Degré et ses propriétés. Guide complet (2019)

Pourquoi faut-il des diplômes ? Où en aurez-vous besoin ? Pourquoi prendre le temps de les étudier ?

Pour tout savoir sur les diplômes, à quoi ils servent, comment utiliser vos connaissances Vie courante lisez cet article.

Et bien sûr, la connaissance des diplômes vous rapprochera du succès. passer l'OGE ou l'examen d'État unifié et l'admission à l'université de vos rêves.

Allons-y allons-y!)

Note importante! Si vous voyez du charabia au lieu de formules, videz votre cache. Pour ce faire, appuyez sur CTRL+F5 (sous Windows) ou Cmd+R (sous Mac).

PREMIER NIVEAU

L'exponentiation est une opération mathématique au même titre que l'addition, la soustraction, la multiplication ou la division.

Maintenant je vais tout expliquer langage humain avec des exemples très simples. Sois prudent. Les exemples sont élémentaires, mais expliquent des choses importantes.

Commençons par l'addition.

Il n'y a rien à expliquer ici. Vous savez déjà tout : nous sommes huit. Tout le monde a deux bouteilles de cola. Combien y a-t-il de cola ? C'est vrai - 16 bouteilles.

Maintenant la multiplication.

Le même exemple avec le cola peut s'écrire différemment : . Les mathématiciens sont des gens rusés et paresseux. Ils remarquent d’abord certaines régularités, puis trouvent un moyen de les « compter » plus rapidement. Dans notre cas, ils ont remarqué que chacune des huit personnes possédait le même nombre de bouteilles de cola et ont mis au point une technique appelée multiplication. D'accord, c'est considéré comme plus facile et plus rapide que.

Ainsi, pour compter plus vite, plus facilement et sans erreurs, il suffit de se rappeler table de multiplication. Bien sûr, vous pouvez tout faire plus lentement, plus difficilement et avec des erreurs ! Mais…

Voici la table de multiplication. Répéter.

Et un autre, plus beau :

Quelles autres astuces de comptage astucieuses les mathématiciens paresseux ont-ils inventées ? Droite - élever un nombre à une puissance.

Élever un nombre à une puissance

Si vous devez multiplier un nombre par lui-même cinq fois, les mathématiciens disent que vous devez augmenter ce nombre à la puissance cinq. Par exemple, . Les mathématiciens se souviennent que deux à la puissance cinq valent... Et ils résolvent ces problèmes dans leur tête - plus rapidement, plus facilement et sans erreurs.

Tout ce que vous avez à faire est rappelez-vous ce qui est surligné en couleur dans le tableau des puissances des nombres. Croyez-moi, cela vous facilitera grandement la vie.

Au fait, pourquoi s’appelle-t-on le deuxième degré ? carré nombres, et le troisième - cube? Qu'est-ce que ça veut dire? Très bonne question. Vous aurez maintenant à la fois des carrés et des cubes.

Exemple réel n°1

Commençons par le carré ou la puissance deux du nombre.

Imaginez une piscine carrée mesurant un mètre sur un mètre. La piscine est à votre datcha. Il fait chaud et j'ai vraiment envie de nager. Mais... la piscine n'a pas de fond ! Vous devez recouvrir le fond de la piscine de carrelage. De combien de tuiles avez-vous besoin ? Afin de le déterminer, vous devez connaître la surface inférieure de la piscine.

Vous pouvez simplement calculer en pointant votre doigt que le fond de la piscine est constitué de cubes mètre par mètre. Si vous avez des carreaux d'un mètre sur un mètre, vous aurez besoin de pièces. C'est facile... Mais où avez-vous vu de tels carreaux ? Le carreau sera très probablement cm par cm, puis vous serez torturé en « comptant avec votre doigt ». Ensuite il faut multiplier. Ainsi, d'un côté du fond de la piscine nous placerons des tuiles (morceaux) et de l'autre aussi des tuiles. Multipliez par et vous obtenez des tuiles ().

Avez-vous remarqué que pour déterminer la surface du fond de la piscine, nous multiplions le même nombre par lui-même ? Qu'est-ce que ça veut dire? Puisque nous multiplions le même nombre, nous pouvons utiliser la technique de « l’exponentiation ». (Bien sûr, lorsque vous n'avez que deux nombres, vous devez toujours les multiplier ou les élever à une puissance. Mais si vous en avez beaucoup, alors les élever à une puissance est beaucoup plus facile et il y a aussi moins d'erreurs de calcul. (Pour l'examen d'État unifié, c'est très important).
Ainsi, trente à la puissance deux seront (). Ou nous pouvons dire que trente carrés le seront. En d’autres termes, la puissance seconde d’un nombre peut toujours être représentée par un carré. Et vice versa, si vous voyez un carré, c’est TOUJOURS la deuxième puissance d’un nombre. Un carré est l’image de la puissance deux d’un nombre.

Exemple réel n°2

Voici une tâche pour vous : comptez combien de cases il y a sur l'échiquier en utilisant la case du nombre... D'un côté des cellules et de l'autre aussi. Pour calculer leur nombre, vous devez multiplier huit par huit ou... si vous remarquez qu'un échiquier est un carré avec un côté, alors vous pouvez en former un carré de huit. Vous obtiendrez des cellules. () Donc?

Exemple concret n°3

Maintenant le cube ou la troisième puissance d'un nombre. La même piscine. Mais maintenant, vous devez savoir quelle quantité d’eau devra être versée dans cette piscine. Vous devez calculer le volume. (En passant, les volumes et les liquides sont mesurés en mètres cubes. Inattendu, non ?) Dessinez une piscine : un fond mesurant un mètre et une profondeur d'un mètre et essayez de compter combien de cubes mesurant un mètre sur un mètre rentreront dans votre piscine.

Pointez simplement votre doigt et comptez ! Un, deux, trois, quatre... vingt-deux, vingt-trois... Combien en avez-vous eu ? Pas perdu? Est-ce difficile de compter avec son doigt ? De sorte que! Prenons l'exemple des mathématiciens. Ils sont paresseux, alors ils ont remarqué que pour calculer le volume de la piscine, il faut multiplier sa longueur, sa largeur et sa hauteur entre elles. Dans notre cas, le volume de la piscine sera égal à des cubes... Plus simple, non ?

Imaginez maintenant à quel point les mathématiciens seraient paresseux et rusés s’ils simplifiaient également cela. Nous avons tout réduit à une seule action. Ils ont remarqué que la longueur, la largeur et la hauteur sont égales et que le même nombre est multiplié par lui-même... Qu'est-ce que cela signifie ? Cela signifie que vous pouvez profiter du diplôme. Ainsi, ce que vous avez compté une fois avec votre doigt, ils le font en une seule action : trois au cube sont égaux. C'est écrit ainsi : .

Il ne reste plus que souviens-toi du tableau des degrés. À moins, bien sûr, que vous soyez aussi paresseux et rusé que des mathématiciens. Si vous aimez travailler dur et faire des erreurs, vous pouvez continuer à compter avec votre doigt.

Eh bien, pour enfin vous convaincre que les diplômes ont été inventés par des personnes qui ont abandonné et des personnes rusées pour résoudre leurs problèmes de vie, et non pour vous créer des problèmes, voici quelques autres exemples tirés de la vie.

Exemple réel n°4

Vous avez un million de roubles. Au début de chaque année, pour chaque million que vous gagnez, vous gagnez un autre million. Autrement dit, chaque million dont vous disposez double au début de chaque année. De combien d’argent aurez-vous dans quelques années ? Si vous êtes assis maintenant et que vous « comptez avec votre doigt », alors vous êtes une personne très travailleuse et... stupide. Mais très probablement, vous donnerez une réponse en quelques secondes, car vous êtes intelligent ! Donc, la première année - deux multiplié par deux... la deuxième année - que s'est-il passé, par deux de plus, la troisième année... Stop ! Vous avez remarqué que le nombre est multiplié par lui-même. Donc deux puissance cinq font un million ! Imaginez maintenant que vous ayez un concours et que celui qui sait compter le plus rapidement obtiendra ces millions... Cela vaut la peine de se rappeler le pouvoir des nombres, n'est-ce pas ?

Exemple concret n°5

Vous en avez un million. Au début de chaque année, pour chaque million que vous gagnez, vous en gagnez deux de plus. Génial, n'est-ce pas ? Chaque million est triplé. De combien d’argent aurez-vous dans un an ? Comptons. La première année - multiplier par, puis le résultat par un autre... C'est déjà ennuyeux, car vous avez déjà tout compris : trois est multiplié par lui-même. Donc à la puissance quatre, cela est égal à un million. Vous devez juste vous rappeler que trois puissance quatre vaut ou.

Vous savez maintenant qu’en élevant un nombre à une puissance, vous vous faciliterez grandement la vie. Examinons plus en détail ce que vous pouvez faire avec les diplômes et ce que vous devez savoir à leur sujet.

Termes et concepts... pour ne pas se tromper

Alors, commençons par définir les concepts. Qu'en penses-tu, qu'est-ce qu'un exposant? C'est très simple : c'est le nombre qui est « au sommet » de la puissance du nombre. Pas scientifique, mais clair et facile à retenir...

Eh bien, en même temps, quoi une telle base de diplôme? Encore plus simple, c'est le numéro qui se trouve en bas, à la base.

Voici un dessin pour faire bonne mesure.

Eh bien, dans vue générale, afin de généraliser et de mieux mémoriser... Un degré avec une base « » et un exposant « » se lit « au degré près » et s'écrit ainsi :

Puissance d'un nombre à exposant naturel

Vous l'avez probablement déjà deviné : parce que l'exposant est entier naturel. Oui, mais qu'est-ce que c'est entier naturel? Élémentaire! Les nombres naturels sont les nombres qui sont utilisés pour compter lors de la liste d'objets : un, deux, trois... Lorsque nous comptons des objets, nous ne disons pas : « moins cinq », « moins six », « moins sept ». Nous ne disons pas non plus : « un tiers », ou « zéro virgule cinq ». Ce ne sont pas des nombres naturels. À votre avis, de quels chiffres s'agit-il ?

Les nombres comme « moins cinq », « moins six », « moins sept » font référence à nombres entiers. En général, les nombres entiers incluent tous les nombres naturels, les nombres opposés aux nombres naturels (c'est-à-dire pris avec un signe moins) et les nombres. Zéro est facile à comprendre : c'est quand il n'y a rien. Que signifient les nombres négatifs (« moins ») ? Mais ils ont été inventés avant tout pour indiquer les dettes : si vous avez un solde sur votre téléphone en roubles, cela signifie que vous devez des roubles à l'opérateur.

Toutes les fractions sont des nombres rationnels. Comment sont-ils apparus, à votre avis ? Très simple. Il y a plusieurs milliers d’années, nos ancêtres ont découvert qu’il leur manquait des nombres naturels pour mesurer la longueur, le poids, la superficie, etc. Et ils ont inventé nombres rationnels... Intéressant, n'est-ce pas ?

Y en a-t-il d'autres nombres irrationnels. Quels sont ces chiffres ? Bref, sans fin décimal. Par exemple, si vous divisez la circonférence d’un cercle par son diamètre, vous obtenez un nombre irrationnel.

Résumé:

Définissons la notion de degré dont l'exposant est un nombre naturel (c'est-à-dire entier et positif).

Tout nombre à la puissance premier est égal à lui-même :
Mettre un nombre au carré signifie le multiplier par lui-même :
Cuber un nombre signifie le multiplier par lui-même trois fois :

Définition.Élever un nombre à une puissance naturelle signifie multiplier le nombre par lui-même par :
.

Propriétés des diplômes

D’où viennent ces propriétés ? Je vais vous montrer maintenant.

Voyons : qu'est-ce que c'est Et ?

Prieuré A :

Combien y a-t-il de multiplicateurs au total ?

C’est très simple : nous avons ajouté des multiplicateurs aux facteurs, et le résultat est des multiplicateurs.

Mais par définition, il s'agit d'une puissance d'un nombre avec un exposant, c'est-à-dire : , ce qu'il fallait prouver.

Exemple: Simplifiez l'expression.

Solution:

Exemple: Simplifiez l'expression.

Solution: Il est important de noter que dans notre règle Nécessairement il doit y avoir les mêmes raisons !
On combine donc les puissances avec la base, mais cela reste un facteur à part :

seulement pour le produit des puissances !

En aucun cas vous ne pouvez écrire cela.

2. c'est tout la puissance d'un nombre

Tout comme pour la propriété précédente, revenons à la définition du degré :

Il s'avère que l'expression est multipliée par elle-même, c'est-à-dire que, selon la définition, il s'agit de la puissance ème du nombre :

Essentiellement, cela peut être appelé « retirer l’indicateur des parenthèses ». Mais vous ne pouvez jamais faire cela au total :

Rappelons les formules de multiplication abrégées : combien de fois avons-nous voulu écrire ?

Mais ce n’est pas vrai, après tout.

Puissance à base négative

Jusqu’à présent, nous avons seulement discuté de ce que devrait être l’exposant.

Mais quelle devrait être la base ?

Dans les pouvoirs de indicateur naturel la base peut être n'importe quel chiffre. En effet, on peut multiplier n’importe quel nombre entre eux, qu’il soit positif, négatif ou même.

Réfléchissons aux signes ("" ou "") qui auront des puissances de nombres positifs et négatifs ?

Par exemple, le nombre est-il positif ou négatif ? UN? ? Avec le premier, tout est clair : peu importe le nombre de nombres positifs que l’on multiplie les uns par les autres, le résultat sera positif.

Mais les aspects négatifs sont un peu plus intéressants. On se souvient de la règle simple de la 6e année : « moins pour moins donne un plus ». C'est-à-dire, ou. Mais si on multiplie par, ça marche.

Déterminez vous-même quel signe auront les expressions suivantes :

1)	2)	3)
4)	5)	6)

Avez-vous réussi ?

Voici les réponses : Dans les quatre premiers exemples, j'espère que tout est clair ? Nous regardons simplement la base et l’exposant et appliquons la règle appropriée.

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

Enfin, sauf lorsque la base est nulle. La base n’est pas égale, n’est-ce pas ? Evidemment non, puisque (parce que).

L'exemple 6) n'est plus si simple !

6 exemples à pratiquer

Analyse de la solution 6 exemples

Si nous ignorons la huitième puissance, que voyons-nous ici ? Souvenons-nous du programme de 7e année. Alors, tu te souviens ? C’est la formule de la multiplication abrégée, à savoir la différence des carrés ! On a:

Regardons attentivement le dénominateur. Cela ressemble beaucoup à l'un des facteurs du numérateur, mais qu'est-ce qui ne va pas ? L'ordre des termes est erroné. S'ils étaient inversés, la règle pourrait s'appliquer.

Mais comment faire ça ? Il s’avère que c’est très simple : le degré pair du dénominateur nous aide ici.

Comme par magie, les termes ont changé de place. Ce « phénomène » s’applique à toute expression à un degré pair : on peut facilement changer les signes entre parenthèses.

Mais il est important de se rappeler : tous les signes changent en même temps!

Revenons à l'exemple :

Et encore la formule :

Entier on appelle les nombres naturels, leurs opposés (c'est-à-dire pris avec le signe " ") et le nombre.

entier positif, et ce n'est pas différent du naturel, alors tout ressemble exactement à la section précédente.

Examinons maintenant de nouveaux cas. Commençons par un indicateur égal à.

Tout nombre à la puissance zéro est égal à un:

Comme toujours, demandons-nous : pourquoi en est-il ainsi ?

Considérons un certain degré avec une base. Prenons par exemple et multipliez par :

Nous avons donc multiplié le nombre par et nous avons obtenu la même chose - . Par quel nombre faut-il multiplier pour que rien ne change ? C'est vrai, continuez. Moyens.

On peut faire la même chose avec un nombre arbitraire :

Répétons la règle :

Tout nombre à la puissance zéro est égal à un.

Mais il existe des exceptions à de nombreuses règles. Et ici, c'est aussi là - c'est un nombre (comme base).

D'une part, il doit être égal à n'importe quel degré - peu importe combien vous multipliez zéro par lui-même, vous obtiendrez toujours zéro, c'est clair. Mais d’un autre côté, comme tout nombre à la puissance zéro, il doit être égal. Alors, dans quelle mesure cela est-il vrai ? Les mathématiciens ont décidé de ne pas s’impliquer et ont refusé d’élever zéro à la puissance zéro. Autrement dit, nous ne pouvons plus seulement diviser par zéro, mais également l'élever à la puissance zéro.

Allons-nous en. En plus des nombres naturels et des nombres, les nombres entiers incluent également les nombres négatifs. Pour comprendre ce qu’est un degré négatif, faisons comme la dernière fois : multiplions quelques numéro normal au même degré dans une mesure négative :

À partir de là, il est facile d’exprimer ce que vous recherchez :

Étendons maintenant la règle résultante à un degré arbitraire :

Alors, formulons une règle :

Un nombre de puissance négative est l’inverse du même nombre de puissance positive. Mais en même temps La base ne peut pas être nulle :(parce que vous ne pouvez pas diviser par).

Résumons :

I. L'expression n'est pas définie dans le cas. Si donc.

II. Tout nombre à la puissance zéro est égal à un : .

III. Un nombre non égal à zéro à une puissance négative est l'inverse du même nombre à une puissance positive : .

Tâches pour une solution indépendante :

Eh bien, comme d'habitude, des exemples de solutions indépendantes :

Analyse des problèmes pour une solution indépendante :

Je sais, je sais, les chiffres font peur, mais à l'examen d'État unifié, il faut se préparer à tout ! Résolvez ces exemples ou analysez leurs solutions si vous ne parvenez pas à les résoudre et vous apprendrez à les gérer facilement lors de l'examen !

Continuons à élargir la gamme de nombres « appropriés » comme exposant.

Considérons maintenant nombres rationnels. Quels nombres sont appelés rationnels ?

Réponse : tout ce qui peut être représenté comme une fraction, où et sont des nombres entiers, et.

Pour comprendre ce que c'est "degré fractionnaire", considérons la fraction :

Élevons les deux côtés de l'équation à une puissance :

Rappelons maintenant la règle concernant "degré à diplôme":

Quel nombre faut-il élever à une puissance pour obtenir ?

Cette formulation est la définition de la racine du ième degré.

Je vous le rappelle : la racine de la puissance ième d'un nombre () est un nombre qui, lorsqu'il est élevé à une puissance, est égal à.

C'est-à-dire que la racine de la puissance ième est l'opération inverse d'élévation à une puissance : .

Il se trouve que. Évidemment ceci cas particulier peut être étendu : .

Ajoutons maintenant le numérateur : qu'est-ce que c'est ? La réponse est facile à obtenir en utilisant la règle puissance-puissance :

Mais la base peut-elle être n’importe quel nombre ? Après tout, la racine de tous les nombres ne peut pas être extraite.

Aucun!

N'oubliez pas la règle : tout nombre élevé à une puissance paire est un nombre positif. Autrement dit, il est impossible d’extraire ne serait-ce que les racines de nombres négatifs !

Cela signifie que de tels nombres ne peuvent pas être élevés à une puissance fractionnaire avec un dénominateur pair, c'est-à-dire que l'expression n'a aucun sens.

Et l'expression ?

Mais ici un problème se pose.

Le nombre peut être représenté sous la forme d'autres fractions réductibles, par exemple, ou.

Et il s'avère que cela existe, mais n'existe pas, mais ce ne sont que deux enregistrements différents du même numéro.

Ou un autre exemple : une fois, alors vous pouvez l'écrire. Mais si nous écrivons l'indicateur différemment, nous aurons à nouveau des ennuis : (c'est-à-dire que nous avons obtenu un résultat complètement différent !).

Pour éviter de tels paradoxes, nous considérons uniquement un exposant de base positif avec un exposant fractionnaire.

Donc si:

- entier naturel;
- entier ;

Exemples:

Les exposants rationnels sont très utiles pour transformer des expressions avec des racines, par exemple :

5 exemples à mettre en pratique

Analyse de 5 exemples pour la formation

Eh bien, vient maintenant la partie la plus difficile. Maintenant, nous allons le découvrir degré avec exposant irrationnel.

Toutes les règles et propriétés des degrés ici sont exactement les mêmes que pour un degré avec un exposant rationnel, à l'exception

Après tout, par définition, les nombres irrationnels sont des nombres qui ne peuvent pas être représentés par une fraction, où et sont des nombres entiers (c'est-à-dire que les nombres irrationnels sont tous des nombres réels sauf les nombres rationnels).

Lorsque nous étudions des diplômes à exposants naturels, entiers et rationnels, nous créons à chaque fois une certaine « image », « analogie » ou description en termes plus familiers.

Par exemple, un degré avec un exposant naturel est un nombre multiplié par lui-même plusieurs fois ;

...nombre à la puissance zéro- c'est pour ainsi dire un nombre multiplié par lui-même une fois, c'est-à-dire qu'ils n'ont pas encore commencé à le multiplier, ce qui signifie que le nombre lui-même n'est même pas encore apparu - le résultat n'est donc qu'un certain "nombre vierge" , à savoir un nombre ;

...degré entier négatif- c'est comme si un « processus inverse » s'était produit, c'est-à-dire que le nombre n'était pas multiplié par lui-même, mais divisé.

À propos, en sciences, un diplôme avec indicateur complexe, c'est-à-dire que l'indicateur n'est même pas un nombre réel.

Mais à l’école on ne pense pas à de telles difficultés, vous aurez l’occasion d’appréhender ces nouveaux concepts à l’institut.

OÙ NOUS SOMMES SÛRS QUE VOUS ALLEZ ! (si vous apprenez à résoudre de tels exemples :))

Par exemple:

Décider vous-même:

Analyse des solutions :

1. Commençons par la règle habituelle pour élever une puissance à une puissance :

Regardez maintenant l'indicateur. Il ne vous rappelle rien ? Rappelons la formule de multiplication abrégée de la différence des carrés :

DANS dans ce cas,

Il se trouve que:

Répondre: .

2. Nous réduisons les fractions en exposants à la même forme : soit les deux décimales, soit les deux ordinaires. On obtient par exemple :

Réponse : 16

3. Rien de spécial, on utilise les propriétés habituelles des diplômes :

NIVEAU AVANCÉ

Détermination du diplôme

Un diplôme est une expression de la forme : , où :

— base de diplômes;
- exposant.

Diplôme avec indicateur naturel (n = 1, 2, 3,...)

Élever un nombre à la puissance naturelle n signifie multiplier le nombre par lui-même par :

Degré avec un exposant entier (0, ±1, ±2,...)

Si l'exposant est entier positif nombre:

Construction au degré zéro:

L'expression est indéfinie, car, d'une part, à n'importe quel degré est ceci, et d'autre part, n'importe quel nombre au ème degré est ceci.

Si l'exposant est entier négatif nombre:

(parce que vous ne pouvez pas diviser par).

Encore une fois à propos des zéros : l'expression n'est pas définie dans le cas. Si donc.

Exemples:

Puissance avec exposant rationnel

- entier naturel;
- entier ;

Exemples:

Propriétés des diplômes

Pour faciliter la résolution des problèmes, essayons de comprendre : d’où viennent ces propriétés ? Prouvons-les.

Voyons : qu'est-ce que et ?

Prieuré A :

Ainsi, à droite de cette expression, nous obtenons le produit suivant :

Mais par définition c'est une puissance d'un nombre avec un exposant, c'est-à-dire :

Q.E.D.

Exemple : Simplifiez l'expression.

Solution : .

Exemple : Simplifiez l'expression.

Solution : Il est important de noter que dans notre règle Nécessairement il doit y avoir les mêmes raisons. On combine donc les puissances avec la base, mais cela reste un facteur à part :

Autre remarque importante : cette règle - uniquement pour le produit des puissances!

En aucun cas vous ne pouvez écrire cela.

Tout comme pour la propriété précédente, revenons à la définition du degré :

Regroupons ce travail comme ceci :

Il s'avère que l'expression est multipliée par elle-même, c'est-à-dire que, selon la définition, il s'agit de la puissance ème du nombre :

Essentiellement, cela peut être appelé « retirer l’indicateur des parenthèses ». Mais vous ne pourrez jamais faire cela au total : !

Rappelons les formules de multiplication abrégées : combien de fois avons-nous voulu écrire ? Mais ce n’est pas vrai, après tout.

Puissance avec une base négative.

Jusqu'à présent, nous avons seulement discuté de ce à quoi cela devrait ressembler indice degrés. Mais quelle devrait être la base ? Dans les pouvoirs de naturel indicateur la base peut être n'importe quel chiffre .

En effet, on peut multiplier n’importe quel nombre entre eux, qu’il soit positif, négatif ou même. Réfléchissons aux signes ("" ou "") qui auront des puissances de nombres positifs et négatifs ?

Par exemple, le nombre est-il positif ou négatif ? UN? ?

Avec le premier, tout est clair : peu importe le nombre de nombres positifs que l’on multiplie les uns par les autres, le résultat sera positif.

Et ainsi de suite à l'infini : à chaque multiplication ultérieure, le signe changera. Nous pouvons formuler ce qui suit règles simples:

même diplôme, - nombre positif.
Nombre négatif porté à impair diplôme, - nombre négatif.
Un nombre positif, à quelque degré que ce soit, est un nombre positif.
Zéro à n’importe quelle puissance est égal à zéro.

Déterminez vous-même quel signe auront les expressions suivantes :

1.	2.	3.
4.	5.	6.

Avez-vous réussi ? Voici les réponses :

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

Dans les quatre premiers exemples, j'espère que tout est clair ? Nous regardons simplement la base et l’exposant et appliquons la règle appropriée.

Dans l'exemple 5), tout n'est pas non plus aussi effrayant qu'il y paraît : après tout, peu importe à quoi la base est égale - le degré est pair, ce qui signifie que le résultat sera toujours positif. Enfin, sauf lorsque la base est nulle. La base n’est pas égale, n’est-ce pas ? Evidemment non, puisque (parce que).

L'exemple 6) n'est plus aussi simple. Ici, vous devez savoir ce qui est le moins : ou ? Si nous nous souvenons de cela, il devient clair que, et donc la base moins que zéro. C'est-à-dire que nous appliquons la règle 2 : le résultat sera négatif.

Et encore une fois, nous utilisons la définition du degré :

Tout est comme d'habitude - nous écrivons la définition des diplômes et les divisons les uns par les autres, les divisons en paires et obtenons :

Avant d'examiner la dernière règle, résolvons quelques exemples.

Calculez les expressions :

Solutions :

On a:

Regardons attentivement le dénominateur. Cela ressemble beaucoup à l'un des facteurs du numérateur, mais qu'est-ce qui ne va pas ? L'ordre des termes est erroné. Si elles étaient inversées, la règle 3 pourrait s’appliquer. Mais comment ? Il s’avère que c’est très simple : le degré pair du dénominateur nous aide ici.

Si vous le multipliez par, rien ne change, n'est-ce pas ? Mais maintenant, cela donne ceci :

Comme par magie, les termes ont changé de place. Ce « phénomène » s’applique à toute expression à un degré pair : on peut facilement changer les signes entre parenthèses. Mais il est important de se rappeler : Tous les signes changent en même temps ! Vous ne pouvez pas le remplacer en modifiant un seul inconvénient que nous n’aimons pas !

Revenons à l'exemple :

Et encore la formule :

Alors maintenant la dernière règle :

Comment allons-nous le prouver ? Bien sûr, comme d’habitude : développons la notion de diplôme et simplifions-la :

Eh bien, ouvrons maintenant les parenthèses. Combien y a-t-il de lettres au total ? fois par multiplicateurs - qu'est-ce que cela vous rappelle ? Ce n'est rien de plus qu'une définition d'une opération multiplication: Il n'y avait là que des multiplicateurs. Autrement dit, il s'agit, par définition, d'une puissance d'un nombre avec un exposant :

Exemple:

Diplôme avec exposant irrationnel

En plus des informations sur les diplômes pour le niveau moyen, nous analyserons le diplôme avec un exposant irrationnel. Toutes les règles et propriétés des degrés ici sont exactement les mêmes que pour un degré avec un exposant rationnel, à l'exception - après tout, par définition, les nombres irrationnels sont des nombres qui ne peuvent pas être représentés comme une fraction, où et sont des nombres entiers (c'est-à-dire , les nombres irrationnels sont tous des nombres réels sauf les nombres rationnels).

Lorsque nous étudions des diplômes à exposants naturels, entiers et rationnels, nous créons à chaque fois une certaine « image », « analogie » ou description en termes plus familiers. Par exemple, un degré avec un exposant naturel est un nombre multiplié par lui-même plusieurs fois ; un nombre à la puissance zéro est pour ainsi dire un nombre multiplié par lui-même une fois, c'est-à-dire qu'ils n'ont pas encore commencé à le multiplier, ce qui signifie que le nombre lui-même n'est même pas encore apparu - le résultat n'est donc qu'un certain « numéro vierge », à savoir un numéro ; un degré avec un exposant entier négatif - c'est comme si un « processus inverse » s'était produit, c'est-à-dire que le nombre n'était pas multiplié par lui-même, mais divisé.

Il est extrêmement difficile d’imaginer un degré avec un exposant irrationnel (tout comme il est difficile d’imaginer un espace à 4 dimensions). Il s’agit plutôt d’un objet purement mathématique que les mathématiciens ont créé pour étendre la notion de degré à tout l’espace des nombres.

À propos, en sciences, un degré avec un exposant complexe est souvent utilisé, c'est-à-dire que l'exposant n'est même pas un nombre réel. Mais à l’école on ne pense pas à de telles difficultés, vous aurez l’occasion d’appréhender ces nouveaux concepts à l’institut.

Alors, que faisons-nous si nous voyons un exposant irrationnel ? Nous faisons de notre mieux pour nous en débarrasser ! :)

Par exemple:

Décider vous-même:

Réponses:

Rappelons la formule de différence des carrés. Répondre: .
Nous réduisons les fractions à la même forme : soit les deux décimales, soit les deux ordinaires. On obtient par exemple : .
Rien de spécial, on utilise les propriétés habituelles des diplômes :

RÉSUMÉ DE LA SECTION ET FORMULES DE BASE

Degré appelé une expression de la forme : , où :

Diplôme avec un exposant entier

un degré dont l'exposant est un nombre naturel (c'est-à-dire entier et positif).

Puissance avec exposant rationnel

degré dont l'exposant est constitué de nombres négatifs et fractionnaires.

Diplôme avec exposant irrationnel

un degré dont l'exposant est une fraction décimale infinie ou une racine.

Propriétés des diplômes

Caractéristiques des diplômes.

Nombre négatif porté à même diplôme, - nombre positif.
Nombre négatif porté à impair diplôme, - nombre négatif.
Un nombre positif, à quelque degré que ce soit, est un nombre positif.
Zéro est égal à n’importe quelle puissance.
Tout nombre à la puissance zéro est égal.

MAINTENANT VOUS AVEZ LE MOT...

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Parlez-nous de votre expérience en utilisant les propriétés des diplômes.

Peut-être avez-vous des questions. Ou des suggestions.

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Et bonne chance pour tes examens !

Depuis l'école, nous connaissons tous la règle de l'exponentiation : tout nombre avec un exposant N est égal au résultat de la multiplication. numéro donnéà vous-même N nombre de fois. En d'autres termes, 7 à la puissance 3 est 7 multiplié par lui-même trois fois, soit 343. Une autre règle est qu'élever n'importe quelle quantité à la puissance 0 en donne un, et élever une quantité négative est le résultat d'une augmentation ordinaire à la puissance si elle est paire, et le même résultat avec un signe moins si elle est impaire.

Les règles donnent également la réponse sur la façon d’élever un nombre à une puissance négative. Pour ce faire, vous devez augmenter la valeur requise du module de l'indicateur de la manière habituelle, puis diviser l'unité par le résultat.

Il ressort clairement de ces règles que la mise en œuvre de vrais problèmes la manipulation de grandes quantités nécessitera de la disponibilité moyens techniques. Manuellement, vous pouvez multiplier vous-même une plage maximale de nombres allant de vingt à trente, puis pas plus de trois ou quatre fois. Cela ne veut pas dire qu’il faut ensuite diviser un par le résultat. Par conséquent, pour ceux qui n'ont pas de calculatrice d'ingénierie spéciale à portée de main, nous vous expliquerons comment élever un nombre à une puissance négative dans Excel.

Résoudre des problèmes dans Excel

Pour résoudre des problèmes impliquant une exponentiation, Excel vous permet d'utiliser l'une des deux options suivantes.

La première est l’utilisation d’une formule avec un signe « couvercle » standard. Entrez les données suivantes dans les cellules de la feuille de calcul :

De la même manière, vous pouvez augmenter la valeur souhaitée à n'importe quelle puissance - négative, fractionnaire. Faisons-le les actions suivantes et répondez à la question de savoir comment élever un nombre à une puissance négative. Exemple:

Vous pouvez corriger =B2^-C2 directement dans la formule.

La deuxième option consiste à utiliser la fonction « Degré » prête à l'emploi, qui prend deux arguments obligatoires : un nombre et un exposant. Pour commencer à l'utiliser, placez simplement le signe égal (=) dans n'importe quelle cellule libre, indiquant le début de la formule, et entrez les mots ci-dessus. Il ne reste plus qu'à sélectionner deux cellules qui participeront à l'opération (ou à spécifier manuellement des numéros spécifiques) et à appuyer sur la touche Entrée. Regardons quelques exemples simples.

Formule

Résultat

DIPLÔME(B2;C2)

DIPLÔME(B3;C3)

0,002915

Comme vous pouvez le constater, il n’y a rien de compliqué sur la façon d’élever un nombre à une puissance négative et à une puissance régulière à l’aide d’Excel. Après tout, pour résoudre ce problème, vous pouvez utiliser à la fois le symbole familier du « couvercle » et la fonction intégrée du programme, facile à retenir. C'est un plus indéniable !

Passons à plus exemples complexes. Rappelons-nous la règle sur la façon d'élever un nombre à une puissance fractionnaire négative, et nous verrons que ce problème est très facilement résolu dans Excel.

Indicateurs fractionnaires

En bref, l'algorithme de calcul d'un nombre avec un exposant fractionnaire est le suivant.

Convertir une fraction en fraction propre ou impropre.
Élevons notre nombre au numérateur de la fraction convertie résultante.
A partir du nombre obtenu dans le paragraphe précédent, calculez la racine, à condition que l'exposant de la racine soit le dénominateur de la fraction obtenue à la première étape.

Convenez que même en opérant avec un petit nombre et fractions correctes De tels calculs peuvent prendre beaucoup de temps. C’est bien que le tableur Excel ne se soucie pas de savoir quel nombre est élevé à quelle puissance. Essayez de résoudre l'exemple suivant sur une feuille de calcul Excel :

En utilisant les règles ci-dessus, vous pouvez vérifier et vous assurer que le calcul a été effectué correctement.

A la fin de notre article, nous présenterons sous forme de tableau avec formules et résultats plusieurs exemples de comment élever un nombre à une puissance négative, ainsi que plusieurs exemples d'opérations avec des nombres fractionnaires et des puissances.

Exemple de tableau

Consultez les exemples suivants dans votre feuille de calcul Excel. Pour que tout fonctionne correctement, vous devez utiliser une référence mixte lors de la copie de la formule. Fixez le numéro de la colonne contenant le numéro à augmenter et le numéro de la ligne contenant l'indicateur. Votre formule devrait avoir environ vue suivante: "=$B4^C$3".

Numéro/Degré

Veuillez noter que les nombres positifs (même non entiers) peuvent être calculés sans problème pour n'importe quel exposant. Il n'y a aucun problème à élever des nombres à des nombres entiers. Mais la construction nombre négatifà une puissance fractionnaire se transformera pour vous en erreur, puisqu'il est impossible de suivre la règle indiquée au début de notre article sur l'augmentation des nombres négatifs, car la parité est une caractéristique exclusivement d'un nombre ENTIER.

Poursuivant la conversation sur la puissance d'un nombre, il est logique de comprendre comment trouver la valeur de la puissance. Ce processus est appelé exponentiation. Dans cet article, nous étudierons comment s'effectue l'exponentiation et nous aborderons tout indicateurs possibles degrés – naturels, entiers, rationnels et irrationnels. Et selon la tradition, nous examinerons en détail des solutions à des exemples d'augmentation du nombre à divers pouvoirs.

Navigation dans les pages.

Que signifie « exponentiation » ?

Commençons par expliquer ce qu'on appelle l'exponentiation. Voici la définition pertinente.

Définition.

Exponentiation- c'est trouver la valeur de la puissance d'un nombre.

Ainsi, trouver la valeur de la puissance d’un nombre a d’exposant r et élever le nombre a à la puissance r sont la même chose. Par exemple, si la tâche est « calculer la valeur de la puissance (0,5) 5 », alors elle peut être reformulée comme suit : « Élever le nombre 0,5 à la puissance 5 ».

Vous pouvez maintenant accéder directement aux règles selon lesquelles l'exponentiation est effectuée.

Élever un nombre à une puissance naturelle

Dans la pratique, l'égalité basée sur est généralement appliquée sous la forme . Autrement dit, lorsqu'on élève un nombre a à une puissance fractionnaire m/n, on prend d'abord la nième racine du nombre a, après quoi le résultat résultant est élevé à une puissance entière m.

Examinons des solutions à des exemples d'élévation à une puissance fractionnaire.

Exemple.

Calculez la valeur du diplôme.

Solution.

Nous allons montrer deux solutions.

Première façon. Par définition d'un degré avec un exposant fractionnaire. On calcule la valeur du degré sous le signe racine, puis on extrait la racine cubique : .

Deuxième façon. Par la définition d'un degré avec un exposant fractionnaire et basée sur les propriétés des racines, les égalités suivantes sont vraies : . Maintenant, nous extrayons la racine , enfin, on l'élève à une puissance entière .

Évidemment, les résultats obtenus en élevant à une puissance fractionnaire coïncident.

Répondre:

Notez qu'un exposant fractionnaire peut être écrit sous forme de fraction décimale ou de nombre fractionnaire, dans ces cas, il doit être remplacé par la fraction ordinaire correspondante, puis élevé à une puissance.

Exemple.

Calculez (44,89) 2,5.

Solution.

Écrivons l'exposant sous la forme fraction commune(si nécessaire, voir l'article) : . Maintenant, nous effectuons l'élévation à une puissance fractionnaire :

Répondre:

(44,89) 2,5 =13 501,25107 .

Il faut également dire qu'élever des nombres à des puissances rationnelles est un processus plutôt laborieux (surtout lorsque le numérateur et le dénominateur de l'exposant fractionnaire contiennent plusieurs gros chiffres), qui est généralement réalisée à l'aide la technologie informatique.

Pour conclure ce point, attardons-nous sur l’élévation du nombre zéro à une puissance fractionnaire. Nous avons donné la signification suivante à la puissance fractionnaire de zéro de la forme : quand on a , et à zéro à la puissance m/n n'est pas définie. Ainsi, zéro à une puissance fractionnaire positive est nul, par exemple : . Et zéro dans une puissance fractionnaire négative n'a pas de sens, par exemple, les expressions 0 -4,3 n'ont pas de sens.

S'élever à une puissance irrationnelle

Parfois, il devient nécessaire de connaître la valeur de la puissance d'un nombre avec un exposant irrationnel. Dans ce cas, pour des raisons pratiques, il suffit généralement d'obtenir la valeur du degré avec une précision d'un certain signe. Notons tout de suite qu'en pratique cette valeur est calculée à l'aide de calculateurs électroniques, puisque l'élever à une puissance irrationnelle nécessite manuellement grande quantité calculs fastidieux. Mais nous décrirons quand même dans Plan général l'essence de l'action.

Pour obtenir une valeur approximative de la puissance d'un nombre a avec un exposant irrationnel, une approximation décimale de l'exposant est prise et la valeur de la puissance est calculée. Cette valeur est une valeur approximative de la puissance du nombre a avec un exposant irrationnel. Plus l'approximation décimale d'un nombre est initialement prise avec précision, plus valeur exacte le diplôme sera finalement obtenu.

A titre d'exemple, calculons la valeur approximative de la puissance de 2 1,174367... . Prenons l'approximation décimale suivante de l'exposant irrationnel : . Maintenant, nous élevons 2 à la puissance rationnelle 1,17 (nous avons décrit l'essence de ce processus dans le paragraphe précédent), nous obtenons 2 1,17 ≈2,250116. Ainsi, 2 1,174367... ≈2 1,17 ≈2,250116 . Si nous prenons par exemple une approximation décimale plus précise de l’exposant irrationnel, alors nous obtenons une valeur plus précise de l’exposant d’origine : 2 1,174367... ≈2 1,1743 ≈2,256833 .

Bibliographie.

Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Manuel de mathématiques pour la 5ème année. les établissements d'enseignement.
Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algèbre : manuel pour la 7e année. les établissements d'enseignement.
Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algèbre : manuel pour la 8e année. les établissements d'enseignement.
Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algèbre : manuel pour la 9e année. les établissements d'enseignement.
Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. et autres Algèbre et débuts de l'analyse : Manuel pour les classes 10 - 11 des établissements d'enseignement général.
Gusev V.A., Mordkovitch A.G. Mathématiques (un manuel pour ceux qui entrent dans les écoles techniques).

Premier niveau

Degré et ses propriétés. Le guide complet (2019)

Pourquoi faut-il des diplômes ? Où en aurez-vous besoin ? Pourquoi prendre le temps de les étudier ?

Pour tout savoir sur les diplômes, à quoi ils servent et comment utiliser vos connaissances au quotidien, lisez cet article.

Et, bien sûr, la connaissance des diplômes vous rapprochera de la réussite de l'examen d'État unifié ou de l'examen d'État unifié et de l'entrée dans l'université de vos rêves.

Allons-y allons-y!)

Note importante! Si vous voyez du charabia au lieu de formules, videz votre cache. Pour ce faire, appuyez sur CTRL+F5 (sous Windows) ou Cmd+R (sous Mac).

PREMIER NIVEAU

L'exponentiation est une opération mathématique au même titre que l'addition, la soustraction, la multiplication ou la division.

Maintenant, je vais tout expliquer en langage humain à l’aide d’exemples très simples. Sois prudent. Les exemples sont élémentaires, mais expliquent des choses importantes.

Commençons par l'addition.

Il n'y a rien à expliquer ici. Vous savez déjà tout : nous sommes huit. Tout le monde a deux bouteilles de cola. Combien y a-t-il de cola ? C'est vrai - 16 bouteilles.

Maintenant la multiplication.

Voici la table de multiplication. Répéter.

Et un autre, plus beau :

Quelles autres astuces de comptage astucieuses les mathématiciens paresseux ont-ils inventées ? Droite - élever un nombre à une puissance.

Élever un nombre à une puissance

Tout ce que vous avez à faire est rappelez-vous ce qui est surligné en couleur dans le tableau des puissances des nombres. Croyez-moi, cela vous facilitera grandement la vie.

Exemple réel n°1

Commençons par le carré ou la puissance deux du nombre.

Exemple réel n°2

Exemple concret n°3

Maintenant le cube ou la troisième puissance d'un nombre. La même piscine. Mais maintenant, vous devez savoir quelle quantité d’eau devra être versée dans cette piscine. Vous devez calculer le volume. (Au fait, les volumes et les liquides sont mesurés en mètres cubes. Inattendu, n'est-ce pas ?) Dessinez une piscine : le fond mesure un mètre de taille et un mètre de profondeur, et essayez de compter combien de cubes mesurant un mètre par un mètre le feront. s'intègre dans votre piscine.

Exemple réel n°4

Exemple concret n°5

Termes et concepts... pour ne pas se tromper

Eh bien, en même temps, quoi une telle base de diplôme? Encore plus simple, c'est le numéro qui se trouve en bas, à la base.

Voici un dessin pour faire bonne mesure.

Eh bien, de manière générale, afin de généraliser et de mieux mémoriser... Un degré avec une base « » et un exposant « » se lit comme « au degré » et s'écrit comme suit :

Puissance d'un nombre à exposant naturel

Vous l’avez probablement déjà deviné : parce que l’exposant est un nombre naturel. Oui, mais qu'est-ce que c'est entier naturel? Élémentaire! Les nombres naturels sont les nombres qui sont utilisés pour compter lors de la liste d'objets : un, deux, trois... Lorsque nous comptons des objets, nous ne disons pas : « moins cinq », « moins six », « moins sept ». Nous ne disons pas non plus : « un tiers », ou « zéro virgule cinq ». Ce ne sont pas des nombres naturels. À votre avis, de quels chiffres s'agit-il ?

Il existe aussi des nombres irrationnels. Quels sont ces chiffres ? En bref, c'est une fraction décimale infinie. Par exemple, si vous divisez la circonférence d’un cercle par son diamètre, vous obtenez un nombre irrationnel.

Résumé:

Définissons la notion de degré dont l'exposant est un nombre naturel (c'est-à-dire entier et positif).

Tout nombre à la puissance premier est égal à lui-même :
Mettre un nombre au carré signifie le multiplier par lui-même :
Cuber un nombre signifie le multiplier par lui-même trois fois :

Définition.Élever un nombre à une puissance naturelle signifie multiplier le nombre par lui-même par :
.

Propriétés des diplômes

D’où viennent ces propriétés ? Je vais vous montrer maintenant.

Voyons : qu'est-ce que c'est Et ?

Prieuré A :

Combien y a-t-il de multiplicateurs au total ?

C’est très simple : nous avons ajouté des multiplicateurs aux facteurs, et le résultat est des multiplicateurs.

Mais par définition, il s'agit d'une puissance d'un nombre avec un exposant, c'est-à-dire : , ce qu'il fallait prouver.

Exemple: Simplifiez l'expression.

Solution:

Exemple: Simplifiez l'expression.

seulement pour le produit des puissances !

En aucun cas vous ne pouvez écrire cela.

2. c'est tout la puissance d'un nombre

Tout comme pour la propriété précédente, revenons à la définition du degré :

Il s'avère que l'expression est multipliée par elle-même, c'est-à-dire que, selon la définition, il s'agit de la puissance ème du nombre :

Essentiellement, cela peut être appelé « retirer l’indicateur des parenthèses ». Mais vous ne pouvez jamais faire cela au total :

Rappelons les formules de multiplication abrégées : combien de fois avons-nous voulu écrire ?

Mais ce n’est pas vrai, après tout.

Puissance à base négative

Jusqu’à présent, nous avons seulement discuté de ce que devrait être l’exposant.

Mais quelle devrait être la base ?

Dans les pouvoirs de indicateur naturel la base peut être n'importe quel chiffre. En effet, on peut multiplier n’importe quel nombre entre eux, qu’il soit positif, négatif ou même.

Réfléchissons aux signes ("" ou "") qui auront des puissances de nombres positifs et négatifs ?

Déterminez vous-même quel signe auront les expressions suivantes :

1)	2)	3)
4)	5)	6)

Avez-vous réussi ?

Voici les réponses : Dans les quatre premiers exemples, j'espère que tout est clair ? Nous regardons simplement la base et l’exposant et appliquons la règle appropriée.

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

Enfin, sauf lorsque la base est nulle. La base n’est pas égale, n’est-ce pas ? Evidemment non, puisque (parce que).

L'exemple 6) n'est plus si simple !

6 exemples à pratiquer

Analyse de la solution 6 exemples

Mais comment faire ça ? Il s’avère que c’est très simple : le degré pair du dénominateur nous aide ici.

Comme par magie, les termes ont changé de place. Ce « phénomène » s’applique à toute expression à un degré pair : on peut facilement changer les signes entre parenthèses.

Mais il est important de se rappeler : tous les signes changent en même temps!

Revenons à l'exemple :

Et encore la formule :

Entier on appelle les nombres naturels, leurs opposés (c'est-à-dire pris avec le signe " ") et le nombre.

entier positif, et ce n'est pas différent du naturel, alors tout ressemble exactement à la section précédente.

Examinons maintenant de nouveaux cas. Commençons par un indicateur égal à.

Tout nombre à la puissance zéro est égal à un:

Comme toujours, demandons-nous : pourquoi en est-il ainsi ?

Considérons un certain degré avec une base. Prenons par exemple et multipliez par :

Nous avons donc multiplié le nombre par et nous avons obtenu la même chose - . Par quel nombre faut-il multiplier pour que rien ne change ? C'est vrai, continuez. Moyens.

On peut faire la même chose avec un nombre arbitraire :

Répétons la règle :

Tout nombre à la puissance zéro est égal à un.

Mais il existe des exceptions à de nombreuses règles. Et ici, c'est aussi là - c'est un nombre (comme base).

Allons-nous en. En plus des nombres naturels et des nombres, les nombres entiers incluent également les nombres négatifs. Pour comprendre ce qu’est une puissance négative, faisons comme la dernière fois : multipliez un nombre normal par le même nombre pour obtenir une puissance négative :

À partir de là, il est facile d’exprimer ce que vous recherchez :

Étendons maintenant la règle résultante à un degré arbitraire :

Alors, formulons une règle :

Un nombre de puissance négative est l’inverse du même nombre de puissance positive. Mais en même temps La base ne peut pas être nulle :(parce que vous ne pouvez pas diviser par).

Résumons :

I. L'expression n'est pas définie dans le cas. Si donc.

II. Tout nombre à la puissance zéro est égal à un : .

III. Un nombre non égal à zéro à une puissance négative est l'inverse du même nombre à une puissance positive : .

Tâches pour une solution indépendante :

Eh bien, comme d'habitude, des exemples de solutions indépendantes :

Analyse des problèmes pour une solution indépendante :

Continuons à élargir la gamme de nombres « appropriés » comme exposant.

Considérons maintenant nombres rationnels. Quels nombres sont appelés rationnels ?

Réponse : tout ce qui peut être représenté comme une fraction, où et sont des nombres entiers, et.

Pour comprendre ce que c'est "degré fractionnaire", considérons la fraction :

Élevons les deux côtés de l'équation à une puissance :

Rappelons maintenant la règle concernant "degré à diplôme":

Quel nombre faut-il élever à une puissance pour obtenir ?

Cette formulation est la définition de la racine du ième degré.

Je vous le rappelle : la racine de la puissance ième d'un nombre () est un nombre qui, lorsqu'il est élevé à une puissance, est égal à.

C'est-à-dire que la racine de la puissance ième est l'opération inverse d'élévation à une puissance : .

Il se trouve que. Bien évidemment, ce cas particulier peut être étendu : .

Ajoutons maintenant le numérateur : qu'est-ce que c'est ? La réponse est facile à obtenir en utilisant la règle puissance-puissance :

Mais la base peut-elle être n’importe quel nombre ? Après tout, la racine de tous les nombres ne peut pas être extraite.

Aucun!

N'oubliez pas la règle : tout nombre élevé à une puissance paire est un nombre positif. Autrement dit, il est impossible d’extraire ne serait-ce que les racines de nombres négatifs !

Cela signifie que de tels nombres ne peuvent pas être élevés à une puissance fractionnaire avec un dénominateur pair, c'est-à-dire que l'expression n'a aucun sens.

Et l'expression ?

Mais ici un problème se pose.

Le nombre peut être représenté sous la forme d'autres fractions réductibles, par exemple, ou.

Et il s'avère que cela existe, mais n'existe pas, mais ce ne sont que deux enregistrements différents du même numéro.

Pour éviter de tels paradoxes, nous considérons uniquement un exposant de base positif avec un exposant fractionnaire.

Donc si:

- entier naturel;
- entier ;

Exemples:

Les exposants rationnels sont très utiles pour transformer des expressions avec des racines, par exemple :

5 exemples à mettre en pratique

Analyse de 5 exemples pour la formation

Eh bien, vient maintenant la partie la plus difficile. Maintenant, nous allons le découvrir degré avec exposant irrationnel.

Toutes les règles et propriétés des degrés ici sont exactement les mêmes que pour un degré avec un exposant rationnel, à l'exception

Lorsque nous étudions des diplômes à exposants naturels, entiers et rationnels, nous créons à chaque fois une certaine « image », « analogie » ou description en termes plus familiers.

Par exemple, un degré avec un exposant naturel est un nombre multiplié par lui-même plusieurs fois ;

...degré entier négatif- c'est comme si un « processus inverse » s'était produit, c'est-à-dire que le nombre n'était pas multiplié par lui-même, mais divisé.

À propos, en sciences, un degré avec un exposant complexe est souvent utilisé, c'est-à-dire que l'exposant n'est même pas un nombre réel.

Mais à l’école on ne pense pas à de telles difficultés, vous aurez l’occasion d’appréhender ces nouveaux concepts à l’institut.

OÙ NOUS SOMMES SÛRS QUE VOUS ALLEZ ! (si vous apprenez à résoudre de tels exemples :))

Par exemple:

Décider vous-même:

Analyse des solutions :

1. Commençons par la règle habituelle pour élever une puissance à une puissance :

Regardez maintenant l'indicateur. Il ne vous rappelle rien ? Rappelons la formule de multiplication abrégée de la différence des carrés :

Dans ce cas,

Il se trouve que:

Répondre: .

2. Nous réduisons les fractions en exposants à la même forme : soit les deux décimales, soit les deux ordinaires. On obtient par exemple :

Réponse : 16

3. Rien de spécial, on utilise les propriétés habituelles des diplômes :

NIVEAU AVANCÉ

Détermination du diplôme

Un diplôme est une expression de la forme : , où :

— base de diplômes;
- exposant.

Diplôme avec indicateur naturel (n = 1, 2, 3,...)

Élever un nombre à la puissance naturelle n signifie multiplier le nombre par lui-même par :

Degré avec un exposant entier (0, ±1, ±2,...)

Si l'exposant est entier positif nombre:

Construction au degré zéro:

L'expression est indéfinie, car, d'une part, à n'importe quel degré est ceci, et d'autre part, n'importe quel nombre au ème degré est ceci.

Si l'exposant est entier négatif nombre:

(parce que vous ne pouvez pas diviser par).

Encore une fois à propos des zéros : l'expression n'est pas définie dans le cas. Si donc.

Exemples:

Puissance avec exposant rationnel

- entier naturel;
- entier ;

Exemples:

Propriétés des diplômes

Pour faciliter la résolution des problèmes, essayons de comprendre : d’où viennent ces propriétés ? Prouvons-les.

Voyons : qu'est-ce que et ?

Prieuré A :

Ainsi, à droite de cette expression, nous obtenons le produit suivant :

Mais par définition c'est une puissance d'un nombre avec un exposant, c'est-à-dire :

Q.E.D.

Exemple : Simplifiez l'expression.

Solution : .

Exemple : Simplifiez l'expression.

Autre remarque importante : cette règle - uniquement pour le produit des puissances!

En aucun cas vous ne pouvez écrire cela.

Tout comme pour la propriété précédente, revenons à la définition du degré :

Regroupons ce travail comme ceci :

Il s'avère que l'expression est multipliée par elle-même, c'est-à-dire que, selon la définition, il s'agit de la puissance ème du nombre :

Essentiellement, cela peut être appelé « retirer l’indicateur des parenthèses ». Mais vous ne pourrez jamais faire cela au total : !

Rappelons les formules de multiplication abrégées : combien de fois avons-nous voulu écrire ? Mais ce n’est pas vrai, après tout.

Puissance avec une base négative.

Par exemple, le nombre est-il positif ou négatif ? UN? ?

Avec le premier, tout est clair : peu importe le nombre de nombres positifs que l’on multiplie les uns par les autres, le résultat sera positif.

Et ainsi de suite à l'infini : à chaque multiplication ultérieure, le signe changera. Les règles simples suivantes peuvent être formulées :

même diplôme, - nombre positif.
Nombre négatif porté à impair diplôme, - nombre négatif.
Un nombre positif, à quelque degré que ce soit, est un nombre positif.
Zéro à n’importe quelle puissance est égal à zéro.

Déterminez vous-même quel signe auront les expressions suivantes :

1.	2.	3.
4.	5.	6.

Avez-vous réussi ? Voici les réponses :

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

Dans les quatre premiers exemples, j'espère que tout est clair ? Nous regardons simplement la base et l’exposant et appliquons la règle appropriée.

L'exemple 6) n'est plus aussi simple. Ici, vous devez savoir ce qui est le moins : ou ? Si nous nous souvenons de cela, cela devient clair, ce qui signifie que la base est inférieure à zéro. C'est-à-dire que nous appliquons la règle 2 : le résultat sera négatif.

Et encore une fois, nous utilisons la définition du degré :

Tout est comme d'habitude - nous écrivons la définition des diplômes et les divisons les uns par les autres, les divisons en paires et obtenons :

Avant d'examiner la dernière règle, résolvons quelques exemples.

Calculez les expressions :

Solutions :

On a:

Si vous le multipliez par, rien ne change, n'est-ce pas ? Mais maintenant, cela donne ceci :

Revenons à l'exemple :

Et encore la formule :

Alors maintenant la dernière règle :

Comment allons-nous le prouver ? Bien sûr, comme d’habitude : développons la notion de diplôme et simplifions-la :

Exemple:

Diplôme avec exposant irrationnel

Alors, que faisons-nous si nous voyons un exposant irrationnel ? Nous faisons de notre mieux pour nous en débarrasser ! :)

Par exemple:

Décider vous-même:

Réponses:

Rappelons la formule de différence des carrés. Répondre: .
Nous réduisons les fractions à la même forme : soit les deux décimales, soit les deux ordinaires. On obtient par exemple : .
Rien de spécial, on utilise les propriétés habituelles des diplômes :

RÉSUMÉ DE LA SECTION ET FORMULES DE BASE

Degré appelé une expression de la forme : , où :

Diplôme avec un exposant entier

un degré dont l'exposant est un nombre naturel (c'est-à-dire entier et positif).

Puissance avec exposant rationnel

degré dont l'exposant est constitué de nombres négatifs et fractionnaires.

Diplôme avec exposant irrationnel

un degré dont l'exposant est une fraction décimale infinie ou une racine.

Propriétés des diplômes

Caractéristiques des diplômes.

Nombre négatif porté à même diplôme, - nombre positif.
Nombre négatif porté à impair diplôme, - nombre négatif.
Un nombre positif, à quelque degré que ce soit, est un nombre positif.
Zéro est égal à n’importe quelle puissance.
Tout nombre à la puissance zéro est égal.

MAINTENANT VOUS AVEZ LE MOT...

Comment aimez-vous l’article ? Écrivez ci-dessous dans les commentaires si vous l'avez aimé ou non.

Parlez-nous de votre expérience en utilisant les propriétés des diplômes.

Peut-être avez-vous des questions. Ou des suggestions.

Écrivez dans les commentaires.

Et bonne chance pour tes examens !

Comme vous le savez, en mathématiques, il n'y a pas que des nombres positifs, mais aussi des nombres négatifs. Si la connaissance des puissances positives commence par déterminer l'aire d'un carré, alors avec les puissances négatives, tout est un peu plus compliqué.

Ce que vous devez savoir :

Élever un nombre à une puissance naturelle est la multiplication d'un nombre (dans l'article nous considérerons les notions de nombre et d'équivalent numérique) par lui-même dans une quantité telle que l'exposant (à l'avenir nous utiliserons en parallèle et simplement le mot exposant). 6^3 = 6*6*6 = 36*6 =216. En général, cela ressemble à ceci : m^n = m*m*m*…*m (n fois).
Il faut tenir compte du fait que lorsqu’un nombre négatif est élevé à une puissance naturelle, il deviendra positif si l’exposant est pair.
Élever un nombre à un exposant de 0 donne un, à condition qu'il ne soit pas égal à zéro. La puissance zéro à zéro est considérée comme indéfinie. 17 ^ 0 = 1.
Extraire la racine d'une certaine puissance d'un nombre, c'est trouver un nombre qui, lorsqu'il est élevé à l'exposant approprié, donnera la valeur souhaitée. Ainsi, la racine cubique de 125 est 5, puisque 5^3 = 125.
Si vous souhaitez élever un nombre à une puissance fractionnaire positive, vous devez alors élever le nombre à l'exposant du dénominateur et en extraire la racine de l'exposant du numérateur. 6^5/7 = la septième racine du produit 6*6*6*6*6.
Si vous souhaitez élever un nombre à un exposant négatif, vous devez alors trouver l’inverse du nombre donné. x^-3 = 1/x^3. 8^-4 = 1/8^4 = 1/8*8*8*8 = 1/4096.

Élever un nombre modulo zéro à un à une puissance négative

Nous devrions d'abord nous rappeler qu'est-ce qu'un module. Il s'agit de la distance sur la ligne de coordonnées entre la valeur que nous avons choisie et l'origine (zéro de la ligne de coordonnées). Par définition, cela ne peut jamais être négatif.

Valeur supérieure à zéro

Lorsque la valeur d'un chiffre est comprise entre zéro et un, un indicateur négatif donne une augmentation du chiffre lui-même. Cela se produit parce que le dénominateur diminue tout en restant positif.

Regardons des exemples :

1/7^-3 = 1/(1/7^3) = 1/(1/343) = 343;
0,2^-5 = 1/0,2^5 = 1/0,2*0,2*0,2*0,2*0,2 = 1/0,00032 = 3125.

De plus, plus le module de l'indicateur est grand, plus le chiffre augmente activement. Lorsque le dénominateur tend vers zéro, la fraction elle-même tend vers plus l’infini.

Valeur inférieure à zéro

Voyons maintenant comment élever à une puissance négative si le nombre est inférieur à zéro. Le principe est le même que dans la partie précédente, mais ici le signe de l'indicateur compte.

Regardons à nouveau les exemples :

-19 / 21^-4 = 1/(-19/21)^4 = 1/(-19)^4/21^4 = 21^4/(-19)^4 = 21*21*21*21/(-19)*(-19)*(-19)*(-19) = 194481/130321 = 1,4923228;
-29/40^-5 = 1/(-29/40)^5 = 1/(-29)^5/40^5 = 40^5/(-29)^5 = 40*40*40*40*40/(-29)*(-29)*(-29)*(-29)*(-29) = 102400000/(-20511149) = -4,9924.

Dans ce cas, on voit que le module continue de croître, mais le signe dépend du fait que l'indicateur soit pair ou impair.

Il est à noter que si l'on construit une unité, elle restera toujours seule. Si vous devez augmenter un nombre moins un, alors avec un exposant pair, il deviendra un, et avec un exposant impair, il restera moins un.

Montée à une puissance entière négative si le module est supérieur à un

Pour les nombres dont le module est supérieur à un, a ses propres particularités d'actions. Tout d'abord, vous devez convertir toute la partie de la fraction au numérateur, c'est-à-dire la convertir en une fraction impropre. Si nous avons une fraction décimale, alors elle doit être convertie en fraction régulière. Cela se fait comme suit:

6 entiers 7/17 = 109/17 ;
2,54 = 254/100.

Voyons maintenant comment élever un nombre à une puissance négative dans ces conditions. Déjà de ce qui précède, nous pouvons déduire ce que nous pouvons attendre du résultat des calculs. Puisqu'une fraction double est inversée lors des simplifications, le module de la figure diminuera d'autant plus vite que le module de l'exposant est grand.

Considérons d’abord la situation dans laquelle le nombre donné dans la tâche est positif.

Tout d'abord, il apparaît clairement que résultat final sera supérieur à zéro, car diviser deux positifs donne toujours un positif. Regardons à nouveau des exemples de la façon dont cela est réalisé :

6 entiers 1/20 à la puissance moins cinquième = 121/20^-5 = 1/(121/20)^5 = 1/121^5/20^5 = 20^5/121^5 = 3200000/25937424601 = 0,0001234 ;
2,25^-6 = (225/100)^-6 = 1/(225/100)^6 = 1/225^6/100^6 = 100^6/225^6 = 100*100*100*100*100*100/225*225*225*225*225*225 = 0,007413.

Comme vous pouvez le constater, les actions ne posent pas de difficultés particulières, et toutes nos hypothèses initiales se sont avérées vraies.

Passons maintenant au cas d'un chiffre négatif.

Pour commencer, on peut supposer que si l'indicateur est pair, alors le résultat sera positif, si l'indicateur est impair, alors le résultat sera négatif. Tous nos calculs précédents dans cette partie seront considérés comme valides maintenant. Regardons à nouveau des exemples :

-3 entier 1/2 à la puissance moins sixième = (-7/2)^-6 = 1/(-7/2)^6 = 1/(-7)^6/2^6 = 2*2* 2 *2*2*2/(-7)*(-7)*(-7)*(-7)*(-7)*(-7) = 64/117649 = 0,000544 ;
-1,25^-5 = (-125/100)^-5 = 1/(-125/100)^5 = 1/(-125)^5/100^5 = 100^5/(-125)^5 = 100*100*100*100*100/(-125)*(-125)*(-125)*(-125)*(-125) = 10000000000/(-30517578125) = -0.32768.

Ainsi, tous nos raisonnements se sont avérés corrects.

Construction dans le cas d'un exposant fractionnaire négatif

Ici, vous devez vous rappeler qu'une telle construction existe extraire la racine de la puissance du dénominateur d'un nombre à la puissance du numérateur. Tous nos raisonnements précédents restent vrais cette fois. Expliquons nos actions avec un exemple :

4^-3/2 = 1/4^3/2 = 1/rad(4^3) = 1/rad64 = 1/8.

Dans ce cas, vous devez garder à l’esprit que l’extraction des racines haut niveau n'est possible que sous une forme spécialement sélectionnée et, très probablement, vous ne pourrez pas vous débarrasser du signe du radical (racine carrée, racine cubique, etc.) avec des calculs précis.

Néanmoins, après avoir étudié en détail les chapitres précédents, il ne faut pas s'attendre à des difficultés dans les calculs scolaires.

Il convient de noter que la description de ce chapitre comprend également construction avec un indicateur volontairement irrationnel, par exemple, si l'indicateur est égal à moins PI. Vous devez agir selon les principes décrits ci-dessus. Cependant, les calculs dans de tels cas deviennent si complexes que seuls de puissants ordinateurs électroniques peuvent les réaliser.

Conclusion

L'action que nous avons étudiée est l'un des problèmes les plus difficiles en mathématiques(surtout dans le cas d'un sens fractionnaire-rationnel ou irrationnel). Cependant, en étudiant ces instructions en détail et étape par étape, vous pouvez apprendre à le faire de manière entièrement automatique et sans aucun problème.