Cum să găsiți coordonatele vârfului unei parabole a unei funcții pătratice. Parabola - proprietăți și graficul unei funcții pătratice

O funcție de forma unde este numită funcţie pătratică.

Graficul unei funcții pătratice – parabolă.


Să luăm în considerare cazurile:

I CAZ, PARABOLA CLASICA

Acesta este , ,

Pentru a construi, completați tabelul înlocuind valorile x în formula:


Marcați punctele (0;0); (1;1); (-1;1), etc. pe planul de coordonate (cu cât pasul este mai mic, luăm valorile x (în în acest caz, pasul 1), și cu cât luăm mai multe valori x, cu atât curba va fi mai netedă), obținem o parabolă:


Este ușor de observat că dacă luăm cazul , , , adică, atunci obținem o parabolă care este simetrică față de axa (oh). Este ușor să verificați acest lucru completând un tabel similar:


II CAZUL, „a” ESTE DIFERIT DE UNITATEA

Ce se va întâmpla dacă luăm , , ? Cum se va schimba comportamentul parabolei? Cu title="Redată de QuickLaTeX.com" height="20" width="55" style="vertical-align: -5px;"> парабола изменит форму, она “похудеет” по сравнению с параболой (не верите – заполните соответствующую таблицу – и убедитесь сами):!}


În prima imagine (vezi mai sus) se vede clar că punctele din tabel pentru parabolă (1;1), (-1;1) au fost transformate în puncte (1;4), (1;-4), adică, cu aceleași valori, ordonata fiecărui punct este înmulțită cu 4. Acest lucru se va întâmpla cu toate punctele cheie ale tabelului original. Raționăm în mod similar în cazurile imaginilor 2 și 3.

Și când parabola „devine mai lată” decât parabola:


Să rezumăm:

1)Semnul coeficientului determină direcția ramurilor. Cu title="Redată de QuickLaTeX.com" height="14" width="47" style="vertical-align: 0px;"> ветви направлены вверх, при - вниз. !}

2) Valoare absolută coeficientul (modulul) este responsabil pentru „expansiunea” și „compresia” parabolei. Cu cât este mai mare, cu atât parabola este mai îngustă; cu cât |a| este mai mic, cu atât parabola este mai largă.

CAZUL III, APARE „C”.

Acum să introducem în joc (adică să luăm în considerare cazul când), vom lua în considerare parabole de forma . Nu este greu să ghiciți (vă puteți referi întotdeauna la tabel) că parabola se va deplasa în sus sau în jos de-a lungul axei, în funcție de semn:



CAZUL IV, AARE „b”.

Când se va „desprinde” parabola de axă și, în cele din urmă, „se va plimba” de-a lungul întregului plan de coordonate? Când va înceta să mai fie egal?

Aici avem nevoie pentru a construi o parabolă formula pentru calcularea vârfului: , .

Deci în acest punct (ca și în punctul (0;0) al noului sistem de coordonate) vom construi o parabolă, ceea ce o putem face deja. Dacă avem de-a face cu cazul, atunci din vârf punem un segment de unitate la dreapta, unul în sus, - punctul rezultat este al nostru (în mod similar, un pas la stânga, un pas în sus este punctul nostru); dacă avem de-a face cu, de exemplu, atunci de la vârf punem un segment de unitate la dreapta, două - în sus etc.

De exemplu, vârful unei parabole:

Acum, principalul lucru de înțeles este că la acest vârf vom construi o parabolă conform modelului parabolei, deoarece în cazul nostru.

La construirea unei parabole după ce s-au găsit coordonatele vârfului foarteEste convenabil să luați în considerare următoarele puncte:

1) parabolă va trece cu siguranță prin punct . Într-adevăr, înlocuind x=0 în formulă, obținem că . Adică, ordonata punctului de intersecție al parabolei cu axa (oy) este . În exemplul nostru (mai sus), parabola intersectează ordonata în punctul , deoarece .

2) axa de simetrie parabole este o linie dreaptă, deci toate punctele parabolei vor fi simetrice față de ea. În exemplul nostru, luăm imediat punctul (0; -2) și îl construim simetric față de axa de simetrie a parabolei, obținem punctul (4; -2) prin care va trece parabola.

3) Echivalând cu , aflăm punctele de intersecție ale parabolei cu axa (oh). Pentru a face acest lucru, rezolvăm ecuația. În funcție de discriminant, vom obține unul (, ), doi ( title="Rendered by QuickLaTeX.com)" height="14" width="54" style="vertical-align: 0px;">, ) или нИсколько () точек пересечения с осью (ох) !} . În exemplul anterior, rădăcina noastră a discriminantului nu este un număr întreg; atunci când construim, nu prea are sens să găsim rădăcinile, dar vedem clar că vom avea două puncte de intersecție cu axa (oh) (din moment ce title="Redată de QuickLaTeX.com" height="14" width="54" style="vertical-align: 0px;">), хотя, в общем, это видно и без дискриминанта.!}

Deci hai să rezolvăm

Algoritm pentru construirea unei parabole dacă este dat sub forma

1) determinați direcția ramurilor (a>0 – sus, a<0 – вниз)

2) găsim coordonatele vârfului parabolei folosind formula , .

3) găsim punctul de intersecție al parabolei cu axa (oy) folosind termenul liber, construim un punct simetric față de acest punct față de axa de simetrie a parabolei (de remarcat că se întâmplă că nu este rentabil să se marcheze acest punct, de exemplu, pentru că valoarea este mare... sărim peste acest punct...)

4) În punctul găsit - vârful parabolei (ca și în punctul (0;0) al noului sistem de coordonate) construim o parabolă. Dacă title="Redată de QuickLaTeX.com" height="20" width="55" style="vertical-align: -5px;">, то парабола становится у’же по сравнению с , если , то парабола расширяется по сравнению с !}

5) Găsim punctele de intersecție ale parabolei cu axa (oy) (dacă nu au „ieșit la suprafață”) rezolvând ecuația

Exemplul 1


Exemplul 2


Nota 1. Dacă parabola ne este dată inițial sub forma , unde sunt unele numere (de exemplu, ), atunci va fi și mai ușor să o construim, deoarece ni s-au dat deja coordonatele vârfului . De ce?

Să luăm un trinom pătratic și să izolăm pătratul complet din el: Uite, am obținut că , . Tu și cu mine anterior numiam vârful unei parabole, adică acum,.

De exemplu, . Marcam vârful parabolei pe plan, înțelegem că ramurile sunt îndreptate în jos, parabola este extinsă (în raport cu ). Adică realizăm punctele 1; 3; 4; 5 din algoritmul pentru construirea unei parabole (vezi mai sus).

Nota 2. Dacă parabola este dată într-o formă similară cu aceasta (adică prezentată ca un produs al doi factori liniari), atunci vedem imediat punctele de intersecție ale parabolei cu axa (bou). În acest caz – (0;0) și (4;0). În rest, acționăm conform algoritmului, deschizând parantezele.

Probabil că toată lumea știe ce este o parabolă. Dar vom analiza mai jos cum să-l folosim corect și competent atunci când rezolvăm diverse probleme practice.

În primul rând, să subliniem conceptele de bază pe care algebra și geometria le dau acestui termen. Să luăm în considerare totul tipuri posibile această diagramă.

Să aflăm toate caracteristicile principale ale acestei funcții. Să înțelegem elementele de bază ale construcției curbei (geometrie). Să învățăm cum să găsim vârful și alte valori de bază ale unui grafic de acest tip.

Să aflăm: cum să construiți corect curba dorită folosind ecuația, la ce trebuie să acordați atenție. Să vedem elementele de bază uz practic această valoare unică în viața umană.

Ce este o parabolă și cum arată?

Algebră: Acest termen se referă la graficul unei funcții pătratice.

Geometrie: aceasta este o curbă de ordinul doi care are o serie de caracteristici specifice:

Ecuația parabolei canonice

Figura prezintă un sistem de coordonate dreptunghiular (XOY), un extremum, direcția ramurilor funcției desenând de-a lungul axei absciselor.

Ecuația canonică este:

y 2 = 2 * p * x,

unde coeficientul p este parametrul focal al parabolei (AF).

În algebră se va scrie diferit:

y = a x 2 + b x + c (model de recunoscut: y = x 2).

Proprietățile și graficul unei funcții pătratice

Funcția are o axă de simetrie și un centru (extrem). Domeniul de definiție este toate valorile axei absciselor.

Gama de valori ale funcției – (-∞, M) sau (M, +∞) depinde de direcția ramurilor curbei. Parametrul M înseamnă aici valoarea funcției din partea de sus a liniei.

Cum să determinați unde sunt îndreptate ramurile unei parabole

Pentru a găsi direcția unei curbe de acest tip dintr-o expresie, trebuie să determinați semnul înaintea primului parametru al expresiei algebrice. Dacă a ˃ 0, atunci ele sunt direcționate în sus. Dacă este invers, jos.

Cum să găsiți vârful unei parabole folosind formula

Găsirea extremului este pasul principal în rezolvarea multor probleme practice. Desigur, puteți deschide special calculatoare online, dar este mai bine să poți să o faci singur.

Cum să o determine? Există o formulă specială. Când b nu este egal cu 0, trebuie să căutăm coordonatele acestui punct.

Formule pentru găsirea vârfului:

  • x 0 = -b / (2 * a);
  • y 0 = y (x 0).

Exemplu.

Există o funcție y = 4 * x 2 + 16 * x – 25. Să găsim vârfurile acestei funcție.

Pentru o linie ca aceasta:

  • x = -16 / (2 * 4) = -2;
  • y = 4 * 4 - 16 * 2 - 25 = 16 - 32 - 25 = -41.

Obținem coordonatele vârfului (-2, -41).

Deplasarea parabolei

Cazul clasic este atunci când într-o funcție pătratică y = a x 2 + b x + c, al doilea și al treilea parametru sunt egali cu 0, iar = 1 - vârful este în punctul (0; 0).

Mișcarea de-a lungul axelor de abscisă sau ordonate se datorează modificărilor parametrilor b și, respectiv, c. Linia de pe plan va fi deplasată exact cu numărul de unități egal cu valoarea parametrului.

Exemplu.

Avem: b = 2, c = 3.

Înseamnă că aspect clasic curba se va deplasa cu 2 segmente unitare de-a lungul axei absciselor și cu 3 de-a lungul axei ordonatelor.

Cum se construiește o parabolă folosind o ecuație pătratică

Este important ca elevii să învețe cum să deseneze corect o parabolă folosind parametrii dați.

Analizând expresiile și ecuațiile, puteți vedea următoarele:

  1. Punctul de intersecție al dreptei dorite cu vectorul ordonate va avea o valoare egală cu c.
  2. Toate punctele graficului (de-a lungul axei x) vor fi simetrice față de extremul principal al funcției.

În plus, punctele de intersecție cu OX pot fi găsite cunoscând discriminantul (D) al unei astfel de funcții:

D = (b 2 - 4 * a * c).

Pentru a face acest lucru, trebuie să echivalați expresia cu zero.

Prezența rădăcinilor unei parabole depinde de rezultat:

  • D ˃ 0, atunci x 1, 2 = (-b ± D 0,5) / (2 * a);
  • D = 0, atunci x 1, 2 = -b / (2 * a);
  • D ˂ 0, atunci nu există puncte de intersecție cu vectorul OX.

Obținem algoritmul pentru construirea unei parabole:

  • determinați direcția ramurilor;
  • găsiți coordonatele vârfului;
  • găsiți intersecția cu axa ordonatelor;
  • găsiți intersecția cu axa x.

Exemplul 1.

Având în vedere funcția y = x 2 - 5 * x + 4. Este necesară construirea unei parabole. Urmăm algoritmul:

  1. a = 1, prin urmare, ramurile sunt îndreptate în sus;
  2. coordonate extreme: x = - (-5) / 2 = 5/2; y = (5/2) 2 - 5 * (5/2) + 4 = -15/4;
  3. se intersectează cu axa ordonatelor la valoarea y = 4;
  4. să găsim discriminantul: D = 25 - 16 = 9;
  5. caut radacini:
  • X 1 = (5 + 3) / 2 = 4; (4, 0);
  • X2 = (5 - 3) / 2 = 1; (10).

Exemplul 2.

Pentru funcția y = 3 * x 2 - 2 * x - 1 trebuie să construiți o parabolă. Acționăm conform algoritmului dat:

  1. a = 3, prin urmare, ramurile sunt îndreptate în sus;
  2. coordonate extreme: x = - (-2) / 2 * 3 = 1/3; y = 3 * (1/3) 2 - 2 * (1/3) - 1 = -4/3;
  3. se va intersecta cu axa y la valoarea y = -1;
  4. să găsim discriminantul: D = 4 + 12 = 16. Deci rădăcinile sunt:
  • X 1 = (2 + 4) / 6 = 1; (1;0);
  • X2 = (2 - 4) / 6 = -1/3; (-1/3; 0).

Folosind punctele obținute, puteți construi o parabolă.

Directrix, excentricitate, focalizarea unei parabole

Pe baza ecuației canonice, focalizarea lui F are coordonate (p/2, 0).

Linia dreaptă AB este o directrice (un fel de coardă a unei parabole de o anumită lungime). Ecuația sa este x = -p/2.

Excentricitate (constant) = 1.

Concluzie

Ne-am uitat la o temă pe care o învață școlari liceu. Acum știi, privind funcția pătratică a unei parabole, cum să-i găsești vârful, în ce direcție vor fi direcționate ramurile, dacă există o deplasare de-a lungul axelor și, având un algoritm de construcție, îi poți desena graficul.

Graficul unei funcții pătratice se numește parabolă. Această linie are o semnificație fizică semnificativă. Unii se deplasează de-a lungul parabolelor corpuri cerești. O antenă în formă de parabolă concentrează razele paralele cu axa de simetrie a parabolei. Corpurile aruncate în sus într-un unghi ajung punctul de vârfși cad jos, descriind și o parabolă. Aparent, este întotdeauna util să cunoaștem coordonatele vârfului acestei mișcări.

Instrucțiuni

1. Funcția pătratică în orice vedere generala scris prin ecuația: y = ax? + bx + c. Graficul acestei ecuații este o parabolă, ale cărei ramuri sunt îndreptate în sus (pentru a > 0) sau în jos (pentru a< 0). Школьникам предлагается легко запомнить формулу вычисления координат вершины параболы. Вершина параболы лежит в точке x0 = -b/2a. Подставив это значение в ecuație pătratică, obțineți y0: y0 = a(-b/2a)? – b?/2a + c = – b?/4a + c.

2. Oamenii familiarizați cu reprezentarea derivată pot identifica cu ușurință vârful unei parabole. Indiferent de locația ramurilor parabolei, vârful acesteia este punctul de extremum (minim dacă ramurile sunt îndreptate în sus, sau maxim când ramurile sunt îndreptate în jos). Pentru a găsi punctele extreme presupuse ale oricărei funcții, trebuie să calculați prima derivată a acesteia și să o echivalați cu zero. În general, derivata unei funcții pătratice este egală cu f"(x) = (ax? + bx + c)' = 2ax + b. Echivalând cu zero, se obține 0 = 2ax0 + b => x0 = -b/ 2a.

3. O parabolă este o linie simetrică. Axa de simetrie trece prin vârful parabolei. Cunoscând punctele de intersecție ale parabolei cu axa de coordonate X, puteți găsi cu ușurință abscisa vârfului x0. Fie x1 și x2 rădăcinile parabolei (așa-numitele puncte de intersecție ale parabolei cu axa absciselor, deoarece aceste valori transformă ecuația pătratică ax? + bx + c la zero). În același timp, fie |x2| > |x1|, atunci vârful parabolei se află la mijloc între ele și poate fi găsit din expresia ulterioară: x0 = ?(|x2| – |x1|).

O parabolă este un grafic al unei funcții pătratice; în general, ecuația unei parabole se scrie y=aх^2+bх+с, unde a?0. Aceasta este o curbă universală de ordinul doi care descrie multe fenomene din viață, de exemplu, mișcarea unui corp aruncat și apoi căzut, forma unui curcubeu și, prin urmare, cunoștințele de detectat. parabolă Ar putea fi util în viața reală.

Vei avea nevoie

  • – formula ecuației pătratice;
  • – o coală de hârtie cu grilă de coordonate;
  • - radiera;
  • – calculator și program Excel.

Instrucțiuni

1. Mai întâi, localizați vârful parabolei. Pentru a găsi abscisa acestui punct, luați exponentul înainte de x, împărțiți-l cu de două ori exponentul înainte de x^2 și înmulțiți cu -1 (formula x=-b/2a). Găsiți ordonata înlocuind valoarea rezultată în ecuație sau folosind formula y=(b^2-4ac)/4a. Ați obținut coordonatele punctului vârf al parabolei.

2. Vârful unei parabole poate fi detectat și folosind o altă metodă. Deoarece vârful este extremul funcției, pentru a o calcula, calculați prima derivată și echivalați-o cu zero. În formă generală, veți obține formula f(x)’ = (ax? + bx + c)’ = 2ax + b. Și echivalând cu zero, veți ajunge la aceeași formulă - x = -b/2a.

3. Aflați dacă ramurile parabolei sunt îndreptate în sus sau în jos. Pentru a face acest lucru, priviți indicatorul din fața lui x^2, adică a. Dacă a>0, atunci ramurile sunt îndreptate în sus, dacă a

4. Construiți axa de simetrie a parabolei; aceasta intersectează vârful parabolei și este paralelă cu axa y. Toate punctele parabolei vor fi echidistante de aceasta, prin urmare este posibil să construiți o singură parte și apoi să o afișați simetric în raport cu axa parabolei.

5. Desenați o linie a unei parabole. Pentru a face acest lucru, găsiți mai multe puncte prin înlocuire sensuri diferite x în ecuații și rezolvarea egalității. Este convenabil să detectați intersecția cu axele; pentru a face acest lucru, înlocuiți x=0 și y=0 în egalitate. După ce a ridicat o parte, reflectați-o simetric în jurul axei.

6. Permis să construiască parabolă cu ajutor programe Excel. Pentru a face acest lucru, deschideți noul document și selectați două coloane în el, x și y=f(x). În prima coloană, notați valorile lui x pe segmentul selectat, iar în a doua coloană, notați formula, de exemplu, =2B3*B3-4B3+1 sau =2B3^2-4B3+1. Pentru a nu scrie această formulă de fiecare dată, „întindeți-o” la fiecare coloană făcând clic pe crucea mică din colțul din dreapta jos și trăgând-o în jos.

7. Odată ce aveți tabelul, faceți clic pe meniul „Inserare” – „Grafic”. Selectați graficul de dispersie, faceți clic pe Următorul. În fereastra care apare, adăugați un rând făcând clic pe butonul „Adăugați”. Pentru a selecta celulele necesare, faceți clic pe rând pe butoanele încercuite cu oval roșu de mai jos, apoi selectați coloanele cu valori. Făcând clic pe butonul „Efectuat”, evaluează rezultatul - gata parabolă .

Video pe tema

Când căutați o funcție pătratică al cărei grafic este o parabolă, într-unul dintre punctele pe care trebuie să le găsiți coordonate culmi parabole. Cum se face acest lucru analitic folosind ecuația dată pentru parabolă?

Instrucțiuni

1. O funcție pătratică este o funcție de forma y=ax^2+bx+c, unde a este exponentul principal (trebuie să fie strict diferit de zero), b este cel mai mic exponent, c este un termen liber. Această funcție dă graficului său o parabolă, ale cărei ramuri sunt îndreptate fie în sus (dacă a>0), fie în jos (dacă a<0). При a=0 квадратичная функция вырождается в линейную функцию.

2. Să găsim coordonatele x0 culmi parabole. Se găsește prin formulax0=-b/a.

3. y0=y(x0).Pentru a detecta coordonata y0 culmi parabole, trebuie să înlocuiți valoarea detectată x0 în funcție în loc de x. Calculați cu ce este y0.

4. Coordonatele culmi au fost descoperite parabole. Scrie-le ca coordonatele unui singur punct (x0,y0).

5. Când construiți o parabolă, amintiți-vă că aceasta este simetrică față de axa de simetrie a parabolei, care trece vertical prin vârful parabolei, deoarece funcția pătratică este pară. În consecință, este suficient să construiești doar o ramură a parabolei din puncte și să o completezi simetric pe cealaltă.

Video pe tema

Pentru funcții (sau mai degrabă graficele lor), este utilizată reprezentarea celei mai mari valori, inclusiv maximul local. Ideea de „vârf” este mai probabil asociată cu forme geometrice. Punctele maxime ale funcțiilor netede (care au o derivată) sunt ușor de determinat folosind zerourile primei derivate.

Instrucțiuni

1. Pentru punctele în care funcția nu este diferențiabilă, ci constantă, cea mai mare valoare din interval poate avea forma unui vârf (de exemplu, y=-|x|). În astfel de puncte ale graficului funcții este posibil să se deseneze câte tangente se dorește, iar o derivată nu există ușor pentru aceasta. Sami funcții de acest tip sunt de obicei specificate pe segmente. Puncte în care derivata funcții egal cu zero sau nu există se numesc sceptici.

2. Se pare că pentru a găsi punctele maxime funcții y=f(x) este necesar: - pentru a detecta punctele sceptice; - pentru a prefera punctul maxim, este necesar să se detecteze semnul derivatei în vecinătatea punctului sceptic. Dacă, la trecerea unui punct, semnul alternează de la „+” la „-”, atunci are loc un maxim.

3. Exemplu. Găsiți cele mai mari valori funcții(vezi Fig. 1).y=x+3 pentru x?-1 și y=((x^2)^(1/3)) –x pentru x>-1.

4. Rânarea. y=x+3 pentru x?-1 și y=((x^2)^(1/3)) –x pentru x>-1. Funcția este specificată pe segmente în mod deliberat, deoarece în acest caz scopul este de a afișa totul într-un singur exemplu. Este ușor de verificat că la x=-1 funcția rămâne constantă. y'=1 la x?-1 și y'=(2/3)(x^(-1/3))-1=(2- 3(x ^(1/3))/(x^(1/3)) pentru x>-1. y'=0 pentru x=8/27. y' nu există pentru x=-1 și x= 0. În acest caz y'>0 dacă x

Video pe tema

O parabolă este una dintre curbele de ordinul doi; punctele sale sunt ridicate în conformitate cu o ecuație pătratică. Principalul lucru în construirea acestui oblic este detectarea top parabole. Acest lucru se poate face în mai multe moduri.

Instrucțiuni

1. Pentru a găsi coordonatele vârfului parabole, utilizați următoarea formulă: x = -b/2a, unde a este indicatorul înainte de x pătrat și b este indicatorul înainte de x. Conectați-vă valorile și calculați valoarea acesteia. După aceasta, înlocuiți valoarea rezultată pentru x în ecuație și calculați ordonata vârfului. Să presupunem că, dacă vi se dă ecuația y=2x^2-4x+5, atunci găsiți abscisa în felul următor: x=-(-4)/2*2=1. Înlocuind x=1 în ecuație, calculați valoarea y pentru vârf parabole: y=2*1^2-4*1+5=3. Deci partea de sus parabole are coordonatele (1;3).

2. Valoarea ordonatei parabole poate fi detectat fără a calcula în prealabil abscisa. Pentru a face acest lucru, utilizați formula y=-b^2/4ac+c.

3. Dacă sunteți familiarizat cu reprezentarea derivată, descoperiți top parabole folosind derivate, profitând de proprietatea suplimentară a fiecărei funcții: prima derivată a unei funcții, egală cu zero, indică punctele extreme. Pentru că vârful parabole, indiferent dacă ramurile sale sunt direcționate în sus sau în jos, este un punct extremum, calculați derivata pentru funcția dvs. În formă generală, va arăta ca f(x)=2ax+b. Echivalează-l cu zero și obțineți coordonatele vârfului parabole, corespunzătoare funcției dvs.

4. Încearcă să descoperi top parabole, profitând de proprietățile sale precum simetria. Pentru a face acest lucru, găsiți punctele de intersecție parabole cu axa x, echivalând funcția cu zero (înlocuind y = 0). Când rezolvați o ecuație pătratică, veți găsi x1 și x2. Deoarece parabola este simetrică față de directricea care trece prin top, aceste puncte vor fi echidistante de abscisa vârfului. Pentru a-l detecta, împărțim distanța dintre puncte la jumătate: x = (Ix1-x2I)/2.

5. Dacă oricare dintre exponenți este zero (în afară de a), calculați coordonatele vârfului parabole folosind formule simplificate. Să presupunem că dacă b = 0, adică ecuația are forma y = ax^2 + c, atunci vârful se va afla pe axa oy și coordonatele sale vor fi egale cu (0; c). Dacă nu numai exponentul b=0, ci și c=0, atunci vârful parabole este situat la origine, punctul (0;0).

Video pe tema

Pornind de la un punct, liniile drepte formează un unghi în care punctul lor comun este vârful. În secțiunea de algebră teoretică, există adesea probleme atunci când trebuie să găsiți coordonatele acesteia culmi, pentru a determina apoi ecuația dreptei care trece prin vârf.

Instrucțiuni

1. Înainte de a începe procesul de găsire a coordonatelor culmi, decideți asupra datelor inițiale. Acceptați că vârful dorit aparține triunghiului ABC, în care sunt cunoscute coordonatele celorlalte 2 vârfuri, precum și valori numerice colțuri, egal cu „e” și „k” pe latura AB.

2. Combina sistem nou coordonatele pe una dintre laturile triunghiului AB în așa fel încât prefața sistemului de coordonate să coincidă cu punctul A, ale cărui coordonate vă sunt cunoscute. Al doilea vârf B se va afla pe axa OX, iar coordonatele sale sunt, de asemenea, cunoscute de tine. Determinați lungimea laturii AB de-a lungul axei OX în funcție de coordonatele și luați-o egală cu „m”.

3. Coborâți perpendiculara de la necunoscut culmi C față de axa OX și, respectiv, de latura triunghiului AB. Înălțimea rezultată „y” determină valoarea uneia dintre coordonate culmi C de-a lungul axei OY. Să presupunem că înălțimea „y” împarte latura AB în două segmente egale cu „x” și „m – x”.

4. Pentru că știi semnificațiile tuturor colțuri triunghi, ceea ce înseamnă că sunt cunoscute și valorile tangentelor lor. Luați valorile tangentei pentru colțuri, adiacent laturii triunghiului AB, egal cu tan(e) și tan(k).

5. Introduceți ecuațiile pentru 2 drepte care trec de-a lungul laturilor AC și respectiv BC: y = tan(e) * x și y = tan(k) * (m – x). Găsiți apoi intersecția acestor drepte aplicând ecuațiile dreptelor transformate: tan(e) = y/x și tan(k) = y/(m – x).

6. Dacă presupuneți că tan(e)/tan(k) este egal cu (y/x) /(y/ (m – x)) sau mai târziu abreviați „y” – (m – x) / x, veți ajunge cu valorile dorite coordonate egale cu x = m / (tan(e)/tan(k) + e) ​​​​și y = x * tan(e).

7. Valori de substituție colțuri(e) și (k), precum și valoarea detectată a laturii AB = m în ecuațiile x = m / (tan(e)/tan(k) + e) ​​​​și y = x * tan(e) ).

8. Convertiți noul sistem de coordonate în sistemul de coordonate inițial, deoarece s-a stabilit o corespondență unu-la-unu între ele și obțineți coordonatele dorite culmi triunghiul ABC.

Video pe tema

Video pe tema

Nagaeva Svetlana Nikolaevna, profesor de matematică la MAOU „Liceul nr. 1” din orașul Berezniki.

Proiect lecție de algebră în clasa a IX-a(profil umanitar).

„Cea mai adâncă urmă este lăsată de ceea ce s-a descoperit o persoană.” (D. Poya.)

Subiectul lecției:"Derivarea formulelor pentru calcularea coordonatelor vârfului unei parabole."

Obiectivele lecției: educational :

Rezultat asteptat:

- conștientizarea, acceptarea și rezolvarea problemei de către elevi;

Formarea modalităților de a obține noi cunoștințe prin compararea și juxtapunerea faptelor, o metodă de la particular la general;

Învață formulele de găsire a coordonatelor vârfului și axei de simetrie a unei parabole pentru funcții de forma y = ax 2 +bx+c.

Tip de lecție: lecție de punere în scenă sarcina educațională. Metode de predare– vizual și ilustrativ, verbal, învățare colaborativă, bazată pe probleme, elemente ale tehnologiei gândirii critice.

Echipament: calculator, proiector multimedia, ecran demonstrativ, diapozitive de prezentare pe tema: „Formulă pentru găsirea coordonatelor vârfului unei parabole”; coli A3; markere colorate.

Tehnologie- abordare sistem-activitate.

Pașii lecției:

    Dispoziție psihologică (motivație).

    Actualizați cunoștințe de bază(crearea unei situații de succes).

    Formularea problemei.

    Formularea temei și a scopului lecției.

    Soluție pentru problemă.

    Analiza progresului în rezolvarea problemei.

    Aplicarea rezultatelor rezolvării problemelor în activitățile ulterioare.

    Rezumatul lecției (rezumatul prin „ochii” elevului, rezumatul prin „ochii” profesorului).

    Teme pentru acasă.

În timpul orelor:

    Dispoziție psihologică.

Sarcină: Învață să rezolvi sarcină comunăși lucrul în echipă (lucrarea în grupuri de 5 persoane).

Băieți, în ultimele patru lecții am studiat funcția pătratică, dar cunoștințele noastre nu sunt încă complet complete, așa că continuăm să studiem funcția pătratică pentru a învăța ceva nou despre această funcție.

Motivarea elevilor să stabilească în mod independent subiectul și scopul lecției.

Funcţie
și programul ei.

;
;

Fără funcții grafice, putem răspunde la întrebările:

    Ce este un grafic al funcțiilor?

    Care este axa de simetrie (dacă există)?

3. Există un vârf, care sunt coordonatele lui?

Vreau să știu

Tabelul se completează pe măsură ce lecția progresează.

    Actualizarea cunoștințelor și abilităților de bază ale elevilor.Încălzire. 1. Puneți cel mai mare coeficient din paranteze: 5x 2 + 25x -5; ax 2 + bx + c. 2. Selectați produsul dublu: ab; topor; b/a. 3.Pătrat: b/2; c2/a; 2a/3b. 4.Prezentă ca sumă algebrică: a – c; x –(- b/2a).

Explicați cum, cunoscând tipul de grafic al funcțieiy =ƒ( X ) , construiți grafice ale funcțiilor:

A ) y =ƒ(X - A) , - folosind translația paralelă de către unități la dreapta de-a lungul axei X;

b) y =ƒ(X) + b, - folosind translația paralelă b unități în sus de-a lungul axei y;

V) y =ƒ(X- a) +b, ↔ pe A unități, ↕ prin b unități;

d) Cum se grafică o funcție y = (X - 2) 2 + 3 ? Care este programul ei?

Numiți vârful parabolei.
Graficul este o parabolă y = X 2 cu vârful în punctul (2; 3 ).

Dați coordonatele vârfului parabolei: y=x - 4x + 5 ( problemă). De ce este imposibil să se determine coordonatele vârfului unei parabole după tipul funcției?(funcția pătratică are o formă diferită).

Activitati elevilor:

Construiți structuri de vorbire folosind terminologia funcțională.

Discuție de răspunsuri. Ei compară, compară cu funcții studiate anterior, selectează și scrie pe tablă cunoștințele și abilitățile de care ar putea avea nevoie pentru a rezolva problema în coloana „ȘTIU”:

2.

3.

4.

În coloana „Vreau să știu”: vârf, axa de simetrie a unei parabole
.

Elevii pot scrie funcții în coloanele „ȘTIU” și „VREAU A ȘTI” atât în ​​general, cât și în cazuri speciale. Enunțul problemei educaționale: găsiți coordonatele vârfului parabolei dacă funcția pătratică este dată în formă generală y = topor + bx + c. Elevii formulează și notează tema și scopul lecției într-un caiet.(Derivarea de formule pentru calcularea coordonatelor vârfului unei parabole. Învață să găsești coordonatele vârfului unei parabole într-un mod nou - folosind formule).

Soluție pentru problemă.

Activitati elevilor: Atunci când compară cunoștințele „vechi” cu cunoștințele noi, elevilor li se cere să evidențieze un pătrat complet. Pe exemple concrete
;
și primiți în consecință
;
. Găsiți coordonatele vârfului și ecuația axei de simetrie Ei înțeleg că au făcut față sarcinii, deoarece adus optiune noua la o privire familiară.

Elevii identifică un pătrat complet pentru funcție.
; , comparați rezultatul obținut, trageți o concluzie pe baza acestei funcție. Aflați coordonatele vârfului și a axei de simetrie.

Puteți numi vârful și axa unei parabole dacă funcția este dată în formă generală
fără a evidenția pătratul complet? Cum veți proceda în acest caz? Și cum să aplici experiența ta anterioară în găsirea vârfului și a axei unei parabole?

Activitati elevilor:

Pe baza cunoștințelor și experienței existente, elevii încep să înțeleagă că trebuie să meargă mai departe, de la particular la general, și să efectueze dovezi într-o formă generală.

Apar noi dificultăți. O soluție apare în grupele: . Analiza progresului în rezolvarea problemei. Este audiat câte un reprezentant din fiecare grup.

Comparați și analizați înregistrările
Și
, o soluție generală la problema pusă este scrisă într-un caiet - formule pentru coordonatele vârfului unei parabole
.

Elevii concluzionează: coordonatele vârfului și axa parabolei pentru funcție
poate fi găsită într-un mod rațional.

Aplicarea rezultatelor rezolvării problemei în activitățile ulterioare.

Activitati elevilor:

Rezolvarea problemelor din manualul nr. 121; 123. Aflați coordonatele vârfului parabolei într-un mod nou rațional. Scrieți ecuația dreptei, care este axa de simetrie a parabolei.

Rezumat (reflecție) activități educaționale la lectie).

Să revenim la tabel și să completăm coloana „ÎNVĂȚAT”.

Rezumatul lecției prin ochii elevilor:

VREAU SĂ ȘTIU

2.

3.

4.

5. Știu să grafic aceste funcții

6. Știu să găsesc coordonatele vârfurilor acestor parabole și axa parabolei

7. metoda de selectare a unui pătrat complet

8. cum se află coordonatele vârfurilor, axa unei parabole.


2. ecuația axei de simetrie a unei parabole

1. coordonatele vârfului parabolei

2.cum se deduce formula

3. o modalitate rațională de a găsi axa parabolei și coordonatele vârfului parabolei

Rezultatul „prin ochii unui profesor”:

    Scopul lecției a fost atins.

    Elevii și-au dat seama, au acceptat și au rezolvat problema.

    În procesul de rezolvare a unei probleme educaționale, elevii nu numai că au dobândit noi cunoștințe: dependența coeficienților unui trinom pătratic și coordonatele vârfului unei parabole, ecuația axei de simetrie, dar cel mai important lucru din lecția este formarea unor modalități generalizate de a dobândi cunoștințe noi, analizând independent problema și găsirea necunoscutului.

Teme pentru acasă: poz. 7 nr. 122 ;127(b) ;128.

P.S. Lecția prezentată a avut loc pe 15 octombrie 2014 în cadrul unui seminar orășenesc pentru profesorii de matematică pe tema „Formarea UDL în lecțiile de matematică”.

La etapa „Aplicarea rezultatelor...” la rezolvarea problemelor din manual, unii elevi au început să înțeleagă valoarea „descoperirii” lor: mai mult calea usoara găsind coordonatele vârfului și ecuația axei de simetrie, în timp ce alții nu și-au ascuns bucuria, pentru că nu era nevoie să „sufăr” cu izolarea unui pătrat complet. Dar cel mai important este că am făcut totul singuri!

Parabola este prezentă în lumea matematicii, a fizicii și a altor științe. Sateliții artificiali se deplasează de-a lungul traiectoriei unei parabole și tind să părăsească sistem solar, mingea în timpul jocului de volei își descrie și traiectoria. Trebuie să fii capabil să construiești o parabolă. Și pentru ca acest lucru să fie ușor, trebuie să știți cum să găsiți vârful unei parabole.

Graficul funcției y = ax 2 + bx + c, unde a este primul coeficient, b este al doilea coeficient, c este termenul liber, se numește parabolă. Dar atenție la faptul că a ≠0.

Fiecare punct al parabolei are simetric cu acesta, cu excepția unui punct, iar acest punct se numește vârf. Pentru a găsi un punct care este un vârf, trebuie să decideți ce punct este pe grafic. Un punct dintr-un grafic este o coordonată specifică de-a lungul axei absciselor și ordonatelor. Se notează ca (x; y). Să ne dăm seama cum să găsim numerele prețuite.

Prima cale

Dacă vrei să știi cum să calculezi corect coordonatele unui vârf, atunci trebuie doar să înveți formula x0 = -b/2a. Înlocuind numărul rezultat în funcție, obținem y0.

De exemplu, y =x 2 –8 x +15;

găsiți primul, al doilea coeficienți și termenul liber;

  • a =1, b =-8, c =15;

înlocuiți valorile lui a și b în formulă;

  • x0=8/2=4;

calculați valorile y;

  • y0 = 16–32+15 = -1;

Aceasta înseamnă că vârful este în punctul (4;-1).

Ramurile parabolei sunt simetrice față de axa de simetrie, care trece prin vârful parabolei. Cunoscând rădăcinile ecuației, puteți calcula cu ușurință abscisa vârfului parabolei. Să presupunem că k și n sunt rădăcinile unei ecuații pătratice. Atunci punctul x0 este echidistant de punctele k și n și poate fi calculat folosind formula: x0 = (k + n)/2.

Să ne uităm la exemplul y =x 2 –6x+5

1) Echivalent cu zero:

  • x 2 –6x+5=0.

2) Aflați discriminantul folosind formula: D = b 2 –4 ac:

  • D =36–20=16.

3) Găsiți rădăcinile ecuației folosind formula (-b±√ D)/2a:

  • 1 - prima rădăcină;
  • 5 este a doua rădăcină.

4) Calculați:

  • x0 =(5+1)/2=3

A doua cale

Completarea la un pătrat complet este o modalitate excelentă de a afla unde se află vârful. Folosind această metodă, puteți calcula punctele x și y în același timp, fără a fi nevoie să înlocuiți x în exemplul inițial. Să luăm în considerare această metodă folosind exemplul funcției: y=x 2 +8 x +10.

1. Mai întâi trebuie să echivalați expresia cu variabila la 0. Apoi mutați c la partea dreapta Cu semnul opus, adică obținem expresia x 2 + 8x = -10.

2. Acum, în partea stângă, trebuie să faceți un pătrat complet. Pentru a face acest lucru, calculați (b/2) 2 și creșteți ambele părți ale rezultatului ecuației. În acest caz, trebuie să înlocuiți 8 în loc de b.

Obținem 16. Acum adăugați acest număr la ambele părți ale ecuației:

x 2 + 8x +16= 6.

3. Se poate observa că expresia rezultată este un pătrat perfect. Poate fi reprezentat sub forma: (x + 4) 2 = 6.

4. Folosiți această expresie pentru a găsi coordonatele vârfului unei parabole. Pentru a calcula x, trebuie să-l echivalați cu 0. Obținem x = -4. Coordonata y este egală cu ceea ce este pe partea dreaptă, adică y =6. Vârful parabolei acestei ecuații este (-4, 6).

A treia cale

Dacă știi ce este un derivat, atunci există o altă formulă pentru tine. Indiferent de locul în care „coarnele” punctului parabolei, vârful acesteia este punctul extremum. Pentru această metodă trebuie să utilizați următorul algoritm:

1. Găsirea primei derivate folosind formula f"(x) = (ax² + bx + c)’ = 2ax + b.

2. Echivalând derivata cu 0. Drept urmare, obțineți 0 = 2ax + b, de aici găsiți ceea ce ne interesează.

Să luăm în considerare această metodă mai detaliat.

Având în vedere funcția y = 4x²+16x-17;

  • Notăm derivata și o echivalăm cu zero.

f"(x) = (4x²+16x-17)’ = 8x+16 =0

Cel mai dificil lucru atunci când construiești este să găsești corect punctele funcției. Pentru o construcție detaliată, trebuie să calculați 5-7 puncte (acest lucru este suficient pentru un curs școlar). Pentru a face acest lucru, selectați o valoare x și înlocuiți-o în această funcție. Rezultatul calculelor va fi numărul de puncte de-a lungul axei ordonatelor. După aceasta, plasăm punctele pe care le-am obținut pe planul de coordonate. Ca rezultat, obținem o parabolă.

Să aruncăm o privire mai atentă asupra problemei găsirii punctelor care trebuie marcate. De exemplu, să luăm funcția y =-x 2 +11 x -24 cu vârful în punctul (5,5;-6,25).

1) Construiește o masă

Găsiți corect șansele.

Scrieți calculele intermediare pe hârtie. Acest lucru nu numai că va fi mai ușor să găsiți partea de sus, dar vă va ajuta și să vă găsiți greșelile.

Faceți totul pas cu pas. Urmați algoritmul.

Te rog noteaza asta:

  • Trebuie să verificați dacă decizia dvs. este corectă.
  • Trebuie să te calmezi. Rezolvarea oricărei probleme de matematică necesită experiență. Trebuie doar să rezolvi Acest subiect, și atunci cu siguranță vei reuși.

Video

Acest videoclip vă va ajuta să învățați cum să găsiți vârful unei parabole

Nu ai primit răspuns la întrebarea ta? Propuneți autorilor un subiect.

Se încarcă...Se încarcă...