Suma unei progresii aritmetice.
Sumă progresie aritmetică- este un lucru simplu. Atât în sens, cât și în formulă. Dar există tot felul de sarcini pe această temă. De la bază la destul de solidă.
În primul rând, să înțelegem sensul și formula sumei. Și atunci vom decide. Pentru plăcerea ta.) Sensul sumei este la fel de simplu ca un moo. Pentru a găsi suma unei progresii aritmetice, trebuie doar să adăugați cu atenție toți termenii acesteia. Dacă acești termeni sunt puțini, puteți adăuga fără formule. Dar dacă există mult, sau mult... adaosul este enervant.) În acest caz, formula vine în ajutor.
Formula pentru suma este simplă:
Să ne dăm seama ce fel de litere sunt incluse în formulă. Acest lucru va clarifica foarte mult lucrurile.
S n - suma unei progresii aritmetice. Rezultat adaos toata lumea membri, cu primul De ultimul. Este important. Se adună exact Toate membri la rând, fără săriți sau săriți. Și, tocmai, pornind de la primul.În probleme precum găsirea sumei termenilor al treilea și al optulea sau a sumei termenilor de la al cincilea la al douăzecilea - aplicare directă formulele vor dezamăgi.)
a 1 - primul membru al progresiei. Totul este clar aici, e simplu primul numărul rândului.
un n- ultimul membru al progresiei. Ultimul număr al seriei. Nu este un nume foarte familiar, dar atunci când este aplicat sumei, este foarte potrivit. Atunci vei vedea singur.
n - numărul ultimului membru. Este important să înțelegeți că în formulă acest număr coincide cu numărul de termeni adăugați.
Să definim conceptul ultimul membru un n. Întrebare dificilă: care membru va fi ultimul dacă este dat fără sfârşit progresie aritmetică?)
Pentru a răspunde cu încredere, trebuie să înțelegeți semnificația elementară a progresiei aritmetice și... citiți cu atenție sarcina!)
În sarcina de a găsi suma unei progresii aritmetice, ultimul termen apare întotdeauna (direct sau indirect), care ar trebui limitată.În caz contrar, o sumă finală, specifică pur si simplu nu exista. Pentru soluție, nu contează dacă progresia este dată: finită sau infinită. Nu contează cum este dat: o serie de numere sau o formulă pentru al n-lea termen.
Cel mai important este să înțelegeți că formula funcționează de la primul termen al progresiei până la termenul cu număr n. De fapt, numele complet al formulei arată astfel: suma primilor n termeni ai unei progresii aritmetice. Numărul acestor primi membri, adică n, este determinată exclusiv de sarcină. Într-o sarcină, toate aceste informații valoroase sunt adesea criptate, da... Dar nu contează, în exemplele de mai jos dezvăluim aceste secrete.)
Exemple de sarcini pe suma unei progresii aritmetice.
În primul rând, informatii utile:
Principala dificultate în sarcinile care implică suma unei progresii aritmetice este definiție corectă elemente ale formulei.
Scriitorii de sarcini criptează chiar aceste elemente cu o imaginație nemărginită.) Principalul lucru aici este să nu-ți fie frică. Înțelegând esența elementelor, este suficient să le descifrezi pur și simplu. Să ne uităm la câteva exemple în detaliu. Să începem cu o sarcină bazată pe un GIA real.
1. Progresia aritmetică este dată de condiția: a n = 2n-3.5. Aflați suma primilor săi 10 termeni.
Loc de muncă bun. Ușor.) Pentru a determina cantitatea folosind formula, ce trebuie să știm? Primul membru a 1, ultimul termen un n, da numărul ultimului membru n.
De unde pot obține numărul ultimului membru? n? Da, chiar acolo, cu condiție! Se spune: găsiți suma primii 10 membri. Ei bine, cu ce număr va fi? ultimul, al zecelea membru?) Nu veți crede, numărul lui este al zecelea!) Prin urmare, în loc de un n Vom înlocui în formulă un 10, Și în schimb n- zece. Repet, numărul ultimului membru coincide cu numărul membrilor.
Rămâne de stabilit a 1Și un 10. Acest lucru este ușor de calculat folosind formula pentru al n-lea termen, care este dată în enunțul problemei. Nu știi cum să faci asta? Participați la lecția anterioară, fără aceasta nu există nicio cale.
a 1= 2 1 - 3,5 = -1,5
un 10=2·10 - 3,5 =16,5
S n = S 10.
Am aflat semnificația tuturor elementelor formulei pentru suma unei progresii aritmetice. Tot ce rămâne este să le înlocuiți și să numărați:
Asta este. Raspuns: 75.
O altă sarcină bazată pe GIA. Puțin mai complicat:
2. Având în vedere o progresie aritmetică (a n), a cărei diferență este 3,7; a 1 =2,3. Aflați suma primilor 15 termeni ai săi.
Scriem imediat formula sumei:
Această formulă ne permite să găsim valoarea oricărui termen după numărul său. Căutăm o înlocuire simplă:
a 15 = 2,3 + (15-1) 3,7 = 54,1
Rămâne să înlocuiți toate elementele în formula pentru suma unei progresii aritmetice și să calculați răspunsul:
Răspuns: 423.
Apropo, dacă în formula sumei în loc de un n Pur și simplu înlocuim formula pentru al n-lea termen și obținem:
Să prezentăm altele similare și să obținem o nouă formulă pentru suma termenilor unei progresii aritmetice:
 |
După cum puteți vedea, nu este necesar aici al n-lea termen un n. În unele probleme această formulă ajută foarte mult, da... Vă puteți aminti această formulă. Sau pur și simplu îl puteți afișa la momentul potrivit, ca aici. La urma urmei, trebuie să vă amintiți întotdeauna formula pentru sumă și formula pentru al n-lea termen.)
Acum sarcina sub forma unei criptări scurte):
3. Aflați suma tuturor numerelor pozitive din două cifre care sunt multipli de trei.
Wow! Nici primul tău membru, nici ultimul, nici progresia deloc... Cum să trăiești!?
Va trebui să gândești cu capul și să scoți toate elementele sumei progresiei aritmetice din condiție. Știm ce sunt numerele din două cifre. Sunt formate din două numere.) Ce număr de două cifre va fi primul? 10, probabil.) A ultimul lucru număr cu două cifre? 99, desigur! Cei din trei cifre îl vor urma...
Multipli de trei... Hm... Acestea sunt numere care sunt divizibile cu trei, aici! Zece nu este divizibil cu trei, 11 nu este divizibil... 12... este divizibil! Deci, ceva iese la iveală. Puteți nota deja o serie în funcție de condițiile problemei:
12, 15, 18, 21, ... 96, 99.
Va fi această serie o progresie aritmetică? Cu siguranță! Fiecare termen diferă de cel precedent prin strict trei. Dacă adăugați 2 sau 4 la un termen, să zicem rezultatul, adică. noul număr nu mai este divizibil cu 3. Puteți determina imediat diferența progresiei aritmetice: d = 3. Asta o să ne mai folosească!)
Deci, putem nota în siguranță câțiva parametri de progresie:
Care va fi numărul? n ultimul membru? Oricine crede că 99 se înșală fatal... Numerele merg mereu la rând, dar membrii noștri sar peste trei. Nu se potrivesc.
Există două soluții aici. O modalitate este pentru cei super muncitori. Puteți nota progresia, întreaga serie de numere și puteți număra numărul de membri cu degetul.) A doua cale este pentru cei gânditori. Trebuie să vă amintiți formula pentru al n-lea termen. Dacă aplicăm formula problemei noastre, aflăm că 99 este al treizecilea termen al progresiei. Acestea. n = 30.
Să ne uităm la formula pentru suma unei progresii aritmetice:
Ne uităm și ne bucurăm.) Am scos din enunțul problemei tot ceea ce era necesar pentru a calcula suma:
a 1= 12.
un 30= 99.
S n = S 30.
Tot ce rămâne este aritmetica elementară. Înlocuim numerele în formulă și calculăm:
Răspuns: 1665
Un alt tip de puzzle popular:
4. Având în vedere o progresie aritmetică:
-21,5; -20; -18,5; -17; ...
Aflați suma termenilor de la al douăzecilea la treizeci și patru.
Ne uităm la formula pentru suma și... ne supărăm.) Formula, să vă reamintesc, calculează suma din prima membru. Și în problemă trebuie să calculați suma din al XX-lea... Formula nu va funcționa.
Puteți, desigur, să scrieți întreaga progresie într-o serie și să adăugați termeni de la 20 la 34. Dar... este cumva stupid și durează mult, nu?)
Există o soluție mai elegantă. Să împărțim seria noastră în două părți. Prima parte va fi de la primul termen până la al nouăsprezecelea. A doua parte - de la douăzeci la treizeci şi patru. Este clar că dacă calculăm suma termenilor primei părți S 1-19, să-l adunăm cu suma termenilor din partea a doua S 20-34, obținem suma progresiei de la primul termen la al treizeci și patrulea S 1-34. Ca aceasta:
S 1-19 + S 20-34 = S 1-34
Din aceasta putem vedea că găsim suma S 20-34 se poate face prin simpla scădere
S 20-34 = S 1-34 - S 1-19
Sunt luate în considerare ambele sume din partea dreaptă din prima membru, adică formula sumei standard le este destul de aplicabilă. Să începem?
Extragem parametrii de progresie din enunțul problemei:
d = 1,5.
a 1= -21,5.
Pentru a calcula sumele primilor 19 și primilor 34 de termeni, vom avea nevoie de al 19-lea și al 34-lea termen. Le calculăm folosind formula pentru al n-lea termen, ca în problema 2:
un 19= -21,5 +(19-1) 1,5 = 5,5
un 34= -21,5 +(34-1) 1,5 = 28
Nu a mai rămas nimic. Din suma a 34 de termeni scade suma a 19 termeni:
S 20-34 = S 1-34 - S 1-19 = 110,5 - (-152) = 262,5
Răspuns: 262,5
O notă importantă! Există un truc foarte util în rezolvarea acestei probleme. În loc de calcul direct de ce ai nevoie (S 20-34), am numărat ceva ce ar părea că nu este nevoie - S 1-19.Și atunci s-au hotărât S 20-34, aruncând din rezultat complet inutil. Acest tip de „făcătură cu urechile tale” te salvează adesea în probleme rele.)
În această lecție ne-am uitat la probleme pentru care este suficient să înțelegem sensul sumei unei progresii aritmetice. Ei bine, trebuie să știți câteva formule.)
Când rezolvați orice problemă care implică suma unei progresii aritmetice, vă recomand să scrieți imediat cele două formule principale din acest subiect.
Formula pentru al n-lea termen:
Aceste formule vă vor spune imediat ce să căutați și în ce direcție să gândiți pentru a rezolva problema. Ajută.
Și acum sarcinile pentru o soluție independentă.
5. Aflați suma tuturor numerelor de două cifre care nu sunt divizibile cu trei.
Cool?) Sugestia este ascunsă în nota la problema 4. Ei bine, problema 3 va ajuta.
6. Progresia aritmetică este dată de condiția: a 1 = -5,5; a n+1 = a n +0,5. Aflați suma primilor 24 de termeni.
Neobișnuit?) Aceasta este o formulă recurentă. Puteți citi despre asta în lecția anterioară. Nu ignora legătura, astfel de probleme se găsesc adesea în Academia de Științe de Stat.
7. Vasya a făcut economii pentru vacanță. Cât de mult 4550 de ruble! Și am decis să-i ofer persoanei mele preferate (mie) câteva zile de fericire). Trăiește frumos fără a te nega nimic. Cheltuiește 500 de ruble în prima zi, iar în fiecare zi următoare cheltuiește cu 50 de ruble mai mult decât în cea anterioară! Până se epuizează banii. Câte zile de fericire a avut Vasya?
Este dificil?) Formula suplimentară din problema 2 va ajuta.
Răspunsuri (în dezordine): 7, 3240, 6.
Daca va place acest site...
Apropo, mai am câteva site-uri interesante pentru tine.)
Puteți exersa rezolvarea exemplelor și puteți afla nivelul dvs. Testare cu verificare instantanee. Să învățăm - cu interes!)
Vă puteți familiariza cu funcțiile și derivatele.
Sau aritmetica este un tip de succesiune numerică ordonată, ale cărei proprietăți sunt studiate într-un curs de algebră școlară. Acest articol discută în detaliu întrebarea cum să găsiți suma unei progresii aritmetice.
Ce fel de progres este aceasta?
Înainte de a trece la întrebarea (cum să găsiți suma unei progresii aritmetice), merită să înțelegeți despre ce vorbim.
Orice succesiune de numere reale care se obține prin adăugarea (scăderea) unei valori din fiecare număr anterior se numește progresie algebrică (aritmetică). Această definiție, atunci când este tradusă în limbaj matematic, ia forma:
Aici i este numărul de serie al elementului din rândul a i. Astfel, cunoscând doar un număr de început, puteți restabili cu ușurință întreaga serie. Parametrul d din formulă se numește diferență de progresie.
Se poate demonstra cu ușurință că pentru seria de numere luate în considerare este valabilă următoarea egalitate:
a n = a 1 + d * (n - 1).
Adică, pentru a găsi valoarea celui de-al n-lea element în ordine, ar trebui să adăugați diferența d la primul element a de 1 n-1 ori.
Care este suma unei progresii aritmetice: formula
Înainte de a da formula pentru suma indicată, merită să luați în considerare un simplu caz special. Se da progresul numere naturale de la 1 la 10, trebuie să găsiți suma lor. Deoarece există puțini termeni în progresia (10), este posibil să se rezolve problema direct, adică să însumăm toate elementele în ordine.
S 10 = 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10 = 55.
Merită să luați în considerare un lucru interesant: deoarece fiecare termen diferă de următorul prin aceeași valoare d = 1, atunci însumarea în perechi a primului cu al zecelea, al doilea cu al nouălea și așa mai departe va da același rezultat. Într-adevăr:
11 = 1+10 = 2+9 = 3+8 = 4+7 = 5+6.
După cum puteți vedea, există doar 5 dintre aceste sume, adică exact de două ori mai puțin decât numărul de elemente ale seriei. Apoi înmulțind numărul de sume (5) cu rezultatul fiecărei sume (11), veți ajunge la rezultatul obținut în primul exemplu.
Dacă generalizăm aceste argumente, putem scrie următoarea expresie:
S n = n * (a 1 + a n) / 2.
Această expresie arată că nu este deloc necesară însumarea tuturor elementelor pe rând; este suficient să cunoaștem valoarea primului a 1 și a ultimului a n , precum și numărul total n termeni.
Se crede că Gauss a fost primul care s-a gândit la această egalitate atunci când a căutat o soluție la o anumită problemă. profesor de școală sarcină: însumați primele 100 de numere întregi.
Suma elementelor de la m la n: formula
Formula dată în paragraful anterior răspunde la întrebarea cum se găsește suma unei progresii aritmetice (primele elemente), dar adesea în probleme este necesară însumarea unei serii de numere la mijlocul progresiei. Cum să o facă?
Cel mai simplu mod de a răspunde la această întrebare este luând în considerare următorul exemplu: să fie necesar să se găsească suma termenilor de la m-a la n-a. Pentru a rezolva problema, ar trebui să reprezentați segmentul dat de la m la n al progresiei ca un nou serie de numere. În această vedere al-lea termen un m va fi primul, iar un n va fi numerotat n-(m-1). În acest caz, aplicând formula standard pentru sumă, se va obține următoarea expresie:
S m n = (n - m + 1) * (a m + a n) / 2.
Exemplu de utilizare a formulelor
Știind cum să găsiți suma unei progresii aritmetice, merită să luați în considerare un exemplu simplu de utilizare a formulelor de mai sus.
Mai jos este o secvență numerică, ar trebui să găsiți suma termenilor săi, începând cu a 5-a și terminând cu a 12-lea:
Numerele date indică faptul că diferența d este egală cu 3. Folosind expresia pentru al n-lea element, puteți găsi valorile termenilor al 5-lea și al 12-lea al progresiei. Se dovedește:
a 5 = a 1 + d * 4 = -4 + 3 * 4 = 8;
a 12 = a 1 + d * 11 = -4 + 3 * 11 = 29.
Cunoscând valorile numerelor de la capetele progresiei algebrice luate în considerare, precum și știind ce numere din seria ocupă acestea, puteți folosi formula pentru suma obținută în paragraful anterior. Se va dovedi:
S 5 12 = (12 - 5 + 1) * (8 + 29) / 2 = 148.
Este de remarcat faptul că această valoare ar putea fi obținută diferit: mai întâi găsiți suma primelor 12 elemente folosind formula standard, apoi calculați suma primelor 4 elemente folosind aceeași formulă, apoi scădeți pe al doilea din prima sumă.
Calculator online.
Rezolvarea unei progresii aritmetice.
Dați: a n , d, n
Găsiți: a 1
Acest program matematic găsește \(a_1\) a unei progresii aritmetice pe baza numerelor specificate de utilizator \(a_n, d\) și \(n\).
Numerele \(a_n\) și \(d\) pot fi specificate nu numai ca numere întregi, ci și ca fracții. Mai mult, numărul fracționar poate fi introdus sub forma unei fracții zecimale (\(2,5\)) și sub forma fracție comună(\(-5\frac(2)(7)\)).
Programul nu numai că oferă răspunsul la problemă, dar afișează și procesul de găsire a unei soluții.
Acest calculator online poate fi util elevilor de liceu în pregătirea pentru testeși examene, la testarea cunoștințelor înainte de Examenul de stat unificat, pentru ca părinții să controleze rezolvarea multor probleme de matematică și algebră. Sau poate este prea scump pentru tine să angajezi un tutor sau să cumperi manuale noi? Sau vrei doar să o faci cât mai repede posibil? teme pentru acasă la matematică sau algebră? În acest caz, puteți folosi și programele noastre cu soluții detaliate.
În acest fel vă puteți cheltui antrenament propriuși/sau formarea fraților sau surorilor mai mici, în timp ce nivelul de educație în zona problemelor care se rezolvă crește.
Dacă nu sunteți familiarizat cu regulile de introducere a numerelor, vă recomandăm să vă familiarizați cu acestea.
Reguli pentru introducerea numerelor
Numerele \(a_n\) și \(d\) pot fi specificate nu numai ca numere întregi, ci și ca fracții.
Numărul \(n\) poate fi doar un întreg pozitiv.
Reguli pentru introducerea fracțiilor zecimale.
Părțile întregi și fracționale din fracții zecimale pot fi separate fie prin punct, fie prin virgulă.
De exemplu, puteți intra zecimale deci 2,5 sau cam asa 2,5
Reguli pentru introducerea fracțiilor obișnuite.
Doar un număr întreg poate acționa ca numărător, numitor și parte întreagă a unei fracții.
Numitorul nu poate fi negativ.
Când introduceți o fracție numerică, numărătorul este separat de numitor printr-un semn de împărțire: /
Intrare:
Rezultat: \(-\frac(2)(3)\)
Toată parte separate de fracție printr-un ampersand: &
Intrare:
Rezultat: \(-1\frac(2)(3)\)
S-a descoperit că unele scripturi necesare pentru a rezolva această problemă nu au fost încărcate și este posibil ca programul să nu funcționeze.
Este posibil să aveți AdBlock activat.
În acest caz, dezactivați-l și reîmprospătați pagina.
Pentru ca soluția să apară, trebuie să activați JavaScript.
Iată instrucțiuni despre cum să activați JavaScript în browserul dvs.
Deoarece Există o mulțime de oameni dispuși să rezolve problema, cererea dvs. a fost pusă în coadă.
În câteva secunde soluția va apărea mai jos.
Va rugam asteptati sec...
daca tu observat o eroare în soluție, apoi puteți scrie despre asta în Formularul de feedback.
Nu uita indicați ce sarcină tu decizi ce intra in campuri.
Jocurile, puzzle-urile, emulatorii noștri:
Puțină teorie.
Secvență de numere
ÎN practica de zi cu zi numerotarea diferitelor articole este adesea folosită pentru a indica ordinea în care sunt aranjate. De exemplu, casele de pe fiecare stradă sunt numerotate. În bibliotecă, abonamentele cititorilor sunt numerotate și apoi aranjate în ordinea numerelor atribuite în fișiere speciale de card.
Într-o bancă de economii, folosind numărul de cont personal al deponentului, puteți găsi cu ușurință acest cont și puteți vedea ce depozit este pe el. Lăsați contul nr. 1 să conțină un depozit de a1 ruble, contul nr. 2 să conțină un depozit de a2 ruble etc. Se pare că succesiune de numere
a 1 , a 2 , a 3 , ..., a N
unde N este numărul tuturor conturilor. Aici, fiecare număr natural n de la 1 la N este asociat cu un număr a n.
A studiat și matematică secvențe de numere infinite:
a 1 , a 2 , a 3 , ..., a n , ... .
Se numește numărul a 1 primul termen al secvenței, numărul a 2 - al doilea termen al secvenței, numărul a 3 - al treilea termen al secvenței etc.
Se numește numărul a n al n-lea (n-lea) membru al secvenței, iar numărul natural n este al acestuia număr.
De exemplu, în succesiunea de pătrate de numere naturale 1, 4, 9, 16, 25, ..., n 2, (n + 1) 2, ... și 1 = 1 este primul termen al șirului; iar n = n 2 este al n-lea termen secvențe; a n+1 = (n + 1) 2 este (n + 1)-al-lea (n plus primul) termen al secvenței. Adesea, o secvență poate fi specificată prin formula celui de-al n-lea termen. De exemplu, formula \(a_n=\frac(1)(n), \; n \in \mathbb(N) \) definește șirul \(1, \; \frac(1)(2) , \; \frac( 1)(3) , \; \frac(1)(4) , \dots,\frac(1)(n) , \dots \)
Progresie aritmetică
Durata anului este de aproximativ 365 de zile. Mai mult valoare exacta este egal cu \(365\frac(1)(4)\) zile, deci la fiecare patru ani se acumulează o eroare de o zi.
Pentru a ține seama de această eroare, la fiecare al patrulea an se adaugă o zi, iar anul prelungit se numește an bisect.
De exemplu, în al treilea mileniu, anii bisecți sunt anii 2004, 2008, 2012, 2016, ....
În această secvență, fiecare membru, începând cu al doilea, este egal cu precedentul, adăugat la același număr 4. Astfel de secvențe se numesc progresii aritmetice.
Definiție.
Se numește șirul de numere a 1, a 2, a 3, ..., a n, ... progresie aritmetică, dacă pentru toate naturale n egalitatea
\(a_(n+1) = a_n+d, \)
unde d este un număr.
Din această formulă rezultă că a n+1 - a n = d. Numărul d se numește diferență progresie aritmetică.
Prin definiția unei progresii aritmetice avem:
\(a_(n+1)=a_n+d, \quad a_(n-1)=a_n-d, \)
Unde
\(a_n= \frac(a_(n-1) +a_(n+1))(2) \), unde \(n>1 \)
Astfel, fiecare termen al unei progresii aritmetice, începând de la al doilea, este egal cu media aritmetică a celor doi termeni adiacenți ai săi. Aceasta explică denumirea de progresie „aritmetică”.
Rețineți că, dacă sunt date a 1 și d, atunci termenii rămași ai progresiei aritmetice pot fi calculați folosind formula recurentă a n+1 = a n + d. În acest fel, nu este dificil să calculezi primii termeni ai progresiei, cu toate acestea, de exemplu, un 100 va necesita deja o mulțime de calcule. De obicei, formula a n-a termen este folosită pentru aceasta. Prin definiția progresiei aritmetice
\(a_2=a_1+d, \)
\(a_3=a_2+d=a_1+2d, \)
\(a_4=a_3+d=a_1+3d\)
etc.
Deloc,
\(a_n=a_1+(n-1)d, \)
întrucât al n-lea termen al unei progresii aritmetice se obține din primul termen prin adăugarea de (n-1) ori numărul d.
Această formulă se numește formula pentru al n-lea termen al unei progresii aritmetice.
Suma primilor n termeni ai unei progresii aritmetice
Aflați suma tuturor numerelor naturale de la 1 la 100.
Să scriem această sumă în două moduri:
S = l + 2 + 3 + ... + 99 + 100,
S = 100 + 99 + 98 + ... + 2 + 1.
Să adăugăm aceste egalități termen cu termen:
2S = 101 + 101 + 101 + ... + 101 + 101.
Această sumă are 100 de termeni
Prin urmare, 2S = 101 * 100, deci S = 101 * 50 = 5050.
Să considerăm acum o progresie aritmetică arbitrară
a 1 , a 2 , a 3 , ..., a n , ...
Fie S n suma primilor n termeni ai acestei progresii:
S n = a 1 , a 2 , a 3 , ..., a n
Apoi suma primilor n termeni ai unei progresii aritmetice este egală cu
\(S_n = n \cdot \frac(a_1+a_n)(2) \)
Deoarece \(a_n=a_1+(n-1)d\), atunci înlocuind un n în această formulă obținem o altă formulă pentru găsirea suma primilor n termeni ai unei progresii aritmetice:
\(S_n = n \cdot \frac(2a_1+(n-1)d)(2) \)
Când studiezi algebra în școală gimnazială(clasa a IX-a) unul dintre subiecte importante este studiul șirurilor de numere, care includ progresii - geometrice și aritmetice. În acest articol vom analiza o progresie aritmetică și exemple cu soluții.
Ce este o progresie aritmetică?
Pentru a înțelege acest lucru, este necesar să se definească progresia în cauză, precum și să se furnizeze formulele de bază care vor fi folosite ulterior în rezolvarea problemelor.
Aritmetica sau este un set de numere raționale ordonate, fiecare membru al cărora diferă de cel precedent printr-o valoare constantă. Această valoare se numește diferență. Adică, cunoscând orice membru al unei serii ordonate de numere și diferența, puteți restabili întreaga progresie aritmetică.
Să dăm un exemplu. Următoarea succesiune de numere va fi o progresie aritmetică: 4, 8, 12, 16, ..., deoarece diferența în acest caz este 4 (8 - 4 = 12 - 8 = 16 - 12). Dar mulțimea numerelor 3, 5, 8, 12, 17 nu mai poate fi atribuită tipului de progresie luat în considerare, deoarece diferența pentru aceasta nu este o valoare constantă (5 - 3 ≠ 8 - 5 ≠ 12 - 8 ≠ 17 - 12).
Formule importante
Să prezentăm acum formulele de bază care vor fi necesare pentru a rezolva probleme folosind progresia aritmetică. Să notăm cu simbolul a n al n-lea membru al secvenței, unde n este un număr întreg. Notăm diferența Literă latină d. Atunci sunt valabile următoarele expresii:
- Pentru a determina valoarea celui de-al n-lea termen este potrivită următoarea formulă: a n = (n-1)*d+a 1 .
- Pentru a determina suma primilor n termeni: S n = (a n +a 1)*n/2.
Pentru a înțelege orice exemple de progresie aritmetică cu soluții în clasa a IX-a, este suficient să ne amintim aceste două formule, deoarece orice probleme de tipul luat în considerare se bazează pe utilizarea lor. De asemenea, trebuie să vă amintiți că diferența de progresie este determinată de formula: d = a n - a n-1.
Exemplul #1: găsirea unui termen necunoscut
Să dăm un exemplu simplu de progresie aritmetică și formulele care trebuie folosite pentru a o rezolva.
Să fie dată șirul 10, 8, 6, 4, ..., trebuie să găsiți cinci termeni în ea.
Din condițiile problemei rezultă deja că primii 4 termeni sunt cunoscuți. Al cincilea poate fi definit în două moduri:
- Să calculăm mai întâi diferența. Avem: d = 8 - 10 = -2. În mod similar, puteți lua oricare alți doi membri stând unul lângă celălalt. De exemplu, d = 4 - 6 = -2. Deoarece se știe că d = a n - a n-1, atunci d = a 5 - a 4, din care obținem: a 5 = a 4 + d. Să înlocuim valori cunoscute: a 5 = 4 + (-2) = 2.
- A doua metodă necesită, de asemenea, cunoașterea diferenței progresiei în cauză, așa că mai întâi trebuie să o determinați așa cum se arată mai sus (d = -2). Știind că primul termen a 1 = 10, folosim formula pentru numărul n al șirului. Avem: a n = (n - 1) * d + a 1 = (n - 1) * (-2) + 10 = 12 - 2*n. Înlocuind n = 5 în ultima expresie, obținem: a 5 = 12-2 * 5 = 2.
După cum puteți vedea, ambele soluții au dus la același rezultat. Rețineți că în acest exemplu diferența de progresie d este o valoare negativă. Astfel de secvențe se numesc descrescătoare, deoarece fiecare termen următor este mai mic decât cel anterior.
Exemplul #2: diferența de progresie
Acum să complicăm puțin problema, să dăm un exemplu despre cum să găsim diferența unei progresii aritmetice.
Se știe că în unele progresii algebrice primul termen este egal cu 6, iar al 7-lea termen este egal cu 18. Este necesar să găsim diferența și să restabilim această secvență la al 7-lea termen.
Să folosim formula pentru a determina termenul necunoscut: a n = (n - 1) * d + a 1 . Să substituim datele cunoscute din condiție în ea, adică numerele a 1 și a 7, avem: 18 = 6 + 6 * d. Din această expresie puteți calcula cu ușurință diferența: d = (18 - 6) /6 = 2. Astfel, am răspuns la prima parte a problemei.
Pentru a restabili secvența la al 7-lea termen, ar trebui să utilizați definiția unei progresii algebrice, adică a 2 = a 1 + d, a 3 = a 2 + d și așa mai departe. Ca rezultat, restabilim întreaga secvență: a 1 = 6, a 2 = 6 + 2=8, a 3 = 8 + 2 = 10, a 4 = 10 + 2 = 12, a 5 = 12 + 2 = 14 , a 6 = 14 + 2 = 16, a 7 = 18.
Exemplul nr. 3: întocmirea unei progresii
Să complicăm mai mult stare mai puternică sarcini. Acum trebuie să răspundem la întrebarea cum să găsim o progresie aritmetică. Se poate da următorul exemplu: sunt date două numere, de exemplu - 4 și 5. Este necesar să se creeze o progresie algebrică astfel încât să mai fie plasați trei termeni între aceștia.
Înainte de a începe să rezolvați această problemă, trebuie să înțelegeți ce loc vor ocupa numerele date în progresia viitoare. Întrucât vor mai fi trei termeni între ei, atunci a 1 = -4 și a 5 = 5. După ce am stabilit acest lucru, trecem la problema, care este similară cu cea anterioară. Din nou, pentru al n-lea termen folosim formula, obținem: a 5 = a 1 + 4 * d. Din: d = (a 5 - a 1)/4 = (5 - (-4)) / 4 = 2,25. Ceea ce am obținut aici nu este o valoare întreagă a diferenței, ci este un număr rațional, deci formulele pentru progresia algebrică rămân aceleași.
Acum să adăugăm diferența găsită la un 1 și să restabilim termenii lipsă ai progresiei. Se obține: a 1 = - 4, a 2 = - 4 + 2.25 = - 1.75, a 3 = -1.75 + 2.25 = 0.5, a 4 = 0.5 + 2.25 = 2.75, a 5 = 2.75 + 2.25 = 5, care coincid cu condiţiile problemei.
Exemplul nr. 4: primul termen de progresie
Să continuăm să dăm exemple de progresie aritmetică cu soluții. În toate problemele anterioare, era cunoscut primul număr al progresiei algebrice. Acum să luăm în considerare o problemă de alt tip: să fie date două numere, unde a 15 = 50 și a 43 = 37. Este necesar să găsim cu ce număr începe această secvență.
Formulele folosite până acum presupun cunoașterea a 1 și d. În enunțul problemei, nu se știe nimic despre aceste numere. Cu toate acestea, vom nota expresii pentru fiecare termen despre care sunt disponibile informații: a 15 = a 1 + 14 * d și a 43 = a 1 + 42 * d. Am primit două ecuații în care există 2 mărimi necunoscute (a 1 și d). Aceasta înseamnă că problema se reduce la rezolvarea unui sistem de ecuații liniare.
Cel mai simplu mod de a rezolva acest sistem este de a exprima un 1 în fiecare ecuație și apoi de a compara expresiile rezultate. Prima ecuație: a 1 = a 15 - 14 * d = 50 - 14 * d; a doua ecuație: a 1 = a 43 - 42 * d = 37 - 42 * d. Echivalând aceste expresii, obținem: 50 - 14 * d = 37 - 42 * d, de unde diferența d = (37 - 50) / (42 - 14) = - 0,464 (se dau doar 3 zecimale).
Cunoscând d, puteți folosi oricare dintre cele 2 expresii de mai sus pentru un 1. De exemplu, mai întâi: a 1 = 50 - 14 * d = 50 - 14 * (- 0,464) = 56,496.
Dacă aveți îndoieli cu privire la rezultatul obținut, îl puteți verifica, de exemplu, determinați al 43-lea termen al progresiei, care este specificat în condiție. Se obține: a 43 = a 1 + 42 * d = 56,496 + 42 * (- 0,464) = 37,008. Mica eroare se datorează faptului că în calcule a fost folosită rotunjirea la miimi.
Exemplul nr. 5: suma
Acum să ne uităm la câteva exemple cu soluții pentru suma unei progresii aritmetice.
Să fie dată o progresie numerică următorul tip: 1, 2, 3, 4, ...,. Cum se calculează suma a 100 dintre aceste numere?
Datorită dezvoltării tehnologia calculatoarelor puteți rezolva această problemă, adică adăugați toate numerele succesiv, care Mașină de calcul va face imediat ce persoana va apăsa tasta Enter. Problema poate fi însă rezolvată mental dacă acordați atenție faptului că seria de numere prezentată este o progresie algebrică, iar diferența ei este egală cu 1. Aplicând formula pentru suma, obținem: S n = n * (a 1 + a n) / 2 = 100 * (1 + 100) / 2 = 5050.
Este interesant de observat că această problemă se numește „gaussian” deoarece la începutul secolului al XVIII-lea celebrul german, încă în vârstă de doar 10 ani, a reușit să o rezolve în cap în câteva secunde. Băiatul nu știa formula pentru suma unei progresii algebrice, dar a observat că dacă aduni numerele de la sfârșitul șirului în perechi, obții întotdeauna același rezultat, adică 1 + 100 = 2 + 99. = 3 + 98 = ..., și deoarece aceste sume vor fi exact 50 (100 / 2), atunci pentru a obține răspunsul corect este suficient să înmulțiți 50 cu 101.
Exemplul nr. 6: suma termenilor de la n la m
Încă una exemplu tipic suma unei progresii aritmetice este următoarea: având în vedere o serie de numere: 3, 7, 11, 15, ..., trebuie să aflați cu ce va fi egală suma termenilor săi de la 8 la 14.
Problema este rezolvată în două moduri. Primul dintre ei implică găsirea de termeni necunoscuți de la 8 la 14 și apoi însumarea lor secvențială. Întrucât există puțini termeni, această metodă nu este destul de intensivă în muncă. Cu toate acestea, se propune rezolvarea acestei probleme folosind o a doua metodă, care este mai universală.
Ideea este de a obține o formulă pentru suma progresiei algebrice dintre termenii m și n, unde n > m sunt numere întregi. Pentru ambele cazuri, scriem două expresii pentru suma:
- S m = m * (a m + a 1) / 2.
- S n = n * (a n + a 1) / 2.
Deoarece n > m, este evident că a doua sumă o include pe prima. Ultima concluzie înseamnă că dacă luăm diferența dintre aceste sume și îi adăugăm termenul a m (în cazul luării diferenței se scade din suma S n), vom obține răspunsul necesar problemei. Avem: S mn = S n - S m + a m =n * (a 1 + a n) / 2 - m *(a 1 + a m)/2 + a m = a 1 * (n - m) / 2 + a n * n/2 + a m * (1- m/2). Este necesar să se înlocuiască formule pentru a n și a m în această expresie. Atunci obținem: S mn = a 1 * (n - m) / 2 + n * (a 1 + (n - 1) * d) / 2 + (a 1 + (m - 1) * d) * (1 - m / 2) = a 1 * (n - m + 1) + d * n * (n - 1) / 2 + d *(3 * m - m 2 - 2) / 2.
Formula rezultată este oarecum greoaie, totuși, suma S mn depinde doar de n, m, a 1 și d. În cazul nostru, a 1 = 3, d = 4, n = 14, m = 8. Înlocuind aceste numere, obținem: S mn = 301.
După cum se poate observa din soluțiile de mai sus, toate problemele se bazează pe cunoașterea expresiei pentru al n-lea termen și a formulei pentru suma mulțimii primilor termeni. Înainte de a începe să rezolvați oricare dintre aceste probleme, este recomandat să citiți cu atenție starea, să înțelegeți clar ce trebuie să găsiți și abia apoi să continuați cu soluția.
Un alt sfat este să depuneți eforturi pentru simplitate, adică dacă puteți răspunde la o întrebare fără a utiliza calcule matematice complexe, atunci trebuie să faceți exact asta, deoarece în acest caz probabilitatea de a face o greșeală este mai mică. De exemplu, în exemplul unei progresii aritmetice cu soluția nr. 6, s-ar putea opri la formula S mn = n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m și pauză sarcină comunăîn subsarcini separate (în în acest caz, mai întâi găsiți termenii a n și a m).
Dacă aveți îndoieli cu privire la rezultatul obținut, este recomandat să îl verificați, așa cum s-a făcut în unele dintre exemplele date. Am aflat cum să găsim o progresie aritmetică. Dacă îți dai seama, nu este atât de greu.
Conceptul de succesiune de numere implică faptul că fiecărui număr natural îi corespunde o anumită valoare reală. O astfel de serie de numere poate fi fie arbitrară, fie poate avea anumite proprietăți - o progresie. În acest din urmă caz, fiecare element (membru) ulterior al secvenței poate fi calculat folosind cel anterior.
Progresie aritmetică - succesiune valori numerice, în care membrii săi vecini diferă între ei prin același număr (toate elementele seriei, începând cu al 2-lea, au o proprietate similară). Acest număr– diferența dintre termenii anterior și următor este constantă și se numește diferență de progresie.
Diferența de progresie: definiție
Să considerăm o succesiune formată din j valori A = a(1), a(2), a(3), a(4) ... a(j), j aparține mulțimii numerelor naturale N. O aritmetică progresia, conform definiției sale, este o succesiune , în care a(3) – a(2) = a(4) – a(3) = a(5) – a(4) = … = a(j) – a(j-1) = d. Valoarea d este diferența dorită a acestei progresii.
d = a(j) – a(j-1).
A evidentia:
- O progresie crescătoare, caz în care d > 0. Exemplu: 4, 8, 12, 16, 20, ...
- Progresie descrescătoare, apoi d< 0. Пример: 18, 13, 8, 3, -2, …
Progresia diferențelor și elementele sale arbitrare
Dacă se cunosc 2 termeni arbitrari ai progresiei (i-th, k-th), atunci diferența pentru o anumită secvență poate fi determinată pe baza relației:
a(i) = a(k) + (i – k)*d, ceea ce înseamnă d = (a(i) – a(k))/(i-k).
Diferența de progresie și primul său termen
Această expresie va ajuta la determinarea unei valori necunoscute numai în cazurile în care numărul elementului de secvență este cunoscut.
Diferența de progresie și suma ei
Suma unei progresii este suma termenilor ei. Pentru a calcula valoarea totală a primelor sale j elemente, utilizați formula corespunzătoare:
S(j) =((a(1) + a(j))/2)*j, dar din moment ce a(j) = a(1) + d(j – 1), apoi S(j) = ((a(1) + a(1) + d(j – 1))/2)*j=(( 2a(1) + d(– 1))/2)*j.
Se încarcă...