Ecuație cuadratică - ușor de rezolvat! *Denumit în continuare „KU”. Prieteni, s-ar părea că nu poate fi nimic mai simplu în matematică decât rezolvarea unei astfel de ecuații. Dar ceva mi-a spus că mulți oameni au probleme cu el. Am decis să văd câte impresii la cerere oferă Yandex pe lună. Iată ce s-a întâmplat, uite:

Ce înseamnă? Aceasta înseamnă că aproximativ 70.000 de oameni sunt în căutare pe lună aceasta informatie, ce legătură are asta cu vara și ce se va întâmpla în timpul anului școlar - vor fi de două ori mai multe cereri. Acest lucru nu este surprinzător, deoarece băieții și fetele aceia care au absolvit școala cu mult timp în urmă și se pregătesc pentru Examenul Unificat de Stat caută aceste informații, iar școlarii se străduiesc și ei să-și împrospăteze memoria.

În ciuda faptului că există o mulțime de site-uri care vă spun cum să rezolvați această ecuație, am decis să contribui și să public materialul. În primul rând, vreau ca vizitatorii să vină pe site-ul meu pe baza acestei solicitări; în al doilea rând, în alte articole, când apare subiectul „KU”, voi oferi un link către acest articol; în al treilea rând, vă voi spune puțin mai multe despre soluția lui decât se spune de obicei pe alte site-uri. Să începem! Conținutul articolului:

O ecuație pătratică este o ecuație de forma:

unde coeficienții a,bși c sunt numere arbitrare, cu a≠0.

În cursul școlar, materialul este dat în urmatoarea forma– ecuațiile sunt împărțite în trei clase:

1. Au două rădăcini.

2. *Ai o singură rădăcină.

3. Nu au rădăcini. Merită remarcat în special aici faptul că nu au rădăcini reale

Cum se calculează rădăcinile? Doar!

Calculăm discriminantul. Sub acest cuvânt „îngrozitor” se află o formulă foarte simplă:

Formulele rădăcinilor sunt următoarele:

*Trebuie să știi aceste formule pe de rost.

Puteți nota și rezolva imediat:

Exemplu:

1. Dacă D > 0, atunci ecuația are două rădăcini.

2. Dacă D = 0, atunci ecuația are o rădăcină.

3. Dacă D< 0, то уравнение не имеет действительных корней.

Să ne uităm la ecuație:

În acest sens, când discriminantul este egal cu zero, cursul școlar spune că se obține o rădăcină, aici este egală cu nouă. Totul este corect, așa este, dar...

Această idee este oarecum incorectă. De fapt, există două rădăcini. Da, da, nu fi surprins, obții două rădăcini egale și, pentru a fi precis din punct de vedere matematic, atunci răspunsul ar trebui să scrie două rădăcini:

x 1 = 3 x 2 = 3

Dar așa este - o mică digresiune. La școală poți să-l notezi și să spui că există o singură rădăcină.

Acum următorul exemplu:

După cum știm, rădăcina unui număr negativ nu poate fi luată, deci soluțiile din în acest caz, Nu.

Acesta este tot procesul de decizie.

Funcția pătratică.

Aceasta arată cum arată soluția din punct de vedere geometric. Acest lucru este extrem de important de înțeles (în viitor, într-unul dintre articole vom analiza în detaliu soluția la inegalitatea pătratică).

Aceasta este o funcție a formei:

unde x și y sunt variabile

a, b, c – numere date, cu a ≠ 0

Graficul este o parabolă:

Adică, rezultă că rezolvând o ecuație pătratică cu „y” egal cu zero, găsim punctele de intersecție ale parabolei cu axa x. Pot exista două dintre aceste puncte (discriminantul este pozitiv), unul (discriminantul este zero) și niciunul (discriminantul este negativ). Detalii despre funcţie pătratică Puteți vizualiza articol de Inna Feldman.

Să ne uităm la exemple:

Exemplul 1: Rezolvați 2x 2 +8 X–192=0

a=2 b=8 c= –192

D=b 2 –4ac = 8 2 –4∙2∙(–192) = 64+1536 = 1600

Răspuns: x 1 = 8 x 2 = –12

*A fost posibilă împărțirea imediată a părților stânga și dreaptă ale ecuației cu 2, adică simplificarea acesteia. Calculele vor fi mai ușoare.

Exemplul 2: Decide x 2–22 x+121 = 0

a=1 b=–22 c=121

D = b 2 –4ac =(–22) 2 –4∙1∙121 = 484–484 = 0

Am constatat că x 1 = 11 și x 2 = 11

Este permis să scrieți x = 11 în răspuns.

Răspuns: x = 11

Exemplul 3: Decide x 2 –8x+72 = 0

a=1 b= –8 c=72

D = b 2 –4ac =(–8) 2 –4∙1∙72 = 64–288 = –224

Discriminantul este negativ, nu există soluție în numerele reale.

Răspuns: nicio soluție

Discriminantul este negativ. Există o soluție!

Aici vom vorbi despre rezolvarea ecuației în cazul în care se obține un discriminant negativ. Știi ceva despre numerele complexe? Nu voi intra în detaliu aici despre de ce și unde au apărut și care este rolul și necesitatea lor specifică în matematică; acesta este un subiect pentru un articol separat.

Conceptul de număr complex.

Puțină teorie.

Un număr complex z este un număr de formă

z = a + bi

unde a și b sunt numere reale, i este așa-numita unitate imaginară.

a+bi – acesta este un SINGUR NUMĂR, nu o adăugare.

Unitatea imaginară este egală cu rădăcina lui minus unu:

Acum luați în considerare ecuația:

Obținem două rădăcini conjugate.

Ecuație pătratică incompletă.

Să luăm în considerare cazurile speciale, atunci când coeficientul „b” sau „c” este egal cu zero (sau ambele sunt egale cu zero). Ele pot fi rezolvate cu ușurință, fără discriminare.

Cazul 1. Coeficientul b = 0.

Ecuația devine:

Să transformăm:

Exemplu:

4x 2 –16 = 0 => 4x 2 =16 => x 2 = 4 => x 1 = 2 x 2 = –2

Cazul 2. Coeficientul c = 0.

Ecuația devine:

Să transformăm și să factorizăm:

*Produsul este egal cu zero atunci când cel puțin unul dintre factori este egal cu zero.

Exemplu:

9x 2 –45x = 0 => 9x (x–5) =0 => x = 0 sau x–5 =0

x 1 = 0 x 2 = 5

Cazul 3. Coeficienții b = 0 și c = 0.

Aici este clar că soluția ecuației va fi întotdeauna x = 0.

Proprietăți utile și modele de coeficienți.

Există proprietăți care vă permit să rezolvați ecuații cu coeficienți mari.

AX 2 + bx+ c=0 egalitatea este valabilă

A + b+ c = 0, Acea

- dacă pentru coeficienţii ecuaţiei AX 2 + bx+ c=0 egalitatea este valabilă

A+ s =b, Acea

Aceste proprietăți ajută la decizie un anumit tip ecuații

Exemplul 1: 5001 X 2 –4995 X – 6=0

Suma cotelor este 5001+( – 4995)+(– 6) = 0, ceea ce înseamnă

Exemplul 2: 2501 X 2 +2507 X+6=0

Egalitatea este valabilă A+ s =b, Mijloace

Regularități ale coeficienților.

1. Dacă în ecuația ax 2 + bx + c = 0 coeficientul „b” este egal cu (a 2 +1), iar coeficientul „c” este numeric egal cu coeficientul „a”, atunci rădăcinile sale sunt egale

ax 2 + (a 2 +1)∙x+ a= 0 = > x 1 = –a x 2 = –1/a.

Exemplu. Luați în considerare ecuația 6x 2 + 37x + 6 = 0.

x 1 = –6 x 2 = –1/6.

2. Dacă în ecuația ax 2 – bx + c = 0 coeficientul „b” este egal cu (a 2 +1), iar coeficientul „c” este numeric egal cu coeficientul „a”, atunci rădăcinile sale sunt egale

ax 2 – (a 2 +1)∙x+ a= 0 = > x 1 = a x 2 = 1/a.

Exemplu. Se consideră ecuația 15x 2 –226x +15 = 0.

x 1 = 15 x 2 = 1/15.

3. Dacă în Ec. ax 2 + bx – c = 0 coeficient „b” este egal cu (a 2 – 1), și coeficientul „c” este numeric egal cu coeficientul „a”, atunci rădăcinile sale sunt egale

ax 2 + (a 2 –1)∙x – a= 0 = > x 1 = – a x 2 = 1/a.

Exemplu. Se consideră ecuația 17x 2 +288x – 17 = 0.

x 1 = – 17 x 2 = 1/17.

4. Dacă în ecuația ax 2 – bx – c = 0 coeficientul „b” este egal cu (a 2 – 1), iar coeficientul c este numeric egal cu coeficientul „a”, atunci rădăcinile sale sunt egale

ax 2 – (a 2 –1)∙x – a= 0 = > x 1 = a x 2 = – 1/a.

Exemplu. Se consideră ecuația 10x 2 – 99x –10 = 0.

x 1 = 10 x 2 = – 1/10

teorema lui Vieta.

Teorema lui Vieta poartă numele celebrului matematician francez Francois Vieta. Folosind teorema lui Vieta, putem exprima suma și produsul rădăcinilor unui KU arbitrar în termeni de coeficienți.

45 = 1∙45 45 = 3∙15 45 = 5∙9.

În total, numărul 14 dă doar 5 și 9. Acestea sunt rădăcini. Cu o anumită îndemânare, folosind teorema prezentată, poți rezolva imediat multe ecuații pătratice pe cale orală.

Teorema lui Vieta, în plus. Este convenabil prin faptul că, după rezolvarea unei ecuații pătratice în mod obișnuit (printr-un discriminant), rădăcinile rezultate pot fi verificate. Recomand să faci asta mereu.

METODA DE TRANSPORT

Cu această metodă, coeficientul „a” este înmulțit cu termenul liber, ca și cum ar fi „aruncat” acestuia, motiv pentru care se numește metoda „transferului”. Această metodă este folosită atunci când rădăcinile ecuației pot fi găsite cu ușurință folosind teorema lui Vieta și, cel mai important, când discriminantul este un pătrat exact.

Dacă A± b+c≠ 0, atunci se utilizează tehnica de transfer, de exemplu:

2X 2 – 11x+ 5 = 0 (1) => X 2 – 11x+ 10 = 0 (2)

Folosind teorema lui Vieta din ecuația (2), este ușor de determinat că x 1 = 10 x 2 = 1

Rădăcinile rezultate ale ecuației trebuie împărțite la 2 (deoarece cele două au fost „aruncate” din x 2), obținem

x 1 = 5 x 2 = 0,5.

Care este rațiunea? Uite ce se întâmplă.

Discriminanții ecuațiilor (1) și (2) sunt egali:

Dacă te uiți la rădăcinile ecuațiilor, obții doar numitori diferiți, iar rezultatul depinde tocmai de coeficientul lui x 2:

Al doilea (modificat) are rădăcini de 2 ori mai mari.

Prin urmare, împărțim rezultatul la 2.

*Dacă reluăm cele trei, vom împărți rezultatul la 3 etc.

Răspuns: x 1 = 5 x 2 = 0,5

mp. ur-ie și examenul de stat unificat.

Vă voi spune pe scurt despre importanța sa - TREBUIE SĂ PUTEȚI DECIZI rapid și fără să stați pe gânduri, trebuie să cunoașteți pe de rost formulele rădăcinilor și discriminanților. Multe dintre problemele incluse în sarcinile Unified State Examination se rezumă la rezolvarea unei ecuații pătratice (inclusiv cele geometrice).

Ceva demn de remarcat!

1. Forma de scriere a unei ecuații poate fi „implicita”. De exemplu, următoarea intrare este posibilă:

15+ 9x 2 - 45x = 0 sau 15x+42+9x 2 - 45x=0 sau 15 -5x+10x 2 = 0.

Trebuie să îl aduceți într-o formă standard (pentru a nu vă încurca atunci când rezolvați).

2. Amintiți-vă că x este o cantitate necunoscută și poate fi notat cu orice altă literă - t, q, p, h și altele.

Descriere bibliografica: Gasanov A. R., Kuramshin A. A., Elkov A. A., Shilnenkov N. V., Ulanov D. D., Shmeleva O. V. Metode de soluție ecuații pătratice// Tânăr om de știință. 2016. Nr 6.1. P. 17-20...03.2019).

Proiectul nostru este despre modalități de a rezolva ecuații patratice. Scopul proiectului: învățați să rezolvați ecuații patratice în moduri care nu sunt incluse în programa școlară. Sarcină: găsiți totul moduri posibile rezolvarea ecuațiilor pătratice și învățarea cum să le folosești singur și prezentarea acestor metode colegilor tăi.

Ce sunt „ecuațiile pătratice”?

Ecuație pătratică- ecuația formei topor2 + bx + c = 0, Unde A, b, c- unele numere ( a ≠ 0), X- necunoscut.

Numerele a, b, c sunt numite coeficienți ai ecuației pătratice.

a se numește primul coeficient;
b se numește al doilea coeficient;
c - membru liber.

Cine a fost primul care a „inventat” ecuațiile pătratice?

Unele tehnici algebrice pentru rezolvarea ecuațiilor liniare și pătratice erau cunoscute acum 4000 de ani în Babilonul Antic. Descoperirea vechilor tăblițe de lut babiloniene, datând undeva între 1800 și 1600 î.Hr., oferă cele mai vechi dovezi ale studiului ecuațiilor pătratice. Aceleași tablete conțin metode de rezolvare a anumitor tipuri de ecuații pătratice.

Necesitatea rezolvării ecuațiilor nu numai de gradul I, ci și de gradul II în antichitate a fost cauzată de nevoia de a rezolva probleme legate de găsirea zonelor terenuri si cu terasamente de natură militară, precum și cu dezvoltarea astronomiei și a matematicii în sine.

Regula de rezolvare a acestor ecuații, expusă în textele babiloniene, coincide în esență cu cea modernă, dar nu se știe cum au ajuns babilonienii la această regulă. Aproape toate textele cuneiforme găsite până acum oferă doar probleme cu soluțiile prezentate sub formă de rețete, fără nicio indicație cu privire la modul în care au fost găsite. În ciuda nivel inalt dezvoltarea algebrei în Babilon, textelor cuneiforme le lipsește conceptul de număr negativ și metode generale rezolvarea ecuațiilor pătratice.

matematicienii babilonieni din aproximativ secolul al IV-lea î.Hr. a folosit metoda complementului pătratului pentru a rezolva ecuații cu rădăcini pozitive. În jurul anului 300 î.Hr Euclid a venit cu o metodă de soluție geometrică mai generală. Primul matematician care a găsit soluții la ecuații cu rădăcini negative sub forma unei formule algebrice a fost un om de știință indian. Brahmagupta(India, secolul al VII-lea d.Hr.).

Brahmagupta a stabilit o regulă generală pentru rezolvarea ecuațiilor pătratice reduse la o singură formă canonică:

ax2 + bx = c, a>0

Coeficienții din această ecuație pot fi, de asemenea, negativi. Regula lui Brahmagupta este în esență aceeași cu a noastră.

Competițiile publice pentru rezolvarea problemelor dificile erau obișnuite în India. Una dintre cărțile vechi indiene spune următoarele despre astfel de competiții: „Pe măsură ce soarele eclipsează stelele cu strălucirea sa, așa om învăţatîși va eclipsa gloria în adunările publice propunând și rezolvând probleme algebrice.” Problemele au fost adesea prezentate sub formă poetică.

Într-un tratat algebric Al-Khwarizmi se dă o clasificare a ecuaţiilor liniare şi pătratice. Autorul numără 6 tipuri de ecuații, exprimându-le astfel:

1) „Pătratele sunt egale cu rădăcinile”, adică ax2 = bx.

2) „Pătratele sunt egale cu numerele”, adică ax2 = c.

3) „Rădăcinile sunt egale cu numărul”, adică ax2 = c.

4) „Pătratele și numerele sunt egale cu rădăcinile”, adică ax2 + c = bx.

5) „Pătratele și rădăcinile sunt egale cu numărul”, adică ax2 + bx = c.

6) „Rădăcinile și numerele sunt egale cu pătratele”, adică bx + c == ax2.

Pentru Al-Khwarizmi, care a evitat utilizarea numerelor negative, termenii fiecăreia dintre aceste ecuații sunt sumanzi și nu scăderi. În acest caz, ecuațiile care nu au soluții pozitive, evident, nu sunt luate în considerare. Autorul stabilește metode de rezolvare a acestor ecuații folosind tehnicile al-jabr și al-mukabal. Decizia lui, desigur, nu coincide complet cu a noastră. Ca să nu mai vorbim de faptul că este pur retoric, trebuie remarcat, de exemplu, că atunci când rezolvă o ecuație pătratică incompletă de primul tip, Al-Khorezmi, ca toți matematicienii până în secolul al XVII-lea, nu ia în considerare soluția zero, probabil pentru că în practică specifică nu contează în sarcini. Atunci când rezolvă ecuații patratice complete, Al-Khwarizmi stabilește regulile pentru rezolvarea lor folosind exemple numerice particulare și apoi dovezile geometrice ale acestora.

Formele pentru rezolvarea ecuațiilor pătratice după modelul lui Al-Khwarizmi în Europa au fost prezentate pentru prima dată în „Cartea Abacului”, scrisă în 1202. matematician italian Leonard Fibonacci. Autorul a dezvoltat în mod independent unele noi exemple algebrice rezolvarea problemelor și a fost primul din Europa care a introdus numere negative.

Această carte a contribuit la răspândirea cunoștințelor algebrice nu numai în Italia, ci și în Germania, Franța și alte țări europene. Multe probleme din această carte au fost folosite în aproape toate manualele europene din secolele XIV-XVII. Regula generala soluția ecuațiilor pătratice reduse la o singură formă canonică x2 + bх = с pentru toate combinațiile posibile de semne și coeficienți b, c a fost formulată în Europa în 1544. M. Stiefel.

Derivarea formulei de rezolvare a unei ecuații pătratice în vedere generala Viet o are, dar Viet a recunoscut doar rădăcini pozitive. matematicienii italieni Tartaglia, Cardano, Bombelli printre primele din secolul al XVI-lea. Pe lângă cele pozitive, se iau în considerare și rădăcinile negative. Abia în secolul al XVII-lea. datorită eforturilor Girard, Descartes, Newtonși alți oameni de știință, metoda de rezolvare a ecuațiilor pătratice ia o formă modernă.

Să ne uităm la mai multe moduri de a rezolva ecuații patratice.

Metode standard de rezolvare a ecuațiilor pătratice din curiculumul scolar:

Factorizarea părții stângi a ecuației.
Metoda de selectare a unui pătrat complet.
Rezolvarea ecuațiilor pătratice folosind formula.
Soluție grafică ecuație pătratică.
Rezolvarea ecuațiilor folosind teorema lui Vieta.

Să ne oprim mai în detaliu asupra soluției ecuațiilor pătratice reduse și nereduse folosind teorema lui Vieta.

Amintiți-vă că pentru a rezolva ecuațiile pătratice de mai sus, este suficient să găsiți două numere al căror produs este egal cu termenul liber și a căror sumă este egală cu al doilea coeficient cu semnul opus.

Exemplu.X 2 -5x+6=0

Trebuie să găsiți numere al căror produs este 6 și a căror sumă este 5. Aceste numere vor fi 3 și 2.

Raspuns: x 1 =2, x 2 =3.

Dar puteți folosi această metodă și pentru ecuații cu primul coeficient diferit de unu.

Exemplu.3x 2 +2x-5=0

Luați primul coeficient și înmulțiți-l cu termenul liber: x 2 +2x-15=0

Rădăcinile acestei ecuații vor fi numere al căror produs este egal cu - 15 și a căror sumă este egală cu - 2. Aceste numere sunt 5 și 3. Pentru a găsi rădăcinile ecuației inițiale, împărțiți rădăcinile rezultate la primul coeficient.

Raspuns: x 1 =-5/3, x 2 =1

6. Rezolvarea ecuațiilor folosind metoda „aruncă”.

Se consideră ecuația pătratică ax 2 + bx + c = 0, unde a≠0.

Înmulțind ambele părți cu a, obținem ecuația a 2 x 2 + abx + ac = 0.

Fie ax = y, de unde x = y/a; atunci ajungem la ecuația y 2 + prin + ac = 0, echivalentă cu cea dată. Găsim rădăcinile pentru 1 și 2 folosind teorema lui Vieta.

În cele din urmă obținem x 1 = y 1 /a și x 2 = y 2 /a.

Cu această metodă, coeficientul a este înmulțit cu termenul liber, parcă „aruncat” la acesta, motiv pentru care se numește metoda „aruncare”. Această metodă este folosită atunci când rădăcinile ecuației pot fi găsite cu ușurință folosind teorema lui Vieta și, cel mai important, când discriminantul este un pătrat exact.

Exemplu.2x 2 - 11x + 15 = 0.

Să „aruncăm” coeficientul 2 la termenul liber și să facem o înlocuire și să obținem ecuația y 2 - 11y + 30 = 0.

Conform teoremei inverse a lui Vieta

y 1 = 5, x 1 = 5/2, x 1 = 2,5; y 2 = 6, x 2 = 6/2, x 2 = 3.

Raspuns: x 1 =2,5; X 2 = 3.

7. Proprietăţile coeficienţilor unei ecuaţii pătratice.

Fie ecuația pătratică ax 2 + bx + c = 0, a ≠ 0.

1. Dacă a+ b + c = 0 (adică suma coeficienților ecuației este zero), atunci x 1 = 1.

2. Dacă a - b + c = 0, sau b = a + c, atunci x 1 = - 1.

Exemplu.345x 2 - 137x - 208 = 0.

Deoarece a + b + c = 0 (345 - 137 - 208 = 0), atunci x 1 = 1, x 2 = -208/345.

Raspuns: x 1 =1; X 2 = -208/345 .

Exemplu.132x 2 + 247x + 115 = 0

Deoarece a-b+c = 0 (132 - 247 +115=0), atunci x 1 = - 1, x 2 = - 115/132

Raspuns: x 1 = - 1; X 2 =- 115/132

Există și alte proprietăți ale coeficienților unei ecuații pătratice. dar utilizarea lor este mai complexă.

8. Rezolvarea ecuațiilor pătratice folosind o nomogramă.

Fig 1. Nomograma

Aceasta este o metodă veche și uitată în prezent de rezolvare a ecuațiilor pătratice, plasată la p. 83 a colecției: Bradis V.M. Tabelele matematice din patru cifre. - M., Educaţie, 1990.

Tabelul XXII. Nomograma pentru rezolvarea ecuației z 2 + pz + q = 0. Această nomogramă permite, fără a rezolva o ecuație pătratică, să se determine rădăcinile ecuației din coeficienții ei.

Scara curbilinie a nomogramei este construită după formulele (Fig. 1):

crezând OS = p, ED = q, OE = a(toate în cm), din Fig. 1 asemănări de triunghiuri SANȘi CDF obținem proporția

care, după substituții și simplificări, dă ecuația z 2 + pz + q = 0, iar scrisoarea zînseamnă marca oricărui punct pe o scară curbă.

Orez. 2 Rezolvarea ecuațiilor pătratice folosind o nomogramă

Exemple.

1) Pentru ecuație z 2 - 9z + 8 = 0 nomograma dă rădăcinile z 1 = 8,0 și z 2 = 1,0

Răspuns: 8,0; 1.0.

2) Folosind o nomogramă, rezolvăm ecuația

2z 2 - 9z + 2 = 0.

Împărțiți coeficienții acestei ecuații la 2, obținem ecuația z 2 - 4,5z + 1 = 0.

Nomograma dă rădăcini z 1 = 4 și z 2 = 0,5.

Răspuns: 4; 0,5.

9. Metoda geometrică de rezolvare a ecuațiilor pătratice.

Exemplu.X 2 + 10x = 39.

În original, această problemă este formulată după cum urmează: „Pătratul și zece rădăcini sunt egale cu 39”.

Luați în considerare un pătrat cu latura x, dreptunghiuri sunt construite pe laturile sale, astfel încât cealaltă parte a fiecăruia dintre ele să fie de 2,5, prin urmare aria fiecăruia este de 2,5x. Cifra rezultată este apoi completată cu un nou pătrat ABCD, construind patru pătrate egale în colțuri, latura fiecăruia dintre ele este 2,5 și aria este 6,25.

Orez. 3 Metoda grafică de rezolvare a ecuației x 2 + 10x = 39

Aria S a pătratului ABCD poate fi reprezentată ca suma ariilor: pătratului original x 2, patru dreptunghiuri (4∙2,5x = 10x) și patru pătrate suplimentare (6,25∙4 = 25), adică. S = x 2 + 10x = 25. Înlocuind x 2 + 10x cu numărul 39, obținem că S = 39 + 25 = 64, ceea ce înseamnă că latura pătratului este ABCD, adică. segmentul AB = 8. Pentru latura necesară x a pătratului inițial obținem

10. Rezolvarea ecuaţiilor folosind teorema lui Bezout.

teorema lui Bezout. Restul împărțirii polinomului P(x) la binomul x - α este egal cu P(α) (adică valoarea lui P(x) la x = α).

Dacă numărul α este rădăcina polinomului P(x), atunci acest polinom este divizibil cu x -α fără rest.

Exemplu.x²-4x+3=0

Р(x)= x²-4x+3, α: ±1,±3, α =1, 1-4+3=0. Împărțiți P(x) la (x-1): (x²-4x+3)/(x-1)=x-3

x²-4x+3=(x-1)(x-3), (x-1)(x-3)=0

x-1=0; x=1, sau x-3=0, x=3; Raspuns: x1 =2, x2 =3.

Concluzie: Capacitatea de a rezolva rapid și rațional ecuații pătratice este pur și simplu necesară pentru a rezolva mai multe ecuații complexe, de exemplu, ecuații raționale fracționale, ecuații grade superioare, ecuații biquadratice, iar în liceu ecuații trigonometrice, exponențiale și logaritmice. După ce am studiat toate metodele găsite pentru rezolvarea ecuațiilor pătratice, putem să-i sfătuim pe colegii noștri, pe lângă metodele standard, să rezolve prin metoda transferului (6) și să rezolve ecuații folosind proprietatea coeficienților (7), deoarece acestea sunt mai accesibile. spre înțelegere.

Literatură:

Bradis V.M. Tabelele matematice din patru cifre. - M., Educaţie, 1990.
Algebră clasa a VIII-a: manual pentru clasa a VIII-a. educatie generala instituții Makarychev Yu. N., Mindyuk N. G., Neshkov K. I., Suvorova S. B. ed. S. A. Telyakovsky ed. a XV-a, revizuită. - M.: Educație, 2015
https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D0%B2%D0%B0%D0%B4%D1%80%D0%B0%D1%82%D0%BD%D0%BE%D0 %B5_%D1%83%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5
Glazer G.I. Istoria matematicii la scoala. Manual pentru profesori. / Ed. V.N. Mai tanar. - M.: Educaţie, 1964.

Doar. După formule și reguli clare, simple. La prima etapă

este necesar să aducem ecuația dată la o formă standard, adică. la forma:

Dacă ecuația vă este deja dată în această formă, nu trebuie să faceți prima etapă. Cel mai important lucru este să o faci corect

determinați toți coeficienții, A, bȘi c.

Formula pentru găsirea rădăcinilor unei ecuații pătratice.

Expresia de sub semnul rădăcinii se numește discriminant . După cum puteți vedea, pentru a găsi X, noi

folosim doar a, b și c. Acestea. coeficienţi din ecuație pătratică. Doar pune-l cu grijă

valorile a, b și c Calculăm în această formulă. Inlocuim cu al lor semne!

De exemplu, în ecuația:

A =1; b = 3; c = -4.

Inlocuim valorile si scriem:

Exemplul este aproape rezolvat:

Acesta este răspunsul.

Cele mai frecvente greșeli sunt confuzia cu valorile semnelor a, bȘi Cu. Sau mai degrabă, cu substituție

valori negative în formula de calcul a rădăcinilor. O înregistrare detaliată a formulei vine în ajutor aici

cu numere specifice. Dacă ai probleme cu calculele, fă-o!

Să presupunem că trebuie să rezolvăm următorul exemplu:

Aici A = -6; b = -5; c = -1

Descriem totul în detaliu, cu atenție, fără a rata nimic cu toate semnele și parantezele:

Ecuațiile cuadratice arată adesea ușor diferit. De exemplu, așa:

Acum luați notă de tehnicile practice care reduc dramatic numărul de erori.

Prima numire. Nu fi leneș înainte rezolvarea unei ecuații pătratice aduceți-o la forma standard.

Ce înseamnă acest lucru?

Să presupunem că după toate transformările obținem următoarea ecuație:

Nu vă grăbiți să scrieți formula rădăcină! Aproape sigur vei amesteca șansele a, b și c.

Construiți corect exemplul. Mai întâi, X pătrat, apoi fără pătrat, apoi termenul liber. Ca aceasta:

Scapa de minus. Cum? Trebuie să înmulțim întreaga ecuație cu -1. Primim:

Dar acum puteți scrie în siguranță formula rădăcinilor, puteți calcula discriminantul și puteți termina de rezolvat exemplul.

Decide pentru tine. Acum ar trebui să aveți rădăcinile 2 și -1.

Recepție secundă. Verificați rădăcinile! De teorema lui Vieta.

Pentru a rezolva ecuațiile pătratice date, i.e. dacă coeficientul

x 2 +bx+c=0,

Apoix 1 x 2 =c

x 1 +x 2 =−b

Pentru o ecuație pătratică completă în care a≠1:

x 2 +bx+c=0,

împărțiți întreaga ecuație la A:

→ →

Unde x 1Și X 2 - rădăcinile ecuației.

Recepția a treia. Dacă ecuația ta are coeficienți fracționali, scapă de fracții! Multiplica

ecuație cu numitor comun.

Concluzie. Sfaturi practice:

1. Înainte de a rezolva, aducem ecuația pătratică la forma standard și o construim Dreapta.

2. Dacă în fața pătratului X există un coeficient negativ, îl eliminăm înmulțind totul

ecuații prin -1.

3. Dacă coeficienții sunt fracționali, eliminăm fracțiile înmulțind întreaga ecuație cu corespunzătoare

factor.

4. Dacă x pătrat este pur, coeficientul său este egal cu unu, soluția poate fi ușor verificată prin

Primul nivel

Ecuații cuadratice. Ghid cuprinzător (2019)

În termenul „ecuație pătratică”, cuvântul cheie este „quadratic”. Aceasta înseamnă că ecuația trebuie să conțină în mod necesar o variabilă (același x) pătrat și nu ar trebui să existe x la cea de-a treia putere (sau mai mare).

Rezolvarea multor ecuații se reduce la rezolvarea ecuațiilor pătratice.

Să învățăm să determinăm că aceasta este o ecuație pătratică și nu o altă ecuație.

Exemplul 1.

Să scăpăm de numitor și să înmulțim fiecare termen al ecuației cu

Să mutăm totul în partea stângă și să aranjam termenii în ordinea descrescătoare a puterilor lui X

Acum putem spune cu încredere că această ecuație este pătratică!

Exemplul 2.

Înmulțiți părțile din stânga și din dreapta cu:

Această ecuație, deși a fost inițial în ea, nu este pătratică!

Exemplul 3.

Să înmulțim totul cu:

Infricosator? Gradul al patrulea și al doilea... Totuși, dacă facem o înlocuire, vom vedea că avem o ecuație pătratică simplă:

Exemplul 4.

Se pare că este acolo, dar să aruncăm o privire mai atentă. Să mutăm totul în partea stângă:

Vezi, este redusă - și acum este o simplă ecuație liniară!

Acum încercați să determinați singuri care dintre următoarele ecuații sunt pătratice și care nu:

Exemple:

Raspunsuri:

pătrat;
pătrat;
nu pătrat;
nu pătrat;
nu pătrat;
pătrat;
nu pătrat;
pătrat.

În mod convențional, matematicienii împart toate ecuațiile pătratice în următoarele tipuri:

Completează ecuațiile pătratice- ecuații în care coeficienții și, precum și termenul liber c, nu sunt egali cu zero (ca în exemplu). În plus, printre ecuațiile pătratice complete există dat- acestea sunt ecuații în care coeficientul (ecuația din exemplul unu este nu numai completă, ci și redusă!)

Ecuații patratice incomplete- ecuații în care coeficientul și/sau termenul liber c sunt egali cu zero:
Sunt incomplete pentru că le lipsește un element. Dar ecuația trebuie să conțină întotdeauna x pătrat!!! În caz contrar, nu va mai fi o ecuație pătratică, ci o altă ecuație.

De ce au venit cu o asemenea împărțire? S-ar părea că există un X pătrat și bine. Această împărțire este determinată de metodele de soluție. Să ne uităm la fiecare dintre ele mai detaliat.

Rezolvarea ecuațiilor pătratice incomplete

În primul rând, să ne concentrăm pe rezolvarea ecuațiilor pătratice incomplete - sunt mult mai simple!

Există tipuri de ecuații pătratice incomplete:

, în această ecuație coeficientul este egal.
, în această ecuație termenul liber este egal cu.
, în această ecuație coeficientul și termenul liber sunt egali.

1. i. Deoarece știm să luăm rădăcina pătrată, să exprimăm din această ecuație

Expresia poate fi fie negativă, fie pozitivă. Un număr pătrat nu poate fi negativ, deoarece la înmulțirea a două numere negative sau a două numere pozitive, rezultatul va fi întotdeauna un număr pozitiv, deci: dacă, atunci ecuația nu are soluții.

Și dacă, atunci obținem două rădăcini. Nu este nevoie să memorezi aceste formule. Principalul lucru este că trebuie să știți și să vă amintiți întotdeauna că nu poate fi mai puțin.

Să încercăm să rezolvăm câteva exemple.

Exemplul 5:

Rezolvați ecuația

Acum tot ce rămâne este să extragi rădăcina din partea stângă și dreaptă. La urma urmei, îți amintești cum să extragi rădăcini?

Răspuns:

Nu uita niciodată de rădăcinile cu semn negativ!!!

Exemplul 6:

Rezolvați ecuația

Răspuns:

Exemplul 7:

Rezolvați ecuația

Oh! Pătratul unui număr nu poate fi negativ, ceea ce înseamnă că ecuația

fara radacini!

Pentru astfel de ecuații care nu au rădăcini, matematicienii au venit cu o pictogramă specială - (set gol). Și răspunsul poate fi scris astfel:

Răspuns:

Astfel, această ecuație pătratică are două rădăcini. Nu există restricții aici, deoarece nu am extras rădăcina.
Exemplul 8:

Rezolvați ecuația

Să scoatem factorul comun din paranteze:

Prin urmare,

Această ecuație are două rădăcini.

Răspuns:

Cel mai simplu tip de ecuații pătratice incomplete (deși toate sunt simple, nu?). Evident, această ecuație are întotdeauna o singură rădăcină:

Ne vom dispensa de exemple aici.

Rezolvarea ecuațiilor pătratice complete

Vă reamintim că o ecuație pătratică completă este o ecuație a ecuației de formă unde

Rezolvarea ecuațiilor pătratice complete este puțin mai dificilă (doar puțin) decât acestea.

Tine minte, Orice ecuație pătratică poate fi rezolvată folosind un discriminant! Chiar incomplet.

Celelalte metode te vor ajuta să o faci mai repede, dar dacă ai probleme cu ecuațiile pătratice, mai întâi stăpânește soluția folosind discriminantul.

1. Rezolvarea ecuațiilor pătratice folosind un discriminant.

Rezolvarea ecuațiilor pătratice folosind această metodă este foarte simplă; principalul lucru este să vă amintiți succesiunea de acțiuni și câteva formule.

Dacă, atunci ecuația are rădăcină. Atentie speciala Fă un pas. Discriminantul () ne spune numărul de rădăcini ale ecuației.

Dacă, atunci formula din pas se va reduce la. Astfel, ecuația va avea doar o rădăcină.
Dacă, atunci nu vom putea extrage rădăcina discriminantului la pas. Aceasta indică faptul că ecuația nu are rădăcini.

Să ne întoarcem la ecuațiile noastre și să vedem câteva exemple.

Exemplul 9:

Rezolvați ecuația

Pasul 1 sărim.

Pasul 2.

Găsim discriminantul:

Aceasta înseamnă că ecuația are două rădăcini.

Pasul 3.

Răspuns:

Exemplul 10:

Rezolvați ecuația

Ecuația este prezentată în formă standard, deci Pasul 1 sărim.

Pasul 2.

Găsim discriminantul:

Aceasta înseamnă că ecuația are o singură rădăcină.

Răspuns:

Exemplul 11:

Rezolvați ecuația

Ecuația este prezentată în formă standard, deci Pasul 1 sărim.

Pasul 2.

Găsim discriminantul:

Aceasta înseamnă că nu vom putea extrage rădăcina discriminantului. Nu există rădăcini ale ecuației.

Acum știm cum să scriem corect astfel de răspunsuri.

Răspuns: fara radacini

2. Rezolvarea ecuațiilor pătratice folosind teorema lui Vieta.

Dacă vă amintiți, există un tip de ecuație care se numește redusă (când coeficientul a este egal cu):

Astfel de ecuații sunt foarte ușor de rezolvat folosind teorema lui Vieta:

Suma rădăcinilor dat ecuația pătratică este egală, iar produsul rădăcinilor este egal.

Exemplul 12:

Rezolvați ecuația

Această ecuație poate fi rezolvată folosind teorema lui Vieta deoarece .

Suma rădăcinilor ecuației este egală, adică. obținem prima ecuație:

Și produsul este egal cu:

Să compunem și să rezolvăm sistemul:

Și. Suma este egală cu;
Și. Suma este egală cu;
Și. Suma este egală.

și sunt soluția pentru sistem:

Răspuns: ; .

Exemplul 13:

Rezolvați ecuația

Răspuns:

Exemplul 14:

Rezolvați ecuația

Ecuația este dată, ceea ce înseamnă:

Răspuns:

ECUAȚII CADRATICE. NIVEL MEDIU

Ce este o ecuație pătratică?

Cu alte cuvinte, o ecuație pătratică este o ecuație de forma, unde - necunoscutul, - unele numere și.

Numărul se numește cel mai mare sau primul coeficient ecuație pătratică, - al doilea coeficient, A - membru liber.

De ce? Pentru că dacă ecuația devine imediat liniară, pentru că va disparea.

În acest caz, și poate fi egal cu zero. În această ecuație de scaun se numește incompletă. Dacă toți termenii sunt la locul lor, adică, ecuația este completă.

Soluții la diferite tipuri de ecuații pătratice

Metode de rezolvare a ecuațiilor pătratice incomplete:

În primul rând, să ne uităm la metodele de rezolvare a ecuațiilor pătratice incomplete - sunt mai simple.

Putem distinge următoarele tipuri de ecuații:

I., în această ecuație coeficientul și termenul liber sunt egali.

II. , în această ecuație coeficientul este egal.

III. , în această ecuație termenul liber este egal cu.

Acum să ne uităm la soluția pentru fiecare dintre aceste subtipuri.

Evident, această ecuație are întotdeauna o singură rădăcină:

Un număr pătrat nu poate fi negativ, deoarece atunci când înmulțiți două numere negative sau două pozitive, rezultatul va fi întotdeauna un număr pozitiv. De aceea:

dacă, atunci ecuația nu are soluții;

dacă avem două rădăcini

Nu este nevoie să memorezi aceste formule. Principalul lucru de reținut este că nu poate fi mai puțin.

Exemple:

Solutii:

Răspuns:

Nu uita niciodată de rădăcinile cu semn negativ!

Pătratul unui număr nu poate fi negativ, ceea ce înseamnă că ecuația

fara radacini.

Pentru a nota pe scurt că o problemă nu are soluții, folosim pictograma set gol.

Răspuns:

Deci, această ecuație are două rădăcini: și.

Răspuns:

Să scoatem factorul comun din paranteze:

Produsul este egal cu zero dacă cel puțin unul dintre factori este egal cu zero. Aceasta înseamnă că ecuația are o soluție atunci când:

Deci, această ecuație pătratică are două rădăcini: și.

Exemplu:

Rezolvați ecuația.

Soluţie:

Să factorizăm partea stângă a ecuației și să găsim rădăcinile:

Răspuns:

Metode de rezolvare a ecuațiilor pătratice complete:

1. Discriminant

Rezolvarea ecuațiilor pătratice în acest fel este ușoară, principalul lucru este să vă amintiți succesiunea de acțiuni și câteva formule. Amintiți-vă, orice ecuație pătratică poate fi rezolvată folosind un discriminant! Chiar incomplet.

Ați observat rădăcina de la discriminant în formula pentru rădăcini? Dar discriminantul poate fi negativ. Ce să fac? Trebuie să acordăm o atenție deosebită pasului 2. Discriminantul ne spune numărul de rădăcini ale ecuației.

Dacă, atunci ecuația are rădăcini:
Dacă, atunci ecuația are aceleași rădăcini și, de fapt, o rădăcină:
Astfel de rădăcini se numesc rădăcini duble.
Dacă, atunci rădăcina discriminantului nu este extrasă. Aceasta indică faptul că ecuația nu are rădăcini.

De ce este posibil cantități diferite rădăcini? Să ne întoarcem la sens geometric ecuație pătratică. Graficul funcției este o parabolă:

Într-un caz special, care este o ecuație pătratică, . Aceasta înseamnă că rădăcinile unei ecuații pătratice sunt punctele de intersecție cu axa (axa) absciselor. O parabolă poate să nu intersecteze axa deloc sau o poate intersecta într-unul (când vârful parabolei se află pe axă) sau două puncte.

În plus, coeficientul este responsabil pentru direcția ramurilor parabolei. Dacă, atunci ramurile parabolei sunt îndreptate în sus, iar dacă, atunci în jos.

Exemple:

Solutii:

Răspuns:

Răspuns: .

Răspuns:

Asta înseamnă că nu există soluții.

Răspuns: .

2. Teorema lui Vieta

Este foarte ușor de folosit teorema lui Vieta: trebuie doar să alegeți o pereche de numere al căror produs este egal cu termenul liber al ecuației, iar suma este egală cu al doilea coeficient luat cu semnul opus.

Este important să ne amintim că teorema lui Vieta poate fi aplicată numai în ecuații pătratice reduse ().

Să ne uităm la câteva exemple:

Exemplul #1:

Rezolvați ecuația.

Soluţie:

Această ecuație poate fi rezolvată folosind teorema lui Vieta deoarece . Alți coeficienți: ; .

Suma rădăcinilor ecuației este:

Și produsul este egal cu:

Să selectăm perechi de numere al căror produs este egal și să verificăm dacă suma lor este egală:

Și. Suma este egală cu;
Și. Suma este egală cu;
Și. Suma este egală.

și sunt soluția pentru sistem:

Astfel, și sunt rădăcinile ecuației noastre.

Răspuns: ; .

Exemplul #2:

Soluţie:

Să selectăm perechi de numere care dau în produs și apoi să verificăm dacă suma lor este egală:

si: dau in total.

si: dau in total. Pentru a obține, este suficient să schimbați pur și simplu semnele presupuselor rădăcini: și, la urma urmei, produsul.

Răspuns:

Exemplul #3:

Soluţie:

Termenul liber al ecuației este negativ și, prin urmare, produsul rădăcinilor este un număr negativ. Acest lucru este posibil numai dacă una dintre rădăcini este negativă, iar cealaltă este pozitivă. Prin urmare, suma rădăcinilor este egală cu diferențele modulelor lor.

Să selectăm perechi de numere care dau în produs și a căror diferență este egală cu:

și: diferența lor este egală - nu se potrivește;

și: - neadecvat;

si: - potrivit. Tot ce rămâne este să ne amintim că una dintre rădăcini este negativă. Deoarece suma lor trebuie să fie egală, rădăcina cu modulul mai mic trebuie să fie negativă: . Verificăm:

Răspuns:

Exemplul #4:

Rezolvați ecuația.

Soluţie:

Ecuația este dată, ceea ce înseamnă:

Termenul liber este negativ și, prin urmare, produsul rădăcinilor este negativ. Și acest lucru este posibil numai atunci când o rădăcină a ecuației este negativă, iar cealaltă este pozitivă.

Să selectăm perechi de numere al căror produs este egal și apoi să determinăm care rădăcini ar trebui să aibă semn negativ:

Evident, doar rădăcinile și sunt potrivite pentru prima condiție:

Răspuns:

Exemplul #5:

Rezolvați ecuația.

Soluţie:

Ecuația este dată, ceea ce înseamnă:

Suma rădăcinilor este negativă, ceea ce înseamnă că, conform macar, una dintre rădăcini este negativă. Dar, deoarece produsul lor este pozitiv, înseamnă că ambele rădăcini au semnul minus.

Să selectăm perechi de numere al căror produs este egal cu:

Evident, rădăcinile sunt numerele și.

Răspuns:

De acord, este foarte convenabil să veniți cu rădăcini oral, în loc să numărați acest discriminant urât. Încercați să utilizați teorema lui Vieta cât mai des posibil.

Dar teorema lui Vieta este necesară pentru a facilita și accelera găsirea rădăcinilor. Pentru a beneficia de pe urma folosirii lui, trebuie să aduci acțiunile la automatitate. Și pentru asta, rezolvă încă cinci exemple. Dar nu înșela: nu poți folosi un discriminant! Doar teorema lui Vieta:

Soluții la sarcini pentru munca independentă:

Sarcina 1. ((x)^(2))-8x+12=0

Conform teoremei lui Vieta:

Ca de obicei, începem selecția cu piesa:

Nu este potrivit pentru că suma;

: suma este exact ceea ce ai nevoie.

Răspuns: ; .

Sarcina 2.

Și din nou teorema noastră preferată Vieta: suma trebuie să fie egală, iar produsul trebuie să fie egal.

Dar din moment ce nu trebuie să fie, dar, schimbăm semnele rădăcinilor: și (în total).

Răspuns: ; .

Sarcina 3.

Hmm... Unde este asta?

Trebuie să mutați toți termenii într-o singură parte:

Suma rădăcinilor este egală cu produsul.

Bine, oprește-te! Ecuația nu este dată. Dar teorema lui Vieta este aplicabilă numai în ecuațiile date. Deci mai întâi trebuie să dați o ecuație. Dacă nu poți conduce, renunță la această idee și rezolvă-o într-un alt mod (de exemplu, printr-un discriminant). Permiteți-mi să vă reamintesc că a da o ecuație pătratică înseamnă a egaliza coeficientul principal:

Grozav. Apoi suma rădăcinilor este egală cu și produsul.

Aici este la fel de ușor ca decojirea perelor să alegi: la urma urmei, este un număr prim (scuze pentru tautologie).

Răspuns: ; .

Sarcina 4.

Membrul liber este negativ. Ce e special la asta? Și adevărul este că rădăcinile vor avea semne diferite. Și acum, în timpul selecției, verificăm nu suma rădăcinilor, ci diferența dintre modulele lor: această diferență este egală, dar un produs.

Deci, rădăcinile sunt egale cu și, dar una dintre ele este minus. Teorema lui Vieta ne spune că suma rădăcinilor este egală cu al doilea coeficient cu semnul opus, adică. Aceasta înseamnă că rădăcina mai mică va avea un minus: și, din moment ce.

Răspuns: ; .

Sarcina 5.

Ce ar trebui să faci mai întâi? Așa este, dați ecuația:

Din nou: selectăm factorii numărului, iar diferența lor ar trebui să fie egală cu:

Rădăcinile sunt egale cu și, dar una dintre ele este minus. Care? Suma lor ar trebui să fie egală, ceea ce înseamnă că minusul va avea o rădăcină mai mare.

Răspuns: ; .

Lasă-mă să rezum:

Teorema lui Vieta este folosită numai în ecuațiile pătratice date.
Folosind teorema lui Vieta, puteți găsi rădăcinile prin selecție, oral.
Dacă ecuația nu este dată sau nu se găsește o pereche adecvată de factori ai termenului liber, atunci nu există rădăcini întregi și trebuie să o rezolvați în alt mod (de exemplu, printr-un discriminant).

3. Metoda de selectare a unui pătrat complet

Dacă toți termenii care conțin necunoscutul sunt reprezentați sub formă de termeni din formule de înmulțire prescurtate - pătratul sumei sau al diferenței - atunci după înlocuirea variabilelor, ecuația poate fi prezentată sub forma unei ecuații pătratice incomplete de tipul.

De exemplu:

Exemplul 1:

Rezolvați ecuația: .

Soluţie:

Răspuns:

Exemplul 2:

Rezolvați ecuația: .

Soluţie:

Răspuns:

În general, transformarea va arăta astfel:

Asta implică: .

Nu-ți aduce aminte de nimic? Acesta este un lucru discriminatoriu! Exact așa am obținut formula discriminantă.

ECUAȚII CADRATICE. SCURT DESPRE LUCRURILE PRINCIPALE

Ecuație pătratică- aceasta este o ecuație de formă, unde - necunoscutul, - coeficienții ecuației pătratice, - termenul liber.

Ecuație pătratică completă- o ecuație în care coeficienții nu sunt egali cu zero.

Ecuație pătratică redusă- o ecuaţie în care coeficientul, adică: .

Ecuație pătratică incompletă- o ecuație în care coeficientul și/sau termenul liber c sunt egali cu zero:

dacă coeficientul, ecuația arată astfel: ,
dacă există un termen liber, ecuația are forma: ,
dacă și, ecuația arată astfel: .

1. Algoritm pentru rezolvarea ecuațiilor pătratice incomplete

1.1. O ecuație pătratică incompletă de forma, unde:

1) Să exprimăm necunoscutul: ,

2) Verificați semnul expresiei:

dacă, atunci ecuația nu are soluții,
dacă, atunci ecuația are două rădăcini.

1.2. O ecuație pătratică incompletă de forma, unde:

1) Să scoatem factorul comun din paranteze: ,

2) Produsul este egal cu zero dacă cel puțin unul dintre factori este egal cu zero. Prin urmare, ecuația are două rădăcini:

1.3. O ecuație pătratică incompletă de forma, unde:

Această ecuație are întotdeauna o singură rădăcină: .

2. Algoritm pentru rezolvarea ecuaţiilor pătratice complete de forma unde

2.1. Soluție folosind discriminant

1) Să aducem ecuația la forma standard: ,

2) Să calculăm discriminantul folosind formula: , care indică numărul de rădăcini ale ecuației:

3) Aflați rădăcinile ecuației:

dacă, atunci ecuația are rădăcini, care se găsesc prin formula:
dacă, atunci ecuația are o rădăcină, care se găsește prin formula:
dacă, atunci ecuația nu are rădăcini.

2.2. Rezolvare folosind teorema lui Vieta

Suma rădăcinilor ecuației pătratice reduse (ecuația formei unde) este egală, iar produsul rădăcinilor este egal, i.e. , A.

2.3. Rezolvare prin metoda selectării unui pătrat complet

Dacă o ecuație pătratică de formă are rădăcini, atunci se poate scrie sub forma: .

Ei bine, subiectul s-a terminat. Dacă citești aceste rânduri, înseamnă că ești foarte cool.

Pentru că doar 5% dintre oameni sunt capabili să stăpânească ceva pe cont propriu. Și dacă citești până la capăt, atunci ești în acest 5%!

Acum cel mai important lucru.

Ați înțeles teoria pe această temă. Și, repet, asta... asta este pur și simplu super! Ești deja mai bun decât marea majoritate a colegilor tăi.

Problema este că acest lucru poate să nu fie suficient...

Pentru ce?

Pentru succes promovarea examenului de stat unificat, pentru admiterea la facultate cu buget redus și, CEL MAI IMPORTANT, pe viață.

Nu te voi convinge de nimic, o să spun doar un lucru...

Oamenii care au primit o educație bună, câștigă mult mai mult decât cei care nu l-au primit. Aceasta este statistica.

Dar acesta nu este principalul lucru.

Principalul lucru este că sunt MAI FERICIȚI (există astfel de studii). Poate pentru că mai multe oportunități se deschid în fața lor și viața devine mai strălucitoare? nu stiu...

Dar gandeste-te singur...

Ce este nevoie pentru a fi sigur că ești mai bun decât alții la examenul de stat unificat și, în cele din urmă, fii... mai fericit?

CĂGAȚI-VĂ MÂNĂ REZOLVÂND PROBLEME PE ACEST TEMA.

Nu ți se va cere teorie în timpul examenului.

Vei avea nevoie rezolva problemele in timp.

Și, dacă nu le-ați rezolvat (MULTE!), cu siguranță veți face o greșeală stupidă undeva sau pur și simplu nu veți avea timp.

Este ca în sport - trebuie să o repeți de multe ori pentru a câștiga cu siguranță.

Găsiți colecția oriunde doriți, neapărat cu soluții, analiză detaliată si decide, decide, decide!

Puteți folosi sarcinile noastre (opțional) și noi, bineînțeles, le recomandăm.

Pentru a folosi mai bine sarcinile noastre, trebuie să contribuiți la prelungirea duratei de viață a manualului YouClever pe care îl citiți în prezent.

Cum? Există două opțiuni:

Deblocați toate sarcinile ascunse din acest articol - 299 rub.
Deblocați accesul la toate sarcinile ascunse din toate cele 99 de articole ale manualului - 499 rub.

Da, avem 99 de astfel de articole în manualul nostru și accesul la toate sarcinile și toate textele ascunse din ele poate fi deschis imediat.

Accesul la toate sarcinile ascunse este asigurat pe toată durata de viață a site-ului.

În concluzie...

Dacă nu vă plac sarcinile noastre, găsiți altele. Doar nu te opri la teorie.

„Înțeles” și „Pot rezolva” sunt abilități complet diferite. Ai nevoie de amândouă.

Găsiți probleme și rezolvați-le!

ÎN societate modernă capacitatea de a efectua operații cu ecuații care conțin o variabilă pătrat poate fi utilă în multe domenii de activitate și este utilizată pe scară largă în practică în dezvoltările științifice și tehnice. Dovada acestui lucru poate fi găsită în proiectarea de marine și bărci fluviale, avioane și rachete. Folosind astfel de calcule, traiectoriile de mișcare cele mai multe corpuri diferite, inclusiv obiectele spațiale. Exemplele cu soluția ecuațiilor pătratice sunt folosite nu numai în prognoza economică, în proiectarea și construcția clădirilor, ci și în cele mai obișnuite circumstanțe cotidiene. Acestea pot fi necesare în drumeții, la evenimente sportive, în magazine la cumpărături și în alte situații foarte frecvente.

Să împărțim expresia în factorii ei componente

Gradul unei ecuații este determinat de valoarea maximă a gradului variabilei pe care o conține expresia. Dacă este egală cu 2, atunci o astfel de ecuație se numește pătratică.

Dacă vorbim în limbajul formulelor, atunci expresiile indicate, indiferent de cum arată, pot fi întotdeauna aduse la forma când partea stanga expresia constă din trei termeni. Printre acestea: ax 2 (adică o variabilă pătrat cu coeficientul său), bx (o necunoscută fără pătrat cu coeficientul său) și c (o componentă liberă, adică un număr obișnuit). Toate acestea din partea dreaptă sunt egale cu 0. În cazul în care unui astfel de polinom îi lipsește unul dintre termenii săi constitutivi, cu excepția axei 2, se numește ecuație pătratică incompletă. Exemple cu rezolvarea unor astfel de probleme, valorile variabilelor în care sunt ușor de găsit, ar trebui luate în considerare mai întâi.

Dacă expresia pare că are doi termeni în partea dreaptă, mai precis ax 2 și bx, cel mai simplu mod de a găsi x este prin a scoate variabila dintre paranteze. Acum ecuația noastră va arăta astfel: x(ax+b). În continuare, devine evident că fie x=0, fie problema se rezumă la găsirea unei variabile din următoarea expresie: ax+b=0. Acest lucru este dictat de una dintre proprietățile înmulțirii. Regula spune că produsul a doi factori are ca rezultat 0 numai dacă unul dintre ei este zero.

Exemplu

x=0 sau 8x - 3 = 0

Ca rezultat, obținem două rădăcini ale ecuației: 0 și 0,375.

Ecuațiile de acest fel pot descrie mișcarea corpurilor sub influența gravitației, care au început să se miște dintr-un anumit punct luat drept origine a coordonatelor. Aici notația matematică ia următoarea formă: y = v 0 t + gt 2 /2. Înlocuind valorile necesare, echivalând partea dreaptă cu 0 și găsind posibile necunoscute, puteți afla timpul care trece din momentul în care corpul se ridică până în momentul în care acesta cade, precum și multe alte cantități. Dar despre asta vom vorbi mai târziu.

Factorizarea unei expresii

Regula descrisă mai sus face posibilă rezolvarea acestor probleme în cazuri mai complexe. Să ne uităm la exemple de rezolvare a ecuațiilor pătratice de acest tip.

X 2 - 33x + 200 = 0

Acest trinom pătratic este complet. Mai întâi, să transformăm expresia și să o factorizăm. Există două dintre ele: (x-8) și (x-25) = 0. Ca rezultat, avem două rădăcini 8 și 25.

Exemplele cu rezolvarea ecuațiilor pătratice din clasa a 9-a permit acestei metode să găsească o variabilă în expresii nu numai de ordinul doi, ci chiar de ordinul al treilea și al patrulea.

De exemplu: 2x 3 + 2x 2 - 18x - 18 = 0. La factorizarea părții drepte în factori cu o variabilă, există trei dintre ei, adică (x+1), (x-3) și (x+). 3).

Ca urmare, devine evident că această ecuație are trei rădăcini: -3; -1; 3.

Rădăcină pătrată

Un alt caz de ecuație incompletă de ordinul doi este o expresie reprezentată în limbajul literelor în așa fel încât partea dreaptă să fie construită din componentele ax 2 și c. Aici, pentru a obține valoarea variabilei, se transferă termenul liber către partea dreapta, iar după aceea rădăcina pătrată este luată din ambele părți ale egalității. Trebuie remarcat faptul că în acest caz există de obicei două rădăcini ale ecuației. Singurele excepții pot fi egalitățile care nu conțin deloc un termen cu, unde variabila este egală cu zero, precum și variantele de expresii când partea dreaptă se dovedește a fi negativă. În acest din urmă caz, nu există deloc soluții, deoarece acțiunile de mai sus nu pot fi efectuate cu rădăcini. Ar trebui luate în considerare exemple de soluții la ecuații pătratice de acest tip.

În acest caz, rădăcinile ecuației vor fi numerele -4 și 4.

Calculul suprafeței terenului

Necesitatea acestui gen de calcule a apărut în antichitate, deoarece dezvoltarea matematicii în acele vremuri îndepărtate a fost determinată în mare măsură de necesitatea de a determina cu cea mai mare acuratețe suprafețele și perimetrele terenurilor.

De asemenea, ar trebui să luăm în considerare exemple de rezolvare a ecuațiilor pătratice bazate pe probleme de acest gen.

Deci, să presupunem că există un teren dreptunghiular, a cărui lungime este cu 16 metri mai mare decât lățimea. Ar trebui să găsiți lungimea, lățimea și perimetrul sitului dacă știți că suprafața acestuia este de 612 m2.

Pentru a începe, să creăm mai întâi ecuația necesară. Să notăm cu x lățimea zonei, atunci lungimea acesteia va fi (x+16). Din cele scrise rezultă că aria este determinată de expresia x(x+16), care, conform condițiilor problemei noastre, este 612. Aceasta înseamnă că x(x+16) = 612.

Rezolvarea ecuațiilor pătratice complete, iar această expresie este exact aceea, nu se poate face în același mod. De ce? Deși partea stângă conține încă doi factori, produsul lor nu este deloc egal cu 0, așa că aici sunt folosite metode diferite.

Discriminant

În primul rând, să facem, atunci, transformările necesare aspect a acestei expresii va arăta astfel: x 2 + 16x - 612 = 0. Aceasta înseamnă că am primit o expresie într-o formă corespunzătoare standardului specificat anterior, unde a=1, b=16, c=-612.

Acesta ar putea fi un exemplu de rezolvare a ecuațiilor pătratice folosind un discriminant. Aici se fac calculele necesare conform schemei: D = b 2 - 4ac. Această mărime auxiliară nu numai că face posibilă găsirea cantităților necesare într-o ecuație de ordinul doi, ci determină cantitatea opțiuni posibile. Dacă D>0, sunt două dintre ele; pentru D=0 există o rădăcină. În cazul D<0, никаких шансов для решения у уравнения вообще не имеется.

Despre rădăcini și formula lor

În cazul nostru, discriminantul este egal cu: 256 - 4(-612) = 2704. Acest lucru sugerează că problema noastră are un răspuns. Dacă cunoașteți k, soluția ecuațiilor pătratice trebuie continuată folosind formula de mai jos. Vă permite să calculați rădăcinile.

Aceasta înseamnă că în cazul prezentat: x 1 =18, x 2 =-34. A doua variantă în această dilemă nu poate fi o soluție, deoarece dimensiunile terenului nu pot fi măsurate în cantități negative, ceea ce înseamnă că x (adică lățimea terenului) este de 18 m. De aici calculăm lungimea: 18 +16=34, iar perimetrul 2(34+ 18)=104(m2).

Exemple și sarcini

Continuăm studiul ecuațiilor pătratice. Exemple și soluții detaliate ale mai multor dintre ele vor fi date mai jos.

1) 15x 2 + 20x + 5 = 12x 2 + 27x + 1

Să mutam totul în partea stângă a egalității, să facem o transformare, adică vom obține tipul de ecuație care se numește de obicei standard și o vom echivala cu zero.

15x 2 + 20x + 5 - 12x 2 - 27x - 1 = 0

Adăugând altele similare, determinăm discriminantul: D = 49 - 48 = 1. Aceasta înseamnă că ecuația noastră va avea două rădăcini. Să le calculăm conform formulei de mai sus, ceea ce înseamnă că primul dintre ele va fi egal cu 4/3, iar al doilea cu 1.

2) Acum să rezolvăm mistere de alt fel.

Să aflăm dacă există rădăcini aici x 2 - 4x + 5 = 1? Pentru a obține un răspuns cuprinzător, să reducem polinomul la forma obișnuită corespunzătoare și să calculăm discriminantul. În exemplul de mai sus, nu este necesar să se rezolve ecuația pătratică, deoarece aceasta nu este deloc esența problemei. În acest caz, D = 16 - 20 = -4, ceea ce înseamnă că într-adevăr nu există rădăcini.

teorema lui Vieta

Este convenabil să se rezolve ecuații pătratice folosind formulele de mai sus și discriminantul, atunci când rădăcina pătrată este luată din valoarea acestuia din urmă. Dar acest lucru nu se întâmplă întotdeauna. Cu toate acestea, există multe modalități de a obține valorile variabilelor în acest caz. Exemplu: rezolvarea ecuațiilor pătratice folosind teorema lui Vieta. Ea poartă numele celui care a trăit în secolul al XVI-lea în Franța și a făcut o carieră strălucitoare datorită talentului său matematic și a conexiunilor la curte. Portretul lui poate fi văzut în articol.

Modelul pe care l-a observat celebrul francez a fost următorul. El a demonstrat că rădăcinile ecuației se adună numeric la -p=b/a, iar produsul lor corespunde cu q=c/a.

Acum să ne uităm la sarcini specifice.

3x 2 + 21x - 54 = 0

Pentru simplitate, să transformăm expresia:

x 2 + 7x - 18 = 0

Să folosim teorema lui Vieta, aceasta ne va da următoarele: suma rădăcinilor este -7, iar produsul lor este -18. De aici obținem că rădăcinile ecuației sunt numerele -9 și 2. După verificare, ne vom asigura că aceste valori variabile se potrivesc cu adevărat în expresie.

Graficul parabolei și ecuația

Conceptele de funcție pătratică și ecuații pătratice sunt strâns legate. Exemple în acest sens au fost deja date mai devreme. Acum să ne uităm la câteva ghicitori matematice mai detaliat. Orice ecuație de tipul descris poate fi reprezentată vizual. O astfel de relație, desenată sub formă de grafic, se numește parabolă. Diferitele sale tipuri sunt prezentate în figura de mai jos.

Orice parabolă are un vârf, adică un punct din care ies ramurile sale. Dacă a>0, ele se ridică la infinit, iar când a<0, они рисуются вниз. Простейшим примером подобной зависимости является функция y = x 2 . В данном случае в уравнении x 2 =0 неизвестное может принимать только одно значение, то есть х=0, а значит существует только один корень. Это неудивительно, ведь здесь D=0, потому что a=1, b=0, c=0. Выходит формула корней (точнее одного корня) квадратного уравнения запишется так: x = -b/2a.

Reprezentările vizuale ale funcțiilor ajută la rezolvarea oricăror ecuații, inclusiv a celor pătratice. Această metodă se numește grafică. Iar valoarea variabilei x este coordonata abscisă în punctele în care linia graficului se intersectează cu 0x. Coordonatele vârfului pot fi găsite folosind formula tocmai dată x 0 = -b/2a. Și înlocuind valoarea rezultată în ecuația inițială a funcției, puteți afla y 0, adică a doua coordonată a vârfului parabolei, care aparține axei ordonatelor.

Intersecția ramurilor unei parabole cu axa absciselor

Există o mulțime de exemple de rezolvare a ecuațiilor pătratice, dar există și modele generale. Să ne uităm la ele. Este clar că intersecția graficului cu axa 0x pentru a>0 este posibilă numai dacă 0 ia valori negative. Și pentru a<0 координата у 0 должна быть положительна. Для указанных вариантов D>0. Altfel D<0. А когда D=0, вершина параболы расположена непосредственно на оси 0х.

Din graficul parabolei puteți determina și rădăcinile. Este adevărat și contrariul. Adică, dacă nu este ușor să obțineți o reprezentare vizuală a unei funcții pătratice, puteți echivala partea dreaptă a expresiei cu 0 și rezolvați ecuația rezultată. Și cunoscând punctele de intersecție cu axa 0x, este mai ușor să construiești un grafic.

Din istorie

Folosind ecuații care conțin o variabilă pătrată, pe vremuri nu numai că făceau calcule matematice și determinau ariile figurilor geometrice. Anticii aveau nevoie de astfel de calcule pentru marile descoperiri în domeniile fizicii și astronomiei, precum și pentru a face prognoze astrologice.

După cum sugerează oamenii de știință moderni, locuitorii Babilonului au fost printre primii care au rezolvat ecuații patratice. Acest lucru s-a întâmplat cu patru secole înaintea erei noastre. Desigur, calculele lor erau radical diferite de cele acceptate în prezent și s-au dovedit a fi mult mai primitive. De exemplu, matematicienii mesopotamieni nu aveau idee despre existența numerelor negative. De asemenea, nu erau familiarizați cu alte subtilități pe care orice școlar modern le cunoaște.

Poate chiar mai devreme decât oamenii de știință din Babilon, înțeleptul din India Baudhayama a început să rezolve ecuații patratice. Acest lucru s-a întâmplat cu aproximativ opt secole înainte de era lui Hristos. Adevărat, ecuațiile de ordinul doi, metodele de rezolvare pe care le-a dat, erau cele mai simple. Pe lângă el, matematicienii chinezi erau și ei interesați de întrebări similare pe vremuri. În Europa, ecuațiile pătratice au început să fie rezolvate abia la începutul secolului al XIII-lea, dar mai târziu au fost folosite în lucrările lor de oameni de știință atât de mari precum Newton, Descartes și mulți alții.