Hogyan találjuk meg egy másodfokú függvény parabola csúcsának koordinátáit. Parabola - másodfokú függvény tulajdonságai és grafikonja

Az alak függvénye, ahol meg van hívva másodfokú függvény.

A másodfokú függvény grafikonja − parabola.

Vegye figyelembe az eseteket:

I. ESET, KLASSZIKUS PARABOLA

Azaz ,

Az összeállításhoz töltse ki a táblázatot úgy, hogy x értéket helyettesít a képletben:

Pontok megjelölése (0;0); (1;1); (-1;1) stb. a koordinátasíkon (a kisebb lépésnél az x értékeit vesszük (in ez az eset lépés), és minél több x értéket veszünk fel, annál simább lesz a görbe), egy parabolát kapunk:

Könnyen belátható, hogy ha a , , esetet vesszük, akkor a tengelyre szimmetrikus parabolát kapunk (ökör). Ezt könnyen ellenőrizheti egy hasonló táblázat kitöltésével:

II. ESET, „A” EGYETLEN

Mi lesz, ha , , ? Hogyan fog megváltozni a parabola viselkedése? With title="(!LANG:Rendered by QuickLaTeX.com" height="20" width="55" style="vertical-align: -5px;"> парабола изменит форму, она “похудеет” по сравнению с параболой (не верите – заполните соответствующую таблицу – и убедитесь сами):!}

Az első képen (lásd fent) jól látható, hogy a parabola (1;1), (-1;1) pontjai a táblázatból (1;4), (1;-4) pontokká alakultak, azaz azonos értékekkel az egyes pontok ordinátáját megszorozzuk 4-gyel. Ez megtörténik az eredeti táblázat összes kulcspontjával. Hasonlóan érvelünk a 2. és 3. kép esetében is.

És amikor a parabola "szélesebb lesz", parabola:

Összegezzük:

1)Az együttható előjele felelős az ágak irányáért. With title="(!LANG:Rendered by QuickLaTeX.com" height="14" width="47" style="vertical-align: 0px;"> ветви направлены вверх, при - вниз. !}

2) Abszolút érték együttható (modulus) felelős a parabola „tágulásáért”, „összenyomódásáért”. Minél nagyobb , annál keskenyebb a parabola, minél kisebb |a|, annál szélesebb a parabola.

III. ESET: „C” MEGJELENIK

Most tegyük játékba (vagyis azt az esetet vesszük figyelembe, amikor ), a formájú parabolákat fogjuk figyelembe venni. Könnyen kitalálható (mindig hivatkozhat a táblázatra), hogy a parabola felfelé vagy lefelé mozog a tengely mentén, az előjeltől függően:

IV. ESET, „b” MEGJELENÉS

Mikor fog a parabola „leszakadni” a tengelyről, és végre „járni” a teljes koordinátasíkon? Amikor megszűnik egyenlő lenni.

Itt egy parabola megalkotásához szükségünk van képlet a csúcs kiszámításához: , .

Tehát ezen a ponton (mint az új koordináta-rendszer (0; 0) pontjában) megépítünk egy parabolát, ami már rajtunk belül van. Ha az esettel foglalkozunk, akkor felülről félreteszünk egy egységszegmenst jobbra, egyet felfelé, - a kapott pont a miénk (hasonlóan egy lépés balra, egy lépés a mi pontunk); ha például foglalkozunk, akkor felülről egy szegmenst félreteszünk jobbra, kettőt felfelé stb.

Például egy parabola csúcsa:

Most a legfontosabb, hogy megértsük, hogy ebben a csúcsban parabolát fogunk építeni a parabolasablon szerint, mert esetünkben.

Parabola felépítésénél a csúcs koordinátáinak megtalálása után nagyonÉrdemes a következő szempontokat figyelembe venni:

1) parabola át kell mennie a ponton . Valóban, ha x=0-t behelyettesítünk a képletbe, azt kapjuk, hogy . Azaz a parabola és a tengellyel való metszéspontjának ordinátája (oy), ez van. A fenti példánkban a parabola pontban metszi az y tengelyt, mivel .

2) szimmetriatengely parabolák egy egyenes, így a parabola minden pontja szimmetrikus lesz rá. Példánkban azonnal felvesszük a (0; -2) pontot, és a szimmetriatengelyre szimmetrikusan építünk egy parabolát, megkapjuk azt a pontot (4; -2), amelyen a parabola áthalad.

3) Egyenlőséggel megtudjuk a parabola és a tengellyel (ökör) való metszéspontokat. Ehhez megoldjuk az egyenletet. A diszkriminánstól függően egyet (, ), kettőt ( title="(!LANG:Rendered by QuickLaTeX.com) kapunk" height="14" width="54" style="vertical-align: 0px;">, ) или нИсколько () точек пересечения с осью (ох) !} . Az előző példában megvan a diszkrimináns gyöke - nem egész, felépítésekor nem igazán van értelme megtalálni a gyökereket, de jól látható, hogy két metszéspontunk lesz a (ó) tengely (mivel a cím = "(!LANG: QuickLaTeX.com rendereli" height="14" width="54" style="vertical-align: 0px;">), хотя, в общем, это видно и без дискриминанта.!}

Szóval dolgozzunk

Algoritmus egy parabola felépítéséhez, ha az formában van megadva

1) határozza meg az ágak irányát (a>0 - felfelé, a<0 – вниз)

2) keresse meg a parabola csúcsának koordinátáit a , képlettel.

3) megkeressük a parabola metszéspontját a tengellyel (oy) a szabad taggal, építünk az adotthoz szimmetrikus pontot a parabola szimmetriatengelyéhez képest (meg kell jegyezni, hogy előfordul, hogy nem kifizetődő ezt a pontot megjelölni, például mert nagy az érték... ezt a pontot kihagyjuk...)

4) A talált pontban - a parabola tetején (mint az új koordinátarendszer (0; 0) pontjában) parabolát építünk. If title="(!LANG:Rendered by QuickLaTeX.com" height="20" width="55" style="vertical-align: -5px;">, то парабола становится у’же по сравнению с , если , то парабола расширяется по сравнению с !}

5) Megtaláljuk a parabola metszéspontjait a tengellyel (oy) (ha még nem „felszínre kerültek”), megoldva az egyenletet

1. példa

2. példa

Megjegyzés 1. Ha a parabolát kezdetben a formában adjuk meg nekünk, ahol néhány szám van (például ), akkor még könnyebb lesz felépíteni, mert már megkaptuk a csúcs koordinátáit. Miért?

Vegyünk egy négyzetes trinomiált, és válasszunk ki benne egy teljes négyzetet: Nézze, itt van, hogy , . Korábban a parabola tetejét, azaz most, neveztük.

Például, . A síkon jelöljük a parabola tetejét, megértjük, hogy az ágak lefelé irányulnak, a parabola kitágult (viszonylag). Vagyis végrehajtjuk az 1. lépést; 3; négy; 5. ábra a parabola felépítésének algoritmusából (lásd fent).

2. megjegyzés. Ha a parabolát ehhez hasonló formában adjuk meg (vagyis két lineáris tényező szorzataként ábrázoljuk), akkor azonnal látjuk a parabola metszéspontjait az (x) tengellyel. Ebben az esetben - (0;0) és (4;0). A többinél az algoritmus szerint járunk el, kinyitva a zárójeleket.

Mindenki tudja, mi az a parabola. De hogyan kell helyesen, hozzáértően használni különféle gyakorlati problémák megoldásában, az alábbiakban megértjük.

Először is jelöljük azokat az alapfogalmakat, amelyeket az algebra és a geometria ad ehhez a kifejezéshez. Mindent fontoljon meg lehetséges típusok ezt a diagramot.

Megtanuljuk ennek a funkciónak az összes főbb jellemzőjét. Ismerjük meg a görbe (geometria) felépítésének alapjait. Tanuljuk meg, hogyan találjuk meg az ilyen típusú grafikon felső, egyéb alapértékeit.

Megtudjuk: hogyan épül fel helyesen a szükséges görbe az egyenlet szerint, mire kell figyelni. Lássuk a főt gyakorlati használat ezt az egyedülálló értéket az emberi életben.

Mi a parabola és hogyan néz ki

Algebra: Ez a kifejezés egy másodfokú függvény grafikonjára utal.

Geometria: Ez egy másodrendű görbe, amely számos sajátos tulajdonsággal rendelkezik:

Kanonikus parabola egyenlet

Az ábrán egy téglalap alakú koordináta-rendszer (XOY), egy szélsőség látható, a függvény rajzolásának iránya az abszcissza tengelye mentén húzza az ágakat.

A kanonikus egyenlet a következő:

y 2 \u003d 2 * p * x,

ahol a p együttható a parabola (AF) fókuszparamétere.

Az algebrában másképp írják:

y = a x 2 + b x + c (felismerhető minta: y = x 2).

Másodfokú függvény tulajdonságai és grafikonja

A függvénynek van egy szimmetriatengelye és egy középpontja (extrémum). A definíciós tartomány az x tengely összes értéke.

A - (-∞, M) vagy (M, +∞) függvény értéktartománya a görbe ágainak irányától függ. Az M paraméter itt a sor tetején lévő függvény értékét jelenti.

Hogyan határozzuk meg, hová irányulnak a parabola ágai

Az ilyen típusú görbe irányának meghatározásához egy kifejezésből meg kell adni az előjelet az algebrai kifejezés első paramétere előtt. Ha a ˃ 0, akkor felfelé irányulnak. Ellenkező esetben lefelé.

Hogyan találjuk meg a parabola csúcsát a képlet segítségével

A szélsőség megtalálása a fő lépés számos gyakorlati probléma megoldásában. Természetesen nyithat speciális online számológépek de jobb, ha magad is meg tudod csinálni.

Hogyan kell meghatározni? Van egy speciális képlet. Ha b nem egyenlő 0-val, meg kell keresnünk ennek a pontnak a koordinátáit.

Képletek a csúcs megtalálásához:

x 0 \u003d -b / (2 * a);
y 0 = y (x 0).

Példa.

Van egy y \u003d 4 * x 2 + 16 * x - 25 függvény. Keressük meg ennek a függvénynek a csúcsait.

Egy ilyen sorhoz:

x \u003d -16 / (2 * 4) \u003d -2;
y = 4 * 4 - 16 * 2 - 25 = 16 - 32 - 25 = -41.

Megkapjuk a csúcs koordinátáit (-2, -41).

Parabola eltolás

A klasszikus eset az, amikor egy y = a x 2 + b x + c másodfokú függvényben a második és a harmadik paraméter 0, és = 1 - a csúcs a (0; 0) pontban van.

Az abszcissza vagy ordináta tengelyek mentén történő mozgás a b és c paraméterek változásának köszönhető. A vonal eltolása a síkon pontosan az egységek számával történik, amely megegyezik a paraméter értékével.

Példa.

Van: b = 2, c = 3.

Ez azt jelenti klasszikus megjelenés a görbe 2 egységnyi szegmenssel tolódik el az abszcissza tengely mentén és 3 egységnyi szegmenssel az ordináta tengely mentén.

Hogyan készítsünk parabolát másodfokú egyenlet segítségével

Fontos, hogy az iskolások megtanulják, hogyan kell helyesen rajzolni egy parabolát a megadott paraméterek szerint.

A kifejezések és egyenletek elemzésével a következőket láthatja:

A kívánt egyenes és az ordinátavektor metszéspontja c-vel egyenlő lesz.
A grafikon minden pontja (az x tengely mentén) szimmetrikus lesz a függvény fő szélsőértékéhez képest.

Ezenkívül az OX-szel való metszéspontok megtalálhatók egy ilyen függvény diszkriminánsának (D) ismeretében:

D \u003d (b 2 - 4 * a * c).

Ehhez a kifejezést nullával kell egyenlővé tenni.

A parabola gyökerek jelenléte az eredménytől függ:

D ˃ 0, akkor x 1, 2 = (-b ± D 0,5) / (2 * a);
D \u003d 0, majd x 1, 2 = -b / (2 * a);
D ˂ 0, akkor nincs metszéspont az OX vektorral.

Megkapjuk a parabola felépítésének algoritmusát:

határozza meg az ágak irányát;
keresse meg a csúcs koordinátáit;
keresse meg az y tengellyel való metszéspontot;
keresse meg az x tengellyel való metszéspontot.

1. példa

Adott egy y \u003d x 2 - 5 * x + 4 függvény. Fel kell építeni egy parabolát. A következő algoritmus szerint járunk el:

a \u003d 1, ezért az ágak felfelé irányulnak;
szélső koordináták: x = - (-5) / 2 = 5/2; y = (5/2) 2-5 * (5/2) + 4 = -15/4;
metszi az y tengellyel y = 4 értékben;
keresse meg a diszkriminánst: D = 25 - 16 = 9;
gyökereket keres

X 1 \u003d (5 + 3) / 2 = 4; (4, 0);
X 2 \u003d (5-3) / 2 = 1; (tíz).

2. példa

Az y \u003d 3 * x 2 - 2 * x - 1 függvényhez parabolát kell építeni. A fenti algoritmus szerint járunk el:

a \u003d 3, ezért az ágak felfelé irányulnak;
szélső koordináták: x = - (-2) / 2 * 3 = 1/3; y = 3 * (1/3) 2 - 2 * (1/3) - 1 = -4/3;
az y tengellyel az y \u003d -1 értékkel metszi egymást;
keresse meg a diszkriminánst: D \u003d 4 + 12 \u003d 16. Tehát a gyökerek:

X 1 \u003d (2 + 4) / 6 = 1; (1;0);
X 2 \u003d (2-4) / 6 = -1/3; (-1/3; 0).

A kapott pontokból parabolát építhet.

Irány, excentricitás, parabola fókusza

A kanonikus egyenlet alapján az F fókusznak vannak koordinátái (p/2, 0).

Az AB egyenes egy irányító (egyfajta bizonyos hosszúságú parabola akkord). Egyenlete x = -p/2.

Excentricitás (állandó) = 1.

Következtetés

Megfontoltuk azt a témát, amelyben a diákok tanulnak Gimnázium. Most már tudja, hogy egy parabola másodfokú függvényét tekintve hogyan találja meg a csúcsát, melyik irányba fognak az ágak irányítani, van-e eltolás a tengelyek mentén, és konstrukciós algoritmussal megrajzolhatja a gráfját.

A másodfokú függvény grafikonját parabolának nevezzük. Ennek a vonalnak jelentős fizikai jelentősége van. Néhányan parabolák mentén mozognak égitestek. Egy parabola alakú antenna a parabola szimmetriatengelyével párhuzamos nyalábokat fókuszál. A szögben felfelé dobott testek elérik felső pontés leesik, egyben egy parabolát is leírva. Nyilvánvalóan mindig hasznos tudni ennek a mozgásnak a csúcsának koordinátáit.

Utasítás

1. Kvadratikus függvény mindenben Általános nézet az egyenlet írja fel: y = ax? + bx + c. Ennek az egyenletnek a grafikonja egy parabola, amelynek ágai felfelé (a > 0 esetén) vagy lefelé (egy< 0). Школьникам предлагается легко запомнить формулу вычисления координат вершины параболы. Вершина параболы лежит в точке x0 = -b/2a. Подставив это значение в másodfokú egyenlet, kap y0: y0 = a(-b/2a)? – b?/2a + c = – b?/4a + c.

2. A derivált ábrázolásával barátkozó emberek könnyen megtalálhatják a parabola csúcsát. A parabola ágainak elhelyezkedésétől függetlenül a csúcsa egy szélsőpont (minimum, ha az ágak felfelé irányulnak, vagy maximum, ha az ágak lefelé irányulnak). Ahhoz, hogy bármely függvény feltételezett szélsőértékének pontjait megtaláljuk, ki kell számítanunk annak első deriváltját, és nullával kell egyenlővé tenni. Általában a másodfokú függvény deriváltja f "(x) \u003d (ax? + bx + c) '= 2ax + b. Nullával egyenértékű, 0 \u003d 2ax0 + b => x0 \u003d -b / 2a.

3. A parabola szimmetrikus egyenes. A szimmetriatengely a parabola tetején halad át. A parabola és az X koordinátatengellyel való metszéspontok ismeretében könnyen megtalálhatjuk az x0 csúcs abszcisszáját. Legyen x1 és x2 a parabola gyöke (a parabola ún. metszéspontja az abszcissza tengellyel, mert ezek az értékek az ax? + bx + c másodfokú egyenletet nullára fordítják). Ezenkívül legyen |x2| > |x1|, akkor a parabola csúcsa közöttük középen helyezkedik el, és a következő kifejezésből kereshető: x0 = ?(|x2| – |x1|).

A parabola egy másodfokú függvény gráfja, általánosságban a parabola egyenlete y=ax^2+bx+c, ahol a?0. Ez egy univerzális, másodrendű görbe, amely az élet számos jelenségét írja le, például egy feldobott, majd egy leeső test mozgását, a szivárvány alakját, és ezáltal az észlelhető tudást. parabola hasznos lehet az életben.

Szükséged lesz

egy másodfokú egyenlet képlete;
- egy papírlap koordináta ráccsal;
- ceruza radír;
- Számítógép és Excel.

Utasítás

1. Először is keresse meg a parabola tetejét. Ennek a pontnak az abszcissza meghatározásához vegyük az x előtti értéket, osszuk el az x^2 előtti érték kétszeresével, és szorozzuk meg -1-gyel (x=-b/2a képlet). Keresse meg az ordinátát úgy, hogy a kapott értéket behelyettesíti az egyenletbe, vagy az y \u003d (b ^ 2-4ac) / 4a képlettel. Megkaptad a parabola csúcspontjának koordinátáit.

2. A parabola teteje más módszerrel is megkereshető. Mivel a csúcs a függvény szélsőpontja, akkor ennek kiszámításához számítsa ki az első deriváltot, és egyenlővé tegye nullával. Általánosságban az f(x)' = (ax? + bx + c)' = 2ax + b képletet kapjuk. És ha nullával egyenlővé teszi, ugyanarra a képletre jut - x \u003d -b / 2a.

3. Nézze meg, hogy a parabola ágai felfelé vagy lefelé mutatnak. Ehhez nézzük meg az x^2 előtti kitevőt, vagyis az a-t. Ha a>0, akkor az ágak felfelé irányulnak, ha a

4. Szerkesszük meg a parabola szimmetriatengelyét, amely metszi a parabola csúcsát és párhuzamos az y tengellyel. A parabola minden pontja egyenlő távolságra lesz tőle, ezért csak egy részt szabad megépíteni, majd szimmetrikusan megjeleníteni a parabola tengelyéhez képest.

5. Rajzolj egy parabola vonalat. Ehhez keressen meg több pontot helyettesítéssel különféle jelentések x egyenletekbe és az egyenlőség megoldásába. Kényelmes a tengelyekkel való metszéspont detektálása, ehhez helyettesítsük be az egyenletbe x=0 és y=0 értékeket. Az egyik oldalt megemelve szimmetrikusan tükrözze a tengely körül.

6. Felállítása megengedett parabola segítséggel Excel programok. Ehhez nyissa meg a legújabb dokumentumot, és jelöljön ki benne két oszlopot: x és y \u003d f (x). Az első oszlopba írja fel az x értékeket a kiválasztott szegmensre, a második oszlopba pedig írja le a képletet, mondjuk =2B3*B3-4B3+1 vagy =2B3^2-4B3+1. Annak érdekében, hogy ezt a képletet ne írjuk le minden alkalommal, a jobb alsó sarokban lévő kis keresztre kattintva „nyújtsa ki” minden oszlopra, és húzza lefelé.

7. Miután megkapta a táblázatot, kattintson a "Beszúrás" - "Diagram" menüre. Válassza ki a szórásdiagramot, majd kattintson a Tovább gombra. A megjelenő ablakban a "Hozzáadás" gombra kattintva adjon hozzá egy sort. A szükséges cellák előnyben részesítéséhez kattintson egyenként a lenti, piros, oválisan bekarikázott gombokra, majd válassza ki az értékeket tartalmazó oszlopokat. A "Befejezés" gombra kattintva értékelje az eredményt - a kész parabola .

Kapcsolódó videók

Ha olyan másodfokú függvényt keresünk, amelynek gráfja parabola, akkor az egyik pontban meg kell találni koordináták csúcsok parabolák. Hogyan lehet ezt analitikusan megtenni a parabolára megadott egyenlet segítségével?

Utasítás

1. A másodfokú függvény az y=ax^2+bx+c formájú függvény, ahol a a legmagasabb kitevő (nem nulla lehet), b a legalacsonyabb kitevő, c szabad tag. Ez a függvény a gráfjához egy parabolát ad, amelynek ágai felfelé (ha a > 0) vagy lefelé (ha a<0). При a=0 квадратичная функция вырождается в линейную функцию.

2. Keressük az x0 koordinátát csúcsok parabolák. Megtalálható az x0=-b/a képlettel.

3. y0=y(x0) Az y0 koordináta megkereséséhez csúcsok parabolák esetén az x helyett a felfedezett x0 értéket kell behelyettesítenie a függvénybe. Számold meg, mi az y0.

4. Koordináták csúcsok parabolákat találtak. Írd le őket egy pont koordinátáiként (x0,y0).

5. A parabola megalkotásakor ne feledje, hogy az szimmetrikus a parabola szimmetriatengelyére, és függőlegesen halad át a parabola csúcsán, mert a másodfokú függvény páros. Következésképpen elegendő a parabolának csak az egyik ágát megépíteni a pontokban, a másikat pedig szimmetrikusan kiegészíteni.

Kapcsolódó videók

Függvényeknél (vagy inkább grafikonjainál) a legnagyobb érték megjelenítését használjuk, beleértve a helyi maximumot is. A "felső" ábrázolása inkább geometriai alakzatokhoz kapcsolódik. A deriválttal rendelkező sima függvények maximumpontjai könnyen meghatározhatók az első derivált nulláinak segítségével.

Utasítás

1. Azoknál a pontoknál, ahol a függvény nem differenciálható, hanem állandó, az intervallum legnagyobb értéke tippnek tűnhet (például y=-|x|). A grafikon ilyen pontjain funkciókat tetszőleges számú érintőt húzhatunk, és ennek deriváltja nem könnyen létezik. maguk funkciókat az ilyen típusúakat általában szegmenseken adják meg. Azok a pontok, ahol a derivált funkciókat nulla vagy nem létezik, szkeptikusnak nevezik.

2. Kiderül, hogy megtaláljuk a maximumok pontjait funkciókat y=f(x) a következőket kell tenni: - szkeptikus pontokat észlelni, - maximum pont előnyben részesítése érdekében a derivált előjelét a szkeptikus pont közelében kell kimutatni. Ha a pont áthaladása során a jel váltakozik "+"-ról "-"-ra, akkor van maximum.

3. Példa. A legmagasabb értékek észlelése funkciókat(lásd az 1. ábrát).y=x+3 x?-1 és y=((x^2)^(1/3)) –x x>-1 esetén.

4. Rajna. y=x+3 x?-1 esetén és y=((x^2)^(1/3)) –x x>-1 esetén. A funkció szándékosan van beállítva szegmensekre, mert ebben az esetben az a cél, hogy mindent egy példában jelenítsen meg. Könnyen ellenőrizhető, hogy x=-1 esetén a függvény állandó marad. y'=1 x?-1 esetén y'=(2/3)(x^(-1/3))-1=(2- 3(x ^(1/3))/(x^(1/3)) x>-1 esetén. y'=0 x=8/27 esetén. y' nem létezik x=-1 és x= esetén 0. y'>0 ha x

Kapcsolódó videók

A parabola a másodrendű görbék egyike, pontjai egy másodfokú egyenlet szerint vannak megszerkesztve. Ennek a ferde résznek a felépítésében a legfontosabb, hogy megtaláljuk csúcs parabolák. Ezt többféleképpen is meg lehet tenni.

Utasítás

1. Egy csúcs koordinátáinak megtalálása parabolák, használja a következő képletet: x \u003d -b / 2a, ahol a az x előtti mutató négyzetben, és b az x előtti mutató. Csatlakoztassa értékeit, és számítsa ki az értékét. Ezt követően az egyenletben x helyett a kapott értéket cseréljük be, és számítsuk ki a csúcs ordinátáját. Tegyük fel, hogy ha megkapja az y \u003d 2x ^ 2-4x + 5 egyenletet, akkor keresse meg az abszcisszát a következő módon: x \u003d - (-4) / 2 * 2 \u003d 1. Az egyenletbe behelyettesítve x=1-et, számítsuk ki a csúcs y értékét parabolák: y=2*1^2-4*1+5=3. Tehát a csúcs parabolák koordinátái vannak (1;3).

2. Ordináta érték parabolák az abszcissza előzetes kiszámítása nélkül is észlelhető. Ehhez használja az y \u003d -b ^ 2 / 4ac + c képletet.

3. Ha ismeri a derivált ábrázolást, fedezze fel csúcs parabolák deriváltak segítségével, bármely függvény egy további tulajdonságát felhasználva: a függvény nullával egyenlő első deriváltja a szélsőpontokra mutat. Mert a felső parabolák, függetlenül attól, hogy ágai felfelé vagy lefelé irányulnak, szélsőséges pont, számítsa ki a függvény deriváltját. Általános formájában így fog kinézni: f(x)=2ax+b. Egyenlítse nullával, és kapja meg a csúcs koordinátáit parabolák, a funkciójának megfelelően.

4. Próbáld felfedezni csúcs parabolák, kihasználva olyan tulajdonságát, mint a szimmetria. Ehhez keresse meg a metszéspontokat parabolák az x tengellyel, a függvényt nullával egyenlővé téve (y=0 helyett). A másodfokú egyenlet megoldásával x1-et és x2-t találunk. Mivel a parabola szimmetrikus az áthaladó direktrixhez képest csúcs, ezek a pontok egyenlő távolságra lesznek a csúcs abszcisszájától. Az észleléshez a pontok közötti távolságot felezzük: x \u003d (Ix1-x2I) / 2.

5. Ha bármelyik kitevő nulla (az a kivételével), számítsa ki a csúcs koordinátáit parabolák egyszerűsített képletekkel. Tegyük fel, hogy ha b=0, azaz az egyenlet alakja y=ax^2+c, akkor a csúcs az y tengelyen fog feküdni, és a koordinátái egyenlőek lesznek (0;c). Ha nem csak a kitevő b=0, hanem c=0 is, akkor a csúcs parabolák az origóban, a pontban (0;0) található.

Kapcsolódó videók

Egy pontból kiindulva az egyenesek szöget zárnak be, ahol közös pontjuk a csúcs. Az elméleti algebra szekcióban gyakran adódnak problémák, amikor ennek koordinátáit kell megtalálni csúcsok, hogy azután meghatározzuk a csúcson áthaladó egyenes egyenletét.

Utasítás

1. Mielőtt elkezdené a koordináták keresési folyamatát csúcsok, döntsön a kezdeti adatokról. Tegyük fel, hogy a kívánt csúcs az ABC háromszöghez tartozik, amelyben a másik 2 csúcs koordinátái ismertek, és azt is számértékek sarkok egyenlő "e"-vel és "k"-vel az AB oldalon.

2. Igazítsa új rendszer koordinátákat az AB háromszög egyik oldalán úgy, hogy a koordinátarendszer előszava egybeessen az A ponttal, amelynek koordinátáit ismeri. A második B csúcs az OX tengelyen fog feküdni, és ismerjük a koordinátáit is. Határozzuk meg az OX tengely mentén az AB oldal hosszának értékét a koordináták szerint, és vegyük egyenlőnek "m"-rel.

3. Engedje le a merőlegest az ismeretlentől csúcsok C az OX tengelyre, illetve az AB háromszög oldalára. A kapott magasság "y", és meghatározza az egyik koordináta értékét csúcsok C az OY tengely mentén. Tegyük fel, hogy az "y" magasság az AB oldalt két "x" és "m - x" szelvényre osztja.

4. Attól, hogy ismered mindennek a jelentését sarkok háromszögek, ami azt jelenti, hogy az érintőik értékei is híresek. Fogadja el az érintőket sarkok az AB háromszög oldalával szomszédos, egyenlő tan(e) és tan(k).

5. Adja meg az AC és BC oldalak mentén haladó két egyenes egyenletét: y = tan(e) * x és y = tan(k) * (m – x). Ezután keresse meg ezen egyenesek metszéspontját a transzformált egyenes egyenletek alkalmazásával: tan(e) = y/x és tan(k) = y/(m – x).

6. Feltételezve, hogy a tan(e)/tan(k) egyenlő (y/x) /(y/ (m - x)) vagy későbbi, mint "y" - (m - x) / x , akkor a kívánt koordinátákat kapjuk egyenlő x = m / (tan(e)/tan(k) + e) és y = x * tan(e).

7. Csatlakoztassa az értékeket sarkok(e) és (k), valamint a detektált oldalérték AB = m az x = m / (tan(e)/tan(k) + e) és y = x * tan(e) egyenletekben.

8. Konvertálja az új koordináta-rendszert a kezdeti koordináta-rendszerbe, mivel egy az egyhez megfelelés van közöttük, és kapja meg a kívánt koordinátákat csúcsok ABC háromszög.

Kapcsolódó videók

Nagaeva Svetlana Nikolaevna, a MAOU "Lyceum No. 1" matematika tanára Berezniki városában.

Projekt algebra óra 9. osztályban(humanitárius profil).

„A legmélyebb lenyomat hagyja ott azt, amit az ember maga fedezett fel.” (D. Poya.)

Az óra témája:"A parabola csúcsának koordinátáinak kiszámítására szolgáló képletek származtatása".

Az óra céljai: kognitív :

Várható eredmény:

- a probléma tudatosítása, elfogadása és megoldása a tanulók részéről;

Új tudás megszerzésének módjainak kialakítása összehasonlítás és tények összehasonlítása révén, út az egyeditől az általános felé;

Megtanulják az y = ax 2 +bx+c alakú függvényekre a parabola csúcsának koordinátáinak és szimmetriatengelyének megkeresésére szolgáló képleteket.

Az óra típusa: színreviteli óra tanulási feladat. Tanítási módszerek- vizuális-szemléltető, verbális, együttműködésben tanuló, problematikus, kritikai gondolkodás technológia elemei.

Felszerelés: számítógép, multimédiás projektor, bemutató képernyő, prezentációs diák a következő témában: "Képletek a parabola csúcsának koordinátáihoz"; A3 formátumú lapok; színes markerek.

Technológia- rendszer-aktivitás megközelítés.

Az óra lépései:

Pszichológiai attitűd (motiváció).

Frissítés Alap tudás(sikerhelyzet kialakítása).

A probléma megfogalmazása.

Az óra témájának és céljának megfogalmazása.

Megoldás.

A probléma megoldásának menetének elemzése.

A probléma megoldásának eredményeinek alkalmazása a későbbi tevékenységekben.

Az óra összegzése (a tanuló „szemének” eredménye, a tanár „szemének” eredménye.).

Házi feladat.

Az órák alatt:

Pszichológiai hangulat.

Feladat: Tanulj meg megoldani közös feladatés csapatban dolgozni (5 fős csoportokban dolgozni).

Srácok, az elmúlt négy leckében a másodfokú függvényt tanulmányoztuk, de tudásunk még nem teljesen teljes, ezért folytatjuk a másodfokú függvény tanulmányozását, hogy valami újat tanuljunk erről a függvényről.

A tanulók motiválása az óra témájának és céljának önálló meghatározására.

Funkció
és a menetrendjét.

;
;

Grafikonfüggvények nélkül válaszolhatunk a következő kérdésekre:

Mi az a függvénygráf?

Melyik egyenes a szimmetriatengely (ha létezik)?

3. Van-e csúcs, mik a koordinátái?

tudni akarom

A táblázat kitöltése az óra alatt történik.

A tanulók alapismereteinek, készségeinek felfrissítése.Bemelegítés. 1. Zárójelben a vezető együttható: 5x 2 + 25x -5; ax2 + bx + c. 2. Válassza ki a kettős szorzatot: ab; fejsze; b/a. 3. Négyzet: b/2; c2/a; 2a/3b. 4. Mutassuk be algebrai összeg formájában: a - c; x – (-b/2a).

Magyarázza el, hogyan, ismerve a függvénygráf alakját!y =ƒ( x ) , készítsen függvénygrafikonokat:

a ) y =ƒ(x - a) , - párhuzamos fordítás segítségével egy egységekkel jobbra a tengely mentén x;

b) y =ƒ(x) + b, - párhuzamos fordítással b egységnyit a tengely mentén felfelé y;

ban ben) y =ƒ(x- a) +b, ↔ be a egységek, ↕ be b egységek;

d) Hogyan ábrázoljunk függvényt y = (x - 2) 2 + 3 ? Mi a menetrendje?

Nevezze meg a parabola csúcsát!
A grafikon egy parabola y = x 2 csúcsponttal a (2; 3 ).

Melyek a parabola csúcsának koordinátái: y=x -4x+5( probléma). Miért nem lehet a függvény alakjával meghatározni a parabola csúcsának koordinátáit?(egy másodfokú függvénynek más a formája).

Diák tevékenységei:

Készítsen beszédkonstrukciókat funkcionális terminológia használatával.

A válaszok megbeszélése. Összehasonlítják, összehasonlítják a korábban tanulmányozott függvényekkel, kiválasztják és a táblára felírják azokat az ismereteket és készségeket, amelyekre szükségük lehet a probléma megoldásához az „ISMERD” oszlopban:

A "Tudni akarom" rovatban: a teteje, a parabola szimmetriatengelye
.

A tanulók az "ISMEREM" és az "ISMERNI AKAROK" oszlopokba írhatnak általános formában és egyedi esetekben is. A nevelési probléma megfogalmazása: keresse meg a parabola csúcsának koordinátáit, ha a másodfokú függvény általános formában van megadva y = fejsze + bx + c. A tanulók füzetbe fogalmazzák meg és írják le az óra témáját és célját.(A parabola csúcs koordinátáinak kiszámításához képletek származtatása. Tanuld meg a parabola csúcs koordinátáit új módon - képletek segítségével - megtalálni).

Megoldás.

Diák tevékenységei: A „régi” tudást az új tudással összehasonlítva a diákok azt javasolják, hogy emeljék ki a teljes négyzetet. A konkrét példák
;
és ennek megfelelően kapni
;
. Határozza meg a csúcs koordinátáit és a szimmetriatengely egyenletét! vezette új funkció ismerős pillantásra.

A tanulók egy teljes négyzetet választanak ki a függvényhez
; , hasonlítsa össze a kapott eredményt, vonjon le következtetést erre a függvényre. Keresse meg a csúcs és a szimmetriatengely koordinátáit!

Meg tudod-e nevezni a parabola csúcsát és tengelyét, ha a függvényt általánosan adjuk meg?
, a teljes négyzet kiemelése nélkül? Hogyan fog eljárni ebben az esetben? És hogyan alkalmazd korábbi tapasztalataidat a parabola csúcsának és tengelyének megtalálásában?

Diák tevékenységei:

A már meglévő ismeretek, tapasztalatok alapján a tanulók kezdik megérteni, hogy tovább kell menniük, a konkréttól az általános felé, és általános formában kell bizonyítani.

Új nehézségek jelennek meg. A megoldás csoportokban jelenik meg: . A probléma megoldásának menetének elemzése. Minden csoportból egy-egy képviselőt hallgatnak meg.

Hasonlítsa össze és elemezze a rekordokat
és
, a feladat egy általános megoldását írjuk a füzetbe - képletek a parabola csúcs koordinátáihoz
.

A tanulók következtetnek: a függvényhez tartozó parabola csúcsának és tengelyének koordinátái
racionális módon megtalálható.

A probléma megoldásának eredményeinek alkalmazása a későbbi tevékenységekben.

Diák tevékenységei:

Feladatok megoldása a 121. számú tankönyvből; 123. Határozza meg a parabola csúcsának koordinátáit új racionális módon! Írja fel annak az egyenesnek az egyenletét, amely a parabola szimmetriatengelye!

Összegzés (reflexió tanulási tevékenységek a leckében).

Térjünk vissza a táblázathoz, és töltsük ki a „TANULT” oszlopot.

Az óra eredménye a diákok "szemével":

TUDNI AKAROM

5. tudja, hogyan kell ezeket a függvényeket ábrázolni

6. tudja, hogyan kell megtalálni ezeknek a paraboláknak a csúcsainak koordinátáit és a parabola tengelyét

7. Teljes négyzet kiválasztási módszer

8. hogyan találjuk meg a parabola csúcsainak koordinátáit, tengelyét.

2. a parabola szimmetriatengelyének egyenlete

1. a parabola csúcsának koordinátái

2 .hogyan kell levezetni a képletet

3. racionális módszer a parabola tengelyének és a parabola csúcsának koordinátáinak megtalálására

Az eredmény "tanár szemével":

A lecke célját elértük.

A diákok felismerték, elfogadták és megoldották a problémát.

A feladatmegoldó feladat megoldása során a tanulók nemcsak új ismeretekre tettek szert: a négyzetes trinom együtthatóinak és a parabola csúcs koordinátáinak a függését, a szimmetriatengely egyenletét, hanem a legfontosabbat a lecke az új ismeretek megszerzésének általánosított módjainak kialakítása, a probléma önálló elemzése és az ismeretlen megtalálása.

Házi feladat: 7. tétel, 122., 127. b) és 128.

P.S. A bemutatott óra 2014. október 15-én a matematikatanárok városi szemináriumának részeként került megrendezésre "UUD kialakulása matematika órákon" témában.

Az "Eredmények alkalmazása ..." szakaszban a tankönyvből történő feladatok megoldása során néhány diák elkezdte megérteni "felfedezésük" értékét: tovább egyszerű módja a csúcs koordinátáinak és a szimmetriatengely egyenletének megtalálása, míg mások nem rejtették véka alá örömüket, mert nem kell "kínlódni" a teljes négyzet kiválasztásával. De ami a legfontosabb, mindent magunk csináltunk!

A parabola jelen van a matematika, a fizika és más tudományok világában. A mesterséges műholdak egy parabola pályája mentén mozognak, amelyek hajlamosak elhagyni a határokat Naprendszer, a labda röplabdázáskor a röppályáját is leírja. Tudnod kell parabolát építeni. És hogy ez könnyebb legyen, tudnod kell, hogyan találd meg a parabola tetejét.

Az y \u003d ax 2 + bx + c függvény grafikonját, ahol a az első együttható, b a második együttható, c a szabad tag, parabolának nevezzük. De vegye figyelembe, hogy a ≠ 0.

A parabola minden pontja rendelkezik szimmetrikus vele, kivéve egy pontot, és ezt a pontot csúcsnak nevezzük. Annak érdekében, hogy megtaláljon egy pontot, amely egy csúcs, el kell döntenie, hogy melyik pont a diagramon. Egy pont a grafikonon egy meghatározott koordináta az x tengely és az y tengely mentén. Jelölése: (x; y). Találjuk ki, hogyan találjuk meg a kincses számokat.

Első út

Ha szeretné tudni, hogyan kell helyesen kiszámítani egy csúcs koordinátáit, akkor csak az x0 = -b/2a képletet kell megtanulnia. A kapott számot behelyettesítve a függvénybe, y0-t kapunk.

Például y \u003d x 2 -8 x +15;

keresse meg az első, második együtthatót és a szabad tagot;

a=1, b=-8, c=15;

helyettesítse be a és b értékét a képletbe;

x0=8/2=4;

y értékek kiszámítása;

y0 = 16–32+15 = -1;

Tehát a csúcs a (4;-1) pontban van.

A parabola ágai szimmetrikusak a szimmetriatengelyre, amely átmegy a parabola tetején. Az egyenlet gyökereinek ismeretében könnyedén, minden nehézség nélkül kiszámíthatja a parabola csúcsának abszcisszáját. Tegyük fel, hogy k és n egy másodfokú egyenlet gyöke. Ekkor az x0 pont egyenlő távolságra van k és n ponttól, és a következő képlettel számítható ki: x0 = (k + n)/2.

Tekintsük az y \u003d x 2 -6x + 5 példát

1) egyenlő nullával:

x2 -6x+5=0.

2) Keresse meg a diszkriminánst a következő képlettel: D = b 2 -4 ac:

D \u003d 36–20 \u003d 16.

3) Keresse meg az egyenlet gyökereit a (-b±√ D)/2a képlettel:

1 - az első gyökér;
5 a második gyök.

4) Kiszámoljuk:

x0 =(5+1)/2=3

Második út

A teljes négyzet kiegészítése nagyszerű módja annak, hogy megtudja, hol van egy csúcs. Ezzel a módszerrel egyszerre számíthatja ki az x és y pontokat anélkül, hogy a kezdeti példában x-et kellene helyettesítenie. Tekintsük ezt a módszert a következő függvény használatával: y=x 2 +8 x +10.

1. Először a változóval rendelkező kifejezést 0-val kell egyenlővé tenni. Ezután mozgassa a c-t a-ra jobb oldal Val vel ellenkező előjel, vagyis az x 2 + 8x = -10 kifejezést kapjuk.

2. Most a bal oldalon egy teljes négyzetet kell készítenie. Ehhez számítsuk ki (b/2) 2-t, és növeljük az egyenlet eredményének mindkét oldalát. Ebben az esetben 8-cal kell helyettesítenie a b-t.

16-ot kapunk. Adjuk hozzá ezt a számot az egyenlet mindkét oldalához:

x 2 + 8x +16 = 6.

3. Látható, hogy a kapott kifejezés egy teljes négyzet. A következő formában ábrázolható: (x + 4) 2 = 6.

4. Ezzel a kifejezéssel keressük meg a parabola csúcsának koordinátáit. Az x kiszámításához egyenlővé kell tenni 0-val. Azt kapjuk, hogy x = -4. Az y-koordináta egyenlő azzal, ami a jobb oldalon van, azaz y = 6. Ennek az egyenletnek a parabolájának csúcsa (-4, 6).

Harmadik út

Ha tudja, mi az a származék, akkor van egy másik képlet az Ön számára. Függetlenül attól, hogy a parabola "szarvai" hol néznek ki, a teteje a szélső pont. Ehhez a módszerhez alkalmazni kell következő algoritmust:

1. Az első derivált megkeresése az f "(x) \u003d (ax² + bx + c) '\u003d 2ax + b képlettel.

2. A derivált 0-val egyenlővé tétele. Ennek eredményeként 0 = 2ax + b lesz, innen megtalálhatja azt, ami minket érdekel.

Tekintsük ezt a módszert részletesebben.

Adott egy y = 4x²+16x-17 függvény;

A deriváltot felírjuk és nullával egyenlővé tesszük.

f "(x) \u003d (4x² + 16x-17) ' \u003d 8x + 16 \u003d 0

A konstrukcióban a legnehezebb a függvény pontjainak helyes megtalálása. A részletes konstrukcióhoz 5-7 pontot kell számolnia (ez elég egy iskolai tanfolyamhoz). Ehhez válasszon ki egy tetszőleges x értéket, és cserélje be ebbe a függvénybe. A számítások eredménye az y tengely mentén található pontok száma lesz. Ezt követően a kapott pontokat feltesszük a koordinátasíkra. Ennek eredményeként egy parabolát kapunk.

Tekintsük részletesebben a megjelölendő pontok megtalálásának kérdését. Vegyük például az y \u003d -x 2 +11 x -24 függvényt, amelynek csúcsa az (5.5; -6.25) pontban van.

1) Asztal építése

Találja meg a megfelelő esélyeket.

Közbenső számításokat írjon papírra. Ez nem csak a csúcs megtalálását könnyíti meg, hanem segít megtalálni a hibáit is.

Mindent lépésről lépésre. Kövesse az algoritmust.

Kérjük, vegye figyelembe, hogy:

Ellenőriznie kell, hogy a megoldás helyes-e.
Meg kell nyugodnod. Bármilyen matematikai feladat megoldása tapasztalatot igényel. Csak dolgozni kell ez a téma, és akkor biztosan sikerülni fog.

Videó

Ebből a videóból megtudhatja, hogyan találja meg a parabola csúcsát

Nem kapott választ a kérdésére? Javasolj témát a szerzőknek.