Când studiezi algebra în școală gimnazială(clasa a IX-a) unul dintre subiecte importante este studiul șirurilor de numere, care includ progresii - geometrice și aritmetice. În acest articol vom analiza o progresie aritmetică și exemple cu soluții.

Ce este o progresie aritmetică?

Pentru a înțelege acest lucru, este necesar să se definească progresia în cauză, precum și să se furnizeze formulele de bază care vor fi folosite ulterior în rezolvarea problemelor.

Aritmetica sau este un set de numere raționale ordonate, fiecare membru al cărora diferă de cel precedent printr-o valoare constantă. Această valoare se numește diferență. Adică, cunoscând orice membru al unei serii ordonate de numere și diferența, puteți restabili întreaga progresie aritmetică.

Să dăm un exemplu. Următoarea succesiune de numere va fi o progresie aritmetică: 4, 8, 12, 16, ..., deoarece diferența în acest caz este 4 (8 - 4 = 12 - 8 = 16 - 12). Dar mulțimea numerelor 3, 5, 8, 12, 17 nu mai poate fi atribuită tipului de progresie luat în considerare, deoarece diferența pentru aceasta nu este o valoare constantă (5 - 3 ≠ 8 - 5 ≠ 12 - 8 ≠ 17 - 12).

Formule importante

Să prezentăm acum formulele de bază care vor fi necesare pentru rezolvarea problemelor folosind progresie aritmetică. Să notăm prin simbolul a n al n-lea termen secvențe în care n este un număr întreg. Notăm diferența Literă latină d. Atunci sunt valabile următoarele expresii:

Pentru a determina valoarea celui de-al n-lea termen este potrivită următoarea formulă: a n = (n-1)*d+a 1 .
Pentru a determina suma primilor n termeni: S n = (a n +a 1)*n/2.

Pentru a înțelege orice exemple de progresie aritmetică cu soluții în clasa a IX-a, este suficient să ne amintim aceste două formule, deoarece orice probleme de tipul luat în considerare se bazează pe utilizarea lor. De asemenea, trebuie să vă amintiți că diferența de progresie este determinată de formula: d = a n - a n-1.

Exemplul #1: găsirea unui membru necunoscut

Să dăm un exemplu simplu de progresie aritmetică și formulele care trebuie folosite pentru a o rezolva.

Să fie dată șirul 10, 8, 6, 4, ..., trebuie să găsiți cinci termeni în ea.

Din condițiile problemei rezultă deja că primii 4 termeni sunt cunoscuți. Al cincilea poate fi definit în două moduri:

Să calculăm mai întâi diferența. Avem: d = 8 - 10 = -2. În mod similar, puteți lua oricare alți doi membri stând unul lângă celălalt. De exemplu, d = 4 - 6 = -2. Deoarece se știe că d = a n - a n-1, atunci d = a 5 - a 4, din care obținem: a 5 = a 4 + d. Să înlocuim valori cunoscute: a 5 = 4 + (-2) = 2.
A doua metodă necesită, de asemenea, cunoașterea diferenței progresiei în cauză, așa că mai întâi trebuie să o determinați așa cum se arată mai sus (d = -2). Știind că primul termen a 1 = 10, folosim formula pentru numărul n al șirului. Avem: a n = (n - 1) * d + a 1 = (n - 1) * (-2) + 10 = 12 - 2*n. Înlocuind n = 5 în ultima expresie, obținem: a 5 = 12-2 * 5 = 2.

După cum puteți vedea, ambele soluții au dus la același rezultat. Rețineți că în acest exemplu diferența de progresie d este o valoare negativă. Astfel de secvențe se numesc descrescătoare, deoarece fiecare termen următor este mai mic decât cel anterior.

Exemplul #2: diferența de progresie

Acum să complicăm puțin problema, să dăm un exemplu despre cum să găsim diferența unei progresii aritmetice.

Se știe că în unele progresii algebrice primul termen este egal cu 6, iar al 7-lea termen este egal cu 18. Este necesar să găsim diferența și să restabilim această secvență la al 7-lea termen.

Să folosim formula pentru a determina termenul necunoscut: a n = (n - 1) * d + a 1 . Să substituim datele cunoscute din condiție în ea, adică numerele a 1 și a 7, avem: 18 = 6 + 6 * d. Din această expresie puteți calcula cu ușurință diferența: d = (18 - 6) /6 = 2. Astfel, am răspuns la prima parte a problemei.

Pentru a restabili secvența la al 7-lea termen, ar trebui să utilizați definiția unei progresii algebrice, adică a 2 = a 1 + d, a 3 = a 2 + d și așa mai departe. Ca rezultat, restabilim întreaga secvență: a 1 = 6, a 2 = 6 + 2=8, a 3 = 8 + 2 = 10, a 4 = 10 + 2 = 12, a 5 = 12 + 2 = 14 , a 6 = 14 + 2 = 16, a 7 = 18.

Exemplul nr. 3: întocmirea unei progresii

Să complicăm mai mult stare mai puternică sarcini. Acum trebuie să răspundem la întrebarea cum să găsim o progresie aritmetică. Se poate da următorul exemplu: sunt date două numere, de exemplu - 4 și 5. Este necesar să se creeze o progresie algebrică astfel încât să mai fie plasați trei termeni între aceștia.

Înainte de a începe să rezolvați această problemă, trebuie să înțelegeți ce loc vor ocupa numerele date în progresia viitoare. Întrucât vor mai fi trei termeni între ei, atunci a 1 = -4 și a 5 = 5. După ce am stabilit acest lucru, trecem la problema, care este similară cu cea anterioară. Din nou, pentru al n-lea termen folosim formula, obținem: a 5 = a 1 + 4 * d. Din: d = (a 5 - a 1)/4 = (5 - (-4)) / 4 = 2,25. Ceea ce am obținut aici nu este o valoare întreagă a diferenței, ci este un număr rațional, deci formulele pentru progresia algebrică rămân aceleași.

Acum să adăugăm diferența găsită la un 1 și să restabilim termenii lipsă ai progresiei. Se obține: a 1 = - 4, a 2 = - 4 + 2.25 = - 1.75, a 3 = -1.75 + 2.25 = 0.5, a 4 = 0.5 + 2.25 = 2.75, a 5 = 2.75 + 2.25 = 5, care coincid cu condiţiile problemei.

Exemplul nr. 4: primul termen de progresie

Să continuăm să dăm exemple de progresie aritmetică cu soluții. În toate problemele anterioare, era cunoscut primul număr al progresiei algebrice. Acum să luăm în considerare o problemă de alt tip: să fie date două numere, unde a 15 = 50 și a 43 = 37. Este necesar să găsim cu ce număr începe această secvență.

Formulele folosite până acum presupun cunoașterea a 1 și d. În enunțul problemei, nu se știe nimic despre aceste numere. Cu toate acestea, vom nota expresii pentru fiecare termen despre care sunt disponibile informații: a 15 = a 1 + 14 * d și a 43 = a 1 + 42 * d. Am primit două ecuații în care există 2 mărimi necunoscute (a 1 și d). Aceasta înseamnă că problema se reduce la rezolvarea unui sistem de ecuații liniare.

Cel mai simplu mod de a rezolva acest sistem este de a exprima un 1 în fiecare ecuație și apoi de a compara expresiile rezultate. Prima ecuație: a 1 = a 15 - 14 * d = 50 - 14 * d; a doua ecuație: a 1 = a 43 - 42 * d = 37 - 42 * d. Echivalând aceste expresii, obținem: 50 - 14 * d = 37 - 42 * d, de unde diferența d = (37 - 50) / (42 - 14) = - 0,464 (se dau doar 3 zecimale).

Cunoscând d, puteți folosi oricare dintre cele 2 expresii de mai sus pentru un 1. De exemplu, mai întâi: a 1 = 50 - 14 * d = 50 - 14 * (- 0,464) = 56,496.

Dacă aveți îndoieli cu privire la rezultatul obținut, îl puteți verifica, de exemplu, determinați al 43-lea termen al progresiei, care este specificat în condiție. Se obține: a 43 = a 1 + 42 * d = 56,496 + 42 * (- 0,464) = 37,008. Mica eroare se datorează faptului că în calcule a fost folosită rotunjirea la miimi.

Exemplul nr. 5: suma

Acum să ne uităm la câteva exemple cu soluții pentru suma unei progresii aritmetice.

Să fie dată o progresie numerică următorul tip: 1, 2, 3, 4, ...,. Cum se calculează suma a 100 dintre aceste numere?

Datorită dezvoltării tehnologia calculatoarelor puteți rezolva această problemă, adică adăugați toate numerele succesiv, care Mașină de calcul va face imediat ce persoana va apăsa tasta Enter. Problema poate fi însă rezolvată mental dacă acordați atenție faptului că seria de numere prezentată este o progresie algebrică, iar diferența ei este egală cu 1. Aplicând formula pentru suma, obținem: S n = n * (a 1 + a n) / 2 = 100 * (1 + 100) / 2 = 5050.

Este interesant de observat că această problemă se numește „gaussian” deoarece la începutul secolului al XVIII-lea celebrul german, încă în vârstă de doar 10 ani, a reușit să o rezolve în cap în câteva secunde. Băiatul nu știa formula pentru suma unei progresii algebrice, dar a observat că dacă aduni numerele de la sfârșitul șirului în perechi, obții întotdeauna același rezultat, adică 1 + 100 = 2 + 99. = 3 + 98 = ..., și deoarece aceste sume vor fi exact 50 (100 / 2), atunci pentru a obține răspunsul corect este suficient să înmulțiți 50 cu 101.

Exemplul nr. 6: suma termenilor de la n la m

Încă una exemplu tipic suma unei progresii aritmetice este următoarea: având în vedere o serie de numere: 3, 7, 11, 15, ..., trebuie să aflați cu ce va fi egală suma termenilor săi de la 8 la 14.

Problema este rezolvată în două moduri. Primul dintre ei implică găsirea de termeni necunoscuți de la 8 la 14 și apoi însumarea lor secvențială. Întrucât există puțini termeni, această metodă nu este destul de intensivă în muncă. Cu toate acestea, se propune rezolvarea acestei probleme folosind o a doua metodă, care este mai universală.

Ideea este de a obține o formulă pentru suma progresiei algebrice dintre termenii m și n, unde n > m sunt numere întregi. Pentru ambele cazuri, scriem două expresii pentru suma:

S m = m * (a m + a 1) / 2.
S n = n * (a n + a 1) / 2.

Deoarece n > m, este evident că a doua sumă o include pe prima. Ultima concluzie înseamnă că dacă luăm diferența dintre aceste sume și îi adăugăm termenul a m (în cazul luării diferenței se scade din suma S n), vom obține răspunsul necesar problemei. Avem: S mn = S n - S m + a m =n * (a 1 + a n) / 2 - m *(a 1 + a m)/2 + a m = a 1 * (n - m) / 2 + a n * n/2 + a m * (1- m/2). Este necesar să se înlocuiască formule pentru a n și a m în această expresie. Atunci obținem: S mn = a 1 * (n - m) / 2 + n * (a 1 + (n - 1) * d) / 2 + (a 1 + (m - 1) * d) * (1 - m / 2) = a 1 * (n - m + 1) + d * n * (n - 1) / 2 + d *(3 * m - m 2 - 2) / 2.

Formula rezultată este oarecum greoaie, totuși, suma S mn depinde doar de n, m, a 1 și d. În cazul nostru, a 1 = 3, d = 4, n = 14, m = 8. Înlocuind aceste numere, obținem: S mn = 301.

După cum se poate observa din soluțiile de mai sus, toate problemele se bazează pe cunoașterea expresiei pentru al n-lea termen și a formulei pentru suma mulțimii primilor termeni. Înainte de a începe să rezolvați oricare dintre aceste probleme, este recomandat să citiți cu atenție starea, să înțelegeți clar ce trebuie să găsiți și abia apoi să continuați cu soluția.

Un alt sfat este să depuneți eforturi pentru simplitate, adică dacă puteți răspunde la o întrebare fără a utiliza calcule matematice complexe, atunci trebuie să faceți exact asta, deoarece în acest caz probabilitatea de a face o greșeală este mai mică. De exemplu, în exemplul unei progresii aritmetice cu soluția nr. 6, s-ar putea opri la formula S mn = n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m și pauză sarcină comunăîn subsarcini separate (în în acest caz, mai întâi găsiți termenii a n și a m).

Dacă aveți îndoieli cu privire la rezultatul obținut, este recomandat să îl verificați, așa cum s-a făcut în unele dintre exemplele date. Am aflat cum să găsim o progresie aritmetică. Dacă îți dai seama, nu este atât de greu.

Tip de lecție:învăţarea de materiale noi.

Obiectivele lecției:

extinderea și aprofundarea înțelegerii de către elevi a problemelor rezolvate folosind progresia aritmetică; organizarea activităților de căutare ale elevilor la derivarea formulei pentru suma primilor n termeni ai unei progresii aritmetice;
dezvoltarea capacității de a dobândi în mod independent noi cunoștințe și de a utiliza cunoștințele deja dobândite pentru a îndeplini o anumită sarcină;
dezvoltarea dorintei si nevoii de generalizare a faptelor obtinute, dezvoltand independenta.

Sarcini:

rezuma și sistematiza cunoștințele existente pe tema „Progresia aritmetică”;
deduceți formule pentru calcularea sumei primilor n termeni ai unei progresii aritmetice;
învață cum să aplici formulele obținute la rezolvarea diferitelor probleme;
atrage atenţia elevilor asupra procedeului de aflare a valorii unei expresii numerice.

Echipament:

fișe cu sarcini pentru lucrul în grupuri și perechi;
lucrare de evaluare;
prezentare„Progresie aritmetică”.

I. Actualizarea cunoștințelor de bază.

1. Muncă independentă in perechi.

prima varianta:

Definiți progresia aritmetică. Scrieți o formulă de recurență care definește o progresie aritmetică. Vă rugăm să oferiți un exemplu de progresie aritmetică și să indicați diferența acesteia.

a 2-a varianta:

Scrieți formula pentru al n-lea termen al unei progresii aritmetice. Găsiți al 100-lea termen al progresiei aritmetice ( un n}: 2, 5, 8 …
În acest moment, doi elevi partea din spate consiliile pregătesc răspunsuri la aceleași întrebări.
Elevii evaluează munca partenerului lor verificându-le pe tablă. (Se predau foile cu răspunsuri.)

2. Momentul jocului.

Exercitiul 1.

Profesor. M-am gândit la o progresie aritmetică. Pune-mi doar două întrebări pentru ca după răspunsuri să poți numi rapid al 7-lea termen al acestei progresii. (1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15…)

Întrebări de la studenți.

Care este al șaselea termen al progresiei și care este diferența?
Care este al optulea termen al progresiei și care este diferența?

Dacă nu mai există întrebări, atunci profesorul le poate stimula - o „interdicție” pe d (diferență), adică nu este permis să întrebați cu ce este egală diferența. Puteți pune întrebări: cu ce este egal al 6-lea termen al progresiei și cu ce este al 8-lea termen al progresiei?

Sarcina 2.

Pe tablă sunt scrise 20 de numere: 1, 4, 7 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, 40, 43, 46, 49, 52, 55, 58.

Profesorul stă cu spatele la tablă. Elevii sună numărul, iar profesorul sună imediat numărul în sine. Explicați cum pot face asta?

Profesorul își amintește formula pentru al n-lea trimestru a n = 3n – 2și, înlocuind valorile specificate n, găsește valorile corespunzătoare un n.

II. Stabilirea unei sarcini de învățare.

Îmi propun să rezolv o problemă străveche care datează din mileniul II î.Hr., găsită în papirusurile egiptene.

Sarcină:„Să vi se spună: împărțiți 10 măsuri de orz la 10 oameni, diferența dintre fiecare persoană și vecinul său este de 1/8 din măsură.”

Cum este această problemă legată de progresia aritmetică a subiectului? (Fiecare persoană următoare primește 1/8 din măsură în plus, ceea ce înseamnă că diferența este d=1/8, 10 persoane, ceea ce înseamnă n=10.)
Ce crezi că înseamnă numărul 10 măsuri? (Suma tuturor termenilor progresiei.)
Ce altceva trebuie să știți pentru a face ușor și simplu împărțirea orzului în funcție de condițiile problemei? (Primul termen de progresie.)

Obiectivul lecției– obținerea dependenței sumei termenilor progresiei de numărul lor, primul termen și diferența și verificarea dacă problema a fost rezolvată corect în antichitate.

Înainte de a deduce formula, să ne uităm la modul în care egiptenii antici au rezolvat problema.

Și au rezolvat-o astfel:

1) 10 măsuri: 10 = 1 măsură – cotă medie;
2) 1 măsură ∙ = 2 măsuri – dublată in medie acțiune.
Dublat in medie cota este suma acțiunilor persoanei a 5-a și a 6-a.
3) 2 masuri – 1/8 masuri = 1 7/8 masuri – dublu fata de persoana a cincea.
4) 1 7/8: 2 = 5/16 – fracțiune de cincime; și așa mai departe, puteți găsi cota fiecărei persoane anterioare și ulterioare.

Obținem secvența:

III. Rezolvarea problemei.

1. Lucrați în grupuri

Grupa I: Aflați suma a 20 consecutiv numere naturale: S 20 =(20+1)∙10 =210.

ÎN vedere generala

grupa II: Aflați suma numerelor naturale de la 1 la 100 (Legenda lui Micul Gauss).

S 100 = (1+100)∙50 = 5050

Concluzie:

grupa III: Aflați suma numerelor naturale de la 1 la 21.

Rezolvare: 1+21=2+20=3+19=4+18…

Concluzie:

grupa IV: Aflați suma numerelor naturale de la 1 la 101.

Concluzie:

Această metodă de rezolvare a problemelor luate în considerare se numește „Metoda Gauss”.

2. Fiecare grupă prezintă pe tablă soluția problemei.

3. Generalizarea soluțiilor propuse pentru o progresie aritmetică arbitrară:

a 1, a 2, a 3,..., a n-2, a n-1, a n.
S n =a 1 + a 2 + a 3 + a 4 +…+ a n-3 + a n-2 + a n-1 + a n.

Să găsim această sumă folosind un raționament similar:

4. Am rezolvat problema?(Da.)

IV. Înțelegerea și aplicarea primară a formulelor obținute la rezolvarea problemelor.

1. Verificarea soluției unei probleme vechi folosind formula.

2. Aplicarea formulei în rezolvarea diverselor probleme.

3. Exerciții de dezvoltare a capacității de a aplica formule la rezolvarea problemelor.

A) Nr. 613

Dat: ( a n) - progresie aritmetică;

(a n): 1, 2, 3, …, 1500

Găsi: S 1500

Soluţie: , a 1 = 1 și 1500 = 1500,

B) Având în vedere: ( a n) - progresie aritmetică;
(a n): 1, 2, 3, …
S n = 210

Găsi: n
Soluţie:

V. Munca independentă cu verificare reciprocă.

Denis a început să lucreze ca curier. În prima lună, salariul său a fost de 200 de ruble, în fiecare lună următoare a crescut cu 30 de ruble. Cât a câștigat în total într-un an?

Dat: ( a n) - progresie aritmetică;
a 1 = 200, d=30, n=12
Găsi: S 12
Soluţie:

Răspuns: Denis a primit 4380 de ruble pe an.

VI. Instruirea temelor pentru acasă.

Secțiunea 4.3 – învață derivarea formulei.
№№ 585, 623 .
Creați o problemă care poate fi rezolvată folosind formula pentru suma primilor n termeni ai unei progresii aritmetice.

VII. Rezumând lecția.

1. Fișa de punctaj

2. Continuați propozițiile

Astăzi la clasă am învățat...
Formule invatate...
Eu cred că …

3. Puteți găsi suma numerelor de la 1 la 500? Ce metodă veți folosi pentru a rezolva această problemă?

Bibliografie.

1. Algebră, clasa a IX-a. Tutorial pentru institutii de invatamant. Ed. G.V. Dorofeeva. M.: „Iluminismul”, 2009.

Primul nivel

Progresie aritmetică. Teorie detaliată cu exemple (2019)

Secvență de numere

Deci, hai să ne așezăm și să începem să scriem câteva numere. De exemplu:
Puteți scrie orice numere și pot fi atâtea câte doriți (în cazul nostru, există). Indiferent câte numere am scrie, putem spune întotdeauna care este primul, care este al doilea și tot așa până la ultimul, adică le putem numerota. Acesta este un exemplu de succesiune de numere:

Secvență de numere
De exemplu, pentru secvența noastră:

Numărul atribuit este specific unui singur număr din succesiune. Cu alte cuvinte, nu există trei numere secunde în succesiune. Al doilea număr (ca și al-lea număr) este întotdeauna același.
Numărul cu număr se numește al treilea termen al șirului.

De obicei, numim întreaga secvență printr-o literă (de exemplu,) și fiecare membru al acestei secvențe este aceeași literă cu un indice egal cu numărul acestui membru: .

În cazul nostru:

Să presupunem că avem o succesiune de numere în care diferența dintre numerele adiacente este aceeași și egală.
De exemplu:

etc.
Această secvență de numere se numește progresie aritmetică.
Termenul „progresie” a fost introdus de autorul roman Boethius încă din secolul al VI-lea și a fost înțeles într-un sens mai larg ca o succesiune numerică infinită. Denumirea „aritmetică” a fost transferată din teoria proporțiilor continue, care a fost studiată de grecii antici.

Aceasta este o secvență de numere, fiecare membru al căruia este egal cu cel anterior adăugat la același număr. Acest număr se numește diferența unei progresii aritmetice și este desemnat.

Încercați să determinați care secvențe de numere sunt o progresie aritmetică și care nu sunt:

A)
b)
c)
d)

Am înţeles? Să comparăm răspunsurile noastre:
Este progresie aritmetică - b, c.
Nu este progresie aritmetică - a, d.

Să revenim la progresia dată () și să încercăm să găsim valoarea celui de-al treilea termen. Există Două mod de a-l găsi.

1. Metoda

Putem adăuga numărul de progresie la valoarea anterioară până ajungem la al treilea termen al progresiei. Este bine că nu avem multe de rezumat - doar trei valori:

Deci, al treilea termen al progresiei aritmetice descrise este egal cu.

2. Metoda

Ce se întâmplă dacă ar trebui să găsim valoarea celui de-al treilea termen al progresiei? Însumarea ne-ar lua mai mult de o oră și nu este un fapt că nu am greși atunci când adunăm numere.
Desigur, matematicienii au venit cu un mod în care nu este necesar să adăugați diferența unei progresii aritmetice la valoarea anterioară. Aruncă o privire mai atentă la imaginea desenată... Cu siguranță ai observat deja un anumit tipar și anume:

De exemplu, să vedem în ce constă valoarea celui de-al treilea termen al acestei progresii aritmetice:

Cu alte cuvinte:

Încercați să găsiți singur valoarea unui membru al unei anumite progresii aritmetice în acest fel.

ai calculat? Comparați notele cu răspunsul:

Vă rugăm să rețineți că ați obținut exact același număr ca în metoda anterioară, când am adăugat secvențial termenii progresiei aritmetice la valoarea anterioară.
Să încercăm să „depersonalizăm” această formulă - să o punem în formă generală și să obținem:

Ecuația de progresie aritmetică.

Progresiile aritmetice pot fi crescătoare sau descrescătoare.

Crescând- progresii în care fiecare valoare ulterioară a termenilor este mai mare decât cea anterioară.
De exemplu:

Descendentă- progresii în care fiecare valoare ulterioară a termenilor este mai mică decât cea anterioară.
De exemplu:

Formula derivată este utilizată în calculul termenilor atât în termeni crescanți, cât și în termeni descrescători ai unei progresii aritmetice.
Să verificăm acest lucru în practică.
Ni se oferă o progresie aritmetică constând din următoarele numere: Să verificăm care va fi al-lea număr al acestei progresii aritmetice dacă folosim formula noastră pentru a o calcula:

De atunci:

Astfel, suntem convinși că formula funcționează atât în progresie aritmetică descrescătoare, cât și în creștere.
Încercați să găsiți singuri termenii al treilea și al treilea ai acestei progresii aritmetice.

Să comparăm rezultatele:

Proprietatea progresiei aritmetice

Să complicăm problema - vom deriva proprietatea progresiei aritmetice.
Să presupunem că ni se oferă următoarea condiție:
- progresie aritmetică, găsiți valoarea.
Ușor, spui și începi să numeri după formula pe care o știi deja:

Să, ah, atunci:

Absolut corect. Se pare că mai întâi găsim, apoi îl adăugăm la primul număr și obținem ceea ce căutăm. Dacă progresia este reprezentată de valori mici, atunci nu este nimic complicat, dar dacă ni se dau numere în stare? De acord, există posibilitatea de a face o greșeală în calcule.
Acum gândiți-vă dacă este posibil să rezolvați această problemă într-un singur pas folosind orice formulă? Bineînțeles că da, și asta vom încerca să scoatem acum.

Să notăm termenul necesar al progresiei aritmetice, deoarece formula pentru a-l găsi este cunoscută - aceasta este aceeași formulă pe care am derivat-o la început:
, Apoi:

termenul anterior al progresiei este:
următorul termen al progresiei este:

Să rezumam termenii anteriori și următori ai progresiei:

Rezultă că suma termenilor anteriori și următori ai progresiei este valoarea dublă a termenului de progresie situat între ei. Cu alte cuvinte, pentru a găsi valoarea unui termen de progresie cu valori anterioare și succesive cunoscute, trebuie să le adunați și să împărțiți la.

Așa e, avem același număr. Să asigurăm materialul. Calculați singur valoarea progresiei, nu este deloc dificil.

Bine făcut! Știi aproape totul despre progres! Rămâne să aflăm o singură formulă, care, potrivit legendei, a fost ușor dedusă de unul dintre cei mai mari matematicieni ai tuturor timpurilor, „regele matematicienilor” - Karl Gauss...

Când Carl Gauss avea 9 ani, un profesor, ocupat să verifice munca elevilor din alte clase, a atribuit următoarea sarcină în clasă: „Calculează suma tuturor numerelor naturale de la la (conform altor surse la) inclusiv.” Imaginați-vă surpriza profesorului când unul dintre elevii săi (acesta era Karl Gauss) un minut mai târziu a dat răspunsul corect la sarcină, în timp ce majoritatea colegilor temerului, după lungi calcule, au primit rezultatul greșit...

Tânărul Carl Gauss a observat un anumit model pe care și tu îl poți observa cu ușurință.
Să presupunem că avem o progresie aritmetică constând din --i termeni: Trebuie să găsim suma acestor termeni ai progresiei aritmetice. Desigur, putem să însumăm manual toate valorile, dar ce se întâmplă dacă sarcina necesită găsirea sumei termenilor săi, așa cum căuta Gauss?

Să descriem progresul care ni s-a dat. Aruncați o privire mai atentă la numerele evidențiate și încercați să efectuați diverse operații matematice cu ele.

Ai încercat? Ce ai observat? Dreapta! Sumele lor sunt egale

Acum spune-mi, câte astfel de perechi sunt în total în progresia care ni s-a dat? Desigur, exact jumătate din toate numerele, adică.
Pe baza faptului că suma a doi termeni ai unei progresii aritmetice este egală, iar perechile similare sunt egale, obținem că suma totală este egală cu:
.
Astfel, formula pentru suma primilor termeni ai oricărei progresii aritmetice va fi:

În unele probleme nu cunoaștem al treilea termen, dar știm diferența de progresie. Încercați să înlocuiți formula celui de-al treilea termen în formula sumei.
Ce ai primit?

Bine făcut! Acum să revenim la problema care i-a fost pusă lui Carl Gauss: calculați singur cu ce este egală suma numerelor care încep de la th și suma numerelor începând de la th.

Cât ai primit?
Gauss a descoperit că suma termenilor este egală, iar suma termenilor. Asta ai decis?

De fapt, formula pentru suma termenilor unei progresii aritmetice a fost dovedită de omul de știință grec antic Diophantus încă din secolul al III-lea și, de-a lungul acestui timp, oamenii plini de spirit au folosit pe deplin proprietățile progresiei aritmetice.
De exemplu, imaginați-vă Egiptul anticși cel mai mare proiect de construcție din acea vreme - construcția unei piramide... Imaginea arată o latură a acesteia.

Unde este progresul aici, zici? Privește cu atenție și găsește un model în numărul de blocuri de nisip din fiecare rând al peretelui piramidei.

De ce nu o progresie aritmetică? Calculați câte blocuri sunt necesare pentru a construi un perete dacă cărămizi bloc sunt plasate la bază. Sper că nu veți număra în timp ce vă mutați degetul pe monitor, vă amintiți ultima formulă și tot ce am spus despre progresia aritmetică?

În acest caz, progresia arată astfel: .
Diferența de progresie aritmetică.
Numărul de termeni ai unei progresii aritmetice.
Să substituim datele noastre în ultimele formule (calculați numărul de blocuri în 2 moduri).

Metoda 1.

Metoda 2.

Și acum puteți calcula pe monitor: comparați valorile obținute cu numărul de blocuri care se află în piramida noastră. Am înţeles? Bravo, ai stăpânit suma celor n-ai termeni ai unei progresii aritmetice.
Desigur, nu poți construi o piramidă din blocuri de la bază, dar din? Încercați să calculați câte cărămizi de nisip sunt necesare pentru a construi un zid cu această condiție.
Ai reușit?
Răspunsul corect este blocurile:

Instruire

Sarcini:

Masha se pune în formă pentru vară. În fiecare zi crește numărul de genuflexiuni cu. De câte ori va face Masha genuflexiuni într-o săptămână dacă a făcut genuflexiuni la primul antrenament?
Care este suma tuturor numerelor impare conținute în.
Când stochează jurnalele, loggerile le stivuiesc în așa fel încât fiecare strat superior conține un jurnal mai puțin decât cel precedent. Câți bușteni sunt într-o zidărie, dacă fundația zidăriei sunt bușteni?

Raspunsuri:

Să definim parametrii progresiei aritmetice. În acest caz
(săptămâni = zile).
Răspuns:În două săptămâni, Masha ar trebui să facă genuflexiuni o dată pe zi.
Primul număr impar, ultimul număr.
Diferența de progresie aritmetică.
Numărul de numere impare din este jumătate, totuși, să verificăm acest fapt folosind formula pentru găsirea celui de-al treilea termen al unei progresii aritmetice:
Numerele conțin numere impare.
Să înlocuim datele disponibile în formula:
Răspuns: Suma tuturor numerelor impare conținute în este egală.
Să ne amintim de problema piramidelor. Pentru cazul nostru, a , deoarece fiecare strat superior este redus cu un buștean, atunci în total există o grămadă de straturi, adică.
Să înlocuim datele în formula:
Răspuns: Sunt bușteni în zidărie.

Să rezumam

- o succesiune de numere în care diferența dintre numerele adiacente este aceeași și egală. Poate fi în creștere sau în scădere.
Găsirea formulei Al treilea termen al unei progresii aritmetice se scrie cu formula - , unde este numărul de numere din progresie.
Proprietatea membrilor unei progresii aritmetice- - unde este numărul de numere în progresie.
Suma termenilor unei progresii aritmetice poate fi găsit în două moduri:

, unde este numărul de valori.

PROGRESIA ARITMETICĂ. NIVEL MEDIU

Secvență de numere

Să ne așezăm și să începem să scriem câteva numere. De exemplu:

Puteți scrie orice numere și pot fi atâtea câte doriți. Dar putem spune întotdeauna care este primul, care este al doilea și așa mai departe, adică le putem număra. Acesta este un exemplu de succesiune de numere.

Secvență de numere este un set de numere, fiecăruia cărora li se poate atribui un număr unic.

Cu alte cuvinte, fiecare număr poate fi asociat cu un anumit număr natural și cu unul unic. Și nu vom atribui acest număr niciunui alt număr din acest set.

Numărul cu număr se numește al-lea membru al secvenței.

De obicei, numim întreaga secvență printr-o literă (de exemplu,) și fiecare membru al acestei secvențe este aceeași literă cu un indice egal cu numărul acestui membru: .

Este foarte convenabil dacă al treilea termen al secvenței poate fi specificat printr-o formulă. De exemplu, formula

stabilește secvența:

Și formula este următoarea succesiune:

De exemplu, o progresie aritmetică este o succesiune (primul termen aici este egal, iar diferența este). Sau (, diferență).

al n-lea termen formulă

Numim o formulă recurentă în care, pentru a afla al treilea termen, trebuie să-i cunoști pe anterior sau mai multe anterioare:

Pentru a găsi, de exemplu, cel de-al treilea termen al progresiei folosind această formulă, va trebui să-i calculăm pe cei nouă anteriori. De exemplu, lasa-l. Apoi:

Ei bine, este clar acum care este formula?

În fiecare linie adăugăm, înmulțită cu un număr. Care? Foarte simplu: acesta este numărul membrului curent minus:

Mult mai convenabil acum, nu? Verificăm:

Decide pentru tine:

Într-o progresie aritmetică, găsiți formula pentru al n-lea termen și găsiți al sutelea termen.

Soluţie:

Primul termen este egal. Care este diferența? Iată ce:

(De aceea se numește diferență deoarece este egală cu diferența de termeni succesivi ai progresiei).

Deci, formula:

Atunci al sutelea termen este egal cu:

Care este suma tuturor numerelor naturale de la până la?

Potrivit legendei, marele matematician Carl Gauss, pe când era un băiețel de 9 ani, a calculat această sumă în câteva minute. A observat că suma primului și ultimului număr este egală, suma celui de-al doilea și penultimul este aceeași, suma celui de-al treilea și al 3-lea de la sfârșit este aceeași și așa mai departe. Câte astfel de perechi există în total? Așa este, exact jumătate din numărul tuturor numerelor, adică. Asa de,

Formula generală pentru suma primilor termeni ai oricărei progresii aritmetice va fi:

Exemplu:
Aflați suma tuturor multiplilor de două cifre.

Soluţie:

Primul astfel de număr este acesta. Fiecare număr următor se obține prin adăugarea la numărul anterior. Astfel, numerele care ne interesează formează o progresie aritmetică cu primul termen și diferența.

Formula celui de-al treilea termen pentru această progresie:

Câți termeni există în progresie dacă toți trebuie să fie din două cifre?

Foarte usor: .

Ultimul termen al progresiei va fi egal. Apoi suma:

Răspuns: .

Acum decideți singuri:

În fiecare zi, sportivul aleargă mai mulți metri decât în ziua precedentă. Câți kilometri în total va alerga într-o săptămână dacă a alergat km m în prima zi?
Un biciclist parcurge mai mulți kilometri în fiecare zi decât în ziua precedentă. În prima zi a parcurs km. De câte zile trebuie să călătorească pentru a parcurge un kilometru? Câți kilometri va parcurge în ultima zi a călătoriei?
Prețul unui frigider într-un magazin scade cu aceeași sumă în fiecare an. Determinați cât de mult a scăzut prețul unui frigider în fiecare an dacă, scos la vânzare pentru ruble, șase ani mai târziu a fost vândut pentru ruble.

Raspunsuri:

Cel mai important lucru aici este să recunoașteți progresia aritmetică și să determinați parametrii acesteia. În acest caz, (săptămâni = zile). Trebuie să determinați suma primilor termeni ai acestei progresii:
.
Răspuns:
Aici este dat: , trebuie găsit.
Evident, trebuie să utilizați aceeași formulă de sumă ca în problema anterioară:
.
Înlocuiți valorile:
În mod evident, rădăcina nu se potrivește, așa că răspunsul este.
Să calculăm traseul parcurs în ultima zi folosind formula celui de-al treilea termen:
(km).
Răspuns:
Dat: . Găsi: .
Mai simplu nu poate fi:
(freca).
Răspuns:

PROGRESIA ARITMETICĂ. SCURT DESPRE LUCRURILE PRINCIPALE

Aceasta este o secvență de numere în care diferența dintre numerele adiacente este aceeași și egală.

Progresia aritmetică poate fi crescătoare () și descrescătoare ().

De exemplu:

Formula pentru găsirea celui de-al n-lea termen al unei progresii aritmetice

se scrie prin formula, unde este numărul de numere în progresie.

Proprietatea membrilor unei progresii aritmetice

Vă permite să găsiți cu ușurință un termen al unei progresii dacă termenii învecinați sunt cunoscuți - unde este numărul de numere din progresie.

Suma termenilor unei progresii aritmetice

Există două moduri de a găsi suma:

Unde este numărul de valori.

Primul nivel

Progresie aritmetică. Teorie detaliată cu exemple (2019)

Secvență de numere

Secvență de numere
De exemplu, pentru secvența noastră:

De obicei, numim întreaga secvență printr-o literă (de exemplu,) și fiecare membru al acestei secvențe este aceeași literă cu un indice egal cu numărul acestui membru: .

În cazul nostru:

Să presupunem că avem o succesiune de numere în care diferența dintre numerele adiacente este aceeași și egală.
De exemplu:

Aceasta este o secvență de numere, fiecare membru al căruia este egal cu cel anterior adăugat la același număr. Acest număr se numește diferența unei progresii aritmetice și este desemnat.

Încercați să determinați care secvențe de numere sunt o progresie aritmetică și care nu sunt:

A)
b)
c)
d)

Am înţeles? Să comparăm răspunsurile noastre:
Este progresie aritmetică - b, c.
Nu este progresie aritmetică - a, d.

Să revenim la progresia dată () și să încercăm să găsim valoarea celui de-al treilea termen. Există Două mod de a-l găsi.

1. Metoda

Putem adăuga numărul de progresie la valoarea anterioară până ajungem la al treilea termen al progresiei. Este bine că nu avem multe de rezumat - doar trei valori:

Deci, al treilea termen al progresiei aritmetice descrise este egal cu.

2. Metoda

De exemplu, să vedem în ce constă valoarea celui de-al treilea termen al acestei progresii aritmetice:

Cu alte cuvinte:

Încercați să găsiți singur valoarea unui membru al unei anumite progresii aritmetice în acest fel.

ai calculat? Comparați notele cu răspunsul:

Ecuația de progresie aritmetică.

Progresiile aritmetice pot fi crescătoare sau descrescătoare.

Crescând- progresii în care fiecare valoare ulterioară a termenilor este mai mare decât cea anterioară.
De exemplu:

Descendentă- progresii în care fiecare valoare ulterioară a termenilor este mai mică decât cea anterioară.
De exemplu:

De atunci:

Să comparăm rezultatele:

Proprietatea progresiei aritmetice

Să, ah, atunci:

Să notăm termenul necesar al progresiei aritmetice, deoarece formula pentru a-l găsi este cunoscută - aceasta este aceeași formulă pe care am derivat-o la început:
, Apoi:

termenul anterior al progresiei este:
următorul termen al progresiei este:

Să rezumam termenii anteriori și următori ai progresiei:

Așa e, avem același număr. Să asigurăm materialul. Calculați singur valoarea progresiei, nu este deloc dificil.

În unele probleme nu cunoaștem al treilea termen, dar știm diferența de progresie. Încercați să înlocuiți formula celui de-al treilea termen în formula sumei.
Ce ai primit?

Bine făcut! Acum să revenim la problema care i-a fost pusă lui Carl Gauss: calculați singur cu ce este egală suma numerelor care încep de la th și suma numerelor începând de la th.

Cât ai primit?
Gauss a descoperit că suma termenilor este egală, iar suma termenilor. Asta ai decis?

De fapt, formula pentru suma termenilor unei progresii aritmetice a fost dovedită de omul de știință grec antic Diophantus încă din secolul al III-lea și, de-a lungul acestui timp, oamenii plini de spirit au folosit pe deplin proprietățile progresiei aritmetice.
De exemplu, imaginați-vă Egiptul Antic și cel mai mare proiect de construcție din acea vreme - construcția unei piramide... Imaginea arată o parte a acesteia.

Metoda 1.

Metoda 2.

Instruire

Sarcini:

Masha se pune în formă pentru vară. În fiecare zi crește numărul de genuflexiuni cu. De câte ori va face Masha genuflexiuni într-o săptămână dacă a făcut genuflexiuni la primul antrenament?
Care este suma tuturor numerelor impare conținute în.
Când stochează jurnalele, loggers-ul le stivuiește în așa fel încât fiecare strat superior să conțină un buștean mai puțin decât cel anterior. Câți bușteni sunt într-o zidărie, dacă fundația zidăriei sunt bușteni?

Raspunsuri:

Să definim parametrii progresiei aritmetice. În acest caz
(săptămâni = zile).
Răspuns:În două săptămâni, Masha ar trebui să facă genuflexiuni o dată pe zi.
Primul număr impar, ultimul număr.
Diferența de progresie aritmetică.
Numărul de numere impare din este jumătate, totuși, să verificăm acest fapt folosind formula pentru găsirea celui de-al treilea termen al unei progresii aritmetice:
Numerele conțin numere impare.
Să înlocuim datele disponibile în formula:
Răspuns: Suma tuturor numerelor impare conținute în este egală.
Să ne amintim de problema piramidelor. Pentru cazul nostru, a , deoarece fiecare strat superior este redus cu un buștean, atunci în total există o grămadă de straturi, adică.
Să înlocuim datele în formula:
Răspuns: Sunt bușteni în zidărie.

Să rezumam

- o succesiune de numere în care diferența dintre numerele adiacente este aceeași și egală. Poate fi în creștere sau în scădere.
Găsirea formulei Al treilea termen al unei progresii aritmetice se scrie cu formula - , unde este numărul de numere din progresie.
Proprietatea membrilor unei progresii aritmetice- - unde este numărul de numere în progresie.
Suma termenilor unei progresii aritmetice poate fi găsit în două moduri:

, unde este numărul de valori.

PROGRESIA ARITMETICĂ. NIVEL MEDIU

Secvență de numere

Să ne așezăm și să începem să scriem câteva numere. De exemplu:

Secvență de numere este un set de numere, fiecăruia cărora li se poate atribui un număr unic.

Cu alte cuvinte, fiecare număr poate fi asociat cu un anumit număr natural și cu unul unic. Și nu vom atribui acest număr niciunui alt număr din acest set.

Numărul cu număr se numește al-lea membru al secvenței.

De obicei, numim întreaga secvență printr-o literă (de exemplu,) și fiecare membru al acestei secvențe este aceeași literă cu un indice egal cu numărul acestui membru: .

Este foarte convenabil dacă al treilea termen al secvenței poate fi specificat printr-o formulă. De exemplu, formula

stabilește secvența:

Și formula este următoarea succesiune:

De exemplu, o progresie aritmetică este o succesiune (primul termen aici este egal, iar diferența este). Sau (, diferență).

al n-lea termen formulă

Numim o formulă recurentă în care, pentru a afla al treilea termen, trebuie să-i cunoști pe anterior sau mai multe anterioare:

Pentru a găsi, de exemplu, cel de-al treilea termen al progresiei folosind această formulă, va trebui să-i calculăm pe cei nouă anteriori. De exemplu, lasa-l. Apoi:

Ei bine, este clar acum care este formula?

În fiecare linie adăugăm, înmulțită cu un număr. Care? Foarte simplu: acesta este numărul membrului curent minus:

Mult mai convenabil acum, nu? Verificăm:

Decide pentru tine:

Într-o progresie aritmetică, găsiți formula pentru al n-lea termen și găsiți al sutelea termen.

Soluţie:

Primul termen este egal. Care este diferența? Iată ce:

(De aceea se numește diferență deoarece este egală cu diferența de termeni succesivi ai progresiei).

Deci, formula:

Atunci al sutelea termen este egal cu:

Care este suma tuturor numerelor naturale de la până la?

Formula generală pentru suma primilor termeni ai oricărei progresii aritmetice va fi:

Exemplu:
Aflați suma tuturor multiplilor de două cifre.

Soluţie:

Formula celui de-al treilea termen pentru această progresie:

Câți termeni există în progresie dacă toți trebuie să fie din două cifre?

Foarte usor: .

Ultimul termen al progresiei va fi egal. Apoi suma:

Răspuns: .

Acum decideți singuri:

În fiecare zi, sportivul aleargă mai mulți metri decât în ziua precedentă. Câți kilometri în total va alerga într-o săptămână dacă a alergat km m în prima zi?
Un biciclist parcurge mai mulți kilometri în fiecare zi decât în ziua precedentă. În prima zi a parcurs km. De câte zile trebuie să călătorească pentru a parcurge un kilometru? Câți kilometri va parcurge în ultima zi a călătoriei?
Prețul unui frigider într-un magazin scade cu aceeași sumă în fiecare an. Determinați cât de mult a scăzut prețul unui frigider în fiecare an dacă, scos la vânzare pentru ruble, șase ani mai târziu a fost vândut pentru ruble.

Raspunsuri:

Cel mai important lucru aici este să recunoașteți progresia aritmetică și să determinați parametrii acesteia. În acest caz, (săptămâni = zile). Trebuie să determinați suma primilor termeni ai acestei progresii:
.
Răspuns:
Aici este dat: , trebuie găsit.
Evident, trebuie să utilizați aceeași formulă de sumă ca în problema anterioară:
.
Înlocuiți valorile:
În mod evident, rădăcina nu se potrivește, așa că răspunsul este.
Să calculăm traseul parcurs în ultima zi folosind formula celui de-al treilea termen:
(km).
Răspuns:
Dat: . Găsi: .
Mai simplu nu poate fi:
(freca).
Răspuns:

PROGRESIA ARITMETICĂ. SCURT DESPRE LUCRURILE PRINCIPALE

Aceasta este o secvență de numere în care diferența dintre numerele adiacente este aceeași și egală.

Progresia aritmetică poate fi crescătoare () și descrescătoare ().

De exemplu:

Formula pentru găsirea celui de-al n-lea termen al unei progresii aritmetice

se scrie prin formula, unde este numărul de numere în progresie.

Proprietatea membrilor unei progresii aritmetice

Vă permite să găsiți cu ușurință un termen al unei progresii dacă termenii învecinați sunt cunoscuți - unde este numărul de numere din progresie.

Suma termenilor unei progresii aritmetice

Există două moduri de a găsi suma:

Unde este numărul de valori.

Ce punctul principal formule?

Această formulă vă permite să găsiți orice CU NUMĂRUL LUI " n" .

Desigur, trebuie să cunoști și primul termen a 1 si diferenta de progresie d, ei bine, fără acești parametri nu puteți nota o anumită progresie.

Memorarea (sau cribing) acestei formule nu este suficientă. Trebuie să-i înțelegeți esența și să aplicați formula în diverse probleme. Și, de asemenea, să nu uite la momentul potrivit, da...) Cum nu uita- Nu știu. Si aici cum să-ți amintești Dacă este necesar, cu siguranță te voi sfătui. Pentru cei care finalizează lecția până la sfârșit.)

Deci, să ne uităm la formula pentru al n-lea termen al unei progresii aritmetice.

Ce este o formulă în general? Apropo, aruncați o privire dacă nu l-ați citit. Totul este simplu acolo. Rămâne să ne dăm seama ce este al n-lea termen.

Progresia în general poate fi scrisă ca o serie de numere:

un 1, un 2, un 3, un 4, un 5, .....

a 1- denotă primul termen al unei progresii aritmetice, a 3- al treilea membru, a 4- al patrulea și așa mai departe. Dacă suntem interesați de al cincilea mandat, să presupunem că lucrăm cu a 5, dacă o sută douăzecea - s un 120.

Cum îl putem defini în termeni generali? orice termenul unei progresii aritmetice, cu orice număr? Foarte simplu! Ca aceasta:

un n

Asta e al n-lea termen al unei progresii aritmetice. Litera n ascunde toate numerele de membru simultan: 1, 2, 3, 4 și așa mai departe.

Și ce ne oferă un astfel de record? Gândește-te, în loc de un număr au notat o scrisoare...

Această notație ne oferă un instrument puternic pentru a lucra cu progresia aritmetică. Folosind notația un n, putem găsi rapid orice membru orice progresie aritmetică. Și rezolvă o grămadă de alte probleme de progres. Vei vedea singur mai departe.

În formula pentru al n-lea termen al unei progresii aritmetice:

a n = a 1 + (n-1)d

a 1- primul termen al unei progresii aritmetice;

n- numarul membrului.

Formula conectează parametrii cheie ai oricărei progresii: un n; a 1; dȘi n. Toate problemele de progresie gravitează în jurul acestor parametri.

Formula al n-lea termen poate fi folosită și pentru a scrie o anumită progresie. De exemplu, problema poate spune că progresia este specificată de condiția:

a n = 5 + (n-1) 2.

O astfel de problemă poate fi o fundătură... Nu există nici o serie, nici o diferență... Dar, comparând condiția cu formula, este ușor de înțeles că în această progresie a 1 =5 și d=2.

Și poate fi și mai rău!) Dacă luăm aceeași condiție: a n = 5 + (n-1) 2, Da, deschideți parantezele și aduceți altele asemănătoare? Obținem o nouă formulă:

a n = 3 + 2n.

Acest Doar nu general, ci pentru o evoluție specifică. Aici se ascunde capcana. Unii oameni cred că primul termen este un trei. Deși în realitate primul termen este cinci... Puțin mai jos vom lucra cu o astfel de formulă modificată.

În problemele de progresie există o altă notație - un n+1. Acesta este, după cum ați ghicit, termenul „n plus primul” al progresiei. Sensul său este simplu și inofensiv.) Acesta este un membru al progresiei al cărui număr este mai mare decât numărul n cu unul. De exemplu, dacă într-o problemă luăm un n al cincilea termen atunci un n+1 va fi al șaselea membru. etc.

Cel mai adesea desemnarea un n+1 găsite în formulele de recurenţă. Nu vă fie frică de acest cuvânt înfricoșător!) Acesta este doar o modalitate de a exprima un membru al unei progresii aritmetice prin cea precedentă. Să presupunem că ni se oferă o progresie aritmetică în această formă, folosind o formulă recurentă:

a n+1 = a n +3

a 2 = a 1 + 3 = 5+3 = 8

a 3 = a 2 + 3 = 8+3 = 11

Al patrulea - prin al treilea, al cincilea - prin al patrulea și așa mai departe. Cum putem număra imediat, să zicem, al douăzecilea termen? un 20? Dar nu există nicio cale!) Până nu aflăm al 19-lea termen, nu îl putem număra pe al 20-lea. Aceasta este diferența fundamentală dintre formula recurentă și formula celui de-al n-lea termen. Funcționează recurent numai prin anterior termen, iar formula celui de-al n-lea termen este prin primul si permite pe loc găsiți orice membru după numărul său. Fără a calcula întreaga serie de numere în ordine.

Într-o progresie aritmetică, este ușor să transformi o formulă recurentă într-una obișnuită. Numărați o pereche de termeni consecutivi, calculați diferența d, găsiți, dacă este necesar, primul termen a 1, scrieți formula în forma ei obișnuită și lucrați cu ea. Astfel de sarcini sunt adesea întâlnite în Academia de Științe de Stat.

Aplicarea formulei pentru al n-lea termen al unei progresii aritmetice.

Mai întâi, să ne uităm la aplicare directă formule. La sfârșitul lecției anterioare a apărut o problemă:

Este dată o progresie aritmetică (a n). Aflați un 121 dacă a 1 =3 și d=1/6.

Această problemă poate fi rezolvată fără formule, pur și simplu pe baza semnificației unei progresii aritmetice. Adăugați și adăugați... O oră sau două.)

Și conform formulei, soluția va dura mai puțin de un minut. Puteți să-l cronometrați.) Să decidem.

Condițiile oferă toate datele pentru utilizarea formulei: a 1 =3, d=1/6. Rămâne să ne dăm seama ce este egal n. Nici o problemă! Trebuie să găsim un 121. Deci scriem:

Vă rugam să acordați atentie! În loc de index n a apărut un anumit număr: 121. Ceea ce este destul de logic.) Ne interesează membrul progresiei aritmetice. numărul o sută douăzeci şi unu. Acesta va fi al nostru n. Acesta este sensul n= 121 vom înlocui în continuare în formulă, între paranteze. Înlocuim toate numerele în formulă și calculăm:

a 121 = 3 + (121-1) 1/6 = 3+20 = 23

Asta este. La fel de repede se putea găsi termenul cinci sute al zecelea, iar o mie și al treilea, oricare. punem in schimb n numărul dorit în indexul literei " A"și între paranteze, și numărăm.

Permiteți-mi să vă reamintesc ideea: această formulă vă permite să găsiți orice termen de progresie aritmetică CU NUMĂRUL LUI " n" .

Să rezolvăm problema într-un mod mai viclean. Să întâlnim următoarea problemă:

Aflați primul termen al progresiei aritmetice (a n), dacă a 17 =-2; d=-0,5.

Dacă aveți dificultăți, vă spun primul pas. Scrieți formula pentru al n-lea termen al unei progresii aritmetice! Da Da. Scrieți cu mâinile, chiar în caiet:

a n = a 1 + (n-1)d

Și acum, privind literele formulei, înțelegem ce date avem și ce lipsește? Disponibil d=-0,5, există un al șaptesprezecelea membru... Asta e? Dacă crezi că asta este, atunci nu vei rezolva problema, da...

Mai avem un număr n! In conditie a 17 =-2 ascuns doi parametri. Aceasta este atât valoarea celui de-al șaptesprezecelea termen (-2), cât și numărul său (17). Acestea. n=17. Acest „fleeac” alunecă adesea pe lângă cap și fără el, (fără „fleeac”, nu cap!) problema nu poate fi rezolvată. Deși... și fără cap.)

Acum putem pur și simplu să substituim datele noastre în formula:

a 17 = a 1 + (17-1)·(-0,5)

O da, un 17știm că este -2. Bine, hai să înlocuim:

-2 = a 1 + (17-1)·(-0,5)

Asta e practic tot. Rămâne să exprimăm primul termen al progresiei aritmetice din formulă și să-l calculăm. Raspunsul va fi: a 1 = 6.

Această tehnică - scrierea unei formule și pur și simplu înlocuirea datelor cunoscute - este de mare ajutor în sarcini simple. Ei bine, desigur, trebuie să poți exprima o variabilă dintr-o formulă, dar ce să faci!? Fără această abilitate, matematica nu poate fi studiată deloc...

Un alt puzzle popular:

Aflați diferența progresiei aritmetice (a n), dacă a 1 =2; a 15 =12.

Ce facem? Vei fi surprins, noi scriem formula!)

a n = a 1 + (n-1)d

Să luăm în considerare ceea ce știm: a 1 =2; a 15 =12; și (voi evidenția în special!) n=15. Simțiți-vă liber să înlocuiți acest lucru în formula:

12=2 + (15-1)d

Facem aritmetica.)

12=2 + 14d

d=10/14 = 5/7

Acesta este răspunsul corect.

Deci, sarcinile pentru un n, un 1Și d hotărât. Tot ce rămâne este să înveți cum să găsești numărul:

Numărul 99 este un membru al progresiei aritmetice (a n), unde a 1 =12; d=3. Găsiți numărul acestui membru.

Înlocuim cantitățile cunoscute de noi în formula celui de-al n-lea termen:

a n = 12 + (n-1) 3

La prima vedere, există două cantități necunoscute aici: un n și n. Dar un n- acesta este un membru al progresiei cu un număr n...Și îl cunoaștem pe acest membru al progresiei! Este 99. Nu-i știm numărul. n, Deci, acest număr este ceea ce trebuie să găsiți. Inlocuim termenul progresiei 99 in formula:

99 = 12 + (n-1) 3

Exprimăm din formulă n, noi gândim. Primim raspunsul: n=30.

Și acum o problemă pe același subiect, dar mai creativ):

Determinați dacă numărul 117 este membru al progresiei aritmetice (a n):

-3,6; -2,4; -1,2 ...

Să scriem din nou formula. Ce, nu există parametri? Hm... De ce ni se dau ochi?) Vedem primul termen al progresiei? V-om vedea. Acesta este -3,6. Puteți scrie în siguranță: a 1 = -3,6. Diferență d Poți spune din serial? Este ușor dacă știi care este diferența unei progresii aritmetice:

d = -2,4 - (-3,6) = 1,2

Deci, am făcut cel mai simplu lucru. Rămâne de rezolvat numar necunoscut n iar numărul de neînțeles 117. În problema anterioară, cel puțin se știa că era dat termenul progresiei. Dar aici nici nu știm... Ce să facem!? Ei bine, ce să faci, ce să faci... Pornește Abilități creative!)

Noi presupune că 117 este, până la urmă, un membru al progresiei noastre. Cu un număr necunoscut n. Și, la fel ca în problema anterioară, să încercăm să găsim acest număr. Acestea. scriem formula (da, da!)) și înlocuim numerele noastre:

117 = -3,6 + (n-1) 1,2

Din nou exprimăm din formulăn, numărăm și obținem:

Hopa! Numărul s-a dovedit fracționat! O sută și jumătate. Și numere fracționale în progresii nu poate fi. Ce concluzie putem trage? Da! Numărul 117 nu este membru al progresiei noastre. Este undeva între termenii o sută și primul și o sută și al doilea. Dacă numărul s-a dovedit natural, adică este un întreg pozitiv, atunci numărul ar fi un membru al progresiei cu numărul găsit. Și în cazul nostru, răspunsul la problemă va fi: Nu.

O sarcină bazată pe o versiune reală a GIA:

O progresie aritmetică este dată de condiția:

a n = -4 + 6,8n

Găsiți primul și al zecelea termen al progresiei.

Aici progresia este stabilită într-un mod neobișnuit. Un fel de formulă... Se întâmplă.) Cu toate acestea, această formulă (cum am scris mai sus) - de asemenea formula pentru al n-lea termen al unei progresii aritmetice! Ea permite, de asemenea găsiți orice membru al progresiei după numărul său.

Căutăm primul membru. Cel care gândește. că primul termen este minus patru este fatal greșit!) Deoarece formula din problemă este modificată. Primul termen al progresiei aritmetice în el ascuns. Este în regulă, îl vom găsi acum.)

La fel ca în problemele anterioare, înlocuim n=1în această formulă:

a 1 = -4 + 6,8 1 = 2,8

Aici! Primul termen este 2,8, nu -4!

Căutăm al zecelea termen în același mod:

a 10 = -4 + 6,8 10 = 64

Asta este.

Și acum, pentru cei care au citit aceste rânduri, bonusul promis.)

Să presupunem că, într-o situație dificilă de luptă a examenului de stat sau a examenului unificat de stat, ați uitat formula utilă pentru al n-lea termen al unei progresii aritmetice. Îmi amintesc ceva, dar cumva nesigur... Or n acolo, sau n+1 sau n-1... Cum sa fii!?

Calm! Această formulă este ușor de obținut. Nu foarte strict, dar pentru încredere și decizia corectă cu siguranță suficient!) Pentru a trage o concluzie, este suficient să vă amintiți semnificația elementară a unei progresii aritmetice și să aveți câteva minute de timp. Trebuie doar să desenezi o imagine. Pentru claritate.

Desenați o linie numerică și marcați-o pe prima. al doilea, al treilea etc. membrii. Și notăm diferența dîntre membri. Ca aceasta:

Ne uităm la imagine și ne gândim: ce înseamnă al doilea termen? Al doilea unu d:

A 2 =a 1 + 1 d

Care este al treilea termen? Al treilea termenul este egal cu primul termen plus Două d.

A 3 =a 1 + 2 d

Ai inteles? Nu degeaba evidențiez câteva cuvinte cu caractere aldine. Bine, încă un pas).

Care este al patrulea termen? Al patrulea termenul este egal cu primul termen plus Trei d.

A 4 =a 1 + 3 d

Este timpul să ne dăm seama că numărul de lacune, adică. d, Mereu cu unul mai puțin decât numărul membrului pe care îl căutați n. Adică la număr n, numărul de spații voi n-1. Prin urmare, formula va fi (fără variații!):

a n = a 1 + (n-1)d

În general, imaginile vizuale sunt de mare ajutor în rezolvarea multor probleme de matematică. Nu neglija pozele. Dar dacă este dificil să desenezi o imagine, atunci... doar o formulă!) În plus, formula celui de-al n-lea termen vă permite să conectați întregul arsenal puternic al matematicii la soluție - ecuații, inegalități, sisteme etc. Nu poți introduce o imagine în ecuație...

Sarcini pentru soluție independentă.

A încălzi:

1. În progresia aritmetică (a n) a 2 =3; a 5 =5,1. Găsiți un 3.

Sugestie: conform imaginii, problema poate fi rezolvată în 20 de secunde... Conform formulei, se dovedește mai dificil. Dar pentru stăpânirea formulei, este mai util.) În Secțiunea 555, această problemă este rezolvată folosind atât imaginea, cât și formula. Simte diferenta!)

Și aceasta nu mai este o încălzire.)

2. În progresia aritmetică (a n) a 85 =19,1; a 236 =49, 3. Aflați un 3 .

Ce, nu vrei să faci un desen?) Desigur! Mai bine dupa formula, da...

3. Progresia aritmetică este dată de condiția:a 1 = -5,5; a n+1 = a n +0,5. Găsiți termenul o sută douăzeci și cinci al acestei progresii.

În această sarcină, progresia este specificată în mod recurent. Dar numărând până la al o sută douăzeci și cinci de termen... Nu toată lumea este capabilă de o asemenea ispravă.) Dar formula celui de-al n-lea termen este în puterea tuturor!

4. Având în vedere o progresie aritmetică (a n):

-148; -143,8; -139,6; -135,4, .....

Aflați numărul celui mai mic termen pozitiv al progresiei.

5. Conform condițiilor sarcinii 4, găsiți suma celor mai mici termeni pozitivi și cei mai mari negativi ai progresiei.

6. Produsul termenilor al cincilea și al doisprezecelea al unei progresii aritmetice crescătoare este egal cu -2,5, iar suma celor trei și al unsprezecelea termeni este egală cu zero. Găsiți un 14.

Nu este cea mai ușoară sarcină, da...) Metoda „degetului” nu va funcționa aici. Va trebui să scrieți formule și să rezolvați ecuații.

Răspunsuri (în dezordine):

3,7; 3,5; 2,2; 37; 2,7; 56,5

S-a întâmplat? E dragut!)

Nu merge totul? Se întâmplă. Apropo, există un punct subtil în ultima sarcină. Va fi necesară atenție când citiți problema. Și logica.

Soluția la toate aceste probleme este discutată în detaliu în Secțiunea 555. Și elementul de fantezie pentru al patrulea și un moment subtil pentru al șaselea și abordări generale pentru a rezolva orice probleme care implică formula celui de-al n-lea termen - totul este scris. Vă recomand.

Daca va place acest site...

Apropo, mai am câteva site-uri interesante pentru tine.)

Puteți exersa rezolvarea exemplelor și puteți afla nivelul dvs. Testare cu verificare instantanee. Să învățăm - cu interes!)

Vă puteți familiariza cu funcțiile și derivatele.