, kiszámítja az összeget az elsőtől tag. És a feladatban ki kell számítania az összeget huszadik óta... A képlet nem fog működni.
Természetesen kiírhatja a teljes folyamatot egy sorozatba, és hozzáadhatja a 20-tól 34-ig terjedő kifejezéseket. De... ez valahogy hülyeség és sokáig tart, nem?)
Van ennél elegánsabb megoldás is. Osszuk két részre sorozatunkat. Az első rész lesz az első ciklustól a tizenkilencedikig. Második rész - húsztól harmincnégyig. Világos, hogy ha kiszámítjuk az első rész feltételeinek összegét S 1-19, adjuk hozzá a második rész feltételeinek összegével S 20-34, megkapjuk az első tagtól a harmincnegyedig terjedő progresszió összegét S 1-34. Mint ez:
S 1-19 + S 20-34 = S 1-34
Ebből láthatjuk, hogy találja meg az összeget S 20-34 egyszerű kivonással elvégezhető
S 20-34 = S 1-34 - S 1-19
A jobb oldalon látható mindkét összeget figyelembe veszik az elsőtől tag, azaz. a standard összegképlet egészen alkalmazható rájuk. Kezdjük el?
Kivonjuk a progresszió paramétereit a problémanyilatkozatból:
d = 1,5.
egy 1= -21,5.
Az első 19 és az első 34 tag összegének kiszámításához szükségünk lesz a 19. és a 34. tagra. Kiszámítjuk őket az n-edik tag képletével, mint a 2. feladatban:
egy 19= -21,5 +(19-1) 1,5 = 5,5
egy 34= -21,5 +(34-1) 1,5 = 28
Nem maradt semmi. A 34 tag összegéből vonjuk le a 19 tag összegét:
S 20-34 = S 1-34 - S 1-19 = 110,5 - (-152) = 262,5
Válasz: 262,5
Egy fontos megjegyzés! Van egy nagyon hasznos trükk a probléma megoldására. Közvetlen számítás helyett amire szüksége van (S 20-34), megszámoltuk valami, amire úgy tűnik, nincs szükség - S 1-19.És akkor elhatározták S 20-34, eldobva a teljes eredmény szükségtelen. Ez a fajta „fülcsalás” gyakran kíméli meg gonosz problémáktól.)
Ebben a leckében olyan feladatokat vizsgáltunk, amelyekhez elég megérteni egy számtani sorozat összegének jelentését. Nos, ismernie kell néhány képletet.)
Bármilyen aritmetikai progresszió összegével kapcsolatos probléma megoldásakor azt javaslom, hogy azonnal írjuk ki ebből a témából a két fő képletet.
Az n-edik tag képlete:
Ezek a képletek azonnal megmondják, mit kell keresni és milyen irányba kell gondolkodni a probléma megoldása érdekében. Segít.
És most az önálló megoldás feladatai.
5. Határozza meg az összes hárommal nem osztható kétjegyű szám összegét!
Menő?) A 4. feladatra vonatkozó megjegyzés rejtve van. Nos, a 3. feladat segít.
6. A számtani progressziót a következő feltétel adja: a 1 = -5,5; a n+1 = a n +0,5. Keresse meg az első 24 tagjának összegét.
Szokatlan?) Ez egy visszatérő képlet. Erről az előző leckében olvashat. Ne hagyja figyelmen kívül a linket, ilyen problémák gyakran előfordulnak az Állami Tudományos Akadémián.
7. Vasya pénzt spórolt az ünnepre. Akár 4550 rubel! És úgy döntöttem, hogy a kedvencemnek (magamnak) adok néhány nap boldogságot). Élj szépen anélkül, hogy megtagadnál magadtól semmit. Költsön el 500 rubelt az első napon, és minden további napon 50 rubel többet költ, mint az előző! Amíg el nem fogy a pénz. Hány nap volt a boldogságban Vasya?
Nehéz?) A 2. feladat további képlete segít.
Válaszok (rendetlenségben): 7, 3240, 6.
Ha tetszik ez az oldal...
Egyébként van még néhány érdekes oldalam az Ön számára.)
Gyakorolhatod a példák megoldását, és megtudhatod a szintedet. Tesztelés azonnali ellenőrzéssel. Tanuljunk – érdeklődéssel!)
Megismerkedhet a függvényekkel, deriváltokkal.
Vagy az aritmetika egyfajta rendezett numerikus sorozat, amelynek tulajdonságait iskolai algebratanfolyamon tanulmányozzák. Ez a cikk részletesen tárgyalja azt a kérdést, hogyan lehet megtalálni az aritmetikai progresszió összegét.
Milyen progresszió ez?
Mielőtt rátérnénk a kérdésre (hogyan találjuk meg az aritmetikai progresszió összegét), érdemes megérteni, miről beszélünk.
A valós számok bármely sorozatát, amelyet úgy kapunk, hogy minden előző számból hozzáadunk (kivonunk) valamilyen értéket, algebrai (aritmetikai) progressziónak nevezzük. Ez a meghatározás matematikai nyelvre fordítva a következő formát ölti:
Itt i az a i sor elemének sorszáma. Így egyetlen kezdő szám ismeretében könnyedén visszaállíthatja a teljes sorozatot. A képletben szereplő d paramétert progressziós különbségnek nevezzük.
Könnyen kimutatható, hogy a vizsgált számsorra a következő egyenlőség áll fenn:
a n = a 1 + d* (n - 1).
Vagyis az n-edik elem értékének sorrendben történő megtalálásához a d különbséget hozzá kell adni az első a elemhez 1 n-1 alkalommal.
Mennyi egy számtani progresszió összege: képlet
Mielőtt megadná a képletet a feltüntetett mennyiségre, érdemes megfontolni egy egyszerűt különleges eset. A progresszió adott természetes számok 1-től 10-ig, meg kell találnia az összegüket. Mivel kevés tag van a (10) progresszióban, lehetséges a probléma eleve megoldása, azaz az összes elem sorban összegzése.
S 10 = 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10 = 55.
Érdemes megfontolni egy érdekességet: mivel minden tag ugyanazzal a d = 1 értékkel különbözik a következőtől, akkor az elsőt a tizeddel, a másodikat a kilenceddel és így tovább páronként összeadva ugyanazt az eredményt kapjuk. Igazán:
11 = 1+10 = 2+9 = 3+8 = 4+7 = 5+6.
Mint látható, ebből az összegből csak 5 van, vagyis pontosan kétszer kevesebb, mint a sorozat elemeinek száma. Ezután megszorozva az összegek számát (5) az egyes összegek eredményével (11), akkor az első példában kapott eredményhez jutunk.
Ha ezeket az argumentumokat általánosítjuk, a következő kifejezést írhatjuk fel:
S n = n * (a 1 + a n) / 2.
Ez a kifejezés azt mutatja, hogy egyáltalán nem szükséges az összes elemet egy sorban összegezni, elég tudni az első a 1 és az utolsó a n értékét, valamint teljes szám n kifejezések.
Úgy tartják, hogy Gauss gondolt először erre az egyenlőségre, amikor egy adott problémára keresett megoldást. iskolai tanár feladat: összegezze az első 100 egész számot.
Elemek összege m-től n-ig: képlet
Az előző bekezdésben megadott képlet választ ad arra a kérdésre, hogy hogyan találjuk meg a számtani sorozat összegét (az első elemeket), de a feladatokban gyakran szükséges egy számsort összegezni a haladás közepén. Hogyan kell csinálni?
A kérdés megválaszolásának legegyszerűbb módja a következő példa: legyen szükség az m-ediktől az n-edikig terjedő tagok összegére. A probléma megoldásához az adott szakaszt m-től n-ig újként kell ábrázolni számsorozat. Ebben a nézetben mth term a m lesz az első, egy n pedig n-(m-1) lesz számozva. Ebben az esetben az összeg standard képletét alkalmazva a következő kifejezést kapjuk:
S m n = (n - m + 1) * (a m + a n) / 2.
Példa képletek használatára
Tudva, hogyan találjuk meg egy aritmetikai sorozat összegét, érdemes megfontolni egy egyszerű példát a fenti képletek használatára.
Az alábbiakban egy numerikus sorozat látható, amelynek tagjainak összegét kell megtalálnia, az 5-től kezdve és a 12-ig:
A megadott számok azt jelzik, hogy a d különbség egyenlő 3-mal. Az n-edik elemre vonatkozó kifejezést használva megtalálhatja a progresszió 5. és 12. tagjának értékét. Kiderül:
a 5 = a 1 + d * 4 = -4 + 3 * 4 = 8;
a 12 = a 1 + d * 11 = -4 + 3 * 11 = 29.
A vizsgált algebrai progresszió végén lévő számok értékének ismeretében, valamint annak tudatában, hogy a sorozatban milyen számokat foglalnak el, használhatja az előző bekezdésben kapott összeg képletét. Ki fog derülni:
S 5 12 = (12 - 5 + 1) * (8 + 29) / 2 = 148.
Érdemes megjegyezni, hogy ezt az értéket másképpen is megkaphatjuk: először keressük meg az első 12 elem összegét a standard képlet segítségével, majd számítsuk ki az első 4 elem összegét ugyanazzal a képlettel, majd vonjuk ki a másodikat az első összegből.
Online számológép.
Számtani sorozat megoldása.
Adott: a n , d, n
Keresse meg: a 1
Ez a matematikai program a felhasználó által megadott \(a_n, d\) és \(n\) számok alapján megkeresi a \(a_1\) számtani sorozatot.
Az \(a_n\) és \(d\) számok nem csak egész számként, hanem törtként is megadhatók. Ezenkívül a törtszám megadható tizedes tört (\(2,5\)) és alakban közönséges tört(\(-5\frac(2)(7)\)).
A program nem csak a problémára ad választ, hanem megjeleníti a megoldás keresésének folyamatát is.
Ez az online számológép hasznos lehet középiskolás diákok számára a felkészülés során tesztek valamint vizsgák, az Egységes Államvizsga előtti tudásellenőrzés során a szülőknek számos matematikai és algebrai feladat megoldásának ellenőrzésére. Vagy talán túl drága önnek oktatót felvenni vagy új tankönyveket vásárolni? Vagy csak a lehető leggyorsabban szeretné elvégezni? házi feladat matematikában vagy algebrában? Ebben az esetben részletes megoldásokkal is használhatja programjainkat.
Így költheti el saját képzésés/vagy öccseik képzését, miközben a megoldandó problémák területén növekszik az iskolai végzettség.
Ha nem ismeri a számok bevitelére vonatkozó szabályokat, javasoljuk, hogy ismerkedjen meg velük.
A számok bevitelének szabályai
Az \(a_n\) és \(d\) számok nem csak egész számként, hanem törtként is megadhatók.
A \(n\) szám csak pozitív egész szám lehet.
A tizedes törtek bevitelének szabályai.
A tizedes tört egész és tört részeit ponttal vagy vesszővel lehet elválasztani.
Például beléphet tizedesjegyek szóval 2,5 vagy 2,5
A közönséges törtek bevitelének szabályai.
Csak egy egész szám lehet tört számlálója, nevezője és egész része.
A nevező nem lehet negatív.
Törtszám beírásakor a számlálót osztásjel választja el a nevezőtől: /
Bemenet:
Eredmény: \(-\frac(2)(3)\)
Egész rész a törttől és jellel elválasztva: &
Bemenet:
Eredmény: \(-1\frac(2)(3)\)
Kiderült, hogy a probléma megoldásához szükséges néhány szkript nem lett betöltve, és előfordulhat, hogy a program nem működik.
Lehetséges, hogy az AdBlock engedélyezve van.
Ebben az esetben kapcsolja ki és frissítse az oldalt.
A megoldás megjelenítéséhez engedélyeznie kell a JavaScriptet.
Íme a JavaScript engedélyezése a böngészőben.
Mert Nagyon sokan vannak, akik hajlandóak megoldani a problémát, kérései sorba kerültek.
Néhány másodperc múlva megjelenik a megoldás lent.
Kérlek várj mp...
Ha te hibát észlelt a megoldásban, akkor erről írhatsz a Visszajelzési űrlapon.
Ne felejtsd el jelezze, melyik feladatot te döntöd el, mit írja be a mezőkbe.
Játékaink, rejtvényeink, emulátoraink:
Egy kis elmélet.
Számsorozat
BAN BEN mindennapi gyakorlat A különféle tételek számozását gyakran használják az elrendezés sorrendjének jelzésére. Például minden utcában a házakat számozzák. A könyvtárban az olvasói előfizetéseket számozzák, majd a hozzárendelt számok sorrendjében speciális kártyafájlokba rendezik.
Takarékpénztárban a betétes személyes számlaszámával könnyedén megtalálhatja ezt a számlát, és megnézheti, milyen betét van rajta. Az 1-es számla tartalmazzon a1 rubelt, a 2-es számla a2 rubelt, stb. számsor
a 1, a 2, a 3, ..., a N
ahol N az összes fiók száma. Itt minden n természetes szám 1-től N-ig egy a n számhoz van társítva.
Matematikából is tanult végtelen számsorozatok:
a 1 , a 2 , a 3 , ..., a n , ... .
Az a 1-es számot hívják a sorozat első tagja, a 2-es szám - a sorozat második tagja, a 3-as szám - a sorozat harmadik tagja stb.
Az a n számot hívják a sorozat n-edik (n-edik) tagja, és az n természetes szám annak szám.
Például az 1, 4, 9, 16, 25, ..., n 2, (n + 1) 2, ... és 1 = 1 természetes számok négyzeteinek sorozatában a sorozat első tagja; és n = n 2 értéke n-edik tag szekvenciák; a n+1 = (n + 1) 2 a sorozat (n + 1)-edik (n plusz első) tagja. Egy sorozat gyakran megadható az n-edik tagjának képletével. Például az \(a_n=\frac(1)(n), \; n \in \mathbb(N) \) képlet határozza meg a \(1, \; \frac(1)(2) , \; \frac(1)(3) , \; \frac(1)(4) , \pontok,\frac(1)(n) , \pontok \)
Aritmetikai progresszió
Az év hossza hozzávetőlegesen 365 nap. Több pontos érték egyenlő \(365\frac(1)(4)\) nappal, tehát négyévente egy napos hiba halmozódik fel.
A hiba elhárítására minden negyedik évhez hozzáadunk egy napot, a meghosszabbított évet pedig szökőévnek nevezzük.
Például a harmadik évezredben szökőévek a 2004, 2008, 2012, 2016, ....
Ebben a sorozatban minden tag a másodiktól kezdve egyenlő az előzővel, hozzá kell adni ugyanahhoz a 4-hez. Az ilyen sorozatokat ún. aritmetikai progressziók.
Meghatározás.
Az a 1, a 2, a 3, ..., a n, ... számsort nevezzük aritmetikai progresszió, ha minden természetes n az egyenlőség
\(a_(n+1) = a_n+d, \)
ahol d valamilyen szám.
Ebből a képletből az következik, hogy a n+1 - a n = d. A d számot különbségnek nevezzük aritmetikai progresszió.
Az aritmetikai progresszió definíciója szerint:
\(a_(n+1)=a_n+d, \quad a_(n-1)=a_n-d, \)
ahol
\(a_n= \frac(a_(n-1) +a_(n+1))(2) \), ahol \(n>1 \)
Így egy aritmetikai sorozat minden tagja, a másodiktól kezdve, egyenlő a két szomszédos tag számtani átlagával. Ez magyarázza az "aritmetikai" progresszió elnevezést.
Megjegyzendő, hogy ha a 1 és d adott, akkor az aritmetikai progresszió fennmaradó tagjait az a n+1 = a n + d ismétlődő képlettel számíthatjuk ki. Ily módon nem nehéz kiszámítani a progresszió első néhány tagját, de például egy 100-hoz már sok számítás szükséges. Általában az n-edik képlet kifejezést használják erre. A számtani progresszió definíciója szerint
\(a_2=a_1+d, \)
\(a_3=a_2+d=a_1+2d, \)
\(a_4=a_3+d=a_1+3d \)
stb.
Egyáltalán,
\(a_n=a_1+(n-1)d, \)
mivel egy aritmetikai sorozat n-edik tagját az első tagból kapjuk a d szám (n-1)-szeresének hozzáadásával.
Ezt a képletet ún egy aritmetikai sorozat n-edik tagjának képlete.
Egy aritmetikai sorozat első n tagjának összege
Keresse meg az összes természetes szám összegét 1 és 100 között.
Ezt az összeget kétféleképpen írjuk fel:
S = l + 2 + 3 + ... + 99 + 100,
S = 100 + 99 + 98 + ... + 2 + 1.
Adjuk hozzá ezeket az egyenlőségeket tagonként:
2S = 101 + 101 + 101 + ... + 101 + 101.
Ez az összeg 100 kifejezésből áll
Ezért 2S = 101 * 100, tehát S = 101 * 50 = 5050.
Tekintsünk most egy tetszőleges aritmetikai sorozatot
a 1 , a 2 , a 3 , ... , a n , ...
Legyen S n ennek a haladásnak az első n tagjának összege:
S n = a 1 , a 2 , a 3 , ..., a n
Akkor egy aritmetikai sorozat első n tagjának összege egyenlő
\(S_n = n \cdot \frac(a_1+a_n)(2) \)
Mivel \(a_n=a_1+(n-1)d\), akkor ebben a képletben egy n-t lecserélve egy másik képletet kapunk egy aritmetikai sorozat első n tagjának összege:
\(S_n = n \cdot \frac(2a_1+(n-1)d)(2) \)
Az algebra tanulmányozása során középiskola(9. osztály) az egyik fontos témákat a számsorozatok tanulmányozása, amelyek magukban foglalják a - geometriai és aritmetikai - progressziókat. Ebben a cikkben egy aritmetikai progressziót és megoldási példákat tekintünk meg.
Mi az aritmetikai progresszió?
Ennek megértéséhez meg kell határozni a szóban forgó progressziót, valamint meg kell adni azokat az alapképleteket, amelyeket a későbbiekben a problémák megoldása során használni fogunk.
Az aritmetika vagy olyan rendezett racionális számok halmaza, amelyek minden tagja valamilyen állandó értékkel különbözik az előzőtől. Ezt az értéket különbségnek nevezzük. Vagyis egy rendezett számsor bármely tagjának és a különbségnek a ismeretében visszaállíthatja a teljes aritmetikai sorozatot.
Mondjunk egy példát. A következő számsorozat egy aritmetikai sorozat lesz: 4, 8, 12, 16, ..., mivel a különbség ebben az esetben 4 (8 - 4 = 12 - 8 = 16 - 12). De a 3, 5, 8, 12, 17 számok halmaza már nem tulajdonítható a vizsgált progresszió típusának, mivel a különbség nem állandó érték (5 - 3 ≠ 8 - 5 ≠ 12 - 8 ≠ 17-12).
Fontos képletek
Most mutassuk be azokat az alapvető képleteket, amelyekre szükség lesz a feladatok számtani progresszióval történő megoldásához. Jelöljük a n szimbólummal a sorozat n-edik tagját, ahol n egész szám. Jelöljük a különbséget latin betű d. Ekkor a következő kifejezések érvényesek:
- Az n-edik tag értékének meghatározására a következő képlet alkalmas: a n = (n-1)*d+a 1 .
- Az első n tag összegének meghatározásához: S n = (a n +a 1)*n/2.
Ahhoz, hogy megértsük a 9. osztályban a megoldásokkal végzett aritmetikai haladás példáit, elég megjegyezni ezt a két képletet, mivel a szóban forgó típusú problémák ezek használatán alapulnak. Ne feledje azt is, hogy a progresszió különbségét a következő képlet határozza meg: d = a n - a n-1.
1. példa: ismeretlen tag keresése
Adjunk egy egyszerű példát egy aritmetikai sorozatra és a megoldáshoz szükséges képletekre.
Legyen adott a 10, 8, 6, 4, ... sorozat, öt tagot kell találni benne.
A feladat feltételeiből már az is következik, hogy az első 4 tag ismert. Az ötödik kétféleképpen határozható meg:
- Először számoljuk ki a különbséget. Van: d = 8 - 10 = -2. Hasonlóképpen, elvihet bármely két másik tagot egymás mellett. Például d = 4 - 6 = -2. Mivel ismert, hogy d = a n - a n-1, akkor d = a 5 - a 4, amiből kapjuk: a 5 = a 4 + d. Cseréljük ismert értékek: a 5 = 4 + (-2) = 2.
- A második módszer a kérdéses progresszió különbségének ismeretét is megköveteli, ezért először meg kell határozni a fentiek szerint (d = -2). Tudva, hogy az első tag a 1 = 10, a sorozat n számának képletét használjuk. Van: a n = (n - 1) * d + a 1 = (n - 1) * (-2) + 10 = 12 - 2*n. Ha n = 5-öt behelyettesítünk az utolsó kifejezésbe, a következőt kapjuk: a 5 = 12-2 * 5 = 2.
Mint látható, mindkét megoldás ugyanarra az eredményre vezetett. Vegye figyelembe, hogy ebben a példában a d progressziókülönbség negatív érték. Az ilyen sorozatokat csökkenőnek nevezzük, mivel minden következő tag kisebb, mint az előző.
2. példa: progresszió különbség
Most bonyolítsuk egy kicsit a problémát, mondjunk példát arra, hogyan találjuk meg egy aritmetikai sorozat különbségét.
Ismeretes, hogy bizonyos algebrai progresszióban az 1. tag egyenlő 6-tal, a 7. tag pedig 18-cal. Meg kell találni a különbséget, és vissza kell állítani ezt a sorozatot a 7. tagra.
Használjuk a képletet az ismeretlen tag meghatározásához: a n = (n - 1) * d + a 1 . Helyettesítsük be a feltételből ismert adatokat, vagyis az a 1 és a 7 számokat, így kapjuk: 18 = 6 + 6 * d. Ebből a kifejezésből könnyen kiszámítható a különbség: d = (18 - 6) /6 = 2. Így a feladat első részét megválaszoltuk.
A sorozat 7. tagjára való visszaállításához az algebrai progresszió definícióját kell használni, azaz a 2 = a 1 + d, a 3 = a 2 + d és így tovább. Ennek eredményeként a teljes sorozatot visszaállítjuk: a 1 = 6, a 2 = 6 + 2 = 8, a 3 = 8 + 2 = 10, a 4 = 10 + 2 = 12, a 5 = 12 + 2 = 14 , a 6 = 14 + 2 = 16, a 7 = 18.
3. példa: progresszió készítése
Bonyolítsuk tovább erősebb állapot feladatokat. Most azt a kérdést kell megválaszolnunk, hogyan találhatunk számtani sorozatot. A következő példa megadható: két szám van megadva, például - 4 és 5. Létre kell hozni egy algebrai progressziót úgy, hogy ezek közé még három tag kerüljön.
Mielőtt elkezdené megoldani ezt a problémát, meg kell értenie, hogy az adott számok milyen helyet foglalnak el a jövőbeni fejlődésben. Mivel még három tag lesz közöttük, akkor a 1 = -4 és egy 5 = 5. Ennek megállapítása után áttérünk az előzőhöz hasonló feladatra. Az n-edik tagra ismét a képletet használjuk, így kapjuk: a 5 = a 1 + 4 * d. Ebből: d = (a 5 - a 1)/4 = (5 - (-4)) / 4 = 2,25. Amit itt kaptunk, az nem a különbség egész értéke, hanem egy racionális szám, így az algebrai haladás képlete változatlan marad.
Most adjuk hozzá a talált különbséget 1-hez, és állítsuk vissza a progresszió hiányzó tagjait. A következőt kapjuk: a 1 = - 4, a 2 = - 4 + 2,25 = - 1,75, a 3 = -1,75 + 2,25 = 0,5, a 4 = 0,5 + 2,25 = 2,75, a 5 = 2,75 + 2,25 = 5, amelyek egybeesnek a probléma körülményeivel.
4. példa: a progresszió első tagja
Adjunk továbbra is példákat a megoldásokkal való aritmetikai progresszióra. Minden korábbi feladatban ismert volt az algebrai progresszió első száma. Most nézzünk meg egy más típusú problémát: legyen két szám, ahol egy 15 = 50 és egy 43 = 37. Meg kell találni, hogy melyik számmal kezdődik ez a sorozat.
Az eddig használt képletek egy 1 és d ismeretét feltételezik. A problémafelvetésben ezekről a számokról nem tudunk semmit. Mindazonáltal minden olyan kifejezéshez felírunk kifejezéseket, amelyekről információ áll rendelkezésre: a 15 = a 1 + 14 * d és a 43 = a 1 + 42 * d. Két egyenletet kaptunk, amelyben 2 ismeretlen mennyiség van (a 1 és d). Ez azt jelenti, hogy a feladat egy lineáris egyenletrendszer megoldására redukálódik.
A rendszer legegyszerűbb megoldása, ha minden egyenletben 1-et fejezünk ki, majd az eredményül kapott kifejezéseket összehasonlítjuk. Első egyenlet: a 1 = a 15 - 14 * d = 50 - 14 * d; második egyenlet: a 1 = a 43 - 42 * d = 37 - 42 * d. Ezeket a kifejezéseket egyenlővé téve a következőt kapjuk: 50 - 14 * d = 37 - 42 * d, innen a különbség d = (37 - 50) / (42 - 14) = - 0,464 (csak 3 tizedesjegy van megadva).
A d ismeretében a fenti 2 kifejezés bármelyikét használhatja 1-hez. Például először: a 1 = 50 - 14 * d = 50 - 14 * (- 0,464) = 56,496.
Ha kétségei vannak a kapott eredménnyel kapcsolatban, ellenőrizheti, például meghatározhatja a progresszió 43. tagját, amely a feltételben van megadva. A következőt kapjuk: a 43 = a 1 + 42 * d = 56,496 + 42 * (- 0,464) = 37,008. Az apró hiba abból adódik, hogy a számításoknál ezredrészekre kerekítést alkalmaztak.
5. számú példa: összeg
Most nézzünk meg néhány példát egy aritmetikai sorozat összegének megoldásával.
Adjunk meg egy numerikus progressziót a következő típus: 1, 2, 3, 4, ...,. Hogyan lehet kiszámítani ezeknek a számoknak a 100 összegét?
A fejlesztésnek köszönhetően számítógépes technológia megoldhatja ezt a feladatot, vagyis összeadja az összes számot egymás után, ami Számológép megteszi, amint a személy megnyomja az Enter billentyűt. A probléma azonban mentálisan megoldható, ha odafigyelünk arra, hogy a bemutatott számsor egy algebrai progresszió, és a különbsége egyenlő 1-gyel. Az összeg képletét alkalmazva a következőt kapjuk: S n = n * (a 1 + a n) / 2 = 100 * (1 + 100) / 2 = 5050.
Érdekes megjegyezni, hogy ezt a problémát „gaussi”-nak nevezik, mert a 18. század elején a még csak 10 éves híres német fejében néhány másodperc alatt meg tudta oldani. A fiú nem ismerte az algebrai haladás összegének képletét, de észrevette, hogy ha páronként összeadja a sorozat végén lévő számokat, mindig ugyanazt az eredményt kapja, azaz 1 + 100 = 2 + 99 = 3 + 98 = ..., és mivel ezek az összegek pontosan 50 (100 / 2) lesznek, akkor a helyes válaszhoz elegendő 50-et megszorozni 101-gyel.
6. példa: tagok összege n-től m-ig
Még egy tipikus példa egy aritmetikai progresszió összege a következő: adott egy számsor: 3, 7, 11, 15, ..., meg kell találni, hogy mekkora lesz a 8-tól 14-ig terjedő tagok összege.
A probléma kétféleképpen oldható meg. Az első közülük 8-tól 14-ig ismeretlen kifejezéseket keres, majd egymás után összegzi őket. Mivel kevés a kifejezés, ez a módszer nem elég munkaigényes. Ennek ellenére azt javasolják, hogy ezt a problémát egy második módszerrel oldják meg, amely univerzálisabb.
Az ötlet az, hogy egy képletet kapjunk az m és n tagok közötti algebrai haladás összegére, ahol n > m egész számok. Mindkét esetben két kifejezést írunk az összegre:
- S m = m * (a m + a 1) / 2.
- S n = n * (a n + a 1) / 2.
Mivel n > m, nyilvánvaló, hogy a 2. összeg tartalmazza az elsőt. Az utolsó következtetés azt jelenti, hogy ha felvesszük ezen összegek különbségét, és hozzáadjuk az a m tagot (különbözet felvétele esetén levonjuk az S n összegből), akkor megkapjuk a feladatra a szükséges választ. Van: S mn = S n - S m + a m =n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m)/2 + a m = a 1 * (n - m) / 2 + a n * n/2 + a m * (1- m/2). Ebbe a kifejezésbe n és m képleteket kell behelyettesíteni. Ekkor a következőt kapjuk: S mn = a 1 * (n - m) / 2 + n * (a 1 + (n - 1) * d) / 2 + (a 1 + (m - 1) * d) * (1 - m / 2) = a 1 * (n - m + 1) + d * n * (n - 1) / 2 + d * (3 * m - m 2 - 2) / 2.
A kapott képlet kissé körülményes, azonban az S mn összeg csak n, m, a 1 és d függvénye. Esetünkben a 1 = 3, d = 4, n = 14, m = 8. Ezeket a számokat behelyettesítve a következőt kapjuk: S mn = 301.
Amint a fenti megoldásokból látható, minden probléma az n-edik tag kifejezésének és az első tagok összegének képletének ismeretén alapul. Mielőtt elkezdené megoldani ezeket a problémákat, javasoljuk, hogy figyelmesen olvassa el a feltételt, értse meg egyértelműen, mit kell találnia, és csak ezután folytassa a megoldást.
Egy másik tipp, hogy törekedjünk az egyszerűségre, vagyis ha bonyolult matematikai számítások használata nélkül tud válaszolni egy kérdésre, akkor ezt meg kell tennie, hiszen ebben az esetben kisebb a tévedés valószínűsége. Például a 6-os megoldású aritmetikai sorozat példájában megállhatunk az S mn = n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m képletnél, és szünet közös feladat külön részfeladatokba (in ebben az esetben először keresse meg az a n és a m kifejezéseket).
Ha kétségei vannak a kapott eredménnyel kapcsolatban, javasoljuk, hogy ellenőrizze azt, ahogyan az egyes példákban is megtörtént. Megtudtuk, hogyan találhatunk számtani sorozatot. Ha rájössz, nem is olyan nehéz.
A számsorozat fogalma azt jelenti, hogy minden természetes szám valamilyen valós értéknek felel meg. Egy ilyen számsor lehet tetszőleges, vagy rendelkezhet bizonyos tulajdonságokkal - progresszióval. Ez utóbbi esetben a sorozat minden következő eleme (tagja) kiszámítható az előzővel.
Aritmetikai progresszió - sorozat számértékek, amelyben szomszédos tagjai azonos számmal különböznek egymástól (a sorozat minden eleme a 2.-tól kezdve hasonló tulajdonsággal rendelkezik). Ez a szám– az előző és a következő tagok közötti különbség állandó, ezt progressziós különbségnek nevezzük.
Progressziós különbség: definíció
Tekintsünk egy j értékekből álló sorozatot A = a(1), a(2), a(3), a(4) ... a(j), j az N természetes számok halmazához tartozik. Egy aritmetika a progresszió definíciója szerint egy sorozat, amelyben a(3) – a(2) = a(4) – a(3) = a(5) – a(4) = … = a(j) – a(j-1) = d. A d érték ennek a folyamatnak a kívánt különbsége.
d = a(j) – a(j-1).
Kiemel:
- Növekvő progresszió, ebben az esetben d > 0. Példa: 4, 8, 12, 16, 20, ...
- Csökkenő progresszió, majd d< 0. Пример: 18, 13, 8, 3, -2, …
A különbség progressziója és tetszőleges elemei
Ha a progresszió 2 tetszőleges tagja ismeretes (i-edik, k-edik), akkor egy adott sorozatra a különbség az összefüggés alapján határozható meg:
a(i) = a(k) + (i – k)*d, ami azt jelenti, hogy d = (a(i) – a(k))/(i-k).
A progresszió különbsége és annak első tagja
Ez a kifejezés csak akkor segít meghatározni az ismeretlen értéket, ha a sorozatelem száma ismert.
Progressziós különbség és összege
A progresszió összege a tagok összege. Az első j elem összértékének kiszámításához használja a megfelelő képletet:
S(j) =((a(1) + a(j))/2)*j, de mivel a(j) = a(1) + d(j – 1), akkor S(j) = ((a(1) + a(1) + d(j – 1))/2)*j=(( 2a. (1) + d(– 1))/2)*j.
Betöltés...