Аритметичен метод. Урок по математика "алгебрични и аритметични методи за решаване на проблеми." Методи за обучение на учениците за решаване

Анализирайте тези проблеми, наблюдавайте какво общо имат проблемите от гледна точка на математиката, какви са разликите, намерете необикновен начин за решаване на проблеми, създайте касичка с техники за решаване на проблеми, научете как да решите един проблем различни начини.Симулатор на задачи, групирани в една тема „Аритметични методи за решаване на задачи“, задачи за работа в група и за индивидуална работа.

„задачи за ръководството на симулатора“

Обучител: „Аритметични методи за решаване на задачи“

„Сравняване на числа чрез сбор и разлика.“

В две кошници има 80 манатарки. Първата кошница съдържа 10 манатарки по-малко от втората. По колко манатарки има във всяка кошница?

Шивашкото ателие получи 480 м дънков плат и драп. Дънковият плат е доставен със 140 м повече от драперията. Колко метра деним получи студиото?

Моделът на телевизионната кула се състои от два блока. Долният блок е със 130 см по-къс от горния. Какви са височините на горния и долния блок, ако височината на кулата е 4 m 70 cm?

Две кутии съдържат 16 кг бисквити. Намерете масата на бисквитите във всяка кутия, ако в една от тях има още 4 кг бисквити.

Задача от „Аритметика” на Л. Н. Толстой.

а) Двама мъже имат 35 овце. Единият има 9 овце повече от другия. Колко овце има всеки човек?

б) Двама мъже имат 40 овце, а единият има 6 овце по-малко от другия. Колко овце има всеки човек?

В гаража имало 23 коли и мотоциклети с кош. Автомобилите и мотоциклетите имат 87 колела. Колко мотоциклета има в гаража, ако всеки кош има резервно колело?

„Ойлерови кръгове“.

Къщата има 120 жители, някои от които имат кучета и котки. На снимката има кръг СЪС изобразява жители с кучета, кръг ДА СЕ – жители с котки. Колко наематели имат и кучета, и котки? Колко наематели имат само кучета? Колко наематели имат само котки? Колко наематели нямат нито кучета, нито котки?

От 52 ученици 23 се занимават с волейбол и 35 с баскетбол, а 16 се занимават и с волейбол, и с баскетбол. Останалите не играят нито един от тези спортове. Колко ученици не практикуват нито един от тези спортове?

На снимката има кръг А изобразява всички служители на университета, които знаят английски език, кръг н – които знаят немски и кръг Е - Френски. Колко служители в университета знаят: а) 3 езика; б) английски и немски; в) френски? Колко служители има в университета? Колко от тях не говорят френски?

В международната конференция участваха 120 души. От тях 60 говорят руски, 48 говорят английски, 32 говорят немски, 21 говорят руски и немски, 19 говорят английски и немски, 15 говорят руски и английски, а 10 души говорят и трите езика. Колко участници в конференцията не говорят нито един от тези езици?

82 ученици пеят в хор и тренират танци. художествена гимнастикаУчениците са 32, като в хор пеят и се занимават с художествена гимнастика 78 ученика. Колко ученици пеят в хор, танцуват и се занимават с художествена гимнастика отделно, ако се знае, че всеки ученик прави само едно нещо?

Всяко семейство, живеещо в нашата къща, е абонирано или за вестник, или за списание, или и за двете. 75 семейства се абонират за вестник, а 27 семейства се абонират за списание, а само 13 семейства се абонират и за списание, и за вестник. Колко семейства живеят в нашата къща?

"Метод за коригиране на данни".

Има 29 цветя в 3 малки и 4 големи букета и 35 цветя в 5 малки и 4 големи букета. Колко цветя има във всеки букет поотделно?

Масата на 2 шоколадови блокчета – голямо и малко – е 120 г, а на 3 големи и 2 малки – 320 г. Каква е масата на всяко блокче?

5 ябълки и 3 круши тежат 810 г, а 3 ябълки и 5 круши тежат 870 г. Колко тежи една ябълка? Една круша?

Четири патета и пет гъски тежат 4 kg 100 g, пет патета и четири гъски тежат 4 kg. Колко тежи едно патенце?

За един кон и две крави се дава дневно по 34 кг сено, а за два коня и една крава - по 35 кг сено. Колко сено се дава на един кон и колко на една крава?

3 червени кубчета и 6 сини кубчета струват 165 тенге рубли. Освен това пет червени са с 95 тенге по-скъпи от две сини. Колко струва всяко кубче?

2 скицника и 3 албума за марки заедно струват 160 рубли, а 3 скицника струват 45 рубли. по-скъпо от два албума с марки.

"Брои".

Серьожа реши да подари на майка си букет цветя (рози, лалета или карамфили) за рождения й ден и да ги постави във ваза или в кана. По колко начина може да направи това?

Колко трицифрени числа могат да се съставят от цифрите 0, 1, 3, 5, ако цифрите в числото не се повтарят?

В сряда в 5 клас има пет урока: математика, физическо възпитание, история, руски език и природни науки. Колко различни опцииМожете ли да направите график за сряда?

„Древен начин за решаване на проблеми, свързани със смесване на вещества.“

Как да смесваме масла?Един човек имаше два вида масло за продажба: едното на цена от 10 гривни за кофа, другото на 6 гривни за кофа. Той искаше да направи масло от тези две масла, като ги смеси, струвайки 7 гривни на кофа. Какви части от тези две масла трябва да вземете, за да получите кофа масло на стойност 7 гривни?

Колко карамел трябва да вземете при цена 260 тенге за 1 кг и при цена 190 тенге за 1 кг, за да направите 21 кг от сместа на цена 210 тенге за килограм?

Някой има три вида чай - цейлонски за 5 гривни за фунт, индийски за 8 гривни за фунт и китайски за 12 гривни за фунт. В какви пропорции трябва да се смесят тези три сорта, за да се получи чай на стойност 6 гривни за фунт?

Някой има сребро от различни стандарти: един е 12-ти стандарт, друг е 10-ти стандарт, третият е 6-ти стандарт. Колко сребро трябва да вземете, за да получите 1 паунд 9-ти стандарт сребро?

Търговецът купи 138 аршина черен и син плат за 540 рубли. Въпросът е колко аршина е купил и за двете, ако синята струва 5 рубли? за аршин, а черно - 3 рубли?

Различни задачи.

За подаръците за Нова година купихме 87 кг плодове, а ябълките бяха със 17 кг повече от портокалите. Колко ябълки и колко портокали купихте?

На новогодишното дърво имаше 3 пъти повече снежинки за деца в карнавални костюми, отколкото в костюми на магданоз. Колко деца са били облечени в магданозени костюми, ако са били с 12 по-малко?

Маша получи 2 пъти по-малко Новогодишни поздравленияотколкото Коля. Колко поздравления е получил всеки човек, ако са общо 27? (9 и 18).

За новогодишните награди бяха закупени 28 кг сладки. Бонбони „Лястовица“ съставени от 2 части, „Муза“ - 3 части, „Ромашка“ - 2 части. Колко сладки от всеки вид сте купили? (8, 8, 12).

В склада има 2004 кг брашно. Може ли да се постави в чували с тегло 9 кг и тегло 18 кг?

В магазин "Всичко за чай" има 5 различни чаши и 3 различни чинийки По колко начина можете да закупите чаша и чинийка?

Кон изяжда купа сено за 2 дни, крава за 3, овца за 6. За колко дни ще изядат купата сено, ако я изядат заедно?

Вижте съдържанието на документа
"обобщение на урока arif sp"

"Аритметични методи за решаване на текстови задачи."

За студент по математика често е по-полезно да реши една и съща задача по три различни начина, отколкото да реши три или четири различни задачи. Като решавате един проблем по различни начини, можете да разберете чрез сравнение кой е по-кратък и по-ефективен. Така се развива опитът.

У. У. Сойер

Целта на урока: използвайте знанията, придобити в предишни уроци, покажете въображение, интуиция, въображение и изобретателност за решаване на тестови задачи по различни начини.

Цели на урока: образователни: чрез анализиране на тези проблеми, наблюдение на общото между проблемите от гледна точка на математик, какви са разликите, намиране на необикновен начин за решаване на проблеми, създаване на касичка с техники за решаване на проблеми, научаване за решаване на един проблем по различни начини.

Развитие: изпитвате нужда от самореализация, когато попаднете в определена ролева ситуация.

Образователни:развиват личностни качества, формират комуникативна култура.

Средства за възпитание: симулатор на задачи, обединени в една и съща тема „Аритметични методи за решаване на задачи“, задачи за работа в група и за самостоятелна работа.

ПО ВРЕМЕ НА ЗАНЯТИЯТА.

аз Организиране на времето

Здравейте момчета. Седни. Днес имаме урок на тема „Аритметични методи за решаване на текстови задачи“.

II. Актуализиране на знанията.

Математиката е една от древните и важни науки. Хората са използвали много математически знания в древността - преди хиляди години. Те са били необходими на търговци и строители, войници и земемери, свещеници и пътници.

И в днешно време нито един човек не може да мине в живота без добри познания по математика. Основата добро разбиранематематика - способността да броите, мислите, разсъждавате, намирате успешни решения на проблеми.

Днес ще разгледаме аритметични методи за решаване на текстови задачи, ще анализираме древни задачи, достигнали до нас от различни странии времена, задачи за изравняване, сравнение по сбор и разлика и др.

Целта на урока е да ви въвлече в невероятен святкрасота, богатство и разнообразие – светът интересни задачи. И затова ви запознавам с някои аритметични методи, които водят до много елегантни и поучителни решения.

Задачата почти винаги е търсене, откриване на някакви свойства и връзки, а средствата за решаването й са интуиция и предположение, ерудиция и владеене на математически методи.

Основните в математиката са аритметичните и алгебричните методи за решаване на задачи.

Решаването на задача с помощта на аритметичния метод означава намиране на отговора на изискването на проблема чрез извършване на аритметични операции с числа.

С алгебричния метод отговорът на въпроса на задачата се намира в резултат на съставяне и решаване на уравнението.

Не е тайна, че човек, който притежава различни инструменти и ги използва в зависимост от естеството на извършваната работа, постига значително по-добри резултати от човек, който притежава само един универсален инструмент.

Има много аритметични методи и нестандартни техники за решаване на задачи. Днес искам да ви запозная с някои от тях.

1. Метод за решаване на текстови задачи „Сравняване на числа по сбор и разлика“.

Задача : Баба събра 51 кг моркови и зеле от лятната си вила през есента. Зеле имаше с 15 кг повече от морковите. Колко килограма моркови и колко килограма зеле е събрала баба?

Въпроси, които съответстват на точките от алгоритъма за решаване на задача от този клас.

1. Разберете какви количества се обсъждат в задачата

За броя на морковите и зелето, които баба събра, заедно и поотделно.

2. Посочете стойностите на кои количества трябва да бъдат намерени в проблема.

Колко килограма моркови и колко килограма зеле е събрала баба?

3. Назовете връзката между величините в задачата.

В задачата се говори за сбор и разлика на количествата.

4. Назовете сумата и разликата на стойностите на количествата.

Сбор – 51 кг., разлика – 15 кг.

5. Като изравните количествата, намерете двойната стойност на по-малкото количество (извадете разликата на количествата от сумата на количествата).

51 – 15 = 36 (кг) – двойно количество моркови.

6. Като знаете удвоената стойност, намерете по-малката стойност (разделете удвоената стойност на две).

36: 2 = 18 (кг) – моркови.

7. Като използвате разликата между количествата и стойността на по-малкото количество, намерете стойността на по-голямото количество.

18 + 15 = 33 (кг) – зеле. Отговор: 18 кг, 33 кг. Задача.В клетката има фазани и зайци. Има общо 6 глави и 20 крака. Колко зайци и колко фазани има в една клетка ?
Метод 1. Метод за избор:
2 фазана, 4 заека.
Проверка: 2 + 4 = 6 (голове); 4 4 + 2 2 = 20 (фута).
Това е метод за подбор (от думата „избиране“). Предимства и недостатъци на този метод на решение (труден за избор, ако числата са големи) По този начин има стимул за търсене на по-удобни методи за решение.
Резултати от дискусията: методът за избор е удобен при работа с малки числа; когато стойностите се увеличат, той става нерационален и трудоемък.
Метод 2. Пълно търсене на опции.

Съставя се таблица:

Отговор: 4 заека, 2 фазана.
Името на този метод е „пълен“. Резултати от дискусията: методът за изчерпателно търсене е удобен, но за големи стойности е доста трудоемък.
Метод 3. Метод на отгатване.

Да вземем един стар китайски проблем:

В клетката има неизвестен брой фазани и зайци. Известно е, че цялата клетка съдържа 35 глави и 94 крака. Разберете броя на фазаните и броя на зайците.(Задача от китайската математическа книга „Kiu-Chang“, съставена 2600 г. пр.н.е.).

Ето един диалог, открит при старите майстори на математиката. - Нека си представим, че поставяме морков върху клетката, в която седят фазаните и зайците. Всички зайци ще се изправят на задните си крака, за да стигнат до моркова. Колко фута ще бъдат на земята в този момент?

Но в формулировката на проблема са дадени 94 крака, къде са останалите?

Останалите крака не се броят - това са предните крака на зайците.

Колко са там?

24 (94 – 70 = 24)

Колко зайци има?

12 (24: 2 = 12)

Ами фазаните?

23 (35- 12 = 23)

Името на този метод е „метод за отгатване на недостатъци“. Опитайте се да обясните това име сами (тези, които седят в клетка имат 2 или 4 крака, а ние предположихме, че всеки има най-малкото от тези числа - 2 крака).

Друг начин за решаване на същия проблем. - Нека се опитаме да разрешим този проблем, използвайки „метода на предположението за излишък“: Нека си представим, че фазаните сега имат още два крака, тогава ще има всички крака 35 × 4 =140.

Но според условията на задачата има само 94 крака, т.е. 140 – 94= 46 допълнителни крака, чии са?Това са краката на фазаните, те имат допълнителен чифт крака. означава, фазанище 46: 2 = 23, след това зайци 35 -23 = 12.
Резултати от дискусията: методът на допускането има два варианта- От дефицит и излишък; В сравнение с предишните методи, той е по-удобен, тъй като е по-малко трудоемък.
Задача. Керван от камили бавно върви през пустинята, общо 40. Ако преброите всички гърбици на тези камили, ще получите 57 гърбици. Колко едноверкови камили има в този керван?1 начин. Решете с помощта на уравнение.

Брой гърбици на човек Брой камили Общо гърбици

2 х 2 х

1 40 - х 40 - х 57

2 x + 40 - х = 57

x + 40 = 57

х = 57 -40

х = 17

Метод 2.

- Колко гърбици могат да имат камилите?

(може да са две или една)

Нека прикрепим цвете към гърбицата на всяка камила.

- Колко цветя ще ви трябват? (40 камили – 40 цветя)

- Колко гърбици ще останат без цветя?

(Ще има такива 57-40=17 . Това втори гърбицидвугорби камили).

Колко Двугърби камили? (17)

Колко еднороги камили? (40-17=23)

Какъв е отговорът на проблема? ( 17 и 23 камили).

Задача.В гаража имаше коли и мотоциклети с кош, общо 18. Колите и мотоциклетите бяха с 65 колела. Колко мотоциклета с кош е имало в гаража, ако колите са с 4 колела, а мотоциклетите са с 3 колела?

1 начин. Използвайки уравнението:

Брой колела за 1 Общ брой колела

каша. 4х 4 х

Mot. 3 18 -х 3(18 - х ) 65

4 x + 3(18 - х ) = 65

4 х + 5 4 -3 х =65

х = 65 - 54

х = 11, 18 – 11 = 7.

Нека преформулираме проблема : Обирджиите, дошли в гаража, където са паркирани 18 коли и мотоциклети с кош, свалили по три колела от всяка кола и мотоциклет и ги отнесли. Колко колела са останали в гаража, ако има 65 от тях? Принадлежат ли на кола или мотоциклет?

3×18=54 – толкова колела отнесоха разбойниците,

65- 54 = 11 – толкова останали колела (коли в гаража),

18 - 11 = 7 мотоциклета.

Отговор: 7 мотоциклета.

сам:

В гаража имало 23 коли и мотоциклети с кош. Автомобилите и мотоциклетите имат 87 колела. Колко мотоциклета има в гаража, ако всеки кош има резервно колело?

- Колко колела имат колите и мотоциклетите заедно? (4×23=92)

- По колко резервни колела сложихте на всяка количка? (92 - 87= 5)

- Колко коли има в гаража? (23 - 5=18).

Задача.В нашия клас можете да изучавате английски или френски езици(по желание). Известно е, че английски език учат 20 ученици, а френски – 17. Общо в класа има 32 ученици. Колко ученици изучават и английски, и френски?

Нека начертаем два кръга. В едната ще записваме броя на учениците, които учат английски език, в другата - учениците, които учат френски език. Тъй като според условията на проблема има студенти, които учатдвата езика: английски и френски, тогава кръговете ще имат обща част.Условията на този проблем не са толкова лесни за разбиране. Ако съберете 20 и 17, получавате повече от 32. Това се обяснява с факта, че тук броихме два пъти някои ученици - именно тези, които учат и двата езика: английски и френски. И така, (20 + 17) – 32 = 5 Учениците изучават и двата езика: английски и френски.

Английски Фран.

20 урока 17 училище

(20 + 17) – 32 = 5 (ученици).

Схеми, подобни на тази, която използвахме за решаване на задачата, се наричат ​​в математиката Ойлерови кръгове (или диаграми). Леонард Ойлер (1736) роден в Швейцария. Но дълги годиниживял и работил в Русия.

Задача.Всяко семейство, живеещо в нашата къща, е абонирано или за вестник, или за списание, или и за двете. 75 семейства се абонират за вестник, а 27 семейства се абонират за списание, а само 13 семейства се абонират и за списание, и за вестник. Колко семейства живеят в нашата къща?

Вестници списания

На снимката се вижда, че в къщата живеят 89 семейства.

Задача.В международната конференция участваха 120 души. От тях 60 говорят руски, 48 говорят английски, 32 говорят немски, 21 говорят руски и немски, 19 говорят английски и немски, 15 говорят руски и английски, а 10 души говорят и трите езика. Колко участници в конференцията не говорят нито един от тези езици?

руски 15 английски

21 10 19

Немски

Решение: 120 – (60 + 48 + 32 -21 – 19 – 15 + 10) = 25 (човека).

Задача. Три котенца и две кученца тежат 2 кг 600 г, а две котенца и три кученца тежат 2 кг 900 г. Колко тежи кученцето?

3 котенца и 2 кученца – 2кг 600гр

2 котенца и 3 кученца – 2кг 900гр.

От условието следва, че 5 котенца и 5 кученца тежат 5 кг 500 г. Това означава, че 1 коте и 1 кученце тежат 1 кг 100 г

2 котки и 2 кученца. тежи 2 кг 200 гр

Нека сравним условията -

2 котенца + 3 кученца = 2кг 900гр

2 котенца + 2 кученца = 2 kg 200 g, виждаме, че кученцето тежи 700 g.

Задача.За един кон и две крави се дава дневно по 34 кг сено, а за два коня и една крава - по 35 кг сено. Колко сено се дава на един кон и колко на една крава?

Нека го запишем кратко състояниезадачи:

1 кон и 2 крави -34кг.

2 коня и 1 крава -35кг.

Може ли да се знае колко сено е необходимо за 3 коня и 3 крави?

(за 3 коня и 3 крави – 34+35=69 кг)

Може ли да се разбере колко сено е необходимо за един кон и една крава? (69: 3 – 23 кг)

Колко сено се нуждае от един кон? (35-23=12 кг)

Колко сено се нуждае от една крава? (23 -13 =11 кг)

Отговор: 12 кг и 11 кг.

Задача.Мадина реши да закуси в училищното кафене. Разгледайте менюто и отговорете по колко начина може да избере напитка и сладкарски артикул?

	Сладкарски изделия
	Чийзкейк

Да приемем, че Мадина избира чая като напитка. Какъв сладкарски продукт може да избере за чай? (чай - чийзкейк, чай - бисквити, чай - хлебче)

Колко начина? (3)

Ами ако е компот? (също 3)

Как можете да разберете колко начина може да използва Мадина, за да избере обяда си? (3+3+3=9)

Да, прав си. Но за да ни е по-лесно да решим този проблем, ще използваме графики. Думата "графика" в математиката означава картина с няколко начертани точки, някои от които са свързани с линии. Да обозначим напитките и сладкарски изделияточки и свържете двойките от ястията, които Мадина избере.

чай млечен компот

чийзкейк бисквитки

Сега нека преброим броя на редовете. Те са 9. Това означава, че има 9 начина за избор на ястия.

Задача.Серьожа реши да подари на майка си букет цветя (рози, лалета или карамфили) за рождения й ден и да ги постави във ваза или в кана. По колко начина може да направи това?

Колко начина мислите? (3)

Защо? (3 цвята)

да Но все още има различни ястия: ваза или кана. Нека се опитаме да изпълним задачата графично.

кана ваза

рози лалета карамфили

Пребройте редовете. Колко са там? (6)

И така, колко начина трябва да избере Серьожа? (6)

Обобщение на урока.

Днес решихме редица проблеми. Но работата не е завършена, има желание да я продължим и се надявам, че това ще ви помогне успешно да решите текстови задачи.

Знаем, че решаването на проблеми е практично изкуство, като плуването или свиренето на пиано. Можете да го научите само като подражавате на добри примери и постоянно практикувате.

Това са само най-простите проблеми; сложните остават предмет на бъдещи изследвания. Но все още има много повече от тях, отколкото можем да разрешим. И ако в края на урока можете да решите проблеми „зад страниците“ учебен материал“, тогава можем да приемем, че съм изпълнил задачата си.

Познанията по математика помагат за решаването на определен житейски проблем. В живота ще трябва редовно да решавате определени въпроси, за това трябва да развиете интелектуални способности, благодарение на които се развива вътрешен потенциал, развива се способността да се предвижда ситуацията, да се правят прогнози и да се вземат нестандартни решения.

Искам да завърша урока с думите: „Всяка добре решена математическа задача доставя душевно удоволствие.“ (Г. Хесе).

Съгласни ли сте с това?

Домашна работа .

Следната задача ще бъде дадена вкъщи: като използвате текстовете на решени задачи като образец, решете задачи № 8, 17, 26, като използвате методите, които сме изучавали.

Въз основа на сходството в математическото значение и взаимозаменяемостта на различните методи за решаване, всички аритметични методи могат да бъдат комбинирани в следните групи:

• 1) метод на свеждане до единство, свеждане до обща мярка, обратно свеждане до единство, метод на отношенията;
• 2) начин за решаване на проблеми от „края“;
• 3) метод за елиминиране на неизвестни (замяна на едно неизвестно с друго, сравняване на неизвестни, сравняване на данни, сравняване на две условия чрез изваждане, комбиниране на две условия в едно); начин на отгатване;
• 4) пропорционално разделяне, сходство или намиране на части;
• 5) метод за трансформиране на един проблем в друг (разлагане на сложен проблем на прости, подготвителни; привеждане на неизвестни до такива стойности, за които връзката им става известна; методът за определяне на произволно число за едно от неизвестните количества).

В допълнение към горните методи е препоръчително да се разгледат и методът на средната аритметична стойност, методът на излишъка, методът на пренареждане на известно и неизвестно и методът на „фалшивите“ правила.

Тъй като обикновено е невъзможно да се определи предварително кой от методите е рационален, да се предвиди кой от тях ще доведе до най-простото и разбираемо за ученика решение, тогава учениците трябва да бъдат запознати с различни начинии им дайте възможност да изберат кой да използват при решаването на конкретен проблем.

Метод за изключване на неизвестни

Този метод се използва, когато има няколко неизвестни в проблема. Този проблем може да бъде решен с помощта на една от петте техники: 1) замяна на едно неизвестно с друго; 2) сравнение на неизвестни; 3) сравнение на две условия чрез изваждане; 4) сравнение на данни; 5) комбиниране на няколко условия в едно.

В резултат на използването на една от изброените техники, вместо няколко неизвестни, остава една, която може да бъде открита. След като го изчислят, те използват данните в условието на зависимост, за да намерят други неизвестни.

Нека разгледаме по-отблизо някои от техниките.

1. Замяна на едно неизвестно с друго

Името на техниката разкрива нейната идея: въз основа на зависимостите (множество или разлика), които са дадени според условията на проблема, е необходимо да се изразят всички неизвестни чрез една от тях.

Задача. Сергей и Андрей имат само 126 марки. Сергей има 14 точки повече от Андрей. Колко печата имаше всяко момче?

Кратко описание на състоянието:

Сергей -- ? марки, 14 марки повече

Андрей -- ? печати

Общо -- 126 марки

Решение 1.

• (замяна на по-голямо неизвестно с по-малко)
• 1) Нека Сергей има толкова марки, колкото Андрей. Тогава обща сумаще има 126 марки - 14 = 112 (марки).
• 2) Тъй като сега момчетата имат еднакъв брой точки, ще намерим колко точки е имал Андрей в началото: 112: 2 = 56 (марки).
• 3) Като се има предвид, че Сергей има 14 точки повече от Андрей, получаваме: 56 + 14 = 70 (марки).

Решение 2.

• (замяна на по-малко неизвестно с по-голямо)
• 1) Нека Андрей има същия брой печати като Сергей. Тогава общият брой на марките ще бъде 126 + 14 = 140 (марки).
• 2) Тъй като сега момчетата имат еднакъв брой точки, нека намерим колко оценки е имал Сергей в началото: 140: 2 = 70 (марки).
• 3) Като се има предвид, че Андрей имаше 14 точки по-малко от Сергей, получаваме: 70 - 14 = 56 (марки).

Отговор: Сергей имаше 70 марки, а Андрей имаше 56 марки.

За най-добра абсорбциястуденти от метода за заместване на по-малко неизвестно с по-голямо, преди да го разгледаме, е необходимо да разберем с учениците следния факт: ако числото A е по-голямо от числото B с C единици, тогава, за да сравним числата A и B е необходимо:

• а) извадете числото C от числото A (тогава и двете числа са равни на числото B);
• б) добавете числото C към числото B (тогава и двете числа са равни на числото A).

Способността на учениците да заменят по-голямо неизвестно с по-малко и обратно, допълнително допринася за развитието на умението да избират неизвестно и да изразяват чрез него други величини при съставяне на уравнение.

2. Сравнение на неизвестни

Задача. На четири рафта имаше 188 книги. На втория рафт имаше 16 книги по-малко, отколкото на първия, на третия - с 8 повече, отколкото на втория, а на четвъртия - с 12 по-малко, отколкото на третия рафт. Колко книги има на всеки рафт?

Анализ на задачите

За по-добра осведоменостзависимости между четири неизвестни величини (броят книги на всеки рафт) използваме следната диаграма:

аз_________________________________

II___________________________

III_________________________________

IV_______________________ _ _ _ _ _

Сравнявайки сегментите, които схематично изобразяват броя на книгите на всеки рафт, стигаме до следните изводи: на първия рафт има 16 книги повече, отколкото на втория; на третата са с 8 повече от втората; на четвъртата - 12 - 8 = 4 (книги) по-малко от втората. Следователно проблемът може да бъде решен чрез сравняване на броя на книгите на всеки рафт. За да направите това, извадете 16 книги от първия рафт, 8 книги от третия и поставете 4 книги на четвъртия рафт. Тогава на всички рафтове ще има същия брой книги, а именно колкото е имало на втория в началото.

• 1) Колко книги има на всички рафтове след операциите, описани в анализа на проблема?
• 188 -- 16 -- 8 + 4 = 168 (книги)
• 2) Колко книги имаше на втория рафт?
• 168: 4 = 42 (книги)
• 3) Колко книги имаше на първия рафт?
• 42 + 16 = 58 (книги)
• 4) Колко книги имаше на третия рафт?
• 42 + 8 = 50 (книги)
• 5) Колко книги имаше на четвъртия рафт?
• 50 -- 12 = 38 (книги)

Отговор: На всеки от четирите рафта имаше 58, 42, 50 и 38 книги.

Коментирайте. Можете да поканите учениците да решат този проблем по други начини, като сравнят неизвестния брой книги, които са били на първия, или на втория, или на четвъртия рафт.

3. Сравнение на две условия чрез изваждане

Сюжетът на проблема, който се решава с тази техника, често включва две пропорционални величини (количеството на стоката и нейната цена, броя на работниците и извършената от тях работа и др.). Условието дава две стойности на една величина и разликата на две пропорционални на тях числови стойностис различен размер.

Задача. За 4 кг портокали и 5 кг банани те платиха 620 рубли, а следващия път за 4 кг портокали и 3 кг банани, закупени на същите цени, платиха 500 рубли. Колко струва 1 кг портокали и 1 кг банани?

Кратко описание на състоянието:

• 4 кг прибл. и 5 кг забрана. - 620 рубли,
• 4 кг прибл. и забрана за 3 кг. - 500 rub.

• 1) Нека сравним цената на две покупки. И първия, и втория път са купили еднакъв брой портокали на една и съща цена. Първият път платихме повече, защото купихме повече банани. Нека намерим колко повече килограма банани са закупени за първи път: 5 -- 3 = 2 (kg).
• 2) Нека да разберем колко повече сме платили първия път, отколкото втория път (т.е. разбираме колко струват 2 кг банани): 620 - 500 = 120 (търкайте).
• 3) Намерете цената на 1 кг банани: 120: 2 = 60 (търкайте).
• 4) Като знаем цената на първата и втората покупка, можем да намерим цената на 1 кг портокали. За да направите това, първо намерете цената на закупените банани, след това цената на портокалите и след това цената на 1 кг. Имаме: (620 -- 60*5) : 4 = 80 (търкайте).

Отговор: цената на 1 кг портокали е 80 рубли, а цената на 1 кг банани е 60 рубли.

4. Сравнение на данни

Приложение тази техникадава възможност за сравняване на данни и прилагане на метода на изваждане. Можете да сравните стойностите на данните:

• 1) използване на умножение (сравнявайки ги с най-малкото общо кратно);
• 2) използвайки деление (сравнявайки ги с най-големите общ делител).

Нека покажем това с пример.

Задача. За 4 кг портокали и 5 кг банани те платиха 620 рубли, а следващия път за 6 кг портокали и 3 кг банани, закупени на същите цени, те платиха 660 рубли. Колко струва 1 кг портокали и 1 кг банани?

Кратко описание на състоянието:

• 4 кг прибл. и 5 кг забрана. - 620 рубли,
• 6 кг прибл. и забрана за 3 кг. - 660 рубли.

Нека изравним броя на портокалите и бананите, като ги сравним с най-малкото общо кратно: LCM(4;6) = 12.

Решение1.

• 1) Нека увеличим броя на закупените плодове и тяхната цена в първия случай 3 пъти, а във втория - 2 пъти. Получаваме следното кратко изложение на условието:
• 12 кг прибл. и 15кг забрана. - 1860 рубли,
• 12 кг прибл. и 6 кг забрана. - 1320 рубли.
• 2) Разберете колко повече банана сте купили за първи път: 15-6 = 9 (кг).
• 3) Колко струват 9 кг банани? 1860 -- 1320 = 540 (търкайте).
• 4) Намерете цената на 1 кг банани: 540: 9 = 60 (търкайте).
• 5) Намерете цената на 3 кг банани: 60 * 3 = 180 (търкайте).
• 6) Намерете цената на 6 кг портокали: 660 -- 180 = 480 (търкайте).
• 7) Намерете цената на 1 кг портокали: 480: 6 = 80 (търкайте).

Решение2.

Нека изравним броя на портокалите и бананите, като ги сравним с най-големия общ делител: НОД (4; 6) = 2.

• 1) За да изравним броя на портокалите, закупени за първи и втори път, намаляваме количеството на закупения продукт и цената му в първия случай 2 пъти, във втория - 3 пъти. Нека получим задача, която има следната кратка форма на условие:
• 2 кг прибл. и 2,5 кг забрана. - 310 рубли,
• 2 кг прибл. и забрана за 1 кг. - 220 рубли.
• 2) Колко повече банани купуват сега: 2,5 -- 1 = 1,5 (кг).
• 3) Нека намерим колко струват 1,5 кг банани: 310 -- 220 = 90 (търкайте).
• 4) Намерете цената на 1 кг банани: 90: 1,5 = 60 (търкайте).
• 5) Намерете цената на 1 кг портокали: (660 -- 60*3) : 6 = 80 (търкайте).

Отговор: цената на 1 кг портокали е 80 рубли, 1 кг банани е 60 рубли.

Когато решавате проблеми с помощта на техниката за сравняване на данни, не можете да правите толкова подробен анализ и записи, а само да записвате промените, които са направени за сравнение, и да ги запишете под формата на таблица.

5. Комбиниране на няколко условия в едно

Понякога можете да се отървете от ненужните неизвестни, като комбинирате няколко условия в едно.

Задача. Туристите напуснаха лагера и първо вървяха 4 часа пеша, след което караха велосипеди още 4 часа с определена постоянна скорост и се отдалечиха от лагера на 60 км. Вторият път те напуснаха лагера и първо караха велосипеди със същата скорост в продължение на 7 часа, а след това се обърнаха в обратната посока и, вървейки 4 часа, се озоваха на разстояние 50 км от лагера. Колко бързо са карали туристите с велосипедите си?

В задачата има две неизвестни: скоростта, с която туристите са карали велосипедите си, и скоростта, с която са вървели. За да изключите едно от тях, можете да комбинирате две условия в едно. Тогава разстоянието, което туристите ще изминат за 4 часа, придвижвайки се напред пеша първия път, е равно на разстоянието, което са изминали за 4 часа, придвижвайки се назад втори път. Затова не обръщаме внимание на тези разстояния. Това означава, че разстоянието, което туристите ще изминат за 4 + 7 = 11 (часа) с велосипеди, ще бъде равно на 50 + 60 = 110 (км).

Тогава скоростта на туристите на велосипеди е: 110 : 11 = 10 (км/ч).

Отговор: Скоростта на велосипедите е 10 км/ч.

6. Метод на предположението

Използването на метода на предположенията при решаване на проблеми не създава трудности за повечето ученици. Ето защо, за да се избегне механичното запомняне на учениците от диаграмата на стъпките на този метод и погрешното разбиране на същността на действията, извършвани на всяка от тях, на учениците трябва първо да се покаже пробният метод („фалшиво правило“ и „правило на древните вавилонци“).

Когато се използва методът за вземане на проби, по-специално „фалшивото правило“, на едно от неизвестните количества се дава („разрешено“) определена стойност. След това, използвайки всички условия, те намират стойността на друга величина. Получената стойност се сравнява с посочената в условието. Ако получената стойност е различна от тази, дадена в условието, тогава първата зададена стойност не е правилна и трябва да се увеличи или намали с 1, като отново трябва да се намери стойността на друга стойност. Това трябва да се направи, докато получим стойността на друга величина, като например в формулировката на проблема.

Задача. Касиерът има 50 монети от 50 копейки и 10 копейки, общо 21 рубли. Намерете колко отделни монети от 50k има касиерът. и по 10к.

Решение1. (метод на вземане на проби)

Нека използваме правилото на “древните” вавилонци. Да приемем, че касиерът има равен брой монети от всяка деноминация, тоест по 25 броя. Тогава сумата на парите ще бъде 50*25 + 10*25 = 1250+250=1500 (к.), или 15 рубли. Но в условието 21 рубли, тоест 21 UAH повече от полученото - 15 рубли = 6 рубли. Това означава, че е необходимо да увеличим броя на монетите от 50 копейки и да намалим броя на монетите от 10 копейки, докато получим общо 21 рубли. Ще запишем промяната в броя на монетите и общата сума в таблицата.

Брой монети	Брой монети	Парична сума	Парична сума	обща сума	По-малко или повече от състоянието
					По-малко с 6 рубли.
					По-малко с 5rub60k
					Като в състояние

Както се вижда от таблицата, касиерът имаше 40 монети от 50 копейки и 10 монети от 10 копейки.

Както се оказа в решение 1, ако касиерът имаше равен брой 50k монети. и по 10 хиляди, тогава общо той имаше 15 рубли пари. Лесно се вижда, че всяка замяна на монета е 10k. на монета 50k. увеличава общата сума с 40k. Това означава, че трябва да намерим колко такива замени трябва да бъдат направени.За да направим това, нека първо намерим колко пари са ни необходими, за да увеличим общата сума с:

21 рубли - 15 рубли. = 6 търкайте. = 600 k.

Нека намерим колко пъти трябва да се направи такава замяна: 600 k.: 40 k. = 15.

Тогава 50 копейки ще бъдат 25 +15 = 40 (монети), а монетите от 10 копейки ще останат 25 -- 15 = 10.

Проверката потвърждава, че общата сума на парите в този случай е 21 рубли.

Отговор: Касиерът имаше 40 монети от 50 копейки и 10 монети от 10 копейки.

Като помолите учениците сами да изберат различни значенияброй монети от 50 копейки, е необходимо да ги доведем до идеята, че най-доброто от гледна точка на рационалността е предположението, че касиерът е имал само монети от една деноминация (например всички 50 монети от 50 копейки или всички 50 монети по 10 копейки всяка). Поради това едно от неизвестните се изключва и се заменя с друго неизвестно.

7. Остатъчен метод

Този метод има някои прилики с мисленето при решаване на проблеми с помощта на методи на изпитание и догадки. Използваме метода на остатъците при решаване на задачи с движение в една посока, а именно когато е необходимо да се намери времето, през което първият обект, който се движи отзад с по-висока скорост, ще настигне втория обект, който има по-ниска скорост. За 1 час първият обект се доближава до втория на разстояние, което е равно на разликата в техните скорости, тоест равно на „остатъка“ от скоростта, която има в сравнение със скоростта на втория. За да намерите времето, необходимо на първия обект да измине разстоянието, което е било между него и втория в началото на движението, трябва да определите колко пъти „остатъкът“ е поставен на това разстояние.

Ако се абстрахираме от сюжета и разгледаме само математическата структура на проблема, тогава се говори за два фактора (скоростта на движение на двата обекта) или разликата между тези фактори и два продукта (разстоянията, които изминават) или тяхната разлика. Неизвестните фактори (време) са едни и същи и трябва да бъдат намерени. От математическа гледна точка неизвестният фактор показва колко пъти разликата на известните фактори се съдържа в разликата на продуктите. Следователно задачите, които се решават с помощта на метода на остатъците, се наричат ​​задачи за намиране на числа по две разлики.

Задача. Учениците решиха да залепят снимки от празника в албум. Ако залепят по 4 снимки на всяка страница, в албума няма да има достатъчно място за 20 снимки. Ако залепите 6 снимки на всяка страница, тогава 5 страници ще останат свободни. Колко снимки учениците ще поставят в албума?

Анализ на задачите

Броят на снимките остава същият за първия и втория вариант на залепване. Според условията на задачата той е неизвестен, но може да бъде намерен, ако е известен броят на снимките, които са поставени на една страница, и броят на страниците в албума.

Известен е броят на снимките, които се поставят на една страница (първият множител). Броят на страниците в албума е неизвестен и остава непроменен (втори множител). Тъй като е известно, че 5 страници от албума остават свободни за втори път, можете да намерите колко още снимки могат да бъдат поставени в албума: 6 * 5 = 30 (снимки).

Това означава, че при увеличаване броя на снимките на една страница с 6 - 4 = 2, броят на поставените снимки се увеличава с 20 + 30 = 50.

Тъй като вторият път са залепили още две снимки на всяка страница и общо са залепили още 50 снимки, ще намерим броя на страниците в албума: 50: 2 = 25 (страници).

Следователно имаше общо 4*25 + 20 = 120 (снимки).

Отговор: Албумът имаше 25 страници и 120 снимки.

Общи бележки за решаване на задачи с помощта на аритметичния метод.

Проблеми с намирането на неизвестни въз основа на резултатите от действията.

Задачи с пропорционално деление.

Задачи, включващи проценти и части.

Проблеми, решени в обратен ред.

1. Аритметичният метод е основният метод за решаване на текстови задачи в начално училище. Намира приложение и в средната степен на средното училище. Този метод ви позволява да разберете и оцените по-добре важността и значението на всеки етап от работата по дадена задача.

В някои случаи решаването на проблем с помощта на аритметичния метод е много по-лесно от използването на други методи.

Завладяващ със своята простота и достъпност, аритметичният метод е в същото време доста сложен и овладяването на техниките за решаване на задачи чрез този метод изисква сериозна и упорита работа. Голямото разнообразие от видове проблеми не ни позволява да формираме универсален подход към анализа на проблемите и намирането на начини за тяхното решаване: проблемите, дори комбинирани в една група, имат напълно различни начини за решаване.

2 . Към задачите по намиране на неизвестни по тяхната разлика и отношениеТе включват проблеми, при които, използвайки известната разлика и коефициент на две стойности на определено количество, се изисква да се намерят тези стойности.

Алгебричен модел:

Отговорът се намира с помощта на формулите: х= ak/(k – 1), y = a/(k – 1).

Пример.В резервираните вагони на бързия влак има 432 пътници повече, отколкото в купейните вагони. Колко пътници има поотделно във вагоните със запазени места и в купейните вагони, ако в купейните вагони има 4 пъти по-малко пътници, отколкото във вагоните със запазени места?

Решение.Графичен модел на проблема е представен на фиг. 4.

Ориз. 4

Ще вземем броя на пътниците в купейните вагони като 1 част. След това можете да намерите колко части има на брой пътници в коли със запазени места и след това колко части има на 432 пътници. След това можете да определите броя на пътниците, съставляващи 1 част (разположени в купейни вагони). Като знаем, че има 4 пъти повече пътници във вагоните със запазени места, можем да намерим техния брой.

1  4 = 4 (часа) – сметки за пътници във вагони със запазени места;

4 – 1 = 3 (ч.) – отчита разликата между броя на пътниците във вагоните със запазени места и купейните вагони;

432: 3 = 144 (стр.) – в купейни вагони;

144  4 = 576 (стр.) – във вагони със запазени места.

Този проблем може да бъде проверен чрез решаването му по друг начин, а именно:

1  4 = 4(h);

4 – 1 = 3 (h);

432: 3 = 144 (стр.);

144 + 432 = 576 (стр.).

Отговор: В купейните вагони има 144 пътници, а във вагоните със запазени места - 576.

Към задачите по намиране на неизвестни от два или два остатъка различия, включват проблеми, при които се разглеждат две пряко или обратно пропорционални величини, така че са известни две стойности на едно количество и разликата на съответните стойности на друго количество и се изисква да се намерят стойностите на това самото количество.

Алгебричен модел:

Отговорите се намират с помощта на формулите:

Пример.Два влака са пътували с еднаква скорост – единият 837 км, другият 248 км, като първият е бил на път с 19 часа повече от втория. Колко часа е пътувал всеки влак?

Решение.Графичен модел на проблема е представен на фигура 5.

Ориз. 5

За да отговорите на въпроса за проблема, колко часа е пътувал този или онзи влак, трябва да знаете разстоянието, което е изминал и скоростта. Разстоянието е дадено в условието. За да разберете скоростта, трябва да знаете разстоянието и времето, през което това разстояние е изминато. Условието казва, че първият влак е отнел 19 часа повече и може да се намери разстоянието, което е изминал през това време. Той вървеше допълнително 19 часа - очевидно през това време той също измина допълнително разстояние.

837 – 248 = 589 (км) – още толкова километра е изминал първият влак;

589: 19 = 31 (км/ч) – скоростта на първия влак;

837: 31 = 27 (часа) – първият влак е на път;

4) 248: 31 = 8 (часа) – вторият влак беше на път.

Нека проверим решението на задачата, като установим съответствие между данните и числата, получени при решаването на задачата.

След като разберем колко време всеки влак е бил на път, ще намерим колко часа повече е бил първият влак на пътя от втория: 27 – 8 = 19 (часа). Този номер съвпада с този в условието. Следователно проблемът е решен правилно.

Този проблем може да се провери, като се реши по друг начин. И четирите въпроса и първите три действия остават същите.

4) 27 –19 = 8 (часа).

Отговор: първият влак пътува за 31 часа, а за втория влак - 8 часа.

Задачи за намиране на три неизвестни от три суми от тези неизвестни, взети по двойки:

Алгебричен модел:

Отговорът се намира с помощта на формулите:

x =(А -b + в)/2, y = (a +b – в)/2, z = (b + с -а)/ 2.

Пример.английски и немски езици 116 ученици изучават немски език и испански езициУчат се 46 ученици, а английски и испански език – 90 ученици. Колко ученици изучават поотделно английски, немски и испански, ако се знае, че всеки ученик изучава само един език?

Решение.Графичен модел на проблема е представен на фигура 6.

Колко студенти изучават всеки език?

Графичният модел на задачата показва: ако съберем броя на учениците, посочени в условието (116 + 90 + 46), получаваме удвоен брой ученици, изучаващи английски, немски и испански език. Разделяйки го на две, намираме общия брой ученици. За да намерите броя на учениците, изучаващи английски език, е достатъчно да извадите от това число броя на учениците, изучаващи немски и испански език. По същия начин намираме останалите необходими числа.

Нека запишем решението за действията с обяснения:

116 + 90 + 46 = 252 (ученици) – удвояване на броя на учениците, изучаващи езици;

252: 2 = 126 (училище) – изучаване на езици;

126 – 46 = 80 (училище) – учи английски;

126 – 90 = 36 (училище) – изучаване на немски език;

126 – 116 = 10 (училище) – научете испански.

Този проблем може да се провери, като се реши по друг начин.

116 – 46 = 70 (ученици) – толкова повече ученици учат английски, отколкото испански;

90 + 70 = 160 (ученици) – удвоете броя на учениците, които изучават английски език;

160: 2 = 80 (училище) – учете английски;

90 – 80 = 10 (училище) – научете испански;

116 – 80 = 36 (училище) – изучавайте немски.

Отговор: 80 ученици изучават английски език, 36 ученици изучават немски език и 10 ученици изучават испански език.

3. Задачите с пропорционално деление включват задачи, при които дадена стойност на определено количество трябва да се раздели на части, пропорционални на дадени числа. В някои от тях частите са представени изрично, докато в други тези части трябва да се разграничат, като се вземе една от стойностите на това количество като една част и се определи колко такива части се отчитат от другите му стойности.

Има пет вида задачи за пропорционално деление.

1) Задачи, включващи директно разделяне на число на частипропорционално на поредица от цели или дробни числа

Към задачите от този типвключват задачи, в които броят А х 1, х 2 , x 3 , ..., х н право пропорционални на числата А 1 , А 2 , А 3 , ..., А н .

Алгебричен модел:

Отговорът се намира с помощта на формулите:

Пример.Туристическата фирма разполага с четири почивни бази, които разполагат със сгради със същия капацитет. На територията на 1-ва база за отдих има 6 сгради, 2-ра - 4 сгради, 3-та - 5 сгради, 4-та - 7 сгради. Колко кемпера може да побере всяка база, ако всичките 4 бази могат да поберат 2112 души?

Решение. Обобщение на задачата е показано на фигура 7.

Ориз. 7

За да отговорите на въпроса на проблема, колко почиващи могат да бъдат настанени във всяка база, трябва да знаете колко почиващи могат да бъдат настанени в една сграда и колко сгради са разположени на територията на всяка база. Броят на сградите на всяка база е даден в условието. За да разберете колко почиващи могат да бъдат настанени в една сграда, трябва да знаете колко почиващи могат да бъдат настанени в 4-те бази (това е дадено в условието) и колко сгради се намират на територията на 4-те бази. Последното може да се определи като се знае от условието колко сгради се намират на територията на всяка база.

Нека запишем решението за действията с обяснения:

6 + 4 + 5 + 7 = 22 (к.) – разположени на територията на 4 бази;

2112: 22 = 96 (часа) – могат да бъдат поставени в една сграда;

96  6 = 576 (h) – може да се постави на първа основа;

96  4 = 384 (h) – може да се постави на втора основа;

96  5 = 480 (h) – може да се постави на трета основа;

96  7 = 672 (h) – може да се постави на четвърта основа.

Преглед.Изчисляваме колко летовници могат да бъдат настанени в 4 бази: 576 + 384 + 480 + 672 = 2112 (часа). Няма разминаване с условията на задачата. Проблемът е решен правилно.

Отговор: Първата база може да приеме 576 почиващи, втората - 384 почиващи, третата - 480 почиващи, четвъртата - 672 почиващи.

2) Проблеми, включващи разделяне на число на части, обратно пропорционални на поредица от цели числа или дроби

Те включват задачи, в които броят А(стойността на определено количество) трябва да се раздели на части х 1 аз , х 2 , х 3 аз , ..., Х"обратно пропорционално на числата А 1б А 2 , А 3 ,..., А н .

Алгебричен модел:

или

х 1 : х 2 :Х 3 :...:х„ = а 2 а 3 ...А н :А 1 А 3 ...А П :А 1 А 2 А 4 ...А н :...:А 1 А 2 ...А н -1

Отговорът се намира с помощта на формулите:

Където С = А 2 А 3 ...a„ +а л а аз ... а н + а ] А 2 А 4 ...А н + ... + а 1 А 2 ...А н -1.

Пример.За четири месеца приходите на фермата за кожи от продажба на кожи възлизат на 1 925 000 рубли, като по месеци получените пари се разпределят обратно пропорционално на числата 2, 3, 5, 4. Какъв е доходът на фермата за всеки месец поотделно?

Решение.За да се определи доходът, посочен в условието, се дава общият доход за четири месеца, тоест сумата от четирите необходими числа, както и връзката между търсените числа. Необходимият доход е обратно пропорционален на числата 2, 3, 5, 4.

Нека обозначим необходимите доходи съответно чрез x, х 2 , Х 3 , Х 4 . След това проблемът може да бъде написан накратко, както е показано на фигура 8.

Ориз. 8

Като знаем броя на частите на всяко от търсените числа, ще намерим броя на частите, съдържащи се в тяхната сума. Въз основа на дадения общ доход за четири месеца, тоест въз основа на сумата от необходимите числа и броя на частите, съдържащи се в тази сума, намираме стойността на една част и след това необходимия доход.

Нека запишем решението за действията с обяснения:

1. Необходимите доходи са обратно пропорционални на числата 2, 3, 5, 4, което означава, че са право пропорционални на обратните числа, тоест има отношения . Нека заменим тези съотношения в дробни числа със съотношения на цели числа:

2. Знаейки това хсъдържа 30 равни части, х 2 – 20, х 3 – 12, х 4 – 15, нека намерим колко части се съдържат в техния сбор:

30 + 20 + 12 + 15 = 77 (часа).

3. Колко рубли има за една част?

1 925 000: 77 = 25 000 (r.).

4. Какъв е доходът на фермата през първия месец?

25 000 30 = 750 000 (r.).

5. Какъв е доходът на фермата през втория месец?

25 000 20 = 500 000 (r.).

6. Какъв е доходът на фермата през третия месец?

25 000–12 = 300 000 (r.).

7. Какъв е доходът на фермата през четвъртия месец?

25 000–15 = 375 000 (r.).

Отговор: през първия месец приходите на фермата бяха 750 000 рубли, през втория - 500 000 рубли, през третия - 300 000 рубли, през четвъртия - 375 000 рубли.

3) Проблеми, включващи разделяне на число на части, когато са дадени отделни съотношения за всяка двойка необходими числа

Задачите от този тип включват онези задачи, в които числото А(стойността на определено количество) трябва да бъде разделена на части x 1, х 2 , х 3, ..., Х",когато е дадена поредица от отношения за търсените числа, взети по двойки. Алгебричен модел:

x 1: х 2 = а 1 : b 1, х 2 : Х 3 = а 2 : b 2, х 3 : Х 4 = а 3 : b 3 , ..., Х n-1 : х н = а н -1 : b n-1 .

n = 4. Алгебричен модел:

х х :Х 2 = а 1 : b 1, х 2 :Х 3= А 2 : b 2, х 3 : Х 4 = 3: b 3 .

Така, х 1: х 2 : x 3: х 4 = А 1 А 2 А 3 : b 1 А 2 А 3 : b 1 b 2 А 3 : b 1 b 2 b 3 .

Където С = А 1 А 2 А 3 + b 1 А Ж А 3 + b 1 b 2 А 3 + b 1 b 2 b 3

Пример.Трите града имат 168 000 жители. Броят на жителите на първия и втория град са в съотношение , а вторият и третият град – по отношение на . Колко жители има във всеки град?

Решение.Нека обозначим необходимия брой на населението съответно с х 1 , Х 2 , Х 3 . След това проблемът може да бъде написан накратко, както е показано на фигура 9.

Ориз. 9

За да се определи броят на жителите, се дава броят на жителите в три града, тоест сумата от трите търсени числа, както и индивидуалните връзки между търсените числа. Заменяйки тези отношения с поредица от отношения, ние изразяваме броя на жителите на трите града на равни части. Като знаем броя на частите на всяко от търсените числа, ще намерим броя на частите, съдържащи се в тяхната сума. От дадения общ брой жители в три града, тоест от сумата на необходимите числа и от броя на частите, съдържащи се в тази сума, намираме размера на една част, а след това необходимия брой жители.

Нека запишем решението за действията с обяснения.

1. Заменете съотношението на дробните числа със съотношението на целите числа:

Сравняваме броя на жителите на втория град с числото 15 (най-малкото общо кратно на числата 3 и 5).

Променяме съответно получените отношения:

х 1: х 2 = 4: 3 = (4-5): (3-5) = 20: 15, x 2: x 3 = 5: 7 = (5-3): (7-3) = 15: 21.

От отделните отношения създаваме поредица от отношения:

х 1: х 2 : х 3 = 20: 15: 21.

2. 20 + 15 + 21 = 56 (h) – на толкова равни части отговаря числото 168 000;

3. 168 000: 56 = 3 000 (е.) – на част;

4. 3 000 20 = 60 000 (е.) – в първия град;

5. 3 000 15 = 45 000 (е.) – във втория град;

3 000 21 = 63 000 (е.) - в третия град.

Отговор: 60 000 жители; 45 000 жители; 63 000 жители.

4) Задачи, включващи разделяне на число на части, пропорционални на две, три и т.н. редове от числа

Задачите от този тип включват задачи, в които числото А(стойността на определено количество) трябва да се раздели на части х 1, х 2 , х 3 ,..., х н пропорционално на две, три, ..., нредове от числа.

Поради тромавостта на формулите за решаване на задачата в общ изгледНека разгледаме специален случай, когато n = 3 и N = 2.Позволявам х 1 х 2 , Х 3 право пропорционални на числата А 1 , А 2 , А 3 и обратно пропорционална на числата b 1 , b 2 , b 3 .

Алгебричен модел:

(виж параграф 1 от този параграф),

Пример.Двама работници получиха 1800 рубли. Единият е работил 3 дни по 8 часа, другият 6 дни по 6 часа.Колко са спечелили всеки, ако за 1 час работа са получавали по равно?

Решение. Обобщение на задачата е показано на фигура 10.

Ориз.10

За да разберете колко е получил всеки работник, трябва да знаете колко рубли са били платени за 1 час работа и колко часа е работил всеки работник. За да разберете колко рубли са платили за 1 час работа, трябва да знаете колко са платили за цялата работа (посочена в условието) и колко часа са работили двамата работници заедно. За да разберете общия брой отработени часове, трябва да знаете колко часа е работил всеки човек, а за това трябва да знаете колко дни е работил всеки човек и колко часа на ден. Тези данни са включени в условието.

Нека запишем решението за действията с обяснения:

8  3 = 24 (часа) – първият работник е работил;

6  6 = 36 (часа) – работи вторият работник;

24 + 36 = 60 (часа) – двамата работници са работили заедно;

1800: 60 = 30 (р.) – работници, получени за 1 час работа;

30  24 = 720 (р.) – спечелени от първия работник;

30  36 = 1080 (р.) - печели вторият работник. Отговор: 720 rub.; 1080 търкайте.

5) Задачи за намиране на няколко числаспоред отношенията им и сумата или разликата (сумата или разликата на някои от тях)

Пример.Администрацията на училището похарчи 49 000 рубли за оборудване на детската площадка, оранжерията и физкултурния салон. Оборудването за детската площадка струва наполовина по-малко от оранжериите, а оранжериите струват 3 пъти по-малко фитнеси детска площадка заедно. Колко пари са похарчени за оборудване за всяко от тези съоръжения?

Решение. Обобщение на задачата е показано на фигура 11.

Ориз. единадесет

За да разберете размера на парите, изразходвани за оборудването на всеки обект, трябва да знаете колко части от всички изразходвани пари са били за оборудването на всеки обект и колко рубли са били за всяка част. Броят на частите пари, изразходвани за оборудването на всеки обект, се определя от условията на проблема. След като определим броя на частите за оборудването на всеки обект поотделно и след това намерим тяхната сума, изчисляваме стойността на една част (в рубли).

Нека запишем решението за действията с обяснения.

Приемаме като 1 част сумата, изразходвана за оборудване за детската площадка. Съгласно условието, 2 пъти повече е изразходвано за оранжерийно оборудване, т.е. 1  2 = 2 (h); За оборудването на детската площадка и спортната зала са изразходвани 3 пъти повече, отколкото за оранжерията, тоест 2  3 = 6 (часа), следователно 6 – 1 = 5 (часа) са изразходвани за оборудване на спортната зала.

1 част са изразходвани за оборудване за детска площадка, 2 части за оранжерии и 5 части за физкултурен салон. Цялата консумация беше 1 + 2 + + 5 = 8 (h).

8 части се равняват на 49 000 рубли, една част е 8 пъти по-малко от тази сума: 49 000: 8 = 6 125 (рубли). Следователно 6125 рубли бяха изразходвани за оборудване за детската площадка.

Два пъти повече са изразходвани за оранжерийно оборудване: 6 125  2 = 12 250 (r.).

5 части са изразходвани за оборудване за фитнес залата: 6,125  5 = 30,625 (р.).

Отговор: 6 125 рубли; 12 250 рубли; 30 625 рубли

6) Задачи за изключване на едно от неизвестните

Задачите от тази група включват задачи, в които са дадени сумите на два продукта, които имат два повтарящи се фактора, и се изисква да се намерят стойностите на тези фактори. Алгебричен модел

Отговорът се намира с помощта на формулите:

Тези проблеми се решават чрез метода за изравняване на данни, метода за изравняване на данните и необходимите, метода за заместване на данни, както и така наречения метод на „отгатване“.

Пример.Във фабрика за облекло 24 палта и 45 костюма са използвали 204 м плат, а 24 палта и 30 костюма са използвали 162 м. Колко плат се използва за един костюм и колко за едно палто?

Решение. Нека решим проблема, като използваме метода за коригиране на данните. Кратко описание на задачата.

Преклонена Мария, Людмила Брянцева

Работата показва начини за решаване на текстови задачи.

Изтегли:

Преглед:

Общинска образователна институциясредно аритметично общообразователно училище No64 Волгоград

Градски конкурс за учебни и изследователски работи

„Аз и Земята“ на името на. В И. Вернадски

(областен етап)

АРИТМЕТИЧЕН МЕТОД НА РЕШЕНИЕ

ТЕКСТОВИ ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКА

Раздел "Математика"

Изпълни: Людмила Брянцева,

Ученик от 9 А клас, Общинско учебно заведение СОУ № 64, гр.

Ниска Мери,

Ученик от 9 А клас, Общинско учебно заведение СОУ №64.

Ръководител: Носкова Ирина Анатолиевна,

Учител по математика, Общинско учебно заведение СОУ No64

Волгоград 2014 г

Въведение …………………………………………………………………………………… 3

Глава 1. Нестандартни методиразрешаване на проблем

1. Задачи по темата " Цели числа" ………………….. 5

1. . Задачи “в части и проценти” …………………………... 8
2. Проблеми с движението……………………………………...... 11
3. Задачи за сътрудничество……………………………… 14

Заключение …………………………………………………………. 16

Литература…………………………………………………………. 16

Въведение.

Известно е, че исторически за дълго времематематическите знания се предават от поколение на поколение под формата на списък от практически проблеми заедно с техните решения. Първоначално математиката се е преподавала с помощта на модели. Учениците, подражавайки на учителя, решаваха задачи въз основа на определено „правило“. Така в древни времена някой, който е знаел как да решава определени видове проблеми, срещани на практика (при търговски изчисления и т.н.), се е считал за обучен.

Една от причините за това е, че в исторически план за дълго време целта на обучението на децата по аритметика е била да ги научи на специфичен набор от изчислителни умения, свързани с практически изчисления. В същото време линията на аритметиката - линията на числата - все още не беше развита и преподаването на изчисления се извършваше чрез задачи. В "Аритметика" L.F. Магнитски, например, дробите се считат за наименувани числа (не само, А рубла, пуд и т.н.), а действията с дроби бяха изучавани в процеса на решаване на задачи. Тази традиция продължи доста дълго време. Дори много по-късно се срещат проблеми с неправдоподобни числени данни, например: „Продадени кг захар на рубла за килограм...",които са оживени не от нуждите на практиката, а от нуждите да се научим да смятаме.

Втората причина повишено вниманиеза използването на текстови задачи в Русия е, че в Русия не само са възприели и развили древния метод за предаване на математически знания и техники за разсъждение, използвайки текстови задачи. С помощта на проблемите се научихме да формираме важни общообразователни умения, свързани с анализ на текст, идентифициране на условията на проблема и основния въпрос, съставяне на план за решение, търсене на условия, от които може да се получи отговор на въпроса. основен въпрос, проверка на получения резултат. Важна роля изигра и обучението на учениците да превеждат текст на езика на аритметични операции, уравнения, неравенства и графични изображения.

Друг момент, който не може да бъде пренебрегнат, когато говорим за решаване на проблеми. Обучението и развитието в много отношения напомнят за развитието на човечеството, следователно използването на древни проблеми и различни аритметични методи за решаването им ви позволява да отидете на исторически контекст, който развива креативността. В допълнение, разнообразието от решения събужда въображението на децата и им позволява да организират търсенето на решение всеки път по нов начин, което създава благоприятен емоционален фон за учене.

Следователно уместността на тази работа може да се обобщи в няколко точки:

Проблемите с думите са важни средствапреподаване на математика. С тяхна помощ учениците придобиват опит в работата с величини, разбират връзките между тях и придобиват опит в прилагането на математиката за решаване на практически задачи;

Използването на аритметични методи за решаване на проблеми развива изобретателността и интелигентността, способността да се задават въпроси и да се отговаря на тях, тоест развива естествения език;

Аритметичните методи за решаване на текстови задачи ви позволяват да развиете способността да анализирате проблемни ситуации, да изградите план за решение, като вземете предвид връзките между известни и неизвестни количества, да интерпретирате резултата от всяко действие, да проверите правилността на решението чрез съставяне и решаване на обратна задача;

Аритметичните методи за решаване на текстови задачи привикват към абстракции, позволяват да се култивира логическа култура, могат да допринесат за създаването на благоприятен емоционален фон за учене, развитието на естетическо чувство във връзка с решаването на проблеми и изучаването на математика, възбуждайки интерес към процеса на намиране на решение, а след това към самия предмет;

Използването на исторически проблеми и разнообразие от древни (аритметични) методи за решаването им не само обогатява опита умствена дейност, но също така ни позволява да овладеем важен културно-исторически пласт от човешката история, свързан с търсенето на решения на проблемите. Това е важен вътрешен стимул за намиране на решения на проблеми и изучаване на математика.

От всичко казано по-горе правим следните изводи:

предмет на изследванее блок текстови задачи по математика за 5-6 клас;

обект на изследванее аритметичен начин за решаване на проблеми.

цел на изследванетое разглеждане достатъчно количествотекстови задачи от училищен курс по математика и прилагането на аритметичен метод за решаването им;

задачи за постигане на изследователската целса анализ и решаване на текстови задачи в основните раздели на курса „Естествени числа”, „Рационални числа”, „Пропорции и проценти”, „Задачи за движение”;

изследователски методе практична търсачка.

Глава 1. Нестандартни начини за решаване на проблеми.

1. Задачи по темата „Естествени числа“.

На този етап от работата с числа аритметичните методи за решаване на задачи вече имат предимство пред алгебричните, тъй като резултатът от всяка отделна стъпка в решаването на действия има напълно ясна и конкретна интерпретация, която не излиза извън рамките на жизнения опит. Поради това се усвояват по-бързо и по-добре различни техникиразсъждения, основани на въображаеми действия с известни количества, а не един метод за решаване на проблеми с различни аритметични ситуации, базиран на използването на уравнение.

1. Намислихме едно число, увеличихме го с 45 и получихме 66. Намерете числото, което сте намислили.

За да разрешите задачата, можете да използвате схематичен чертеж, който да ви помогне да визуализирате връзката между операциите събиране и изваждане. Особено ефективна помощрисунката ще бъде при Повече ▼действия с неизвестна величина.Сетихме се за числото 21.

2. През лятото прозорецът ми беше отворен по цял ден. На първия час долетя 1 комар, на втория - 2 комара, на третия - 3 и т.н. Колко комара долитат на ден?

Тук използваме метода за разделяне на всички термини на двойки (първият с последния; вторият с предпоследния и т.н.), намираме сумата на всяка двойка термини и умножаваме по броя на двойките.

1 + 2 + 3 + … + 23 + 24 = (1 + 24) + (2 + 23) + …. + (12 + 13) = 25 12 = 300.

Долетяха 300 комара.

3. Гостите попитаха: на колко години беше всяка от сестрите? Вера отговори, че с Надя са заедно от 28 години; Надя и Люба са заедно на 23 години, а и трите са на 38 години. На колко години е всяка сестра?

1. 38 – 28 = 10 (години) – Люба;

2. 23 – 10 = 13 (години) – Надя;

3.28 – 13 = 15 (години) – Вера.

Люба е на 10 години, Надя е на 13 години, Вера е на 15 години.

4. В нашия клас има 30 ученици. 23 души са отишли ​​на екскурзия до музея, 21 са отишли ​​на кино, а 5 души не са отишли ​​нито на екскурзия, нито на кино. Колко души отидоха и на екскурзия, и на кино?

Нека разгледаме решаването на проблема; фигурата показва етапите на разсъждение.

1. 30 – 5 = 25 (души) – отидоха на кино или на

екскурзия;

1. 25 – 23 = 2 (човека) – ходили само на кино;
2. 21 – 2 = 19 (лица) – ходили на кино и на

Екскурзия.

19 души отидоха и на кино, и на екскурзия.

5. Някой има 24 банкноти от два вида - 100 и 500 рубли всяка за общо 4000 рубли. Колко банкноти от 500 рубли има?

Тъй като получената сума е „кръгло“ число, следва, че броят на банкнотите от 100 рубли е кратен на 1000. По този начин броят на банкнотите от 500 рубли също е кратен на 1000. Следователно имаме - банкнотите от 100 рубли са 20 ; 500 рубли - 4 бона.

Някой има 4 банкноти от 500 рубли.

6. Летният жител дойде от вилата си на гарата 12 минути след като влакът тръгна. Ако беше прекарал 3 минути по-малко на всеки километър, щеше да пристигне точно навреме, за да тръгне влакът. Колко далеч живее летният жител от гарата?

Прекарвайки 3 минути по-малко на километър, летен жител може да спести 12 минути на разстояние 12: 3 = 4 км.

Лятният жител живее на 4 км от гарата.

7. Изворът дава буре вода за 24 минути. Колко варела вода произвежда изворът на ден?

Тъй като трябва да заобиколим дробите, не е нужно да намираме коя част от цевта се пълни за 1 минута. Нека разберем колко минути ще са необходими за напълването на 5 бъчви: 24 · 5 = 120 минути, или 2 часа. Тогава за ден 24: 2 = 12 пъти повече бъчви ще бъдат напълнени, отколкото за 2 часа, тоест 5·12 = 60 бъчви.

Изворът произвежда 60 барела на ден.

8. В някаква областсменете старите релси с дължина 8 м с нови с дължина 12 м. Колко нови релси са необходими вместо 240 стари?

На участък с дължина 24 м вместо 3 стари релси ще бъдат монтирани 2 нови. Релсите ще бъдат сменени в 240: 3 = 80 такива секции и 80 · 2 = 160 нови релси ще бъдат поставени върху тях.

Ще са необходими 160 нови релси.

9. Хлебозаводът е разполагал с 654 кг черни и бял хляб. След продадени 215 кг черен и 287 кг бял хляб остава по равно от двата вида хляб. Колко килограма черен и бял хляб имаше по отделно в пекарната?

1) 215 + 287 = 502 (кг) – продаден хляб;

2) 654 – 502 = 152 (кг) – останал хляб за продажба;

3) 152: 2 = 76 (кг) бял (и черен) хляб остават за продажба;

4) 215 + 76 = 291 (кг) – първоначално е имало черен хляб;

5) 287 + 76 = 363 (кг) – първоначално е имало бял хляб.

Първоначално имаше 291 кг черен хляб и 363 кг бял хляб.

1. Задачи “в части и проценти”.

В резултат на работа със задачи този разделнеобходимо е да вземете подходяща стойност за 1 част, да определите колко такива части попадат на друга стойност, тяхната сума (разлика), след което да получите отговор на въпроса на проблема.

10. Първата бригада може да изпълни задачата за 20 часа, а втората за 30 часа. Първо, екипите изпълниха ¾ от задачата, докато работеха заедно, а останалата част от задачата беше изпълнена от първия екип сам. Колко часа отне изпълнението на задачата?

Задачите за изпълнение на работата са по-малко ясни от задачите за движение. Ето защо тук е необходим подробен анализ на всяка стъпка.

1) Ако първият екип работи сам, той ще изпълни задачата за 20 часа - това означава, че всеки час изпълнявацялата задача.

2) Като се аргументираме по подобен начин, получаваме производителността на труда за втория екип -цялата задача.

3) Първо, работейки заедно, екипите завършихацялата задача. Колко време са прекарали?. Тоест за един час съвместна работа двата екипа изпълняват дванадесетата част от задачата.

4) Тогава те ще изпълнят задачата за 9 часа, тъй като(според основното свойство на дробта).

5) Всичко, което остава, е да завършитезадачи, но само на първия отбор, който изпълни за 1 часцялата задача. Така че първата бригада трябва да работи 5 часа да доведе въпроса до край, тъй като.

6) И накрая, имаме 5 + 9 = 14 часа.

Задачата ще бъде изпълнена за 14 часа.

единадесет Обеми годишният добив от първия, втория и третия кладенец се съотношат като 7: 5: 13. Планира се намаляване на годишния добив на нефт от първия кладенец с 5%, а от втория с 6%. С колко процента трябва да се увеличи годишният добив на нефт от третия кладенец, така че общият обем на добития нефт за година да не се променя??

Проблемите с части и проценти са още по-отнемаща време и неразбираема област от проблеми. Следователно най-конкретният начин да ги разберем беше чрез числени примери.Пример 1. Нека годишното производство на петрол е 1000 барела. След това, знаейки, че това производство е разделено на 25 части (7+5+13=25, т.е. едната част е 40 барела) имаме: първата кула изпомпва 280 барела, втората – 200 барела, третата – 520 барела годишно. . Ако производството намалее с 5%, първата платформа губи 14 барела (280·0,05 = 14), т.е. нейното производство ще бъде 266 барела. Ако производството намалее с 6%, втората платформа губи 12 барела (200·0,06 = 12), тоест нейното производство ще бъде 188 барела.

Само за година те заедно ще изпомпват 454 барела петрол, след което третата кула ще трябва да произведе 546 барела вместо 520 барела.

Пример 2. Нека годишното производство на петрол е 1500 барела. След това, знаейки, че това производство е разделено на 25 части (7+5+13=25, т.е. едната част е 60 барела) имаме: първата кула изпомпва 420 барела, втората - 300 барела, третата - 780 барела годишно . Ако производството намалее с 5%, първата платформа губи 21 барела (420·0,05 = 21), т.е. нейното производство ще бъде 399 барела. При 6% спад в производството, втората платформа губи 18 барела(300·0,06 = 18), тоест производството му ще бъде 282 барела.

Общо за една година те ще изпомпват заедно 681 барела петрол, тогава третата кула ще трябва да произведе 819 барела вместо 780 барела.

Това е с 5% повече от предишното производство, тъй като.

Необходимо е да се увеличи годишният добив на нефт от третия кладенец с 5%, така че общият обем на добития нефт за година да не се променя.

Можем да разгледаме друга версия на подобен проблем. Тук въвеждаме някаква променлива, която е просто „символ“ на единици за обем.

12. Обемът на годишния добив на нефт от първия, втория и третия сондаж е съотношен като 6:7:10. Предвижда се годишното производство на нефт от първия сондаж да бъде намален с 10%, а от втория с 10%. С колко процента трябва да се увеличи годишният добив на нефт от третия кладенец, така че общият обем на добития нефт да не се промени?

Нека обемите на годишния добив на нефт от първия, втория и третия кладенец са равни съответно на 6x, 7x, 10x от някои обемни единици.

1) 0.1 ·6x = 0.6x (единици) – намаляване на добива при първия сондаж;

2)0.1 ·7x = 0.7x (единици) – намаляване на добива при втория сондаж;

3) 0.6x + 0.7x = 1.3x (единици) – трябва да се равнява на увеличение на обема на добива на нефт в третия кладенец;

С този процент трябва да се увеличи годишният добив на нефт от третия кладенец.

Годишният добив на нефт от третия кладенец трябва да се увеличи с 13%.

13. Купихме 60 тетрадки - тетрадките с квадратчета бяха 2 пъти повече от тези с черти. Колко части има една тетрадка с линии? на тетрадка в каре; за всички тетрадки? Колко тетрадки с линии си купи? Колко на клетка?

При решаване на задача е по-добре да се разчита на схематичен чертеж, който лесно може да се възпроизведе в тетрадка и да се допълва с необходимите бележки в хода на решението. Нека тетрадките с линии съставляват 1 част, а тетрадките в квадратчета съставляват 2 части.

1) 1 + 2 = 3 (части) – обхваща всички тетрадки;

2) 60: 3 = 20 (тетрадки) – сметки за 1 част;

3) 20 · 2 = 40 (тетрадки) – тетрадки в квадрат;

4) 60 – 40 = 20 (тетрадки) – редовани.

Купихме 20 тетрадки с черти и 40 тетрадки в каре.

14. През 1892 г. някой мисли да прекара толкова минути в Петербург, колкото часове ще прекара в селото. Колко време ще прекара някой в ​​Санкт Петербург?

Тъй като 1 час е равен на 60 минути, а броят на минутите е равен на броя на часовете, тогава някой в ​​селото ще прекара 60 пъти повече време, отколкото в Санкт Петербург (тук не се взема предвид времето за пътуване). Ако броят на дните, прекарани в Санкт Петербург, е 1 част, тогава броят на дните, прекарани в селото, е 60 части. Тъй като говорим за високосна година, има 366 на част: (60 + 1) = 6 (дни).

Някой ще прекара 6 дни в Санкт Петербург.

15. Ябълките съдържат 78% вода. Те бяха малко изсушени и сега съдържат 45% вода. Какъв процент от масата си са загубили ябълките при сушенето?

Нека x kg е масата на ябълките, тогава тя съдържа 0,78x kg вода и x – 0,78x = 0,22x (kg) сухо вещество. След изсушаване сухото вещество съставлява 100 - 45 = 55(%) от масата на сухите ябълки, така че масата на сухите ябълки е 0,22x: 0,55 = 0,46x(kg).

И така, по време на сушенето ябълките загубиха x - 0,46x = 0,54x, тоест 54%.

При сушенето ябълките губят 54% от масата си.

16. Тревата съдържа 82% вода. Беше изсушено малко и сега съдържа 55% вода. Колко маса е загубила тревата по време на сушенето?

При начални условияживото тегло на тревата беше 100% - 82% = 18%.

След изсушаване тази стойност се увеличава до 45%, но общата маса на тревата намалява с 40% (45: 18 · 10% = 40%).

По време на сушенето тревата губи 40% от масата си.

1. Двигателни задачи.

Тези задачи се считат за традиционно трудни. Ето защо е необходимо да се анализира по-подробно аритметичният метод за решаване на този тип задачи.

17. Двама велосипедисти пътуват от точка А до точка Б едновременно. Скоростта на единия е с 2 км/ч по-малка от другия. Велосипедистът, който пръв пристигна в B, веднага се върна и срещна друг велосипедист 1 час и 30 минути по-късно. след тръгване от А. На какво разстояние от точка Б е станала срещата?

Този проблем също се решава с помощта на примера на предметни изображения и асоциации.

След като са разгледани редица примери и никой не се съмнява в числото - разстоянието е 1,5 км, е необходимо да се обоснове констатацията му от данните на представената задача. А именно, 1,5 км е разликата в изоставането на 2 от 1-ви колоездач наполовина: след 1,5 часа вторият ще изостане от първия с 3 км, тъй като 1 се връща, тогава и двамата велосипедисти се приближават един до друг с половината от разликата в изминатото разстояние, т.е. с 1,5 км. Това предполага отговора на проблема и метода за решаване на този вид текстови задачи.

Срещата се проведе на разстояние 1,5 км от точка Б.

18. Два влака тръгнаха едновременно от Москва за Твер. Първият премина на час 39 версти и пристигна в Твер два часа по-рано от втория, който премина на час 26 версти. Колко мили от Москва до Твер?

1) 26 · 2 = 52 (версти) – на колко е вторият влак след първия;

2) 39 – 26 = 13 (версти) – толкова е изостанал вторият влак от първия за 1 час;

3) 52: 13 = 4 (h) - това е колко дълго е пътувал първият влак;

4) 39 · 4 = 156 (версти) – разстоянието от Москва до Твер.

От Москва до Твер 156 версти.

1. Задачи за сътрудничество.

19. Единият екип може да изпълни задачата за 9 дни, а вторият за 12 дни. Първият екип работи по тази задача в продължение на 3 дни, след което вторият екип завърши работата. За колко дни беше изпълнена задачата?

1) 1: 9 = (задачи) – ще бъдат изпълнени от първия отбор за един ден;

2) 3 = (задачи) - изпълнени от първа бригада за три дни;

3) 1 - = (задачи) – изпълнени от втора бригада;

4) 1: 12 = (задачи) – ще бъдат изпълнени от втория екип за един ден;

5) 8 (дни) – работи вторият екип;

6) 3 + 8 = 11 (дни) – изразходвани за изпълнение на задачата.

Задачата е изпълнена за 11 дни.

20. Конят изяжда сено за един месец, козата за два месеца, овцата за три месеца. Колко време ще отнеме на кон, коза и овца, за да изядат един и същи товар сено заедно?

Оставете коня, козата и овцата да ядат сено в продължение на 6 месеца. Тогава конят ще изяде 6 каруци, козата – 3 каруци, овцата – 2 каруци. Има само 11 колички, което означава, че саколичка, а една количка ще бъде изядена за 1:= (месеци).

Кон, коза, овца ще изядат цяла каруца сеномесец.

21. Четирима дърводелци искат да построят къща. Първият дърводелец може да построи къща за 1 година, вторият за 2 години, третият за 3 години, четвъртият за 4 години. Колко време ще им отнеме да построят къща, ако работят заедно?

За 12 години всеки отделен дърводелец може да построи: първият - 12 къщи; второ – 6 къщи; трета – 4 къщи; четвърта – 3 къщи. Така за 12 години могат да построят 25 къщи. Следователно, работейки заедно, те ще могат да построят един двор 175,2 дни.

Дърводелците ще могат да построят къща, като работят заедно за 175,2 дни.

Заключение.

В заключение трябва да се каже, че представените в изследването задачи са само малък пример за използването на аритметични методи при решаване на текстови задачи. Едно трябва да се каже важен момент– избор на сюжет на задачите. Факт е, че е невъзможно да се предвидят всички трудности при решаването на проблеми. Но въпреки това, в момента на първоначално овладяване на метод за решаване на всякакъв вид проблеми, техният сюжет трябва да бъде възможно най-прост.

Дадените образци представляват специален случай, но отразяват посоката – приближаване на училището към живота.

Литература

1. Vileitner G. Христоматия по история на математиката. – Брой I. Аритметика и алгебра / прев. с него. P.S. Юшкевич. – М.-Л.: 1932.

2.Toom A.L. Текстови задачи: приложения или ментални манипулации // Математика, 2004.

3.Шевкин А.В. Текстови задачи в училищен курс по математика.М, 2006г.

Решаване на задачи с аритметични методи

Урок по математика в 5 клас.

"Ако искате да се научите да плувате, тогава смело влезте във водата, а ако искате да се научите да решавате проблеми, тогава ги решавайте.".
Д. Поля

Цели и задачи на урока:

развиване на способността за решаване на задачи с помощта на аритметичен метод;

развитие креативност, познавателен интерес;

развитие логично мислене;

възпитаване на любов към предмета;

възпитаване на култура на математическо мислене.

Оборудване: сигнални карти с номера 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10.

По време на часовете

I. Организационен момент (1 минута.)

Урокът е посветен на решаване на задачи с помощта на аритметичен метод. Днес ще решаваме задачи различни видове, но всички те ще бъдат решени без помощта на уравнения.

II. Историческа справка (1 минута.)

В исторически план дълго време математическите знания се предават от поколение на поколение под формата на списък от практически проблеми заедно с техните решения. В древни времена някой, който е знаел как да решава определени видове проблеми, срещани на практика, се е смятал за обучен.

III. Загрявка (устно решаване на задачи - 6 мин.)
а) Задачи на карти.
На всеки ученик се дава картонче със задача, която той решава устно и дава отговор. Всички задачи за действие 3 - 1 = 2.

(Учениците решават задачите правилно, а някои не. Всички устно. Вдигат картите и учителят вижда кой е решил задачата; картите трябва да съдържат числото 2.)

б) Задачи в стихове и логически проблеми. (Учителят чете задачата на глас, учениците вдигат картата с верния отговор.

Таралежът даде патетата
Кое от момчетата ще отговори?
Осем кожени ботуши
Колко патета имаше?
(Четири.)

Две пъргави прасенца
Бяха толкова студени, трепереха.
Пребройте и кажете:
Колко ботуши трябва да ги купя?
(Осем.)

Влязох в борова гора
И аз видях мухоморка
Две медени гъби,
Две смръчкули.
Три туби с масло,
Два реда...
Кой има готов отговор:
Колко гъби намерих?
(десет.)

4. В двора се разхождаха кокошки и кучета. Момчето преброи лапите им. Оказаха се десет. Колко кокошки и колко кучета може да има? (Две кучета и едно пиле, едно куче и три кокошки.)

5. По лекарско предписание купихме в аптеката 10 таблетки. Лекарят ми предписа 3 таблетки на ден. Колко дни ще продължи това лекарство? (Цели дни.)

6. Братът е на 7 години, а сестрата е на 5. На колко години ще бъде сестрата, когато брат е на 10 години?

7. Дадени са числата: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. кое е по-голямо: произведението им или сумата?

8. При изграждането на оградата дърводелците поставили 5 стълба в права линия. Разстоянието между стълбовете е 2 м. Каква е дължината на оградата?

IV. Разрешаване на проблем

(Задачите за децата са дадени на карти - 15 минути. Децата решават задачи на дъската)
Задачи а) и б) са насочени към повторение на връзката между отношенията „по... повече” и „по... по-малко” с операциите събиране и изваждане.

а) Чирак на стругар струговаше 120 детайла на смяна, а стругарът струговаше 36 детайла повече. Колко части са струговали заедно стругарят и неговият чирак?

б) Първият екип събра 52 устройства по време на смяната, вторият?- 9 устройства по-малко от първия, а третият - 12 устройства повече от втория. Колко устройства събраха трите екипа по време на смяната?

Използвайки проблем c), на учениците може да се покаже решението на проблема „наобратно“.

в) В три класа има 44 момичета – това е с 8 по-малко от момчетата. Колко момчета има в три класа?

В задача d) учениците могат да предложат няколко решения.

г) Три сестри бяха попитани: „На колко години е всяка от сестрите?“ Вера отговори, че тя и Надя са на 28 години заедно, Надя и Люба са на 23 години заедно, а и трите са на 38 години. На колко години е всяка от сестрите?

Задача д) има за цел да повтори връзката между „повече в...” и „по-малко в...”.

д) Вася имаше 46 точки. За една година колекцията му се увеличи с 230 марки. Колко пъти се е увеличила колекцията му?

V. Физкултурна минутка (2 минути.)

Застанете на един крак
Сякаш си твърд войник.
Повдигнете левия крак.
Виж, не падай.
Сега застанете отляво,
Ако си смел войник.

VI. Антични, исторически проблеми. Проблеми със съдържанието на приказките (10 мин.)

Задача д) да се намерят две числа по техния сбор и разлика.

д)(из „Аритметика“ на Л.Н. Толстой)

Двама мъже имат 35 овце. Единият има 9 повече от другия. Колко овце има всеки човек?

Задача за движение.

и)(Стар проблем.)Два влака тръгнаха едновременно от Москва за Твер. Първият премина с 39 версти в час и пристигна в Твер два часа по-рано от втория, който измина 26 версти в час. Колко мили от Москва до Твер?

(По-лесно е да стигнете до отговора с помощта на уравнение. Но учениците се насърчават да търсят аритметично решениезадачи.)

1) 26 * 2 = 52 (версти) - вторият влак беше на толкова мили зад първия;

2) 39 - 26 = 13 (версти) - с толкова мили вторият влак изоставаше с 1 час от първия;

3) 52: 13 = 4 (h) - толкова време е отнело пътуването на първия влак;

4) 39 * 4 = 156 (версти) - разстоянието от Москва до Твер.

Можете да погледнете в справочниците, за да намерите разстоянието в километри.

1 верста = 1 км 69 м.

Задачата е разделена на части.

з)Задача на Кикимора.Водачът решил да се ожени за кикиморката Ха-Ха. Той постави няколко пиявици на булото си кикиморе и два пъти повече на наметалото си. По време на празника паднаха 15 пиявици и останаха само 435. Колко пиявици имаше на булото на кикимора?

(Задачата е дадена за решаване с помощта на уравнение, но ние я решаваме по аритметичен начин)

VII. Живи номера (пауза при разтоварване - 4 мин.)

Учителят извиква на дъската 10 ученика и им дава числа от 1 до 10. Учениците получават различни задачи;

а) учителят нарича числата; посочените правят крачка напред (напр.: 5, 8, 1, 7);

б) излизат само съседите на назованото число (например: излиза числото 6, 5 и 7);

в) учителят предлага примери и излиза само този, който има отговора на този пример или проблем (например: 2 ´ 4; 160: 80 и т.н.);

г) учителят прави няколко пляскания и също така показва номер (един или два); трябва да излезе ученик, чийто номер е сбор от всички чути и видяни числа (например: 3 пляскания, число 5 и число 1.);

кое число 4 е по-голямо от четири?

Сетих си едно число, извадих 3 от него, получих 7. Кое число си намислих?

ако добавите 2 към предвиденото число, ще получите 8. Какво е предвиденото число?

Трябва да се опитаме да подберем задачите така, че в отговорите да не се повтарят едни и същи числа, за да може всеки да участва активно в играта.

VIII. Обобщаване на урока (2 минути.)

- Какво правихме в клас днес?

- Какво означава да решиш задача с помощта на аритметика?

- Трябва да помним, че намереното решение на проблема трябва да отговаря на условията на проблема.

IX. Домашна работа. Класиране (2 минути.)

№ 387 (решаване на задачи с аритметичен метод), за слаби ученици. За средни и силни ученици задачите за домашна работа са дадени на карти.

1. В пекарната имаше 645 кг черен и бял хляб. След продажбата на 215 кг черен и 287 кг бял хляб е останало по равно от двата вида хляб. Колко килограма черен и бял хляб имаше по отделно в пекарната?

Брат и сестра намериха 25 манатарки в гората. Братът намери 7 гъби повече от сестра си. Колко манатарки намери брат ти?

За компота взехме 6 части ябълки, 5 части круши и 3 части думи. Оказа се, че крушите и сливите взети заедно 2 кг 400 г. Определете масата на взетите ябълки; маса от всички плодове.

Литература

Виленкин Н., Жохов В., Чесноков А.Математика. 5 клас. - М., "Мнемозина", 2002 г.

Шевкин А.В.Текстови задачи в училищен курс по математика. - М.: Педагогически университет "Първи септември", 2006 г.

Волина В.Празник на числата. - М.: Знание, 1994.