Gradul și proprietățile sale. Ghid cuprinzător (2019)

De ce sunt necesare diplome? Unde vei avea nevoie de ele? De ce ar trebui să-ți faci timp să le studiezi?

Pentru a afla totul despre diplome, pentru ce sunt acestea, cum să vă folosiți cunoștințele Viata de zi cu zi citeste acest articol.

Și, desigur, cunoașterea diplomelor vă va aduce mai aproape de succes trecând de OGE sau examenul de stat unificat și admiterea la universitatea visurilor tale.

Sa mergem sa mergem!)

Notă importantă! Dacă vedeți gobbledygook în loc de formule, ștergeți memoria cache. Pentru a face acest lucru, apăsați CTRL+F5 (pe Windows) sau Cmd+R (pe Mac).

PRIMUL NIVEL

Exponentiația este o operație matematică la fel ca adunarea, scăderea, înmulțirea sau împărțirea.

Acum voi explica totul limbajul uman cu exemple foarte simple. Atenție. Exemplele sunt elementare, dar explică lucruri importante.

Să începem cu adăugarea.

Nu este nimic de explicat aici. Știți deja totul: suntem opt. Toată lumea are două sticle de cola. Câtă cola este? Așa este - 16 sticle.

Acum înmulțirea.

Același exemplu cu cola poate fi scris diferit: . Matematicienii sunt oameni vicleni și leneși. Ei observă mai întâi unele modele, apoi găsesc o modalitate de a le „număra” mai repede. În cazul nostru, au observat că fiecare dintre cele opt persoane avea același număr de sticle de cola și au venit cu o tehnică numită înmulțire. De acord, este considerat mai ușor și mai rapid decât.

Deci, pentru a număra mai repede, mai ușor și fără erori, trebuie doar să vă amintiți masa înmulțirii. Desigur, poți face totul mai încet, mai greu și cu greșeli! Dar…

Iată tabla înmulțirii. Repeta.

Și încă unul, mai frumos:

Cu ce alte trucuri inteligente de numărare au venit matematicienii leneși? Dreapta - ridicarea unui număr la o putere.

Ridicarea unui număr la o putere

Dacă trebuie să înmulțiți un număr cu el însuși de cinci ori, atunci matematicienii spun că trebuie să ridicați acel număr la puterea a cincea. De exemplu, . Matematicienii își amintesc că puterea doi la a cincea este... Și rezolvă astfel de probleme în capul lor - mai rapid, mai ușor și fără greșeli.

Tot ce trebuie să faci este amintiți-vă ce este evidențiat cu culoare în tabelul puterilor numerelor. Crede-mă, asta îți va face viața mult mai ușoară.

Apropo, de ce se numește gradul doi? pătrat numere, iar al treilea - cub? Ce înseamnă? Foarte buna intrebare. Acum veți avea atât pătrate, cât și cuburi.

Exemplul #1 din viața reală

Să începem cu pătratul sau cu a doua putere a numărului.

Imaginați-vă o piscină pătrată care măsoară un metru pe un metru. Piscina este la casa ta. E cald și îmi doresc foarte mult să înot. Dar... piscina nu are fund! Trebuie să acoperiți fundul piscinei cu gresie. De câte plăci ai nevoie? Pentru a determina acest lucru, trebuie să cunoașteți zona de jos a piscinei.

Puteți calcula pur și simplu arătând cu degetul că fundul piscinei este format din cuburi metru cu metru. Dacă aveți plăci de un metru cu un metru, veți avea nevoie de bucăți. E ușor... Dar unde ai văzut astfel de plăci? Placa va fi cel mai probabil cm cu cm. Și apoi vei fi torturat „numărând cu degetul”. Atunci trebuie să te înmulți. Așadar, pe o parte a fundului piscinei vom potrivi plăci (bucăți) și pe cealaltă, de asemenea, gresie. Înmulțiți cu și obțineți plăci ().

Ați observat că pentru a determina suprafața fundului piscinei am înmulțit același număr de la sine? Ce înseamnă? Deoarece înmulțim același număr, putem folosi tehnica „exponențiării”. (Desigur, atunci când ai doar două numere, mai trebuie să le înmulți sau să le ridici la o putere. Dar dacă ai multe dintre ele, atunci ridicarea lor la o putere este mult mai ușoară și există și mai puține erori în calcule Pentru examenul de stat unificat, acest lucru este foarte important).
Deci, treizeci la a doua putere va fi (). Sau putem spune că treizeci de pătrați vor fi. Cu alte cuvinte, a doua putere a unui număr poate fi întotdeauna reprezentată ca un pătrat. Și invers, dacă vezi un pătrat, acesta este ÎNTOTDEAUNA a doua putere a unui număr. Un pătrat este o imagine a celei de-a doua puteri a unui număr.

Exemplul #2 din viața reală

Iată o sarcină pentru tine: numără câte pătrate sunt pe tabla de șah folosind pătratul numărului... Pe o parte a celulelor și pe cealaltă. Pentru a calcula numărul lor, trebuie să înmulțiți opt cu opt sau... dacă observați că o tablă de șah este un pătrat cu o latură, atunci puteți pătra opt. Vei primi celule. () Asa de?

Exemplul #3 din viața reală

Acum, cubul sau a treia putere a unui număr. Aceeași piscină. Dar acum trebuie să aflați câtă apă va trebui turnată în această piscină. Trebuie să calculați volumul. (Volumele și lichidele, apropo, sunt măsurate în metri cubi. Neașteptat, nu?) Desenați o piscină: un fund care măsoară un metru și o adâncime de un metru și încercați să numărați câte cuburi care măsoară un metru pe un metru vor încăpea în piscina dvs.

Doar arată cu degetul și numără! Unu, doi, trei, patru... douăzeci și doi, douăzeci și trei... Câți ai primit? Nu ai pierdut? E greu să numeri cu degetul? Astfel încât! Luați un exemplu de la matematicieni. Sunt leneși, așa că au observat că, pentru a calcula volumul piscinei, trebuie să-i înmulțiți lungimea, lățimea și înălțimea între ele. În cazul nostru, volumul bazinului va fi egal cu cuburi... Mai ușor, nu?

Acum imaginați-vă cât de leneși și vicleni sunt matematicienii dacă ar simplifica și asta. Am redus totul la o singură acțiune. Au observat că lungimea, lățimea și înălțimea sunt egale și că același număr se înmulțește cu el însuși... Ce înseamnă asta? Asta înseamnă că poți profita de grad. Deci, ceea ce ați numărat cândva cu degetul, ei fac într-o singură acțiune: trei cuburi sunt egali. Este scris astfel: .

Tot ce rămâne este amintiți-vă tabelul gradelor. Dacă, desigur, nu ești la fel de leneș și viclean ca matematicienii. Dacă îți place să muncești din greu și să faci greșeli, poți continua să numeri cu degetul.

Ei bine, pentru a te convinge în sfârșit că diplomele au fost inventate de cei care au renunțat și de oameni vicleni pentru a-și rezolva problemele vieții și nu pentru a-ți crea probleme, iată încă câteva exemple din viață.

Exemplul #4 din viața reală

Ai un milion de ruble. La începutul fiecărui an, pentru fiecare milion pe care îl câștigi, faci încă un milion. Adică fiecare milion pe care îl ai se dublează la începutul fiecărui an. Câți bani vei avea peste ani? Dacă stai acum și „numărați cu degetul”, atunci ești o persoană foarte muncitoare și... proastă. Dar cel mai probabil vei da un răspuns în câteva secunde, pentru că ești inteligent! Deci, în primul an - doi înmulțiți cu doi... în al doilea an - ce s-a întâmplat, cu încă doi, în al treilea an... Stop! Ai observat că numărul se înmulțește de ori cu el însuși. Deci doi la a cincea putere este un milion! Acum imaginați-vă că aveți o competiție și cel care poate număra cel mai repede va primi aceste milioane... Merită să vă amintiți puterile numerelor, nu crezi?

Exemplul #5 din viața reală

Ai un milion. La începutul fiecărui an, pentru fiecare milion pe care îl câștigi, mai câștigi două. Grozav nu? Fiecare milion este triplat. Câți bani vei avea într-un an? Hai să numărăm. Primul an - înmulțiți cu, apoi rezultatul cu altul... Este deja plictisitor, pentru că ați înțeles deja totul: trei se înmulțesc de ori. Deci la a patra putere este egal cu un milion. Trebuie doar să vă amintiți că trei până la a patra putere este sau.

Acum știi că, ridicând un număr la o putere, îți vei face viața mult mai ușoară. Să aruncăm o privire în continuare la ceea ce poți face cu diplome și ce trebuie să știi despre ele.

Termeni și concepte... ca să nu se încurce

Deci, mai întâi, să definim conceptele. Ce crezi, ce este un exponent? Este foarte simplu - este numărul care se află „în partea de sus” a puterii numărului. Nu științific, dar clar și ușor de reținut...

Ei bine, în același timp, ce o astfel de bază de grad? Și mai simplu - acesta este numărul care se află mai jos, la bază.

Iată un desen pentru o măsură bună.

Păi înăuntru vedere generala, pentru a generaliza și a reține mai bine... Un grad cu o bază „ ” și un exponent „ ” se citește „la grad” și se scrie astfel:

Puterea unui număr cu exponent natural

Probabil ai ghicit deja: pentru că exponentul este numar natural. Da, dar ce este numar natural? Elementar! Numerele naturale sunt acele numere care sunt folosite la numărare la enumerarea obiectelor: unu, doi, trei... Când numărăm obiecte, nu spunem: „minus cinci”, „minus șase”, „minus șapte”. De asemenea, nu spunem: „o treime” sau „zero virgulă cinci”. Acestea nu sunt numere naturale. Ce numere crezi că sunt acestea?

Se referă numere precum „minus cinci”, „minus șase”, „minus șapte”. numere întregi.În general, numerele întregi includ toate numerele naturale, numerele opuse numerelor naturale (adică luate cu semnul minus) și numărul. Zero este ușor de înțeles - este atunci când nu există nimic. Ce înseamnă numerele negative („minus”)? Dar au fost inventate în primul rând pentru a indica datorii: dacă aveți un sold pe telefon în ruble, aceasta înseamnă că datorați ruble operatorului.

Toate fracțiile sunt numere raționale. Cum au apărut, crezi? Foarte simplu. Cu câteva mii de ani în urmă, strămoșii noștri au descoperit că le lipsesc numerele naturale pentru a măsura lungimea, greutatea, suprafața etc. Și au venit cu numere rationale... Interesant, nu-i așa?

Mai sunt ceva numere irationale. Care sunt aceste numere? Pe scurt, nesfârșit zecimal. De exemplu, dacă împărțiți circumferința unui cerc la diametrul acestuia, obțineți un număr irațional.

Rezumat:

Să definim conceptul de grad al cărui exponent este un număr natural (adică, întreg și pozitiv).

Orice număr la prima putere este egal cu el însuși:
A pătra un număr înseamnă a-l înmulți cu el însuși:
A cubi un număr înseamnă a-l înmulți cu el însuși de trei ori:

Definiție. A ridica un număr la o putere naturală înseamnă a înmulți numărul cu el însuși de ori:
.

Proprietățile grade

De unde au venit aceste proprietăți? Îți voi arăta acum.

Să vedem: ce este Și ?

Prioritate A:

Câți multiplicatori există în total?

Este foarte simplu: am adăugat multiplicatori la factori, iar rezultatul sunt multiplicatori.

Dar, prin definiție, aceasta este o putere a unui număr cu un exponent, adică: , care este ceea ce trebuia demonstrat.

Exemplu: Simplificați expresia.

Soluţie:

Exemplu: Simplificați expresia.

Soluţie: Este important de reținut că în regula noastră Neapărat trebuie sa fie aceleasi motive!
Prin urmare, combinăm puterile cu baza, dar rămâne un factor separat:

numai pentru produsul puterilor!

Sub nicio formă nu poți scrie asta.

2. asta e puterea a unui număr

La fel ca în cazul proprietății anterioare, să ne întoarcem la definiția gradului:

Se dovedește că expresia este înmulțită cu ea însăși ori, adică, conform definiției, aceasta este puterea a treia a numărului:

În esență, aceasta poate fi numită „scoaterea indicatorului din paranteze”. Dar nu poți face niciodată asta în total:

Să ne amintim de formulele de înmulțire prescurtate: de câte ori am vrut să scriem?

Dar acest lucru nu este adevărat, până la urmă.

Putere cu bază negativă

Până în acest punct, am discutat doar care ar trebui să fie exponentul.

Dar care ar trebui să fie baza?

În puteri de indicator natural baza poate fi orice număr. Într-adevăr, putem înmulți orice numere unul cu celălalt, fie ele pozitive, negative sau chiar.

Să ne gândim ce semne ("" sau "") vor avea puteri ale numerelor pozitive și negative?

De exemplu, numărul este pozitiv sau negativ? A? ? Cu primul, totul este clar: indiferent câte numere pozitive am înmulți unul cu celălalt, rezultatul va fi pozitiv.

Dar cele negative sunt puțin mai interesante. Ne amintim de regula simplă din clasa a VI-a: „minus pentru minus dă un plus”. Adică sau. Dar dacă înmulțim cu, funcționează.

Determinați singur ce semn vor avea următoarele expresii:

1)	2)	3)
4)	5)	6)

Ai reușit?

Iată răspunsurile: În primele patru exemple, sper că totul este clar? Pur și simplu ne uităm la bază și exponent și aplicăm regula corespunzătoare.

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

Ei bine, cu excepția cazului în care baza este zero. Baza nu este egală, nu-i așa? Evident că nu, din moment ce (pentru că).

Exemplul 6) nu mai este atât de simplu!

6 exemple de exersat

Analiza soluției 6 exemple

Dacă ignorăm a opta putere, ce vedem aici? Să ne amintim de programul de clasa a VII-a. Deci, îți amintești? Aceasta este formula de înmulțire prescurtată și anume diferența de pătrate! Primim:

Să ne uităm cu atenție la numitor. Seamănă foarte mult cu unul dintre factorii numărători, dar ce este în neregulă? Ordinea termenilor este greșită. Dacă ar fi inversate, regula s-ar putea aplica.

Dar cum să faci asta? Se dovedește că este foarte ușor: gradul par al numitorului ne ajută aici.

În mod magic, termenii și-au schimbat locurile. Acest „fenomen” se aplică oricărei expresii într-un grad egal: putem schimba cu ușurință semnele din paranteze.

Dar este important de reținut: toate semnele se schimbă în același timp!

Să revenim la exemplu:

Și din nou formula:

Întreg numim numerele naturale, contrariile lor (adică luate cu semnul " ") și numărul.

număr întreg pozitiv, și nu este diferit de natural, atunci totul arată exact ca în secțiunea anterioară.

Acum să ne uităm la cazuri noi. Să începem cu un indicator egal cu.

Orice număr la puterea zero este egal cu unu:

Ca întotdeauna, să ne întrebăm: de ce este așa?

Să luăm în considerare un anumit grad cu o bază. Luați, de exemplu, și înmulțiți cu:

Deci, am înmulțit numărul cu și am obținut același lucru ca și - . Cu ce număr ar trebui să înmulțiți ca să nu se schimbe nimic? Așa e, pe. Mijloace.

Putem face același lucru cu un număr arbitrar:

Să repetăm regula:

Orice număr la puterea zero este egal cu unu.

Dar există excepții de la multe reguli. Și aici este și acolo - acesta este un număr (ca bază).

Pe de o parte, trebuie să fie egal cu orice grad - indiferent cât de mult ați înmulți zero de la sine, veți obține în continuare zero, acest lucru este clar. Dar, pe de altă parte, ca orice număr la puterea zero, trebuie să fie egal. Deci cât de mult din asta este adevărat? Matematicienii au decis să nu se implice și au refuzat să ridice zero la puterea zero. Adică, acum nu putem doar să împărțim la zero, ci și să o ridicăm la puterea zero.

Sa trecem peste. Pe lângă numerele naturale și numerele, numerele întregi includ și numere negative. Pentru a înțelege ce este un grad negativ, să facem ca data trecută: înmulțim câteva număr normal la aceeași într-un grad negativ:

De aici este ușor să exprimi ceea ce cauți:

Acum să extindem regula rezultată într-un grad arbitrar:

Deci, haideți să formulăm o regulă:

Un număr cu putere negativă este reciproca aceluiași număr cu putere pozitivă. Dar in acelasi timp Baza nu poate fi nulă:(pentru că nu poți împărți cu).

Să rezumăm:

I. Expresia nu este definită în cauză. Daca atunci.

II. Orice număr la puterea zero este egal cu unu: .

III. Un număr care nu este egal cu zero la o putere negativă este inversul aceluiași număr cu o putere pozitivă: .

Sarcini pentru soluție independentă:

Ei bine, ca de obicei, exemple pentru soluții independente:

Analiza problemelor pentru rezolvare independentă:

Știu, știu, cifrele sunt înfricoșătoare, dar la examenul de stat unificat trebuie să fii pregătit pentru orice! Rezolvă aceste exemple sau analizează-le soluțiile dacă nu le-ai putut rezolva și vei învăța să le faci față cu ușurință la examen!

Să continuăm să extindem gama de numere „adecvate” ca exponent.

Acum să luăm în considerare numere rationale. Ce numere se numesc raționale?

Răspuns: tot ceea ce poate fi reprezentat ca o fracție, unde și sunt numere întregi și.

Pentru a înțelege ce este "grad fractionar", luați în considerare fracția:

Să ridicăm ambele părți ale ecuației la o putere:

Acum să ne amintim regula despre "grad la grad":

Ce număr trebuie ridicat la o putere pentru a obține?

Această formulare este definiția rădăcinii gradului al treilea.

Permiteți-mi să vă reamintesc: rădăcina puterii-a a unui număr () este un număr care, atunci când este ridicat la o putere, este egal cu.

Adică rădăcina puterii-a este operația inversă de ridicare la o putere: .

Se pare că. Evident asta caz special poate fi extins: .

Acum adăugăm numărătorul: ce este? Răspunsul este ușor de obținut folosind regula putere-la-putere:

Dar baza poate fi orice număr? La urma urmei, rădăcina nu poate fi extrasă din toate numerele.

Nici unul!

Să ne amintim regula: orice număr ridicat la o putere pară este un număr pozitiv. Adică, este imposibil să extragi chiar și rădăcini din numere negative!

Aceasta înseamnă că astfel de numere nu pot fi ridicate la o putere fracțională cu un numitor par, adică expresia nu are sens.

Dar expresia?

Dar aici apare o problemă.

Numărul poate fi reprezentat sub forma altor fracții reductibile, de exemplu, sau.

Și se dovedește că există, dar nu există, dar acestea sunt doar două înregistrări diferite ale aceluiași număr.

Sau un alt exemplu: o dată, atunci îl poți nota. Dar dacă notăm indicatorul diferit, vom avea din nou probleme: (adică am obținut un rezultat complet diferit!).

Pentru a evita astfel de paradoxuri, luăm în considerare numai exponent de bază pozitiv cu exponent fracționar.

Astfel, dacă:

- numar natural;
- întreg;

Exemple:

Exponenții raționali sunt foarte utili pentru transformarea expresiilor cu rădăcini, de exemplu:

5 exemple de exersat

Analiza a 5 exemple pentru antrenament

Ei bine, acum vine partea cea mai grea. Acum ne vom da seama grad cu exponent irațional.

Toate regulile și proprietățile gradelor de aici sunt exact aceleași ca pentru un grad cu un exponent rațional, cu excepția

La urma urmei, prin definiție, numerele iraționale sunt numere care nu pot fi reprezentate ca o fracție, unde și sunt numere întregi (adică numerele iraționale sunt toate numere reale, cu excepția celor raționale).

Când studiem grade cu exponenți naturali, întregi și raționali, de fiecare dată am creat o anumită „imagine”, „analogie” sau descriere în termeni mai familiari.

De exemplu, un grad cu un exponent natural este un număr înmulțit cu el însuși de mai multe ori;

...număr la puterea zero- acesta este, așa cum ar fi, un număr înmulțit cu el însuși o dată, adică nu au început încă să-l înmulțească, ceea ce înseamnă că numărul în sine nici măcar nu a apărut încă - prin urmare, rezultatul este doar un anumit „număr gol” , și anume un număr;

...gradul întreg negativ- este ca și cum ar fi avut loc un „proces invers”, adică numărul nu a fost înmulțit cu el însuși, ci împărțit.

Apropo, în știință o diplomă cu indicator complex, adică indicatorul nu este nici măcar un număr real.

Dar la școală nu ne gândim la astfel de dificultăți; vei avea ocazia să înțelegi aceste noi concepte la institut.

UNDE SUNTEM SIGURANȚI VOI MERGI! (daca inveti sa rezolvi astfel de exemple :))

De exemplu:

Decideți singuri:

Analiza solutiilor:

1. Să începem cu regula obișnuită pentru ridicarea unei puteri la o putere:

Acum uită-te la indicator. Nu-ți aduce aminte de nimic? Să ne amintim formula pentru înmulțirea prescurtată a diferenței de pătrate:

ÎN în acest caz,,

Se pare că:

Răspuns: .

2. Reducem fracțiile în exponenți la aceeași formă: fie ambele zecimale, fie ambele obișnuite. Primim, de exemplu:

Raspuns: 16

3. Nimic special, folosim proprietățile obișnuite ale gradelor:

NIVEL AVANSAT

Determinarea gradului

Un grad este o expresie de forma: , unde:

— baza gradului;
- exponent.

Gradul cu indicator natural (n = 1, 2, 3,...)

Ridicarea unui număr la puterea naturală n înseamnă înmulțirea numărului cu el însuși de ori:

Gradul cu un exponent întreg (0, ±1, ±2,...)

Dacă exponentul este număr întreg pozitiv număr:

Constructie la gradul zero:

Expresia este nedefinită, deoarece, pe de o parte, în orice grad este aceasta, iar pe de altă parte, orice număr până la gradul al treilea este aceasta.

Dacă exponentul este întreg negativ număr:

(pentru că nu poți împărți cu).

Încă o dată despre zerouri: expresia nu este definită în caz. Daca atunci.

Exemple:

Putere cu exponent rațional

- numar natural;
- întreg;

Exemple:

Proprietățile grade

Pentru a facilita rezolvarea problemelor, să încercăm să înțelegem: de unde provin aceste proprietăți? Să le dovedim.

Să vedem: ce este și?

Prioritate A:

Deci, în partea dreaptă a acestei expresii obținem următorul produs:

Dar, prin definiție, este o putere a unui număr cu exponent, adică:

Q.E.D.

Exemplu : Simplificați expresia.

Soluţie : .

Exemplu : Simplificați expresia.

Soluţie : Este important de reținut că în regula noastră Neapărat trebuie să existe aceleași motive. Prin urmare, combinăm puterile cu baza, dar rămâne un factor separat:

O altă notă importantă: această regulă - numai pentru produs de puteri!

Sub nicio formă nu poți scrie asta.

La fel ca în cazul proprietății anterioare, să ne întoarcem la definiția gradului:

Să regrupăm această lucrare astfel:

Se dovedește că expresia este înmulțită cu ea însăși ori, adică, conform definiției, aceasta este puterea a treia a numărului:

În esență, aceasta poate fi numită „scoaterea indicatorului din paranteze”. Dar nu poți face niciodată asta în total: !

Să ne amintim de formulele de înmulțire prescurtate: de câte ori am vrut să scriem? Dar acest lucru nu este adevărat, până la urmă.

Putere cu o bază negativă.

Până acum am discutat doar cum ar trebui să fie index grade. Dar care ar trebui să fie baza? În puteri de natural indicator baza poate fi orice număr .

Într-adevăr, putem înmulți orice numere unul cu celălalt, fie ele pozitive, negative sau chiar. Să ne gândim ce semne ("" sau "") vor avea puteri ale numerelor pozitive și negative?

De exemplu, numărul este pozitiv sau negativ? A? ?

Cu primul, totul este clar: indiferent câte numere pozitive am înmulți unul cu celălalt, rezultatul va fi pozitiv.

Dar cele negative sunt puțin mai interesante. Ne amintim de regula simplă din clasa a VI-a: „minus pentru minus dă un plus”. Adică sau. Dar dacă înmulțim cu (), obținem - .

Și așa mai departe la infinit: cu fiecare înmulțire ulterioară semnul se va schimba. Putem formula următoarele reguli simple:

chiar grad, - număr pozitiv.
Număr negativ crescut la ciudat grad, - număr negativ.
Un număr pozitiv în orice grad este un număr pozitiv.
Zero la orice putere este egal cu zero.

Determinați singur ce semn vor avea următoarele expresii:

1.	2.	3.
4.	5.	6.

Ai reușit? Iată răspunsurile:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

În primele patru exemple, sper că totul este clar? Pur și simplu ne uităm la bază și exponent și aplicăm regula corespunzătoare.

În exemplul 5), totul nu este atât de înfricoșător pe cât pare: la urma urmei, nu contează cu ce este egală baza - gradul este egal, ceea ce înseamnă că rezultatul va fi întotdeauna pozitiv. Ei bine, cu excepția cazului în care baza este zero. Baza nu este egală, nu-i așa? Evident că nu, din moment ce (pentru că).

Exemplul 6) nu mai este atât de simplu. Aici trebuie să aflați care este mai puțin: sau? Dacă ne amintim asta, devine clar că și, prin urmare, baza mai putin de zero. Adică aplicăm regula 2: rezultatul va fi negativ.

Și din nou folosim definiția gradului:

Totul este ca de obicei - notăm definiția gradelor și le împărțim unul la altul, le împărțim în perechi și obținem:

Înainte să ne uităm la ultima regulă, să rezolvăm câteva exemple.

Calculați expresiile:

Soluții :

Dacă ignorăm a opta putere, ce vedem aici? Să ne amintim de programul de clasa a VII-a. Deci, îți amintești? Aceasta este formula de înmulțire prescurtată și anume diferența de pătrate!

Primim:

Să ne uităm cu atenție la numitor. Seamănă foarte mult cu unul dintre factorii numărători, dar ce este în neregulă? Ordinea termenilor este greșită. Dacă ar fi inversate, s-ar putea aplica regula 3. Dar cum? Se dovedește că este foarte ușor: gradul par al numitorului ne ajută aici.

Dacă o înmulți cu, nu se schimbă nimic, nu? Dar acum se dovedește așa:

În mod magic, termenii și-au schimbat locurile. Acest „fenomen” se aplică oricărei expresii într-un grad egal: putem schimba cu ușurință semnele din paranteze. Dar este important de reținut: Toate semnele se schimbă în același timp! Nu îl puteți înlocui cu un singur dezavantaj care nu ne place!

Să revenim la exemplu:

Și din nou formula:

Deci acum ultima regulă:

Cum vom demonstra? Desigur, ca de obicei: să extindem conceptul de diplomă și să-l simplificăm:

Ei bine, acum să deschidem parantezele. Câte litere sunt în total? ori prin multiplicatori - de ce vă amintește asta? Aceasta nu este altceva decât o definiție a unei operațiuni multiplicare: Erau doar multiplicatori acolo. Adică, aceasta, prin definiție, este o putere a unui număr cu un exponent:

Exemplu:

Gradul cu exponent irațional

Pe lângă informații despre grade pentru nivelul mediu, vom analiza gradul cu un exponent irațional. Toate regulile și proprietățile gradelor de aici sunt exact aceleași ca pentru un grad cu exponent rațional, cu excepția - la urma urmei, prin definiție, numerele iraționale sunt numere care nu pot fi reprezentate ca o fracție, unde și sunt numere întregi (adică , numerele iraționale sunt toate numere reale, cu excepția numerelor raționale).

Când studiem grade cu exponenți naturali, întregi și raționali, de fiecare dată am creat o anumită „imagine”, „analogie” sau descriere în termeni mai familiari. De exemplu, un grad cu un exponent natural este un număr înmulțit cu el însuși de mai multe ori; un număr la puterea zero este, așa cum ar fi, un număr înmulțit cu el însuși o dată, adică nu au început încă să-l înmulțească, ceea ce înseamnă că numărul în sine nici măcar nu a apărut încă - prin urmare rezultatul este doar un anumit „număr necompletat”, și anume un număr; un grad cu un exponent negativ întreg - este ca și cum ar fi avut loc un „proces invers”, adică numărul nu a fost înmulțit cu el însuși, ci împărțit.

Este extrem de dificil să-ți imaginezi un grad cu un exponent irațional (la fel cum este dificil să-ți imaginezi un spațiu cu 4 dimensiuni). Este mai degrabă un obiect pur matematic pe care matematicienii l-au creat pentru a extinde conceptul de grad la întregul spațiu al numerelor.

Apropo, în știință se folosește adesea o diplomă cu un exponent complex, adică exponentul nu este nici măcar un număr real. Dar la școală nu ne gândim la astfel de dificultăți; vei avea ocazia să înțelegi aceste noi concepte la institut.

Deci, ce facem dacă vedem un exponent irațional? Facem tot posibilul să scăpăm de ea! :)

De exemplu:

Decideți singuri:

Raspunsuri:

Să ne amintim formula diferenței pătratelor. Răspuns: .
Reducem fracțiile la aceeași formă: fie ambele zecimale, fie ambele obișnuite. Obținem, de exemplu: .
Nimic special, folosim proprietățile obișnuite ale gradelor:

REZUMATUL SECȚIUNII ȘI FORMULELE DE BAZĂ

grad numită expresie de forma: , unde:

Gradul cu un exponent întreg

un grad al cărui exponent este un număr natural (adică, întreg și pozitiv).

Putere cu exponent rațional

grad, al cărui exponent este numerele negative și fracționale.

Gradul cu exponent irațional

un grad al cărui exponent este o fracție zecimală infinită sau rădăcină.

Proprietățile grade

Caracteristicile diplomelor.

Număr negativ crescut la chiar grad, - număr pozitiv.
Număr negativ crescut la ciudat grad, - număr negativ.
Un număr pozitiv în orice grad este un număr pozitiv.
Zero este egal cu orice putere.
Orice număr până la puterea zero este egal.

ACUM AI CUVÂNTUL...

Cum îți place articolul? Scrie mai jos în comentarii dacă ți-a plăcut sau nu.

Povestește-ne despre experiența ta de utilizare a proprietăților de grad.

Poate ai intrebari. Sau sugestii.

Scrieți în comentarii.

Și mult succes la examene!

De la școală știm cu toții regula despre exponențiere: orice număr cu exponentul N este egal cu rezultatul înmulțirii număr dat la tine de N de ori. Cu alte cuvinte, 7 la puterea lui 3 este 7 înmulțit cu el însuși de trei ori, adică 343. O altă regulă este că ridicarea oricărei mărimi la puterea lui 0 dă unul, iar creșterea unei mărimi negative este rezultatul creșterii obișnuite la puterea dacă este pară și același rezultat cu semnul minus dacă este impar.

Regulile oferă, de asemenea, răspunsul la modul de a ridica un număr la o putere negativă. Pentru a face acest lucru, trebuie să creșteți valoarea necesară cu modulul indicatorului în mod obișnuit și apoi să împărțiți unitatea la rezultat.

Din aceste reguli devine clar că implementarea probleme reale manipularea unor cantități mari va necesita disponibilitate mijloace tehnice. Manual, puteți înmulți singur un interval maxim de numere de până la douăzeci până la treizeci și apoi de cel mult trei sau patru ori. Nu mai vorbim de împărțirea uneia la rezultat. Prin urmare, pentru cei care nu au la îndemână un calculator special de inginerie, vă vom spune cum să ridicați un număr la o putere negativă în Excel.

Rezolvarea problemelor in Excel

Pentru a rezolva problemele care implică exponențierea, Excel vă permite să utilizați una dintre cele două opțiuni.

Prima este utilizarea unei formule cu un semn standard „capac”. Introduceți următoarele date în celulele foii de lucru:

În același mod, puteți crește valoarea dorită la orice putere - negativă, fracțională. Hai să o facem următoarele acțiuniși răspunde la întrebarea cum să ridici un număr la o putere negativă. Exemplu:

Puteți corecta =B2^-C2 direct în formulă.

A doua opțiune este să utilizați funcția gata „Grad”, care necesită două argumente necesare - un număr și un exponent. Pentru a începe să-l utilizați, puneți semnul egal (=) în orice celulă liberă, indicând începutul formulei și introduceți cuvintele de mai sus. Tot ce rămâne este să selectați două celule care vor participa la operațiune (sau să specificați manual anumite numere) și să apăsați tasta Enter. Să ne uităm la câteva exemple simple.

Formulă

Rezultat

GRAD(B2;C2)

GRAD(B3;C3)

0,002915

După cum puteți vedea, nu este nimic complicat despre cum să ridicați un număr la o putere negativă și la o putere obișnuită folosind Excel. La urma urmei, pentru a rezolva această problemă, puteți utiliza atât simbolul familiar „capac”, cât și funcția încorporată a programului, care este ușor de reținut. Acesta este un plus sigur!

Să trecem la mai multe exemple complexe. Să ne amintim de regula despre cum să ridicăm un număr la o putere fracțională negativă și vom vedea că această problemă se rezolvă foarte ușor în Excel.

Indicatori fracționali

Pe scurt, algoritmul pentru calcularea unui număr cu un exponent fracționar este următorul.

Transformați o fracție într-o fracție proprie sau improprie.
Ridicați numărul nostru la numărătorul fracției convertite rezultată.
Din numărul obținut în paragraful anterior se calculează rădăcina, cu condiția ca exponentul rădăcinii să fie numitorul fracției obținute la prima etapă.

De acord că chiar și atunci când operează cu numere mici și fracții corecte Astfel de calcule pot dura mult timp. Este bine că procesorului de foi de calcul Excel nu îi pasă ce număr este ridicat la ce putere. Încercați să rezolvați următorul exemplu pe o foaie de lucru Excel:

Folosind regulile de mai sus, puteți verifica și vă asigurați că calculul a fost făcut corect.

La sfârșitul articolului nostru, vom prezenta sub forma unui tabel cu formule și rezultate câteva exemple de ridicare a unui număr la o putere negativă, precum și câteva exemple de operare cu numere și puteri fracționale.

Exemplu de tabel

Consultați următoarele exemple în foaia de lucru Excel. Pentru ca totul să funcționeze corect, trebuie să utilizați o referință mixtă atunci când copiați formula. Fixați numărul coloanei care conține numărul ridicat și numărul rândului care conține indicatorul. Formula ta ar trebui să aibă aproximativ următoarea vedere: "=$B4^C$3".

Număr/Grad

Vă rugăm să rețineți că numerele pozitive (chiar și non-întregi) pot fi calculate fără probleme pentru orice exponent. Nu există probleme cu ridicarea oricăror numere la numere întregi. Dar construcția număr negativ la o putere fracționară se va transforma într-o eroare pentru dvs., deoarece este imposibil să urmați regula indicată la începutul articolului nostru despre creșterea numerelor negative, deoarece paritatea este o caracteristică exclusiv a unui număr INTEGRU.

Continuând conversația despre puterea unui număr, este logic să ne dăm seama cum să găsiți valoarea puterii. Acest proces se numește exponentiare. În acest articol vom studia modul în care se realizează exponențiarea și vom atinge totul indicatori posibili grade - naturale, întregi, raționale și iraționale. Și conform tradiției, vom analiza în detaliu soluții la exemple de ridicare a numerelor la diferite puteri.

Navigare în pagină.

Ce înseamnă „exponentiare”?

Să începem prin a explica ceea ce se numește exponențiere. Iată definiția relevantă.

Definiție.

Exponentiație- aceasta este găsirea valorii puterii unui număr.

Astfel, găsirea valorii puterii unui număr a cu exponentul r și ridicarea numărului a la puterea r sunt același lucru. De exemplu, dacă sarcina este „calculați valoarea puterii (0,5) 5”, atunci poate fi reformulată după cum urmează: „Ridicați numărul 0,5 la puterea 5”.

Acum puteți merge direct la regulile prin care se realizează exponentiarea.

Ridicarea unui număr la o putere naturală

În practică, egalitatea bazată pe se aplică de obicei sub forma . Adică, când se ridică un număr a la o putere fracțională m/n, mai întâi se ia rădăcina a n-a a numărului a, după care rezultatul rezultat este ridicat la o putere întreagă m.

Să ne uităm la soluții la exemple de ridicare la o putere fracțională.

Exemplu.

Calculați valoarea gradului.

Soluţie.

Vom arăta două soluții.

Prima cale. Prin definiția unui grad cu exponent fracționar. Calculăm valoarea gradului de sub semnul rădăcinii și apoi extragem rădăcina cubă: .

A doua cale. Prin definiția unui grad cu exponent fracționar și pe baza proprietăților rădăcinilor, următoarele egalități sunt adevărate: . Acum extragem rădăcina , în cele din urmă, îl ridicăm la o putere întreagă .

Evident, rezultatele obținute ale ridicării la o putere fracțională coincid.

Răspuns:

Rețineți că un exponent fracționar poate fi scris ca o fracție zecimală sau un număr mixt, în aceste cazuri ar trebui înlocuit cu fracția obișnuită corespunzătoare și apoi ridicat la o putere.

Exemplu.

Calculați (44,89) 2,5.

Soluţie.

Să scriem exponentul în formă fracție comună(dacă este necesar, vezi articolul): . Acum efectuăm ridicarea la o putere fracțională:

Răspuns:

(44,89) 2,5 =13 501,25107 .

De asemenea, trebuie spus că ridicarea numerelor la puteri raționale este un proces destul de intensiv în muncă (mai ales atunci când numărătorul și numitorul exponentului fracționar conțin destul de multe numere mari), care se realizează de obicei folosind tehnologia calculatoarelor.

Pentru a încheia acest punct, să ne oprim asupra ridicării numărului zero la o putere fracțională. Puterii fracționare a zero de forma: când avem , iar la zero la puterea m/n nu este definită. Deci, zero la o putere pozitivă fracțională este zero, de exemplu, . Și zero într-o putere negativă fracțională nu are sens, de exemplu, expresiile 0 -4,3 nu au sens.

Ridicarea la o putere irațională

Uneori devine necesar să se afle valoarea puterii unui număr cu un exponent irațional. În acest caz, în scopuri practice este de obicei suficient să obțineți valoarea gradului exactă la un anumit semn. Să observăm imediat că, în practică, această valoare este calculată folosind calculatoare electronice, deoarece ridicarea ei la o putere irațională necesită manual cantitate mare calcule greoaie. Dar totuși vom descrie în schiță generală esența acțiunii.

Pentru a obține o valoare aproximativă a puterii unui număr a cu un exponent irațional, se ia o aproximare zecimală a exponentului și se calculează valoarea puterii. Această valoare este o valoare aproximativă a puterii numărului a cu un exponent irațional. Cu cât este mai precisă aproximarea zecimală a unui număr inițial, cu atât mai mult valoare exacta gradul va fi obtinut in final.

Ca exemplu, să calculăm valoarea aproximativă a puterii lui 2 1,174367... . Să luăm următoarea aproximare zecimală a exponentului irațional: . Acum ridicăm 2 la puterea rațională 1.17 (am descris esența acestui proces în paragraful anterior), obținem 2 1.17 ≈2.250116. Prin urmare, 2 1,174367... ≈2 1,17 ≈2,250116 . Dacă luăm o aproximare zecimală mai precisă a exponentului irațional, de exemplu, atunci obținem o valoare mai precisă a exponentului original: 2 1,174367... ≈2 1,1743 ≈2,256833 .

Bibliografie.

Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Manual de matematică pentru clasa a V-a. institutii de invatamant.
Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebră: manual pentru clasa a VII-a. institutii de invatamant.
Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebră: manual pentru clasa a VIII-a. institutii de invatamant.
Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebră: manual pentru clasa a IX-a. institutii de invatamant.
Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. şi altele.Algebra şi începuturile analizei: Manual pentru clasele 10 - 11 ale instituţiilor de învăţământ general.
Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematică (un manual pentru cei care intră în școlile tehnice).

Primul nivel

Gradul și proprietățile sale. Ghidul cuprinzător (2019)

De ce sunt necesare diplome? Unde vei avea nevoie de ele? De ce ar trebui să-ți faci timp să le studiezi?

Pentru a afla totul despre diplome, pentru ce sunt necesare și cum să vă folosiți cunoștințele în viața de zi cu zi, citiți acest articol.

Și, desigur, cunoașterea diplomelor vă va aduce mai aproape de promovarea cu succes a examenului de stat unificat sau a examenului de stat unificat și de a intra în universitatea visurilor tale.

Sa mergem sa mergem!)

Notă importantă! Dacă vedeți gobbledygook în loc de formule, ștergeți memoria cache. Pentru a face acest lucru, apăsați CTRL+F5 (pe Windows) sau Cmd+R (pe Mac).

PRIMUL NIVEL

Exponentiația este o operație matematică la fel ca adunarea, scăderea, înmulțirea sau împărțirea.

Acum voi explica totul în limbaj uman folosind exemple foarte simple. Atenție. Exemplele sunt elementare, dar explică lucruri importante.

Să începem cu adăugarea.

Nu este nimic de explicat aici. Știți deja totul: suntem opt. Toată lumea are două sticle de cola. Câtă cola este? Așa este - 16 sticle.

Acum înmulțirea.

Deci, pentru a număra mai repede, mai ușor și fără erori, trebuie doar să vă amintiți masa înmulțirii. Desigur, poți face totul mai încet, mai greu și cu greșeli! Dar…

Iată tabla înmulțirii. Repeta.

Și încă unul, mai frumos:

Cu ce alte trucuri inteligente de numărare au venit matematicienii leneși? Dreapta - ridicarea unui număr la o putere.

Ridicarea unui număr la o putere

Tot ce trebuie să faci este amintiți-vă ce este evidențiat cu culoare în tabelul puterilor numerelor. Crede-mă, asta îți va face viața mult mai ușoară.

Apropo, de ce se numește gradul doi? pătrat numere, iar al treilea - cub? Ce înseamnă? Foarte buna intrebarea. Acum veți avea atât pătrate, cât și cuburi.

Exemplul #1 din viața reală

Să începem cu pătratul sau cu a doua putere a numărului.

Exemplul #2 din viața reală

Exemplul #3 din viața reală

Acum, cubul sau a treia putere a unui număr. Aceeași piscină. Dar acum trebuie să aflați câtă apă va trebui turnată în această piscină. Trebuie să calculați volumul. (Volumele și lichidele, apropo, se măsoară în metri cubi. Neașteptat, nu?) Desenați o piscină: fundul are o dimensiune de un metru și un metru adâncime și încercați să numărați câte cuburi măsoară un metru pe un metru. se potrivește în piscina dvs.

Exemplul #4 din viața reală

Exemplul #5 din viața reală

Acum știi că, ridicând un număr la o putere, îți vei face viața mult mai ușoară. Să aruncăm o privire în continuare la ceea ce poți face cu diplome și ce trebuie să știi despre ele.

Termeni și concepte... ca să nu se încurce

Ei bine, în același timp, ce o astfel de bază de grad? Și mai simplu - acesta este numărul care se află mai jos, la bază.

Iată un desen pentru o măsură bună.

Ei bine, în termeni generali, pentru a generaliza și a aminti mai bine... Un grad cu o bază „ ” și un exponent „ ” se citește „la grad” și se scrie după cum urmează:

Puterea unui număr cu exponent natural

Probabil ați ghicit deja: pentru că exponentul este un număr natural. Da, dar ce este numar natural? Elementar! Numerele naturale sunt acele numere care sunt folosite la numărare la enumerarea obiectelor: unu, doi, trei... Când numărăm obiecte, nu spunem: „minus cinci”, „minus șase”, „minus șapte”. De asemenea, nu spunem: „o treime” sau „zero virgulă cinci”. Acestea nu sunt numere naturale. Ce numere crezi că sunt acestea?

Există și numere iraționale. Care sunt aceste numere? Pe scurt, este o fracție zecimală infinită. De exemplu, dacă împărțiți circumferința unui cerc la diametrul acestuia, obțineți un număr irațional.

Rezumat:

Să definim conceptul de grad al cărui exponent este un număr natural (adică, întreg și pozitiv).

Orice număr la prima putere este egal cu el însuși:
A pătra un număr înseamnă a-l înmulți cu el însuși:
A cubi un număr înseamnă a-l înmulți cu el însuși de trei ori:

Definiție. A ridica un număr la o putere naturală înseamnă a înmulți numărul cu el însuși de ori:
.

Proprietățile grade

De unde au venit aceste proprietăți? Îți voi arăta acum.

Să vedem: ce este Și ?

Prioritate A:

Câți multiplicatori există în total?

Este foarte simplu: am adăugat multiplicatori la factori, iar rezultatul sunt multiplicatori.

Dar, prin definiție, aceasta este o putere a unui număr cu un exponent, adică: , care este ceea ce trebuia demonstrat.

Exemplu: Simplificați expresia.

Soluţie:

Exemplu: Simplificați expresia.

Soluţie: Este important de reținut că în regula noastră Neapărat trebuie sa fie aceleasi motive!
Prin urmare, combinăm puterile cu baza, dar rămâne un factor separat:

numai pentru produsul puterilor!

Sub nicio formă nu poți scrie asta.

2. asta e puterea a unui număr

La fel ca în cazul proprietății anterioare, să ne întoarcem la definiția gradului:

Se dovedește că expresia este înmulțită cu ea însăși ori, adică, conform definiției, aceasta este puterea a treia a numărului:

În esență, aceasta poate fi numită „scoaterea indicatorului din paranteze”. Dar nu poți face niciodată asta în total:

Să ne amintim de formulele de înmulțire prescurtate: de câte ori am vrut să scriem?

Dar acest lucru nu este adevărat, până la urmă.

Putere cu bază negativă

Până în acest punct, am discutat doar care ar trebui să fie exponentul.

Dar care ar trebui să fie baza?

În puteri de indicator natural baza poate fi orice număr. Într-adevăr, putem înmulți orice numere unul cu celălalt, fie ele pozitive, negative sau chiar.

Să ne gândim ce semne ("" sau "") vor avea puteri ale numerelor pozitive și negative?

De exemplu, numărul este pozitiv sau negativ? A? ? Cu primul, totul este clar: indiferent câte numere pozitive am înmulți unul cu celălalt, rezultatul va fi pozitiv.

Dar cele negative sunt puțin mai interesante. Ne amintim de regula simplă din clasa a VI-a: „minus pentru minus dă un plus”. Adică sau. Dar dacă înmulțim cu, funcționează.

Determinați singur ce semn vor avea următoarele expresii:

1)	2)	3)
4)	5)	6)

Ai reușit?

Iată răspunsurile: În primele patru exemple, sper că totul este clar? Pur și simplu ne uităm la bază și exponent și aplicăm regula corespunzătoare.

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

Ei bine, cu excepția cazului în care baza este zero. Baza nu este egală, nu-i așa? Evident că nu, din moment ce (pentru că).

Exemplul 6) nu mai este atât de simplu!

6 exemple de exersat

Analiza soluției 6 exemple

Dar cum să faci asta? Se dovedește că este foarte ușor: gradul par al numitorului ne ajută aici.

În mod magic, termenii și-au schimbat locurile. Acest „fenomen” se aplică oricărei expresii într-un grad egal: putem schimba cu ușurință semnele din paranteze.

Dar este important de reținut: toate semnele se schimbă în același timp!

Să revenim la exemplu:

Și din nou formula:

Întreg numim numerele naturale, contrariile lor (adică luate cu semnul " ") și numărul.

număr întreg pozitiv, și nu este diferit de natural, atunci totul arată exact ca în secțiunea anterioară.

Acum să ne uităm la cazuri noi. Să începem cu un indicator egal cu.

Orice număr la puterea zero este egal cu unu:

Ca întotdeauna, să ne întrebăm: de ce este așa?

Să luăm în considerare un anumit grad cu o bază. Luați, de exemplu, și înmulțiți cu:

Deci, am înmulțit numărul cu și am obținut același lucru ca și - . Cu ce număr ar trebui să înmulțiți ca să nu se schimbe nimic? Așa e, pe. Mijloace.

Putem face același lucru cu un număr arbitrar:

Să repetăm regula:

Orice număr la puterea zero este egal cu unu.

Dar există excepții de la multe reguli. Și aici este și acolo - acesta este un număr (ca bază).

Sa trecem peste. Pe lângă numerele naturale și numerele, numerele întregi includ și numere negative. Pentru a înțelege ce este o putere negativă, să facem ca data trecută: înmulțim un număr normal cu același număr la o putere negativă:

De aici este ușor să exprimi ceea ce cauți:

Acum să extindem regula rezultată într-un grad arbitrar:

Deci, haideți să formulăm o regulă:

Un număr cu putere negativă este reciproca aceluiași număr cu putere pozitivă. Dar in acelasi timp Baza nu poate fi nulă:(pentru că nu poți împărți cu).

Să rezumăm:

I. Expresia nu este definită în cauză. Daca atunci.

II. Orice număr la puterea zero este egal cu unu: .

III. Un număr care nu este egal cu zero la o putere negativă este inversul aceluiași număr cu o putere pozitivă: .

Sarcini pentru soluție independentă:

Ei bine, ca de obicei, exemple pentru soluții independente:

Analiza problemelor pentru rezolvare independentă:

Să continuăm să extindem gama de numere „adecvate” ca exponent.

Acum să luăm în considerare numere rationale. Ce numere se numesc raționale?

Răspuns: tot ceea ce poate fi reprezentat ca o fracție, unde și sunt numere întregi și.

Pentru a înțelege ce este "grad fractionar", luați în considerare fracția:

Să ridicăm ambele părți ale ecuației la o putere:

Acum să ne amintim regula despre "grad la grad":

Ce număr trebuie ridicat la o putere pentru a obține?

Această formulare este definiția rădăcinii gradului al treilea.

Permiteți-mi să vă reamintesc: rădăcina puterii-a a unui număr () este un număr care, atunci când este ridicat la o putere, este egal cu.

Adică rădăcina puterii-a este operația inversă de ridicare la o putere: .

Se pare că. Evident, acest caz special poate fi extins: .

Acum adăugăm numărătorul: ce este? Răspunsul este ușor de obținut folosind regula putere-la-putere:

Dar baza poate fi orice număr? La urma urmei, rădăcina nu poate fi extrasă din toate numerele.

Nici unul!

Să ne amintim regula: orice număr ridicat la o putere pară este un număr pozitiv. Adică, este imposibil să extragi chiar și rădăcini din numere negative!

Aceasta înseamnă că astfel de numere nu pot fi ridicate la o putere fracțională cu un numitor par, adică expresia nu are sens.

Dar expresia?

Dar aici apare o problemă.

Numărul poate fi reprezentat sub forma altor fracții reductibile, de exemplu, sau.

Și se dovedește că există, dar nu există, dar acestea sunt doar două înregistrări diferite ale aceluiași număr.

Sau un alt exemplu: o dată, atunci îl poți nota. Dar dacă notăm indicatorul diferit, vom avea din nou probleme: (adică am obținut un rezultat complet diferit!).

Pentru a evita astfel de paradoxuri, luăm în considerare numai exponent de bază pozitiv cu exponent fracționar.

Astfel, dacă:

- numar natural;
- întreg;

Exemple:

Exponenții raționali sunt foarte utili pentru transformarea expresiilor cu rădăcini, de exemplu:

5 exemple de exersat

Analiza a 5 exemple pentru antrenament

Ei bine, acum vine partea cea mai grea. Acum ne vom da seama grad cu exponent irațional.

Toate regulile și proprietățile gradelor de aici sunt exact aceleași ca pentru un grad cu un exponent rațional, cu excepția

Când studiem grade cu exponenți naturali, întregi și raționali, de fiecare dată am creat o anumită „imagine”, „analogie” sau descriere în termeni mai familiari.

De exemplu, un grad cu un exponent natural este un număr înmulțit cu el însuși de mai multe ori;

...gradul întreg negativ- este ca și cum ar fi avut loc un „proces invers”, adică numărul nu a fost înmulțit cu el însuși, ci împărțit.

Apropo, în știință se folosește adesea o diplomă cu un exponent complex, adică exponentul nu este nici măcar un număr real.

Dar la școală nu ne gândim la astfel de dificultăți; vei avea ocazia să înțelegi aceste noi concepte la institut.

UNDE SUNTEM SIGURANȚI VOI MERGI! (daca inveti sa rezolvi astfel de exemple :))

De exemplu:

Decideți singuri:

Analiza solutiilor:

1. Să începem cu regula obișnuită pentru ridicarea unei puteri la o putere:

Acum uită-te la indicator. Nu-ți aduce aminte de nimic? Să ne amintim formula pentru înmulțirea prescurtată a diferenței de pătrate:

În acest caz,

Se pare că:

Răspuns: .

2. Reducem fracțiile în exponenți la aceeași formă: fie ambele zecimale, fie ambele obișnuite. Primim, de exemplu:

Raspuns: 16

3. Nimic special, folosim proprietățile obișnuite ale gradelor:

NIVEL AVANSAT

Determinarea gradului

Un grad este o expresie de forma: , unde:

— baza gradului;
- exponent.

Gradul cu indicator natural (n = 1, 2, 3,...)

Ridicarea unui număr la puterea naturală n înseamnă înmulțirea numărului cu el însuși de ori:

Gradul cu un exponent întreg (0, ±1, ±2,...)

Dacă exponentul este număr întreg pozitiv număr:

Constructie la gradul zero:

Expresia este nedefinită, deoarece, pe de o parte, în orice grad este aceasta, iar pe de altă parte, orice număr până la gradul al treilea este aceasta.

Dacă exponentul este întreg negativ număr:

(pentru că nu poți împărți cu).

Încă o dată despre zerouri: expresia nu este definită în caz. Daca atunci.

Exemple:

Putere cu exponent rațional

- numar natural;
- întreg;

Exemple:

Proprietățile grade

Pentru a facilita rezolvarea problemelor, să încercăm să înțelegem: de unde provin aceste proprietăți? Să le dovedim.

Să vedem: ce este și?

Prioritate A:

Deci, în partea dreaptă a acestei expresii obținem următorul produs:

Dar, prin definiție, este o putere a unui număr cu exponent, adică:

Q.E.D.

Exemplu : Simplificați expresia.

Soluţie : .

Exemplu : Simplificați expresia.

Soluţie : Este important de reținut că în regula noastră Neapărat trebuie să existe aceleași motive. Prin urmare, combinăm puterile cu baza, dar rămâne un factor separat:

O altă notă importantă: această regulă - numai pentru produs de puteri!

Sub nicio formă nu poți scrie asta.

La fel ca în cazul proprietății anterioare, să ne întoarcem la definiția gradului:

Să regrupăm această lucrare astfel:

Se dovedește că expresia este înmulțită cu ea însăși ori, adică, conform definiției, aceasta este puterea a treia a numărului:

În esență, aceasta poate fi numită „scoaterea indicatorului din paranteze”. Dar nu poți face niciodată asta în total: !

Să ne amintim de formulele de înmulțire prescurtate: de câte ori am vrut să scriem? Dar acest lucru nu este adevărat, până la urmă.

Putere cu o bază negativă.

Până acum am discutat doar cum ar trebui să fie index grade. Dar care ar trebui să fie baza? În puteri de natural indicator baza poate fi orice număr .

Într-adevăr, putem înmulți orice numere unul cu celălalt, fie ele pozitive, negative sau chiar. Să ne gândim ce semne ("" sau "") vor avea puteri ale numerelor pozitive și negative?

De exemplu, numărul este pozitiv sau negativ? A? ?

Cu primul, totul este clar: indiferent câte numere pozitive am înmulți unul cu celălalt, rezultatul va fi pozitiv.

Dar cele negative sunt puțin mai interesante. Ne amintim de regula simplă din clasa a VI-a: „minus pentru minus dă un plus”. Adică sau. Dar dacă înmulțim cu (), obținem - .

Și așa mai departe la infinit: cu fiecare înmulțire ulterioară semnul se va schimba. Se pot formula următoarele reguli simple:

chiar grad, - număr pozitiv.
Număr negativ crescut la ciudat grad, - număr negativ.
Un număr pozitiv în orice grad este un număr pozitiv.
Zero la orice putere este egal cu zero.

Determinați singur ce semn vor avea următoarele expresii:

1.	2.	3.
4.	5.	6.

Ai reușit? Iată răspunsurile:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

În primele patru exemple, sper că totul este clar? Pur și simplu ne uităm la bază și exponent și aplicăm regula corespunzătoare.

Exemplul 6) nu mai este atât de simplu. Aici trebuie să aflați care este mai puțin: sau? Dacă ne amintim asta, devine clar că, ceea ce înseamnă că baza este mai mică decât zero. Adică aplicăm regula 2: rezultatul va fi negativ.

Și din nou folosim definiția gradului:

Totul este ca de obicei - notăm definiția gradelor și le împărțim unul la altul, le împărțim în perechi și obținem:

Înainte să ne uităm la ultima regulă, să rezolvăm câteva exemple.

Calculați expresiile:

Soluții :

Dacă ignorăm a opta putere, ce vedem aici? Să ne amintim de programul de clasa a VII-a. Deci, îți amintești? Aceasta este formula de înmulțire prescurtată și anume diferența de pătrate!

Primim:

Dacă o înmulți cu, nu se schimbă nimic, nu? Dar acum se dovedește așa:

Să revenim la exemplu:

Și din nou formula:

Deci acum ultima regulă:

Cum vom demonstra? Desigur, ca de obicei: să extindem conceptul de diplomă și să-l simplificăm:

Exemplu:

Gradul cu exponent irațional

Deci, ce facem dacă vedem un exponent irațional? Facem tot posibilul să scăpăm de ea! :)

De exemplu:

Decideți singuri:

Raspunsuri:

Să ne amintim formula diferenței pătratelor. Răspuns: .
Reducem fracțiile la aceeași formă: fie ambele zecimale, fie ambele obișnuite. Obținem, de exemplu: .
Nimic special, folosim proprietățile obișnuite ale gradelor:

REZUMATUL SECȚIUNII ȘI FORMULELE DE BAZĂ

grad numită expresie de forma: , unde:

Gradul cu un exponent întreg

un grad al cărui exponent este un număr natural (adică, întreg și pozitiv).

Putere cu exponent rațional

grad, al cărui exponent este numerele negative și fracționale.

Gradul cu exponent irațional

un grad al cărui exponent este o fracție zecimală infinită sau rădăcină.

Proprietățile grade

Caracteristicile diplomelor.

Număr negativ crescut la chiar grad, - număr pozitiv.
Număr negativ crescut la ciudat grad, - număr negativ.
Un număr pozitiv în orice grad este un număr pozitiv.
Zero este egal cu orice putere.
Orice număr până la puterea zero este egal.

ACUM AI CUVÂNTUL...

Cum îți place articolul? Scrie mai jos în comentarii dacă ți-a plăcut sau nu.

Povestește-ne despre experiența ta de utilizare a proprietăților de grad.

Poate ai intrebari. Sau sugestii.

Scrieți în comentarii.

Și mult succes la examene!

După cum știți, în matematică nu există doar numere pozitive, ci și negative. Dacă cunoașterea puterilor pozitive începe cu determinarea ariei unui pătrat, atunci cu puterile negative totul este ceva mai complicat.

Asta ar trebui să știți:

Ridicarea unui număr la o putere naturală este înmulțirea unui număr (în articol vom lua în considerare conceptele de număr și echivalent cifră) de la sine într-o asemenea cantitate ca exponentul (în viitor vom folosi în paralel și simplu cuvântul exponent). 6^3 = 6*6*6 = 36*6 =216. În general, arată astfel: m^n = m*m*m*…*m (n ori).
Trebuie avut în vedere că atunci când un număr negativ este ridicat la o putere naturală, acesta va deveni pozitiv dacă exponentul este par.
Ridicarea unui număr la un exponent de 0 dă unul, cu condiția ca acesta să nu fie egal cu zero. Puterea de la zero la zero este considerată nedefinită. 17^0 = 1.
Extragerea rădăcinii unei anumite puteri dintr-un număr înseamnă găsirea unui număr care, atunci când este ridicat la exponentul corespunzător, va da valoarea dorită. Deci, rădăcina cubă a lui 125 este 5, deoarece 5^3 = 125.
Dacă doriți să ridicați un număr la o putere fracțională pozitivă, atunci trebuie să ridicați numărul la exponentul numitorului și să extrageți din acesta rădăcina exponentului numărătorului. 6^5/7 = a șaptea rădăcină a produsului 6*6*6*6*6.
Dacă doriți să ridicați un număr la un exponent negativ, atunci trebuie să găsiți inversul numărului dat. x^-3 = 1/x^3. 8^-4 = 1/8^4 = 1/8*8*8*8 = 1/4096.

Ridicarea unui număr modulo zero la unu la o putere negativă

Mai întâi ar trebui să ne amintim ce este un modul. Aceasta este distanța pe linia de coordonate de la valoarea pe care am ales-o până la origine (zero al liniei de coordonate). Prin definiție, nu poate fi niciodată negativ.

Valoare mai mare decât zero

Când valoarea unei cifre este între zero și unu, un indicator negativ dă o creștere a cifrei în sine. Acest lucru se întâmplă deoarece numitorul scade în timp ce rămâne pozitiv.

Să ne uităm la exemple:

1/7^-3 = 1/(1/7^3) = 1/(1/343) = 343;
0,2^-5 = 1/0,2^5 = 1/0,2*0,2*0,2*0,2*0,2 = 1/0,00032 = 3125.

Mai mult, cu cât modulul indicatorului este mai mare, cu atât cifra crește mai activ. Deoarece numitorul tinde spre zero, fracția în sine tinde spre plus infinit.

Valoare mai mică decât zero

Acum să ne uităm la cum să ridici la o putere negativă dacă numărul este mai mic decât zero. Principiul este același ca în partea anterioară, dar aici contează semnul indicatorului.

Să ne uităm din nou la exemple:

-19 / 21^-4 = 1/(-19/21)^4 = 1/(-19)^4/21^4 = 21^4/(-19)^4 = 21*21*21*21/(-19)*(-19)*(-19)*(-19) = 194481/130321 = 1,4923228;
-29/40^-5 = 1/(-29/40)^5 = 1/(-29)^5/40^5 = 40^5/(-29)^5 = 40*40*40*40*40/(-29)*(-29)*(-29)*(-29)*(-29) = 102400000/(-20511149) = -4,9924.

În acest caz, vedem asta modulul continuă să crească, dar semnul depinde dacă indicatorul este par sau impar.

Trebuie remarcat faptul că, dacă construim o unitate, aceasta va rămâne întotdeauna singură. Dacă trebuie să creșteți un număr minus unu, atunci cu un exponent par se va transforma într-unul, iar cu un exponent impar va rămâne minus unu.

Creșterea la o putere întreagă negativă dacă modulul este mai mare de unu

Pentru numerele al căror modul este mai mare decât unu, are propriile sale particularități ale acțiunilor. În primul rând, trebuie să convertiți întreaga parte a fracției în numărător, adică să o transformați într-o fracție improprie. Dacă avem o fracție zecimală, atunci aceasta trebuie convertită într-o fracție obișnuită. Acest lucru se face după cum urmează:

6 numere întregi 7/17 = 109/17;
2,54 = 254/100.

Acum să vedem cum să ridicăm un număr la o putere negativă în aceste condiții. Deja din cele de mai sus, putem presupune la ce ne putem aștepta de la rezultatul calculelor. Deoarece o fracție dublă este inversată în timpul simplificărilor, modulul figurii va scădea cu cât mai repede, cu atât modulul exponentului este mai mare.

În primul rând, să luăm în considerare situația când numărul dat în sarcină este pozitiv.

În primul rând, devine clar că rezultat final va fi mai mare decât zero, deoarece împărțirea a două pozitive dă întotdeauna una pozitivă. Să ne uităm din nou la exemple despre cum se face acest lucru:

6 numere întregi 1/20 la minus a cincea putere = 121/20^-5 = 1/(121/20)^5 = 1/121^5/20^5 = 20^5/121^5 = 3200000/25937424601 = 0,0001234;
2,25^-6 = (225/100)^-6 = 1/(225/100)^6 = 1/225^6/100^6 = 100^6/225^6 = 100*100*100*100*100*100/225*225*225*225*225*225 = 0,007413.

După cum puteți vedea, acțiunile nu ridică dificultăți deosebite și toate ipotezele noastre inițiale s-au dovedit a fi adevărate.

Acum să trecem la cazul unei cifre negative.

Pentru început, putem presupune că dacă indicatorul este par, atunci rezultatul va fi pozitiv, dacă indicatorul este impar, atunci rezultatul va fi negativ. Toate calculele noastre anterioare din această parte vor fi considerate valabile acum. Să ne uităm din nou la exemple:

-3 întreg 1/2 la minus a șasea putere = (-7/2)^-6 = 1/(-7/2)^6 = 1/(-7)^6/2^6 = 2*2* 2 *2*2*2/(-7)*(-7)*(-7)*(-7)*(-7)*(-7) = 64/117649 = 0,000544;
-1,25^-5 = (-125/100)^-5 = 1/(-125/100)^5 = 1/(-125)^5/100^5 = 100^5/(-125)^5 = 100*100*100*100*100/(-125)*(-125)*(-125)*(-125)*(-125) = 10000000000/(-30517578125) = -0.32768.

Astfel, toate raționamentele noastre s-au dovedit a fi corecte.

Construcție în cazul unui exponent fracționar negativ

Aici trebuie să rețineți că o astfel de construcție există extragerea rădăcinii puterii numitorului dintr-un număr la puterea numărătorului. Tot raționamentul nostru anterior rămâne adevărat de data aceasta. Să explicăm acțiunile noastre cu un exemplu:

4^-3/2 = 1/4^3/2 = 1/rad(4^3) = 1/rad64 = 1/8.

În acest caz, trebuie să rețineți că extragerea rădăcinilor nivel inalt este posibil doar într-o formă special selectată și, cel mai probabil, nu veți putea scăpa de semnul radicalului (rădăcină pătrată, rădăcină cubică etc.) cu calcule precise.

Cu toate acestea, după ce ați studiat capitolele anterioare în detaliu, nu ar trebui să vă așteptați la dificultăți în calculele școlare.

De remarcat că descrierea acestui capitol include și construcție cu un indicator deliberat irațional, de exemplu, dacă indicatorul este egal cu minus PI. Trebuie să acționați conform principiilor descrise mai sus. Cu toate acestea, calculele în astfel de cazuri devin atât de complexe încât doar computerele electronice puternice pot face acest lucru.

Concluzie

Acțiunea pe care am studiat-o este una dintre cele mai dificile probleme din matematică(mai ales în cazul sensului fracționar-rațional sau irațional). Cu toate acestea, studiind aceste instrucțiuni în detaliu și pas cu pas, puteți învăța cum să faceți acest lucru complet automat, fără probleme.