A matematika tanulmányozása során a diákok elkezdenek megismerkedni a különböző típusú geometriai alakzatokkal. Ma a különböző típusú háromszögekről fogunk beszélni.
Meghatározás
Háromszögnek nevezzük azokat a geometriai alakzatokat, amelyek három pontból állnak, amelyek nem ugyanazon az egyenesen vannak.
A pontokat összekötő szakaszokat oldalaknak, a pontokat csúcsoknak nevezzük. A csúcsok nagy betűkkel vannak jelölve latin betűkkel például: A, B, C.
Az oldalakat annak a két pontnak a neve jelzi, amelyből állnak - AB, BC, AC. Az oldalak egymást metszik, szögeket alkotnak. Az alsó oldal tekinthető az ábra alapjának.
Rizs. 1. ABC háromszög.
A háromszögek típusai
A háromszögeket szögek és oldalak szerint osztályozzuk. Minden háromszögtípusnak megvannak a maga tulajdonságai.
Háromféle háromszög található a sarkokban:
- hegyesszögű;
- négyszögletes;
- tompa.
Minden szög hegyesszögű A háromszögek hegyesszögűek, azaz mindegyik fokmértéke nem haladja meg a 90 0-t.
Négyszögletes a háromszög derékszöget tartalmaz. A másik két szög mindig hegyes lesz, mert különben a háromszög szögeinek összege meghaladja a 180 fokot, ami lehetetlen. A derékszöggel ellentétes oldalt hipotenusznak, a másik két lábnak pedig nevezzük. A hypotenus mindig nagyobb, mint a láb.
tompa a háromszög tompaszöget tartalmaz. Vagyis 90 foknál nagyobb szög. Egy ilyen háromszög másik két szöge hegyes lesz.
Rizs. 2. A sarkokban lévő háromszögek típusai.
A Pitagorasz-háromszög olyan téglalap, amelynek oldalai 3, 4, 5.
Sőt, a nagyobb oldal a hipotenusz.
Az ilyen háromszögeket gyakran használják egyszerű geometriai feladatok megfogalmazására. Ezért ne feledje: ha egy háromszög két oldala 3, akkor a harmadik biztosan 5 lesz. Ez leegyszerűsíti a számításokat.
Az oldalsó háromszögek típusai:
- egyenlő oldalú;
- egyenlő szárú;
- sokoldalú.
Egyenlő oldalú a háromszög olyan háromszög, amelynek minden oldala egyenlő. Egy ilyen háromszög minden szöge 60 0, azaz mindig hegyesszögű.
Egyenlő szárú a háromszög olyan háromszög, amelynek csak két egyenlő oldala van. Ezeket az oldalakat oldalsónak nevezik, a harmadikat pedig az alapnak. Ezenkívül az egyenlő szárú háromszög alapjában lévő szögek egyenlőek és mindig hegyesek.
Sokoldalú vagy tetszőleges háromszög olyan háromszög, amelyben minden hosszúság és szög nem egyenlő egymással.
Ha nincs pontosítás a feladatban szereplő ábrára vonatkozóan, akkor általánosan elfogadott, hogy tetszőleges háromszögről beszélünk.
Rizs. 3. Háromszögek típusai az oldalakon.
A háromszög összes szögének összege, típusától függetlenül, 1800.
A nagyobb szöggel szemben van a nagyobb oldal. És bármely oldal hossza mindig kisebb, mint a másik két oldalának az összege. Ezeket a tulajdonságokat megerősíti a háromszög egyenlőtlenség-tétel.
Van egy arany háromszög fogalma. azt egyenlő szárú háromszög, amelynek két oldala arányos az alappal és egy bizonyos számmal egyenlő. Egy ilyen ábrán a szögek arányosak 2:2:1 arányban.
Egy feladat:
Van olyan háromszög, amelynek oldalai 6 cm, 3 cm, 4 cm?
Megoldás:
A feladat megoldásához az a egyenlőtlenséget kell használni
Mit tanultunk?
Ebből az 5. osztályos matematika tanfolyam anyagából megtudtuk, hogy a háromszögeket oldalak és szögek szerint osztályozzák. A háromszögek bizonyos tulajdonságokkal rendelkeznek, amelyeket fel lehet használni a problémák megoldására.
Háromszög egy sokszög 3 oldallal (vagy 3 sarokkal). A háromszög oldalait gyakran kis betűk jelzik, amelyek megfelelnek a nagybetűvel a fordított csúcsokat jelölve.
Akut háromszög Háromszöget nevezünk, ha mindhárom szög hegyesszögű.
tompa háromszög Olyan háromszöget nevezünk, amelyben az egyik szög tompaszögű.
derékszögű háromszög háromszöget nevezünk, amelyben az egyik szög derékszögű, más szóval egyenlő 90 °-kal; derékszöget bezáró a, b oldalakat nevezzük lábak; c oldalt, a derékszög ellenkezőjét nevezzük átfogó.
Egyenlő szárú háromszög háromszöget hívunk, amelyben két oldala egyenlő (a \u003d c); ezeket az egyenlő oldalakat nevezzük oldalsó, a 3. oldalt hívják a háromszög alapja.
egyenlő oldalú háromszög háromszöget hívnak, amelyben minden oldala egyenlő (a \u003d b \u003d c). Ebben az esetben egyik oldala (abc) sem egyenlő egy háromszögben, akkor ez az egyenlőtlen háromszög.
A háromszögek főbb jellemzői
Bármely háromszögben:
A háromszögek egyenlőségének jelei
A háromszögek egybevágóak, ebben az esetben egyenlőek:
Derékszögű háromszögek egyenlőségének jelei
Két derékszögű háromszög egyenlő, ebben az esetben a következő kritériumok egyike jön létre:
Magasságháromszög egy tetszőleges csúcsból kiesett merőleges hátoldal(vagy annak folytatása). Ezt az oldalt hívják a háromszög alapja. A háromszög három magassága mindig egy pontban metszi egymást, ún háromszög ortocentrum.
Egy hegyesszögű háromszög ortocentruma a háromszög belsejébe, a tompa háromszög ortocentruma pedig kívülre kerül; A derékszögű háromszög ortocentruma egybeesik a derékszög csúcsával.
Középső egy olyan szakasz, amely a háromszög bármely csúcsát a hátoldal felezőpontjával összeköti. Egy háromszög három mediánja metszi egymást egy pontban, amely mindig a háromszög belsejében van és a tömegközéppontja. Ez a pont minden mediánt 2:1 arányban oszt el felülről.
Felezővonal- ez a csúcs és a hátsó oldal metszéspontja közötti szög felezőjének egy szakasza. A háromszög három felezőpontja metszi egymást egy pontban, amely mindig a háromszög belsejében van, és a beírt kör középpontja. A felező a hátoldalt a szomszédos oldalakkal arányos részekre osztja.
Medián merőleges a szakasz (oldal) felezőpontjából húzott merőleges. A háromszög három középső merőlegese egy pontban metszi egymást, amely a körülírt kör középpontja.
NÁL NÉL hegyesszögű háromszög ez a pont a háromszögön belül van, egy tompa háromszögben - kívül, egy téglalap alakúban - a befogó közepén. Az ortocentrum, a tömegközéppont, a körülírt kör középpontja és a beírt kör középpontja kizárólag egy egyenlő oldalú háromszögben esik egybe.
Pythagoras axiómája
NÁL NÉL derékszögű háromszög a befogó hosszának négyzete egyenlő a lábak hosszának négyzeteinek összegével.
A Pitagorasz-axióma megerősítése
Szerkessze meg az AKMB négyzetet, oldalként az AB hipotenuszt használva. Ezután folytatjuk az ABC derékszögű háromszög oldalait, hogy megkapjuk a CDEF négyzetet, amelynek oldala a + b. Most már világos, hogy a CDEF négyzet területe (a + b) 2. Másrészt ez a terület egyenlő négy derékszögű háromszög és AKMB négyzet területének összegével, más szóval,
c 2 + 4 (ab / 2) = c 2 + 2 ab,
c 2 + 2 ab = (a + b) 2,
és nekünk van:
c 2 = a 2 + b 2 .
Képarány véletlenszerű háromszögben
NÁL NÉL általános eset(véletlenszerű háromszög esetén) a következőket kapjuk:
c 2 \u003d a 2 + b 2 - 2 ab * cos C,
ahol C az a és b oldal közötti szög.
Kiegészítés az oldalhoz:
Ma a Geometria országába megyünk, ahol különböző típusú háromszögekkel ismerkedünk meg.
Fontolgat geometriai alakzatokés megtaláljuk köztük az „extrát” (1. ábra).
Rizs. 1. Illusztráció például
Látjuk, hogy az 1., 2., 3., 5. számok négyszögek. Mindegyiknek saját neve van (2. ábra).
Rizs. 2. Négyszögek
Ez azt jelenti, hogy az "extra" ábra egy háromszög (3. ábra).
Rizs. 3. Illusztráció például
A háromszög olyan ábra, amely három olyan pontból áll, amelyek nem fekszenek ugyanazon az egyenesen, és három szakaszból, amelyek ezeket a pontokat páronként összekötik.
A pontokat ún háromszög csúcsai, szegmensek - az övé a felek. A háromszög oldalai kialakulnak A háromszög csúcsaiban három szög van.
A háromszög fő jellemzői a következők három oldal és három sarok. A háromszögeket a szög szerint osztályozzuk hegyes, négyszögletes és tompa alakú.
Egy háromszöget hegyesszögűnek nevezünk, ha mindhárom szöge hegyesszögű, azaz kisebb, mint 90° (4. ábra).
Rizs. 4. Hegyesszögű háromszög
Egy háromszöget derékszögűnek nevezünk, ha az egyik szöge 90° (5. ábra).
Rizs. 5. Derékszögű háromszög
Egy háromszöget tompaszögnek nevezünk, ha az egyik szöge tompa, azaz nagyobb, mint 90° (6. ábra).
Rizs. 6. Tompa háromszög
Az egyenlő oldalak száma szerint a háromszögek egyenlő oldalúak, egyenlő szárúak, léptékűek.
Az egyenlő szárú háromszög olyan háromszög, amelynek két oldala egyenlő (7. ábra).
Rizs. 7. Egyenlőszárú háromszög
Ezeket az oldalakat ún oldalsó, harmadik oldal - alapján. Egy egyenlő szárú háromszögben az alap szögei egyenlőek.
Az egyenlő szárú háromszögek olyanok akut és tompa(8. ábra) .
Rizs. 8. Hegyes és tompa egyenlőszárú háromszögek
Egy egyenlő oldalú háromszöget nevezünk, amelynek mindhárom oldala egyenlő (9. ábra).
Rizs. 9. Egyenlő oldalú háromszög
Egyenlő oldalú háromszögben minden szög egyenlő. Egyenlő oldalú háromszögek mindig hegyesszögű.
Sokoldalúnak nevezzük azt a háromszöget, amelynek mindhárom oldala különböző hosszúságú (10. ábra).
Rizs. 10. Skála háromszög
Végezze el a feladatot. Osszuk három csoportra ezeket a háromszögeket (11. ábra).
Rizs. 11. A feladat illusztrációja
Először is osszuk el a szögek nagysága szerint.
Hegyes háromszögek: 1. sz., 3. sz.
Derékszögű háromszögek: #2, #6.
Tompa háromszögek: #4, #5.
Ezeket a háromszögeket az egyenlő oldalak száma szerint csoportokra osztjuk.
Skála háromszögek: 4., 6. sz.
Egyenlőszárú háromszögek: 2., 3., 5. sz.
Egyenlő oldalú háromszög: 1. sz.
Tekintse át a rajzokat.
Gondolja át, hogy az egyes háromszögek milyen huzaldarabból készülnek (12. ábra).
Rizs. 12. A feladat illusztrációja
Lehet így vitatkozni.
Az első drótdarabot három egyenlő részre osztjuk, így egyenlő oldalú háromszöget készíthetünk belőle. Az ábrán harmadikként látható.
A második drótdarab három különböző részre van osztva, így skálán háromszöget készíthetünk belőle. A képen először látható.
A harmadik drótdarabot három részre osztjuk, ahol a két rész egyforma hosszúságú, így egyenlő szárú háromszöget készíthetünk belőle. Az ábrán másodikként látható.
Ma a leckében különböző típusú háromszögekkel ismerkedtünk meg.
Bibliográfia
- M.I. Moro, M.A. Bantova és mások Matematika: Tankönyv. 3. évfolyam: 2 részben, 1. rész. - M .: "Felvilágosodás", 2012.
- M.I. Moro, M.A. Bantova és mások Matematika: Tankönyv. 3. évfolyam: 2 részben, 2. rész. - M .: "Felvilágosodás", 2012.
- M.I. Moreau. Matematika órák: Irányelvek a tanár számára. 3. évfolyam - M.: Oktatás, 2012.
- Szabályozó dokumentum. A tanulási eredmények nyomon követése és értékelése. - M.: "Felvilágosodás", 2011.
- "Oroszország Iskola": Programok számára Általános Iskola. - M.: "Felvilágosodás", 2011.
- S.I. Volkov. Matematika: Ellenőrző munka. 3. évfolyam - M.: Oktatás, 2012.
- V.N. Rudnitskaya. Tesztek. - M.: "Vizsga", 2012.
- Nsportal.ru ().
- Prosv.ru ().
- Do.gendocs.ru ().
Házi feladat
1. Fejezd be a kifejezéseket.
a) A háromszög egy olyan alakzat, amely a nem ugyanazon az egyenesen fekvő ... és a ... pontokból áll, amelyek páronként összekötik ezeket a pontokat.
b) A pontokat ún … , szegmensek - az övé … . A háromszög oldalai a háromszög csúcsaiban alakulnak ki ….
c) A szög nagysága szerint a háromszögek ..., ..., ....
d) Az egyenlő oldalak száma szerint a háromszögek ..., ..., ....
2. Rajzolj
a) derékszögű háromszög
b) hegyesszögű háromszög;
c) tompa háromszög;
d) egyenlő oldalú háromszög;
e) skála háromszög;
e) egyenlő szárú háromszög.
3. Készítsen feladatot az óra témájában társai számára!
A geometriában talán a legalapvetőbb, legegyszerűbb és legérdekesebb alak a háromszög. Tudom Gimnázium fő tulajdonságait tanulmányozzák, de néha a témával kapcsolatos ismeretek hiányosak. A háromszögek típusai kezdetben meghatározzák tulajdonságaikat. De ez a nézet továbbra is vegyes. Tehát most nézzük meg közelebbről ezt a témát.
A háromszögek típusai a szögek mértékétől függenek. Ezek a számok hegyesek, téglalap alakúak és tompa alakúak. Ha minden szög nem haladja meg a 90 fokot, akkor az ábrát biztonságosan hegyesszögűnek nevezhetjük. Ha a háromszög legalább egy szöge 90 fok, akkor egy téglalap alakú alfajról van szó. Ennek megfelelően minden más esetben a figyelembe vettet tompaszögűnek nevezzük.
A hegyesszögű alfajok esetében számos feladat áll rendelkezésre. fémjel a felezők, mediánok és magasságok metszéspontjainak belső helye. Más esetekben ez a feltétel nem teljesülhet. A „háromszög” alak típusának meghatározása nem nehéz. Elég, ha ismerjük például az egyes szögek koszinuszát. Ha vannak értékek nullánál kisebb, tehát a háromszög mindenképpen tompaszögű. Nulla kitevő esetén az ábra derékszögű. Minden pozitív érték garantáltan azt jelzi, hogy éles szögben látod.
Arról nem lehet beszélni derékszögű háromszög. Ez a legideálisabb nézet, ahol a mediánok, a felezők és a magasságok összes metszéspontja egybeesik. A beírt és körülírt körök középpontja is ugyanott található. A problémák megoldásához csak az egyik oldalt kell ismernie, mivel a szögek kezdetben az Ön számára vannak beállítva, a másik két oldal pedig ismert. Vagyis az ábrát csak egy paraméter adja meg. Vannak Ők fő jellemzője- a két oldal és a szögek egyenlősége az alapnál.
Néha felmerül a kérdés, hogy létezik-e adott oldalú háromszög. Valójában azt kérdezed, hogy ez a leírás megfelel-e a fő fajnak. Például, ha két oldal összege kisebb, mint a harmadik, akkor a valóságban ilyen alak egyáltalán nem létezik. Ha a feladat egy 3,5,9 oldalú háromszög szögeinek koszinuszait keresi, akkor itt bonyolult matematikai trükkök nélkül megmagyarázható a nyilvánvaló. Tegyük fel, hogy el akar jutni A pontból B pontba. A távolság egyenes vonalban 9 kilométer. Azonban eszébe jutott, hogy a boltban a C pontba kell mennie. A távolság A-tól C-ig 3 kilométer, C-től B-ig - 5. Így kiderül, hogy az üzleten áthaladva egy kilométerrel kevesebbet fog gyalogolni. De mivel a C pont nem az AB egyenesen található, további távolságot kell megtennie. Itt egy ellentmondás adódik. Ez természetesen hipotetikus magyarázat. A matematika több módszert is tud annak bizonyítására, hogy mindenféle háromszög engedelmeskedik az alapvető azonosságnak. Azt mondja, hogy két oldal összege nagyobb, mint a harmadik oldal hossza.
Mindegyik típus a következő tulajdonságokkal rendelkezik:
1) Az összes szög összege 180 fok.
2) Mindig van egy ortocentrum - mindhárom magasság metszéspontja.
3) A belső szögek csúcsaiból húzott mindhárom medián egy helyen metszi egymást.
4) Egy kör tetszőleges háromszög köré írható. Lehetőség van úgy is beírni egy kört, hogy csak három érintkezési pontja legyen, és ne menjen túl a külső oldalakon.
Most már ismeri a főbb tulajdonságokat különböző fajták háromszögek. A jövőben fontos megérteni, mivel foglalkozik egy probléma megoldása során.
háromszögek
háromszög Az ábrát olyan alaknak nevezzük, amely három olyan pontból áll, amelyek nem egy egyenesen helyezkednek el, és három szakaszból, amelyek ezeket a pontokat páronként összekötik. A pontokat ún csúcsok háromszög, és a szegmensek - annak a felek.
A háromszögek típusai
A háromszöget ún egyenlő szárú ha két oldala egyenlő. Ezeket az egyenlő oldalakat ún oldalak,és a harmadik felet hívják alapján háromszög.
Olyan háromszöget nevezünk, amelynek minden oldala egyenlő egyenlő oldalú vagy helyes.
A háromszöget ún négyszögletes, ha van derékszöge, akkor van 90°-os szög. A derékszögű háromszög derékszöggel ellentétes oldalát ún átfogó a másik két oldalt ún lábak.
A háromszöget ún hegyesszögű ha mindhárom szöge hegyes, azaz kisebb, mint 90°.
A háromszöget ún tompa, ha az egyik szöge tompa, azaz nagyobb, mint 90°.
A háromszög fő vonalai
Középső
Középső A háromszög egy olyan szakasz, amely összeköti egy háromszög csúcsát a háromszög szemközti oldalának felezőpontjával. 
Háromszög medián tulajdonságai
A medián a háromszöget két azonos területű háromszögre osztja.
A háromszög mediánjai egy pontban metszik egymást, ami felülről számolva mindegyiket 2:1 arányban osztja el. Ezt a pontot hívják gravitáció középpontja háromszög.
Az egész háromszöget a mediánjai hat egyenlő háromszögre osztják.
Felezővonal
Szögfelező egy sugár, amely a csúcsából jön, áthalad az oldalai között és felezi az adott szöget. Háromszög felező A csúcsot a háromszög másik oldalán lévő ponttal összekötő háromszög szögfelezőjének szakaszát nevezzük. 
Háromszög felező tulajdonságai
Magasság
Magasság A háromszöget a háromszög csúcsából a háromszög ellenkező oldalát tartalmazó egyenesre húzott merőlegesnek nevezzük. 
A háromszög magassági tulajdonságai
NÁL NÉL derékszögű háromszög a derékszög csúcsából húzott magasság két háromszögre osztja, hasonló eredeti.
NÁL NÉL hegyesszögű háromszög két magassága le van vágva róla hasonló háromszögek.
Medián merőleges
A rá merőleges szakasz felezőpontján átmenő egyenest nevezzük merőleges felező a szegmenshez .
A háromszög merőleges felezőinek tulajdonságai
A szakaszra merőleges felezőszög minden pontja egyenlő távolságra van ennek a szakasznak a végeitől. A fordított állítás is igaz: a szakasz végeitől egyenlő távolságra lévő pontok a rá merőleges felezőn helyezkednek el.
A háromszög oldalaira húzott középső merőlegesek metszéspontja a középpont erre a háromszögre körülírt kör.
középső vonal
A háromszög középvonala Két oldalának felezőpontját összekötő szakaszt nevezzük.
Háromszög középvonalának tulajdonsága
A háromszög középvonala párhuzamos az egyik oldalával, és egyenlő az oldal felével.
Képletek és arányszámok
A háromszögek egyenlőségének jelei
Két háromszög egybevágó, ha egybevágóak:
két oldal és a köztük lévő szög;
két sarok és egy velük szomszédos oldal;
három oldala.
Derékszögű háromszögek egyenlőségének jelei
Két derékszögű háromszög egyenlőek, ha rendre egyenlőek: 
átfogóés hegyesszög
lábés a szemközti sarok;
lábés a szomszédos szög;
két láb;
átfogóés láb.
a háromszögek hasonlósága
Két háromszög hasonlóak ha az alábbi feltételek valamelyike teljesül, ún a hasonlóság jelei:
egy háromszög két szöge egyenlő egy másik háromszög két szögével;
az egyik háromszög két oldala arányos egy másik háromszög két oldalával, és az ezen oldalak által alkotott szögek egyenlőek;
az egyik háromszög három oldala rendre arányos a másik háromszög három oldalával.
Hasonló háromszögekben a megfelelő vonalak ( Magasság, mediánok, felezők stb.) arányosak.
Szinusztétel
A háromszög oldalai arányosak a szemközti szögek szinuszaival, és az arányossági együttható átmérő
háromszög körül körülírt kör:
Koszinusz tétel
A háromszög egyik oldalának négyzete egyenlő a másik két oldal négyzeteinek összegével, mínusz ezen oldalak szorzatának kétszerese és a köztük lévő szög koszinusza:
a 2 = b 2 + c 2 - 2időszámításunk előtt kötözősaláta
Háromszög terület képletek
Önkényes háromszög
a, b, c - oldalak; - az oldalak közötti szög aés b- fél kerület; R- a körülírt kör sugara; r- a beírt kör sugara; S- négyzet; h a - magasság oldalra a.
Betöltés...