ज्यामिति का विज्ञान हमें बताता है कि त्रिभुज, वर्ग और घन क्या होते हैं। में आधुनिक दुनियाबिना किसी अपवाद के सभी लोग स्कूलों में इसका अध्ययन करते हैं। साथ ही, वह विज्ञान जो सीधे अध्ययन करता है कि त्रिभुज क्या है और उसमें क्या गुण हैं, त्रिकोणमिति है। वह डेटा से संबंधित सभी घटनाओं का विस्तार से पता लगाती है। हम आज अपने लेख में बात करेंगे कि त्रिकोण क्या है। उनके प्रकारों का वर्णन नीचे किया जाएगा, साथ ही उनसे जुड़े कुछ प्रमेयों का भी।

त्रिभुज क्या है? परिभाषा

यह एक समतल बहुभुज है. जैसा कि इसके नाम से स्पष्ट है, इसके तीन कोने हैं। इसकी भी तीन भुजाएँ और तीन शीर्ष हैं, इनमें से पहला खंड है, दूसरा बिंदु है। यह जानते हुए कि दो कोण किसके बराबर हैं, आप संख्या 180 में से पहले दो का योग घटाकर तीसरा ज्ञात कर सकते हैं।

त्रिभुज कितने प्रकार के होते हैं?

इन्हें विभिन्न मानदंडों के अनुसार वर्गीकृत किया जा सकता है।

सबसे पहले, उन्हें न्यून कोण, अधिक कोण और आयताकार में विभाजित किया गया है। पूर्व में न्यूनकोण होते हैं, अर्थात् वे जो 90 डिग्री से कम के बराबर होते हैं। अधिक कोणों में, एक कोण अधिक कोण होता है, अर्थात एक जो 90 डिग्री से अधिक के बराबर होता है, अन्य दो न्यून कोण होते हैं। न्यूनकोण त्रिभुजों में समबाहु त्रिभुज भी शामिल होते हैं। ऐसे त्रिभुजों की सभी भुजाएँ और कोण बराबर होते हैं। वे सभी 60 डिग्री के बराबर हैं, इसकी गणना सभी कोणों के योग (180) को तीन से विभाजित करके आसानी से की जा सकती है।

सही त्रिकोण

समकोण त्रिभुज क्या है इसके बारे में बात न करना असंभव है।

ऐसी आकृति का एक कोण 90 डिग्री (सीधा) के बराबर होता है, अर्थात इसकी दो भुजाएँ लंबवत होती हैं। शेष दो कोण न्यूनकोण हैं। वे बराबर हो सकते हैं, फिर यह समद्विबाहु होगा। पाइथागोरस प्रमेय समकोण त्रिभुज से संबंधित है। इसका उपयोग करके, आप पहले दो को जानकर, तीसरा पक्ष पा सकते हैं। इस प्रमेय के अनुसार, यदि आप एक पैर के वर्ग को दूसरे पैर के वर्ग में जोड़ते हैं, तो आप कर्ण का वर्ग प्राप्त कर सकते हैं। पैर के वर्ग की गणना ज्ञात पैर के वर्ग को कर्ण के वर्ग से घटाकर की जा सकती है। त्रिभुज क्या है इसके बारे में बोलते हुए, हम समद्विबाहु त्रिभुज को भी याद कर सकते हैं। यह वह है जिसमें दो भुजाएँ बराबर होती हैं और दो कोण भी बराबर होते हैं।

पैर और कर्ण क्या हैं?

पैर त्रिभुज की एक भुजा है जो 90 डिग्री का कोण बनाती है। कर्ण शेष भुजा है जो समकोण के विपरीत है। आप इसमें से एक लंब को पैर पर नीचे कर सकते हैं। कर्ण से आसन्न भुजा के अनुपात को कोसाइन कहा जाता है, और विपरीत भुजा को ज्या कहा जाता है।

- इसकी विशेषताएं क्या हैं?

यह आयताकार है. इसके पैर तीन और चार हैं और कर्ण पांच है। यदि आपने देखा कि पैर दिया गया त्रिकोणतीन और चार के बराबर हैं, आप निश्चिंत हो सकते हैं कि कर्ण पाँच के बराबर होगा। साथ ही, इस सिद्धांत का उपयोग करके, आप आसानी से यह निर्धारित कर सकते हैं कि पैर तीन के बराबर होगा यदि दूसरा चार के बराबर है, और कर्ण पांच के बराबर है। साबित करना यह वक्तव्य, आप पाइथागोरस प्रमेय लागू कर सकते हैं। यदि दो पैर 3 और 4 के बराबर हैं, तो 9 + 16 = 25, 25 का मूल 5 है, अर्थात कर्ण 5 के बराबर है। मिस्र का त्रिभुज भी एक समकोण त्रिभुज है जिसकी भुजाएँ 6, 8 और 10 हैं ; 9, 12 और 15 और अन्य संख्याएँ जिनका अनुपात 3:4:5 है।

त्रिभुज और क्या हो सकता है?

त्रिभुजों को अंकित या परिचालित भी किया जा सकता है। जिस आकृति के चारों ओर वृत्त का वर्णन किया गया है उसे उत्कीर्ण कहा जाता है; इसके सभी शीर्ष वृत्त पर स्थित बिंदु हैं। परिबद्ध त्रिभुज वह है जिसमें एक वृत्त अंकित होता है। इसके सभी पक्ष कुछ बिंदुओं पर इसके संपर्क में आते हैं।

यह कैसे स्थित है?

किसी भी आकृति का क्षेत्रफल वर्ग इकाइयों (वर्ग मीटर, वर्ग मिलीमीटर, वर्ग सेंटीमीटर, वर्ग डेसीमीटर, आदि) में मापा जाता है। इस मान की गणना त्रिभुज के प्रकार के आधार पर विभिन्न तरीकों से की जा सकती है। कोणों वाली किसी भी आकृति का क्षेत्रफल उसकी भुजा को विपरीत कोने से उस पर डाले गए लम्ब से गुणा करके और इस आकृति को दो से विभाजित करके पाया जा सकता है। आप दोनों पक्षों को गुणा करके भी यह मान ज्ञात कर सकते हैं। फिर इस संख्या को इन भुजाओं के बीच स्थित कोण की ज्या से गुणा करें और इस परिणाम को दो से विभाजित करें। किसी त्रिभुज की सभी भुजाओं को जानते हुए, लेकिन उसके कोणों को न जानते हुए, आप दूसरे तरीके से क्षेत्रफल ज्ञात कर सकते हैं। ऐसा करने के लिए आपको आधी परिधि ढूंढनी होगी। फिर इस संख्या में से बारी-बारी से घटाएं अलग-अलग पक्षऔर परिणामी चार मानों को गुणा करें। आगे जो नंबर निकला है उससे पता लगाएं. एक उत्कीर्ण त्रिभुज का क्षेत्रफल सभी भुजाओं को गुणा करके और परिणामी संख्या को उसके चारों ओर अंकित संख्या से विभाजित करके, चार से गुणा करके पाया जा सकता है।

एक परिबद्ध त्रिभुज का क्षेत्रफल इस प्रकार ज्ञात किया जाता है: हम परिधि के आधे भाग को उसमें अंकित वृत्त की त्रिज्या से गुणा करते हैं। यदि तब इसका क्षेत्रफल इस प्रकार ज्ञात किया जा सकता है: भुजा का वर्ग करें, परिणामी आकृति को तीन के मूल से गुणा करें, फिर इस संख्या को चार से विभाजित करें। इसी प्रकार, आप एक त्रिभुज की ऊँचाई की गणना कर सकते हैं जिसमें सभी भुजाएँ समान हैं; ऐसा करने के लिए, आपको उनमें से एक को तीन के मूल से गुणा करना होगा, और फिर इस संख्या को दो से विभाजित करना होगा।

त्रिभुज से संबंधित प्रमेय

इस आकृति से जुड़े मुख्य प्रमेय ऊपर वर्णित पाइथागोरस प्रमेय और कोसाइन हैं। दूसरा (साइन का) यह है कि यदि आप किसी भी भुजा को उसके विपरीत कोण की साइन से विभाजित करते हैं, तो आप उसके चारों ओर वर्णित वृत्त की त्रिज्या को दो से गुणा कर सकते हैं। तीसरा (कोसाइन) यह है कि यदि हम दोनों पक्षों के वर्गों के योग से उनके गुणनफल, दो से गुणा और उनके बीच स्थित कोण के कोसाइन को घटा दें, तो हमें तीसरी तरफ का वर्ग प्राप्त होता है।

डाली त्रिकोण - यह क्या है?

कई लोग, जब इस अवधारणा का सामना करते हैं, तो पहले सोचते हैं कि यह ज्यामिति में किसी प्रकार की परिभाषा है, लेकिन ऐसा बिल्कुल नहीं है। डाली ट्राएंगल तीन स्थानों का सामान्य नाम है जो प्रसिद्ध कलाकार के जीवन से निकटता से जुड़े हुए हैं। इसकी "चोटियाँ" वह घर है जिसमें साल्वाडोर डाली रहता था, वह महल जो उसने अपनी पत्नी को दिया था, साथ ही अतियथार्थवादी चित्रों का संग्रहालय भी। इन जगहों पर भ्रमण के दौरान आप बहुत कुछ सीख सकते हैं। रोचक तथ्यदुनिया भर में मशहूर इस अनोखे रचनात्मक कलाकार के बारे में।

स्कूल में पढ़ा जाने वाला सबसे सरल बहुभुज एक त्रिभुज है। यह छात्रों के लिए अधिक समझने योग्य है और कम कठिनाइयों का सामना करता है। इस तथ्य के बावजूद कि त्रिभुज विभिन्न प्रकार के होते हैं, जिनमें विशेष गुण होते हैं।

किस आकृति को त्रिभुज कहते हैं?

तीन बिंदुओं और खंडों से निर्मित। पहले वाले को शीर्ष कहा जाता है, दूसरे को भुजाएँ कहा जाता है। इसके अलावा, सभी तीन खंडों को जोड़ा जाना चाहिए ताकि उनके बीच कोण बन सकें। इसलिए "त्रिकोण" आकृति का नाम।

हर कोने में नामों में अंतर

चूँकि वे न्यून, अधिक और सीधे हो सकते हैं, इसलिए त्रिभुजों के प्रकार इन नामों से निर्धारित होते हैं। तदनुसार, ऐसे आंकड़ों के तीन समूह हैं।

• पहला। यदि किसी त्रिभुज के सभी कोण न्यूनकोण हों तो वह न्यूनकोण कहलाएगा। सब कुछ तार्किक है.

• दूसरा। इनमें से एक कोण अधिक कोण है, जिसका अर्थ है कि त्रिभुज अधिक कोण है। यह इससे अधिक सरल नहीं हो सकता.

• तीसरा। 90 डिग्री के बराबर एक कोण होता है, जिसे समकोण कहते हैं। त्रिभुज आयताकार हो जाता है.

किनारों पर नामों में अंतर

भुजाओं की विशेषताओं के आधार पर, निम्न प्रकार के त्रिभुजों को प्रतिष्ठित किया जाता है:

सामान्य मामला स्केलीन है, जिसमें सभी भुजाएँ मनमानी लंबाई की होती हैं;

समद्विबाहु, जिसकी दो भुजाओं का संख्यात्मक मान समान हो;

समबाहु, इसकी सभी भुजाओं की लंबाई समान है।

यदि समस्या किसी विशिष्ट प्रकार के त्रिभुज को निर्दिष्ट नहीं करती है, तो आपको एक मनमाना त्रिभुज बनाने की आवश्यकता है। जिसके सभी कोने नुकीले हैं और किनारों की लंबाई अलग-अलग है।

सभी त्रिभुजों में समान गुण

1. यदि आप किसी त्रिभुज के सभी कोणों को जोड़ते हैं, तो आपको 180º के बराबर संख्या प्राप्त होती है। और इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि यह किस प्रकार का है। यह नियम हमेशा लागू रहता है.
2. किसी त्रिभुज की किसी भी भुजा का संख्यात्मक मान अन्य दो को जोड़ने पर प्राप्त संख्या से कम होता है। इसके अलावा, यह उनके अंतर से भी बड़ा है।
3. प्रत्येक बाह्य कोण का एक मान होता है जो दो आंतरिक कोणों को जोड़कर प्राप्त किया जाता है जो उसके समीप नहीं हैं। इसके अलावा, यह हमेशा अपने बगल वाले आंतरिक हिस्से से बड़ा होता है।
4. सबसे छोटा कोण हमेशा त्रिभुज की छोटी भुजा के विपरीत होता है। और इसके विपरीत, यदि भुजा बड़ी है, तो कोण सबसे बड़ा होगा।

ये गुण हमेशा मान्य होते हैं, चाहे समस्याओं में किसी भी प्रकार के त्रिभुज पर विचार किया जाए। बाकी सभी विशिष्ट विशेषताओं से अनुसरण करते हैं।

एक समद्विबाहु त्रिभुज के गुण

• आधार से सटे हुए कोण बराबर होते हैं।
• ऊँचाई, जो आधार की ओर खींची गई है, मध्यिका और समद्विभाजक भी है।
• ऊँचाई, माध्यिकाएँ और समद्विभाजक, जो त्रिभुज की पार्श्व भुजाओं पर बने होते हैं, क्रमशः एक दूसरे के बराबर होते हैं।

एक समबाहु त्रिभुज के गुण

यदि ऐसा कोई आंकड़ा है, तो थोड़ा ऊपर वर्णित सभी गुण सत्य होंगे। क्योंकि एक समबाहु सदैव समद्विबाहु होगा। लेकिन इसके विपरीत नहीं समद्विबाहु त्रिकोणआवश्यक रूप से समबाहु नहीं होगा.

• इसके सभी कोण एक दूसरे के बराबर हैं और इनका मान 60º है।
• समबाहु त्रिभुज की कोई भी माध्यिका उसकी ऊंचाई और समद्विभाजक होती है। इसके अलावा, वे सभी एक दूसरे के बराबर हैं। उनके मूल्यों को निर्धारित करने के लिए, एक सूत्र है जिसमें पक्ष के गुणनफल और 3 के वर्गमूल को 2 से विभाजित किया जाता है।

समकोण त्रिभुज के गुण

• दो न्यून कोणों का योग 90º होता है।
• कर्ण की लंबाई हमेशा किसी भी पैर की लंबाई से अधिक होती है।
• कर्ण पर खींची गई माध्यिका का संख्यात्मक मान उसके आधे के बराबर होता है।
• यदि पैर 30º के कोण के विपरीत स्थित है तो पैर समान मान के बराबर है।
• ऊँचाई, जो शीर्ष से 90º मान के साथ खींची जाती है, की पैरों पर एक निश्चित गणितीय निर्भरता होती है: 1/n 2 = 1/a 2 + 1/b 2। यहां: ए, बी - पैर, एन - ऊंचाई।

विभिन्न प्रकार के त्रिभुजों के साथ समस्याएँ

नंबर 1. एक समद्विबाहु त्रिभुज दिया गया है। इसका परिमाप ज्ञात है और 90 सेमी के बराबर है। हमें इसकी भुजाएँ ज्ञात करनी हैं। जैसा अतिरिक्त शर्त: पार्श्व भाग आधार से 1.2 गुना छोटा है।

परिधि का मान सीधे तौर पर उन मात्राओं पर निर्भर करता है जिन्हें खोजने की आवश्यकता है। तीनों भुजाओं का योग 90 सेमी होगा। अब आपको त्रिभुज का चिन्ह याद रखना होगा, जिसके अनुसार यह समद्विबाहु है। यानी दोनों पक्ष बराबर हैं. आप दो अज्ञात के साथ एक समीकरण बना सकते हैं: 2a + b = 90. यहां a भुजा है, b आधार है।

अब एक अतिरिक्त शर्त का समय आ गया है. इसके बाद, दूसरा समीकरण प्राप्त होता है: b = 1.2a। आप इस अभिव्यक्ति को पहले वाले में प्रतिस्थापित कर सकते हैं। यह पता चला: 2ए + 1.2ए = 90। परिवर्तनों के बाद: 3.2ए = 90। इसलिए ए = 28.125 (सेमी)। अब आधार का पता लगाना आसान हो गया है. यह दूसरी स्थिति से सबसे अच्छा किया जाता है: b = 1.2 * 28.125 = 33.75 (सेमी)।

जाँच करने के लिए, आप तीन मान जोड़ सकते हैं: 28.125 * 2 + 33.75 = 90 (सेमी)। यह सही है।

उत्तर: त्रिभुज की भुजाएँ 28.125 सेमी, 28.125 सेमी, 33.75 सेमी हैं।

नंबर 2. एक समबाहु त्रिभुज की भुजा 12 सेमी है। आपको इसकी ऊंचाई की गणना करने की आवश्यकता है।

समाधान। उत्तर खोजने के लिए, उस क्षण पर लौटना पर्याप्त है जहां त्रिभुज के गुणों का वर्णन किया गया था। यह एक समबाहु त्रिभुज की ऊँचाई, माध्यिका और समद्विभाजक ज्ञात करने का सूत्र है।

n = a * √3 / 2, जहां n ऊंचाई है और a भुजा है।

प्रतिस्थापन और गणना निम्नलिखित परिणाम देते हैं: n = 6 √3 (सेमी)।

इस फॉर्मूले को याद रखने की जरूरत नहीं है. यह याद रखना पर्याप्त है कि ऊँचाई त्रिभुज को दो आयताकार भागों में विभाजित करती है। इसके अलावा, यह एक पैर निकला, और इसमें कर्ण मूल पक्ष का पक्ष है, दूसरा पैर ज्ञात पक्ष का आधा है। अब आपको पाइथागोरस प्रमेय को लिखने और ऊंचाई के लिए एक सूत्र प्राप्त करने की आवश्यकता है।

उत्तर: ऊँचाई 6 √3 सेमी है।

नंबर 3। दिया गया है कि MKR एक त्रिभुज है, जिसमें कोण K 90 डिग्री बनाता है। MR और KR भुजाएँ ज्ञात हैं, वे क्रमशः 30 और 15 सेमी के बराबर हैं। हमें कोण P का मान ज्ञात करना होगा।

समाधान। यदि आप चित्र बनाते हैं, तो यह स्पष्ट हो जाता है कि MR कर्ण है। इसके अलावा, यह केआर के किनारे से दोगुना बड़ा है। फिर से आपको संपत्तियों की ओर मुड़ने की जरूरत है। उनमें से एक का संबंध कोणों से है। इससे स्पष्ट है कि KMR कोण 30º है। इसका मतलब है कि वांछित कोण P 60º के बराबर होगा। यह एक अन्य गुण से अनुसरण करता है, जो बताता है कि दो न्यून कोणों का योग 90º के बराबर होना चाहिए।

उत्तर: कोण P 60º है।

नंबर 4. हमें एक समद्विबाहु त्रिभुज के सभी कोण ज्ञात करने होंगे। इसके बारे में ज्ञात है कि आधार पर बने कोण से बाह्य कोण 110º होता है।

समाधान। चूँकि केवल बाहरी कोण दिया गया है, इसलिए आपको इसका उपयोग करने की आवश्यकता है। यह आंतरिक कोण के साथ एक खुला कोण बनाता है। इसका मतलब है कि कुल मिलाकर वे 180º देंगे। अर्थात् त्रिभुज के आधार पर कोण 70º के बराबर होगा। चूँकि यह समद्विबाहु है, दूसरे कोण का मान समान है। तीसरे कोण की गणना करना बाकी है। सभी त्रिभुजों में समान गुण के अनुसार, कोणों का योग 180º होता है। इसका मतलब है कि तीसरे को 180º - 70º - 70º = 40º के रूप में परिभाषित किया जाएगा।

उत्तर: कोण 70º, 70º, 40º हैं।

पाँच नंबर। यह ज्ञात है कि एक समद्विबाहु त्रिभुज में आधार के विपरीत कोण 90º होता है। आधार पर एक बिंदु अंकित है. इसे समकोण से जोड़ने वाला खंड इसे 1 से 4 के अनुपात में विभाजित करता है। आपको छोटे त्रिभुज के सभी कोण ज्ञात करने होंगे।

समाधान। कोणों में से एक को तुरंत निर्धारित किया जा सकता है। चूँकि त्रिभुज समकोण और समद्विबाहु है, इसलिए जो इसके आधार पर स्थित हैं उनमें से प्रत्येक का माप 45º होगा, अर्थात 90º/2।

उनमें से दूसरा आपको स्थिति में ज्ञात संबंध ढूंढने में मदद करेगा। चूँकि यह 1 से 4 के बराबर है, जिन भागों में इसे विभाजित किया गया है वे केवल 5 हैं। इसका मतलब है कि त्रिभुज का छोटा कोण ज्ञात करने के लिए आपको 90º/5 = 18º की आवश्यकता है। तीसरे का पता लगाना बाकी है. ऐसा करने के लिए, आपको 180º (त्रिभुज के सभी कोणों का योग) से 45º और 18º घटाना होगा। गणनाएँ सरल हैं, और आपको मिलता है: 117º।

त्रिभुजों को न्यून, आयताकार और अधिक में विभाजित करना। पक्षानुपात के आधार पर वर्गीकरण त्रिभुजों को विषमबाहु, समबाहु और समद्विबाहु में विभाजित करता है। इसके अलावा, प्रत्येक त्रिभुज एक साथ दो से संबंधित होता है। उदाहरण के लिए, यह एक ही समय में आयताकार और स्केलीन हो सकता है।

कोणों के प्रकार से प्रकार का निर्धारण करते समय बहुत सावधान रहें। अधिककोष त्रिभुज उस त्रिभुज को कहा जाएगा जिसका एक कोण 90 डिग्री से अधिक अर्थात 90 डिग्री से अधिक हो। एक समकोण त्रिभुज की गणना एक समकोण (90 डिग्री के बराबर) से की जा सकती है। हालाँकि, किसी त्रिभुज को न्यूनकोण के रूप में वर्गीकृत करने के लिए, आपको यह सुनिश्चित करना होगा कि इसके तीनों कोण न्यूनकोण हैं।

प्रजाति को परिभाषित करना त्रिकोणपहलू अनुपात के अनुसार, सबसे पहले आपको तीनों भुजाओं की लंबाई पता करनी होगी। हालाँकि, यदि शर्त के अनुसार, भुजाओं की लंबाई आपको नहीं दी गई है, तो कोण आपकी मदद कर सकते हैं। स्केलीन त्रिभुज वह होता है जिसकी तीनों भुजाओं की लंबाई अलग-अलग होती है। यदि भुजाओं की लंबाई अज्ञात है, तो एक त्रिभुज को स्केलीन के रूप में वर्गीकृत किया जा सकता है यदि इसके तीनों कोण अलग-अलग हों। विषमबाहु त्रिकोणकुंठित, आयताकार और तीव्र हो सकता है।

समद्विबाहु त्रिभुज वह होता है जिसकी तीन में से दो भुजाएँ एक दूसरे के बराबर होती हैं। यदि आपको भुजाओं की लंबाई नहीं दी गई है, तो मार्गदर्शक के रूप में दो समान कोणों का उपयोग करें। एक समद्विबाहु त्रिभुज, स्केलीन त्रिभुज की तरह, अधिक, आयताकार या तीव्र हो सकता है।

केवल एक त्रिभुज समबाहु हो सकता है यदि उसकी तीनों भुजाओं की लंबाई समान हो। इसके सभी कोण भी एक दूसरे के बराबर हैं और उनमें से प्रत्येक 60 डिग्री के बराबर है। इससे यह स्पष्ट है कि समबाहु त्रिभुज सदैव न्यून कोण होते हैं।

युक्ति 2: कुंठित और का निर्धारण कैसे करें न्यून त्रिकोण

बहुभुजों में सबसे सरल त्रिभुज है। यह एक ही तल में स्थित तीन बिंदुओं का उपयोग करके बनाया गया है, लेकिन एक ही सीधी रेखा पर नहीं, जो खंडों द्वारा जोड़े में जुड़े हुए हैं। हालाँकि, त्रिकोण हैं अलग - अलग प्रकार, जिसका अर्थ है कि उनके पास है विभिन्न गुण.

निर्देश

यह तीन प्रकारों में अंतर करने की प्रथा है: अधिक कोण वाला, न्यून कोण वाला और आयताकार। यह कोनों की तरह है. अधिक त्रिभुज वह त्रिभुज होता है जिसका एक कोण अधिक कोण होता है। अधिक कोण वह कोण होता है जो नब्बे डिग्री से बड़ा लेकिन एक सौ अस्सी डिग्री से कम होता है। उदाहरण के लिए, त्रिभुज ABC में, कोण ABC 65° है, कोण BCA 95° है, और कोण CAB 20° है। कोण ABC और CAB 90° से कम हैं, लेकिन कोण BCA बड़ा है, जिसका अर्थ है कि त्रिभुज अधिक कोण है।

न्यूनकोण त्रिभुज वह त्रिभुज होता है जिसके सभी कोण न्यूनकोण होते हैं। न्यून कोण वह कोण होता है जो नब्बे डिग्री से कम और शून्य डिग्री से अधिक होता है। उदाहरण के लिए, त्रिभुज ABC में, कोण ABC 60° है, कोण BCA 70° है, और कोण CAB 50° है। तीनों कोण 90° से कम हैं, अर्थात यह एक त्रिभुज है। यदि आप जानते हैं कि एक त्रिभुज की सभी भुजाएँ बराबर होती हैं, तो इसका मतलब है कि इसके सभी कोण भी एक-दूसरे के बराबर होते हैं, और वे साठ डिग्री के बराबर होते हैं। तदनुसार, ऐसे त्रिभुज में सभी कोण नब्बे डिग्री से कम होते हैं, और इसलिए ऐसा त्रिभुज न्यूनकोण होता है।

यदि किसी त्रिभुज में एक कोण नब्बे डिग्री का है, तो इसका मतलब है कि यह न तो चौड़ा कोण है और न ही न्यूनकोण प्रकार है। यह एक समकोण त्रिभुज है.

यदि त्रिभुज का प्रकार भुजाओं के अनुपात से निर्धारित किया जाता है, तो वे समबाहु, विषमबाहु और समद्विबाहु होंगे। एक समबाहु त्रिभुज में, सभी भुजाएँ समान होती हैं, और जैसा कि आपको पता चला, इसका मतलब है कि त्रिभुज न्यूनकोण है। यदि किसी त्रिभुज की केवल दो भुजाएँ समान हैं या भुजाएँ समान नहीं हैं, तो यह अधिक, आयताकार या न्यूनकोण हो सकता है। इसका मतलब यह है कि इन मामलों में कोणों की गणना या माप करना और बिंदु 1, 2 या 3 के अनुसार निष्कर्ष निकालना आवश्यक है।

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स्रोत:

• कुंठित त्रिकोण

दो या दो से अधिक त्रिभुजों की समानता उस स्थिति से मेल खाती है जब इन त्रिभुजों की सभी भुजाएँ और कोण बराबर हों। हालाँकि, इस समानता को सिद्ध करने के लिए कई सरल मानदंड हैं।

आपको चाहिये होगा

• ज्यामिति पाठ्यपुस्तक, कागज की शीट, पेंसिल, चाँदा, शासक।

निर्देश

अपनी सातवीं कक्षा की ज्यामिति पाठ्यपुस्तक को त्रिभुजों की सर्वांगसमता के मानदंड वाले अनुभाग में खोलें। आप देखेंगे कि ऐसे कई बुनियादी चिह्न हैं जो दो त्रिभुजों की समानता को सिद्ध करते हैं। यदि दो त्रिभुज जिनकी समानता की जाँच की जा रही है वे मनमाना हैं, तो उनके लिए समानता के तीन मुख्य लक्षण हैं। यदि कोई अतिरिक्त जानकारीत्रिभुजों के बारे में, तो मुख्य तीन विशेषताएँ कई अन्य विशेषताओं से पूरित होती हैं। उदाहरण के लिए, यह समानता के मामले में लागू होता है समकोण त्रिभुज.

त्रिभुजों की सर्वांगसमता के बारे में पहला नियम पढ़ें। जैसा कि ज्ञात है, यह हमें त्रिभुजों को समान मानने की अनुमति देता है यदि यह सिद्ध किया जा सके कि दो त्रिभुजों का कोई एक कोण और दो आसन्न भुजाएँ समान हैं। समझने के लिए यह कानून, एक चाँदे की सहायता से कागज के एक टुकड़े पर एक बिंदु से निकलने वाली दो किरणों द्वारा निर्मित दो समान विशिष्ट कोण बनाएं। एक रूलर का उपयोग करके, दोनों मामलों में खींचे गए कोण के शीर्ष से समान भुजाओं को मापें। एक चांदे का उपयोग करके, बने दोनों त्रिभुजों के परिणामी कोणों को मापें, यह सुनिश्चित करते हुए कि वे बराबर हैं।

त्रिभुजों की समानता के परीक्षण को समझने के लिए ऐसे व्यावहारिक उपायों का सहारा न लेने के लिए, समानता के लिए पहले परीक्षण का प्रमाण पढ़ें। तथ्य यह है कि त्रिभुजों की समानता के बारे में प्रत्येक नियम का एक सख्त सैद्धांतिक प्रमाण है, नियमों को याद रखने के उद्देश्य से इसका उपयोग करना सुविधाजनक नहीं है।

त्रिभुजों की सर्वांगसमता के लिए दूसरा परीक्षण पढ़ें। इसमें कहा गया है कि दो त्रिभुज बराबर होंगे यदि ऐसे दो त्रिभुजों की कोई एक भुजा और दो आसन्न कोण बराबर हों। इस नियम को याद रखने के लिए, एक त्रिभुज की खींची गई भुजा और दो आसन्न कोणों की कल्पना करें। कल्पना करें कि कोनों की भुजाओं की लंबाई धीरे-धीरे बढ़ती है। आख़िरकार वे एक-दूसरे को काटेंगे, जिससे एक तीसरा कोना बनेगा। इस मानसिक कार्य में, यह महत्वपूर्ण है कि मानसिक रूप से बढ़े हुए पक्षों का प्रतिच्छेदन बिंदु, साथ ही परिणामी कोण, तीसरे पक्ष और दो आसन्न कोणों द्वारा विशिष्ट रूप से निर्धारित किया जाता है।

यदि आपको अध्ययन किए जा रहे त्रिभुजों के कोणों के बारे में कोई जानकारी नहीं दी गई है, तो त्रिभुजों की समानता के लिए तीसरे मानदंड का उपयोग करें। इस नियम के अनुसार, दो त्रिभुज समान माने जाते हैं यदि उनमें से एक की तीनों भुजाएँ दूसरे की संगत तीन भुजाओं के बराबर हों। इस प्रकार, यह नियम कहता है कि त्रिभुज की भुजाओं की लंबाई विशिष्ट रूप से त्रिभुज के सभी कोणों को निर्धारित करती है, जिसका अर्थ है कि वे विशिष्ट रूप से त्रिभुज को ही निर्धारित करते हैं।

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(रेफ्रिजरेंट R744)। क्लोरीन सीएल2 हाइड्रोजन क्लोराइड एचसीएल, जिसे हाइड्रोक्लोरिक एसिड भी कहा जाता है। रेफ्रिजरेंट (रेफ्रिजरेंट)। रेफ्रिजरेंट (रेफ्रिजरेंट) R11 - फ्लोरोट्राइक्लोरोमेथेन (CFCI3) रेफ्रिजरेंट (रेफ्रिजरेंट) R12 - डिफ्लुओरोडीक्लोरोमेथेन (CF2CCl2) रेफ्रिजरेंट (रेफ्रिजरेंट) R125 - पेंटाफ्लोरोइथेन (CF2HCF3)। रेफ्रिजरेंट (रेफ्रिजरेंट) R134a - 1,1,1,2-टेट्राफ्लुओरोएथेन (CF3CFH2)। रेफ्रिजरेंट (रेफ्रिजरेंट) R22 - डिफ्लुओरोक्लोरोमेथेन (CF2ClH) रेफ्रिजरेंट (रेफ्रिजरेंट) R32 - डिफ्लुओरोक्लोरोमेथेन (CH2F2)। रेफ्रिजरेंट (रेफ्रिजरेंट) आर407सी - आर-32 (23%) / आर-125 (25%) / आर-134ए (52%) / वजन के अनुसार प्रतिशत। अन्य सामग्रियाँ - तापीय गुण, अपघर्षक - धैर्य, सूक्ष्मता, पीसने के उपकरण। मिट्टी, पृथ्वी, रेत और अन्य चट्टानें। मिट्टी और चट्टानों के ढीलेपन, सिकुड़न और घनत्व के संकेतक। सिकुड़न और ढीलापन, भार। ढलान के कोण, ब्लेड. कगारों की ऊँचाई, ढेर। लकड़ी। लकड़ी. इमारती लकड़ी. लॉग. जलाऊ लकड़ी... चीनी मिट्टी की चीज़ें। चिपकने वाले और चिपकने वाले जोड़ बर्फ और बर्फ (पानी बर्फ) धातु एल्यूमीनियम और एल्यूमीनियम मिश्र धातु तांबा, कांस्य और पीतल कांस्य पीतल तांबा (और तांबा मिश्र धातु का वर्गीकरण) निकल और मिश्र धातु मिश्र धातु ग्रेड के पत्राचार स्टील और मिश्र धातु लुढ़का हुआ धातु और पाइप के वजन की संदर्भ तालिकाएँ . +/-5% पाइप वजन। धातु का वजन. स्टील्स के यांत्रिक गुण। कच्चा लोहा खनिज. अभ्रक. खाद्य उत्पाद और खाद्य कच्चे माल। गुण, आदि परियोजना के दूसरे अनुभाग से लिंक करें। रबर, प्लास्टिक, इलास्टोमर्स, पॉलिमर। विस्तृत विवरणइलास्टोमर्स पीयू, टीपीयू, एक्स-पीयू, एच-पीयू, एक्सएच-पीयू, एस-पीयू, एक्सएस-पीयू, टी-पीयू, जी-पीयू (सीपीयू), एनबीआर, एच-एनबीआर, एफपीएम, ईपीडीएम, एमवीक्यू, टीएफई/ पी, पीओएम, पीए-6, टीपीएफई-1, टीपीएफई-2, टीपीएफई-3, टीपीएफई-4, टीपीएफई-5 (पीटीएफई संशोधित), सामग्री की ताकत। सोप्रोमैट। निर्माण सामग्री. भौतिक, यांत्रिक और तापीय गुण। ठोस। ठोस समाधान. समाधान। निर्माण फिटिंग. स्टील और अन्य. सामग्री प्रयोज्यता तालिकाएँ। रासायनिक प्रतिरोध। तापमान प्रयोज्यता. जंग प्रतिरोध। सीलिंग सामग्री - संयुक्त सीलेंट। पीटीएफई (फ्लोरोप्लास्टिक-4) और व्युत्पन्न सामग्री। FUM टेप. अवायवीय चिपकने वाले गैर-सुखाने वाले (गैर-कठोर) सीलेंट। सिलिकॉन सीलेंट (ऑर्गेनोसिलिकॉन)। ग्रेफाइट, एस्बेस्टस, पैरोनाइट और व्युत्पन्न सामग्री पैरोनाइट। थर्मली विस्तारित ग्रेफाइट (टीईजी, टीएमजी), रचनाएँ। गुण। आवेदन पत्र। उत्पादन। प्लंबिंग फ्लैक्स। रबर इलास्टोमेर सील। हीट इन्सुलेशन और थर्मल इन्सुलेशन सामग्री। (परियोजना अनुभाग से लिंक) इंजीनियरिंग तकनीक और अवधारणाएँ विस्फोट सुरक्षा। प्रभाव संरक्षण पर्यावरण. संक्षारण. जलवायु संस्करण (सामग्री अनुकूलता तालिकाएँ) दबाव, तापमान, जकड़न की श्रेणियाँ दबाव में गिरावट (नुकसान)। - इंजीनियरिंग अवधारणा. अग्नि सुरक्षा। आग. स्वचालित नियंत्रण (विनियमन) का सिद्धांत। टीएयू गणितीय संदर्भ पुस्तक अंकगणित, ज्यामितीय अनुक्रमऔर कुछ संख्या श्रृंखलाओं का योग। ज्यामितीय आंकड़े. गुण, सूत्र: परिधि, क्षेत्रफल, आयतन, लंबाई। त्रिभुज, आयत आदि। रेडियन को डिग्री. सपाट आंकड़े. गुण, भुजाएँ, कोण, विशेषताएँ, परिमाप, समानताएँ, समानताएँ, जीवाएँ, क्षेत्र, क्षेत्र, आदि। अनियमित आकृतियों का क्षेत्रफल, अनियमित पिंडों का आयतन। औसत सिग्नल परिमाण. क्षेत्रफल की गणना के लिए सूत्र और विधियाँ। चार्ट. ग्राफ़ बनाना. ग्राफ़ पढ़ना. इंटीग्रल और डिफरेंशियल कैलकुलस. सारणीबद्ध व्युत्पन्न और अभिन्न। डेरिवेटिव की तालिका. अभिन्नों की तालिका. प्रतिअवकलजों की तालिका. व्युत्पन्न खोजें. अभिन्न खोजें. डिफ्यूरस। जटिल आंकड़े। काल्पनिक इकाई. लीनियर अलजेब्रा। (वेक्टर, मैट्रिक्स) छोटों के लिए गणित। बाल विहार- 7 वीं कक्षा। गणितीय तर्क. समीकरण हल करना. द्विघात और द्विघात समीकरण. सूत्र. तरीके. अंतर समीकरणों को हल करना पहले से अधिक क्रम के साधारण अंतर समीकरणों के समाधान के उदाहरण। सरलतम = विश्लेषणात्मक रूप से हल करने योग्य प्रथम कोटि के साधारण अंतर समीकरणों के समाधान के उदाहरण। सिस्टम संयोजित करें। आयताकार कार्टेशियन, ध्रुवीय, बेलनाकार और गोलाकार। द्वि-आयामी और त्रि-आयामी। संख्या प्रणाली. संख्याएँ और अंक (वास्तविक, जटिल, ....)। संख्या प्रणाली तालिकाएँ. टेलर, मैकलॉरिन (=मैकलेरन) और आवधिक फूरियर श्रृंखला की पावर श्रृंखला। श्रृंखला में कार्यों का विस्तार. लघुगणक तालिकाएँ और मूल सूत्र तालिकाएँ संख्यात्मक मूल्यब्रैडिस टेबल. संभाव्यता सिद्धांत और आँकड़े त्रिकोणमितीय कार्य, सूत्र और ग्राफ़। पाप, कॉस, टीजी, सीटीजी….त्रिकोणमितीय कार्यों के मान। त्रिकोणमितीय कार्यों को कम करने के सूत्र। त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाएँ. संख्यात्मक तरीके उपकरण - मानक, आयाम उपकरण, घरेलू उपकरण। जल निकासी और जल निकासी व्यवस्था. कंटेनर, टैंक, जलाशय, टैंक। इंस्ट्रुमेंटेशन और ऑटोमेशन इंस्ट्रुमेंटेशन और ऑटोमेशन. तापमान माप। कन्वेयर, बेल्ट कन्वेयर। कंटेनर (लिंक) फास्टनरों। प्रयोगशाला के उपकरण। पंप और पंपिंग स्टेशन तरल पदार्थ और लुगदी के लिए पंप। इंजीनियरिंग शब्दजाल. शब्दकोष। स्क्रीनिंग. छानने का काम। जालों और छलनी के माध्यम से कणों को अलग करना। विभिन्न प्लास्टिक से बनी रस्सियों, केबलों, डोरियों, रस्सियों की अनुमानित ताकत। रबर उत्पाद. जोड़ और कनेक्शन. व्यास पारंपरिक, नाममात्र, डीएन, डीएन, एनपीएस और एनबी हैं। मीट्रिक और इंच व्यास. एसडीआर. कुंजी और कुंजीमार्ग. संचार मानक. ऑटोमेशन सिस्टम में सिग्नल (इंस्ट्रूमेंटेशन और कंट्रोल सिस्टम) उपकरणों, सेंसर, फ्लो मीटर और ऑटोमेशन उपकरणों के एनालॉग इनपुट और आउटपुट सिग्नल। कनेक्शन इंटरफ़ेस. संचार प्रोटोकॉल (संचार) टेलीफोन संचार। पाइपलाइन सहायक उपकरण. नल, वाल्व, वाल्व... निर्माण की लंबाई. फ्लैंज और धागे. मानक। कनेक्टिंग आयाम. धागे. पदनाम, आकार, उपयोग, प्रकार... (संदर्भ लिंक) खाद्य, डेयरी और दवा उद्योगों में पाइपलाइनों के कनेक्शन ("स्वच्छ", "एसेप्टिक")। पाइप, पाइपलाइन. पाइप व्यास और अन्य विशेषताएं। पाइपलाइन व्यास का चयन. प्रवाह की दरें। खर्चे। ताकत। चयन तालिकाएँ, दबाव में गिरावट। कॉपर पाइप। पाइप व्यास और अन्य विशेषताएं। पॉलीविनाइल क्लोराइड (पीवीसी) पाइप। पाइप व्यास और अन्य विशेषताएं। पॉलीथीन पाइप. पाइप व्यास और अन्य विशेषताएं। एचडीपीई पॉलीथीन पाइप। पाइप व्यास और अन्य विशेषताएं। स्टील पाइप (स्टेनलेस स्टील सहित)। पाइप व्यास और अन्य विशेषताएं। लोह के नल। पाइप स्टेनलेस है. से पाइप स्टेनलेस स्टील का. पाइप व्यास और अन्य विशेषताएं। पाइप स्टेनलेस है. कार्बन स्टील पाइप. पाइप व्यास और अन्य विशेषताएं। लोह के नल। फिटिंग. GOST, DIN (EN 1092-1) और ANSI (ASME) के अनुसार फ्लैंगेस। निकला हुआ किनारा कनेक्शन। निकला हुआ किनारा कनेक्शन। निकला हुआ किनारा कनेक्शन। पाइपलाइन तत्व. इलेक्ट्रिक लैंप इलेक्ट्रिकल कनेक्टर और तार (केबल) इलेक्ट्रिक मोटर। विद्युत मोटर्स। विद्युत स्विचिंग उपकरण. (अनुभाग से लिंक) मानक व्यक्तिगत जीवनइंजीनियरों के लिए इंजीनियरों का भूगोल। दूरियाँ, मार्ग, मानचित्र... रोजमर्रा की जिंदगी में इंजीनियर। परिवार, बच्चे, मनोरंजन, कपड़े और आवास। इंजीनियरों के बच्चे. कार्यालयों में इंजीनियर. इंजीनियर और अन्य लोग. इंजीनियरों का समाजीकरण. जिज्ञासाएँ। आराम कर रहे इंजीनियर. इससे हमें सदमा लगा. इंजीनियर और भोजन. नुस्खे, उपयोगी बातें. रेस्तरां के लिए युक्तियाँ. इंजीनियरों के लिए अंतर्राष्ट्रीय व्यापार। आइए एक ठग की तरह सोचना सीखें। परिवहन एवं यात्रा. निजी कारें, साइकिलें... मानव भौतिकी और रसायन विज्ञान। इंजीनियरों के लिए अर्थशास्त्र. फाइनेंसरों की बोर्मोटोलॉजी - मानव भाषा में। तकनीकी अवधारणाएँ और चित्र लेखन, ड्राइंग, कार्यालय कागज और लिफाफे। मानक फोटो आकार. वेंटिलेशन और एयर कंडीशनिंग. जल आपूर्ति और सीवरेज गर्म पानी की आपूर्ति (डीएचडब्ल्यू)। पीने के पानी की सप्लाईपानी की बर्बादी. ठंडे पानी की आपूर्ति इलेक्ट्रोप्लेटिंग उद्योग प्रशीतन स्टीम लाइनें/सिस्टम। घनीभूत लाइनें/प्रणालियाँ। भाप लाइनें. घनीभूत पाइपलाइनें। खाद्य उद्योगप्राकृतिक गैस की आपूर्ति, वेल्डिंग धातु, चित्र और आरेख पर उपकरण के प्रतीक और पदनाम। सशर्त ग्राफिक छवियां ANSI/ASHRAE मानक 134-2005 के अनुसार, हीटिंग, वेंटिलेशन, एयर कंडीशनिंग और हीटिंग और कूलिंग परियोजनाओं में। उपकरण और सामग्री का बंध्याकरण गर्मी की आपूर्ति इलैक्ट्रॉनिक्स उद्योगविद्युत आपूर्ति भौतिक संदर्भ पुस्तक अक्षर। स्वीकृत नोटेशन. बुनियादी भौतिक स्थिरांक. आर्द्रता निरपेक्ष, सापेक्ष एवं विशिष्ट होती है। हवा मैं नमी। साइकोमेट्रिक टेबल. रामज़िन आरेख। समय श्यानता, रेनॉल्ड्स संख्या (पुनः)। श्यानता इकाइयाँ। गैसें। गैसों के गुण. व्यक्तिगत गैस स्थिरांक. दबाव और वैक्यूम वैक्यूम लंबाई, दूरी, रैखिक आयाम ध्वनि। अल्ट्रासाउंड. ध्वनि अवशोषण गुणांक (दूसरे अनुभाग से लिंक) जलवायु। जलवायु डेटा. प्राकृतिक डेटा. एसएनआईपी 01/23/99। निर्माण जलवायु विज्ञान. (जलवायु डेटा आँकड़े) एसएनआईपी 01/23/99। तालिका 3 - औसत मासिक और वार्षिक वायु तापमान, डिग्री सेल्सियस। पूर्व यूएसएसआर. एसएनआईपी 01/23/99 तालिका 1. वर्ष की ठंडी अवधि के जलवायु पैरामीटर। आरएफ. एसएनआईपी 01/23/99 तालिका 2. वर्ष की गर्म अवधि के जलवायु पैरामीटर। पूर्व यूएसएसआर. एसएनआईपी 01/23/99 तालिका 2. वर्ष की गर्म अवधि के जलवायु पैरामीटर। आरएफ. एसएनआईपी 23-01-99 तालिका 3. औसत मासिक और वार्षिक वायु तापमान, डिग्री सेल्सियस। आरएफ. एसएनआईपी 01/23/99। तालिका 5ए* - जलवाष्प का औसत मासिक और वार्षिक आंशिक दबाव, एचपीए = 10^2 पा। आरएफ. एसएनआईपी 01/23/99। तालिका 1. ठंड के मौसम के जलवायु पैरामीटर। पूर्व यूएसएसआर. घनत्व. वज़न. विशिष्ट गुरुत्व। थोक घनत्व। सतह तनाव। घुलनशीलता. गैसों और ठोस पदार्थों की घुलनशीलता. प्रकाश और रंग. परावर्तन, अवशोषण और अपवर्तन के गुणांक। रंग वर्णमाला:) - रंग (रंगों) के पदनाम (कोडिंग)। क्रायोजेनिक सामग्री और मीडिया के गुण। टेबल्स। विभिन्न सामग्रियों के लिए घर्षण गुणांक। थर्मल मात्रा, जिसमें उबलना, पिघलना, लौ, आदि शामिल हैं... अधिक जानकारी के लिए, देखें: रुद्धोष्म गुणांक (संकेतक)। संवहन और कुल ताप विनिमय। थर्मल रैखिक विस्तार, थर्मल वॉल्यूमेट्रिक विस्तार के गुणांक। तापमान, उबलना, पिघलना, अन्य... तापमान इकाइयों का रूपांतरण। ज्वलनशीलता. तापमान में नरमी. क्वथनांक गलनांक तापीय चालकता। तापीय चालकता गुणांक। ऊष्मप्रवैगिकी। वाष्पीकरण (संघनन) की विशिष्ट ऊष्मा। वाष्पीकरण की एन्थैल्पी. दहन की विशिष्ट ऊष्मा (कैलोरी मान)। ऑक्सीजन की आवश्यकता. विद्युत और चुंबकीय मात्राएँ विद्युत द्विध्रुव आघूर्ण। ढांकता हुआ स्थिरांक. विद्युत स्थिरांक. लंबाई विद्युतचुम्बकीय तरंगें(दूसरे अनुभाग की निर्देशिका) तनाव चुंबकीय क्षेत्रबिजली और चुंबकत्व की अवधारणाएं और सूत्र। इलेक्ट्रोस्टैटिक्स। पीजोइलेक्ट्रिक मॉड्यूल। सामग्रियों की विद्युत शक्ति बिजलीविद्युत प्रतिरोध और चालकता. इलेक्ट्रॉनिक क्षमताएँ रासायनिक संदर्भ पुस्तक "रासायनिक वर्णमाला (शब्दकोश)" - पदार्थों और यौगिकों के नाम, संक्षिप्त रूप, उपसर्ग, पदनाम। धातु प्रसंस्करण के लिए जलीय घोल और मिश्रण। धातु कोटिंग्स लगाने और हटाने के लिए जलीय घोल। कार्बन जमा (डामर-राल जमा, आंतरिक दहन इंजन से कार्बन जमा...) से सफाई के लिए जलीय घोल। निष्क्रियता के लिए जलीय घोल। नक़्क़ाशी के लिए जलीय घोल - सतह से ऑक्साइड हटाना, फॉस्फेटिंग के लिए जलीय घोल, धातुओं के रासायनिक ऑक्सीकरण और रंग के लिए जलीय घोल और मिश्रण। रासायनिक पॉलिशिंग डीग्रीजर के लिए जलीय घोल और मिश्रण जलीय समाधानऔर कार्बनिक विलायक पीएच मानपीएच. पीएच टेबल. दहन और विस्फोट. ऑक्सीकरण और कमी. वर्ग, श्रेणियां, खतरा (विषाक्तता) पदनाम रासायनिक पदार्थ आवर्त सारणी रासायनिक तत्वडी.आई. मेंडेलीव। मेंडेलीव तालिका. तापमान के आधार पर कार्बनिक सॉल्वैंट्स का घनत्व (जी/सेमी3)। 0-100 डिग्री सेल्सियस. समाधान के गुण. पृथक्करण स्थिरांक, अम्लता, मूलता। घुलनशीलता. मिश्रण. पदार्थों के तापीय स्थिरांक. एन्थैल्पीज़। एन्ट्रापी. गिब्स ऊर्जा... (परियोजना की रासायनिक निर्देशिका से लिंक) इलेक्ट्रिकल इंजीनियरिंग नियामक गारंटीकृत और निर्बाध बिजली आपूर्ति की प्रणाली। प्रेषण और नियंत्रण प्रणाली संरचित केबल प्रणाली डेटा केंद्र

गणित का अध्ययन करते समय छात्र विभिन्न प्रकार से परिचित होने लगते हैं ज्यामितीय आकार. आज हम बात करेंगे विभिन्न प्रकार केत्रिभुज।

परिभाषा

ज्यामितीय आकृतियाँ जिनमें तीन बिंदु होते हैं जो एक ही रेखा पर नहीं होते हैं, त्रिभुज कहलाते हैं।

बिंदुओं को जोड़ने वाले खंडों को भुजाएँ कहा जाता है, और बिंदुओं को शीर्ष कहा जाता है। शीर्षों को बड़े द्वारा दर्शाया गया है लैटिन अक्षरों के साथ, उदाहरण के लिए: ए, बी, सी।

भुजाओं को उन दो बिंदुओं के नाम से निर्दिष्ट किया जाता है जिनसे वे बने हैं - एबी, बीसी, एसी। प्रतिच्छेद करते हुए भुजाएँ कोण बनाती हैं। निचला भाग आकृति का आधार माना जाता है।

चावल। 1. त्रिभुज एबीसी।

त्रिभुजों के प्रकार

त्रिभुजों को कोणों और भुजाओं के आधार पर वर्गीकृत किया जाता है। प्रत्येक प्रकार के त्रिभुज के अपने गुण होते हैं।

कोनों पर तीन प्रकार के त्रिभुज होते हैं:

• तीव्र कोण वाला;
• आयताकार;
• कुंठित कोण वाला.

सभी कोण तीव्र कोणत्रिभुज न्यूनकोण होते हैं, अर्थात प्रत्येक का डिग्री माप 90 0 से अधिक नहीं होता है।

आयताकारएक त्रिभुज में एक समकोण होता है। अन्य दो कोण सदैव न्यूनकोण होंगे, अन्यथा त्रिभुज के कोणों का योग 180 डिग्री से अधिक हो जाएगा, और यह असंभव है। जो भुजा समकोण के विपरीत होती है उसे कर्ण कहा जाता है, और अन्य दो को पाद कहा जाता है। कर्ण हमेशा पैर से बड़ा होता है।

कुंठितत्रिभुज में एक अधिककोण है। यानी 90 डिग्री से बड़ा कोण. ऐसे त्रिभुज में अन्य दो कोण न्यूनकोण होंगे।

चावल। 2. कोनों पर त्रिभुजों के प्रकार.

पाइथागोरस त्रिभुज एक आयत है जिसकी भुजाएँ 3, 4, 5 हैं।

इसके अलावा, बड़ा पक्ष कर्ण है।

ऐसे त्रिभुजों का उपयोग अक्सर ज्यामिति में सरल समस्याओं के निर्माण के लिए किया जाता है। इसलिए, याद रखें: यदि किसी त्रिभुज की दो भुजाएँ 3 के बराबर हैं, तो तीसरी निश्चित रूप से 5 होगी। इससे गणना सरल हो जाएगी।

भुजाओं पर त्रिभुजों के प्रकार:

• समबाहु;
• समद्विबाहु;
• बहुमुखी प्रतिभा संपन्न।

समभुजत्रिभुज वह त्रिभुज है जिसकी सभी भुजाएँ बराबर होती हैं। ऐसे त्रिभुज के सभी कोण 60 0 के बराबर होते हैं, अर्थात यह सदैव न्यूनकोण होता है।

समद्विबाहुत्रिभुज - एक त्रिभुज जिसकी केवल दो भुजाएँ बराबर हों। इन पक्षों को पार्श्व कहा जाता है, और तीसरे को आधार कहा जाता है। इसके अलावा, एक समद्विबाहु त्रिभुज के आधार पर कोण बराबर और हमेशा न्यून कोण होते हैं।

बहुमुखीया एक मनमाना त्रिभुज एक ऐसा त्रिभुज है जिसमें सभी लंबाई और सभी कोण एक दूसरे के बराबर नहीं होते हैं।

यदि समस्या में आकृति के बारे में कोई स्पष्टीकरण नहीं है, तो यह आम तौर पर स्वीकार किया जाता है कि हम एक मनमाना त्रिभुज के बारे में बात कर रहे हैं।

चावल। 3. भुजाओं पर त्रिभुजों के प्रकार।

किसी त्रिभुज के सभी कोणों का योग, चाहे उसका प्रकार कुछ भी हो, 1800 होता है।

बड़े कोण के विपरीत बड़ी भुजा होती है। और किसी भी भुजा की लंबाई हमेशा उसकी अन्य दो भुजाओं के योग से कम होती है। इन गुणों की पुष्टि त्रिभुज असमानता प्रमेय द्वारा की जाती है।

स्वर्णिम त्रिभुज की अवधारणा है। यह एक समद्विबाहु त्रिभुज है, जिसमें दो भुजाएँ आधार के समानुपाती और एक निश्चित संख्या के बराबर होती हैं। ऐसी आकृति में, कोण 2:2:1 के अनुपात के समानुपाती होते हैं।

काम:

क्या कोई त्रिभुज है जिसकी भुजाएँ 6 सेमी, 3 सेमी, 4 सेमी हैं?

समाधान:

इस समस्या को हल करने के लिए आपको असमानता a का उपयोग करने की आवश्यकता है

हमने क्या सीखा?

5वीं कक्षा के गणित पाठ्यक्रम की इस सामग्री से हमने सीखा कि त्रिभुजों को उनकी भुजाओं और उनके कोणों के आकार के अनुसार वर्गीकृत किया जाता है। त्रिभुजों में कुछ गुण होते हैं जिनका उपयोग समस्याओं को हल करने के लिए किया जा सकता है।