Fontos számunkra az Ön személyes adatainak védelme. Emiatt kidolgoztunk egy adatvédelmi szabályzatot, amely leírja, hogyan használjuk és tároljuk az Ön adatait. Kérjük, tekintse át adatvédelmi gyakorlatunkat, és tudassa velünk, ha kérdése van.
Személyes adatok gyűjtése és felhasználása
A személyes adatok olyan adatokra vonatkoznak, amelyek felhasználhatók egy adott személy azonosítására vagy kapcsolatfelvételre.
Amikor kapcsolatba lép velünk, bármikor megkérhetjük személyes adatainak megadására.
Az alábbiakban bemutatunk néhány példát arra, hogy milyen típusú személyes adatokat gyűjthetünk, és hogyan használhatjuk fel ezeket az információkat.
Milyen személyes adatokat gyűjtünk:
- Amikor kérelmet nyújt be az oldalon, különféle információkat gyűjthetünk, beleértve az Ön nevét, telefonszámát, címét Email stb.
Hogyan használjuk fel személyes adatait:
- Mi gyűjtöttük össze Személyes adat lehetővé teszi, hogy kapcsolatba léphessünk Önnel, és tájékoztassuk egyedi ajánlatokról, promóciókról és egyéb eseményekről és közelgő eseményekről.
- Időről időre felhasználhatjuk személyes adatait fontos értesítések és közlemények küldésére.
- A személyes adatokat belső célokra is felhasználhatjuk, például auditok lefolytatására, adatelemzésre és különféle kutatásokra annak érdekében, hogy javítsuk szolgáltatásainkat, és javaslatokat adjunk Önnek szolgáltatásainkkal kapcsolatban.
- Ha nyereményjátékban, versenyben vagy hasonló promócióban vesz részt, az Ön által megadott információkat felhasználhatjuk az ilyen programok lebonyolítására.
Információk közlése harmadik fél számára
Az Öntől kapott információkat nem adjuk ki harmadik félnek.
Kivételek:
- Szükség esetén - a jogszabályoknak, bírósági eljárásnak megfelelően, in próba, és/vagy nyilvános kérések vagy kérések alapján kormányzati szervek az Orosz Föderáció területén - adja ki személyes adatait. Felfedhetünk Önnel kapcsolatos információkat is, ha úgy ítéljük meg, hogy az ilyen nyilvánosságra hozatal biztonsági, bűnüldözési vagy egyéb közérdekű célból szükséges vagy megfelelő.
- Átszervezés, egyesülés vagy eladás esetén az általunk gyűjtött személyes adatokat átadhatjuk a megfelelő jogutód harmadik félnek.
Személyes adatok védelme
Óvintézkedéseket teszünk – beleértve az adminisztratív, technikai és fizikai intézkedéseket is –, hogy megvédjük személyes adatait az elvesztéstől, lopástól és visszaéléstől, valamint a jogosulatlan hozzáféréstől, nyilvánosságra hozataltól, megváltoztatástól és megsemmisítéstől.
A magánélet tiszteletben tartása vállalati szinten
Személyes adatai biztonságának biztosítása érdekében az adatvédelmi és biztonsági előírásokat közöljük alkalmazottainkkal, és szigorúan betartjuk az adatvédelmi gyakorlatokat.
Kapcsolatban
beállíthatjuk azt a feladatot, hogy a másik két megadott közül a három szám közül bármelyiket megtaláljuk. Ha a, majd N adott, akkor hatványozással találjuk meg. Ha N-t, majd a-t az x fok gyökének felvételével (vagy hatványra emelésével) adjuk meg. Tekintsük most azt az esetet, amikor a és N adott esetben x-et kell keresnünk.
Legyen az N szám pozitív: az a szám legyen pozitív, és ne egyenlő eggyel: .
Meghatározás. Az N szám logaritmusa az a bázishoz az a kitevő, amelyre az a-t fel kell emelni, hogy N számot kapjunk; a logaritmust jelöli
Így a (26.1) egyenlőségben a kitevőt N logaritmusaként találjuk az a bázishoz. Hozzászólások
ugyanaz a jelentésük. Az egyenlőséget (26.1) néha a logaritmuselmélet fő azonosságának is nevezik; a valóságban a logaritmus fogalmának meghatározását fejezi ki. Által ezt a meghatározást Az a logaritmus alapja mindig pozitív és különbözik az egységtől; az N logaritmikus szám pozitív. A negatív számoknak és a nullának nincs logaritmusa. Bizonyítható, hogy bármely adott bázisú számnak jól definiált logaritmusa van. Ezért az egyenlőség magában foglalja. Vegyük észre, hogy a feltétel itt elengedhetetlen, ellenkező esetben a következtetés nem lenne indokolt, mivel az egyenlőség igaz x és y bármely értékére.
Példa 1. Find
Megoldás. Egy szám megszerzéséhez a 2-es bázist fel kell emelni a Ezért hatványra.
Az ilyen példák megoldása során a következő formában jegyzeteket készíthet:
Példa 2. Find .
Megoldás. Nekünk van
Az 1. és 2. példában könnyen megtaláltuk a kívánt logaritmust, ha a logaritmusszámot az alap hatványaként ábrázoltuk racionális kitevővel. BAN BEN általános eset, például for, stb., ezt nem lehet megtenni, mivel a logaritmusnak irracionális értéke van. Figyeljünk egy kérdésre ezzel a kijelentéssel kapcsolatban. A 12. bekezdésben megadtuk egy adott pozitív szám bármely valós hatványának meghatározásának lehetőségét. Erre a logaritmusok bevezetéséhez volt szükség, amelyek általában véve irracionális számok is lehetnek.
Nézzük meg a logaritmus néhány tulajdonságát.
Tulajdonság 1. Ha a szám és az alap egyenlő, akkor a logaritmus egyenlő eggyel, és fordítva, ha a logaritmus egyenlő eggyel, akkor a szám és az alap egyenlő.
Bizonyíték. Legyen A logaritmus definíciója alapján megvan és honnan
Fordítva, legyen Akkor definíció szerint
Tulajdonság 2. Az egy logaritmusa bármely bázishoz egyenlő nullával.
Bizonyíték. A logaritmus definíciója szerint (bármely pozitív bázis nulla hatványa egyenlő eggyel, lásd (10.1)). Innen
Q.E.D.
A fordított állítás is igaz: ha , akkor N = 1. Valóban, van .
A logaritmus következő tulajdonságának megfogalmazása előtt állapodjunk meg abban, hogy két a és b szám a harmadik c szám ugyanazon az oldalán fekszik, ha mindkettő nagyobb, mint c, vagy kisebb, mint c. Ha ezek közül az egyik nagyobb, mint c, a másik pedig kisebb, mint c, akkor azt mondjuk, hogy együtt fekszenek különböző oldalak a faluból
3. tulajdonság. Ha a szám és az alap az egyesnek ugyanazon az oldalán található, akkor a logaritmus pozitív; Ha a szám és az alap egy ellentétes oldalán fekszik, akkor a logaritmus negatív.
A 3. tulajdonság bizonyítása azon alapul, hogy a hatványa nagyobb egynél, ha az bázis nagyobb egynél és a kitevő pozitív, vagy a bázis kisebb egynél és a kitevő negatív. Egy hatvány kisebb egynél, ha a bázis nagyobb, mint egy, és a kitevő negatív, vagy a bázis kisebb egynél és a kitevő pozitív.
Négy esetet kell figyelembe venni:
Ezek közül az első elemzésére szorítkozunk, a többit az olvasó önállóan mérlegeli.
Legyen akkor az egyenlőségben a kitevő nem lehet sem negatív, sem nullával egyenlő, ezért pozitív, azaz bizonyítandó.
3. példa: Nézze meg, hogy az alábbi logaritmusok közül melyek pozitívak és melyek negatívak:
Megoldás, a) mivel a 15-ös szám és a 12-es alap az egynek ugyanazon az oldalán található;
b) mivel 1000 és 2 az egység egyik oldalán találhatók; ebben az esetben nem fontos, hogy az alap nagyobb legyen, mint a logaritmikus szám;
c) mivel a 3,1 és 0,8 az egység ellentétes oldalán helyezkednek el;
G) ; Miért?
d) ; Miért?
A következő 4-6 tulajdonságokat szokták a logaritmus szabályainak nevezni: lehetővé teszik, hogy egyes számok logaritmusának ismeretében megtaláljuk mindegyik szám szorzatának, hányadosának és fokának logaritmusát.
4. tulajdonság (szorzat logaritmusszabály). Több pozitív szám egy adott bázishoz viszonyított szorzatának logaritmusa egyenlő ezen számok ugyanarra a bázisra vonatkozó logaritmusának összegével.
Bizonyíték. Legyenek a megadott számok pozitívak.
A szorzatuk logaritmusához a logaritmust meghatározó (26.1) egyenlőséget írjuk:
Innentől megtaláljuk
Az első és az utolsó kifejezés kitevőit összehasonlítva megkapjuk a szükséges egyenlőséget:
Vegye figyelembe, hogy a feltétel elengedhetetlen; kettő szorzatának logaritmusa negatív számok logikus, de ebben az esetben megkapjuk
Általában, ha több tényező szorzata pozitív, akkor logaritmusa megegyezik ezen tényezők abszolút értékeinek logaritmusának összegével.
5. tulajdonság (hányadosok logaritmusának felvételére vonatkozó szabály). A pozitív számok hányadosának logaritmusa megegyezik az osztó és az osztó logaritmusa közötti különbséggel, ugyanarra a bázisra vesszük. Bizonyíték. Folyamatosan találjuk
Q.E.D.
6. tulajdonság (hatványlogaritmusszabály). Bármely pozitív szám hatványának logaritmusa megegyezik az adott szám logaritmusával, szorozva a kitevővel.
Bizonyíték. Írjuk újra a szám fő azonosságát (26.1):
Q.E.D.
Következmény. Egy pozitív szám gyökének logaritmusa egyenlő a gyök logaritmusával osztva a gyök kitevőjével:
Ennek a következménynek az érvényessége bebizonyítható, ha elképzeljük, hogyan és hogyan használjuk a 6-os tulajdonságot.
4. példa: Vegyünk logaritmust a bázisba:
a) (feltételezzük, hogy minden b, c, d, e érték pozitív);
b) (feltételezzük, hogy ).
Megoldás, a) Ebben a kifejezésben célszerű a törthatványokra lépni:
A (26,5)-(26,7) egyenlőségek alapján most ezt írhatjuk:
Észrevesszük, hogy a számok logaritmusain egyszerűbb műveleteket hajtanak végre, mint magukon a számokon: számok szorzásakor logaritmusukat összeadják, osztásakor kivonják stb.
Ezért használják a logaritmusokat a számítási gyakorlatban (lásd a 29. bekezdést).
A logaritmus inverz műveletét potenciálásnak nevezzük, nevezetesen: a potenciálás az a művelet, amellyel magát a számot megtaláljuk egy szám adott logaritmusából. Lényegében a potencírozás nem valami különleges művelet: az alapot hatványra emeli (amely egy szám logaritmusával egyenlő). A „potenciálás” kifejezés a „hatványosítás” szinonimájának tekinthető.
Potencírozáskor a logaritmus szabályaival fordított szabályokat kell alkalmazni: a logaritmusok összegét a szorzat logaritmusával, a logaritmusok különbségét a hányados logaritmusával stb. a logaritmus előjeléből, akkor a potenciálás során át kell vinni a logaritmus előjele alatti kitevő fokokra.
5. példa Keresse meg N-t, ha ismert, hogy
Megoldás. Az imént megfogalmazott potencírozási szabályhoz kapcsolódva ezen egyenlőség jobb oldalán a logaritmusok előjele előtt álló 2/3 és 1/3 tényezőket e logaritmusok jelei alatti kitevőkbe visszük át; kapunk
Most a logaritmusok különbségét helyettesítjük a hányados logaritmusával:
hogy megkapjuk az egyenlőséglánc utolsó törtét, az előző törtet megszabadítottuk a nevező irracionalitásától (25. záradék).
7. tulajdonság. Ha az alap nagyobb egynél, akkor nagyobb számban nagyobb a logaritmusa (és egy kisebb számnak kisebb), ha az alap kisebb egynél, akkor a nagyobb számnak kisebb a logaritmusa (a kisebb számnak pedig a nagyobb).
Ez a tulajdonság is szabályként van megfogalmazva az egyenlőtlenségek logaritmusainak felvételéhez, amelyek mindkét oldala pozitív:
Ha az egyenlőtlenségeket egynél nagyobb bázisra logaritáljuk, az egyenlőtlenség előjele megmarad, ha pedig egynél kisebb bázisra, akkor az egyenlőtlenség előjele az ellenkezőjére változik (lásd még a 80. bekezdést).
A bizonyítás az 5. és 3. tulajdonságon alapul. Tekintsük azt az esetet, amikor az If , akkor és logaritmusokat figyelembe véve kapjuk
(a és N/M az egység ugyanazon az oldalán találhatók). Innen
Az a eset következik, az olvasó magától kitalálja.
A cikk középpontjában az áll logaritmus. Itt megadjuk a logaritmus definícióját, mutasd meg elfogadott kijelölést, példákat adunk a logaritmusokra, és beszélünk a természetes és decimális logaritmusokról. Ezek után nézzük a fő logaritmikus azonosság.
Oldalnavigáció.
A logaritmus definíciója
A logaritmus fogalma akkor merül fel, amikor egy bizonyos inverz értelemben vett feladatot megoldunk, amikor kitevőt kell találni ismert érték foka és ismert alapja.
De elég előszó, itt az ideje válaszolni a „mi a logaritmus” kérdésre? Adjuk meg a megfelelő definíciót.
Meghatározás.
b logaritmusa a bázishoz, ahol a>0, a≠1 és b>0 az a kitevő, amelyre emelni kell az a számot, hogy b eredményt kapjunk.
Ebben a szakaszban megjegyezzük, hogy a kimondott „logaritmus” szónak azonnal két további kérdést kell felvetnie: „milyen szám” és „milyen alapon”. Más szóval, egyszerűen nincs logaritmus, hanem csak egy szám logaritmusa valamilyen bázishoz.
Azonnal lépjünk be logaritmus jelölés: a b szám logaritmusát a bázishoz általában log a b-ként jelölik. A b szám logaritmusának e bázishoz, illetve a 10 bázishoz tartozó logaritmusnak megvan a maga speciális elnevezése: lnb, illetve logb, vagyis nem log e b-t, hanem lnb-t írnak, és nem log 10 b-t, hanem lgb-t.
Most adhatjuk: .
És a rekordok 
nincs értelme, hiszen az elsőben a logaritmus előjele alatt negatív szám, a másodikban az alapban negatív szám található, a harmadikban pedig a logaritmus előjele alatt egy negatív szám és egy egység A bázis.
Most beszéljünk róla a logaritmusok olvasásának szabályai. A log a b "a b logaritmusa az a bázishoz". Például a log 2 3 a három logaritmusa a 2. bázishoz, és a két pont kétharmadának logaritmusa a 2. bázishoz Négyzetgyökötből. Az e bázis logaritmusát nevezzük természetes logaritmus, az lnb jelölés pedig "b természetes logaritmusa". Például az ln7 a hét természetes logaritmusa, és a pi természetes logaritmusaként fogjuk olvasni. A 10-es alap logaritmusnak külön neve is van - decimális logaritmus, és az lgb "b decimális logaritmusaként" olvasható. Például az lg1 az egy decimális logaritmusa, az lg2.75 pedig a kétpont hét ötszázad decimális logaritmusa.
Érdemes külön elidőzni az a>0, a≠1 és a b>0 feltételek mellett, amelyek mellett a logaritmus definícióját megadjuk. Elmagyarázzuk, honnan erednek ezek a korlátozások. A logaritmus fenti definíciójából közvetlenül következő alakbeli egyenlőség segít ebben.
Kezdjük a≠1-gyel. Mivel egy bármely hatványhoz egyenlő eggyel, az egyenlőség csak akkor lehet igaz, ha b=1, de log 1 1 bármilyen valós szám lehet. A kétértelműség elkerülése érdekében a≠1-et feltételezünk.
Igazoljuk az a>0 feltétel célszerűségét. A=0 esetén a logaritmus definíciója szerint egyenlőségünk lenne, ami csak b=0 esetén lehetséges. De ekkor log 0 0 bármilyen nullától eltérő valós szám lehet, mivel nullától bármely nem-nulla hatványhoz nulla. Az a≠0 feltétel lehetővé teszi, hogy elkerüljük ezt a kétértelműséget. És amikor a<0 нам бы пришлось отказаться от рассмотрения рациональных и иррациональных значений логарифма, так как степень с рациональным и иррациональным показателем определена лишь для неотрицательных оснований. Поэтому и принимается условие a>0 .
Végül az a>0 egyenlőtlenségből következik a b>0 feltétel, hiszen , és az a pozitív bázisú hatvány értéke mindig pozitív.
Ennek a pontnak a lezárásaként tegyük fel, hogy a logaritmus megadott definíciója lehetővé teszi, hogy azonnal jelezze a logaritmus értékét, ha a logaritmus előjele alatti szám az alap egy bizonyos hatványa. Valójában a logaritmus definíciója lehetővé teszi, hogy kijelentsük, hogy ha b=a p, akkor a b szám logaritmusa a bázishoz egyenlő p-vel. Vagyis az egyenlőség log a a p =p igaz. Például tudjuk, hogy 2 3 =8, majd log 2 8=3. Erről bővebben a cikkben fogunk beszélni.
A logaritmus definíciója
A b logaritmusa az a bázishoz az a kitevő, amelyre a-t fel kell emelni, hogy b-t kapjunk.
e szám a matematikában szokás azt a határt jelölni, amelyre egy kifejezés törekszik
e szám van irracionális szám - eggyel összemérhetetlen szám, nem lehet pontosan kifejezni sem egész számként, sem törtként racionális szám.
Levél e- latin szó első betűje exponere- mutogatni, innen ered a név a matematikában exponenciális- exponenciális függvény.
Szám e széles körben használják a matematikában, és minden olyan tudományban, amely valamilyen módon matematikai számításokat alkalmaz igényeinek kielégítésére.
Logaritmusok. A logaritmusok tulajdonságai
Definíció: Egy b pozitív szám logaritmusa az alapjához az a c kitevő, amelyre az a számot fel kell emelni, hogy megkapjuk a b számot.
Alapvető logaritmikus azonosság:
7) Képlet az új bázisra költözéshez:
lna = log e a, e ≈ 2,718…
Feladatok és tesztek a „Logaritmusok. A logaritmus tulajdonságai"
- Logaritmusok - Fontos témakörök a matematika egységes államvizsga felülvizsgálatához
A témával kapcsolatos feladatok sikeres elvégzéséhez ismernie kell a logaritmus definícióját, a logaritmus tulajdonságait, az alapvető logaritmikus azonosságot, a decimális és természetes logaritmus definícióit. Ebben a témában a fő problématípusok a logaritmikus kifejezések kiszámításával és transzformációjával kapcsolatos problémák. Tekintsük a megoldásukat a következő példák segítségével.
Megoldás: A logaritmusok tulajdonságait felhasználva azt kapjuk
Megoldás: A fokok tulajdonságait felhasználva azt kapjuk
1) (2 2) log 2 5 =(2 log 2 5) 2 = 5 2 =25
A logaritmusok, megfogalmazások és bizonyítások tulajdonságai.
A logaritmusoknak számos jellemző tulajdonsága van. Ebben a cikkben megvizsgáljuk a legfontosabbakat a logaritmusok tulajdonságai. Itt megadjuk a megfogalmazásaikat, leírjuk a logaritmusok tulajdonságait képlet formájában, példákat mutatunk alkalmazásukra, és bizonyítjuk a logaritmusok tulajdonságait is.
Oldalnavigáció.
A logaritmusok, képletek alapvető tulajdonságai
Az emlékezés és a használat megkönnyítése érdekében képzeljük el a logaritmusok alapvető tulajdonságai képletlista formájában. A következő bekezdésben ezek megfogalmazását, bizonyítékait, felhasználási példáit és a szükséges magyarázatokat közöljük.
és n pozitív szám szorzatának logaritmusának tulajdonsága: log a (x 1 · x 2 ·…·x n)= log a x 1 +log a x 2 +…+log a x n , a>0 , a≠1 , x 1 >0, x 2 >0, …, x n >0.
, ahol a>0, a≠1, x>0, y>0.
, ahol a>0, a≠1, n – természetes szám, nagyobb, mint egy, b>0.
, a>0, a≠1, b>0, b≠1.
, a>0 , a≠1 , b>0 , p és q valós számok, q≠0 , különösen b=a esetén van 
.A tulajdonságok megfogalmazásai és bizonyításai
Folytatjuk a logaritmusok írott tulajdonságainak megfogalmazását és bizonyítását. A logaritmusok minden tulajdonsága a logaritmus definíciója és az abból következő alapvető logaritmikus azonosság, valamint a fokozat tulajdonságai alapján bizonyított.
Kezdjük azzal egy logaritmusának tulajdonságai. Ennek megfogalmazása a következő: az egység logaritmusa egyenlő nullával, azaz log a 1=0 bármely a>0, a≠1 esetén. A bizonyítás nem nehéz: mivel a 0 =1 bármely a-ra, amely megfelel a fenti feltételeknek a>0 és a≠1, akkor a bizonyítandó log a 1=0 egyenlőség közvetlenül következik a logaritmus definíciójából.
Mondjunk példákat a vizsgált tulajdonság alkalmazására: log 3 1=0, log1=0 és .
Menjünk tovább az alábbi ingatlanra: az alappal egyenlő szám logaritmusa egyenlő eggyel, vagyis log a a=1 ha a>0, a≠1. Valóban, mivel a 1 =a bármely a-ra, akkor a logaritmus definíciója szerint log a a=1.
A logaritmus ezen tulajdonságának használatára példák a log 5 5=1, log 5.6 5.6 és lne=1 egyenlőségek.
A logaritmus alapjával egyenlő szám hatványának logaritmusa egyenlő a kitevővel. A logaritmusnak ez a tulajdonsága megfelel a forma képletének log a a p =p, ahol a>0, a≠1 és p – tetszőleges valós szám. Ez a tulajdonság közvetlenül következik a logaritmus definíciójából. Vegye figyelembe, hogy lehetővé teszi a logaritmus értékének azonnali jelzését, ha lehetséges a logaritmus előjele alatti számot az alap hatványaként ábrázolni, erről a logaritmusszámítási cikkben fogunk beszélni.
Például log 2 2 7 =7, log10 -4 =-4 és 
.
Két pozitív szám szorzatának logaritmusa x és y egyenlő ezeknek a számoknak a logaritmusának szorzatával: log a (x y)=log a x+log a y, a>0 , a≠1 . Bizonyítsuk be egy szorzat logaritmusának tulajdonságát. A fokozat tulajdonságai miatt a log a x+log a y =a log a x ·a log a y, és mivel a fő logaritmikus azonosság alapján egy log a x =x és egy log a y =y, akkor a log a x ·a log a y =x· y. Így egy log a x+log a y =x·y, amelyből a logaritmus definíciója szerint a bizonyítandó egyenlőség következik.
Mutassunk példákat egy szorzat logaritmusa tulajdonságának használatára: log 5 (2 3)=log 5 2+log 5 3 és 
.
Egy szorzat logaritmusának tulajdonsága általánosítható x 1 , x 2 , …, x n pozitív számok véges számú n számú szorzatára. log a (x 1 · x 2 ·…·x n)= log a x 1 +log a x 2 +…+log a x n. Ez az egyenlőség a matematikai indukció módszerével probléma nélkül igazolható.
Például a szorzat természetes logaritmusa helyettesíthető a 4, e és számok három természetes logaritmusának összegével.
Két pozitív szám hányadosának logaritmusa x és y egyenlő ezeknek a számoknak a logaritmusa közötti különbséggel. A hányados logaritmusának tulajdonsága megfelel az alak képletének , ahol a>0, a≠1, x és y néhány pozitív szám. Ennek a képletnek az érvényessége, valamint a szorzat logaritmusának képlete is bizonyított: mivel 
, akkor a logaritmus definíciója szerint .
Íme egy példa a logaritmus ezen tulajdonságának használatára: 
.
Menjünk tovább a hatvány logaritmusának tulajdonsága. Egy fok logaritmusa egyenlő ennek a foknak a kitevőjének és a modulusának logaritmusával. Írjuk fel egy hatvány logaritmusának ezt a tulajdonságát képletként: log a b p =p·log a |b|, ahol a>0, a≠1, b és p olyan számok, amelyeknél a b p mértéke értelmes, és b p >0.
Először igazoljuk ezt a tulajdonságot pozitív b-re. Az alapvető logaritmikus azonosság lehetővé teszi, hogy a b számot log a b-ként ábrázoljuk, ekkor b p =(a log a b) p, és a kapott kifejezés a hatvány tulajdonsága miatt egyenlő a p·log a b-vel. Így jutunk el a b p =a p·log a b egyenlőséghez, amelyből a logaritmus definíciójával arra a következtetésre jutunk, hogy log a b p =p·log a b.
Ezt a tulajdonságot kell bizonyítani negatív b-re. Itt jegyezzük meg, hogy a log a b p kifejezés negatív b-re csak páros p kitevő esetén van értelme (mivel a b p fok értékének nagyobbnak kell lennie nullánál, különben a logaritmusnak nem lesz értelme), és ebben az esetben b p =|b| p. Ekkor b p =|b| p =(a log a |b|) p =a p·log a |b| , ahonnan log a b p =p·log a |b| .
Például, 
és ln(-3) 4 =4·ln|-3|=4·ln3 .
Az előző tulajdonságból következik a logaritmus gyökér tulajdonsága: az n-edik gyök logaritmusa egyenlő az 1/n tört szorzatával a gyökkifejezés logaritmusával, azaz ahol a>0, a≠1, n egynél nagyobb természetes szám, b>0 .
A bizonyítás alapja az egyenlőség (lásd a tört kitevővel rendelkező kitevő definícióját), amely bármely pozitív b-re érvényes, és a kitevő logaritmusának tulajdonsága: 
.
Íme egy példa a tulajdonság használatára: 
.
Most bizonyítsuk be képlet az új logaritmusbázisra való áttéréshez kedves 
. Ehhez elegendő a log c b=log a b·log c a egyenlőség érvényességét bizonyítani. Az alapvető logaritmikus azonosság lehetővé teszi, hogy a b számot log a bként ábrázoljuk, majd log c b=log c a log a bként. Marad a fok logaritmusának a tulajdonsága: log c a log a b =log a b·log c a . Ez bizonyítja a log c b=log a b·log c a egyenlőséget, ami azt jelenti, hogy a logaritmus új bázisára való átmenet képlete is bizonyított .
Mutassunk néhány példát a logaritmus ezen tulajdonságának használatára: és 
.
Az új bázisra való átállás képlete lehetővé teszi, hogy továbblépjen a „kényelmes” alappal rendelkező logaritmusokkal való munkavégzésre. Használható például természetes vagy decimális logaritmusra váltáshoz, így a logaritmustáblázatból kiszámíthatja a logaritmus értékét. Az új logaritmusbázisra való áttérés képlete bizonyos esetekben lehetővé teszi egy adott logaritmus értékének meghatározását is, ha ismertek bizonyos logaritmusok értékei más bázisokkal.
Gyakran használt különleges eset képletek a logaritmus új bázisára való átmenethez, ahol az alak c=b. Ez azt mutatja, hogy log a b és log b a kölcsönösen inverz számok. Például, 
.
Gyakran használják a képletet is, amely kényelmes a logaritmusok értékeinek megtalálásához. Szavaink megerősítésére megmutatjuk, hogyan lehet kiszámítani a forma logaritmusának értékét. Nekünk van 
. A képlet bizonyításához elegendő az a logaritmus új bázisára való áttérés képletét használni: 
.
A logaritmusok összehasonlításának tulajdonságait kell bizonyítanunk.
Használjuk az ellenkező módszert. Tegyük fel, hogy a 1 >1, a 2 >1 és a 1 2 és 0 1 esetén log a 1 b≤log a 2 b igaz. A logaritmusok tulajdonságai alapján ezek az egyenlőtlenségek átírhatók 
És 
rendre, és belőlük az következik, hogy log b a 1 ≤log b a 2, illetve log b a 1 ≥log b a 2. Ekkor az azonos bázisú hatványok tulajdonságai szerint a b log b a 1 ≥b log b a 2 és a b log b a 1 ≥b log b a 2 egyenlőségnek, azaz a 1 ≥a 2-nek kell teljesülnie. Tehát ellentmondáshoz jutottunk az a 1 2 feltétellel. Ezzel teljes a bizonyítás.
A logaritmusok alapvető tulajdonságai
- Anyagok a leckéhez
- Töltse le az összes képletet
- log a x n = n · log a x ;
A logaritmusok, mint minden szám, minden módon összeadhatók, kivonhatók és átalakíthatók. De mivel a logaritmusok nem egészen közönséges számok, itt vannak szabályok, amelyeket hívunk főbb tulajdonságait.
Ezeket a szabályokat feltétlenül ismerni kell – nélkülük egyetlen komoly logaritmikus probléma sem oldható meg. Ráadásul nagyon kevés van belőlük – egy nap alatt mindent megtanulhatsz. Tehát kezdjük.
Logaritmusok összeadása és kivonása
Tekintsünk két azonos bázisú logaritmust: log a x és log a y. Ezután összeadhatók és kivonhatók, és:
Tehát a logaritmusok összege egyenlő a szorzat logaritmusával, a különbség pedig a hányados logaritmusával. Kérjük, vegye figyelembe: a kulcspont itt az azonos indokok. Ha az okok eltérőek, ezek a szabályok nem működnek!
Ezek a képletek segítenek a logaritmikus kifejezés kiszámításában még akkor is, ha annak egyes részeit nem veszi figyelembe (lásd a „Mi a logaritmus” című leckét). Vessen egy pillantást a példákra, és nézze meg:
Feladat. Keresse meg a következő kifejezés értékét: log 6 4 + log 6 9.
Mivel a logaritmusoknak ugyanazok az alapjai, az összegképletet használjuk:
log 6 4 + log 6 9 = log 6 (4 9) = log 6 36 = 2.
Feladat. Keresse meg a következő kifejezés értékét: log 2 48 − log 2 3.
Az alapok ugyanazok, a különbségi képletet használjuk:
log 2 48 − log 2 3 = log 2 (48: 3) = log 2 16 = 4.
Feladat. Keresse meg a kifejezés értékét: log 3 135 − log 3 5.
Az alapok ismét ugyanazok, így van:
log 3 135 − log 3 5 = log 3 (135: 5) = log 3 27 = 3.
Amint látható, az eredeti kifejezések „rossz” logaritmusokból állnak, amelyeket nem számítanak ki külön. De az átalakítások után eléggé kiderülnek normál számok. Sokan erre a tényre épülnek tesztpapírok. Igen, a tesztszerű kifejezéseket teljes komolysággal kínálják (néha gyakorlatilag változtatás nélkül) az egységes államvizsgán.
A kitevő kinyerése a logaritmusból
Most bonyolítsuk egy kicsit a feladatot. Mi van, ha a logaritmus alapja vagy argumentuma hatvány? Ekkor ennek a foknak a kitevője kivehető a logaritmus előjeléből a következő szabályok szerint:
Könnyen belátható, hogy az utolsó szabály az első kettőt követi. De jobb, ha emlékezni rá - bizonyos esetekben jelentősen csökkenti a számítások mennyiségét.
Természetesen ezeknek a szabályoknak van értelme, ha betartjuk a logaritmus ODZ-jét: a > 0, a ≠ 1, x > 0. És még valami: tanulja meg az összes képlet alkalmazását nemcsak balról jobbra, hanem fordítva is. , azaz A logaritmus előjele előtti számokat beírhatja magába a logaritmusba. Leggyakrabban erre van szükség.
Feladat. Keresse meg a kifejezés értékét: log 7 49 6 .
Megszabadulunk az argumentum fokától az első képlet segítségével:
log 7 49 6 = 6 log 7 49 = 6 2 = 12
Feladat. Keresse meg a kifejezés jelentését:
[Felirat a képhez]
Figyeljük meg, hogy a nevező logaritmust tartalmaz, melynek alapja és argumentuma pontos hatványok: 16 = 2 4 ; 49 = 7 2. Nekünk van:
[Felirat a képhez]
Azt hiszem, az utolsó példa némi pontosítást igényel. Hová tűntek a logaritmusok? Az utolsó pillanatig csak a nevezővel dolgozunk. Az ott álló logaritmus alapját és argumentumát hatványok formájában mutattuk be, és kivettük a kitevőket - „három emeletes” törtet kaptunk.
Most nézzük meg a fő törtet. A számláló és a nevező ugyanazt a számot tartalmazza: log 2 7. Mivel log 2 7 ≠ 0, a törtet csökkenthetjük - a 2/4 a nevezőben marad. A számtan szabályai szerint a négyet át lehet vinni a számlálóba, ez meg is történt. Az eredmény a válasz: 2.
Átmenet egy új alapra
A logaritmusok összeadási és kivonási szabályairól szólva külön hangsúlyoztam, hogy ezek csak azonos alapokkal működnek. Mi van, ha az okok eltérőek? Mi van, ha nem ugyanazon szám hatványai?
Az új alapra való átállás képletei jönnek a segítségre. Fogalmazzuk meg őket tétel formájában:
Legyen adott a logaritmus log a x. Ekkor bármely c számra, amelyben c > 0 és c ≠ 1, az egyenlőség igaz:
[Felirat a képhez]
Konkrétan, ha c = x-et állítunk be, akkor kapjuk:
[Felirat a képhez]
A második képletből az következik, hogy a logaritmus alapja és argumentuma felcserélhető, de ebben az esetben a teljes kifejezés „megfordul”, azaz. a logaritmus a nevezőben jelenik meg.
Ezek a képletek ritkán találhatók meg a közönséges numerikus kifejezésekben. Csak logaritmikus egyenletek és egyenlőtlenségek megoldásánál lehet értékelni, hogy mennyire kényelmesek.
Vannak azonban olyan problémák, amelyeket egyáltalán nem lehet megoldani, csak egy új alapítványhoz költözni. Lássunk ezek közül párat:
Feladat. Keresse meg a következő kifejezés értékét: log 5 16 log 2 25.
Vegye figyelembe, hogy mindkét logaritmus argumentuma pontos hatványokat tartalmaz. Vegyük ki a mutatókat: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; log 2 25 = log 2 5 2 = 2 log 2 5;
Most „fordítsuk meg” a második logaritmust:
[Felirat a képhez]
Mivel a szorzat a faktorok átrendezésénél nem változik, nyugodtan szoroztunk négyet és kettőt, majd a logaritmusokkal foglalkoztunk.
Feladat. Keresse meg a kifejezés értékét: log 9 100 lg 3.
Az első logaritmus alapja és argumentuma pontos hatványok. Írjuk le, és szabaduljunk meg a mutatóktól:
[Felirat a képhez]
Most pedig szabaduljunk meg a decimális logaritmustól úgy, hogy új bázisra lépünk:
[Felirat a képhez]
Alapvető logaritmikus azonosság
A megoldási folyamat során gyakran szükséges egy számot egy adott bázis logaritmusaként ábrázolni. Ebben az esetben a következő képletek segítenek nekünk:
- n = log a a n
-
Az első esetben az n szám lesz az argumentum kitevője. Az n szám teljesen bármi lehet, mert ez csak egy logaritmusérték.
A második képlet valójában egy átfogalmazott definíció. Így hívják: az alapvető logaritmikus azonosság.
Valójában mi történik, ha a b számot olyan hatványra emeljük, hogy a b szám ehhez a hatványhoz adja az a számot? Így van: az eredmény ugyanaz a szám a. Olvassa el újra figyelmesen ezt a bekezdést – sokan elakadnak rajta.
Az új bázisra való átállás képleteihez hasonlóan néha az alapvető logaritmikus azonosság az egyetlen lehetséges megoldás.
[Felirat a képhez]
Jegyezzük meg, hogy log 25 64 = log 5 8 - egyszerűen vettük a négyzetet a logaritmus alapjából és argumentumából. Figyelembe véve a hatványok azonos bázisú szorzásának szabályait, a következőket kapjuk:
[Felirat a képhez]
Ha valaki nem tudná, ez egy igazi feladat volt az egységes államvizsgáról :)
Logaritmikus egység és logaritmikus nulla
Befejezésül két tulajdonságnak aligha nevezhető azonosságot mondok, hanem a logaritmus definíciójának következményei. Folyamatosan megjelennek a problémákban, és meglepő módon még a „haladó” tanulóknak is problémát okoznak.
- log a a = 1 logaritmikus egység. Emlékezz egyszer s mindenkorra: magának a bázisnak a logaritmusa minden a bázishoz egyenlő eggyel.
- log a 1 = 0 logaritmikus nulla. Az a bázis bármi lehet, de ha az argumentum egyet tartalmaz, akkor a logaritmus egyenlő nullával! Mert a 0 = 1 a definíció egyenes következménye.
Ennyi az összes tulajdonság. Gyakorold ezek gyakorlatba ültetését! Töltse le a csalólapot a lecke elején, nyomtassa ki, és oldja meg a problémákat.
Logaritmus. A logaritmus tulajdonságai (összeadás és kivonás).
A logaritmus tulajdonságai meghatározásából következik. És így a szám logaritmusa b alapján A Az a kitevő, amelyre egy számot emelni kell a hogy megkapja a számot b(a logaritmus csak pozitív számoknál létezik).
Ebből a megfogalmazásból az következik, hogy a számítás x=log a b, egyenértékű az egyenlet megoldásával a x =b. Például, log 2 8 = 3 mert 8 = 2 3 . A logaritmus megfogalmazása lehetővé teszi annak igazolását, hogy ha b=a c, majd a szám logaritmusa b alapján a egyenlő Val vel. Az is jól látható, hogy a logaritmus témaköre szorosan kapcsolódik a hatványok témájához.
A logaritmusokkal, mint minden számmal, megteheti összeadás, kivonás műveleteiés minden lehetséges módon átalakul. De mivel a logaritmusok nem teljesen közönséges számok, itt saját speciális szabályaik érvényesek, amelyeket ún. főbb tulajdonságait.
Logaritmusok összeadása és kivonása.
Vegyünk két azonos bázisú logaritmust: naplózzon egy x-etÉs log a y. Ezután lehetséges az összeadás és kivonás műveletek végrehajtása:
Amint látjuk, logaritmusok összege egyenlő a szorzat logaritmusával, és különbség logaritmusok- a hányados logaritmusa. Sőt, ez igaz, ha a számok A, XÉs nál nél pozitív és a ≠ 1.
Fontos megjegyezni, hogy ezekben a képletekben a fő szempont ugyanazok az alapok. Ha az indokok eltérőek, ezek a szabályok nem érvényesek!
Az azonos bázisú logaritmusok összeadásának és kivonásának szabályait nemcsak balról jobbra olvassuk, hanem fordítva is. Ennek eredményeként megvannak a tételek a szorzat logaritmusára és a hányados logaritmusára.
A szorzat logaritmusa két pozitív szám megegyezik logaritmusuk összegével ; ezt a tételt átfogalmazva a következőt kapjuk, ha a számok A, xÉs nál nél pozitív és a ≠ 1, Ez:
A hányados logaritmusa két pozitív szám egyenlő az osztó és az osztó logaritmusa közötti különbséggel. Másképp fogalmazva, ha a számok A, xÉs nál nél pozitív és a ≠ 1, Ez:
Alkalmazzuk a fenti tételeket a megoldásra példák:
Ha a számok xÉs nál nél akkor negatívak szorzat logaritmus képleteértelmetlenné válik. Ezért tilos a következőket írni:
mivel a log 2 (-8) és log 2 (-4) kifejezések egyáltalán nincsenek definiálva (logaritmikus függvény nál nél= log 2 x csak pozitív argumentumértékekre van megadva x).
Terméktétel nemcsak két, hanem korlátlan számú tényezőre is alkalmazható. Ez azt jelenti, hogy minden természetes kés bármilyen pozitív szám x 1 , x 2 , . . . ,x n van identitás:
Tól től logaritmus hányados tétel A logaritmusnak még egy tulajdonsága érhető el. Köztudott, hogy log a 1=0 tehát
Ez azt jelenti, hogy egyenlőség van:
Két reciprok szám logaritmusa ugyanazon okból kizárólag előjelben különböznek majd egymástól. Így:
Logaritmus. A logaritmusok tulajdonságai
Logaritmus. A logaritmusok tulajdonságai
Nézzük az egyenlőséget. Ismertesse velünk a és értékét, és meg akarjuk találni az értékét.
Vagyis azt a kitevőt keressük, amellyel fel kell emelnünk, hogy megkapjuk.
Hadd
egy változó bármilyen valós értéket felvehet, akkor a következő korlátozások vonatkoznak a változókra: o" title="a>o"/> , 1″ title=»a1″/>, 0″ title=»b>0″ />Ha ismerjük és értékeit, és az ismeretlen megtalálása előtt állunk, akkor ennek érdekében bevezetjük matematikai művelet amelyet úgy hívnak logaritmus.
Hogy megtaláljuk az általunk felvett értéket egy szám logaritmusaÁltal alapján :
Egy számnak az alapjához viszonyított logaritmusa az a kitevő, amelyre fel kell emelni, hogy megkapjuk.
Azaz alapvető logaritmikus azonosság:
o» title=»a>o»/> , 1″ title=»a1″/>, 0″ title=»b>0″/>
lényegében egy matematikai jelölés a logaritmus definíciói.
A logaritmus matematikai művelete a hatványozás műveletének inverze, tehát a logaritmusok tulajdonságai szorosan összefüggenek a fok tulajdonságaival.
Soroljuk fel a főbbeket a logaritmusok tulajdonságai:
(o" title="a>o"/> , 1″ title=»a1″/>, 0″ title=»b>0″/>, 0,
d>0″/>, 1″ title=”d1″/>
4.
5.
A következő tulajdonságcsoport lehetővé teszi, hogy egy kifejezés kitevőjét a logaritmus előjele alatt, vagy a logaritmus alján álló együttható formájában ábrázolja a logaritmus előjele előtt:
6.
7.
8.
9.
A következő képletcsoport lehetővé teszi, hogy egy adott bázisú logaritmusról egy tetszőleges bázisú logaritmusra lépjünk, és az ún. képletek az új bázisra való áttéréshez:
10.
12. (következmény a 11-es tulajdonból)
A következő három tulajdonság nem közismert, de gyakran használják logaritmikus egyenletek megoldásához, vagy logaritmusokat tartalmazó kifejezések egyszerűsítéséhez:
13.
14.
15.
Különleges esetek:
— decimális logaritmus
— természetes logaritmusA logaritmusokat tartalmazó kifejezések egyszerűsítésekor egy általános megközelítést alkalmazunk:
1. Bemutatkozik tizedesjegyek hétköznapiak formájában.
2. A vegyes számokat nem megfelelő törtként ábrázoljuk.
3. A logaritmus alapjának és a logaritmus előjele alatti számokat egyszerű tényezőkre bontjuk.
4. Megpróbáljuk az összes logaritmust ugyanarra az alapra redukálni.
5. Alkalmazza a logaritmusok tulajdonságait!
Nézzünk példákat a logaritmusokat tartalmazó kifejezések egyszerűsítésére.
1. példa
Kiszámítja:
Egyszerűsítsünk minden kitevőt: a feladatunk az, hogy azokat logaritmusokra redukáljuk, amelyek alapja megegyezik a kitevő alapjával.
==(7. tulajdonság szerint)=(6. tulajdonság szerint) =
Helyettesítsük be a kapott mutatókat az eredeti kifejezésbe. Kapunk:
Válasz: 5.25
2. példa: Számítsa ki:
Csökkentsük az összes logaritmust 6-os alapra (ebben az esetben a tört nevezőjéből a logaritmusok „átvándorolnak” a számlálóba):
Bontsuk fel a logaritmusjel alatti számokat egyszerű tényezőkre:
Alkalmazzuk a 4. és 6. tulajdonságot:
Mutassuk be a helyettesítést
Kapunk:
Válasz: 1
Logaritmus . Alapvető logaritmikus azonosság.
A logaritmusok tulajdonságai. Tizedes logaritmus. Természetes logaritmus.
Logaritmus pozitív N szám bázishoz (b > 0, b 1) az az x kitevő, amelyre b-t fel kell emelni, hogy N-t kapjunk .
Ez a bejegyzés egyenértékű a következővel: b x = N .
Példák: log 3 81 = 4, mivel 3 4 = 81;
log 1/3 27 = – 3, mivel (1/3) - 3 = 3 3 = 27.
A logaritmus fenti definíciója felírható azonosságként:
A logaritmusok alapvető tulajdonságai.
2) log 1 = 0, mivel b 0 = 1 .
3) A szorzat logaritmusa egyenlő a tényezők logaritmusainak összegével:
4) A hányados logaritmusa megegyezik az osztó és az osztó logaritmusa közötti különbséggel:
5) Egy hatvány logaritmusa egyenlő a kitevő és az alapja logaritmusának szorzatával:
Ennek a tulajdonságnak a következménye a következő: a gyök logaritmusa egyenlő a gyökszám logaritmusával osztva a gyök hatványával:
6) Ha a logaritmus alapja egy fok, akkor az érték a kitevő inverze logrímként kivehető:
Az utolsó két tulajdonság egybe kombinálható:
7) Átmeneti modulusképlet (azaz átmenet az egyik logaritmusbázisról a másikra):
Abban a speciális esetben, amikor N=a nekünk van:
Tizedes logaritmus hívott bázis logaritmus 10. Jelölése lg, azaz. napló 10 N= log N. A 10, 100, 1000, . számok logaritmusai. p értéke 1, 2, 3, …, azaz. annyi pozitívum van
egységek, hány nulla van egy logaritmikus számban egy után. Számok logaritmusai 0,1, 0,01, 0,001, . p rendre –1, –2, –3, …, azaz. annyi negatív legyen, ahány nulla van az egy előtti logaritmikus számban (beleértve a nulla egész számokat is). Más számok logaritmusának van egy törtrésze, az úgynevezett mantissza. Egész rész a logaritmust hívják jellegzetes. A gyakorlati használatra a decimális logaritmus a legkényelmesebb.
Természetes logaritmus hívott bázis logaritmus e. Jelölje ln, azaz. log e N= log N. Szám e irracionális, hozzávetőleges értéke 2,718281828. Ez az a határ, amelyre a szám hajlik (1 + 1 / n) n korlátlan emeléssel n(cm. első csodálatos határ a „Számsorozat-korlátok” oldalon).
Bármilyen furcsa is, a természetes logaritmus nagyon kényelmesnek bizonyult a függvények elemzésével kapcsolatos különféle műveletek végrehajtásakor. Logaritmusok számítása bázisra e sokkal gyorsabban hajtják végre, mint bármely más okból.
- Mi szükséges ma egy gyermek örökbefogadásához Oroszországban? Az oroszországi örökbefogadás a felelősségteljes személyes döntés mellett számos eljárást is magában foglal a jelöltek állami ellenőrzésére. Nehéz választás előkészítő szakasz hozzájárul ahhoz, hogy több […]
- Ingyenes információ a TIN-ről vagy az OGRN-ről az adónyilvántartásból Oroszország egész területén - online Az állami regisztrációval kapcsolatos információk az Egységes Adószolgáltatási Portálon szerezhetők be jogalanyok, egyéni vállalkozók, […]
- Büntetés az okmányok nélküli vezetésért ( jogosítvány, biztosítás, STS) A feledékenység miatt előfordul, hogy a sofőrök jogosítvány nélkül ülnek volán mögé, és okmányok nélküli vezetésért bírságot kapnak. Emlékeztetjük Önöket, hogy az autórajongó az övével vezet kötelező […]
- Virágok férfiaknak. Milyen virágot adhatsz egy férfinak? Milyen virágot adhatsz egy férfinak? Nem sok a „férfi” virág, de vannak olyanok, amelyeket férfiaknak adnak. Egy kis viráglista előtted: Krizantém. Rózsák. Szegfű. […]
- A feljegyzés a dokumentum egy speciális formája, amelyet használnak belső környezet vállalkozásokat és szolgál gyors megoldás jelenlegi termelési problémák. Ez a dokumentum általában azzal a céllal készült, hogy néhány […]
- Mikor és hogyan kaphatja meg nyugdíja finanszírozott részét a Sberbanktól? A Sberbank az állami nyugdíjalap partnerbankja. Ennek alapján a tőkefedezeti nyugdíjra jelentkező állampolgárok átutalhatták a tőkefedezeti részt […]
- Gyermekellátások Uljanovszkban és az Uljanovszki régióban 2018-ban Ezenkívül a szövetségi jogszabályok által jóváhagyott programok minden régióban működnek. Nézzük meg, ki milyen előnyökre számíthat. Hogyan a regionális hatóságok […]
- Részletes útmutató, hogyan kell meghatalmazást készíteni magánszemély érdekeinek bírósági képviseletére Polgári vagy választottbírósági keresetben, közigazgatási vagy büntetőügyben mind a felperes, mind az alperes érdekeit ügyvéd képviselheti: [… ]
Ezzel a videóval a logaritmikus egyenletekről szóló leckék hosszú sorozatát kezdem. Most három példa áll előtted, amelyek alapján megtanuljuk megoldani a legegyszerűbb problémákat, amelyeket - protozoák.
log 0,5 (3x − 1) = −3
log (x + 3) = 3 + 2 log 5
Hadd emlékeztesselek arra, hogy a legegyszerűbb logaritmikus egyenlet a következő:
log a f (x) = b
Ebben az esetben fontos, hogy az x változó csak az argumentumban, azaz csak az f (x) függvényben legyen jelen. Az a és b számok pedig csak számok, és semmi esetre sem olyan függvények, amelyek x változót tartalmaznak.
Alapvető megoldási módszerek
Az ilyen struktúrák megoldásának számos módja van. Például a legtöbb tanár az iskolában ezt a módszert ajánlja: Azonnal fejezze ki az f (x) függvényt a képlettel f ( x ) = a b . Vagyis amikor a legegyszerűbb konstrukcióval találkozik, azonnal anélkül további műveletekés konstrukciók továbbléphet a megoldás felé.
Igen, természetesen a döntés helyes lesz. Ezzel a képlettel azonban az a probléma, hogy a legtöbb diák nem értem, honnan származik és miért emeljük az a betűt b betűvé.
Emiatt gyakran nagyon bosszantó hibákat látok, amikor például ezeket a betűket felcserélik. Ezt a képletet vagy meg kell érteni, vagy be kell zsúfolni, és a második módszer a legalkalmatlanabb és legdöntőbb pillanatokban vezet hibákhoz: vizsgák, tesztek stb.
Ezért azt javaslom minden diákomnak, hogy hagyják el a szokásos iskolai képletet, és használják a második megközelítést a logaritmikus egyenletek megoldására, amelyet, mint valószínűleg a nevéből is sejtetted, az ún. kanonikus forma.
A kanonikus forma ötlete egyszerű. Nézzük meg újra a problémánkat: a bal oldalon log a van, az a betű alatt pedig egy számot értünk, semmi esetre sem az x változót tartalmazó függvényt. Következésképpen erre a levélre a logaritmus alapján támasztott összes korlátozás vonatkozik. ugyanis:
1 ≠ a > 0
Másrészt ugyanabból az egyenletből azt látjuk, hogy a logaritmusnak egyenlőnek kell lennie a b számmal, és erre a betűre nincs korlátozás, mert bármilyen értéket felvehet - pozitív és negatív is. Minden attól függ, hogy az f(x) függvény milyen értékeket vesz fel.
És itt emlékezünk a csodálatos szabályunkra, miszerint bármely b szám logaritmusként ábrázolható az a bázishoz, a b hatványához:
b = log a a b
Hogyan emlékezzünk erre a képletre? Igen, nagyon egyszerű. Írjuk fel a következő konstrukciót:
b = b 1 = b log a a
Természetesen ebben az esetben minden megkötés felmerül, amit az elején leírtunk. Most használjuk a logaritmus alaptulajdonságát, és vegyük be a b szorzót a hatványaként. Kapunk:
b = b 1 = b log a a = log a a b
Ennek eredményeként az eredeti egyenlet a következőképpen lesz átírva:
log a f (x) = log a a b → f (x) = a b
Ez minden. Új funkció már nem tartalmaz logaritmust, és standard algebrai technikákkal megoldható.
Persze valaki most tiltakozik: miért kellett egyáltalán valamiféle kanonikus képletet kitalálni, miért kellett további két felesleges lépést végrehajtani, ha az eredeti tervről azonnal át lehetett lépni a végső képletre? Igen, már csak azért is, mert a legtöbb diák nem érti, honnan származik ez a képlet, és ennek következtében rendszeresen hibázik az alkalmazása során.
De ez a három lépésből álló műveletsor lehetővé teszi az eredeti logaritmikus egyenlet megoldását, még akkor is, ha nem érti, honnan származik a végső képlet. Egyébként ezt a bejegyzést kanonikus képletnek nevezik:
log a f (x) = log a a b
A kanonikus forma kényelme abban is rejlik, hogy a logaritmikus egyenletek igen széles osztályának megoldására használható, és nem csak a legegyszerűbbek, amelyekkel ma foglalkozunk.
Példák megoldásokra
Most pedig vessünk egy pillantást valós példák. Szóval, döntsük el:
log 0,5 (3x − 1) = −3
Írjuk át így:
log 0,5 (3x − 1) = log 0,5 0,5 −3
Sok diák siet, és megpróbálja azonnal felemelni a 0,5-ös számot arra a hatványra, amely az eredeti problémából származott. Valójában, ha már jól képzett az ilyen problémák megoldásában, azonnal végrehajthatja ezt a lépést.
Ha azonban most kezdi tanulmányozni ezt a témát, jobb, ha nem rohan sehova, hogy elkerülje a sértő hibákat. Tehát megvan a kanonikus forma. Nekünk van:
3x − 1 = 0,5 −3
Ez már nem logaritmikus egyenlet, hanem lineáris az x változóhoz képest. A megoldáshoz először nézzük meg a 0,5 számot −3 hatványa szerint. Vegye figyelembe, hogy a 0,5 az 1/2.
(1/2) −3 = (2/1) 3 = 8
A logaritmikus egyenlet megoldása során az összes tizedes törtet konvertálja közönséges törtté.
Átírjuk és megkapjuk:
3x − 1 = 8
3x = 9
x = 3
Ennyi, megkaptuk a választ. Az első probléma megoldódott.
Második feladat
Térjünk át a második feladatra:
Amint látjuk, ez az egyenlet már nem a legegyszerűbb. Már csak azért is, mert a bal oldalon eltérés van, és egyetlen bázishoz egyetlen logaritmus sincs.
Ezért valahogy meg kell szabadulnunk ettől a különbségtől. BAN BEN ebben az esetben minden nagyon egyszerű. Nézzük meg közelebbről az alapokat: bal oldalon a gyökér alatti szám található:
Általános javaslat: minden logaritmikus egyenletben próbáljon meg megszabadulni a gyököktől, azaz a gyökös bejegyzésektől, és lépjen tovább a hatványfüggvényekre, pusztán azért, mert ezeknek a hatványoknak a kitevői könnyen kivehetők a logaritmus előjeléből, és végső soron egy bejegyzés jelentősen leegyszerűsíti és felgyorsítja a számításokat. Írjuk le így:
Most pedig emlékezzünk a logaritmus figyelemre méltó tulajdonságára: a hatványok származtathatók az argumentumból és az alapból is. Indokolás esetén a következő történik:
log a k b = 1/k loga b
Vagyis azt a számot, amely az alaphatványban volt, előre hozzuk és egyben meg is fordítjuk, azaz reciprok számmá válik. Nálunk az alapfok 1/2 volt. Ezért kivehetjük 2/1-nek. Kapunk:
5 2 log 5 x − log 5 x = 18
10 log 5 x − log 5 x = 18
Kérjük, vegye figyelembe: semmi esetre sem szabadulhat meg a logaritmusoktól ebben a lépésben. Emlékezz a 4-5. osztályos matematikára és a műveletek sorrendjére: először a szorzást, majd csak azután az összeadást és kivonást végezzük. Ebben az esetben 10 elemből kivonjuk az egyik elemet:
9 log 5 x = 18
log 5 x = 2
Most az egyenletünk úgy néz ki, ahogy kell. Ez a legegyszerűbb konstrukció, amit a kanonikus formával oldunk meg:
log 5 x = log 5 5 2
x = 5 2
x = 25
Ez minden. A második probléma megoldódott.
Harmadik példa
Térjünk át a harmadik feladatra:
log (x + 3) = 3 + 2 log 5
Hadd emlékeztesselek a következő képletre:
log b = log 10 b
Ha valamilyen oknál fogva megzavarta a b jelölési napló, akkor az összes számítás végrehajtásakor egyszerűen beírhatja a 10 b naplót. A decimális logaritmusokkal ugyanúgy dolgozhat, mint másokkal: vegyen fel hatványokat, adjon hozzá és ábrázoljon tetszőleges számokat lg 10 formában.
Ezekkel a tulajdonságokkal fogjuk most megoldani a feladatot, mivel nem a legegyszerűbb tulajdonságot írtuk le a leckénk legelején.
Először is vegye figyelembe, hogy az lg 5 előtti 2-es tényező összeadható, és az 5-ös bázis hatványa lesz. Ezen kívül a 3 szabad tag logaritmusként is ábrázolható - ez a mi jelölésünkből nagyon könnyen megfigyelhető.
Ítélje meg maga: bármely szám ábrázolható naplóként a 10-es alapig:
3 = log 10 10 3 = log 10 3
Írjuk át az eredeti feladatot a kapott változtatások figyelembevételével:
log (x − 3) = log 1000 + log 25
log (x − 3) = log 1000 25
log (x − 3) = log 25 000
Újra előttünk van a kanonikus forma, amit anélkül kaptunk, hogy átmennénk a transzformációs szakaszon, vagyis a legegyszerűbb logaritmikus egyenlet sehol sem jelent meg.
Pontosan erről beszéltem az óra legelején. A kanonikus forma lehetővé teszi a problémák szélesebb osztályának megoldását, mint a legtöbb iskolai tanár által adott általános iskolai képlet.
Nos, ez az, megszabadulunk a decimális logaritmus előjelétől, és egy egyszerű lineáris konstrukciót kapunk:
x + 3 = 25 000
x = 24 997
Minden! A probléma megoldódott.
Megjegyzés a terjedelemről
Itt szeretnék egy fontos megjegyzést tenni a meghatározás terjedelmével kapcsolatban. Biztosan most lesznek olyan diákok és tanárok, akik azt mondják: „Amikor kifejezéseket logaritmussal oldunk meg, emlékeznünk kell arra, hogy az f (x) argumentumnak nagyobbnak kell lennie nullánál!” Ezzel kapcsolatban felmerül egy logikus kérdés: miért nem követeltük meg, hogy ez az egyenlőtlenség a vizsgált problémák egyikében sem teljesüljön?
Ne aggódj. Ezekben az esetekben nem jelennek meg további gyökerek. És ez egy másik nagyszerű trükk, amely lehetővé teszi a megoldás felgyorsítását. Csak tudd, hogy ha a feladatban az x változó csak egy helyen fordul elő (vagy inkább egyetlen logaritmus egyetlen argumentumában), és esetünkben sehol máshol nem jelenik meg az x változó, akkor írd le a definíciós tartományt. nincs szükség, mert automatikusan végrehajtásra kerül.
Ítélje meg maga: az első egyenletben azt kaptuk, hogy 3x − 1, azaz az argumentumnak 8-nak kell lennie. Ez automatikusan azt jelenti, hogy 3x − 1 nagyobb lesz nullánál.
Ugyanilyen sikerrel írhatjuk, hogy a második esetben x legyen egyenlő 5 2-vel, azaz minden bizonnyal nagyobb nullánál. És a harmadik esetben, ahol x + 3 = 25 000, azaz ismét nyilvánvalóan nagyobb, mint nulla. Más szóval, a hatókör automatikusan teljesül, de csak akkor, ha x csak egy logaritmus argumentumában fordul elő.
Ennyit kell tudnia a legegyszerűbb problémák megoldásához. Ez a szabály önmagában az átalakítási szabályokkal együtt lehetővé teszi a problémák nagyon széles osztályának megoldását.
De legyünk őszinték: ahhoz, hogy végre megértsük ezt a technikát, és megtanuljuk, hogyan kell alkalmazni a logaritmikus egyenlet kanonikus alakját, nem elég csak egy videóleckét megnézni. Tehát töltse le most a lehetőségeket önálló döntés, amelyeket ehhez a videóleckéhez csatolunk, és e két önálló munka közül legalább egyet elkezdenek megoldani.
Szó szerint néhány percet vesz igénybe. De az ilyen képzés hatása sokkal nagyobb lesz, mintha egyszerűen megnézné ezt a videóleckét.
Remélem, ez a lecke segít a logaritmikus egyenletek megértésében. Használja a kanonikus formát, egyszerűsítse a kifejezéseket a logaritmusokkal végzett munka szabályaival – és nem fog félni a problémáktól. Ennyi van mára.
Figyelembe véve a definíciós tartományt
Most beszéljünk a logaritmikus függvény definíciós tartományáról, és arról, hogy ez hogyan hat a logaritmikus egyenletek megoldására. Fontolja meg az űrlap felépítését
log a f (x) = b
Egy ilyen kifejezést a legegyszerűbbnek neveznek - csak egy függvényt tartalmaz, és az a és b számok csak számok, és semmi esetre sem olyan függvény, amely az x változótól függ. Nagyon egyszerűen meg lehet oldani. Csak a képletet kell használnia:
b = log a a b
Ez a képlet a logaritmus egyik legfontosabb tulajdonsága, és az eredeti kifejezésünkbe behelyettesítve a következőket kapjuk:
log a f (x) = log a a b
f(x) = a b
Ez az iskolai tankönyvekből ismerős képlet. Valószínűleg sok diáknak lesz kérdése: mivel az eredeti kifejezésben az f (x) függvény a log jel alatt van, a következő korlátozások vonatkoznak rá:
f(x) > 0
Ez a korlátozás azért érvényes, mert a negatív számok logaritmusa nem létezik. Lehetséges tehát, hogy ennek a korlátozásnak köszönhetően be kellene vezetni a válaszok ellenőrzését? Talán be kell őket illeszteni a forrásba?
Nem, a legegyszerűbb logaritmikus egyenleteknél szükségtelen a további ellenőrzés. És ezért. Tekintse meg végső képletünket:
f(x) = a b
Az a tény, hogy az a szám mindenképpen nagyobb, mint 0 - ezt a követelményt a logaritmus is előírja. Az a szám az alap. Ebben az esetben a b számra nincs korlátozás. De ez nem számít, mert akármilyen hatványra emelünk egy pozitív számot, a kimeneten akkor is pozitív számot kapunk. Így az f (x) > 0 követelmény automatikusan teljesül.
Amit igazán érdemes ellenőrizni, az a függvény tartománya a naplójel alatt. Lehetnek elég összetett struktúrák, és a megoldási folyamat során mindenképpen figyelni kell rájuk. Nézzük meg.
Első feladat:
Első lépés: konvertálja át a jobb oldali törtet. Kapunk:
Megszabadulunk a logaritmus előjelétől, és megkapjuk a szokásos irracionális egyenletet:
A kapott gyökök közül csak az első felel meg nekünk, a második gyökér óta nullánál kisebb. Az egyetlen válasz a 9-es szám lesz. Ez az, a probléma megoldódott. Egyik sem további ellenőrzések az a tény, hogy a logaritmus előjele alatti kifejezés nagyobb, mint 0, nem szükséges, mert nem csak nagyobb 0-nál, hanem az egyenlet feltétele szerint egyenlő 2-vel. Ezért a „nullánál nagyobb” követelmény automatikusan elégedett.
Térjünk át a második feladatra:
Itt minden ugyanaz. Átírjuk a konstrukciót a hármas helyére:
Megszabadulunk a logaritmus előjelektől, és irracionális egyenletet kapunk:
Mindkét oldalt négyzetre emeljük a korlátozások figyelembevételével, és kapjuk:
4 − 6x − x 2 = (x − 4) 2
4 − 6x − x 2 = x 2 + 8x + 16
x 2 + 8x + 16 −4 + 6x + x 2 = 0
2x 2 + 14x + 12 = 0 |:2
x 2 + 7x + 6 = 0
A kapott egyenletet a diszkrimináns segítségével oldjuk meg:
D = 49 - 24 = 25
x 1 = −1
x 2 = −6
De az x = −6 nem felel meg nekünk, mert ha ezt a számot behelyettesítjük az egyenlőtlenségünkbe, azt kapjuk:
−6 + 4 = −2 < 0
Esetünkben szükséges, hogy 0-nál több legyen, ill utolsó lehetőségként egyenlő. De az x = −1 megfelel nekünk:
−1 + 4 = 3 > 0
Az egyetlen válasz esetünkben x = −1. Ez a megoldás. Térjünk vissza számításaink legelejére.
Ebből a leckéből az a fő következtetés, hogy nem kell egyszerű logaritmikus egyenletekben ellenőriznie a függvényekre vonatkozó kényszereket. Mert a megoldási folyamat során minden megkötés automatikusan teljesül.
Ez azonban semmiképpen sem jelenti azt, hogy teljesen elfelejtheti az ellenőrzést. A logaritmikus egyenlet megmunkálása során könnyen átváltozhat egy irracionális egyenletté, amelynek meg lesznek a maga megszorításai és követelményei a jobb oldalra vonatkozóan, amit ma két különböző példában láthattunk.
Nyugodtan oldja meg az ilyen problémákat, és legyen különösen óvatos, ha a vitában gyökere van.
Logaritmikus egyenletek különböző alapokkal
Folytatjuk a logaritmikus egyenletek tanulmányozását, és megvizsgálunk még két egészen érdekes technikát, amelyekkel divatos bonyolultabb konstrukciók megoldása. De először emlékezzünk a legegyszerűbb problémák megoldására:
log a f (x) = b
Ebben a bejegyzésben a és b számok, az f (x) függvényben pedig az x változónak kell jelen lennie, és csak ott, azaz x-nek csak az argumentumban kell szerepelnie. Az ilyen logaritmikus egyenleteket a kanonikus forma segítségével transzformáljuk. Ehhez vegye figyelembe, hogy
b = log a a b
Ráadásul a b pontosan egy érv. Írjuk át ezt a kifejezést a következőképpen:
log a f (x) = log a a b
Pontosan ezt igyekszünk elérni, hogy legyen logaritmus az a-ra alapozva mind a bal, mind a jobb oldalon. Ebben az esetben képletesen áthúzhatjuk a naplójeleket, és matematikai szempontból azt mondhatjuk, hogy egyszerűen egyenlőségjelet teszünk az érvek közé:
f(x) = a b
Ennek eredményeként egy új kifejezést kapunk, amelyet sokkal könnyebb lesz megoldani. Alkalmazzuk ezt a szabályt mai problémáinkra.
Tehát az első dizájn:
Először is megjegyzem, hogy a jobb oldalon van egy tört, amelynek a nevezője log. Amikor egy ilyen kifejezést lát, jó ötlet emlékezni a logaritmusok egy csodálatos tulajdonságára:
Oroszra lefordítva ez azt jelenti, hogy bármely logaritmus ábrázolható két logaritmus hányadosaként bármilyen c bázissal. Természetesen 0< с ≠ 1.
Tehát: ennek a képletnek van egy csodálatos speciális esete, amikor a c változó egyenlő a változóval b. Ebben az esetben a következő konstrukciót kapjuk:
Pontosan ez az a konstrukció, amit az egyenletünk jobb oldali jeléből látunk. Cseréljük le ezt a konstrukciót log a b -vel, így kapjuk:
Vagyis az eredeti feladathoz képest felcseréltük az argumentumot és a logaritmus alapját. Ehelyett meg kellett fordítanunk a törtet.
Emlékeztetünk arra, hogy az alapból bármilyen fokozat származtatható a következő szabály szerint:
Más szóval, a k együtthatót, amely az alap hatványa, fordított törtként fejezzük ki. Jelentsük meg fordított törtként:
A törttényezőt nem hagyhatjuk elöl, mert ebben az esetben ezt a jelölést nem tudjuk kanonikus alakként ábrázolni (elvégre a kanonikus alakban nincs további tényező a második logaritmus előtt). Ezért adjuk hozzá az 1/4 törtet az argumentumhoz hatványként:
Most egyenlőségjelet teszünk olyan érvekre, amelyeknek az alapja megegyezik (és az alapjaink valóban ugyanazok), és írjuk:
x + 5 = 1
x = −4
Ez minden. Megkaptuk a választ az első logaritmikus egyenletre. Figyelem: az eredeti feladatban az x változó csak egy naplóban jelenik meg, és az argumentumában is megjelenik. Ezért nincs szükség a tartomány ellenőrzésére, és az x = −4 számunk valóban a válasz.
Most térjünk át a második kifejezésre:
log 56 = log 2 log 2 7 − 3 log (x + 4)
Itt a szokásos logaritmusokon kívül log f (x)-el kell dolgoznunk. Hogyan lehet megoldani egy ilyen egyenletet? Egy felkészületlen diáknak úgy tűnhet, hogy ez valami nehéz feladat, de valójában mindent meg lehet oldani elemi módon.
Vessen egy pillantást az lg 2 log 2 kifejezésre 7. Mit mondhatunk róla? A log és az lg alapjai és argumentumai megegyeznek, és ez ad némi ötletet. Emlékezzünk még egyszer arra, hogyan vesznek ki hatványokat a logaritmus jele alól:
log a b n = nlog a b
Más szóval, ami b hatványa volt az érvelésben, az maga a log előtti tényezővé válik. Alkalmazzuk ezt a képletet az lg 2 log 2 7 kifejezésre. Ne ijedj meg az lg 2-től – ez a leggyakoribb kifejezés. A következőképpen írhatod át:
Minden más logaritmusra érvényes szabály érvényes. Az érvelés mértékéhez különösen az elöl lévő tényezőt lehet hozzáadni. Írjuk fel:
Nagyon gyakran a tanulók nem látják közvetlenül ezt a műveletet, mert nem jó az egyik naplót a másik jele alá írni. Valójában ebben nincs semmi bûn. Ezenkívül kapunk egy képletet, amely könnyen kiszámítható, ha emlékszik egy fontos szabályra:
Ez a képlet definíciónak és annak egyik tulajdonságának is tekinthető. Mindenesetre, ha egy logaritmikus egyenletet konvertál, akkor ezt a képletet ugyanúgy ismernie kell, mint bármely szám logaritmusát.
Térjünk vissza a feladatunkhoz. Átírjuk, figyelembe véve azt a tényt, hogy az egyenlőségjeltől jobbra lévő első tag egyszerűen lg 7 lesz.
lg 56 = lg 7–3 lg (x + 4)
Mozgassuk az lg 7-et balra, kapjuk:
lg 56 − lg 7 = −3 lg (x + 4)
A bal oldali kifejezéseket kivonjuk, mert ugyanaz az alapjuk:
lg (56/7) = –3 lg (x + 4)
Most nézzük meg közelebbről a kapott egyenletet. Gyakorlatilag a kanonikus forma, de a jobb oldalon van egy −3 tényező. Adjuk hozzá a megfelelő lg argumentumhoz:
log 8 = log (x + 4) −3
Előttünk a logaritmikus egyenlet kanonikus alakja, ezért kihúzzuk az lg jeleket, és egyenlővé tesszük az argumentumokat:
(x + 4) −3 = 8
x + 4 = 0,5
Ez minden! Megoldottuk a második logaritmikus egyenletet. Ebben az esetben nincs szükség további ellenőrzésekre, mert az eredeti feladatban x csak egy argumentumban szerepelt.
Hadd soroljam fel még egyszer ennek a leckének a legfontosabb pontjait.
A fő képlet, amelyet ezen az oldalon a logaritmikus egyenletek megoldására szolgáló összes leckében tanítanak, a kanonikus forma. És ne ijedjen meg attól a ténytől, hogy a legtöbb iskolai tankönyv megtanítja másként megoldani az ilyen problémákat. Ez az eszköz nagyon hatékonyan működik, és sokkal szélesebb körű problémák megoldását teszi lehetővé, mint a legegyszerűbbek, amelyeket a leckénk elején tanulmányoztunk.
Emellett a logaritmikus egyenletek megoldásához hasznos lesz az alapvető tulajdonságok ismerete. Ugyanis:
- Az egy bázisra költözés képlete és az a speciális eset, amikor fordított naplózást végzünk (ez nagyon hasznos volt számunkra az első feladatnál);
- Képlet a logaritmusjel hatványainak összeadására és kivonására. Itt sok diák elakad, és nem látja, hogy a kivett és bevezetett végzettség maga is tartalmazhat log f (x) értéket. Nincs ezzel semmi baj. Bevezethetjük az egyik rönköt a másik előjele szerint, és egyben jelentősen leegyszerűsíthetjük a probléma megoldását, amit a második esetben figyelünk meg.
Végezetül hozzátenném, hogy nem minden esetben szükséges a definíciós tartományt ellenőrizni, mert az x változó mindenhol csak a log egyik előjelében van jelen, ugyanakkor az argumentumában. Ennek eredményeként a kör minden követelménye automatikusan teljesül.
Problémák a változó alappal
Ma a logaritmikus egyenleteket fogjuk megvizsgálni, amelyek sok diák számára nem szabványosnak, ha nem teljesen megoldhatatlannak tűnnek. Nem számokon, hanem változókon és páros függvényeken alapuló kifejezésekről beszélünk. Az ilyen konstrukciókat standard technikánkkal, mégpedig a kanonikus formával oldjuk meg.
Először is emlékezzünk arra, hogyan oldják meg a legegyszerűbb feladatokat közönséges számok alapján. Tehát a legegyszerűbb konstrukciót hívják
log a f (x) = b
Az ilyen problémák megoldására a következő képletet használhatjuk:
b = log a a b
Átírjuk az eredeti kifejezésünket, és megkapjuk:
log a f (x) = log a a b
Ezután egyenlővé tesszük az érveket, azaz ezt írjuk:
f(x) = a b
Így megszabadulunk a naplójeltől, és megoldjuk a szokásos problémát. Ebben az esetben a megoldásból kapott gyökök az eredeti logaritmikus egyenlet gyökei lesznek. Ezenkívül azt a rekordot, amikor a bal és a jobb is ugyanabban a logaritmusban van, ugyanazzal az alappal, pontosan kanonikus formának nevezzük. Ez olyan rekord, hogy megpróbáljuk csökkenteni a mai terveket. Akkor gyerünk.
Első feladat:
log x - 2 (2x 2 - 13x + 18) = 1
Cserélje ki az 1-et log x − 2 (x − 2) 1-re. Az érvelésben megfigyelt fok valójában az egyenlőségjeltől jobbra álló b szám. Így írjuk át a kifejezésünket. Kapunk:
log x - 2 (2x 2 - 13x + 18) = log x - 2 (x - 2)
Mit látunk? Előttünk a logaritmikus egyenlet kanonikus alakja, így nyugodtan egyenlőségjelet tehetünk az érvek között. Kapunk:
2x 2 - 13x + 18 = x - 2
A megoldás azonban nem ér véget, mert ez az egyenlet nem ekvivalens az eredetivel. Hiszen a kapott konstrukció olyan függvényekből áll, amelyek a teljes számegyenesen vannak definiálva, és az eredeti logaritmusaink nem mindenhol és nem mindig vannak definiálva.
Ezért külön fel kell írnunk a definíciós tartományt. Ne hasítsuk fel a szőrszálakat, és először írjunk le minden követelményt:
Először is, az egyes logaritmusok argumentumának nagyobbnak kell lennie 0-nál:
2x 2 − 13x + 18 > 0
x − 2 > 0
Másodszor, az alapnak nemcsak 0-nál nagyobbnak kell lennie, hanem 1-től eltérőnek is kell lennie:
x − 2 ≠ 1
Ennek eredményeként a következő rendszert kapjuk:
De ne ijedjen meg: a logaritmikus egyenletek feldolgozásakor egy ilyen rendszer jelentősen leegyszerűsíthető.
Ítélje meg maga: egyrészt megkövetelik tőlünk, hogy a másodfokú függvény nagyobb legyen nullánál, másrészt ez a másodfokú függvény egy bizonyos lineáris kifejezésnek felel meg, amelyhez az is szükséges, hogy nagyobb legyen nullánál.
Ebben az esetben, ha megköveteljük, hogy x − 2 > 0, akkor a 2x 2 − 13x + 18 > 0 követelmény automatikusan teljesüljön, ezért nyugodtan áthúzhatjuk azt az egyenlőtlenséget, amely tartalmazza az egyenlőtlenséget. másodfokú függvény. Így a rendszerünkben található kifejezések száma háromra csökken.
Természetesen ugyanazzal a sikerrel áthúzhatnánk a lineáris egyenlőtlenséget, azaz áthúzhatnánk x − 2 > 0-t, és megkövetelnénk, hogy 2x 2 − 13x + 18 > 0. De abban egyetértünk, hogy a legegyszerűbb lineáris egyenlőtlenség megoldása sokkal gyorsabb és egyszerűbb, mint másodfokú, még azzal a feltétellel is, hogy ennek az egész rendszernek a megoldása eredményeként ugyanazokat a gyökereket kapjuk.
Általában próbálja meg optimalizálni a számításokat, amikor csak lehetséges. A logaritmikus egyenletek esetében pedig húzd át a legnehezebb egyenlőtlenségeket.
Írjuk át a rendszerünket:
Itt van egy három kifejezésből álló rendszer, amelyek közül kettővel már foglalkoztunk. Írjuk le külön másodfokú egyenletés oldjuk meg:
2x 2 − 14x + 20 = 0
x 2 − 7x + 10 = 0
Előttünk van egy redukált másodfokú trinom, ezért használhatjuk Vieta képleteit. Kapunk:
(x − 5)(x − 2) = 0
x 1 = 5
x 2 = 2
Most visszatérünk a rendszerünkhöz, és azt találjuk, hogy x = 2 nem felel meg nekünk, mert megkövetelik, hogy x szigorúan nagyobb legyen 2-nél.
De az x = 5 tökéletesen megfelel nekünk: az 5 nagyobb 2-nél, ugyanakkor az 5 nem egyenlő 3-mal. Ezért ennek a rendszernek az egyetlen megoldása az x = 5 lesz.
Ez az, a probléma megoldódott, beleértve az ODZ figyelembevételét. Térjünk át a második egyenletre. További érdekes és informatív számítások itt várnak ránk:
Az első lépés: mint legutóbb, ezt az egészet kanonikus formába hozzuk. Ehhez a következőképpen írhatjuk fel a 9-es számot:
Nem kell megérinteni az alapot a gyökérrel, de jobb az érvelést átalakítani. Haladjunk a gyökértől a hatvány felé racionális kitevővel. Írjuk fel:
Hadd ne írjam át az egész nagy logaritmikus egyenletünket, hanem azonnal egyenlővé tegyem az érveket:
x 3 + 10x 2 + 31x + 30 = x 3 + 9x 2 + 27x + 27
x 2 + 4x + 3 = 0
Egy újonnan redukált másodfokú trinom áll előttünk, használjuk Vieta képleteit, és írjuk fel:
(x + 3) (x + 1) = 0
x 1 = −3
x 2 = −1
Tehát megkaptuk a gyököket, de senki nem garantálta, hogy megfelelnek az eredeti logaritmikus egyenletnek. Hiszen a naplójelek további megszorításokat támasztanak (itt a rendszert kellett volna leírni, de az egész szerkezet nehézkessége miatt úgy döntöttem, hogy külön számítom ki a definíciós tartományt).
Először is ne feledje, hogy az argumentumoknak 0-nál nagyobbaknak kell lenniük, nevezetesen:
Ezeket a követelményeket támasztja a definíció hatálya.
Rögtön jegyezzük meg, hogy mivel a rendszer első két kifejezését egyenlővé tesszük egymással, bármelyiket áthúzhatjuk. Az elsőt húzzuk át, mert fenyegetőbbnek tűnik, mint a második.
Ezenkívül vegye figyelembe, hogy a második és a harmadik egyenlőtlenség megoldása ugyanazok a halmazok (valamelyik szám kocka nagyobb nullánál, ha ez a szám nagyobb nullánál; hasonlóképpen a harmadik fokú gyökérrel - ezek az egyenlőtlenségek teljesen analógok, ezért áthúzhatjuk).
De a harmadik egyenlőtlenséggel ez nem fog működni. Szabaduljunk meg a bal oldali radikális jeltől úgy, hogy mindkét részt kockára emeljük. Kapunk:
Tehát a következő követelményeket kapjuk:
− 2 ≠ x > −3
Melyik gyökünk: x 1 = −3 vagy x 2 = −1 felel meg ezeknek a követelményeknek? Nyilvánvalóan csak x = −1, mert x = −3 nem elégíti ki az első egyenlőtlenséget (mivel az egyenlőtlenségünk szigorú). Tehát, visszatérve a problémánkhoz, egy gyököt kapunk: x = −1. Ennyi, probléma megoldva.
Még egyszer, ennek a feladatnak a legfontosabb pontjai:
- Nyugodtan alkalmazhat és oldhat meg logaritmikus egyenleteket kanonikus formában. Azok a tanulók, akik ilyen jelölést készítenek, ahelyett, hogy az eredeti feladattól közvetlenül egy olyan konstrukció felé haladnának, mint a log a f (x) = b, sokkal kevesebb hibát követnek el, mint azok, akik rohannak valahova, kihagyva a számítások közbenső lépéseit;
- Amint megjelenik egy változó bázis egy logaritmusban, a probléma megszűnik a legegyszerűbbnek lenni. Ezért a megoldásnál figyelembe kell venni a definíciós tartományt: az argumentumok nullánál nagyobbak, és az alapok nem csak 0-nál nagyobbak, hanem 1-gyel sem lehetnek egyenlők.
A végső követelmények többféleképpen alkalmazhatók a végső válaszokra. Például megoldhat egy teljes rendszert, amely tartalmazza a definíciós tartomány összes követelményét. Másrészt először magát a problémát oldhatja meg, majd emlékezhet a definíciós tartományra, külön-külön kidolgozhatja egy rendszer formájában, és alkalmazhatja a kapott gyökerekre.
Ön dönti el, hogy egy adott logaritmikus egyenlet megoldásához melyik módszert választja. Mindenesetre a válasz ugyanaz lesz.
Betöltés...