Aritmetik yöntem. Matematik dersi "Problemleri çözmenin cebirsel ve aritmetik yöntemleri." Öğrencilere çözmeyi öğretme yöntemleri

Bu problemleri analiz etmek, problemlerin matematik açısından ortak noktalarını, farklarını gözlemlemek, problemleri çözmek için sıra dışı bir yol bulmak, problem çözme tekniklerinden oluşan bir kumbara oluşturmak, bir problemin nasıl çözüleceğini öğrenmek Farklı yollar.Aynı tema altında gruplandırılmış problemlerin simülatörü “Problemleri çözmek için aritmetik yöntemler”, bir grupta çalışmaya yönelik görevler ve bireysel çalışma.

“simülatör kılavuzunun görevleri”

Eğitmen: “Problemlerin çözümünde aritmetik yöntemler”

“Sayıları toplam ve farka göre karşılaştırma.”

İki sepette 80 adet boletus mantarı var. İlk sepet ikinciye göre 10 daha az çörek içeriyor. Her sepette kaç tane boletus mantarı var?

Dikiş stüdyosuna 480 m denim ve örtü teslim edildi. Denim kumaş, perdelik kumaştan 140 m daha fazla tedarik edildi. Stüdyoya kaç metre denim verildi?

TV kulesi modeli iki bloktan oluşmaktadır. Alt blok üst bloktan 130 cm daha kısadır. Kulenin yüksekliği 4 m 70 cm ise üst ve alt blokların yükseklikleri ne kadardır?

İki kutuda 16 kg kurabiye bulunmaktadır. Bir kutuda 4 kg daha fazla kurabiye varsa, her kutudaki kurabiyelerin kütlesini bulunuz.

L. N. Tolstoy'un "Aritmetik" adlı eserinden problem.

a) İki adamın 35 koyunu var. Birinin diğerinden 9 koyunu daha fazladır. Her kişinin kaç koyunu var?

b) İki adamın 40 koyunu var, birinin diğerinden 6 koyunu eksik. Her adamın kaç koyunu var?

Garajda 23 araba ve sepetli motosiklet vardı. Otomobil ve motosikletlerin 87 tekerleği vardır. Her sepette bir stepne varsa garajda kaç motosiklet vardır?

"Eulerian Çevreleri".

Evin 120 sakini var ve bunların bazılarının köpekleri ve kedileri var. Resimde bir daire var İLE sakinleri köpeklerle tasvir ediyor, daire çiziyor İLE – kedileri olan sakinler. Kaç kiracının hem köpeği hem de kedisi var? Kaç kiracının yalnızca köpeği var? Kaç kiracının yalnızca kedisi var? Kaç kiracının ne köpeği ne de kedisi var?

52 okul çocuğundan 23'ü voleybol, 35'i basketbol, ​​16'sı ise hem voleybol hem de basketbol oynuyor. Geri kalanlar ise bu sporların hiçbirini yapmıyor. Kaç okul çocuğu bu sporlardan hiçbirini yapmıyor?

Resimde bir daire var A bilen tüm üniversite çalışanlarını tasvir ediyor ingilizce dili, daire N – Almanca bilen ve çevre bilen F - Fransızca. Kaç üniversite çalışanı şunları biliyor: a) 3 dil; b) İngilizce ve Almanca; c) Fransızca mı? Kaç üniversite çalışanı var? Kaç tanesi Fransızca konuşmuyor?

Uluslararası konferansa 120 kişi katıldı. Bunlardan 60'ı Rusça, 48'i İngilizce, 32'si Almanca, 21'i Rusça ve Almanca, 19'u İngilizce ve Almanca, 15'i Rusça ve İngilizce, 10'u da her üç dili de konuşmaktadır. Kaç konferans katılımcısı bu dillerden herhangi birini konuşmuyor?

82 öğrenci koroda şarkı söylüyor ve dans pratiği yapıyor. ritmik jimnastik 32 öğrenci var ve 78 öğrenci koroda şarkı söyleyip ritmik jimnastik yapıyor. Her öğrencinin tek bir şey yaptığı biliniyorsa, kaç öğrenci ayrı ayrı koroda şarkı söyler, dans eder ve ritmik jimnastik yapar?

Evimizde yaşayan her aile ya bir gazeteye, ya dergiye ya da her ikisine birden abone olur. 75 aile gazeteye, 27 aile dergiye abone olup sadece 13 aile hem dergi hem de gazeteye abonedir. Evimizde kaç aile yaşıyor?

"Veri ayarlama yöntemi".

3 küçük ve 4 büyük bukette 29, 5 küçük ve 4 büyük bukette 35 çiçek bulunmaktadır. Her bukette ayrı ayrı kaç çiçek var?

Büyük ve küçük 2 çikolata çubuğunun kütlesi 120 g ve 3 büyük ve 2 küçük - 320 g. Her bir çubuğun kütlesi nedir?

5 elma ve 3 armutun ağırlığı 810 gr, 3 elma ve 5 armutun ağırlığı 870 gr. Bir elmanın ağırlığı ne kadardır? Bir armut mu?

Dört ördek yavrusu ve beş kaz yavrusu 4 kg 100 gr, beş ördek yavrusu ve dört kaz yavrusu 4 kg ağırlığındadır. Bir ördek yavrusu ne kadar ağırlığa sahiptir?

Bir at ve iki ineğe günlük 34 kg saman, iki at ve bir ineğe ise 35 kg saman verilir. Bir ata ne kadar saman, bir ineğe ne kadar saman verilir?

3 kırmızı küp ve 6 mavi küpün fiyatı 165 tenge ruble. Üstelik beş kırmızı, iki maviden 95 tenge daha pahalı. Her küpün maliyeti ne kadar?

2 eskiz defteri ve 3 pul albümü birlikte 160 ruble, 3 eskiz defteri ise 45 ruble. iki pul albümünden daha pahalı.

"Sayılır".

Seryozha, annesine doğum günü için bir buket çiçek (gül, lale veya karanfil) vermeye ve bunları bir vazoya veya sürahiye koymaya karar verdi. Bunu kaç farklı şekilde yapabilir?

Sayının içindeki rakamlar tekrarlanmadıkça 0, 1, 3, 5 rakamlarından kaç tane üç basamaklı sayı oluşturulabilir?

Çarşamba günü 5. sınıfta beş ders vardır: matematik, beden eğitimi, tarih, Rusça ve fen bilgisi. Kaç tane Çeşitli seçeneklerÇarşamba günü için program yapabilir misiniz?

"Maddelerin karıştırılmasıyla ilgili problemleri çözmenin eski bir yolu."

Yağlar nasıl karıştırılır? Bir kişinin iki tür yağı satılıktı: biri kova başına 10 Grivnası fiyatına, diğeri ise kovası 6 Grivnası fiyatına. Kova başına 7 Grivnaya mal olacak şekilde bu iki yağı karıştırıp yağ yapmak istiyordu. 7 Grivnası değerinde bir kova yağ elde etmek için bu iki yağın hangi kısımlarını almanız gerekiyor?

Kilogram başına 210 tenge fiyatına 21 kg karışım yapmak için 1 kg başına 260 tenge ve 1 kg başına 190 tenge fiyatla ne kadar karamel almanız gerekir?

Birisinin üç çeşit çayı var: Seylan pound başına 5 Grivnası, Hint poundu 8 Grivnası ve Çin poundu 12 Grivnası. Kilogram başına 6 Grivna değerinde çay elde etmek için bu üç çeşit hangi oranlarda karıştırılmalıdır?

Birinin farklı standartlarda gümüşü var: Biri 12. standart, diğeri 10. standart, üçüncüsü 6. standart. 1 pound 9'uncu standart gümüşü elde etmek için ne kadar gümüş almalısınız?

Tüccar 540 ruble karşılığında 138 arshin siyah ve mavi kumaş satın aldı. Soru şu ki, eğer mavi olan 5 rubleye mal olursa, her ikisi için de kaç arshin aldı? bir arshin ve siyah için - 3 ruble?

Çeşitli görevler.

Yılbaşı hediyesi olarak 87 kg meyve aldık ve elmalar portakallardan 17 kg daha fazlaydı. Kaç elma ve kaç portakal aldın?

Yılbaşı ağacında karnaval kostümü giyen çocuklar için Maydanoz kostümlerinden 3 kat daha fazla kar tanesi vardı. Eğer 12 kişi daha az olsaydı, Maydanoz kostümü giymiş kaç çocuk vardı?

Masha 2 kat daha az aldı Yeni yıl selamları Kolya'dan daha. Toplamda 27 kişi olduğuna göre her bir kişi kaç tebrik almıştır? (9 ve 18).

Yılbaşı ödülleri için 28 kg tatlı satın alındı. Şekerler "Kırlangıç" 2 parçadan, "Muse" - 3 parçadan, "Romashka" - 2 parçadan oluşur. Her türden kaç tane şeker aldınız? (8, 8, 12).

Depoda 2004 kg un bulunmaktadır. 9 kg ve 18 kg ağırlığındaki torbalara konulabilir mi?

"Çay İçin Her Şey" mağazasında 5 farklı fincan ve 3 farklı tabak bulunmaktadır.Bir fincan ve tabağı kaç farklı şekilde satın alabilirsiniz?

Bir at samanlığı 2 günde, inek 3 günde, koyun ise 6 günde yer. Samanlığı birlikte yerlerse kaç günde yerler?

Belge içeriğini görüntüle
"ders özeti arif sp"

"Kelime problemlerini çözmek için aritmetik yöntemler."

Bir matematik öğrencisi için genellikle aynı problemi üç farklı yolla çözmek, üç veya dört farklı problemi çözmekten daha faydalıdır. Bir problemi farklı yollarla çözerek hangisinin daha kısa ve daha verimli olduğunu karşılaştırma yaparak öğrenebilirsiniz. Deneyim bu şekilde geliştirilir.

WW Sawyer

Dersin amacı: Önceki derslerde edinilen bilgileri kullanın, test problemlerini çeşitli şekillerde çözmek için hayal gücünü, sezgiyi, hayal gücünü ve yaratıcılığı gösterin.

Ders hedefleri: eğitici: Bu problemleri analiz ederek, bir matematikçinin bakış açısından problemlerin ortak yönlerini gözlemleyerek, farkları nelerdir, problemleri çözmek için sıra dışı bir yol bulmak, problem çözme teknikleri için bir kumbara oluşturmak, bir problemi çözmeyi öğrenmek farklı yollarla.

Gelişimsel: Kendinizi belirli bir rol durumunda bulduğunuzda, kendini gerçekleştirme ihtiyacını hissedin.

Eğitici: kişisel nitelikleri geliştirmek, iletişimsel bir kültür oluşturmak.

Eğitim araçları: Aynı “Problemleri çözmek için aritmetik yöntemler” teması altında gruplandırılmış problemlerin bir simülatörü, grup halinde çalışma ve bireysel çalışma için görevler.

DERSLER ESNASINDA.

BEN. Zamanı organize etmek

Merhaba beyler. Oturmak. Bugün "Sözlü problemleri çözmek için aritmetik yöntemler" konulu bir dersimiz var.

II. Bilginin güncellenmesi.

Matematik eski çağlardan biridir ve önemli bilimler. İnsanlar eski zamanlarda - binlerce yıl önce - pek çok matematik bilgisini kullandılar. Tüccarlar ve inşaatçılar, savaşçılar ve kadastrocular, rahipler ve gezginler için gerekliydi.

Ve günümüzde iyi bir matematik bilgisi olmadan tek bir kişi bile hayatta ilerleyemez. Esas, baz, temel iyi anlayış matematik - sayma, düşünme, akıl yürütme, sorunlara başarılı çözümler bulma yeteneği.

Bugün sözlü problemleri çözmek için aritmetik yöntemlere bakacağız, bize gelen eski problemleri analiz edeceğiz. Farklı ülkeler ve zamanlar, eşitleme görevleri, toplam ve farka göre karşılaştırma ve diğerleri.

Dersin amacı sizi dahil etmektir. muhteşem dünya güzellik, zenginlik ve çeşitlilik - dünya ilginç görevler. Bu nedenle sizi çok zarif ve öğretici çözümlere götüren bazı aritmetik yöntemlerle tanıştıracağım.

Bir görev neredeyse her zaman bir araştırmadır, bazı özelliklerin ve ilişkilerin keşfidir ve bunu çözmenin araçları sezgi ve varsayım, bilgi ve matematiksel yöntemlere hakim olmaktır.

Matematikteki ana yöntemler problem çözmenin aritmetik ve cebirsel yöntemleridir.

Aritmetik yöntemi kullanarak problem çözmek, sayılar üzerinde aritmetik işlemler yaparak problemin ihtiyacına cevap bulmak anlamına gelir.

Cebirsel yöntemle denklemin oluşturulup çözülmesi sonucunda problemin sorusunun cevabı bulunur.

Farklı araçlara sahip olan ve yapılan işin niteliğine göre bunları kullanan bir kişinin, yalnızca tek bir evrensel araca sahip olan bir kişiden önemli ölçüde daha iyi sonuçlar elde ettiği bir sır değildir.

Sorunları çözmek için birçok aritmetik yöntem ve standart dışı teknik vardır. Bugün sizi bunlardan bazılarıyla tanıştırmak istiyorum.

1.Sözlü problemleri çözme yöntemi “Sayıları toplam ve farka göre karşılaştırma.”

Görev : Büyükanne sonbaharda yazlık evinden 51 kg havuç ve lahana topladı. Havuçtan 15 kg daha fazla lahana vardı. Büyükanne kaç kilo havuç ve kaç kilo lahana topladı?

Problem çözme algoritmasının noktalarına karşılık gelen sorular bu sınıfın.

1. Problemde hangi niceliklerin tartışıldığını öğrenin

Büyükannenin birlikte ve ayrı ayrı topladığı havuç ve lahana sayısı hakkında.

2. Problemde hangi büyüklüklerin bulunması gereken değerleri belirtin.

Büyükanne kaç kilo havuç ve kaç kilo lahana topladı?

3. Problemdeki nicelikler arasındaki ilişkiyi adlandırın.

Problem miktarların toplamı ve farkından bahsediyor.

4. Büyüklüklerin değerlerinin toplamını ve farkını adlandırın.

Toplam – 51 kg, fark – 15 kg.

5. Büyüklükleri eşitleyerek küçük miktarın çift değerini bulun (büyüklüklerin farkını büyüklüklerin toplamından çıkarın).

51 – 15 = 36 (kg) – havuç miktarının iki katı.

6. İki katına çıkan değeri bilerek daha küçük olanı bulun (iki katına çıkan değeri ikiye bölün).

36: 2 = 18 (kg) – havuç.

7. Büyüklükler ile küçük miktarın değeri arasındaki farkı kullanarak büyük miktarın değerini bulun.

18 + 15 = 33 (kg) – lahana. Cevap: 18 kg, 33 kg. Görev.Kafeste sülünler ve tavşanlar var. Toplamda 6 baş ve 20 bacak vardır. Bir kafeste kaç tane tavşan ve kaç tane sülün vardır? ?
Yöntem 1. Seçim yöntemi:
2 sülün, 4 tavşan.
Kontrol edin: 2 + 4 = 6 (gol); 4 4 + 2 2 = 20 (fit).
Bu bir seçim yöntemidir ("seçmek" kelimesinden gelir). Bu çözüm yönteminin avantajları ve dezavantajları (sayılar büyükse seçim yapmak zordur) Bu nedenle daha uygun çözüm yöntemleri aramaya yönelik bir teşvik vardır.
Tartışma sonuçları: Seçim yöntemi küçük sayılarla çalışırken uygundur; değerler arttığında irrasyonel ve emek yoğun hale gelir.
Yöntem 2. Seçenek aramasını tamamlayın.

Bir tablo derlendi:

Cevap: 4 tavşan, 2 sülün.
Bu yöntemin adı “tam”dır. Tartışma sonuçları: Kapsamlı arama yöntemi uygundur, ancak büyük değerler için oldukça emek yoğundur.
Yöntem 3. Tahmin yöntemi.

Eski bir Çin problemini ele alalım:

Kafeste bilinmeyen sayıda sülün ve tavşan bulunmaktadır. Hücrenin tamamının 35 baş ve 94 bacaktan oluştuğu bilinmektedir. Sülün sayısını ve tavşan sayısını öğrenin.(MÖ 2600'de derlenen Çin matematik kitabı “Kiu-Chang”daki problem).

İşte matematiğin eski ustalarında bulunan bir diyalog. - Sülün ve tavşanların oturduğu kafese bir havuç koyduğumuzu düşünelim. Bütün tavşanlar havuca ulaşmak için arka ayakları üzerinde dururlar. Şu anda yerde kaç ayak olacak?

Fakat problem ifadesinde 94 bacak verilmiştir, geri kalanı nerede?

Kalan bacaklar sayılmaz - bunlar tavşanların ön bacaklarıdır.

Kaç tane var?

24 (94 – 70 = 24)

Kaç tane tavşan var?

12 (24: 2 = 12)

Peki ya sülünler?

23 (35- 12 = 23)

Bu yöntemin adı “eksiklik tahmin yöntemi”dir. Bu ismi kendiniz açıklamaya çalışın (kafeste oturanların 2 veya 4 bacağı vardır ve herkesin bu sayıların en küçüğü olan 2 bacağına sahip olduğunu varsaydık).

Aynı sorunu çözmenin başka bir yolu. - Bu sorunu “artı varsayımı yöntemi” ile çözmeye çalışalım: Sülünlerin artık iki bacağının daha olduğunu düşünelim. o zaman tüm bacaklar olacak 35 × 4 =140.

Ama problemin koşullarına göre sadece 94 bacak var, yani. 140 – 94= 46 fazla bacak, bunlar kimin? Bunlar sülünlerin bacakları, fazladan bir çift bacakları var. Araç, sülünler irade 46: 2 = 23, sonra tavşanlar 35 -23 = 12.
Tartışma sonuçları: varsayım yöntemi İki seçenek- İle eksiklik ve fazlalık; Önceki yöntemlere göre daha az emek gerektirdiği için daha uygundur.
Görev. Bir deve kervanı çölde yavaş yavaş yürüyor, toplamda 40 adet var, bu develerin tüm hörgüçlerini sayarsanız 57 hörgüç elde edersiniz. Bu kervanda kaç tane tek hörgüçlü deve var?1 yol. Denklemi kullanarak çözün.

Kişi başına düşen hörgüç sayısı Deve sayısı Toplam hörgüç

2 x 2 x

1 40 - X 40 - X 57

2 x + 40 - X = 57

x + 40 = 57

X = 57 -40

X = 17

Yöntem 2.

- Develerin kaç hörgücü olabilir?

(iki veya bir tane olabilir)

Her devenin hörgücüne bir çiçek takalım.

- Kaç çiçeğe ihtiyacınız olacak? (40 deve – 40 çiçek)

- Çiçeksiz kaç hörgüç kalacak?

(Böyle olacak 57-40=17 . Bu ikinci tümsekler Baktriya develeri).

Kaç tane Baktriya develeri mi? (17)

Kaç tane tek hörgüçlü develer mi? (40-17=23)

Sorunun cevabı nedir? ( 17 ve 23 deve).

Görev.Garajda 18 adet sepetli araba ve motosiklet vardı.Araba ve motosikletlerin 65 tekerleği vardı. Arabalar 4 tekerlekli ve motosikletler 3 tekerlekliyse, garajda sepetli kaç motosiklet vardı?

1 yol. Denklemi kullanarak:

1 için tekerlek sayısı Toplam tekerlek sayısı

Püre. 4x 4 x

Mot. 3 18 -X 3(18 - X ) 65

4 x + 3(18 - X ) = 65

4 x + 5 4 -3 X =65

X = 65 - 54

X = 11, 18 – 11 = 7.

Sorunu yeniden formüle edelim : 18 otomobil ve sepetli motosikletin park edildiği garaja gelen soyguncular, her otomobil ve motosikletten üçer tekerleği söküp götürdü. Eğer 65 tane olsaydı garajda kaç tane tekerlek kalırdı? Bir arabaya mı yoksa motosiklete mi aitler?

3×18=54 – soyguncuların götürdüğü tekerlek sayısı bu,

65- 54 = 11 – şu kadar tekerlek kaldı (garajdaki arabalar),

18 - 11 = 7 motosiklet.

Cevap: 7 motosiklet.

Kendi başına:

Garajda 23 araba ve sepetli motosiklet vardı. Otomobil ve motosikletlerin 87 tekerleği vardır. Her sepette bir stepne varsa garajda kaç motosiklet vardır?

- Araba ve motosikletlerin toplam kaç tekerleği vardır? (4×23=92)

- Her bebek arabasına kaç tane yedek tekerlek koydunuz? (92 - 87= 5)

- Garajda kaç araba var? (23 - 5=18).

Görev.Sınıfımızda İngilizce öğrenebilir veya Fransız dilleri(isteğe bağlı olarak). Okulda 20 çocuğun İngilizce, 17'sinin Fransızca öğrendiği biliniyor.Sınıfta toplam 32 öğrenci bulunuyor. Kaç öğrenci hem İngilizce hem de Fransızca okuyor?

İki daire çizelim. Birinde İngilizce okuyan okul çocuklarının sayısını, diğerinde ise Fransızca okuyan okul çocuklarını kaydedeceğiz. Çünkü sorunun koşullarına göre okuyan öğrenciler varher iki dil: İngilizce ve Fransızca, o zaman dairelerin ortak bir kısmı olacaktır. Bu sorunun koşullarını anlamak o kadar kolay değil. 20 ile 17'yi toplarsanız 32'den fazlasını elde edersiniz. Bu, burada bazı okul çocuklarını, yani her iki dili de (İngilizce ve Fransızca) okuyanları iki kez saymamızla açıklanmaktadır. Yani (20 + 17) – 32 = 5 Öğrenciler her iki dili de öğrenirler: İngilizce ve Fransızca.

İngilizce Fran.

20 ders 17 okul

(20 + 17) – 32 = 5 (öğrenci).

Problemi çözmek için kullandığımız şemaya benzer şemalara matematikte denir. Euler daireleri (veya diyagramları). Leonard Euler (1736) İsviçre'de doğdu. Ancak uzun yıllar Rusya'da yaşadı ve çalıştı.

Görev.Evimizde yaşayan her aile ya bir gazeteye, ya dergiye ya da her ikisine birden abone olur. 75 aile gazeteye, 27 aile dergiye abone olup sadece 13 aile hem dergi hem de gazeteye abonedir. Evimizde kaç aile yaşıyor?

Gazete dergileri

Resimde evde 89 ailenin yaşadığı görülüyor.

Görev.Uluslararası konferansa 120 kişi katıldı. Bunlardan 60'ı Rusça, 48'i İngilizce, 32'si Almanca, 21'i Rusça ve Almanca, 19'u İngilizce ve Almanca, 15'i Rusça ve İngilizce, 10'u da her üç dili de konuşmaktadır. Kaç konferans katılımcısı bu dillerden herhangi birini konuşmuyor?

Rusça 15 İngilizce

21 10 19

Almanca

Çözüm: 120 – (60 + 48 + 32 -21 – 19 – 15 + 10) = 25 (kişi).

Görev. Üç yavru kedi ve iki yavru köpek 2 kg 600 gr, iki yavru kedi ve üç yavru köpek 2 kg 900 gr ağırlığındadır. Yavru köpek ağırlığı ne kadardır?

3 yavru kedi ve 2 yavru köpek – 2kg 600 gr

2 yavru kedi ve 3 yavru köpek – 2 kg 900 gr.

5 yavru kedi ve 5 yavru köpeğin 5 kg 500 g ağırlığında olması durumundan, 1 yavru kedi ve 1 köpek yavrusunun 1 kg 100 g ağırlığında olduğu anlaşılmaktadır.

2 kedi ve 2 yavru. 2 kg 200 gr ağırlığında

Koşulları karşılaştıralım -

2 yavru kedi + 3 yavru köpek = 2kg 900 gr

2 yavru kedi + 2 yavru köpek = 2 kg 200 gr, yavrunun ağırlığının ise 700 gr olduğunu görüyoruz.

Görev.Bir at ve iki ineğe günlük 34 kg saman, iki at ve bir ineğe ise 35 kg saman verilir. Bir ata ne kadar saman, bir ineğe ne kadar saman verilir?

Haydi yazalım kısa durum görevler:

1 at ve 2 inek -34kg.

2 at ve 1 inek -35kg.

3 at ve 3 inek için ne kadar saman gerektiğini bilmek mümkün mü?

(3 at ve 3 inek için – 34+35=69 kg)

Bir at ve bir inek için ne kadar saman gerektiğini bulmak mümkün mü? (69:3 – 23kg)

Bir atın ne kadar samana ihtiyacı vardır? (35-23=12kg)

Bir ineğin ne kadar samana ihtiyacı vardır? (23 -13 =11kg)

Cevap: 12kg ve 11kg.

Görev.Madina okul kafeteryasında kahvaltı etmeye karar verdi. Menüyü inceleyin ve bir içecek ve bir şekerleme ürününü kaç farklı şekilde seçebilir? sorusunu yanıtlayın.

	Şekerleme
	Çizkek

Medine'nin içecek olarak çayı seçtiğini varsayalım. Çay için hangi şekerleme ürününü seçebilir? (çay - cheesecake, çay - kurabiye, çay - çörek)

Kaç yol? (3)

Ya komposto ise? (ayrıca 3)

Medine'nin öğle yemeğini seçmek için kaç farklı yol kullanabileceğini nasıl öğrenebilirsin? (3+3+3=9)

Evet haklısın. Ancak bu sorunu çözmemizi kolaylaştırmak için grafikleri kullanacağız. Matematikte "grafik" kelimesi, bazıları çizgilerle birbirine bağlanan, birkaç noktanın çizildiği bir resim anlamına gelir. İçecekleri belirleyelim ve şekerleme Madina'nın seçtiği yemeklerin çiftlerini noktalar ve birleştirin.

çay süt kompostosu

cheesecake kurabiye çörek

Şimdi satır sayısını sayalım. Bunlardan 9 tane var, bu da yemek seçmenin 9 yolu olduğu anlamına geliyor.

Görev.Seryozha, annesine doğum günü için bir buket çiçek (gül, lale veya karanfil) vermeye ve bunları bir vazoya veya sürahiye koymaya karar verdi. Bunu kaç farklı şekilde yapabilir?

Sizce kaç yol var? (3)

Neden? (3 renk)

Evet. Ama hâlâ var farklı yemekler: ya bir vazo ya da bir sürahi. Görevi grafiksel olarak tamamlamaya çalışalım.

vazo sürahisi

güller laleler karanfiller

Satırları sayın. Kaç tane var? (6)

Peki Seryozha'nın kaç yolu seçmesi gerekiyor? (6)

Ders özeti.

Bugün birçok sorunu çözdük. Ancak iş tamamlanmadı, devam etme arzusu var ve umarım bu, sözlü problemleri başarıyla çözmenize yardımcı olur.

Problem çözmenin yüzmek veya piyano çalmak gibi pratik bir sanat olduğunu biliyoruz. Bunu ancak iyi örnekleri taklit ederek ve sürekli pratik yaparak öğrenebilirsiniz.

Bunlar sorunların yalnızca en basitleridir; karmaşık olanlar ise gelecekteki çalışmaların konusu olmaya devam etmektedir. Ama hala çözebileceğimizden çok daha fazlası var. Ve eğer dersin sonunda "sayfaların arkasındaki" sorunları çözebilirseniz Eğitim materyali", o zaman görevimi tamamladığımı varsayabiliriz.

Matematik bilgisi belirli bir yaşam sorununu çözmeye yardımcı olur. Hayatta belirli sorunları düzenli olarak çözmeniz gerekecek, bunun için entelektüel yetenekleri geliştirmeniz gerekiyor, bu sayede iç potansiyel gelişiyor, durumu öngörme, tahminlerde bulunma, standart dışı kararlar verme yeteneği gelişiyor.

Dersi şu sözlerle bitirmek istiyorum: “İyi çözülmüş her matematik problemi zihinsel zevk verir.” (G.Hesse).

Buna katılıyor musun?

Ev ödevi .

Evde şu ödev verilecektir: Çözülmüş problemlerin metinlerini örnek olarak kullanarak, 8, 17, 26 numaralı problemleri üzerinde çalıştığımız yöntemleri kullanarak çözün.

Matematiksel anlamdaki benzerliğe ve farklı çözüm yöntemlerinin birbirinin yerine kullanılabilirliğine dayanarak, tüm aritmetik yöntemler aşağıdaki gruplarda birleştirilebilir:

• 1) birliğe indirgeme yöntemi, genel bir ölçüye indirgeme, birliğe ters indirgeme, ilişkiler yöntemi;
• 2) sorunları “sondan” çözmenin bir yolu;
• 3) bilinmeyenleri ortadan kaldırmak için bir yöntem (bir bilinmeyeni diğeriyle değiştirmek, bilinmeyenleri karşılaştırmak, verileri karşılaştırmak, iki koşulu çıkarma yoluyla karşılaştırmak, iki koşulu birde birleştirmek); tahmin etme yöntemi;
• 4) parçaların orantısal bölünmesi, benzerliği veya bulunması;
• 5) bir problemi diğerine dönüştürme yöntemi (karmaşık bir problemi basit, hazırlıklı olanlara ayırmak; bilinmeyenleri, ilişkilerinin bilindiği değerlere getirmek; bilinmeyen miktarlardan biri için keyfi bir sayı belirleme yöntemi).

Yukarıdaki yöntemlere ek olarak aritmetik ortalama yöntemini, fazlalık yöntemini, bilineni ve bilinmeyeni yeniden düzenleme yöntemini ve "yanlış" kurallar yöntemini de dikkate almanız önerilir.

Yöntemlerden hangisinin rasyonel olduğunu önceden belirlemek genellikle mümkün olmadığından, hangisinin öğrenci için en basit ve anlaşılır çözüme ulaştıracağını öngörmek için öğrencilere şu yöntemler tanıtılmalıdır: Farklı yollar ve onlara belirli bir sorunu çözerken hangisini kullanacaklarını seçme fırsatı verin.

Bilinmeyenleri hariç tutma yöntemi

Bu yöntem problemde birden fazla bilinmeyenin olduğu durumlarda kullanılır. Bu problem beş teknikten biri kullanılarak çözülebilir: 1) bir bilinmeyenin diğeriyle değiştirilmesi; 2) bilinmeyenlerin karşılaştırılması; 3) iki koşulun çıkarma yoluyla karşılaştırılması; 4) verilerin karşılaştırılması; 5) birkaç koşulu tek bir koşulda birleştirmek.

Listelenen tekniklerden birinin kullanılması sonucunda, birkaç bilinmeyen yerine bulunabilecek bir bilinmeyen kalır. Hesapladıktan sonra diğer bilinmeyenleri bulmak için bağımlılık durumundaki verileri kullanırlar.

Gelin bazı tekniklere daha yakından bakalım.

1. Bilinmeyeni diğeriyle değiştirmek

Tekniğin adı fikrini ortaya koyuyor: Problemin koşullarına göre verilen bağımlılıklara (katlı veya fark) dayanarak, tüm bilinmeyenleri bunlardan biri üzerinden ifade etmek gerekiyor.

Görev. Sergei ve Andrey'in yalnızca 126 pulu var. Sergei'nin Andrey'den 14 mark daha fazlası var. Her çocuğun kaç pulu vardı?

Durumun kısa açıklaması:

Sergey...? puan, 14 puan daha fazla

Andrey...? pullar

Toplam -- 126 pul

Çözüm 1.

• (daha büyük bir bilinmeyenin daha küçük bir bilinmeyenle değiştirilmesi)
• 1) Sergei'nin Andrey kadar pulu olsun. Daha sonra Toplam 126 puan olacaktır - 14 = 112 (puan).
• 2) Artık çocuklar aynı sayıda puana sahip olduğundan, Andrei'nin başlangıçta kaç puan aldığını bulacağız: 112: 2 = 56 (pullar).
• 3) Sergei'nin Andrey'den 14 puan fazla olduğunu düşünürsek, şunu elde ederiz: 56 + 14 = 70 (mark).

Çözüm 2.

• (daha küçük bir bilinmeyenin daha büyük bir bilinmeyenle değiştirilmesi)
• 1) Andrei'nin Sergei ile aynı sayıda pula sahip olmasına izin verin. O zaman toplam pul sayısı 126 + 14 = 140 (pul) olacaktır.
• 2) Artık çocukların puanları aynı olduğuna göre Sergei'nin ilk başta kaç puan aldığını bulalım: 140: 2 = 70 (puan).
• 3) Andrey'in Sergei'den 14 puan daha az olduğunu düşünürsek, şunu elde ederiz: 70 - 14 = 56 (puan).

Cevap: Sergei'nin 70 puanı, Andrey'in ise 56 puanı vardı.

İçin en iyi emilim Daha küçük bir bilinmeyeni daha büyük bir bilinmeyenle değiştirme yöntemini öğrenen öğrenciler, bunu düşünmeden önce öğrencilerle şu gerçeği bulmaları gerekir: A sayısı B sayısından C birimi kadar büyükse, o zaman karşılaştırmak için A ve B sayıları gereklidir:

• a) C sayısını A sayısından çıkarın (bu durumda her iki sayı da B sayısına eşit olur);
• b) C sayısını B sayısına ekleyin (bu durumda her iki sayı da A sayısına eşit olur).

Öğrencilerin daha büyük bir bilinmeyeni daha küçük bir bilinmeyenle değiştirme yeteneği (veya tam tersi), bir denklem oluştururken bilinmeyeni seçme ve diğer nicelikleri bunun aracılığıyla ifade etme yeteneğinin geliştirilmesine daha da katkıda bulunur.

2. Bilinmeyenlerin karşılaştırılması

Görev. Dört rafta 188 kitap vardı. İkinci rafta birinciye göre 16, üçüncüde ikinciye göre 8, dördüncüde ise üçüncü rafa göre 12 daha az kitap vardı. Her rafta kaç kitap var?

Görev Analizi

İçin daha iyi farkındalık Dört bilinmeyen miktar (her raftaki kitap sayısı) arasındaki bağımlılıklar için aşağıdaki diyagramı kullanırız:

BENCE_________________________________

II___________________________

III______________________________

IV__________________________ _ _ _ _ _

Her raftaki kitap sayısını şematik olarak gösteren bölümleri karşılaştırarak şu sonuçlara varıyoruz: İlk rafta ikinci raftan 16 kitap daha var; üçüncüde ikinciye göre 8 tane daha var; dördüncüde - 12 - 8 = 4 (kitap) ikinciden daha az. Bu nedenle her raftaki kitap sayısı karşılaştırılarak sorun çözülebilir. Bunun için birinci raftan 16 kitabı, üçüncü raftan 8 kitabı çıkarıp dördüncü rafa 4 kitap koyun. O zaman tüm raflarda aynı sayıda kitap olacak, yani ilk başta ikinci rafta olduğu gibi.

• 1) Problem analizinde anlatılan işlemlerden sonra tüm raflarda kaç kitap vardır?
• 188 -- 16 -- 8 + 4 = 168 (kitap)
• 2) İkinci rafta kaç kitap vardı?
• 168: 4 = 42 (kitaplar)
• 3) Birinci rafta kaç kitap vardı?
• 42 + 16 = 58 (kitaplar)
• 4) Üçüncü rafta kaç kitap vardı?
• 42 + 8 = 50 (kitaplar)
• 5) Dördüncü rafta kaç kitap vardı?
• 50 -- 12 = 38 (kitaplar)

Cevap: Dört rafın her birinde 58, 42, 50 ve 38 kitap vardı.

Yorum. Birinci, ikinci veya dördüncü raftaki bilinmeyen kitap sayısını karşılaştırarak öğrencileri bu sorunu başka yollarla çözmeye davet edebilirsiniz.

3. İki koşulun çıkarma yoluyla karşılaştırılması

Bu teknikle çözülen problemin planı genellikle iki orantılı nicelik içerir (malların miktarı ve maliyeti, işçi sayısı ve yaptıkları iş vb.). Koşul, bir miktarın iki değerini ve bunlarla orantılı iki farkı verir Sayısal değerler farklı bir boyutta.

Görev. 4 kg portakal ve 5 kg muz için 620 ruble ödediler, bir dahaki sefere aynı fiyata satın aldıkları 4 kg portakal ve 3 kg muz için 500 ruble ödediler. 1 kg portakal ve 1 kg muzun fiyatı ne kadardır?

Durumun kısa açıklaması:

• 4kg uygulaması. ve 5kg yasağı. - 620 ruble,
• 4kg uygulaması. ve 3kg yasağı. - 500 ovmak.

• 1) İki satın almanın maliyetini karşılaştıralım. Hem birinci hem de ikinci seferde aynı sayıda portakalı aynı fiyata satın aldılar. İlk defa daha fazla muz aldığımız için daha fazla para ödedik. İlk seferde kaç kilo daha muz satın alındığını bulalım: 5 -- 3 = 2 (kg).
• 2) İlk seferde ikinci sefere göre ne kadar daha fazla ödediğimizi öğrenelim (yani 2 kg muzun ne kadara mal olduğunu öğrenelim): 620 - 500 = 120 (rub.).
• 3) 1 kg muzun fiyatını bulun: 120: 2 = 60 (rub.).
• 4) Birinci ve ikinci alımların maliyetini bildiğimizde 1 kg portakalın fiyatını bulabiliriz. Bunu yapmak için önce satın alınan muzun maliyetini, ardından portakalın maliyetini ve ardından 1 kg fiyatını bulmanız gerekir. Elimizde: (620 -- 60*5) : 4 = 80 (ovma).

Cevap: 1 kg portakalın fiyatı 80 ruble, 1 kg muzun fiyatı 60 ruble.

4. Veri karşılaştırması

Başvuru bu teknik Verileri karşılaştırmayı ve çıkarma yöntemini uygulamayı mümkün kılar. Veri değerlerini karşılaştırabilirsiniz:

• 1) çarpmayı kullanmak (en küçük ortak katlarla karşılaştırmak);
• 2) bölmeyi kullanmak (bunları en büyüklerle karşılaştırmak) ortak bölen).

Bunu bir örnekle gösterelim.

Görev. 4 kg portakal ve 5 kg muz için 620 ruble ödediler, bir dahaki sefere aynı fiyata satın aldıkları 6 kg portakal ve 3 kg muz için 660 ruble ödediler. 1 kg portakal ve 1 kg muzun fiyatı ne kadardır?

Durumun kısa açıklaması:

• 4kg uygulaması. ve 5kg yasağı. - 620 ruble,
• 6 kg uygulama. ve 3kg yasağı. - 660 ovmak.

Portakal ve muz sayısını en küçük ortak katla karşılaştırarak eşitleyelim: LCM(4;6) = 12.

Çözüm1.

• 1) Satın alınan meyve sayısını ve maliyetini ilk durumda 3 kat, ikincisinde ise 2 kat artıralım. Durumun aşağıdaki kısa ifadesini alıyoruz:
• 12 kg uygulama. ve 15kg yasağı. - 1860 ruble,
• 12 kg uygulama. ve 6kg yasağı. - 1320 ovmak.
• 2) İlk seferde kaç tane daha muz aldığınızı bulun: 15-6 = 9 (kg).
• 3) 9 kg muzun fiyatı ne kadardır? 1860 -- 1320 = 540 (ovma).
• 4) 1 kg muzun fiyatını bulun: 540: 9 = 60 (ovmak).
• 5) 3 kg muzun maliyetini bulun: 60 * 3 = 180 (ovmak).
• 6) 6 kg portakalın maliyetini bulun: 660 -- 180 = 480 (ovmak).
• 7) 1 kg portakalın fiyatını bulun: 480: 6 = 80 (ovmak).

Çözüm2.

Portakal ve muz sayısını en büyük ortak bölenle karşılaştırarak eşitleyelim: OBEB (4; 6) = 2.

• 1) İlk kez ve ikinci kez satın alınan portakal sayısını eşitlemek için, satın alınan ürünün miktarını ve maliyetini ilk durumda 2 kat, ikincisinde 3 kat azaltıyoruz. Koşulun aşağıdaki kısa biçimine sahip bir problem elde edelim:
• 2 kg uygulama. ve 2,5 kg yasağı. - 310 ruble,
• 2 kg uygulama. ve 1kg yasağı. - 220 ovmak.
• 2) Şimdi kaç tane daha muz alıyorlar: 2,5 -- 1 = 1,5 (kg).
• 3) 1,5 kg muzun maliyetini bulalım: 310 -- 220 = 90 (ovmak).
• 4) 1 kg muzun fiyatını bulun: 90: 1,5 = 60 (ovmak).
• 5) 1 kg portakalın fiyatını bulunuz: (660 -- 60*3) : 6 = 80 (ovmak).

Cevap: 1 kg portakalın fiyatı 80 ruble, 1 kg muzun fiyatı 60 ruble.

Verileri karşılaştırma tekniğini kullanarak problem çözerken bu kadar detaylı analiz ve kayıt yapamazsınız, sadece karşılaştırma amacıyla yapılan değişiklikleri kaydedip tablo halinde yazabilirsiniz.

5. Birkaç koşulu tek bir koşulda birleştirmek

Bazen birkaç koşulu tek bir koşulda birleştirerek gereksiz bilinmeyenlerden kurtulabilirsiniz.

Görev. Turistler kamptan ayrılarak önce 4 saat yürüdüler, ardından 4 saat daha bisiklete binerek belli bir sabit hızla kamptan 60 km uzaklaştılar. İkinci seferde kamptan ayrılıp önce 7 saat aynı hızda bisiklet sürdükten sonra ters yöne dönerek 4 saat yürüyerek kendilerini kamptan 50 km uzakta buldular. Turistler bisikletlerini ne kadar hızlı sürdüler?

Sorunda iki bilinmeyen var: Turistlerin bisiklete binme hızı ve yürüme hızı. Bunlardan birini hariç tutmak için iki koşulu tek bir koşulda birleştirebilirsiniz. O halde turistlerin ilk seferde yürüyerek 4 saatte kat edecekleri mesafe, ikinci seferde yürüyerek 4 saatte kat ettikleri mesafeye eşittir. Bu nedenle bu mesafelere dikkat etmiyoruz. Bu da turistlerin bisikletle 4 + 7 = 11 (saat) sürede kat edeceği mesafenin 50 + 60 = 110 (km) olacağı anlamına geliyor.

Bu durumda turistlerin bisikletli hızı: 110: 11 = 10 (km/saat) olur.

Cevap: Bisikletin hızı 10 km/saattir.

6. Varsayım yöntemi

Problem çözerken varsayım yöntemini kullanmak çoğu öğrenci için zorluk yaratmaz. Bu nedenle, öğrencilerin bu yöntemin adımlarının şemasını mekanik olarak ezberlemelerini ve her birinde gerçekleştirilen eylemlerin özünü yanlış anlamalarını önlemek için, öğrencilere öncelikle deneme yöntemi (“yanlış kural” ve “antik Babillilerin kuralı”) gösterilmelidir.

Örnekleme yöntemini, özellikle de "yanlış kuralı" kullanırken, bilinmeyen miktarlardan birine belirli bir değer verilir ("izin verilir"). Daha sonra tüm koşulları kullanarak başka bir miktarın değerini bulurlar. Ortaya çıkan değer, koşulda belirtilen değere göre kontrol edilir. Ortaya çıkan değer koşulda verilen değerden farklı ise ilk belirtilen değer doğru değildir ve 1 artırılıp azaltılmalı ve yine başka bir değerin değeri bulunmalıdır. Bu, problem ifadesindeki gibi başka bir miktarın değerini elde edene kadar yapılmalıdır.

Görev. Kasiyerin 50 kopek ve 10 kopek olmak üzere toplam 21 rubleden oluşan 50 madeni parası var. Kasiyerin kaç ayrı 50 bin jetonu olduğunu bulun. ve her biri 10 bin.

Çözüm1. (örnekleme yöntemi)

“Eski” Babillilerin kuralını kullanalım. Kasiyerin her mezhepten eşit sayıda, yani her biri 25 adet madeni paraya sahip olduğunu varsayalım. O zaman para miktarı 50*25 + 10*25 = 1250+250=1500 (k.) veya 15 ruble olacaktır. Ancak bu durumda 21 ruble, yani alınandan 21 UAH daha fazla - 15 ruble = 6 ruble. Bu, toplam 21 ruble elde edene kadar 50 kopeklik madeni para sayısını artırmak ve 10 kopeklik madeni para sayısını azaltmak gerektiği anlamına gelir. Coin sayısındaki ve toplam tutardaki değişimi tabloya kaydedeceğiz.

Madeni para sayısı	Madeni para sayısı	Para miktarı	Para miktarı	toplam tutar	Duruma göre daha az veya daha fazla
					6 rubleden az.
					5 ruble60 binden az
					Durumunda olduğu gibi

Tablodan da anlaşılacağı üzere kasiyerin elinde 40 adet 50 kopeklik ve 10 adet 10 kopeklik madeni para vardı.

Çözüm 1'de ortaya çıktığı gibi, kasiyerin eşit sayıda 50 bin jetonu varsa. ve her biri 10 bin, toplamda 15 ruble parası vardı. Her jeton değişiminin 10 bin olduğunu görmek kolaydır. jeton başına 50k. toplam tutarı 40 bin artırır. Bu, bu tür değiştirmelerin kaç tane yapılması gerektiğini bulmamız gerektiği anlamına gelir.Bunu yapmak için önce toplam tutarı artırmak için ne kadar paraya ihtiyacımız olduğunu bulalım:

21 ruble - 15 ruble. = 6 ovmak. = 600 k.

Böyle bir yer değiştirmenin kaç kez yapılması gerektiğini bulalım: 600 bin : 40 bin = 15.

O zaman 50 kopek 25 +15 = 40 (madeni para) olacak ve 10 kopek madeni para 25 - 15 = 10 olarak kalacak.

Çek, bu durumda toplam para miktarının 21 ruble olduğunu doğruluyor.

Cevap: Kasiyerin elinde 50 kopeklik 40 jeton ve 10 kopeklik 10 jeton vardı.

Öğrencilerden kendilerinin seçim yapmalarını isteyerek Farklı anlamlar 50 kopeklik madeni para sayısı, rasyonellik açısından en iyisinin kasiyerin yalnızca bir mezhepten madeni paraya sahip olduğu varsayımı olduğu fikrine getirmek gerekir (örneğin, 50 kopeklik 50 madeni paranın tamamı veya hepsi Her biri 10 kopeklik 50 jeton). Bu nedenle bilinmeyenlerden biri çıkarılıp yerine başka bir bilinmeyen getirilmektedir.

7. Kalıntı yöntemi

Bu yöntemin, problemleri deneme ve tahmin yöntemlerini kullanarak çözerken düşünmeyle bazı benzerlikleri vardır. Bir yönde hareket içeren problemleri çözerken, yani daha yüksek bir hızla geride hareket eden ilk nesnenin, ikinci nesneye yetişeceği süreyi bulmak gerektiğinde, kalanlar yöntemini kullanırız. daha düşük bir hız. 1 saat içinde, birinci nesne ikinciye hızları arasındaki farka eşit, yani ikincinin hızına göre sahip olduğu hızın "kalanına" eşit bir mesafede yaklaşır. Hareketin başlangıcında ilk cismin kendisi ile ikincisi arasındaki mesafeyi kat etmesi için geçen süreyi bulmak için “geriye kalanın” bu mesafeye kaç kez yerleştirildiğini belirlemelisiniz.

Eğer olay örgüsünden soyutlarsak ve problemin sadece matematiksel yapısını dikkate alırsak, o zaman iki faktörden (her iki nesnenin hareket hızı) veya bu faktörler ile iki ürün arasındaki farktan (kat ettikleri mesafeler) veya bunların farklarından söz edilir. Bilinmeyen faktörler (zaman) aynıdır ve bulunması gerekir. Matematiksel açıdan bakıldığında bilinmeyen faktör, bilinen faktörler arasındaki farkın ne kadarının çarpımların farklılığında yer aldığını gösterir. Bu nedenle kalanlar yöntemi kullanılarak çözülen problemlere iki farkla sayıları bulma problemleri denir.

Görev. Öğrenciler tatile ait fotoğrafları bir albüme yapıştırmaya karar verdiler. Her sayfaya 4 fotoğraf yapıştırırlarsa albümde 20 fotoğrafa yer kalmaz. Her sayfaya 6 fotoğraf yapıştırırsanız 5 sayfa boş kalacaktır. Öğrenciler albüme kaç fotoğraf koyacak?

Görev Analizi

Birinci ve ikinci yapıştırma seçenekleri için fotoğraf sayısı aynı kalır. Sorunun durumuna göre bilinmemekle birlikte bir sayfaya yerleştirilen fotoğraf sayısı ve albümdeki sayfa sayısı bilinirse bulunabilir.

Bir sayfaya yapıştırılan fotoğraf sayısı bilinmektedir (birinci çarpan). Albümdeki sayfa sayısı bilinmiyor ve değişmeden kalıyor (ikinci çarpan). Albümün 5 sayfasının ikinci kez boş kaldığı bilindiğine göre albüme kaç fotoğraf daha yapıştırılabileceğini şu şekilde bulabilirsiniz: 6 * 5 = 30 (fotoğraf).

Yani bir sayfadaki fotoğraf sayısı 6 - 4 = 2 artırıldığında yapıştırılan fotoğraf sayısı 20 + 30 = 50 artar.

İkinci kez her sayfaya iki fotoğraf daha yapıştırdıkları ve toplamda 50 fotoğraf daha yapıştırdıkları için albümdeki sayfa sayısını buluruz: 50: 2 = 25 (sayfa).

Yani toplamda 4*25 + 20 = 120 (fotoğraf) vardı.

Cevap: Albümde 25 sayfa ve 120 fotoğraf vardı.

Aritmetik yöntemi kullanarak problemlerin çözümüne ilişkin genel notlar.

Eylemlerin sonuçlarına göre bilinmeyenleri bulma sorunları.

Orantılı bölme problemleri.

Yüzde ve parça içeren problemler.

Sorunlar tersine çözüldü.

1. Aritmetik yöntem, sözlü problemlerin çözümünde ana yöntemdir. ilkokul. Aynı zamanda ortaöğretim okullarının orta düzeyinde de uygulamasını bulur. Bu yöntem, bir görev üzerinde çalışmanın her aşamasının önemini ve önemini daha iyi anlamanızı ve takdir etmenizi sağlar.

Bazı durumlarda aritmetik yöntemi kullanarak bir problemi çözmek diğer yöntemleri kullanmaktan çok daha basittir.

Sadeliği ve erişilebilirliğiyle büyüleyici olan aritmetik yöntem aynı zamanda oldukça karmaşıktır ve bu yöntemi kullanarak problem çözme tekniklerine hakim olmak ciddi ve özenli bir çalışma gerektirir. Sorun türlerinin çok çeşitli olması, sorunları analiz etme ve bunları çözmenin yollarını bulma konusunda evrensel bir yaklaşım oluşturmamıza izin vermez: sorunlar, tek bir grupta birleştirilse bile, tamamen farklı çözüm yollarına sahiptir.

2 . Üzerindeki görevlere bilinmeyenleri farklarına ve oranlarına göre bulma Bunlar, belirli bir miktarın iki değerinin bilinen farkını ve bölümünü kullanarak bu değerleri bulmanın gerekli olduğu problemleri içerir.

Cebirsel model:

Cevap şu formüller kullanılarak bulunur: X= ak/(k – 1), y = a/(k – 1).

Örnek. Hızlı trenin ayrılmış koltuklu vagonlarında kompartımanlı vagonlara göre 432 daha fazla yolcu bulunmaktadır. Kompartımanlı vagonlarda ayrılmış koltuklu vagonlara göre 4 kat daha az yolcu varsa, ayrılmış koltuklu ve kompartımanlı vagonlarda ayrı ayrı kaç yolcu vardır?

Çözüm. Problemin grafiksel modeli Şekil 2'de sunulmaktadır. 4.

Pirinç. 4

Kompartımanlı vagonlarda yolcu sayısını 1 kısım olarak alacağız. Daha sonra ayrılmış koltuklu araçlarda yolcu başına kaç parça olduğunu ve ardından 432 yolcu başına kaç parça olduğunu bulabilirsiniz. Bundan sonra 1 parçayı (bölmeli vagonlarda bulunan) oluşturan yolcu sayısını belirleyebilirsiniz. Ayrılmış koltuklu vagonlarda 4 kat daha fazla yolcu bulunduğunu bildiğimiz için sayısını bulabiliriz.

1  4 = 4 (saat) – ayrılmış koltuklu vagonlardaki yolcuları hesaplar;

4 – 1 = 3 (h.) – ayrılmış koltuktaki ve kompartımanlı vagonlardaki yolcu sayısı arasındaki farkı açıklar;

432: 3 = 144 (s.) – bölmeli arabalarda;

144  4 = 576 (s.) – ayrılmış koltuklu arabalarda.

Bu sorun başka bir şekilde çözülerek doğrulanabilir:

1  4 = 4(h);

4 – 1 = 3 (h);

432: 3 = 144 (s.);

144 + 432 = 576 (s.).

Cevap: Kompartımanlı vagonlarda 144, ayrılmış koltuklu vagonlarda 576 yolcu bulunmaktadır.

Üzerindeki görevlere iki veya iki kalıntıdan bilinmeyenleri bulma farklılıklar, bir büyüklüğün iki değerinin ve başka bir büyüklüğün karşılık gelen değerlerinin farkının bilindiği ve bunun değerlerinin bulunmasının gerekli olduğu iki doğrudan veya ters orantılı büyüklüğün dikkate alındığı problemleri içerir. miktar kendileri.

Cebirsel model:

Cevaplar aşağıdaki formüller kullanılarak bulunur:

Örnek.İki tren aynı hızda seyahat etti - biri 837 km, diğeri 248 km ve ilki ikincisinden 19 saat daha uzun süre yolda kaldı. Her tren kaç saat yolculuk yaptı?

Çözüm. Sorunun grafiksel modeli Şekil 5'te sunulmaktadır.

Pirinç. 5

Sorunun cevabını verebilmek için şu veya bu tren kaç saat yolda kaldı, kat ettiği mesafeyi ve hızını bilmeniz gerekiyor. Mesafe durumda belirtilir. Hızı bulmak için mesafeyi ve bu mesafenin kat edildiği süreyi bilmeniz gerekir. Şart, ilk trenin 19 saat daha uzun sürdüğünü ve bu süre zarfında kat ettiği mesafenin bulunabileceğini söylüyor. Fazladan 19 saat boyunca yürüdü; açıkçası bu süre zarfında fazladan bir mesafe de kat etti.

837 – 248 = 589 (km) – ilk tren şu kadar kilometre daha fazla yol kat etti;

589: 19 = 31 (km/saat) – ilk trenin hızı;

837: 31 = 27 (saat) – ilk tren yola çıkmıştı;

4) 248: 31 = 8 (saat) – ikinci tren yola çıktı.

Sorunu çözerken elde edilen verilerle sayılar arasında bir yazışma kurarak sorunun çözümünü kontrol edelim.

Her trenin ne kadar süre yolda kaldığını bulduktan sonra, ilk trenin ikinciden kaç saat daha fazla yolda olduğunu bulacağız: 27 – 8 = 19 (saat). Bu sayı, durumdaki sayıyla eşleşiyor. Bu nedenle sorun doğru bir şekilde çözüldü.

Bu sorun başka bir şekilde çözülerek doğrulanabilir. Dört sorunun tümü ve ilk üç eylem aynı kalır.

4) 27 –19 = 8 (saat).

Cevap: İlk trenin yolculuğu 31 saat sürdü, ikinci trenin yolculuğu ise 8 saat sürdü.

Çiftler halinde alınan bu bilinmeyenlerin üç toplamından üç bilinmeyeni bulma problemleri:

Cebirsel model:

Cevap şu formüller kullanılarak bulunur:

x =(A -B + c)/2, y = (bir +B – c)/2, z = (B + İle -A)/ 2.

Örnek.İngilizce ve Alman dilleri 116 okul çocuğu Almanca okuyor ve İspanyolca dilleri 46 öğrenci eğitim görüyor, 90 öğrenci ise İngilizce ve İspanyolca öğreniyor. Her öğrencinin yalnızca bir dil öğrendiği biliniyorsa kaç öğrenci İngilizce, Almanca ve İspanyolca'yı ayrı ayrı öğreniyor?

Çözüm. Sorunun grafiksel modeli Şekil 6'da sunulmaktadır.

Her dili kaç öğrenci öğreniyor?

Sorunun grafiksel modeli şunu göstermektedir: Koşulda verilen okul çocuk sayısını toplarsak (116 + 90 + 46), İngilizce, Almanca ve İspanyolca okuyan okul çocuklarının sayısını iki katına çıkarırız. Bunu ikiye bölerek toplam okul sayısını buluyoruz. İngilizce okuyan okul çocuklarının sayısını bulmak için, bu sayıdan Almanca ve İspanyolca okuyan okul çocuklarının sayısını çıkarmak yeterlidir. Benzer şekilde, kalan gerekli sayıları da buluyoruz.

Açıklamalarla birlikte eylemlere ilişkin kararı yazalım:

116 + 90 + 46 = 252 (okul çocukları) – dil öğrenen okul çocuklarının sayısının iki katı;

252: 2 = 126 (okul) – dil öğrenimi;

126 – 46 = 80 (okul) – İngilizce çalış;

126 – 90 = 36 (okul) – Almanca öğrenin;

126 – 116 = 10 (okul) – İspanyolca öğrenin.

Bu sorun başka bir şekilde çözülerek doğrulanabilir.

116 – 46 = 70 (okul) – okul çağındaki çocukların çoğu İspanyolca'dan çok İngilizce öğreniyor;

90 + 70 = 160 (okul çocukları) – İngilizce okuyan okul çocuklarının sayısının iki katı;

160: 2 = 80 (okul) – İngilizce öğren;

90 – 80 = 10 (okul) – İspanyolca öğrenin;

116 – 80 = 36 (okul) – Almanca öğrenin.

Cevap: 80 okul çocuğu İngilizce, 36 okul çocuğu Almanca ve 10 okul çocuğu İspanyolca öğreniyor.

3. Orantılı bölme problemleri, belirli bir miktarın belirli bir değerinin, verilen sayılarla orantılı parçalara bölünmesinin gerekli olduğu problemleri içerir. Bazılarında parçalar açık bir şekilde sunulurken bazılarında ise bu miktarın değerlerinden biri bir parça alınarak diğer değerleriyle bu parçalardan kaç tanesinin muhasebeleştirildiği belirlenerek bu parçaların ayırt edilmesi gerekir.

Beş tür orantısal bölme problemi vardır.

1) Bir sayıyı doğrudan parçalara bölmeyi içeren problemlerbir dizi tam veya kesirli sayıyla orantılı

Görevlere bu türden sayının olduğu görevleri dahil edin A X 1, X 2 , x3 , ..., X N sayılarla doğru orantılı A 1 , A 2 , A 3 , ..., A N .

Cebirsel model:

Cevap şu formüller kullanılarak bulunur:

Örnek. Seyahat şirketinin aynı kapasitede binalara sahip dört rekreasyon merkezi bulunmaktadır. 1. rekreasyon merkezinin topraklarında 6 bina, 2. - 4 bina, 3. - 5 bina, 4. - 7 bina bulunmaktadır. Eğer 4 üssün tamamı 2.112 kişiyi barındırabiliyorsa, her bir üs kaç kampçıyı barındırabilir?

Çözüm. Görevin bir özeti Şekil 7'de gösterilmektedir.

Pirinç. 7

Her bir üsse kaç tatilcinin yerleştirilebileceği sorununu cevaplamak için, bir binada kaç tatilcinin barındırılabileceğini ve her üssün topraklarında kaç binanın bulunduğunu bilmeniz gerekir. Her bir temeldeki bina sayısı koşulda verilmiştir. Bir binada kaç tatilcinin barındırılabileceğini öğrenmek için, 4 üssün tamamında kaç tatilcinin barındırılabileceğini (bu durumda verilmiştir) ve 4 üssün tamamında kaç binanın bulunduğunu bilmeniz gerekir. İkincisi, her bir üssün topraklarında kaç tane binanın bulunduğunu durumdan öğrenerek belirlenebilir.

Açıklamalarla birlikte eylemlere ilişkin kararı yazalım:

6 + 4 + 5 + 7 = 22 (k.) – 4 üssün topraklarında bulunur;

2112: 22 = 96 (saat) – tek bir binaya yerleştirilebilir;

96  6 = 576 (h) – birinci tabana yerleştirilebilir;

96  4 = 384 (h) – ikinci tabana yerleştirilebilir;

96  5 = 480 (h) – üçüncü tabana yerleştirilebilir;

96  7 = 672 (h) – dördüncü tabana yerleştirilebilir.

Muayene. 4 üste kaç tatilcinin konaklayabileceğini hesaplıyoruz: 576 + 384 + 480 + 672 = 2.112 (saat). Görev koşullarında herhangi bir tutarsızlık yoktur. Sorun doğru bir şekilde çözüldü.

Cevap: İlk üs 576 tatilciyi, ikinci - 384 tatilciyi, üçüncü - 480 tatilciyi, dördüncü - 672 tatilciyi ağırlayabilir.

2) Bir sayıyı, bir dizi tam sayı veya kesirle ters orantılı parçalara bölmeyi içeren problemler

Bunlar, sayının olduğu görevleri içerir. A(belirli bir miktarın değeri) parçalara bölünmesi gerekiyor X 1 Ben , X 2 , X 3 Ben , ..., X" sayılarla ters orantılı A 1b A 2 , A 3 ,..., A N .

Cebirsel model:

veya

X 1 : X 2 :X 3 :...:х = A 2 A 3 ...A N :A 1 A 3 ...A P :A 1 A 2 A 4 ...A N :...:A 1 A 2 ...A N -1

Cevap şu formüller kullanılarak bulunur:

Nerede S = A 2 A 3 ...bir" +A ben A Ben ... A N + bir ] A 2 A 4 ...A N + ... + bir 1 A 2 ...A N -1.

Örnek. Dört ay boyunca kürk çiftliğinin kürk satışından elde ettiği gelir 1.925.000 ruble oldu ve alınan para aylara göre 2, 3, 5, 4 sayılarıyla ters orantılı olarak dağıtıldı. Çiftliğin her ay ayrı ayrı geliri nedir?

Çözüm. Koşulda belirtilen geliri belirlemek için dört aylık toplam gelir yani gerekli dört rakamın toplamı ve gerekli rakamlar arasındaki ilişki verilir. Gerekli gelir 2, 3, 5, 4 sayılarıyla ters orantılıdır.

Haydi belirtelim sırasıyla x yoluyla gerekli gelirler, X 2 , X 3 , X 4 . Daha sonra problem Şekil 8'de gösterildiği gibi kısaca yazılabilir.

Pirinç. 8

Gerekli sayıların her biri başına parça sayısını bildiğimizden, toplamlarının içerdiği parça sayısını bulacağız. Dört ay boyunca verilen toplam gelire göre yani gerekli sayıların toplamına ve bu miktarın içerdiği parça sayısına göre bir parçanın değerini, ardından gerekli geliri buluyoruz.

Açıklamalarla birlikte eylemlere ilişkin kararı yazalım:

1. Gerekli gelirler 2, 3, 5, 4 sayılarıyla ters orantılıdır yani ters sayılarla doğru orantılıdır yani ilişkiler vardır . Kesirli sayılardaki bu oranları tam sayı oranlarıyla değiştirelim:

2. Bunu bilmek X 30 eşit parçadan oluşur X 2 – 20, X 3 – 12, X 4 – 15, toplamlarının kaç parçadan oluştuğunu bulalım:

30 + 20 + 12+ 15 = 77 (saat).

3. Bir kısım için kaç ruble var?

1.925.000: 77 = 25.000 (r.).

4. Çiftliğin ilk aydaki geliri nedir?

25.000 30 = 750.000 (r.).

5. İkinci aydaki çiftliğin geliri nedir?

25.000 20 = 500.000 (r.).

6. Üçüncü ayda çiftliğin geliri nedir?

25.000–12 = 300.000 (r.).

7. Dördüncü ayda çiftliğin geliri nedir?

25.000–15 = 375.000 (r.).

Cevap: İlk ayda çiftliğin geliri 750.000 ruble, ikinci ayda 500.000 ruble, üçüncü ayda 300.000 ruble, dördüncü ayda ise 375.000 ruble oldu.

3) Her bir gerekli sayı çifti için ayrı oranlar verildiğinde, bir sayıyı parçalara bölmeyi içeren problemler

Bu tür problemler, sayının olduğu görevleri içerir. A(belirli bir miktarın değeri) x 1 parçaya bölünmelidir, X 2 , x 3, ..., X", gerekli sayılar için çiftler halinde alınan bir dizi ilişki verildiğinde. Cebirsel model:

x 1: X 2 = bir 1 : B 1, X 2 : X 3 = bir 2 : B 2, x 3 : X 4 = bir 3 : B 3 , ..., X n-1 : X N = bir N -1 : B n-1 .

n = 4. Cebirsel model:

X X :X 2 = bir 1 : B 1, X 2 :X 3= A 2 : B 2, X 3 : X 4 = a 3: B 3 .

Bu yüzden, X 1: X 2 :x3: X 4 = A 1 A 2 A 3 : B 1 A 2 A 3 : B 1 B 2 A 3 : B 1 B 2 B 3 .

Nerede S = A 1 A 2 A 3 + B 1 A G A 3 + B 1 B 2 A 3 + B 1 B 2 B 3

Örnek.Üç şehrin 168.000 nüfusu var. Birinci ve ikinci şehirlerde yaşayanların sayısı orantılıdır ve ikinci ve üçüncü şehirler – ile ilgili olarak. Her şehirde kaç kişi yaşıyor?

Çözüm. Buna göre gerekli nüfus sayılarını şu şekilde belirtelim: X 1 , X 2 , X 3 . Daha sonra problem Şekil 9'da gösterildiği gibi kısaca yazılabilir.

Pirinç. 9

Sakinlerin sayısını belirlemek için, üç şehirdeki sakinlerin sayısı, yani gerekli üç sayının toplamı ve gerekli sayılar arasındaki bireysel ilişkiler verilir. Bu ilişkileri bir dizi ilişkiyle değiştirerek, üç şehrin sakinlerinin sayısını eşit olarak ifade ediyoruz. Gerekli sayıların her biri başına parça sayısını bildiğimizden, toplamlarının içerdiği parça sayısını bulacağız. Üç şehirde verilen toplam sakin sayısından, yani gerekli sayıların toplamından ve bu toplamın içerdiği parça sayısından, bir parçanın büyüklüğünü ve ardından gerekli sakin sayısını buluyoruz.

Eylemlere ilişkin kararı açıklamalarıyla birlikte yazalım.

1. Kesirli sayıların oranını tam sayıların oranıyla değiştirin:

İkinci şehrin sakinlerinin sayısını 15 (3 ve 5 sayılarının en küçük ortak katı) ile eşleştiriyoruz.

Ortaya çıkan ilişkileri buna göre değiştiriyoruz:

X 1: X 2 = 4: 3 = (4-5): (3-5) = 20: 15, x 2: x 3 = 5: 7 = (5-3): (7-3) = 15: 21.

Bireysel ilişkilerden bir dizi ilişki yaratırız:

X 1: X 2 : X 3 = 20: 15: 21.

2. 20 + 15 + 21 = 56 (h) – 168.000 sayısı şu kadar eşit parçaya karşılık gelir;

3. 168.000: 56 = 3.000 (f.) – parça başına;

4. 3.000 20 = 60.000 (f.) – birinci şehirde;

5. 3.000 15 = 45.000 (f.) – ikinci şehirde;

3.000 21 = 63.000 (f.) - üçüncü şehirde.

Cevap: 60.000 nüfus; 45.000 nüfus; 63.000 nüfus.

4) Bir sayıyı iki, üç vb. sayı satırlarıyla orantılı parçalara bölmeyi içeren problemler

Bu tür problemler arasında sayıların çok olduğu problemler yer almaktadır. A(belirli bir miktarın değeri) parçalara bölünmesi gerekiyor X 1, X 2 , X 3 ,..., X N iki, üç, ..., ile orantılı N sayı satırları.

Sorunun çözümüne yönelik formüllerin hantallığı nedeniyle Genel görünümÖzel bir durumu ele alalım n = 3 ve N = 2.İzin vermek X 1 X 2 , X 3 sayılarla doğru orantılı A 1 , A 2 , A 3 ve sayılarla ters orantılı B 1 , B 2 , B 3 .

Cebirsel model:

(bu paragrafın 1. paragrafına bakınız),

Örnek.İki işçi 1.800 ruble aldı. Biri 3 gün 8 saat, diğeri 6 gün 6 saat çalıştı, 1 saatlik çalışma karşılığında eşit ücret aldıklarında her biri ne kadar kazandı?

Çözüm. Görevin özeti Şekil 10'da gösterilmektedir.

Pirinç.10

Her işçinin ne kadar aldığını öğrenmek için 1 saatlik çalışma için kaç ruble ödendiğini ve her işçinin kaç saat çalıştığını bilmeniz gerekir. 1 saatlik çalışma için kaç ruble ödediklerini öğrenmek için, işin tamamı için ne kadar ödediklerini (koşulda belirtilen) ve her iki işçinin birlikte kaç saat çalıştığını bilmeniz gerekir. Toplam kaç saat çalışıldığını öğrenmek için her bir kişinin kaç saat çalıştığını bilmeniz gerekir, bunun için de her bir kişinin kaç gün çalıştığını ve günde kaç saat çalıştığını bilmeniz gerekir. Bu veriler duruma dahildir.

Açıklamalarla birlikte eylemlere ilişkin kararı yazalım:

8  3 = 24 (saat) – ilk işçi çalıştı;

6  6 = 36 (saat) – ikinci işçi çalıştı;

24 + 36 = 60 (saat) – her iki işçi birlikte çalıştı;

1800: 60 = 30 (r.) – 1 saatlik çalışma karşılığında alınan işçiler;

30  24 = 720 (r.) – ilk işçi tarafından kazanılır;

30  36 = 1080 (r.) - ikinci işçi tarafından kazanılır. Cevap: 720 ovmak; 1080 ovmak.

5) Birden fazla sayıyı bulmada problemlerilişkilerine ve toplamına veya farkına göre (bazılarının toplamı veya farkı)

Örnek. Okul yönetimi oyun alanı, sera ve spor salonu ekipmanlarına 49.000 ruble harcadı. Oyun alanı ekipmanı seraların yarısı kadar, seralar ise 3 kat daha ucuz spor salonu ve oyun alanı birlikte. Bu tesislerin her biri için ekipmana ne kadar para harcandı?

Çözüm. Görevin özeti Şekil 11'de gösterilmektedir.

Pirinç. on bir

Her bir nesnenin ekipmanına harcanan para miktarını bulmak için, harcanan tüm paranın kaç kısmının her bir nesnenin ekipmanına harcandığını ve her parça için kaç ruble olduğunu bilmeniz gerekir. Her bir nesnenin ekipmanına harcanan paranın parça sayısı, sorunun koşullarına göre belirlenir. Her nesnenin ekipmanı için parça sayısını ayrı ayrı belirledikten sonra toplamlarını bulduktan sonra bir parçanın değerini (ruble cinsinden) hesaplıyoruz.

Eylemlere ilişkin kararı açıklamalarıyla birlikte yazalım.

Oyun alanı ekipmanına harcanan paranın 1 kısmı olarak alıyoruz. Koşula göre sera ekipmanlarına 2 kat daha fazla harcama yapıldı yani 1  2 = 2 (h); Oyun alanı ve spor salonu ekipmanına seraya göre 3 kat daha fazla harcama yapıldı, yani 2  3 = 6 (saat), dolayısıyla spor salonu ekipmanına 6 – 1 = 5 (saat) harcandı.

1 kısım oyun alanı ekipmanlarına, 2 kısım seralara ve 5 kısım spor salonuna harcandı. Tüketimin tamamı 1 + 2 + + 5 = 8 (saat) idi.

8 kısım 49.000 rubleye eşittir, bir kısım bu miktardan 8 kat daha azdır: 49.000: 8 = 6.125 (rub.). Sonuç olarak oyun alanı ekipmanına 6.125 ruble harcandı.

Sera ekipmanlarına iki kat daha fazla harcama yapıldı: 6.125  2 = 12.250 (r.).

Spor salonunun ekipmanına 5 parça harcandı: 6.125  5 = 30.625 (r.).

Cevap: 6.125 ruble; 12.250 RUB; 30.625 rupi

6) Bilinmeyenlerden birini hariç tutma problemleri

Bu gruptaki problemler, tekrarlayan iki faktöre sahip iki çarpımın toplamlarının verildiği ve bu faktörlerin değerlerinin bulunmasının gerekli olduğu problemleri içerir. Cebirsel model

Cevap şu formüller kullanılarak bulunur:

Bu problemler, verileri eşitleme yöntemi, verileri ve gerekli olanları eşitleme yöntemi, verileri değiştirme yöntemi ve ayrıca “varsayım” yöntemi olarak adlandırılan yöntemle çözülür.

Örnek. Bir hazır giyim fabrikasında 24 ceket ve 45 takım elbise 204 m, 24 ceket ve 30 takım elbise 162 m kumaş kullandı.Bir takım elbise için ne kadar kumaş, bir kat için ne kadar kumaş kullanılıyor?

Çözüm. Sorunu veri ayarlama yöntemini kullanarak çözelim. Görevin kısa açıklaması.

Kowtowed Maria, Lyudmila Bryantseva

Çalışma, sözlü problemleri çözmenin yollarını gösteriyor.

İndirmek:

Ön izleme:

Belediye Eğitim kurumu ortalama Kapsamlı okul 64 Volgograd

Şehir eğitim ve araştırma çalışmaları yarışması

Adını "Ben ve Dünya"dan alıyor. VE. Vernadsky

(bölge aşaması)

Aritmetik Çözüm Yöntemi

MATEMATİKTE METİN PROBLEMLERİ

Bölüm "Matematik"

Tamamlayan: Lyudmila Bryantseva,

Belediye Eğitim Kurumu 64 Nolu Ortaokulu 9 A sınıfı öğrencisi,

Alçak Meryem,

Belediye Eğitim Kurumu 64 Nolu Ortaokulu 9 A sınıfı öğrencisi.

Başkan: Noskova Irina Anatolyevna,

Matematik öğretmeni, Belediye Eğitim Kurumu 64 Nolu Ortaokulu

Volgograd 2014

Giriş ……………………………………………………………………………… 3

Bölüm 1. Standart olmayan yöntemler problem çözme

1. Konuyla ilgili görevler " Tamsayılar" ………………….. 5

1. . “Parçalar ve yüzdeler halinde” problemler …………………………… 8
2. Hareket sorunları………………………………………… 11
3. İşbirliği görevleri…………………………… 14

Çözüm ………………………………………………………. 16

Edebiyat………………………………………………………. 16

Giriiş.

Bilindiği üzere tarihsel olarak uzun zamandır Matematiksel bilgi, pratik problemlerin ve çözümlerinin bir listesi şeklinde nesilden nesile aktarıldı. Başlangıçta matematik modeller kullanılarak öğretiliyordu. Öğretmeni taklit eden öğrenciler problemleri belli bir “kural”a göre çözdüler. Bu nedenle, eski zamanlarda, pratikte (ticaret hesaplamalarında vb.) karşılaşılan belirli türdeki problemlerin nasıl çözüleceğini bilen birinin eğitimli olduğu düşünülüyordu.

Bunun bir nedeni, tarihsel olarak uzun bir süre boyunca çocuklara aritmetik öğretmenin amacının, onlara pratik hesaplamalarla ilgili belirli bir dizi hesaplama becerisini öğretmek olmasıdır. Aynı zamanda aritmetik çizgisi - sayılar doğrusu - henüz geliştirilmemişti ve hesaplamaların öğretimi görevler aracılığıyla gerçekleştiriliyordu. “Aritmetik” L.F. Örneğin Magnitsky, kesirlerin adlandırılmış sayılar olarak kabul edildiğini (sadece, A ruble, pud vb.) ve problem çözme sürecinde kesirli eylemler incelenmiştir. Bu gelenek oldukça uzun süre devam etti. Çok daha sonraları bile, mantıksız sayısal verilerle ilgili sorunlarla karşılaşıldı, örneğin: “ Kişi başına kg şeker satıldı kilogram başına ruble...",bunlar uygulamanın ihtiyaçlarıyla değil, hesaplamayı öğrenmenin ihtiyaçlarıyla hayata geçirildi.

İkinci neden artan dikkat Rusya'da sözlü problemlerin kullanılmasının en önemli nedeni, Rusya'da sadece matematiksel bilgiyi aktarmaya yönelik eski yöntemi ve sözlü problemler kullanarak akıl yürütme tekniklerini benimseyip geliştirmemeleridir. Problemlerin yardımıyla metin analizi, problemin koşullarını ve ana soruyu belirleme, çözüm planı hazırlama, soruya cevap alabilecek koşulları arama ile ilgili önemli genel eğitim becerileri oluşturmayı öğrendik. ana soru, elde edilen sonucun kontrol edilmesi. Okul çocuklarına metni aritmetik işlemler, denklemler, eşitsizlikler ve grafik görüntülerin diline çevirmeyi öğretmek de önemli bir rol oynadı.

Sorunların çözümünden bahsederken göz ardı edilemeyecek bir nokta daha. Eğitim ve gelişim birçok yönden insanlığın gelişimini andırır, bu nedenle eski problemlerin ve bunları çözmek için çeşitli aritmetik yöntemlerin kullanılması, tarihsel bağlam, yaratıcılığı geliştiren. Buna ek olarak, çeşitli çözümler çocukların hayal gücünü uyandırır ve çözüm arayışını her seferinde yeni bir şekilde organize etmelerine olanak tanır, bu da öğrenme için olumlu bir duygusal arka plan oluşturur.

Dolayısıyla bu çalışmanın önemi birkaç noktada özetlenebilir:

Kelime problemleri önemli araçlar matematik öğretmek. Onların yardımıyla öğrenciler niceliklerle çalışma deneyimi kazanır, aralarındaki ilişkileri kavrar ve pratik problemleri çözmek için matematiği uygulama konusunda deneyim kazanır;

Sorunları çözmek için aritmetik yöntemlerin kullanılması, yaratıcılık ve zekayı, soru sorma ve cevaplama yeteneğini geliştirir, yani doğal dili geliştirir;

Sözlü problemleri çözmek için aritmetik yöntemler, problem durumlarını analiz etme, bilinen ve bilinmeyen miktarlar arasındaki ilişkileri dikkate alarak bir çözüm planı oluşturma, her eylemin sonucunu yorumlama, çözümün doğruluğunu kontrol etme, ters problem;

Sözlü problemleri çözmek için kullanılan aritmetik yöntemler, kişiyi soyutlamaya alıştırır, mantıksal bir kültür geliştirmesine izin verir, öğrenme için uygun bir duygusal arka planın yaratılmasına, problem çözme ve matematik çalışmasına ilişkin estetik duygunun geliştirilmesine katkıda bulunabilir, çözüm bulma sürecine ve ardından konunun kendisine olan ilgi;

Tarihsel problemlerin ve bunları çözmek için çeşitli eski (aritmetik) yöntemlerin kullanılması yalnızca deneyimi zenginleştirmekle kalmaz, zihinsel aktivite aynı zamanda sorunlara çözüm arayışıyla ilişkili insanlık tarihinin önemli bir kültürel ve tarihi katmanına hakim olmamızı da sağlar. Bu, problemlere çözüm bulmak ve matematik çalışmak için önemli bir iç teşviktir.

Yukarıdakilerin hepsinden aşağıdaki sonuçları çıkarıyoruz:

araştırma konusu5-6. Sınıflar için matematikte metin problemleri bloğudur;

çalışmanın amacıproblemleri çözmenin aritmetik bir yoludur.

bu çalışmanın amacıdikkate alınır yeterli miktar okul matematik dersindeki metin problemleri ve bunları çözmek için aritmetik yöntemin uygulanması;

Araştırma hedefine ulaşmak için görevler“Doğal sayılar”, “Rasyonel sayılar”, “Oranlar ve yüzdeler”, “Hareket problemleri” dersinin ana bölümlerinde yer alan sözel problemlerin analizi ve çözümü;

Araştırma yöntemipratik bir arama motorudur.

Bölüm 1. Sorunları çözmenin standart olmayan yolları.

1. “Doğal sayılar” konusundaki problemler.

Sayılarla çalışmanın bu aşamasında, problemleri çözmek için aritmetik yöntemler zaten cebirsel yöntemlere göre bir avantaja sahiptir, çünkü eylemleri çözmedeki her bir adımın sonucu, yaşam deneyiminin kapsamının ötesine geçmeyen, tamamen açık ve spesifik bir yoruma sahiptir. Bu nedenle daha hızlı ve daha iyi emilirler. çeşitli teknikler Farklı aritmetik durumlara sahip problemler için bir denklem kullanımına dayalı tek bir çözüm yöntemi yerine, miktarları bilinen hayali eylemlere dayalı akıl yürütme.

1. Bir sayı düşündük, 45'e çıkardık ve 66'yı bulduk. Aklınıza gelen sayıyı bulun.

Sorunu çözmek için toplama ve çıkarma işlemleri arasındaki ilişkiyi görselleştirmenize yardımcı olacak şematik bir çizim kullanabilirsiniz. Özellikle etkili yardımçizim şu saatte olacak Daha büyüklüğü bilinmeyen eylemler.21 sayısını düşündük.

2. Yazın pencerem bütün gün açıktı. İlk saatte 1 sivrisinek, ikinci saatte 2 sivrisinek, üçüncü saatte 3 sivrisinek vb. Uçtu. Günde kaç sivrisinek uçtu?

Burada tüm terimleri çiftlere bölme yöntemini kullanırız (birincisi sonuncuyla; ikincisi sondan bir öncekiyle vb.), her terim çiftinin toplamını bulur ve çift sayısıyla çarparız.

1 + 2 + 3 + … + 23 + 24 = (1 + 24) + (2 + 23) + …. + (12 + 13) = 25 12 = 300.

300 sivrisinek uçtu.

3. Konuklar sordu: Kız kardeşlerin her biri kaç yaşındaydı? Vera, kendisinin ve Nadya'nın 28 yıldır birlikte olduklarını söyledi; Nadya ve Lyuba birlikte 23 yaşındalar ve üçü de 38 yaşında. Her kız kardeş kaç yaşındadır?

1. 38 – 28 = 10 (yıl) – Lyuba;

2. 23 – 10 = 13 (yıl) – Nadya;

3,28 – 13 = 15 (yıl) – Vera.

Lyuba 10 yaşında, Nadya 13 yaşında, Vera 15 yaşında.

4. Sınıfımızda 30 öğrenci bulunmaktadır. 23 kişi müze gezisine çıktı, 21 kişi sinemaya gitti, 5 kişi ise ne geziye ne de sinemaya gitmedi. Hem geziye hem de sinemaya kaç kişi gitti?

Sorunu çözmeyi düşünelim; şekil akıl yürütmenin aşamalarını göstermektedir.

1. 30 – 5 = 25 (kişi) – sinemaya gitti veya

Gezi;

1. 25 – 23 = 2 (kişi) – sadece sinemaya gitti;
2. 21 – 2 = 19 (kişi) – sinemaya gitti ve

Gezi.

19 kişi hem sinemaya hem geziye gitti.

5. Birinin iki türden 24 banknotu var - her biri 100 ve 500 ruble olmak üzere toplam 4.000 ruble. Kaç tane 500 ruble banknotu var?

Ortaya çıkan tutar "yuvarlak" bir sayı olduğundan, 100 rublelik banknotların sayısı 1000'in katıdır. Dolayısıyla 500 rublelik banknotların sayısı da 1000'in katıdır. Dolayısıyla elimizde - 100 rublelik banknotlar 20'dir. ; 500 ruble - 4 banknot.

Birinin 500 rublelik 4 banknotu var.

6. Yaz sakini, trenin kalkmasından 12 dakika sonra kulübesinden istasyona geldi. Eğer her kilometrede 3 dakika daha az zaman harcamış olsaydı, trenin kalkmasına tam zamanında varabilecekti. Yaz sakini istasyondan ne kadar uzakta yaşıyor?

Bir yaz sakini kilometre başına 3 dakika daha az harcayarak 12:3 = 4 km mesafeden 12 dakika tasarruf edebilir.

Yaz sakini istasyondan 4 km uzakta yaşıyor.

7. Kaynak bir varil suyu 24 dakikada veriyor. Kaynak günde kaç varil su üretiyor?

Kesirler üzerinden çalışmamız gerektiğinden 1 dakikada varilin hangi kısmının dolduğunu bulmamıza gerek kalmıyor. 5 varili doldurmanın kaç dakika süreceğini bulalım: 24 · 5 = 120 dakika, yani 2 saat. O zaman 24 günde: 2 = 2 saatte doldurulan varilin 12 katı, yani 5.12 = 60 varil dolacaktır.

Kaynak günde 60 varil üretiyor.

8. Bazı bölgelerde8 m uzunluğundaki eski rayları 12 m uzunluğundaki yeni raylarla değiştirin.240 eski ray yerine kaç yeni ray gerekiyor?

24 m uzunluğundaki bölümde 3 adet eski ray yerine 2 adet yeni ray döşenecek. Bu tür bölümlerde 240:3=80 adet ray değiştirilecek ve üzerlerine 80 · 2=160 adet yeni ray konulacaktır.

160 yeni ray gerekecek.

9. Fırında 654 kg siyah ve Beyaz ekmek. 215 kg siyah ve 287 kg beyaz ekmek satıldıktan sonra geriye her iki ekmekten de eşit miktarda kaldı. Fırında ayrı ayrı kaç kilo siyah ve beyaz ekmek vardı?

1) 215 + 287 = 502 (kg) – satılan ekmek;

2) 654 – 502 = 152 (kg) – satılacak ekmek;

3) 152: 2 = 76 (kg) satılacak beyaz (ve siyah) ekmek kaldı;

4) 215 + 76 = 291 (kg) – başlangıçta siyah ekmek vardı;

5) 287 + 76 = 363 (kg) – Başlangıçta beyaz ekmek vardı.

Başlangıçta 291 kg siyah ekmek, 363 kg beyaz ekmek vardı.

1. “Parçalar ve yüzdeler halinde” problemler.

Görevlerle çalışmanın bir sonucu olarak bu bölüm 1 kısım için uygun bir değer almak, bu tür parçalardan kaç tanesinin başka bir değere düştüğünü, toplamlarını (farkını) belirlemek ve ardından problemin sorusuna cevap almak gerekir.

10. Birinci tugay görevi 20 saatte, ikinci tugay ise 30 saatte tamamlayabiliyor. Öncelikle ekipler birlikte çalışarak görevin ¾'ünü tamamladılar, geri kalanını ise birinci ekip tek başına tamamladı. Görevin tamamlanması kaç saat sürdü?

İş performansı görevleri, hareket görevlerine göre daha az açıktır. Bu nedenle burada her adımın ayrıntılı bir analizi gereklidir.

1) İlk ekip tek başına çalışırsa, görevi 20 saatte tamamlayacaktır; bu, her saatte tamamladığı anlamına gelir tüm görev.

2) Benzer şekilde tartışarak ikinci takım için emek verimliliğini elde ediyoruz - tüm görev.

3) Öncelikle birlikte çalışan ekipler tamamlandıtüm görev. Ne kadar zaman harcadılar?. Yani bir saatlik ortak çalışmayla her iki ekip de görevin on ikinci bölümünü tamamlıyor.

4)Sonra görevi 9 saatte tamamlayacaklar çünkü(bir kesrin ana özelliğine göre).

5) Geriye kalan tek şey tamamlamaktırgörevler, ancak yalnızca 1 saat içinde tamamlanan ilk takımatüm görev. Bu yüzden ilk tugayın çalışması gerekiyor saat 5 meseleyi sonlandıralım çünkü.

6) Son olarak 5 + 9 = 14 saatimiz var.

Görev 14 saatte tamamlanacak.

onbir. Birimler birinci, ikinci ve üçüncü kuyulardan yıllık üretim 7:5:13 olarak oranlanmıştır. Birinci kuyudan yıllık petrol üretiminin %5, ikinci kuyudan ise %6 oranında azaltılması planlanmaktadır. Yıllık üretilen toplam petrol miktarının değişmemesi için üçüncü kuyudan yıllık petrol üretimi yüzde kaç artırılmalıdır??

Parça ve yüzdelerle ilgili problemler daha da zaman alıcı ve anlaşılmaz bir problem alanıdır. Dolayısıyla bunları anlamamızın en somut yolu sayısal örneklerdi.Örnek 1. Yıllık petrol üretimi 1000 varil olsun. O zaman bu üretimin 25 parçaya bölündüğünü (7+5+13=25, yani bir parça 40 varil) bilerek, birinci kule 280 varil, ikinci kule 200 varil, üçüncü kule ise yılda 520 varil pompalıyor. . Üretim %5 azalırsa birinci kule 14 varil kaybeder (280·0,05 = 14), yani üretimi 266 varil olur. Üretim %6 azalırsa ikinci kule 12 varil kaybeder (200·0,06 = 12), yani üretimi 188 varil olur.

Sadece bir yıl içinde hep birlikte 454 varil petrol pompalayacaklar, ardından üçüncü kulenin 520 varil yerine 546 varil üretmesi gerekecek.

Örnek 2. Yıllık petrol üretimi 1500 varil olsun. O zaman bu üretimin 25 parçaya bölündüğünü (7+5+13=25, yani bir parça 60 varil) bilerek, birinci kule 420 varil, ikinci kule 300 varil, üçüncü kule ise yılda 780 varil pompalıyor. . Üretim %5 azalırsa birinci kule 21 varil kaybeder (420·0,05 = 21), yani üretimi 399 varil olur. Üretimde %6'lık düşüşle ikinci sondaj kulesi 18 varil kaybetti(300·0,06 = 18) yani üretimi 282 varil olacaktır.

Toplamda bir yılda 681 varil petrol pompalayacaklar, ardından üçüncü kulenin 780 varil yerine 819 varil üretmesi gerekecek.

Bu önceki üretime göre %5 daha fazla, çünkü.

Yıllık üretilen toplam petrol miktarının değişmemesi için üçüncü kuyudan yıllık petrol üretiminin %5 oranında arttırılması gerekmektedir.

Benzer bir problemin başka bir versiyonunu ele alabiliriz. Burada sadece hacim birimlerinin bir "sembol"ü olan bazı değişkenleri tanıtıyoruz.

12. Birinci, ikinci ve üçüncü kuyulardan yıllık petrol üretim hacmi 6:7:10 olarak oranlanmıştır. Yıllık petrol üretiminin birinci kuyudan %10, ikinci kuyudan ise %10 oranında azaltılması planlanıyor. Üretilen toplam petrol hacminin değişmemesi için üçüncü kuyudan yıllık petrol üretimi yüzde kaç oranında artırılmalıdır?

Birinci, ikinci ve üçüncü kuyulardan elde edilen yıllık petrol üretim hacimleri sırasıyla bazı hacim birimlerinin 6x, 7x, 10x'ine eşit olsun.

1) 0,1 ·6x = 0,6x (birim) – ilk kuyudaki üretimde azalma;

2)0,1 ·7x = 0,7x (birim) – ikinci kuyudaki üretimde azalma;

3) 0,6x + 0,7x = 1,3x (birim) – üçüncü kuyudaki petrol üretim hacminde bir artışa karşılık gelmelidir;

Üçüncü kuyunun yıllık petrol üretiminin bu oranda artırılması gerekiyor.

Üçüncü kuyudan yıllık petrol üretiminin %13 oranında artırılması gerekiyor.

13. 60 defter aldık - kareli defterlerin sayısı çizgili defterlerin 2 katıydı. Çizgili bir defterde kaç parça vardır? kare bir defterde; tüm not defterleri için mi? Kaç tane çizgili defter aldın? Kafes başına kaç tane?

Bir sorunu çözerken, bir not defterinde kolayca çoğaltılabilen ve çözüm ilerledikçe gerekli notlarla desteklenebilen şematik bir çizime güvenmek daha iyidir. Çizgili defterler 1 parça olsun, daha sonra kareli defterler 2 parça olsun.

1) 1 + 2 = 3 (parça) – tüm not defterlerini kapsar;

2) 60: 3 = 20 (defterler) – 1 kısım için hesaplar;

3) 20 · 2 = 40 (defterler) – kareli defterler;

4) 60 – 40 = 20 (defterler) – çizgili.

20 adet çizgili defter ve 40 adet kareli defter aldık.

14. 1892 yılında birisi köyde geçireceği saat kadar dakikayı da St. Petersburg'da geçirmeyi düşünüyor. Birisi St. Petersburg'da ne kadar kalacak?

1 saat 60 dakikaya ve dakika sayısı saat sayısına eşit olduğundan, köydeki biri St. Petersburg'a göre 60 kat daha fazla zaman harcayacaktır (burada seyahat süresi dikkate alınmaz). St.Petersburg'da geçirilen gün sayısı 1 kısım ise köyde geçirilen gün sayısı 60 kısımdır. Artık yıldan bahsettiğimiz için parça başına 366 tane vardır: (60 + 1) = 6 (gün).

Birisi St. Petersburg'da 6 gün geçirecek.

15. Elmalar %78 oranında su içerir. Biraz kurutuldular ve artık %45 su içeriyorlar. Elmalar kuruma sırasında kütlelerinin yüzde kaçını kaybetti?

Elmanın kütlesi x kg olsun, o zaman 0,78x kg su ve x – 0,78x = 0,22x (kg) kuru madde içerir. Kuruduktan sonra kuru madde, kuru elma kütlesinin 100 - 45 = 55'i (%) kadardır, dolayısıyla kuru elma kütlesi 0,22x: 0,55 = 0,46x (kg) olur.

Yani kurutma sırasında elmalar x - 0,46x = 0,54x, yani %54 kaybetti.

Kurutma sırasında elmalar kütlelerinin %54'ünü kaybetti.

16. Çim %82 oranında su içerir. Biraz kurutuldu ve artık %55 su içeriyor. Çim kuruma sırasında ne kadar kütle kaybetti?

Şu tarihte: başlangıç ​​koşullarıçimin canlı ağırlığı %100 - %82 = %18 idi.

Kuruduktan sonra bu değer %45'e çıktı ancak çimin toplam kütlesi %40 azaldı (45: 18 · %10 = %40).

Çim, kuruma sırasında kütlesinin %40'ını kaybetti.

1. Hareket görevleri.

Bu görevler geleneksel olarak zor kabul edilir. Bu nedenle bu tür problemlerin çözümü için aritmetik yöntemin daha detaylı incelenmesine ihtiyaç vardır.

17. İki bisikletli A noktasından B noktasına aynı anda gidiyor. Birinin hızı diğerinden 2 km/saat daha azdır. B'ye ilk gelen bisikletçi hemen geri döndü ve 1 saat 30 dakika sonra başka bir bisikletçiyle karşılaştı. A'dan ayrıldıktan sonra. Toplantı B noktasından ne kadar uzakta gerçekleşti?

Bu sorun aynı zamanda konu görüntüleri ve çağrışımları örneği kullanılarak da çözülmektedir.

Bir dizi örnek dikkate alındıktan ve hiç kimse bu sayıdan şüphe duymadıktan sonra - mesafe 1,5 km'dir, bulgusunu sunulan soruna ilişkin verilerle doğrulamak gerekir. Yani 1,5 km, 1. bisikletçiden 2'lik gecikme farkıdır: 1,5 saat içinde ikincisi, 1 geri döndüğü için birincinin 3 km gerisinde kalacak, ardından her iki bisikletçi de aradaki farkın yarısı kadar birbirine yaklaşacak. kat edilen mesafe, yani 1,5 km. Bu, sorunun cevabını ve bu tür sözlü problemleri çözme yöntemini ima eder.

Toplantı B noktasından 1,5 km uzaklıkta gerçekleşti.

18. Aynı anda iki tren Moskova'dan Tver'e doğru yola çıktı. Birincisi saatte 39 verst geçti ve Tver'e saatte 26 verst geçen ikinciden iki saat önce ulaştı. Moskova'dan Tver'e kaç mil var?

1) 26 · 2 = 52 (verst) – birincinin arkasındaki ikinci tren ne kadar;

2) 39 – 26 = 13 (verst) – bu, ikinci trenin 1 saat içinde birincinin ne kadar gerisinde kaldığıdır;

3) 52: 13 = 4 (h) - ilk trenin yolda olduğu süre budur;

4) 39 · 4 = 156 (verst) – Moskova'dan Tver'e olan mesafe.

Moskova'dan Tver'e 156 verst.

1. İşbirliği görevleri.

19. Bir takım görevi 9 günde, ikincisi ise 12 günde tamamlayabilir. Birinci ekip 3 gün boyunca bu görev üzerinde çalıştı, ardından ikinci ekip işi bitirdi. Görev kaç günde tamamlandı?

1) 1: 9 = (görevler) – ilk takım tarafından bir günde tamamlanacak;

2 ) 3 = (görevler) - ilk tugay tarafından üç günde tamamlandı;

3) 1 - = (görevler) - ikinci tugay tarafından tamamlandı;

4) 1: 12 = (görevler) – ikinci takım tarafından bir günde tamamlanacak;

5) 8 (gün) – ikinci ekip çalıştı;

6) 3 + 8 = 11 (gün) – görevi tamamlamak için harcanan süre.

Görev 11 günde tamamlandı.

20. Bir at bir ayda bir sürü saman yer, bir keçi iki ayda, bir koyun ise üç ayda yer. Bir at, keçi ve koyunun aynı miktarda samanı birlikte yemesi ne kadar sürer?

At, keçi ve koyun 6 ay boyunca saman yesin. Daha sonra at 6 araba, keçi 3 araba, koyun ise 2 araba yiyecek. Yalnızca 11 araba var, bu da onlarınaraba ve bir araba 1 kişi için yenilecek:= (ay).

Bir at, keçi, koyun bir araba dolusu samanı yiyecektir. ay.

21. Dört marangoz bir ev inşa etmek istiyor. Birinci marangoz bir evi 1 yılda, ikincisi 2 yılda, üçüncüsü 3 yılda, dördüncüsü 4 yılda yapabiliyor. Birlikte çalışırlarsa bir ev inşa etmeleri ne kadar sürer?

12 yıl içinde her marangoz şunları inşa edebilir: ilk - 12 ev; ikinci – 6 ev; üçüncü – 4 ev; dördüncü – 3 ev. Böylece 12 yılda 25 ev yapabiliyorlar. Bu nedenle, birlikte çalışarak bir bahçe inşa edebilecekler. 175,2 gün.

Marangozlar birlikte çalışarak 175,2 günde bir ev inşa edebilecekler.

Çözüm.

Sonuç olarak çalışmada sunulan problemlerin sözlü problemlerin çözümünde aritmetik yöntemlerin kullanılmasının sadece küçük bir örneği olduğunu söylemek gerekir. Bir şey söylenmeli önemli nokta– görevlerin planını seçmek. Gerçek şu ki, sorunları çözerken tüm zorlukları öngörmek imkansızdır. Ancak yine de, herhangi bir sorunu çözmek için bir yönteme ilk kez hakim olunduğu anda, bunların konusu mümkün olduğu kadar basit olmalıdır.

Verilen örnekler temsil etmektedir özel bir durum, ancak okulu hayata yaklaştıran yönü yansıtıyorlar.

Edebiyat

1. Vileitner G. Matematik tarihi üzerine okuyucu. – Sayı I. Aritmetik ve cebir / çev. onunla. Not: Yuşkeviç. – M.-L.: 1932.

2.Toom A.L. Metin problemleri: uygulamalar veya zihinsel manipülasyonlar // Matematik, 2004.

3.Şevkin A.V. Bir okul matematik dersinde metin problemleri. M, 2006.

Aritmetik yöntemleri kullanarak problemleri çözme

5. sınıfta matematik dersi.

“Yüzmeyi öğrenmek istiyorsanız cesurca suya girin, sorunları çözmeyi öğrenmek istiyorsanız onları çözün.”.
D. Polya

Dersin amaç ve hedefleri:

aritmetik yöntemi kullanarak problemleri çözme becerisinin geliştirilmesi;

gelişim yaratıcılık, bilişsel ilgi;

gelişim mantıksal düşünme;

konuya olan sevgiyi beslemek;

Matematiksel düşünme kültürünün geliştirilmesi.

Teçhizat: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 numaralı sinyal kartları.

Dersler sırasında

I. Organizasyon anı (1 dakika.)

Ders aritmetik yöntem kullanarak problemleri çözmeye ayrılmıştır. Bugün sorunları çözeceğiz farklı şekiller ama hepsi denklemlerin yardımı olmadan çözülecek.

II. Tarihsel referans (1 dakika.)

Tarihsel olarak, uzun bir süre boyunca matematiksel bilgi, pratik problemlerin ve çözümlerinin bir listesi şeklinde nesilden nesile aktarılmıştır. Eski zamanlarda, pratikte karşılaşılan belirli türdeki problemlerin nasıl çözüleceğini bilen birinin eğitimli olduğu kabul edilirdi.

III. Isınmak (problemlerin sözlü çözümü - 6 dk.)
a) Kartlardaki sorunlar.
Her öğrenciye sözlü olarak çözdüğü ve cevap verdiği bir problem içeren bir kart verilir. Eylem 3 - 1 = 2 için tüm görevler.

(Öğrenciler problemleri doğru çözer, bazıları çözemez. Hepsi sözlü olarak. Kartları kaldırırlar ve öğretmen problemi kimin çözdüğünü görür; kartlarda 2 rakamı bulunmalıdır.)

b) Ayetteki problemler ve mantık problemleri. (Öğretmen problemi yüksek sesle okur, öğrenciler doğru cevabın bulunduğu kartı kaldırırlar.

Kirpi ördek yavrularına verdi
Adamlardan hangisi cevap verecek?
sekiz deri çizme
Kaç tane ördek yavrusu vardı?
(Dört.)

İki çevik domuz yavrusu
O kadar üşümüşlerdi ki titriyorlardı.
Say ve şunu söyle:
Kaç tane bot almalıyım?
(Sekiz.)

Bir çam ormanına girdim
Ve bir sinek mantarı gördüm
İki bal mantarı,
İki kuzugöbeği.
Üç yağ tenekesi,
İki çizgi...
Cevabı kim hazır:
Kaç tane mantar buldum?
(On.)

4. Bahçede tavuklar ve köpekler yürüyordu. Çocuk patilerini saydı. On olduğu ortaya çıktı. Kaç tane tavuk ve kaç tane köpek olabilir? (İki köpek ve bir tavuk, bir köpek ve üç tavuk.)

5. Doktor reçetesine göre eczaneden 10 tablet aldık. Doktor bana günde 3 tablet almamı önerdi. Bu ilacın etkisi kaç gün sürecek? (Tam gün.)

6. Erkek kardeş 7, kız kardeş 5 yaşındadır. Erkek kardeş 10 yaşındayken kız kardeş kaç yaşında olur?

7. Verilen sayılar: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Hangisi daha büyük: çarpımları mı yoksa toplamları mı?

8. Marangozlar çiti inşa ederken 5 sütunu düz bir çizgi halinde yerleştirdiler. Direkler arası mesafe 2 m'dir Çitin uzunluğu ne kadardır?

IV. Problem çözme

(Çocuklara yönelik görevler kartlarda verilmektedir - 15 dakika. Çocuklar tahtada problemleri çözerler)
Görev a) ve b), toplama ve çıkarma işlemleriyle "... daha fazla" ve "daha az" ilişkileri arasındaki bağlantıyı tekrarlamayı amaçlamaktadır.

a) Bir tornacı çırağı vardiya başına 120 parça döndürdü ve tornacı 36 parça daha fazla döndürdü. Tornacı ve çırağı birlikte kaç parçayı çevirdiler?

b) Birinci ekip vardiya sırasında 52 cihaz topladı, ikinci takım - birinciden 9 cihaz daha az ve üçüncü - ikinci takımdan 12 cihaz daha fazla Üç takım vardiya boyunca kaç cihaz topladı?

Problem c) kullanılarak öğrencilere problemin çözümü “tersinden” gösterilebilir.

c) Üç sınıfta 44 kız var - bu erkeklerden 8 eksik. Üç sınıfta kaç erkek var?

d) probleminde öğrenciler çeşitli çözümler önerebilirler.

d) Üç kız kardeşe “Kız kardeşlerin her biri kaç yaşındadır?” diye soruldu. Vera, kendisinin ve Nadya'nın birlikte 28 yaşında olduklarını, Nadya ve Lyuba'nın birlikte 23 yaşında olduklarını ve üçünün de 38 yaşında olduğunu söyledi. Kız kardeşlerin her biri kaç yaşındadır?

Görev e) "daha fazla..." ve "daha az..." arasındaki bağlantıyı tekrarlamayı amaçlamaktadır.

e) Vasya'nın 46 puanı vardı. Bir yıl içinde koleksiyonu 230 pul arttı. Koleksiyonu kaç kat arttı?

V. Beden eğitimi dakikası (2 dakika.)

Tek ayak üzerinde durmak
Sanki sadık bir askersin.
Sol bacağınızı kaldırın.
Bak, düşme.
Şimdi solda dur,
Eğer cesur bir askersen.

VI. Eski, tarihi sorunlar. Masal içeriğiyle ilgili sorunlar (10 dk.)

Problem e) İki sayıyı toplamlarına ve farklarına göre bulmak.

e)(L.N. Tolstoy'un “Aritmetik” kitabından)

İki adamın 35 koyunu var. Birinin diğerinden 9 fazlası var. Her kişinin kaç koyunu var?

Hareket görevi.

Ve)(Eski bir sorun.)Aynı anda iki tren Moskova'dan Tver'e doğru yola çıktı. İlki saatte 39 verst hızla geçti ve saatte 26 verst yol alan ikinciden iki saat önce Tver'e ulaştı. Moskova'dan Tver'e kaç mil var?

(Denklem kullanarak cevaba ulaşmak daha kolaydır. Ancak öğrencilerin denklemi incelemeleri teşvik edilir.) aritmetik çözüm görevler.)

1) 26 * 2 = 52 (verst) - ikinci tren birincinin kilometrelerce gerisindeydi;

2) 39 - 26 = 13 (verst) - ikinci tren birincinin 1 saat gerisindeydi;

3) 52: 13 = 4 (h) - ilk trenin seyahat etmesi bu kadar sürdü;

4) 39 * 4 = 156 (verst) - Moskova'dan Tver'e olan mesafe.

Mesafeyi kilometre cinsinden bulmak için referans kitaplarına bakabilirsiniz.

1 verst = 1 km 69 m.

Görev parçalara ayrılmıştır.

H)Kikimora'nın görevi.Deniz adamı kikimore Ha-Ha ile evlenmeye karar verdi. Kikimore duvağının üzerine birkaç sülük, pelerinine de bunun iki katı kadar sülük dikti. Tatil sırasında 15 sülük düştü ve sadece 435 tanesi kaldı, Kikimora'nın perdesinde kaç sülük vardı?

(Problem bir denklem kullanılarak çözülmek üzere verilmiştir, ancak biz onu aritmetik bir şekilde çözüyoruz)

VII. Canlı sayılar (boşaltma duraklaması - 4 dk.)

Öğretmen 10 öğrenciyi tahtaya çağırır ve onlara 1'den 10'a kadar sayılar verir. Öğrencilere farklı görevler verilir;

a) öğretmen numaraları arar; adı geçenler bir adım öne çıkıyor (örneğin: 5, 8, 1, 7);

b) belirtilen sayının yalnızca komşuları çıkar (örneğin: 6, 5 ve 7 sayıları çıkar);

c) öğretmen örnekler verir ve yalnızca bu örnek veya problemin cevabını bilen kişi ortaya çıkar (örneğin: 2 ` 4; 160: 80; vb.);

d) öğretmen birkaç kez alkış yapar ve ayrıca bir sayı gösterir (bir veya iki); numarası duyulan ve görülen tüm sayıların toplamı olan bir öğrenci çıkmalıdır (örneğin: 3 alkış, 5 numara ve 1 numara);

4'ün 4'ten büyük olduğu sayı nedir?

Bir sayı düşündüm, ondan 3 çıkardım, 7 buldum. Hangi sayıyı düşündüm?

İstenilen sayıya 2 eklenirse 8 elde edilir. Amaçlanan sayı nedir?

Herkesin oyuna aktif olarak katılabilmesi için, cevaplarda aynı sayıların tekrarlanmaması için görevleri seçmeye çalışmalıyız.

VIII. Dersi özetlemek (2 dakika.)

- Bugün sınıfta ne yaptık?

- Aritmetik kullanarak bir problemi çözmek ne anlama gelir?

- Soruna bulunacak çözümün, sorunun koşullarını sağlaması gerektiğini unutmamalıyız.

IX. Ev ödevi. Not verme (2 dakika.)

№ 387 (matematik yöntemini kullanarak problemleri çözme), zayıf öğrenciler için. Ortalama ve güçlü öğrenciler için ödevler kartlarda verilmektedir.

1. Fırında 645 kg siyah beyaz ekmek vardı. 215 kg siyah ve 287 kg beyaz ekmek satıldıktan sonra geriye her iki ekmekten de eşit miktarda kaldı. Fırında ayrı ayrı kaç kilo siyah ve beyaz ekmek vardı?

Kardeşim ve kız kardeşim ormanda 25 porcini mantarı buldu. Kardeş, kız kardeşinden 7 mantar fazla buldu. Kardeşin kaç tane porçini mantarı buldu?

Komposto için 6 ölçü elma, 5 ölçü armut ve 3 ölçü söz aldık. Armut ve eriklerin birlikte 2 kg 400 gr aldığı ortaya çıktı Alınan elmaların kütlesini belirleyin; tüm meyvelerin kütlesi.

Edebiyat

Vilenkin N., Zhokhov V., Chesnokov A.Matematik. 5. sınıf. - M., “Mnemosyne”, 2002.

Şevkin A.V.Okul matematik dersinde metin problemleri. - M .: Pedagoji Üniversitesi “1 Eylül”, 2006.

Volina V.Sayıların tatili. - M.: Bilgi, 1994.